je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

Transkript

1 Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet číselé řady). Nechť ( a ) je číselá posloupost. Existuje-li limita s = lim s, kde ( s ) je posloupost částečých součtů řady, azýváme ji součtem této řady a začíme a. Je-li avíc s C, říkáme, že řada a koverguje; je-li s =± či s =, =1 říkáme, že řada podstatě diverguje. Neexistuje-li limita, říkáme, že řada a =1 osciluje. Řady podstatě divergetí a oscilující azýváme souhrě divergetí. Buďte ( a ), ( ) dvě číselé poslouposti. Říkáme, že řady a mají stejý charakter, pokud obě dvě současě podstatě divergují, obě dvě současě oscilují, ebo obě dvě současě kovergují. Příklad (Geometrická řada). Geometrická řada q koverguje právě tehdy, když q <1. Příklad (Harmoická řada ). Řada 1 =1 je podstatě divergetí. Příklad (Řada ( 1 ). Řada ( 1 =1 a ) osciluje. a =1 a =1 k=1 =1 a lim s =1 =1 =0 ) 1 =1 a a =1 =1 Věta (Liearita řad). Buď α R (resp. α C ), echť jsou dáy číselé poslouposti ( a ), ( b ). Pak (α a )=α a a ( a + b ) = a + b za předpokladu, že pravé stray mají =1 =1 =1 =1 =1 smysl.

2 Věta (O součtu komplexí řady). Nechť ( ) je komplexí posloupost. Řada koverguje právě tehdy, když a kovergují reálé řady Re a Im, a pro její součet v takovém případě platí a =1 =1. Věta (O modifikaci koečého počtu čleů řady). Přidáím, vyecháím či změou koečého počtu čleů číselé poslouposti ezměí charakter řady. 1. Sčítáí řad Příklad (Součet řady ). Dokažme, že =1 = Re +i Im a =1 a =1 1 2 =1 a a =1 a 1 a =1 π 2 =. 2 6 =1 ( a ) se 2. Uzávorkováí řad Defiice (Uzávorkováí řady). Nechť ( a ) je číselá posloupost, echť ( ) je ostře rostoucí posloupost přirozeých čísel. Položme =,, atd. Pak říkáme, že řada vzikla uzávorkováím řady a (pomocí ( ) ). Věta (O uzávorkováí řady). Je-li řada kovergetí ebo podstatě divergetí, každá řada z í vziklá uzávorkováím má stejý charakter a stejý součet. Věta (O uzávorkováí řady s omezeým počtem sčítaců v závorce). Nechť ( ) je číselá posloupost, echť řada vzikla uzávorkováím řady a pomocí ( k ). Nechť lim a =0a echť existuje m N tak, že pro všecha platí k +1 k m. Pak řady a a b mají stejý charakter a v případě kovergece i stejý součet. b 1 a =1 k k 1 k 2 aj b 2 = aj b j=1 j = +1 =1 =1 =1 k 1 =1 k b a =1 =1

3 3. Kovergece řad Věta (Nutá podmíka kovergece řady). a a =0 =1 Nechť řada koverguje. Pak lim. Věta (Bolzao-Cauchyova podmíka pro kovergeci řady). a Řada koverguje platí =1 +p ( ε > 0)( 0 )( > 0,p N) < ε. a k k=+1 (1) Věta (O absolutí kovergeci řady). Koverguje-li řada, pak koverguje i řada a pro jejich součty platí erovost Defiice (Absolutí kovergece řady). Koverguje-li řada, říkáme, že řada koverguje absolutě. Koverguje-li řada a a diverguje-li řada a, říkáme, že řada a koverguje eabsolutě. = Řady s kladými čley a a =1 =1 a a. =1 Věta (Srovávací kritérium pro číselé řady (elimití tvar)). Nechť pro všecha N je 0 a b. Pak platí: 1. Koverguje-li řada b, koverguje také řada a. 2. Diverguje-li řada, diverguje také řada. Pozámka. Je zřejmé, že podmíku ( N)(0 a b ) v předpokladu lze zaměit slabší podmíkou ( 0 )( > 0 )(0 a b ) a tvrzeí zůstae v platosti. Podobě je tomu i u dalších kritérií. =1 a a =1 =1 =1 =1 =1 =1 a b =1 =1

4 Věta (Srovávací kritérium pro číselé řady (limití tvar)). a Nechť pro všecha N platí 0a b 0. Nechť existuje limita c = lim. Pak platí: 1. Je-li c R a koverguje, pak i koverguje. 2. Je-li c >0a diverguje, pak i diverguje. Věta (Odmociové (Cauchyovo) kritérium). Nechť pro všecha platí a 0. Pak platí: 1. a) Existuje-li číslo q 0, 1) tak, že ( N)( q), pak a koverguje. b) Platí-li pro ekoečě moho idexů vztah 1, řada diverguje. 2. a) Platí-li lim <1, řada koverguje. a b) Platí-li lim >1, řada diverguje. a Lemma (Srováí podílů po sobě ásledujících čleů). a +1 b +1 Nechť ( a ), ( b ) jsou poslouposti kladých čísel a pro všecha platí. a b Pak: 1. Koverguje-li řada, koverguje také řada. 2. Diverguje-li řada, diverguje také řada. Věta (Podílové (d'alembertovo) kritérium). Nechť pro všecha platí >0. Pak: Existuje-li číslo q (0, 1) tak, že pro všecha N je 1. a) a q, řada koverguje. b) Pokud pro všecha N platí 1, řada diverguje. 2. a) Je-li lim <1, řada koverguje. b) Je-li lim >1, řada diverguje. a +1 a a +1 a a a b a =1 =1 b a =1 =1 a =1 a =1 a =1 a =1 a a =1 a =1 b a =1 =1 a b =1 =1 a +1 a a =1 a +1 b a =1

5 Věta (Itegrálí kritérium). Nechť f je ezáporá klesající fukce v 1, ). Pak platí: f() koverguje právě tehdy, když koverguje zobecěý Riemaův itegrál f. 1 =1 1 Příklad (Řada ). =1 α Vyšetřeme kovergeci řady 1, kde α R. α =1 Příklad (Řada ). Řada diverguje. Věta (Raabeovo kritérium). Nechť pro všecha platí >0. Pak platí: 1. a) Existuje-li číslo r >1tak, že pro všecha N je (1 ) r, pak koverguje. b) Je-li pro všecha splěa podmíka (1 ) 1, pak řada diverguje. 2. a) Pokud lim (1 ) >1, řada koverguje. Pak: 1 l =2 1 l =2 a a +1 a a =1 a a +1 a b) Pokud lim (1 ) <1, řada diverguje. a +1 a =1 a +1 a 1. Je-li λ <1 (λ =1 μ >1), řada koverguje. 2. Je-li λ >1 (λ =1 μ 1), řada diverguje. a =1 a =1 Věta (Gaussovo kritérium). Nechť pro všecha platí a >0. Nechť existují kostaty λ R, μ R, α R + a omezeá číselá posloupost ( c ) tak, že pro všecha platí a +1 μ c = λ. a 1+α a =1 a = Řady se střídavými zaméky

6 Defiice (Řada se střídavými zaméky). Buď ( a ) reálá posloupost, echť platí ( N)( < 0). Pak říkáme, že je řada se střídavými zaméky. Pozámka. Efektivě to zameá, že řada se střídavými zaméky má tvar buď ( 1) 1 b, ebo ( 1) b, kde >0. =1 b Věta (Leibizovo kritérium pro řady se střídavými zaméky). Nechť ( b ) je klesající posloupost kladých čísel. Pak řada ( 1) 1 b koverguje právě tehdy, když lim b =0. Věta (Modifikovaé Raabeovo kritérium). Nechť pro všecha platí >0. Pak: b Existuje-li δ >0tak, že pro všecha N je (1 b ) δ, pak řada 1. a) ( 1) b koverguje. =1 b) Je-li pro všecha N výraz (1 ) 0, řada ( 1) 1 b diverguje. b a +1 a b 2. a) Je-li lim (1 +1 ) >0, řada ( 1) 1 b koverguje. b b b) Je-li lim (1 +1 ) <0, řada ( 1) 1 b diverguje. b b +1 =1 =1 =1 b +1 =1 =1 a =1 Věta (Modifikovaé Gaussovo kritérium). Nechť pro všecha platí b >0, echť existují kostaty λ R, μ R, α R + a omezeá posloupost ( ) tak, že pro všecha platí c b +1 b μ c = λ. 1+α Pak: 1. Je-li λ <1 (λ =1 μ >1), řada ( 1) 1 b koverguje absolutě. =1 2. Je-li λ =1 (0<μ 1), řada ( 1) 1 b koverguje eabsolutě. 3. Je-li λ >1 (λ =1 μ 0), řada ( 1) 1 b diverguje. =1 = Řady s obecými čley

7 Věta (Dirichletovo kritérium pro kovergeci řad). Nechť řada a má omezeou posloupost částečých součtů. Nechť ( ) je mootóí =1 posloupost a lim =0. Pak koverguje. b Věta (Abelovo kritérium pro kovergeci řad). Nechť řada a koverguje. Nechť ( ) je mootóí omezeá posloupost. Pak řada a b =1 =1 koverguje. a b =1 b b Příklad (Řada ). Podle Dirichletova kritéria řada koverguje, eboť ( ) je mootóí posloupost s ulovou limitou a řada součtů. 4. Přerováí řad Defiice (Přerováí řady). má omezeou posloupost částečých Buď ( a ) číselá posloupost, φ : N N bijekce. Říkáme, že řada vzikla z řady a =1 přerováím. si =1 si Věta (O absolutě kovergetí přerovaé řadě). Nechť absolutě koverguje. Pak každá řada vziklá z řady přerováím je také absolutě kovergetí a má stejý součet. =1 si =1 Věta (O přerováí eabsolutě kovergetí reálé řady). Buď eabsolutě kovergetí reálá řada. Nechť s R. Pak existuje přerováí řady takové, že jeho součet je. Existuje také přerováí řady, které osciluje. 1 =1 aφ() a ak a =1 =1 =1 =1 a s =1 =1 5. Souči řad

8 Defiitio (Souči řad). Nechť (a ) =1, (b ) =1 jsou číselé poslouposti, echť φ : N 2 N je bijekce. Ozačme i = φ 1 () 1, j = φ 1 () 2, c = a i b j pro všecha N. Říkáme, že řada c je součiem řad a. Věta (O součiu absolutě kovergetích řad). Nechť a jsou absolutě kovergetí řady. Pak jejich souči je absolutě kovergetí a má součet ( ) ( ). Defiice (Součiová řada). Nechť (a ) =0, (b ) =0 jsou číselé poslouposti, echť C = ak b k. Pak říkáme, že je součiová řada řad a. Věta (O součiu absolutě kovergetí a kovergetí řady). Nechť koverguje absolutě a koverguje. Pak součiová řada těchto dvou řad koverguje k číslu ( ) ( ). Příklad. a b =1 =1 a b c =1 =1 =1 a b =1 C a b =0 =0 =0 a b =0 =0 a b =0 =0 a b =0 =0 Ukažme, že pokud řady, kovergují, součiová řada emusí kovergovat. =1 k=0 =1