Úvod do simulace dynamiky sypkých hmot

Transkript

1 Úvod do simulace dynamiky sypkých hmot Lukáš Pospíšil Katedra aplikované matematiky, VŠB - Technická Univerzita Ostrava Seminář aplikované matematiky,

2 Osnova formulace problému transformace lokálních souřadnic Eulerovy úhly jednotkové kvaterninony rotace od pozice k rychlosti kontaktní úlohy bez tření, reformulace na QP krátce o Coulombovském tření Přednáška obsahuje 4 videa, jeden příklad a jeden důkaz.

3 Formulace problému

4 Formulace problému Vztah mezi lokálním a globálním systémem T := [T x, T y, T z] T - poloha těžiště v globálním souřadnicovém systému, φ, θ, ψ - Eulerovy úhly rotace. r glob = T + Rr lok r lok R 3 souřadnice bodu v lokálním systému, r glob R 3 souřadnice bodu v globálním systému. R R 3,3 matice rotace (z φ, θ, ψ).

5 Eulerovy úhly rotace r lok R

6 Eulerovy úhly rotace R 1 = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ R 1r lok

7 Eulerovy úhly rotace R 2 = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ R 2R 1r lok

8 Eulerovy úhly rotace R 1 = cos ψ sin ψ 0 sin ψ cos ψ R 3R 2R 1r lok

9 Eulerovy úhly rotace R = r glob = T + R } 3R {{ 2R } 1 =:R cos ψ cos φ cos θ sin φ sin ψ sin ψ cos φ cos θ sin φ cos ψ sin θ sin φ cos ψ cos φ + cos θ cos φ sin ψ sin ψ sin φ + cos θ cos φ cos ψ sin θ sin φ sin θ sin ψ sin θ cos φ cos θ Úloha se mění v čase (T x(t), T y (t), T z(t), φ(t), θ(t), ψ(t)), tj. okamžitá poloha bodu v čase t R + r glob(t) = T (t) + R(t)r lok r lok

10 Rychlost r glob (t) = T (t) + R(t)r lok Okamžitá rychlost Okamžitou rychlost získáme derivací dle t ṙ glob = Ṫ + Ṙr lok Ṙ =?

11 Rychlost R je ortogonální, tj. derivací Úpravou R T R = I, ṘR T + RṘ T = 0. ṘR T = RṘT ṘR T = (ṘRT ) matice ṘRT je antisymetrická. Je to matice vektorového součinu.

12 Matice vektorového součinu Mějme u = [u 1, u 2, u 3] T R 3, v = [v 1, v 2, v 3] T R 3. Pak i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = (u 2v 3 v 2 u 3 )i+(u 3 v 1 u 1 v 3 )j+(u 1 v 2 u 2 v 1 )k = u 2v 3 v 2 u 3 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Lze však také maticově u v = ũv = u 2v 3 v 2u 3 u 3v 1 u 1v 3 u 1v 2 u 2v 1 kde ũ R 3,3 je matice vektorového součinu 0 u 3 u 2 ũ := u 3 0 u 1. u 2 u 1 0 Tato matice je antisymetrická, tj. ũ = ũ T

13 Rychlost Označme Pak úpravou Dosazením ω := R T Ṙ. ω = R T Ṙ R ω = RR T Ṙ R ω = Ṙ ṙ glob = Ṫ + Ṙr lok ṙ glob = Ṫ + R ωr lok ṙ glob = Ṫ + R( ω r lok) kde ω = [ φ, θ, ψ] T R 3 je úhlová rychlost.

14 Motivace r glob = T + Rr lok ṙ glob = Ṫ + R( ω r lok) Vyčíslit R znamená vyčíslit goniometrické funkce. Jednotkový kvaternion rotace R 3 [φ, θ, ψ] := ω e := [e 0, e 1, e 2, e 3] R 4, e = 1 Díky této reprezentaci nebude nutno vyčíslovat goniometrické funkce.

15 Kvaternion rotace - motivace [φ] [e 0, e 1] Polární souřadnice e1 e0 e 0 = cos φ e 1 = sin φ

16 Kvaternion rotace - motivace Sférické souřadnice [φ, θ] [e 0, e 1, e 2] e2 e0 e 0 = sin φ cos θ e 1 = sin φ sin θ e 2 = cos φ e 1

17 Kvaternion rotace - motivace Kvaternion rotace [φ, θ, ψ] [e 0, e 1, e 2, e 3] e 0 = cos ( 1 2 (φ + θ)) cos ( 1 2 ψ) e 1 = cos ( 1 2 (φ θ)) sin ( 1 2 ψ) e 2 = sin ( 1 2 (φ θ)) sin ( 1 2 ψ) e 3 = sin ( 1 2 (φ + θ)) cos ( 1 2 ψ)

18 Kvateriony místo Eulerových úhlů Zaved me matice kde E := G := e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 123 = [e 1, e 2, e 3] T, = [ e 123, ẽ e 0I ] = [ e 123, ẽ e 0I ] e = [e 0, e 1, e 2, e 3] T = [e 0, e T 123] T

19 Kvateriony místo Eulerových úhlů Platí Ee = Ge = e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 0 e 1 e 2 e 3 e 0 e 1 e 2 e 3 = 0 = 0

20 Kvateriony místo Eulerových úhlů Platí EE T = e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 1 e 2 e 3 e 0 e 3 e 2 e 3 e 0 e 1 e 2 e 1 e 0 = I R3 (Matice E má ortonormální řádky) e 1 e 2 e 3 E T E = e 0 e 3 e 2 e 1 e 0 e 3 e 2 e 3 e 0 e 1 e 2 e 3 e 0 e 1 e e 2 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 0 = I ee T R 4 Obdobně GG T = I, G T G = I ee T

21 Kvateriony místo Eulerových úhlů Platí (!) EG T = e 1 e 0 e 3 e 2 e 2 e 3 e 0 e 1 e 3 e 2 e 1 e 0 e 1 e 2 e 3 e 0 e 3 e 2 e 3 e 0 e 1 e 2 e 1 e 0 e0 2 e1 2 e2 2 e3 2 2e 1e 2 2e 0e 3 2e 1e 3 + 2e 0e 2 = 2e 1e 2 + 2e 0e 3 e0 2 e1 2 + e2 2 e3 2 2e 2e 3 2e 1e 0 2e 1e 3 2e 0e 2 2e 2e 3 + 2e 1e 0 e0 2 e1 2 e2 2 e3 2 = = R Obdobně se dá ukázat Pak EĠT = ĖGT Ṙ = ĖG T + EĠ T = 2EĠ T

22 Kvateriony místo Eulerových úhlů Pro derivaci kvaterninů platí (dá se ukázat z vlastností vektorového součinu) ė = 1 2 E T ω Proto dále budeme popisovat polohu lokálních souřanic v globálním systému pomocí zobecněného vektoru pozice a zobecněného vektoru rychlostí T x Ṫ T y x T z Ṫ y q i := e 0 R 7 Ṫ z, v i := R 6 e 1 φ e 2 θ e 3 ψ

23 Od rychlosti k poloze Časové schéma Aproximace derivace diferencí q(t) := lim h 0 q(t + h) q(t) h q(t) = q(t + h) q(t) h. Časové schéma má pak tvar q(t + h) = q(t) + h q(t), kde h R + je dostatečně malý časový krok. S kvaternionem rotace pak [ ] I 0 q(t + h) = q(t) + h 1 0 E T v(t). 2 }{{} =:Q

24 Algoritmus Dáno q(0) R 7nb, v(0) R 6nb. Zvol časový krok h > 0 t := 0 dokud t < t max q(t + h) := q(t) + hqv(t) spočti v(t + h) t := t + h konec dokud

25 První test pust animaci.

26 Výpočet rychlosti Úkolem je tedy nalézt vektor aktuální rychlosti v(t), jehož přírůstek oproti v(t h) je závislý na hmotnosti jednotlivých těles, působících vnějších silách F (t, q, v), kontaktech a omezujících podmínkách. M v = F C + F ext M(v(t + h) v(t)) = h(f ext + F C ), kde M je zobecněná matice hmotnosti (diagonální), F C je vektor sil vyvolaných omezením, F ext je vektor vnějších sil. Úpravou v(t + h) = v(t) + hm 1 (F ext + F C )

27 Vektor vnějších sil - gravitace F g = m.g, m = ρ.v Dáno q(0) R 7nb, v(0) R 6nb. Zvol časový krok h > 0 t := 0 dokud t < t max F ext = [0, 0, F g, 0, 0, 0] T q(t + h) := q(t) + hqv(t) v(t + h) := v(t) + M 1 (F ext + F C ) t := t + h konec dokud

28 Druhý test pust další skvělou animaci.

29 Kontakt a omezení Uvažujme kontakt mezi tělesy T A a T B. T A F A C F B T B

30 Kontakt a omezení Označme n A (C) jako vnější jednotkovou normálu tělesa T A v bodě kontaktu C v globálním souřadnicovém systému. Změna pozice těžiště Těleso T A působí na těleso T B silou F B := γn A (C), kde γ 0 je neznámá velikost působící síly. Tato síla ovlyvní změnu polohy tělesa T B (složky rychlosti tělesa odpovídající poloze těžiště). Změna rotace tělesa Změnu rotace tělesa T B ovlyvňuje kroutící moment M B := C B F B, kde C B jsou souřadnice bodu C v lokálním souřadnicovém systému tělesa T B.

31 Kontakt a omezení Úpravou M B = C B F B = γ(c B n A (C)) = γ C B n A (C). Naopak na těleso T A působí opačná síla F A := γn A (C), a kroutící moment M A := C A F A = γ C A n A (C).

32 Kontakt a omezení Připomeňme kde F C := F A M A F B M B D := = γn A (C) γ C A n A (C) γn A (C) γ C B n A (C) n A (C) C A n A (C) n A (C) C B n A (C). = γd,

33 Kontakt a omezení Pokud se nám podaří určit velikost působící síly γ, pak výslednou změnu rychlosti lze spočítat z rovnice kde γ := h γ. M(v(t + h) v(t)) = hf ext + Dγ,

34 Kontakt a omezení Příklad Uvažujme systém tří těles T (1), T (2), T (3). T (1) C (1,2) C (1,3) C (2,3) T (3) T (2)

35 Kontakt a omezení vektor zobecněné polohy q = [q(1), T q(2), T q(3)] T T R 3 7 vektor zobecněné rychlosti v = [v(1), T v(2), T v(3)] T T R 3 6. Hledáme velikosti šesti neznámých sil: síla, kterou působí těleso T (1) na těleso T (2), síla, kterou působí těleso T (2) na těleso T (1), síla, kterou působí těleso T (2) na těleso T (3), síla, kterou působí těleso T (3) na těleso T (2), síla, kterou působí těleso T (1) na těleso T (3), síla, kterou působí těleso T (3) na těleso T (1), čili hledáme γ = [γ (1,2), γ (2,1), γ (2,3), γ (3,2), γ (1,3), γ (3,1) ] T R 6.

36 Kontakt a omezení Matice D R 3 6,6 má blokovou strukturu D = n (1) (C (1,2) ) n (2) (C (1,2) ) 0 C (1) (1,2) n (1) (C (1,2) ) C(1) (1,2) n (2) (C (1,2) ) 0 n (1) (C (1,2) ) n (2) (C (1,2) ) n (2) (C (2,3) ) C (2) (1,2) n (1) (C (1,2) ) (2) C (1,2) n (2) (C (1,2) ) (2) C (2,3) n (2) (C (2,3) ) 0 0 n (2) (C (2,3) ) 0 0 C(3) (2,3) n (2) (C (2,3) ) 0 n (1) (C (1,3) ) n (3) (C (1,3) ) 0 C (1) (1,3) n (1) (C (1,3) ) C(1) (1,3) n (3) (C (1,3) ) n (3) (C (2,3) ) 0 0 C (2) (2,3) n (3) (C (2,3) ) 0 0 n (3) (C (2,3) ) n (1) (C (1,3) ) n (3) (C (1,3) ) C (3) (2,3) n (3) (C (2,3) ) C(3) (1,3) n (1) (C (3) (1,3) ) C (1,3) n (3) (C (1,3) )

37 Kontakt a omezení Podmínku nepronikání těles T A a T B popisuje tzv. gap funkce Φ : R 7+7 R vzdálenost těles (nejmenší vzdálenost bodů jednoho a druhého tělesa). Platí Φ([q A, q B ]) = 0 pokud jsou tělesa v kontaktu, Φ([q A, q B ]) > 0 pokud tělesa nejsou v kontaktu, Φ([q A, q B ]) < 0 pokud tělesa pronikla do sebe. Pro normálové napětí v bodě kontaktu platí pokud jsou tělesa v kontaktu, normálové napětí existuje, pokud tělesa nejsou v kontaktu, normálové napětí neexistuje. Získáme podmínku komplementarity a tedy užitím gap funkce lze definovat podmínky pro výpočet velikosti působících sil (numericky stabilnější) 0 Φ(q) γ h Φ(q) + DT v(t + h) γ 0.

38 Linear complementarity problem Úkolem je tedy řešit následující problém. Linear complementarity problem (LCP) M(v(t + h) v(t)) = hf ext + Dγ 1 h Φ(q) + DT v(t + h) 0 1 h Φ(q) + DT v(t + h) γ γ 0 (1a) (1b) (1c) (1d) Ne.

39 QP s lineárním omezením Theorem Řešení optimalizační úlohy 1 min γ 0 2 γt Nγ + r T γ, (2) kde N := D T M 1 D r := 1 h Φ + DT M 1 k k := Mv(t) + h.f ext (3a) (3b) (3c) je ekvivalentní s řešením původní úlohy (LCP).

40 QP s lineárním omezením Důkaz Lagrangeova funkce má tvar a odpovídající KKT podmínky L(γ, λ) = 1 2 γt Nγ + r T γ λ T γ Nγ + r λ = 0 γ 0 λ 0 γ T λ = 0 Podmínky (4b) a (1d) jsou stejné. Z podmínky (4a) přímo plyne a spolu s (3a),(3b),(3c) a dosazením do (4d) získáme (4a) (4b) (4c) (4d) λ = Nγ + r (5) 0 = γ T λ = γ T (Nγ + r) = = γ T (D T M 1 Dγ + 1 Φ + h DT M 1 k) γ T (D T M 1 Dγ + 1 Φ + h DT M 1 (Mv(t) + h.f ext)) = γ T ( 1 Φ + h DT (v(t) + M 1 Dγ + h.m 1 F ext))

41 QP s lineárním omezením Následně užitím (1a) získáme 0 = γ T ( 1 h Φ + DT (v(t) + M 1 Dγ + h.m 1 F ext)) což je podmínka (1c). Nakonec dosazením podmínky (5) do (4c) lze získat což je podmínka (1b). 0 λ = Nγ + r = 1 h Φ + DT v(t + h),

42 Algoritmus Dáno q(0) R 7nb, v(0) R 6nb. Zvol časový krok h > 0 t := 0 dokud t < t max q(t + h) := q(t) + hqv(t) Nalezeni kontakty. Pokud neexistují kontakty, polož γ := 0 Pokud existují kontakty, sestav N, r a vyřeš optimalizační problém v(t + h) := v(t) + M 1 (hf ext + Dγ) t := t + h konec dokud

43 Třetí test Neflákej se a pust další animaci.

44 Tření Uvažujme (opět) kontakt mezi tělesy T A a T B. Označme n R 3 jednotkový normálový vektor kontaktu v globálních souřadnicích, u, w R 3 jednotkové směrové vektory kontaktní roviny v globálních souřadnicích. Očividně {n, u, w} je množina ortonormálních vektorů (a tvoří bázi tečného prostoru). Třecí sílu působící v bodě kontaktu na těleso A pak můžeme vyjádřit jako kde F = F n + F T = γ nn + γ uu + γ w w, F n = γ nn R 3 je normálová složka třecí síly, F T = γ uu + γ w w R 3 je tečná složka třecí síly, γ n > 0 je velikost normálové složky třecí síly F, γ u, γ w R jsou velikosti tečných složek třecí síly F.

45 Tření Vztah mezi jednotlivými složkami třecí síly popisuje například Coulombův model tření. Coulombův model tření γ n 0, Φ(q) 0, Φ(q)γ n = 0, (6a) γ 2 u + γw 2 µγ n, (6b) ( v T µγ n ) γu 2 + γw 2 = 0, (6c) F T, v T = F T. v T. (6d) Objasněme význam jednotlivých rovnic.

46 Tření γ n 0, Φ(q) 0, Φ(q)γ n = 0 podmínka komplementarity gap funkce Φ a velikosti normálové složky γ n normálová složka třecí síly je vždy nezáporná (pokud uvažujeme kontakt, pak těleso A nemůže působit na těleso B silou, která směřuje od tělesa B), hodnota gap funkce je vždy nezáporná (vzdálenost těles A a B je nezáporná), pokud je normálová složka nenulová, pak je nulová vzdálenost těles, pokud je vzdálenost těles nenulová, pak je normálová složka třecí síly nulová, může nastat situace, že vzdálenost těles je nulová i normálová složka třecí síly je nulová (tělesa jsou v klidu v kontaktu).

47 Tření γ 2 u + γ 2 w µγ n rovnice vztahu mezi velikostí normálové složky třecí síly a tečné složky třecí síly, tj. F T µ F N, kde µ 0, 1 je koeficient tření takový, že pokud µ = 1, pak velikost tečné složky třecí síly může být maximálně rovna velikosti normálové síly, pokud µ = 0, pak velikost tečné složky třecí síly je vždy nulová, čili síla působí pouze ve směru normály kontaktu a tedy nedochází ke tření.

48 Tření ( v T µγ n ) γu 2 + γw 2 = 0 podmínka komplementarity mezi velikostí rychlosti pohybu tělesa v tečném směru a dosažení maximální možné velikosti třecí síly vzhledem k omezení předchozí rovnicí pokud nedojde k maximální možné velikosti třecí síly vzhledem k µ, tj. F T < µ F N, pak velikost tečné rychlosti tělesa je nulová. pokud naopak dojde k maximální možné velikosti tečné síly, pak dochází k přesmyku a velikost tečné rychlosti může být jakákoliv.

49 Tření F T, v T = F T. v T podmínka směru třecí síly a tečné rychlosti, konkrétně pro úhel mezi těmito vektory platí cos ϕ = F T, v T = 1, tj. ϕ = π. F T. v T Čili tečná složka třecí síly má opačný směr jako vektor rychlosti přesmyku (kluzná rychlost).

50 Tření Obdobně jako v úloze bez tření F A := γ nn γ uu γ w w = Sγ, F B := γ nn + γ uu + γ w w = Sγ, kde γ := [γ n, γ u, γ w ] T R 3 S := [n, u, w] R 3,3

51 Tření Pak kde M A := C A F A = C A (Sγ) = C A Sγ, M B := C B F B = C B (Sγ) = C B Sγ, F C := F A M A F B M B D := = Sγ C A Sγ Sγ C B Sγ S C A S S C B S. = Dγ,

52 Quadratic Cone Complementarity problem Theorem Řešení optimalizační úlohy kde 1 min γ Ω 2 γt Nγ + r T γ, N := D T M 1 D r := [ 1 h Φ, 0, 0]T + D T M 1 k k := Mv(t) + h.f ext Ω := Ω 1 Ω nc (7a) (7b) (7c) (7d) (7e) Ω i := {[x, y, z] T R 3 : y 2 + z 2 µ i x} (7f) je ekvivalentní s řešením původní úlohy.

53 Quadratic Cone Complementarity problem Důkaz Příště.

54 Otevřené problémy h =? efektivní implementace (GPU) detekce kontaktů domain decomposition (?) QP řešič

55 Děkuji za pozornost Dostál, Z.: Optimal Quadratic Programming Algorithms, with Applications to Variational Inequalities, SOIA, first ed., vol. 23, Springer, US, New York, Heyn T.: On the Modeling, Simulation, and Visualization of Many-Body Dynamics Problems with Friction and Contact. Ph.D. Thesis, online Heyn T., Anitescu M., Tasora A., Negrut D.: Using Krylov Subspace and Spectral Methods for Solving Complementarity Problems in Many-Body Contact Dynamics Simulation. Int. J. Numer. Meth. Engng, Shabana, A.: Computational Dynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York, Third Edition, Haug, E. J.: Computer-Aided Kinematics and Dynamics of Mechanical Systems, Volume-I. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.