α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm

Transkript

1 Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A x =... kn A y =... kn A M =... knm Rozklad síly F Sílu F rozložíme pomocí ostrého úhlu, který označíme jako β. β = α 180 o = 30 o F x = F cosα = 10 cos 30 o = 8, 66 kn (1) F y = F sinα = 10 cos 10 o = 5, 0 kn () Náhradní břemeno Q Náhradní břemeno Q je rovno ploše dané velikostí spojitého zatížení q a jeho délce (v našem případě q (a; b)). Q = q ab = 3 = 6, 0 kn (3) Poloha náhradního břemena Q leží vždy v těžišti spojitého zatížení (v našem případě rovnoměrného spojitého zatížení v polovině vzdálenosti mezi body a a b). Nyní máme vše potřebné pro výpočet složek reakcí. Složky reakcí a podmínky rovnováhy Vnější vazby zamezují v pohybu (posuvům, rotacím) konstrukce, odebírají stupně volnosti. Ve vnějších vazbách (podporách) vznikají reakce, které zajišt ují rovnováhu se zatížením. Vzniká tedy rovnovážná soustava, pro kterou lze sestavit podmínky rovnováhy: 1

2 Silová podmínka rovnováhy ve směru x F x = 0 Silová podmínka rovnováhy ve směru y F y = 0 Momentové podmínky rovnováhy je výhodné položit k bodům podepření, dojde ke snížení členů v rovnici Momentová podmínka rovnováhy k bodu A M A i = 0 Momentová podmínka rovnováhy k bodu B M B i = 0 Výpočet složek reakcí U konzoly je výhodné použít silové podmínky rovnováhy ve směru x a y a některou momentovou podmínku rovnováhy k bodu A, pro kontrolu využijeme momentovou podmínku k bodu B. Silová podmínka ve směru x, uvažovaný kladný směr + Fx = 0 : A x + F x = 0 A x = F x = 8, 66 kn (4) Silová podmínka ve směru y, uvažovaný kladný směr + Fy = 0 : A y Q + F y = 0 A y = Q F y = 6 5 = 1 kn (5) Momentová podmínka rovnováhy k bodu A, kladný smysl otáčení zvolíme M + M A i = 0 : A M + M Q (3, 5) + F y (7, 5) = 0 (6) A M = M + Q (3, 5) F y (7, 5) = ( 5) + 6 3, 5 5 7, 5 = 11, 5 knm Kontrolní momentová podmínka rovnováhy k bodu B, kladný smysl otáčení zvolíme M + M B i = 0 : A M + A y L M Q (6, 5) + F y (, 5) = 0 (7) ( 11, 5) ( 5) 6 6, 5 + 5, 5 = 0 0 = 0 Nyní známe všechny složky reakcí, které jsou v rovnováze s působícím zatížením. Než přejdeme k vykreslední složek vnitřních sil, připomínám kladnou konvenci složek vnitřních sil (obrázek 1) a tvar průběhu vnitřních sil, který plyne z derivačně-integračního schématu. Průběhy vnitřních sil Ve většině případů budeme postupovat zleva, za kladné uvažujeme vnitřní síly dle levé části obrázku 1a.

3 L P N x V x M x + dx V x N x integrace q V M konst. lineární konst. lineární parab.p lineární parab.p parab.p3 derivace a) b) Obrázek 1: a) Kladný smysl vnitřních sil pro levou i pravou část nosníku. b) Tvar průběhu vnitřních sil - derivačně integrační schéma. Normálové síly N x V bodě 0 působí reakce A x v opačném smyslu než uvažovaný kladný směr (způsobuje tlak v nosníku). Pak: N x,0 = A x = ( 8, 66) = 8, 66 kn (8) Postupujeme-li zleva narazíme na další sílu působící ve směru osy nosníku (osy x) až v bodě d. Po bod d zůstává normálová síla N x konstantní a rovna N x,0. V bodě d dojde vlivem F x ke změně v průběhu normálové síly. Síla F x působí v opačném směru jako je kladná konvence normálové síly při postupu zleva N x,d = A x + F x = ( 8, 66) 8, 66 = 0, 0 kn (9) Na zbylé části nosníku již žádná síla ve směru x nepůsobí, průběh normálových sil se tedy nezmění. 8,66 Obrázek : Průběh normálových sil. 3

4 Posouvající síly V x V bodě 0 působí reakce A y v shodném smyslu jako uvažovaný kladný směr. Pak: V x,0 = A y = 1, 0 kn (10) Postupujeme-li zleva narazíme na další sílu působící ve směru osy y až v bodě a. Po bod a zůstává posouvající síla V x konstantní a rovna V x,0. Od bodu a po bod b působí spojité zatížení o intenzitě kn/m. Je-li spojité zatížení konstantní bude průběh posouvající síly V x v tomto úseku lineární a bude klesat s intezitou q až do bodu b. V bodě b je tedy posouvající síla rovna V x,b = A y q ab = 1 3 = 5 kn (11) Od bodu b pod bod d zůstává posouvající síla opět konstantní a rovna V x,b. V bodě d začne půsbit y-složka síly F, dojde ke skoku v průběhu posouvající síly. V x,d = A y q ab + F y = 1, = 0, 0 kn (1) Postupujeme-li dále po nosníku nenarazíme na další sílu ve směru y, síla zůstává konstantní o velikosti 0,0. 1,0 0,0-5,0 Obrázek 3: Průběh posouvajících sil. Ohybový moment M x Postupujeme-li zleva uvažujeme za kladný smysl otáčení účinky působící ve směru hodinových ručiček. V bodě 0 působí reakce A y v shodném smyslu jako uvažovaný kladný směr, ale na nulovém rameni r a také reakce A M působící v záporném smyslu. Pak: M x,0 = A y 0 A M = ( 11, 5) = 11, 5 knm (13) Další bod, ve kterém určíme velikost momentu, bude bod c, v němž působí osamělý moment M. Nejprve určíme hodnotu těsně vlevo před bodem c. Mezi body A a c nepůsobí spojité zatížení, průběh ohybových momentů bude lineární (dle derivačně-integračního schématu). M L x,c = A y 0c A M = 1, 0 1 ( 11, 5) = 1, 5 knm (14) V bodě c nastane skok vlivem osamoceného momentu M, jehož účinek je záporný. 4

5 M P x,c = A y 0c A M M = 1, 0 1 ( 11, 5) ( 5) = 17, 5 knm (15) Další bodem ve výpočtu bude bod a, v něm určíme moment následujícím způsobem M x,a = A y 0a A M M = 1, 0 ( 11, 5) ( 5) = 18, 5 knm. (16) Pokračujeme bodem b. Mezi body ab působí spojité zatížení průběh momentů bude parabola o. M x,b = A y 0b A M M Q ab = 1, 0 5 ( 11, 5) ( 5) 6 1, 5 = 1, 5 knm. (17) Moment k bodu d si určíme postupem z levé i z pravé strany nosníku. Mx,d L = A y 0d A M M q ab ( 0d a + b ) = 1, 0 7, 5 ( 11, 5) ( 5) 3 4 = 0, 0 knm. (18) Z pravé strany nosníku nepůsobí žádné zatížení, síla v bodě b je rovna 0. M P x,d = F y 0 = 5, 0 0 = 0, 0 knm. (19) Mezi body b a B je průběh ohybového momentu konstantní a je roven 0,0. Lokální maximum ohybového momentu se nachází v tzv. místě přechodového průřezu, tj. místo, v němž je posouvající síla rovna 0. Toto místo označme jako X. Polohu X určíme z následující rovnice V x,a X a q dx = 0, (0) integrál X q dx je plocha spojitého zatížení mezi body a a X X q dx = q ax. Pak lze a a v tomto případně jednoduše určit vzdálenost ax jako: ax = V x,a q = 1 = 0, 5 m. (1) V tomto místě bude maximální ohybový moment, který vyjádříme například zleva takto: M x,x = A y 0X A M M q ax ax = 1, 0 (+0, 5) ( 11, 5) ( 5) 0, 5 0, 5 = 18, 75 knm. () 5

6 0,0 11,5 1,5 1,5 17,5 18,75 Obrázek 4: Průběh ohybových momentů. Shrnutí Doufám, že vám následující příklad pomůže zvládnout bez problémů 1. kontrolní test, který vás čeká v 5. týdnu výuky. 6