Cvičebnice stavební mechaniky

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Cvičebnice stavební mechaniky"

Transkript

1 Cvičebnice stavební mechaniky Ing. Karla Labudová. vydání Tato příručka vznikla za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky.

2 Obsah Síly působící v jednom paprsku 7. Dvě síly o společném působišti a stejném směru Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu Centrické síly 9. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) Obecná soustava sil v rovině Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Rovnováha obecné soustavy sil v rovině Rozklad síly do dvou rovnoběžných směrů Těžiště ploch rovinných obrazců a statické veličiny průřezu 95 5 Statika tuhé desky Rovnováha tuhé desky Podepření tuhé desky Zatížení stavebních konstrukcí Výpočet reakcí staticky určitých nosníků Prostý nosník Prostý nosník s převislým koncem Konzola Šikmý nosník Lomený nosník Klíče k příkladům k procvičení 49

3

4 Předmluva Vážené žákyně, vážení žáci, cílem této cvičebnice je dát vám možnost procvičit si učivo, které jste již ve škole probrali, doma a to formou jednoduchých příkladů. V úvodu každé kapitoly je jen velmi stručně shrnuto to nejdůležitější z již probraného učiva. Najdete zde to, co pokládám za nutné stručně zopakovat či sjednotit (například značení veličin apod.) U každé kapitolky je uveden vzorový příklad, jak je dané téma možné řešit a za každou kapitolkou najdete sadu cvičení, které bych byla ráda, abyste si vyzkoušeli doma. V případě, že si s některým cvičením nebudete vědět rady, připojila jsem také klíč k řešení všech těchto cvičení, který najdete úplně vzadu této cvičebnice. Doufám, že vám tato cvičebnice pomůže poprat se s problémy, se kterými se možná potýkáte a otevře cestu k lepšímu chápání stavební mechaniky jako jednoho z oborů, bez kterého by se stavebnictví neobešlo. Stavební mechanika je nádherný vědní obor, poznejte to sami. Ing. Karla Labudová autorka cvičebnice 3

5

6 Statika v rovině V hodinách stavební mechaniky jste se dozvěděli základní informace o silách. Víte, jaké jsou druhy sil, jak se skládají, resp. rozkládají. Víte také, že statika používá k tomuto účel dva způsoby řešení početní (přesný a rychlý způsob) nebo grafický (pracnější jeho přesnost závisí na vaši pečlivosti ale názorný). Víte také, že síla je určena: působištěm - bodovým, plošným nebo prostorovým, směrem - ten je dán paprskem a smyslem velikostí - v jednotkách N nebo kn (např. 70 kn). a F = 50 kn paprsek smysl působiště 5

7

8 Síly působící v jednom paprsku V úvodu se domluvme, že síly budeme značit F s dolním indexem,, 3,..., i (např. F,, F 3,..., F i a jejich výslednici budeme značit R.. Dvě síly o společném působišti a stejném směru Při skládání dvou sil o společném působišti a stejném směru má výslednice těchto sil vždy stejný směr jako síly, jejichž je výslednicí, a její velikost je rovna součtu těchto sil. Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti a stejném směru o velikosti F = 500 N a = 700 N. Zadání F = 500 N = 700 N a) početní řešení R = F + = = 00 N R = 00 N b) grafické řešení (vždy zvolte vhodné měřítko, v tomto případě cm = 00 N) F = 500 N = 700 N R = 00 N 7

9 Síly působící v jednom paprsku Příklady k procvičení..a F = 500 N a = 300 N F = 500 N = 300 N..B F = 00 N a = 800 N = 800 N F = 00 N..C F = 0 kn a = 30 kn F = 0 kn = 30 kn..d F = 40 kn a = 60 kn F = 40 kn = 60 kn..e F = 600 N a = 00 N F = 600 N = 00 N 8

10 . Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu Při skládání dvou sil o společném působišti, stejném paprsku, ale opačného smyslu má výslednice těchto sil vždy stejný paprsek jako obě síly. Smysl má shodný se silou, která je větší. Velikost výslednice je pak rovna také součtu těchto sil, ovšem pozor, zde je už nutné dohodnout pravidla pro kladná a záporná znaménka sil. Dohodněme se, že všechny síly, které mají směr ve smyslu kladné osy x (tj. I. a IV. kvadrant) budou mít kladné znaménko a naopak všechny síly ve smyslu záporné osy x (tj. II. a III. kvadrant) budou mít záporné znaménko. +y II. kvadrant - I. kvadrant + -x +x - III. kvadrant -y + IV. kvadrant Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 300 N a = 500 N. Zadání = 500 N F = 300 N a) početní řešení R = F + = = 00 N 9

11 Síly působící v jednom paprsku R = 00 N b) grafické řešení ʹ = Rʹ R = 00 N = R = 500 N F = 300 N ʹ = Příklad.. Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 700 N a = 400 N. Zadání: 30 F = 700 N = 400 N a) početní řešení R = F + = = 300 N 30 R = 300 N 0

12 . Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu b) grafické řešení = R F = 700 N ʹ = Rʹ 30 = 400 N R = 300 N Příklad..3 ʹ = Určete výslednici dvou sil o společném působišti, stejného paprsku, ale opačného smyslu o velikosti F = 50 kn a = 30 kn. F = 30 kn = 50 kn a) početní řešení R = F + = = 0 kn R = 0 kn

13 Síly působící v jednom paprsku b) grafické řešení ʹ = F = 30 kn = R R = 0 kn = 50 kn ʹ = Rʹ Příklady k procvičení..a F = 0 kn a = 50 kn = 0 kn 30 F = 50 kn..b F = 80 kn a = 90 kn F = 80 kn 0 = 90 kn

14 F = 700 N. Dvě síly o společném působišti v téže přímce opačného smyslu..c F = 600 N a = 00 N = 00 N F = 600 N..D F = 700 N a = 50 N 60 = 50 N..E F = 0 kn a = 70 kn F = 0 kn = 70 kn 00 3

15 Síly působící v jednom paprsku.3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu Při skládání více sil ve stejném paprsku platí tytéž zásady jako u dvou sil ve stejném paprsku, ale různého smyslu. Je opět nutné dodržovat znaménkovou konvenci. V grafickém řešení opět využívám k získání výslednice tzv. složkové čáry, kterou jsme již lehce naznačili v minulé kapitole. Složkovou čáru sestrojíme tak, že vynášíme v určitém pořadí a zvoleném směru jednotlivé síly. Výslednice je pak spojnicí počátku a konce složkové čáry. Pokud je složková čára uzavřena, znamená to, že výslednice je rovna nule. Počátek síly se označuje jejím číselným indexem (,, 3,...), konce síly indexem s čarou (,, 3,...). Příklad.3. Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 0 kn, = 30 kn, F 3 = 50 kn a F 4 = 70 kn. F 4 = 70 kn F = 0 kn = 30 kn F 3 = 50 kn a) početní řešení 4 R = F i = F + + F 3 + F 4 i= R = = 30 kn R = 30 kn b) grafické řešení = R F = 0 kn ʹ = = 30 kn ʹ = 3 F 3 = 50 kn 3ʹ = 4 4ʹ = Rʹ R = 30 kn F 4 = 70 kn Příklad.3. Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 60 kn, = 30 kn, F 3 = 40 kn, F 4 = 80 kn a F 5 = 0 kn. 4

16 .3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu F 3 = 40 kn = 30 kn 5 F 5 = 0 kn F = 60 kn F 4 = 80 kn a) početní řešení 5 R = F i = F + + F 3 + F 4 + F 5 i= R = = 80 kn 5 R = 80 kn b) grafické řešení 3ʹ = 4 = R F3 F 5 5 ʹ = 3 R = 80 kn F ʹ = F 4 4ʹ = 5 5ʹ = Rʹ 5

17 Síly působící v jednom paprsku Příklad.3.3 Určete výslednici sil působících v téže přímce, kde F = 0 kn, = 60 kn a F 3 = 40 kn. = 60 kn 30 F = 0 kn F 3 = 40 kn a) početní řešení 3 R = F i = F + + F 3 i= R = = 0 kn R = 0 kn b) graficky = R F 3 30 ʹ = 3 ʹ = F 3ʹ = Rʹ R = 0 kn 6

18 .3 Skládání více sil působících v téže přímce se společným působištěm různého smyslu Příklady k procvičení.3.a F = 0 kn, = 50 kn a F 3 = 30 kn F = 0 kn = 50 kn F3 = 30 kn.3.b F = 00 N, = 600 N, F 3 = 700 N a F 4 = 500 N F = 600 N F = 00 N 30 F4 = 500 N F3 = 700 N 7

19 = kn Síly působící v jednom paprsku.3.c F = 80 kn, = 00 kn, F 3 = 90 kn, F 4 = 0 kn a F 5 = 5 kn F 3 = 90 kn F 5 = 5 kn F 4 = 0 kn F = 80 kn = 00 kn.3.d F = 8 kn, = 34 kn, F 3 = 40 kn a F 4 = 9 kn F = 8 kn = 34 kn F 3 = 40 kn 35 F 4 = 9 kn.3.e F = 4 kn, = kn, F 3 = 56 kn, F 4 = 66 kn a F 5 = 4 kn F 3 = 56 kn F 5 = 4 kn F 4 = 66 kn F = 4 kn 60 8

20 Centrické síly. Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Jestliže působí na těleso dvě síly různých směrů, pak se účinek těchto sil na tělese projeví výslednicí R, jejíž velikost a směr jsou určeny úhlopříčkou rovnoběžníku jehož strany tvoří síly F a. Dvě síly, jejíž výslednici zjišťujeme, jsou opět zadávány ve vztahu k jednotkové kružnici a to tak, že průsečík os x a y je společným působištěm těchto sil a úhly α a α, kterými jsou zadávány směry sil, jsou vždy úhly vztahující se od kladné osy x a jsou vedeny proti směru hodinových ručiček. Např. y F α α x Jako vždy i zde lze síly skládat základními dvěma způsoby početně nebo graficky. A) početní řešení A) pomocí Cosinové věty, kde velikost výslednice získáváme pomocí vztahu: R = + F cos(π ϕ), kde ϕ je menší z úhlů, které svírají síly mezi sebou a π rad = 80. 9

21 Centrické síly např. F φ F φ Toto řešení je rychlé a přesné, ale bez náčrtku nelze určit úhel výslednice. A) pomocí rozkladu sil na složky x a y a následného složení těchto dílčích složek do výslednice. Zde je nutné si uvědomit, že každou sílu si mohu rozložit na dvě její části. Praktické je využívat k tomuto rozkladu do os x a y. Například síla F : y F F y = sinα α F x = cosα x Zároveň platí, že výslednicí sil F x a F y je síla F (z rovnoběžníku sil). Tzn., že pokud známe složky F x a F y, můžeme zpětně určit sílu F. y y F F F y F y α x α x F x F x 0

22 . Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Lze využít Pythagorovy věty i goniometrických funkcí: = Fx + Fy F = Fx + Fy tan α = F y F x B) grafické řešení B) rovnoběžník sil y F α α R R x α B) složková čára princip již známe z předchozí kapitoly. Je nutné striktně dodržovat nejen velikosti, ale i zadané směry sil.

23 Centrické síly y F α x α y α ʹ = F α R α R ʹ = Rʹ x = R Příklad.. Určete výslednici těchto sil: F = 700 N, α = 30, = 400 N, α = 5 y = 400 N F = 700 N α = 5 α = 30 x

24 . Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Početní řešení: a) Cosinova věta R = + F cos(π ϕ) R = cos(80 95 ) = 775, 37 N y φ = 95 F 5 30 x b) rozkladem sil y F y y F 5 30 x x F x F x = F cos 30 = 700 cos 30 = 606, N F y = F sin 30 = 700 sin 30 = 350 N x = cos 55 = 400 cos 55 = 9, 43 N y = sin 55 = 400 sin 55 = 37, 66 N R x = F x + x = 606, 9, 43 = 376, 79 N R y = F y + y = , 66 = 677, 66 N 3

25 Centrické síly R = R x + R y = 376, , 66 = 775, 37 N tan α R = R y 677, 66 = =, 7985 R x 376, 79 α R = 60, 93 y R y = 677,66 N R = 775,37 N F α R = 60,93 x R x = 677,66 N 4

26 . Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) Grafické řešení a) rovnoběžník sil y R = 775,37 N F 5 α R = 60,93 30 x b) složkovou čarou ʹ = Rʹ R 5 F ʹ = α R 30 = R 5

27 Centrické síly Příklad.. F = 5 kn, α = 0, = 80 kn, α = 330 y F = 5 kn α = 0 x α = 330 = 80 kn Početní řešení: a) Cosinova věta R = + F cos(π ϕ) R = cos(80 40 ) = 6, 94 kn y φ = 40 F 0 x 330 6

28 . Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) b) rozkladem y F F y 0 F x x x 330 y F x = F cos 70 = 5 cos 70 = 8, 55 kn F y = F sin 70 = 5 sin 70 = 30, 49 kn x = cos 30 = 80 cos 30 = 69, 8 kn y = sin 30 = 80 sin 30 = 40 kn R x = F x + x = 8, , 8 = 60, 73 kn R y = F y + y = 3, = 6, 508 kn R = Rx + Ry = 60, 73 + ( 6, 508) = 6, 94 kn tan α R = R y 6, 508 = = 0, 78 R x 60, 73 α R = 5, 7

29 Centrické síly y F R x = 60,73 kn x R y = 6,508 kn R α R = 5, Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y F 0 x 330 α R R = 6,94 kn 8

30 . Dvě síly různých směrů o společném působišti (dvě centrické síly) b) složkovou čarou ʹ = 330 F 0 = R R α R ʹ = Rʹ Příklady k procvičení..a F = 60 N, α = 40, = 580 N, α = 330 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N 9

31 Centrické síly..b F = 450 N, α = 45, = 500 N, α = 30 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N..C F = 500 N, α = 70, = 300 N, α = 0 y F = 60 N α = 330 α = 40 x = 580 N 30

32 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil). Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) Pro určení výslednice takové soustavy sil lze použít stejná pravidla jako u dvou centrických sil. Lze použít obě grafické metody pro určení výslednice soustavy sil, ale z početních metod využíváme princip rozkladu sil, protože využití Cosinovy věty je příliš pracné. Pro početní řešení tedy platí, že vodorovná složka výslednice R x je součtem všech vodorovných složek jednotlivých sil F ix. Analogicky platí, že svislá složka výslednice R y je součtem všech svislých složek jednotlivých sil F iy. R x = R y = n F ix = F x + x + + F nx = F cos α + cos α + + F n cos α n i= n F iy = F y + y + + F ny = F sin α + sin α + + F n sin α n i= Přičemž respektujeme při dosazování zadané úhly od osy x, abychom správně určili výslednou orientaci složek R x a R y. Pro konečnou hodnotu výslednice se nic nemění, platí: R = R x + R y Také pro výsledný úhel, který svírá výslednice s osou x, lze opět využít goniometrické funkce, např. nebo tanα R = R y R x apod. sin α R = R y R U grafické metody pomocí rovnoběžníku sil pracujeme postupně. Nejprve uděláme výslednici sil F a a pomocí rovnoběžníku určíme jejich výslednici R. Potom určíme výslednici sil R a F 3 a dostaneme výslednici R 3. Dále najdeme výslednici síly R 3 a F 4. A tak pokračujeme dále. Poslední výslednici celé soustavy sil označíme R. U grafické metody pomocí složkové čáry platí vše, co jsme si již řekli. Znovu upozorňuji, že je nutné dodržovat přesně nejen velikost, ale i směr síly. 3

33 Centrické síly Příklad.. F = 300 N, α = 40, = 650 N, α = 0, F 3 = 70 N, α 3 = 00, F 4 = 60 N, α 4 = 30. Početní řešení: 4 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 + F 4 cos α 4 i= R x = 300 cos cos cos cos 30 R x = 96, 495 N 4 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 + F 4 sin α 4 i= R y = 300 sin sin sin sin 30 R y = 947, 38 N 3

34 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) y R y = 947,38 N R = 38,04 N α R = 45,95 R x = 96,495 N x R = R x + R y R = 96, , 38 = 38, 04 N tan α R = R y R x tan α R = 947, 38 96, 495 α R = 45, 95 =,

35 Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y F 3 R,,3 R = 38,04 N 00 α R R, 30 F 40 0 x F 4 34

36 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 30 3ʹ = 4 F 4 4ʹ = Rʹ F 3 00 R ʹ = 3 0 ʹ = α R F 40 = R 35

37 Centrické síly Příklad.. F = 5 kn, α = 30, = 6 kn, α = 00, F 3 = 8 kn, α 3 = 80 y F = 6 kn α = 00 F = 5 kn α = 30 x α 3 = 80 F3 = 8 kn Početní řešení: 3 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 i= R x = 5 cos cos cos 80 R x = 4, 677 kn 36

38 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) 3 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 i= R y = 5 sin sin sin 80 R y = 0, 53 kn R y = 0,53 kn y R = 4,707 kn α R = 6,465 x R x = 4,677 kn R = R x + R y R = 4, , 53 = 4, 707 kn tan α R = R y R x tan α R = 0, 53 = 0, 33 4, 677 α R = 6,

39 Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y R, 00 F α R R = 4,707 kn x F 3 38

40 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 80 ʹ = 3 00 ʹ = F 30 F 3 = R R = 4,707 kn 3ʹ = Rʹ α R = 6,465 39

41 Centrické síly Příklad..3 F = 50 N, α = 5, = 30 N, α = 80, F 3 = 740 N, α 3 = 40, F 4 = 70 N, α 4 = 90. y F3 = 740 N α 3 = 40 = 30 N α = 80 F = 50 N α = 5 x α 4 = 90 F4 = 70 N Početní řešení: 4 R x = F ix = F cos α + cos α + F 3 cos α 3 + F 4 cos α 4 i= R x = 50 cos cos cos cos 90 R x = 43, 63 N 40

42 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) 4 R y = F iy = F sin α + sin α + F 3 sin α 3 + F 4 sin α 4 i= R y = 50sin5 + 30sin sin sin90 R y = 9, 46 N y R α R = 78,75 R x = 43,63 N R y = 9,46 N x R = R = Rx + Ry ( 43, 63) + 9, 46 = 3, 7 N tan α R = R y R x tan α R = 9, 46 43, 63 α R = 78, 75 = 5, 09 4

43 Centrické síly Grafické řešení: a) rovnoběžník sil y R,,3 R = 9,46 N F 3 R, α R F 5 x 90 F 4 4

44 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil) b) složková čára 90 3ʹ = 4 F 3 F 4 40 ʹ = 3 4ʹ = Rʹ R = 9,46 N 80 α R = 78,75 F 5 ʹ = = R 43

45 Centrické síly Příklady k procvičení..a F = 5 kn, α = 45, = 4 kn, α = 00, F 3 = 6 kn, α 3 = 0. y F = 4 kn α = 00 F = 5 kn α 3 = 0 α = 45 x F 3 = 6 kn..b F = 860 N, α = 5, = 430 N, α = 50 F 3 = 80 N, α 3 = 90, F = 380 N, α 4 = 95. α 3 = 90 y = 430 N α = 50 F = 860 N α = 5 x F 3 = 80 N α 4 = 95 F4 = 380 N 44

46 . Více sil o společném působišti různých směrů (více centrických sil)..c F = 0 kn, α = 00, = 7 kn, α = 40, F 3 = 9 kn, α 3 = 300, F 4 = kn, α 4 = 70, F 5 = 5 kn, α = 30. y F = 0 kn F 5 = 5 kn α = 00 α 5 = 30 α 4 = 70 α = 40 = 7 kn x F3 = 9 kn α 3 = 300 F 4 = kn 45

47

48 3 Obecná soustava sil v rovině 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Opět máme na výběr dva způsoby řešení početně nebo graficky. Početní řešení U každé soustavy sil v rovině musíme mít na paměti platnost: a) podmínek rovnováhy n M i = i= { n n i= F i = 0 F ix = 0 n i= F iy = 0 i= n F i p i = 0 i= kde F... síla v obecné poloze, F x... vodorovná složka síly F (působící v ose x), F y... vodorovná složka síly F (působící v ose y), y F x x F y M... statický moment síly, p... rameno, na kterém se síla otáčí (nejkratší, tj. kolmá, vzdálenost od zvoleného momentového středu). b) Varignonovy věty, která říká: algebraický součet statických momentů všech sil obecné soustavy sil v rovině k libovolně zvolenému momentovému středu je roven statickému momentu výslednice této soustavy sil k témuž bodu 47

49 3 Obecná soustava sil v rovině + n M i = M R i= n F i p i = Rp R i= a zároveň platí R = n i= F i { R x = n i= F ix R y = n i= F iy kde M R... statický moment výslednice ke zvolenému momentovému středu, R... výslednice soustavy sil, p R... rameno, na kterém výslednice působí ke zvolenému momentovému středu, R x... vodorovná složka výslednice R a R y... vodorovná složka výslednice R. Grafické řešení Využíváme složkovou čáru, pomocí které sestrojujeme výslednicovou čáru (tvoří výslednicový obrazec). Mějme na paměti, že jak složková, tak výslednicová čára musí být vždy uzavřena! Zatímco pomocí výslednicové čáry určíme velikost a směr výslednice R. Postup:. Provedeme složkovou čáru, pak známe velikost a směr výslednice.. Zvolíme si pól (označíme O) mimo složkovou čáru. 3. Uděláme pólové paprsky, které označíme římskými čísly (I, II, III,...) 4. V soustavě sil si zvolíme bod na první síle F a z tohoto bodu vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem I, kterou protáhneme, protože na této rovnoběžce se bude nacházet průsečík, kterým pak povedeme výslednici R. 5. Ze stejného bodu na síle F vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem II, kterou protneme paprsek síly. 6. Z bodu, kde jsme protli paprsek síly vedeme rovnoběžku s pólovým paprskem III, až protneme paprsek síly F Tak pokračujeme postupně, dokud neprovedeme rovnoběžky se všemi pólovými paprsky. Princip je jednoduchý každý pólový paprsek musí protnout ty síly, podle kterých je označen daný vrchol složkové čáry. Např. pólový paprsek I spojuje pól O s vrcholem složkové čáry = R, pak musí protínat sílu F a výslednici R apod. 48

50 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině 8. V místě, kde je průsečík prvního a posledního pólového paprsku vedeme rovnoběžku s výslednicí složkové čáry a tím máme určenu polohu výslednice. Příklad 3.. Určete výslednice této soustavy sil F = 6 kn α = 40 α = 30 = 4 kn F 3 =3 kn jednotky: mm Početní řešení: Protože již víme, že každou sílu lze rozložit na vodorovnou a svislou složku, doporučuji takto postupovat, aby se nám lépe určovala ramena statických momentů, která budeme dále ve výpočtu potřebovat. Stejně tak je vhodné vyznačit na nosníku, kde se soustava sil nachází, zvolený momentový střed, ke kterému budeme počítat. Budeme ho označovat malými písmeny, např. a. p p F a 40 F x = F cos40 F y = F sin y = sin x = cos30 F F x = 6 cos 40 = 4, 596 kn F y = 6 sin 40 = 3, 857 kn x = 4 cos 30 = 3, 464 kn y = 4 sin 30 = kn 49

51 3 Obecná soustava sil v rovině Varignonova věta n R x = F ix = F x x + F 3x i= R x = 4, 596 3, = 4, 3 kn n R y = F iy = F y y + F 3y i= R y = 3, 857 = 5, 857 kn R = Rx + Ry = 4, 3 + ( 5, 857) = 7, 7 kn tan α R = R y 5, 857 = =, 47 R x 4, 3 α R = 54, 8 + momenty, které se kolem zvoleného momentového středu a, točí po směru hodinových ručiček, jsou kladné. n M R = M i = F y p + F y p i= Rp R = 3, , 7p R = 9, 48 p R = 4, 04 m Síla F 3 přímo prochází bodem a, pak p 3 = 0. Určím také vzdálenost výslednice R od zvoleného momentového středu a na nosníku R y r = 9, 48 r = 9, 48 R y r = 5, 0 m = 9, 48 5,

52 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Výslednici vždy zakreslíme a zakótujeme do zadání α R = 54,8 R = 7,7 kn a F F r = 500 Grafické řešení: a) výslednicová čára r = 500 α R = 54,8 R = 7,7 kn F F III F II I IV b) složková čára = R R = 7,7 kn F I α R = 54,8 ʹ = III II IV O ʹ = 3 F 3 3ʹ = Rʹ 5

53 3 Obecná soustava sil v rovině Příklad 3.. Určete výslednici této soustavy sil. = 3 kn F 3 =6 kn F 5 = kn F = 6 kn α = 50 α 5 = 70 α 4 = 60 F 4 =8 kn 3 jednotky: m Početní řešení: y = sin50 F 3 F 5y = F 5 sin70 F 5 F a 50 F 4x = F 4 cos x = cos50 60 F 5x = F 5 cos70 F 4y = F 4 sin60 F 4 3 x = 3 cos 50 =, 98 kn y = 3 sin 50 =, 98 kn F 4x = 8 cos 60 = 4 kn F 4y = 8 sin 60 = 6, 98 kn F 5x = cos 70 = 0, 684 kn F 5y = sin 70 =, 879 kn n R x = F ix = F x + x + F 4x F 5x i= R x = 6 +, , 684 =, 44 kn 5

54 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině n R y = F iy = y F 3 + F 4y F 5y i= R y =, , 98, 879 = 3, 49 kn R = Rx + Ry =, 44 + ( 3, 49) =, 7 kn tan α R = R y 3, 49 = = 0, 89 R x, 44 α R = 6, 7 Rp R =, , , 879 7, 7p R = 6, 8 p R = 0, 58 m R y r = 6, 8 3, 49r = 6, 8 r =, 9 m F 3 F 5 F R =,7 kn a α R = 6, r =,9 60 F

55 3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára II F 3 F 5 R =,7 kn a α R = 6, F r =,9 60 I III F 4 3 VI IV V b) složková čára F ʹ = = R II 4ʹ = 5 ʹ = 3 F 5 α R = 6, 5ʹ = Rʹ I III VI R =,7 kn F 3 F 4 IV 3ʹ = 4 V O 54

56 3. Určení výslednice obecné soustavy sil v rovině Příklady k procvičení 3..A = 4 kn α = 60 F 3 =3 kn α 3 = 40 F 4 =6 kn F = 5 kn jednotky: mm 3..B = 4 kn α = F = 5 kn jednotky: mm 3..C = 8 kn F = 6 kn α = 30 8 jednotky: m 3..D F = 4 kn F 3 =6 kn α = 50 α 3 = 40 F 4 = kn 3 3 = 5 kn jednotky: m 55

57 3 Obecná soustava sil v rovině 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině Rovinná soustava rovnoběžných sil se liší od jiných rovinných svazků tím, že průsečík rovnoběžných sil je v nekonečnu, což logicky znamená, že výslednice takové soustavy je se silami rovnoběžná. I zde je nutné zavést si znaménkovou konvenci, proto si zavedeme souřadný systém x, y tak, že osa y je rovnoběžná se silami a všechny x-ové složky jsou tedy rovny nule. n F ix = 0 = R x = 0 = R = R y i= Pro řešení výslednice soustavy rovnoběžných sil platí stejná pravidla jako pro řešení obecné soustavy sil. Příklad 3.. Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 6 kn, = 4 kn, F 3 = 3 kn, F 4 = 6 kn. 3 a = 4 kn F 3 = 3 kn F = 6 kn F 4 = 6 kn jednotky: m Početní řešení: 4 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y i= R = = 5 kn 56

58 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině M R = R r = 4 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 + i= 5r = r = 3 r =, 6 m Momentový střed je vhodné (ale ne nezbytné) volit na jedné ze sil. Zakreslení výslednice 3 r =,6 F 3 a R = 5 kn F F 4 Grafické řešení: a) výslednicová čára III II 3 IV r =,6 V F 3 F I R = 5 kn F 4 57

59 3 Obecná soustava sil v rovině b) složková čára 3ʹ = 4 = R IV I ʹ = 3 III O R = 5 kn 4ʹ = Rʹ V II Příklad 3.. ʹ = Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 4 kn, = 3 kn, F 3 = kn, F 4 = 6 kn, F 5 = 3 kn. F 3 = kn 3 4 a = 3 kn F 5 = 3 kn F = 4 kn F 4 = 6 kn jednotky: m Početní řešení: 5 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y + F 5y i= R = = 4 kn 58

60 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině M R = R r = 5 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 + F 5y r 5 + i= 4r = r = 9, 75 m Zakreslení výslednice F ,75 a r = 9,75 F 5 F F 4 R = 4 kn 59

61 3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára IV V III II F 3 VI 3 4 8,75 r = 9,75 F 5 I F F 4 R = 4 kn b) složková čára 5ʹ = Rʹ VI R = 4 kn 4ʹ = 5 V = R I O ʹ = 3ʹ = 4 II IV III ʹ = 3 60

62 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině Příklad 3..3 Určete výslednici této soustavy rovnoběžných sil. F = 3 kn, = 8 kn, F 3 = 5 kn, F 4 = kn. a F 3 = 5 kn 4 F 4 = kn F = 3 kn = 8 kn jednotky: m Početní řešení: 4 R = R y = F iy = F y + y + F 3y + F 4y i= R = = 5 kn M R = R r = 4 i= M i 4 F iy r i = F y r + y r + F 3y r 3 + F 4y r 4 i= 5r = r = 4, 8 m 6

63 3 Obecná soustava sil v rovině Zakreslení výslednice F 4 r = 4,8 4 a F R = 5 kn F 3 Grafické řešení: a) výslednicová čára r = 4,8 I V IV 4 III F 4 R = 5 kn F II F 3 6

64 3. Určení výslednice rovnoběžných sil v rovině b) složková čára = R I ʹ = II R = 5 kn 4ʹ = Rʹ 3ʹ = 4 V IV O III ʹ = 3 Příklady k procvičení 3..A 3 4 a F 3 = kn F = 3 kn F 4 = 4 kn = 5 kn jednotky: m 63

65 3 Obecná soustava sil v rovině 3..B a 3 F = 5 kn = 4 kn F 3 = 3 kn F 4 = 4 kn jednotky: m 3..C F 4 = 400 N F 3 = 800 N a 4 3 F = 500 N F 5 = 600 N = 700 N jednotky: m 64

66 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil 3..D F 3 = 40 kn = 0 kn a F = 70 kn jednotky: m 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Aby byla jakákoliv soustava sil v rovnováze, musí být splněny podmínky rovnováhy (viz kapitola 3.). Právě pomocí těchto rovnic v případě početního řešení, nebo pomocí složkové čáry a výslednicového obrazce v případě grafického řešení, dáváme soustavu sil do rovnováhy. U grafické metody je základní nosnou myšlenkou, že jak složková, tak výslednicová čára musí být uzavřena. Příklad 3.3. Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil V a a V b, jejichž poloha je dána. Určete jak jejich velikost, tak i jejich smysl. 65

67 3 Obecná soustava sil v rovině 3 4 F 3 = 4 kn V a F = 8 kn V b = 6 kn jednotky: m Početní řešení: Zvolíme si na síle V b momentový střed b a sestavíme momentovou podmínku rovnováhy k bodu b, ze které vypočítáme sílu V a. Sílu V a uvažujeme vždy kladnou, teprve až znaménko výsledku nám ukáže orientaci momentu, který síla V a vyvolává. Sílu V b nemusíme uvažovat, protože r b = 0. n M ib = 0 i= V a r a + F r + r + F 3 r 3 = 0 + V a = 0 5V a = 36 V a = 7, kn + Z předchozího výsledku vyplývá, že síla V a musí vyvolat kolem momentového středu b kladný moment, potom V a. Zvolíme si na síle V a momentový střed a a sestavíme momentovou podmínku rovnováhy k bodu a, ze které vypočítáme sílu V b. I zde platí, že neznámou sílu V b uvažujeme jako kladnou a teprve výsledné znaménko nám ukáže, zda moment, který síla V b vyvolává kolem bodu a, bude kladný nebo záporný. Tomu pak přizpůsobíme smysl síly. Ani v tomto případě nebudeme zahrnovat sílu V a do momentové podmínky, protože stejně platí r a = 0. 66

68 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil n M ia = 0 i= F r + V b r b + r + F 3 r 3 = V b = 0 5V b = 4 V b =, 8 kn Zkouška n F i = 0 i= V a + F + V b + + F 3 = 0 7, 8 +, = 0 0 = 0 Zakreslení výsledků do zadání a b 3 4 V b =,8 kn F 3 F V a = 7, kn 67

69 3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení: a) výslednicová čára V b =,8 kn IV 3 4 V III F 3 I V a = 7, kn II F 68

70 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára = aʹ I V a = 7, kn bʹ = a V O V b =,8 kn ʹ = II IV 3ʹ = b III ʹ = 3 69

71 3 Obecná soustava sil v rovině Příklad F 3 = 3 kn F = 7 kn = 8 kn V a V b jednotky: m Početní řešení n M ib = 0 i= F r + V a r a + r + F 3 r 3 = V a = 0 7V a = 07 V a = 5, 86 kn n M ia = 0 i= F r + r + F 3 r 3 + V b r b = V b 7 = 0 V b = 3, 86 kn 70

72 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Zkouška n F i = 0 i= F + V a + + F 3 + V b = , , 86 = 0 0 = 0 Zakreslení do zadání 3 4 V b = 3,86 kn F 3 a b F V a = 5,86 kn 7

73 3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení a) výslednicová čára 3 4 F 3 V b = 3,86 kn IV III II V F I V a = 5,86 kn 7

74 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára = aʹ I V a = 5,86 kn ʹ = II O IV 3ʹ = b V b = 3,86 kn III V ʹ = 3 bʹ = a 73

75 3 Obecná soustava sil v rovině Příklad F = 3 kn 3 V a V b = 5 kn jednotky: m Početní řešení n M ib = 0 i= F r + V a r a + r = V a 5 = 0 V a = kn n M ia = 0 i= F r + V b r b + r = V b 5 3 = 0 V b = 4 kn Zkouška n F i = 0 i= F + + V a + V b = = 0 0 = 0 74

76 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil Zakreslení do zadání: 3 F V a = kn V b = 4 kn a b 75

77 3 Obecná soustava sil v rovině Grafické řešení a) výslednicová čára F 3 V b = 4 kn V a = kn III II IV I 76

78 3.3 Rovnováha soustavy rovnoběžných sil b) složková čára ʹ = b III = aʹ I O II ʹ = V a = kn V b = 4 kn IV bʹ = a 77

79 3 Obecná soustava sil v rovině Příklady k procvičení Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil V a a V b, jejichž poloha je dána. Určete jak jejich velikost, tak jejich smysl. 3.3.A F = 4 kn 3 3 V a = 6 kn V b F 3 = 8 kn jednotky: m 3.3.B 3 3 F = 5 kn V a = 8 kn F 3 = 4 kn V b jednotky: m 78

80 3.4 Rovnováha obecné soustavy sil v rovině 3.3.C F 4 = kn 3 3 V a = 4 kn F 3 = 6 kn V b F = 7 kn jednotky: m 3.3.D F 3 = 400 N 3 F = 600 N = 800 N V a V b F 4 = 500 N jednotky: m 3.4 Rovnováha obecné soustavy sil v rovině Princip řešení je stále stejný. Pokud má být soustava sil v rovnováze, je nutné, aby splňovala podmínky rovnováhy. 79

81 3 Obecná soustava sil v rovině Pro názornost si představme, že obecná soustava sil působí na nosníku, jehož osu si budeme schematicky znázorňovat vodorovnou čarou. Místa, kde působí síly, které dávají soustavu sil do rovnováhy, si představme jako místa podpor nosníku (např. stěny). Dohodněme se také na značení. Síly kolmé k ose nosníku budeme označovat V, síly působící v ose nosníku označíme N a síly v obecné poloze ponecháme označeny jako reakce R. Všechny síly budou mít vždy dolní index dle označení místa působení (podpory). Omezíme se pouze na početní řešení, které je rychlejší a přesnější. Příklad: Uveďte soustavu rovnoběžných sil do rovnováhy pomocí dvou sil, u kterých znáte buď místo působení nebo působiště i paprsek. Je dáno působiště a, působiště b a paprsek síly. Příklad 3.4. Zadání: F = 5 kn α = 30 a α = 5 = 8 kn b 3 4 jednotky: m Rozložení sil: F F y a y 5 b F x x 3 4 F x = 5 cos 50 = 3, 4 kn F y = 5 sin 50 = 3, 83 kn x = 8 cos 5 = 7, 5 kn y = 8 sin 5 = 3, 38 kn 80

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Statika 1. Úvod & Soustavy sil. Miroslav Vokáč 22. února ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč.

Statika 1. Úvod & Soustavy sil. Miroslav Vokáč 22. února ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. 1. přednáška Úvod & Miroslav Vokáč miroslav.vokac@cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 22. února 2016 Konzultační hodiny Ing. Miroslav Vokáč, Ph.D. Kloknerův ústav, ČVUT v Praze Šolínova 7 166 08

Více

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá.

p + m = 2 s = = 12 Konstrukce je staticky určitá a protože u staticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy je i tvarově určitá. TRIN_STT_P11.doc STTIK - SOUOR PŘNÁŠK 11. Prutové soustavy, základní pojmy, metody řešení. Teoreticky je PRUTOVÁ SOUSTV definována jako soustava složená z tuhých prutů, které jsou navzájem spojeny ideálními

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic

Petr Kopelec. Elektronická cvičebnice. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic Elektronická cvičebnice Petr Kopelec Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu CZ.1.07/1.1.07/03.0027 Tvorba elektronických učebnic O B S A H 1 Základní úlohy statiky... 3 2 Určení síly v rovině...

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NOSNÍKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 15. ZÁŘÍ 2012 Název zpracovaného celku: NOSNÍKY ) NOSNÍKY ZTÍŽENÉ OBECNOU SOUSTVOU SIL Obecný postup při matematickém řešení reakcí

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

Hydromechanické procesy Hydrostatika

Hydromechanické procesy Hydrostatika Hydromechanické procesy Hydrostatika M. Jahoda Hydrostatika 2 Hydrostatika se zabývá chováním tekutin, které se vzhledem k ohraničujícímu prostoru nepohybují - objem tekutiny bude v klidu, pokud výslednice

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D2034 e-mail: matej.leps@fsv.cvut.cz konzultační hodiny budou upřesněny později https://mech.fsv.cvut.cz/student/

Více

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY

PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA PRVNÍ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 4. ŘÍJNA 202 Název zpracovaného celku: PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PŘÍHRADOVÉ KONSTRUKCE PRUTOVÉ SOUSTAVY Příhradové konstrukce jsou sestaveny

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB

Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECHB Materiály ke 12. přednášce z předmětu KME/MECH Zpracoval: Ing. Jan Vimmr, Ph.D. Prutové soustavy Prutové soustavy představují speciální soustavy těles, které se uplatňují při navrhování velkorozměrových

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky.

Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. 7. Prutové soustavy Jsou to konstrukce vytvořené z jednotlivých prutů, které jsou na koncích vzájemně spojeny a označujeme je jako příhradové konstrukce nosníky. s styčník (ruší 2 stupně volnosti) každý

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín. Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Rovnoběžníky čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník Autor: Mgr. Břetislav Macek Rok vydání: 2014

Více

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y

P řed m lu va 11. P o u žitá sym b o lik a 13. I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 5 Obsah P řed m lu va 11 P o u žitá sym b o lik a 13 I. Z á k la d y s ta v e b n í m e c h a n ik y - s ta tik y 15 1. Úvodní č á s t 17 I. I. Vědní obor mechanika..... 17 1.2. Stavební mechanika a je

Více

7.1.3 Vzdálenost bodů

7.1.3 Vzdálenost bodů 7.. Vzdálenost bodů Předpoklady: 70 Př. : Urči vzdálenost bodů A [ ;] a B [ 5;] obecný vzorec pro vzdálenost bodů A[ a ; a ] a [ ; ]. Na základě řešení příkladu se pokus sestavit B b b. y A[;] B[5;] Z

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 adání D PŘÍÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení

Více

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1

Základní úlohy v Mongeově promítání. n 2 A 1 A 1 A 1. p 1 N 2 A 2. x 1,2 N 1 x 1,2. x 1,2 N 1 Základní úlohy v Mongeově promítání Předpokladem ke zvládnutí zobrazení v Mongeově promítání je znalost základních úloh. Ale k porozumění následujícího textu je třeba umět zobrazit bod, přímku a rovinu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví 5. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 5. května 2014 (prutové ) podle prostoru rozdělujeme na: Rovinné Prostorové Dále se budeme zabývat jen rovinnými

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast:

Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast: Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3811 Název DUM: Skládání a rozkládání sil Číslo DUM: III/2/FY/2/1/17 Vzdělávací předmět: Fyzika Tematická oblast: Fyzikální veličiny a jejich měření Autor: Mgr. Petra

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu

Mechanika - síla. Zápisy do sešitu Mechanika - síla Zápisy do sešitu Síla a její znázornění 1/3 Síla popisuje vzájemné působení těles (i prostřednictvím silových polí). Účinky síly: 1.Mění rychlost a směr pohybu 2.Deformační účinky Síla

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování:

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování: 5. cvičení Svarové spoje Obecně o svařování Svařování je technologický proces spojování kovů podmíněného vznikem meziatomových vazeb, a to za působení tepla nebo tepla a tlaku s případným použitím přídavného

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav

Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav Kinematická metoda výpočtu reakcí staticky určitých soustav 1) Uvolnění jednoho stupně volnosti odpovídající reakci, kterou chceme určit (vytvoření kinematického mechanismu o jednom stupni volnosti). Zavedení

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 11. 10. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_01_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů a a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu mezi vektory.

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Sada 2 Geodezie II. 12. Výpočet kubatur

Sada 2 Geodezie II. 12. Výpočet kubatur S třední škola stavební Jihlava Sada 2 Geodezie II 12. Výpočet kubatur Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace

Více

Statika tuhého tělesa Statika soustav těles

Statika tuhého tělesa Statika soustav těles Statika tuhého tělesa Statika soustav těles Petr Šidlof TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA

STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109. Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNICKÁ A STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA PROFESORA ŠVEJCARA, PLZEŇ, KLATOVSKÁ 109 Josef Gruber MECHANIKA I STATIKA Vytvořeno v rámci Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce

Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce 4 Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce Předpoklady: 40 Př : Najdi všechny úhly x 0;π ), pro které platí sin x = Postřeh: Obrácená úloha než dosud Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

4.6.3 Příhradové konstrukce

4.6.3 Příhradové konstrukce 4.6.3 Příhradové konstrukce Forth Bridge (1890) 2529 m Akashi Kaikyō Bridge (1998) 3911 m "Forth rail bridge head-on-panorama josh-von-staudach" by Josh von Staudach - Own work. "The Forth Bridge seen

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.. Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné osy rotace kvádru v souřadné soustavě dané hlavními

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více