STATISTICKÉ METODY PRO VYHODNOCOVÁNÍ SENZORICKÝCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTICKÉ METODY PRO VYHODNOCOVÁNÍ SENZORICKÝCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA"

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNíHO INŽENÝRSTVí ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS STATISTICKÉ METODY PRO VYHODNOCOVÁNÍ SENZORICKÝCH DAT STATISTICAL METHODS FOR EVALUATION OF SENSORIAL DATA DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER S THESIS AUTOR PRÁCE AUTHOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. MAGDA KOZIELOVÁ doc. RNDr. JAROSLAV MICHÁLEK, CSc. BRNO 009

2

3 Abstrakt Tématem této diplomové práce je statistické vyhodnocování dat získaných při senzorické analýze potravin. Přináší výběr vhodných statistických testů, jejich podrobnou analýzu a srovnání dle průběhu jednotlivých silofunkcí pro dané parametry. Důležitou součástí práce je naprogramování uživatelské aplikace přímo určené ke zpracování senzorických dat. Summary The thesis deals with the statistical evaluation of data gained by the sensory analysis of the foodstuff. It brings a selection of the suitable statistical tests, a detailed analysis of these tests and their comparision based on the particular power functions for given parameters. As an important part of the thesis, there is a creating of custom software for the evaluating of sensorial data. Klíčová slova statistické metody, senzorická analýza, silofunkce, síla testu Keywords statistical methods, sensory analysis, power function, power of test KOZIELOVÁ, M.Statistické metody pro vyhodnocování senzorických dat. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství, s. Vedoucí doc. RNDr. Jaroslav Michálek, CSc.

4

5 Čestně prohlašuji, že jsem diplomovou práci Statistické metody pro vyhodnocování senzorických dat vypracovala samostatně pod vedením doc. RNDr. Jaroslava Michálka, CSc. s použitím materiálů uvedených v seznamu literatury. Bc. Magda Kozielová

6

7 Tímto bych chtěla poděkovat vedoucímu mé diplomové práce panu doc. RNDr. Jaroslavu Michálkovi, CSc. za odborné rady a cenné připomínky, které přispěly ke zdárnému zpracování zadaného tématu. Bc. Magda Kozielová

8

9 Obsah Úvod 3 1 Základní pojmy Základní statistické pojmy Vybraná rozdělení Binomické rozdělení Beta rozdělení Rozdělení Fisherovo-Snedecorovo F Souvislost mezi rozdělením F a binomickým rozdělením Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením Transformace stabilizující rozptyl Arcussinová transformace v binomickém rozdělení Testování hypotéz Intervalové odhady Senzorická analýza 13.1 Rozlišovací metody Párová porovnávací zkouška Zkouška duo-trio Trojúhelníková zkouška Pořadové metody Hodnocení s použitím ordinálních stupnic Testy hypotéz o parametru π binomického rozdělení Kritický obor testu o parametru binomického rozdělení Síla testu o parametru π binomického rozdělení Explicitní vyjádření intervalu spolehlivosti pro parametr π binomického rozdělení Síla testu využívajícího Fisherovy kvantily Test založený na normální aproximaci Síla testu založeného na normální aproximaci Testy založené na arcussinové transformaci Síla testů založených na arcsin-transformaci Volba rozsahu výběru n Srovnání testů o parametru π binomického rozdělení 41 5 Statistické metody v senzorické analýze Vyhodnocení rozlišovacích metod Párová porovnávací zkouška Zkouška duo-trio Trojúhelníková zkouška Vyhodnocení pořadových metod

10 5.3 Vyhodnocení stupnicových metod Hodnocení jednoho senzorického znaku v rámci jednoho výrobku Srovnání senzorického znaku dvou a více výrobků Software pro zpracování senzorických dat Senzorická analýza Rozlišovací zkoušky Pořadové zkoušky Stupnicové zkoušky Analýza jednorozměrných dat Základní zpracování dat Srovnání souboru s předpokladem Srovnání dvou nezávislých souborů Srovnání dvou závislých souborů Příklad senzorického experimentu Párová porovnávací zkouška Pořadová zkouška Hodnocení s použitím ordinálních stupnic Shrnutí výsledků senzorického experimentu Závěr 71 Literatura 73 Seznam základních použitých zkratek a symbolů 75 Seznam příloh 77

11 Úvod Cílem této diplomové práce je vybrat a důkladně popsat statistické testy vhodné pro vyhodnocování dat získaných při senzorické analýze potravin. Dále vyšetřit silofunkce těchto testů a na základě jejich průběhu stanovit doporučení týkající se jejich využití. Dalším z cílů je také vybrat vhodné programovací prostředí a v něm provést programovou implementaci. Její funkčnost je pak nezbytné ověřit na reálných či simulovaných datech. V první kapitole jsou uvedeny základní dále používané pojmy z matematické statistiky, testování hypotéz a také některé závislosti nezbytné pro lepší orientaci v dalším textu. Druhá kapitola seznamuje s problematikou metod senzorické analýzy, obsahuje stručnou charakteristiku jednotlivých typů senzorických zkoušek a popis jejich provádění. Třetí kapitola popisuje pět testů vybraných pro vyhodnocování senzorických dat. Jsou zavedeny jednotlivé testovací statistiky a také jsou zde odvozeny analytické vztahy pro přesné i aproximované silofunkce testů. Součástí je rozbor testů založený na zkoumání tvarů silofunkcí, které byly vykresleny pomocí nově naprogramovaných funkcí v MAT- LABu. Jedná se o programy, které graficky znázorňují průběh jednotlivých silofunkcí, jak pro teoreticky odvozené vztahy, tak pro simulovaná data. Důležitou částí této kapitoly je také odstavec týkající se volby rozsahu výběru pro optimalizaci experimentu. Je zde popsáno stanovení minimálního rozsahu výběru grafickým způsobem a také výpočtem pomocí analyticky odvozených vztahů. Následující čtvrtá kapitola přináší srovnání jednotlivých vybraných testů na základě průběhu jejich silofunkcí. Poukazuje na vhodnost volby testů pro různé parametry a také varuje před jejich neuváženým používáním. Pátá kapitola popisuje využití jednotlivých vybraných testů pro zpracování senzorických dat a dále nastiňuje vyhodnocování dat získaných dalšími senzorickými zkouškami. V rámci této diplomové práce byla autorem v prostředí Delphi naprogramována uživatelská aplikace SMSA (verze 1.09) sloužící k přímému vyhodnocování senzorických experimentů založeném na předem teoreticky popsaných způsobech. Tento software a možnosti jeho praktického použití včetně ilustrujících obrázků je popsán v kapitole šest. Závěrečná sedmá kapitola přináší ukázku senzorického experimentu. Tento aplikační příklad je vyřešen pomocí programu SMSA. 3

12 4

13 1 Základní pojmy 1.1 Základní statistické pojmy Definice 1. Necht Ω je prostor elementárních jevů, A systém jevů definovaných na Ω. Předpokládejme, že platí 1. A =,. A A Ā A, 3. A i A, i = 1,,... i=1 A i A. Pak systém A nazýváme jevovou σ-algebrou. Dvojici (Ω, A) nazýváme jevové pole. Definice. Necht (Ω, A) je jevové pole, n je počet opakování pokusů, A je náhodný jev a m n (A) je četnost nastoupení jevu A v n pokusech. Pak f n (A) = mn(a) je relativní n četnost A. Definice 3. Necht (Ω, A) je jevové pole. Necht P je množinová funkce definovaná na A s oborem hodnot R = (, ) a s vlastnostmi: 1. P(A) 0, A A.. Necht A i A, A i A j =, i j, i,j = 1,, P( i=1 A i) = i=1 P(A i). 3. P(Ω) = 1. Pak množinovou funkci P : A R nazýváme pravděpodobností na (Ω, A). Pro náhodný jev A A pak číslo P(A) nazýváme pravděpodobností jevu A. Trojici (Ω, A, P) nazýváme pravděpodobnostní prostor. Definice 4. Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak zobrazení X : Ω R nazveme náhodnou veličinou (vzhledem k jevovému poli (Ω, A)), když pro každé x R platí: {ω : X(ω) x} A. Definice 5. Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor a X : Ω R náhodná veličina vzhledem k A. Pak funkci F(x) = P ({ω : X(ω) x}), x R, nazýváme distribuční funkcí náhodné veličiny X. Označení: F(x) = P ({ω : X(ω) x}) = P ([X x]) = P (X x). Definice 6. Necht X je náhodná veličina na (Ω, A, P), B je Borelovská σ-algebra. Pak množinovou funkci P X : B R definovanou vztahem P X (B) = P(X B), B B, nazýváme rozdělením pravděpodobností náhodné veličiny X. Definice 7. Necht F(x) je distribuční funkce náhodné veličiny X. Pak funkci F 1 (u) = inf x {x : F(x) u}, u (0, 1), nazýváme kvantilovou funkcí náhodné veličiny X nebo též kvantilovou funkcí příslušnou k distribuční funkci F(x). Pro dané číslo γ (0, 1) nazýváme čísla x γ = F 1 (γ) γ-kvantilem distribuční funkce F (γ-kvantilem rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X). 5

14 Definice 8. Necht X je náhodná veličina definovaná na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P) a M nejvýše spočetná množina reálných čísel taková, že platí x M P(X = x) = 1. Pak řekneme, že náhodná veličina X je diskrétního typu (má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti), M se nazývá obor hodnot X a funkce p (x) definovaná vztahy p (x) =P(X = x), x M p (x) = 0, x / M se nazývá pravděpodobnostní funkcí náhodné veličiny X. Označení X (M, p) znamená, že náhodná veličina X má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti s oborem hodnot M a pravděpodobnostní funkcí p. Poznámka. Pro diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p (x) na M stačí distribuční funkci zadat v bodech z M. Této skutečnosti budeme dále využívat. Definice 9. Řekneme, že náhodná veličina X má rozdělení pravděpodobnosti spojitého typu, když existuje nezáporná funkce f(x), x R, f(x)dx = 1, a distribuční funkci F(x) náhodné veličiny X lze pomocí f(x) zapsat ve tvaru F(x) = x f(t)dt Funkci f pak nazýváme hustotou náhodné veličiny X. 1. Vybraná rozdělení 1..1 Binomické rozdělení Uvažujme náhodnou veličinu X, která má binomické rozdělení Bi(n,π) s parametry n N, π (0, 1). Ozn. X Bi(n, π). Pak její pravděpodobnostní funkce je ( ) n p(x) = P(X = x) = π t (1 π) n t, x = 0, 1,...,n. (1.1) t Střední hodnota je tvaru EX = nπ a rozptyl DX = nπ(1 π). Je-li n = 1, jedná se o tzv. alternativní rozdělení A(π). 1.. Beta rozdělení Náhodná veličina X má beta rozdělení Be(p,q) s parametry p, q > 0, je-li hustota pravděpodobnosti tvaru { 1 B(p,q) f(x) = xp 1 (1 x) q 1 pro x (0, 1), (1.) 0 pro x / (0, 1), kde B(p,q) = 1 0 xp 1 (1 x) q 1 dx je tzv. beta funkce. Ozn. X Be(p,q). Distribuční funkce { 1 x B(p,q) 0 F(x) = tp 1 (1 t) q 1 dt pro x > 0, (1.3) 0 pro x 0, rozdělení beta je tzv. neúplná beta funkce. 6

15 1..3 Rozdělení Fisherovo-Snedecorovo F Náhodná veličina X má rozdělení F o stupních volnosti ν 1, ν 0, je-li hustota pravděpodobnosti ( ) ν1 1 ν ( ) ν 1 f ν1, ν (x) = B( ν 1, ν ) ν x ν 1 1 +ν ν 1 ν x pro x > 0, (1.4) 0 pro x 0. Ozn. X F(ν 1, ν ). Distribuční funkce F rozdělení se značí jako F ν1, ν (x) a α-kvantil jako F α (ν 1, ν ). 1.3 Souvislost mezi rozdělením F a binomickým rozdělením Věta Distribuční funkci F(x) binomického rozdělení lze vyjádřit pomocí neúplné beta funkce, tedy F(x) = x t=0 ( ) n π t (1 π) n t = t 1 1 π z n x 1 (1 z) x dz. (1.5) B(n x,x + 1) 0 Důkaz. Věta se dokáže postupnou integrací per partes (viz [9]). Věta Distribuční funkci F(x) binomického rozdělení Bi(n, π) lze vyjádřit pomocí distribuční funkce F ν1, ν (x) rozdělení F o ν 1, ν stupních volnosti ve tvaru F(x) = x t=0 kde ν 1 = (n x), ν = (x + 1). ( ) ( n x + 1 π t (1 π) n t = F ν1, ν t n x 1 π ), (1.6) π Důkaz. Vyjdeme ze vztahu (1.5) a v uvedeném integrálu provedeme substituci z = y a + y, kde a = x + 1 n x. (1.7) Pak Dále určíme meze integrálu. Pro dz = a (a + y) dy. z = 1 π 7

16 dostaneme a pro dostaneme y = a z 1 z = a 1 π π z = 0 y = a 0 = 0. Po této substituci z (1.5) po úpravě dostaneme x t=0 = = = = = = ( ) n π t (1 π) n t = t 1 B(n x,x + 1) 1 B(n x,x + 1) 1 B(n x,x + 1) 1 B(n x,x + 1) 1 B(n x,x + 1) 1 B(n x,x + 1) a 1 π π 0 a 1 π π 0 a 1 π π 0 a 1 π π 0 a 1 π π 0 ( 1 a ( ) n x 1 ( y 1 y ) x a a + y a + y y n x 1 (a + y) x+1 n ( a a + y y n x 1 a x a (a + y) n (a + y) dy y n x 1 a x a (a + y) n (a + y) an a dy n ( ) n+1 a y n x 1 a x n dy a + y ( y n x a) y n 1 dy ) n x a 1 π π 0 (a + y) dy ) x a (a + y) dy Položíme ν 1 = (n x), ν = (x+1). Odtud po dosazení ze vztahu (1.7) za a = x+1 dostáváme F(x) = 1 B( ν 1, ν ) ( ν1 ν ) ν 1 ν 1 π ν 1 π 0 ( y ν ν ) ν 1 +ν 1 y ν Což je distribuční funkce F ν1,ν rozdělení F v bodě x+1 1 π n x π ( x + 1 F(x) = F ν1,ν n x 1 π ). π. Tedy = ν n x ν 1 dy. (1.8) 8

17 1.4 Aproximace binomického rozdělení normálním rozdělením Věta (Moivreova-Laplaceova). Necht X n Bi(n,π). Pak U = X EX DX = X nπ nπ(1 π) má asymptoticky normální rozdělení N(0, 1), a tedy lim P(U < u) = Φ(u), < u <, n kde Φ(u) je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(0,1). Důkaz. Bud X n = n i=1 I i, kde I i A(θ). Pak z centrální limitní věty plyne, že X n konverguje v distribuci k N(0, 1). Z věty plyne, že při dostatečně velkém rozsahu výběru n lze distribuční funkci binomického rozdělení aproximovat distribuční funkcí normálního rozdělení. 1.5 Transformace stabilizující rozptyl Necht X je náhodná veličina s rozdělením závisejícím na parametru θ. Předpokládejme, že platí EX = θ. Na parametru θ závisí také rozptyl veličiny X, tedy DX = σ (θ). Stabilizací rozptylu rozumíme nalezení vhodné netriviální transformační funkce g takové, aby náhodná veličina Y = g(x) měla rozptyl nezávisející na θ. Funkce g se získá pomocí aproximace z Taylorova vzorce g(x) g(θ) + (X θ)g (θ), tedy Eg(X) g(θ) Dg(X) [g (θ)] σ (θ), Požadavek na nezávislost rozptylu g(x) na parametru θ lze vyjádřit jako (1.9) g (θ)σ(θ) = c, kde c je vhodně zvolená konstanta. Odtud dostáváme řešení dθ g(θ) = c σ(θ). (1.10) Získaná transformační funkce g(θ) výrazně stabilizuje rozptyl, tedy D g (X) závisí na θ jen velmi málo. Navíc rozdělení náhodné veličiny Y bývá již velmi blízké normálnímu, ačkoli samotné rozdělení veličiny X může být výrazně nenormální. 9

18 1.5.1 Arcussinová transformace v binomickém rozdělení Necht X je náhodná veličina s binomickým rozdělením Bi(n, π). Relativní četnost úspěchů v n nezávislých pokusech je o střední hodnotě a rozptylu Z = X n EZ = π DZ = D X n = 1 π(1 π) ndx = n (plyne z odstavce 1..1). Dle (1.10) je g(π) = c dπ σ(π) = c n dπ π(1 π). Zvolíme-li konstantu c = ( n ) 1, dostaneme arcussinovou transformaci X Y = g(z) = arcsin(z) = arcsin n, (1.11) přičemž dle (1.9) má transformovaná veličina Y střední hodnotu a rozptyl DY = Dg(X) (g (π)) σ (π) = EY = Eg(Z) g(π) = arcsin π ( 1 1 ) 1 π 1 π(1 π) π n = 1 4n. Jak bylo uvedeno výše, veličina Y má rozdělení blízké normálnímu. Standardizací se odvodí asymptoticky normální náhodná veličina U 1 = Y EY = ( ) X n arcsin DY n arcsin π 0. (1.1) V [6] je uvedeno, že arcussinová transformace Z + 3 8n Y = g(z) = arcsin = arcsin 4n o střední hodnotě a rozptylu EY arcsin π + 3 8n n DY 1 4n + X n (1.13) 10

19 je stabilnější. Výhodou této transformace oproti (1.11) je menší rozptyl. Z (1.13) lze opět získat asymptoticky normální statistiku U = ( ) 8X + 3 4n + arcsin 8n + 6 arcsin 8nπ (1.14) 8n Testování hypotéz Necht náhodný výběr X = (X 1,..., X n ) má rozdělení o distribuční funkci F(x, θ), kde parametr θ je z parametrického prostoru Θ, a necht X je obor hodnot náhodného výběru X. Definujme nulovou hypotézu H 0 : θ Θ 1 Θ a alternativní hypotézu H 1 : θ Θ 1 = Θ Θ 1. Je-li množina Θ 1 jednobodová, pak H 0 se nazývá jednoduchá nulová hypotéza. Je-li Θ Θ 1 jednobodová množina, pak se H 1 nazývá jednoduchou alternativní hypotézou. Na základě náhodného výběru X z rozdělení o distribuční funkci F(x, θ) je potřeba rozhodnout o platnosti H 0 nebo H 1. Statistický test je pravidlo, které každé hodnotě náhodného výběru přiřadí jedno ze dvou možných rozhodnutí: hypotéza H 0 se zamítá, nebo se H 0 nezamítá. Pokud se zamítne hypotéza H 0, přestože je správná, dojde k chybě I. druhu. Jestliže se naopak hypotéza H 0 nezamítne, ačkoli neplatí, dojde k chybě II. druhu. Test se konstruuje tak, aby pravděpodobnost chyby I. druhu byla nejvýše rovna α. Za této podmínky se pak minimalizuje pravděpodobnost chyby II. druhu β. Test se provádí pomocí tzv. kritického oboru. Kritický obor W α X se zavádí pomocí testovací statistiky T a pomocí kritické hodnoty k α R. Pravostranným kritickým oborem vedoucím na jednostranný test se rozumí levostranný kritický obor má tvar W α = {x X : T = T(x) > k α }, W α = {x X : T = T(x) < k α }, na oboustranný test pak vede oboustranný kritický obor W α = {x X : T < k α, nebo T > k α}, W α = {x X : T > k α }, kde k α, k α, k α jsou kritické hodnoty. Platí-li x W α, pak se hypotéza H 0 zamítá, pokud ale x / W α, hypotéza H 0 se nezamítá. Horní hranice pro pravděpodobnost chyby I. druhu α = sup P(x W α ) θ 11

20 se nazývá hladina významnosti testu. Číslo β α = 1 β se nazývá síla testu. Sílou testu v bodě θ se rozumí silofunkce testu β α (θ), což je pravděpodobnost, že hypotéza H 0 se zamítá, když hodnota parametru je θ. Aby byla splněna podmínka, že pravděpodobnost chyby I. druhu nemá být větší než hladina významnosti α, musí platit β α (θ) α pro θ Θ 1. Problematika testování hypotéz je podrobněji popsána v [1]. 1.7 Intervalové odhady Definice 10. Necht X = (X 1,, X n ) je náhodný výběr z rozdělení o distribuční funkci F(x,θ), τ(θ) je daná parametrická funkce. Necht T D = T D (X) a T H = T H (X) jsou statistiky. Pak T D,T H nazýváme 100(1 α)% oboustranným intervalem spolehlivosti pro τ(θ), když P(T D < τ(θ) < T H ) 1 α. Dále interval,t H nazýváme 100(1 α)% pravostranný interval spolehlivosti pro τ(θ), když P(τ(θ) < T H ) 1 α. Konečně interval T D, nazýváme 100(1 α)% levostranný interval spolehlivosti pro τ(θ), když P(T D < τ(θ)) 1 α. Je-li,T H, resp. T D, pravostranný, resp. levostranný interval spolehlivosti pro τ(θ), pak T H, resp. T D nazýváme horní, resp. dolní odhad τ(θ) s rizikem α. 1

21 Senzorická analýza Senzorická analýza je jedním z prostředků hodnocení jakosti potravin. Patří mezi tzv. psychometrické metody, její pomocí se tedy nezjišt uje složení potravin, ale posuzuje se existence či intenzita určitého vjemu. Určují se organoleptické vlastnosti, tedy vlastnosti vnímatelné lidskými smysly (chut, vůně apod.). Mezi metody senzorické analýzy patří: rozlišovací metody, pořadové metody a hodnocení s použitím stupnic. Při provádění analýzy se obvykle využívá jejich kombinace. Senzorická analýza je podrobněji popsána včetně testů v [11]..1 Rozlišovací metody Pomocí rozlišovacích metod se stanovuje, zda mezi dvěma hodnocenými výrobky existuje rozdíl ve sledovaném senzorickém znaku. Po posuzovatelích se vyžaduje tzv. vynucená odpověd, hodnotitel tedy musí vybrat jednu z nabídnutých formulací. Podle způsobu provádění posuzování se rozlišují tyto metody: párová porovnávací zkouška, zkouška duotrio, trojúhelníková zkouška..1.1 Párová porovnávací zkouška Posuzovatelé obdrží dva za stejných podmínek připravené vzorky A a B zkoumaných výrobků. Jejich úkolem je odpovědět, který vzorek je intenzivnější při zkoušce rozdílu v intenzitě či kterému ze vzorků dávají přednost u preferenčních zkoušek. Pro vyhodnocení párové porovnávací zkoušky se používají testy o parametru binomického rozdělení. Zkoumá-li se rozdílnost výrobků jako takových, použije se pro vyhodnocení obostranných testů. Je-li žádoucí zjistit směr této rozdílnosti, využijí se testy jednostranné..1. Zkouška duo-trio Při zkoušce duo-trio jsou posuzovatelům předloženy celkem tři vzorky. První se nazývá tzv. referenční, podává se jako standard. Další dva jsou tzv. experimentální a jsou předloženy anonymně. Jeden z těchto dvou vzorků pochází ze stejného výrobku jako standard. Hodnotitel má pak za úkol rozhodnout, který vzorek ze dvou experimentálních je ve sledovaném znaku shodný se standardem a který je odlišný..1.3 Trojúhelníková zkouška Hodnotitel při trojúhelníkové zkoušce obdrží řadu tří náhodně uspořádaných, avšak za stejných podmínek připravených vzorků, z nichž dva pocházejí ze stejného výrobku a třetí je odlišný. Úkolem posuzovatele je označit vzorek, který se od ostatních dvou liší. 13

22 . Pořadové metody Cílem pořadové zkoušky je roztřídění skupiny výrobků, jejich seřazení podle intenzity senzorického znaku, podle preferencí spotřebitelů, nebo sledování vlivu určitého faktoru na organoleptické vlastnosti a senzorickou jakost výrobku. Posuzovateli je předložena skupina vzorků v náhodném pořadí a jeho úkolem je seřadit vzorky podle daného ukazatele (preference či intenzity znaku). I zde je doporučována nucená volba, tzn. na jedno místo v pořadí by nemělo být přiřazeno více vzorků..3 Hodnocení s použitím ordinálních stupnic Existují různé typy stupnic, v senzorické analýze se však nejčastěji využívají tzv. ordinální stupnice. Měřit na ordinální stupnici znamená přiřadit jednotlivým variantám odpovědí čísla vyjadřující větší nebo menší úroveň sledovaného senzorického znaku. V množině uspořádané podle stupnice tohoto typu nelze stanovit, jaká je tzv. vzdálenost mezi dvěma sousedními objekty. Ordinální stupnice lze dále dělit na stupnice intenzitní, tj. zkoumající intenzitu daného znaku, a hédonické, zkoumající příjemnost, přijatelnost apod. Stupnici lze konstruovat jako tzv. stupnici prvního stupně, tj. první kategorie je vyhrazena pro nepatrnou intenzitu vlastnosti a poslední kategorie pro největší intenzitu resp. nejlepší jakost, nebo lze směr hodnot definovat obráceně a vytvořit tak tzv. stupnici druhého druhu. Příkladem intenzitní ordinální stupnice prvního druhu může být posloupnost vyjadřující slanost vzorku: naprosto neslaný, velmi málo slaný, málo slaný,..., nesmírně slaný. Samotná zkouška probíhá tak, že zaškolený hodnotitel obdrží protokol s uvedenými senzorickými znaky, které bude u vzorků hodnotit, a stupnice, podle kterých bude vzorek zařazovat. Poté předložený vzorek objektivně posoudí a v souladu se stupnicí zapíše své hodnocení. Toto provede u každého vzorku a znaku. 14

23 3 Testy hypotéz o parametru π binomického rozdělení Dále bude pozornost zaměřena na podrobný rozbor testů hypotéz o parametru π binomického rozdělení, které jsou vhodné pro vyhodnocování senzorických dat získaných rozlišovacími zkouškami. 3.1 Kritický obor testu o parametru binomického rozdělení Necht X 1,...,X n je náhodný výběr z alternativního rozdělení A(π), pak náhodná veličina X = n i=1 X i má binomické rozdělení Bi(n,π). Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 proti oboustranné alternativě H 1 : π π 0, kde π 0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1). Test založíme na kritickém oboru je W α = {x {0, 1,, n} : x c 1, x c }, tj. hledáme největší celé číslo c 1, pro které při daném α platí c 1 ( ) n P π0 (X c 1 ) = π t 0(1 t π 0 ) n t α, t=0 c 1 +1 ( n P π0 (X c 1 + 1) = )π t0(1 π 0 ) n t > α (3.1) t, t=0 a nejmenší celé číslo c splňující pro dané α P π0 (X c ) = P π0 (X c 1) = n ( n t n t=c t=c 1 ) π t 0(1 π 0 ) n t α, ( n t )π t0(1 π 0 ) n t > α. (3.) V případě testování hypotézy H 0 : π = π 0 proti pravostranné alternativě H 1 : π > π 0, kde π 0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1), je kritickým oborem množina W α = {X = x; x c}, přičemž c splňuje nerovnosti P π0 (X c) = P π0 (X c 1) = n ( n t n t=c t=c 1 ( n t ) π t 0(1 π 0 ) n t α, ) π t 0(1 π 0 ) n t > α. (3.3) 15

24 Testuje-li se hypotéza H 0 : π = π 0 proti levostranné alternativě H 1 : π < π 0, kde π 0 je pevná hodnota z intervalu (0, 1), určíme kritický obor jako množinu W α = {X = x; x c}, kde c splňuje P π0 (X c) = t=0 c+1 P π0 (X c + 1) = c ( n t ( n t t=0 ) π t 0(1 π 0 ) n t α, ) π t 0(1 π 0 ) n t > α. (3.4) Čísla c 1 a c se spočítají jako c 1 = x α 1, (3.5) c = x 1 α + 1, (3.6) kde x α, x 1 α jsou příslušné kvantily binomického rozdělení. Tyto závislosti vycházejí ze vztahů (3.1) a (3.) a definice kvantilů. U jednostranných testů číslo c spočteme analogicky. V případě pravostranného testu máme v případě levostranného testu pak c = x 1 α + 1, (3.7) c = x α 1. (3.8) Výpočet čísel c 1 a c (resp. c) lze tedy provést pomocí kvantilů binomického rozdělení, lze však také využít souvislosti binomického rozdělení s Fisherovým (viz (1.6)) a situaci tím zjednodušit. Tento případ je rozebrán v odstavci Síla testu o parametru π binomického rozdělení Silofunkce testu založeného na kritickém oboru popsaném v odstavci 3.1 má dle odstavce 1.6 tvar pro oboustranný test tvar β α (π) = c 1 t=0 ( ) n π t (1 π) n t + t n t=c ( ) n π t (1 π) n t, π π 0, (3.9) t pro pravostranný test pro levostranný test β α (π) = β α (π) = n t=c c t=0 ( ) n π t (1 π) n t, π > π 0, (3.10) t ( ) n π t (1 π) n t, π < π 0. (3.11) t 16

25 Jsou-li známa čísla c 1, c (resp. číslo c), která zaručují dodržení hladiny významnosti, lze spočítat hodnotu síly pro libovolné π. Příklad: Mějme náhodný výběr rozsahu n = 100 z rozdělení A(π). Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 proti oboustranné alternativě H 1 : π π 0 pro π 0 = 0, 5 na hladině významnosti α = 0, 05. Ze vztahů (3.5) a (3.6) se spočítá, že c 1 = 39, c = 61, čímž se zaručí splnění nerovnic (3.1) a (3.): P 0,5 (x 39) = P 0,5 (x 61) = 0, 0176 < 0, 05 = α, P 0,5 (x 40) = P 0,5 (x 60) = 0, 084 > 0, 05 = α. Kritický obor založený na statistice X = n i=1 X i (viz odstavec 3.1) je pak tvaru W α = {x = n x i ; x 39, x 61}, i=1 Hodnoty silofunkce tohoto testu spočtené dle vzorce (3.9) jsou pro názornost uvedeny v tabulce 3.1. Silofunkce je znázorněna na obrázku 3.1. Analogický postup se provede u jednostranných testů. V případě pravostranné alternativy je dle (3.7) kritický obor W α = {x = n x i ; x 59} i=1 (obrázek 3.(a)), u testování levostranné alternativy pak dle (3.8) W α = {x = n x i ; x 41} i=1 (obrázek 3.(b)). 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( π ) π Obr. 3.1: Silofunkce oboustranného testu 17

26 Tabulka 3.1: Hodnoty silofunkce oboustranného testu H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π β(π) H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( π ) 0.5 β( π ) π (a) Pravostranný test π (b) Levostranný test Obr. 3.: Silofunkce jednostranných testů 3.3 Explicitní vyjádření intervalu spolehlivosti pro parametr π binomického rozdělení Test hypotézy o parametru π binomického rozdělení se dá provést pomocí intervalu spolehlivosti pro π. Označme tento test dále jako F-test. Věta Necht náhodná veličina X Bi(n, π). Pak 100(1 α)-procentním intervalem spolehlivosti pro parametr π je interval π D < π < π H, kde π H = π D = (X + 1)F 1 α1 ( (X + 1), (n X)) n X + (X + 1)F 1 α1 ((X + 1),(n X)), (3.1) X (n X + 1)F 1 α ( (n X + 1), X) + X, (3.13) přičemž F 1 α1 (ν 1, ν ) je (1 α 1 )-kvantil F-rozdělení o ν 1 = (X + 1), ν = (n X) stupních vonosti a F 1 α (ν 3, ν 4 ) je (1 α )-kvantil F-rozdělení o ν 3 = (n X + 1), ν 4 = X stupních volnosti. 18

27 Důkaz. Krajní meze π D a π H intervalu se naleznou řešením rovnic x ( ) n π t t H(1 π H ) n t = α 1 (3.14) a n t=x t=0 ( ) n π t t D(1 π D ) n t = α, kde α 1 + α = α. (3.15) Z důkazu věty 1.3. je známo, že x ( ) ( n α 1 = π t t H(1 π H ) n t = P Y < x + 1 n x 1 π ) H π H t=0, kde Y F( (n x), (x+1)). Za využití kvantilů F-rozdělení lze tedy po následujících úpravách vyjádřit horní krajní bod intervalu spolehlivosti ve tvaru (3.1). x + 1 n x 1 π H 1 = F α1 ((n x), (x + 1)) = π H F 1 α1 ((x + 1),(n x)) x + 1 xπ H π H 1 = (n x)π H F 1 α1 ((x + 1), (n x)) x + 1 (x + 1)π H π H = n x F 1 α1 ((x + 1),(n x)) F 1 α1 ((x + 1), (n x)) (x + 1) F 1 α1 ((x + 1), (n x)) (x + 1)π H = π H (n x) F 1 α1 ((x + 1), (n x)) (x + 1) = π H (n x + F 1 α1 ((x + 1),(n x)) (x + 1)) π H = (x + 1)F 1 α1 ((x + 1), (n x)) n x + (x + 1)F 1 α1 ((x + 1),(n x)) Dolní krajní bod nalezneme obdobně. Nejdříve se rovnice (3.15) převede na tvar x 1 ( ) n π t t D(1 π D ) n t = 1 α. t=0 Dále se využije vztah (1.4) pro distribuční funkci rozdělení F v t=0 = t=0 ( ) n π t t D(1 π D ) n t = 1 B(n v, v + 1) ( ) n v v+1 n v 1 π D ( n v π D y n v n v ) n 1 v v + 1 y dy Dosazením substituce v = x 1 se dostane x 1 ( ) n π t t D(1 π D ) n t = = 1 B(n x + 1, x) ( n x + 1 x ) n x+1 x n x+1 1 π D π D 0 19 ( y n x 1 + n x + 1 n 1 y) dy. x

28 Porovnáním se vztahem (1.4) pro hustotu F rozdělení se získá vyjádření x 1 1 α = t=0 kde Y F (n x+1),x. Tedy ( ) ( n π t t D(1 π D ) n t = P Y < x n x π ) D, π D x n x π D = F 1 α ((n x + 1), x) π D (n x + 1) π D F 1 α ((n x + 1), x) = x xπ D, odkud po úpravě se dostane tvar (3.15) dolního krajního bodu intervalu spolehlivosti binomického rozdělení π D = x (n x + 1)F 1 α ((n x + 1), x) + x. Platnost hypotézy H 0 : π = π 0 se proti oboustranné alternativě či jednostranným alternativám testuje na základě příslušnosti parametru π 0 k uvedenému intervalu spolehlivosti π D, π H dle odstavce 1.7. Je možné také použít upravenou verzi tohoto testu, kdy se v případě oboustranné alternativy H 1 : π π 0 testuje, zda nebo X n X π 0 π 0 X + 1 n X 1 π 0 π 0 U pravostranné alternativy H 1 : π > π 0 se pak zjišt uje, zda F 1 α ((n X + 1), X) (3.16) F α ((n X), (X + 1)). (3.17) X n X π 0 π 0 F 1 α ((n X + 1), X), (3.18) a u levostranné alternativy H 1 : π < π 0 se hodnotí nerovnost X + 1 n X 1 π 0 π 0 F α ((n X), (X + 1)). (3.19) 3.4 Síla testu využívajícího Fisherovy kvantily Následující výsledky byly získány pomocí opakovaných testů na simulovaných výběrech přímo generovaných z binomického rozdělení, přičemž hodnoty silofunkcí byly určeny jako podíl zamítnutých hypotéz H 0 ku celkovému počtu opakování při dané hodnotě π a π 0. Příslušné funkce pro simulace i pro vykreslování silofunkcí dle teoreticky odvozených 0

29 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( δ ) n = 10 n = 15 n = 0 n = 5 n = 30 n = 50 n = δ = π π 0 Obr. 3.3: Silofunkce oboustranného F-testu pro různá n Tabulka 3.: Hodnoty silofunkcí oboustranného F-testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = n = n = β(π) n = n = n = n = vzorců naprogramované v prostředí MATLAB jsou uvedeny v příloze P (toto bude platit i dále). Nejprve se zabývejme srovnáním silofunkcí testu pro různé rozsahy výběrů n. Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05. Volme rozsah výběru n = 10, 15, 0, 5, 30, 50 a 100. Z obrázku 3.3, kde jsou silofunkce získané simulacemi vyznačeny tečkovaně a teoretické silofunkce spočítané dle kapitoly 3. zakreslené plnou čarou, je patrná dobrá shoda obou těchto typů silofunkcí. Dále je zřejmé i z tabulky 3., že největších hodnot silofunkce β(π) dosahuje test při volbě rozsahu n = 100, kdy β(π) nabývá hodnot blízkých 1 již při π = 0, 3 a π = 0, 7, u rozsahu n = 50 toto nastává až u π = 0, a π = 0, 8. Je zde patrná obecná vlastnost silofunkcí, a to, že s rostoucím n roste i síla testu. Také se ukázalo, 1

30 1 H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) π = π = 0. 0 π = π = π = δ = π π 0 Obr. 3.4: Silofunkce oboustranného F-testu pro různá π 0 že test je pro všechna n podhodnocený, tj. hodnota β(π 0 ) nedosahuje stanovené hladiny významnosti α = 0, 05. Tento fakt je způsoben tím, že jsou výběry z diskrétního rozdělení, distribuční funkce není spojitá. Nejvíce se hodnota silofunkce blíží k hladině významnosti α = 0, 05 pro rozsah n = 0 a n = 5, kdy β(0, 5) = 0, 044, nejméně pak pro n = 10, kdy β(0, 5) = 0, 09. Nyní pro stejný test zadáme pevný rozsah n = 100 a pro hypotézu H 0 : π = π 0 proti alternativě H 1 : π π 0 volíme parametr π 0 = 0, 1; 0, ; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. Z obrázku 3.4 je patrné, že síla testu závisí rovněž na volbě parametru π 0. Ukázalo se, že nejsilnější je test pro π 0 = 0, 1 a že s rostoucím parametrem π 0 jeho síla klesá. Rozdíl je zřejmý také z tabulky 3.3, odkud lze vyčíst, že pro parametr π = π 0 + 0, 1 je hodnota β(π) rovna 0, 83 u volby π 0 = 0, 1, přičemž u volby π 0 = 0, 5 je již síla rovna jen 0, 504. Test je opět podhodnocený, tzn. hodnota β(π 0 ) ani v jednom případě nedosahuje hladiny významnosti α = 0, Test založený na normální aproximaci Jako další testovací kriterium lze dle odstavce 1.4 použít statistiku U = X nπ 0 nπ0 (1 π 0 ). (3.0) Testujeme-li hypotézu H 0 : π = π 0 proti oboustranné alternativě H 1 : π π 0, kritickým oborem jsou všechna U, pro něž platí U u 1 α, kde u 1 α je kvantil normovaného

31 Tabulka 3.3: Hodnoty silofunkcí oboustranného F-testu pro různá π 0, n = 100, H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π π 0 = π 0 = β(π) π 0 = π 0 = π 0 = normálního rozdělení. V případě pravostranné alternativy H 1 : π > π 0 zamítáme hypotézu H 0 při platnosti U u 1 α, u levostranné alternativy H 1 : π < π 0 zamítáme hypotézu H 0, je-li U u 1 α. Označme dále tento test založený na aproximaci normálním rozdělením jako U-test. kde Jako testovací kriterium pro oboustranný test lze také využít upravenou statistiku s π = U = U s π, 1 DX = 1 nπ(1 π) je korekce na spojitost (viz [7]). Pak je tedy testovací kriterium tvaru U = X nπ 0 1 nπ0 (1 π 0 ). (3.1) V případě jednostranných testů se využívá statistika U = U s π = X nπ 0 1 nπ0 (1 π 0 ). (3.) Kritické obory se stanoví analogicky jako u testovací statistiky U. Označme tento test s korekcí na spojitost jako U -test. 3.6 Síla testu založeného na normální aproximaci Věta Silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U (viz (3.0)) má přesný tvar pro oboustranný test β α (π) = j k u 1 α nπ0 (1 π 0 )+nπ 0 1 l m x= u α nπ0 (1 π 0 )+nπ ( ) n π x (1 π) n x, π π 0, (3.3) x

32 pro pravostranný test β α (π) = pro levostranný test β α (π) = n l m x= u α nπ0 (1 π 0 )+nπ 0 +1 j k u 1 α nπ0 (1 π 0 )+nπ 0 1 x=0 ( ) n π x (1 π) n x, π < π 0, (3.4) x ( ) n π x (1 π) n x, π > π 0. (3.5) x Důkaz. Důkaz věty je založen na využití vyjádření silofunkce pro test o parametru binomického rozdělení: β α (π) = 1 P π (a < X < b) = b 1 x=a+1 β α (π) = P π (U u 1 α ) ( X nπ 0 =P π nπ0 (1 π 0 ) u 1 α = 1 P π (u α < X nπ 0 nπ0 (1 π 0 ) < u 1 α = 1 P π (u α = ( ) n π x (1 π) n x, π π 0 x ) ) ) nπ0 (1 π 0 ) + nπ 0 < X < u 1 α nπ0 (1 π 0 ) + nπ 0 j k u 1 α nπ0 (1 π 0 )+nπ 0 1 l m x= u α nπ0 (1 π 0 )+nπ 0 +1 ( ) n π x (1 π) n x x 4

33 Poznámka. Silofunkci kritického oboru testu využívajícího statistiku U lze kvůli zjednodušení i aproximovat. Po jednoduchém výpočtu (viz [15]) dostaneme β α (π) = P π (U u 1 α ) ( X nπ 0 =P π nπ0 (1 π 0 ) u 1 α = 1 P π (u α < X nπ 0 nπ0 (1 π 0 ) < u 1 α = 1 P π (u α < u 1 α ( (. = 1 Φ u 1 α (. = Φ u α ( Φ u α + Φ ) ) π0 (1 π 0 ) π(1 π) n(π π 0) nπ(1 π) < π0 (1 π 0 ) n(π π ) 0) π(1 π) nπ(1 π) π0 (1 π 0 ) n(π π ) 0) π(1 π) nπ(1 π) π0 (1 π 0 ) n(π π )) 0) π(1 π) nπ(1 π) ) π0 (1 π 0 ) + π π 0 n π(1 π) π(1 π) ( u α π0 (1 π 0 ) π(1 π) + ) π 0 π n π(1 π) X nπ nπ(1 π) Tedy pro oboustranný test obdržíme aproximaci ve tvaru ( ) β α (π) =. π π 0 π Φ 0 (1 π 0 ) n + u α π(1 π) π(1 π) ( π 0 π π + Φ 0 (1 π 0 ) n + u α π(1 π) π(1 π) ), π π 0, (3.6) pro pravostranný test pro levostranný test β α (π). = Φ β α (π). = Φ ( π π 0 π 0 (1 π 0 ) n + uα π(1 π) π(1 π) ( π 0 π π 0 (1 π 0 ) n + uα π(1 π) π(1 π) ) ), π < π 0, (3.7), π > π 0, (3.8) kde Φ(x) je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1). 5

34 V dalším textu bude používáno označení teoretické silofunkce pro tvary silofunkcí získané aproximací. Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05. Rozsah náhodného výběru volme n = 0, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. V obrázku 3.5 jsou zakresleny plnou čarou teoretické silofunkce spočítané pomocí výše uvedených vzorců a ptečkovaně silofunkce získané simulacemi. Ze zmíněného obrázku a tabulky 3.4 je patrné, že s rostoucím n roste i síla testu pro daný parametr π, zároveň se ale rozdíly mezi silami změnšují. Hodnot blízkých 1 dosahují silofunkce pro rozsahy n > 30 v bodech π = 0, a π = 0, 8, pro rozsahy n > 60 již v bodech π = 0, 3 a π = 0, 7. Pro všechny volby n je hodnota silofunkce β(π 0 ) velmi blízká hladině významnosti α = 0, H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( π ) n = 0 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = δ = π π 0 Obr. 3.5: Silofunkce oboustranného U-testu pro různá n Tabulka 3.4: Hodnoty silofunkcí oboustranného U-testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = n = n = β(π) n = n = n = n =

35 Nyní porovnáme silofunkce stejného testu pro různou volbu parametru π 0 hypotézy H 0. Mějme náhodný výběr z binomického rozdělení o rozsahu n = 100 a necht π 0 = 0, 1; 0, ; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. Výsledky simulací jsou znázorněny v obrázku 3.6 a tabulce 3.5. Test je pro všechny volby π 0 (až na π 0 = 0, 4) nadhodnocený, tj. hodnota silofunkce v daném bodě π 0 převyšuje hladinu významnosti α = 0, 05, největší rozdíl je u parametru π 0 = 0, 1, kdy β(π 0 ) je rovna 0, 07. Tabulka 3.5: Hodnoty silofunkcí oboustranného U-testu pro různá π 0, n = 100, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π π 0 = π 0 = β(π) π 0 = π 0 = π 0 = H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( π ) π = π = 0. 0 π = π = π = δ = π π 0 Obr. 3.6: Silofunkce oboustranného U-testu pro různá π 0 Věta Silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U (viz (3.)) má přesný tvar pro oboustranný test β α (π) = ju 1 α nπ0 (1 π 0 )+nπ k m x= lu α nπ0 (1 π 0 )+nπ ( ) n π x (1 π) n x, π π 0, (3.9) x

36 pro pravostranný test β α (π) = pro levostranný test β α (π) = n m x= lu α nπ0 (1 π 0 )+nπ ju 1 α nπ0 (1 π 0 )+nπ k x=0 ( ) n π x (1 π) n x, π < π 0, (3.30) x ( ) n π x (1 π) n x, π > π 0. (3.31) x Důkaz. Věta se dokáže analogicky jako věta Poznámka. Aproximace silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U má pro oboustranný test tvar ) nπ nπ0 β α (π) =Φ( 1 π 0 (1 π 0 ) + u α nπ(1 π) π(1 π) ( nπ0 nπ 1 + Φ + u α nπ(1 π) π 0 (1 π 0 ) π(1 π) ),π π 0, (3.3) pro pravostranný test pro levostranný test ( nπ nπ0 1 π β α (π) = Φ 0 (1 π 0 ) + u α nπ(1 π) π(1 π) ( nπ0 nπ 1 π β α (π) = Φ 0 (1 π 0 ) + u α nπ(1 π) π(1 π) ) ), π < π 0, (3.33), π > π 0, (3.34) kde Φ(x) je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1). Pro srovnání silofunkcí zopakujeme u testu využívajícího upravenou testovací statistiku U stejný postup simulací jako dříve. Mějme tedy hypotézu H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05. Volme opět rozsah souboru n = 0, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. Jak dokazuje tabulka 3.6 i obrázek 3.7, kde jsou teoretické silofunkce zakresleny opět plnou čarou, test je pro všechna n > 30 velmi podhodnocený, například pro n = 60 je hodnota silofunkce β(π 0 ) rovna pouze 0, 01. Test je tedy vhodný pro malé rozsahy n. Velká podhodnocennost testu se nemění, ani když volíme různé hodnoty parametru π 0, tedy π 0 = 0, 1; 0, ; 0, 3; 0, 4 a 0, 5 při fixním rozsahu výběru n = 100 (viz tabulka 3.7, obrázek 3.8). 8

37 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( π ) n = 0 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = δ = π π 0 Obr. 3.7: Silofunkce oboustranného U -testu pro různá n Tabulka 3.6: Hodnoty silofunkcí oboustranného U -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = n = n = β(π) n = n = n = n = Tabulka 3.7: Hodnoty silofunkcí oboustranného U -testu pro různá π 0, n = 100, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π π 0 = π 0 = β(π) π 0 = π 0 = π 0 =

38 1 H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( π ) π = π 0 = 0. π = π = π = δ = π π 0 Obr. 3.8: Silofunkce oboustranného U -testu pro různá π 0 Srovnání testu využívajícího statistiku U a testu s upravenou statistikou U je pro různá n demonstrováno na obrázku 3.9, kde jsou pomocí simulací vykresleny silofunkce pro testování hypotézy H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti oboustranné alternativě na hladině významnosti α = 0, 05. Silofunkce U-testu je znázorněna plnou čarou a silofunkce U pomocí teček. Ukázalo se, že tyto dvě varianty testu založeného na aproximaci normálním rozdělením se neliší pro n 49, ovšem u volby rozsahu n = 50 jsou již patrné rozdíly. Jak lze vyčíst z tabulky 3.8 (kde označuje druhou variantu testu), nejvíce se tyto dva testy liší pro parametr π = 0, 5, kdy je hodnota silofunkce β(0, 5) U-testu rovna 0, 067 a U -testu jen 0, 09. Je zřejmé, že je lépe využívat upravené statistiky U, protože tento test je stále na předepsané hladině významnosti α = 0, 05, na rozdíl od testu založeného na statistice U. Tabulka 3.8: Hodnoty silofunkcí U-testu a U -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = β(π) n = n = n =

39 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π β( π ) U: U*: n = 30 n = 40 n = 49 n = 50 n = 100 n = 30 n = 40 n = 49 n = 50 n = δ = π π 0 Obr. 3.9: Srovnání silofunkcí oboustranné varianty U-testu a U -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, Testy založené na arcussinové transformaci Pro testy hypotéz o parametru π binomického rozdělení lze využít také statistiky získané arcussinovou transformací (viz odstavec 1.5.1) U 1 = ( x n arcsin n arcsin ) π 0, (3.35) U = ( ) 8x + 3 4n + arcsin 8n + 6 arcsin 8nπ (3.36) 8n + 6 Vyhodnocení oboustranných (popř. jednostranných) testů (ozn. U 1 -test, U -test) se provede analogicky jako v odstavci Síla testů založených na arcsin-transformaci Věta Silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U 1 (viz (3.35)) má přesný tvar pro oboustranný test β α (π) = pro pravostranný test β α (π) = u1 nsin α n +arcsin «π 0 1 u α x= nsin n +arcsin «ı π 0 +1 n u α x= nsin n +arcsin «ı π ( ) n π x (1 π) n x, π π 0, (3.37) x ( ) n π x (1 π) n x, π < π 0, (3.38) x

40 pro levostranný test β α (π) = u1 nsin α n +arcsin «π 0 x=0 1 ( ) n π x (1 π) n x, π > π 0. (3.39) x Důkaz. Důkaz věty se provede analogicky jako u věty 3.6.1, tedy β α (π) = P π ( ( ) ) X n arcsin n arcsin π 0 u 1 α ( ( u = 1 P π n sin α n + arcsin ) ( u1 π 0 < X < n sin α n + arcsin )) π 0 = u1 nsin α n +arcsin «π 0 1 u α x= nsin n +arcsin «ı π 0 +1 ( ) n π x (1 π) n x x Poznámka. Silofunkci kritického oboru testu využívajícího statistiku U 1 lze vyjádřit také v aproximovaném tvaru. Jednoduchým odvozením dostaneme β α (π) =P π (U 1 u 1 α π = π 0) =P π ( ( ) X n arcsin n arcsin π 0 ( = 1 P π (u α < n arcsin u 1 α X n arcsin π 0 = 1 P π (u α n ( arcsin π arcsin ) π 0 < ( X n arcsin n arcsin ) π < u 1 α n(arcsin π arcsin π 0 )) = 1 (Φ(u 1 α n(arcsin π arcsin π 0 )) Φ(u α n(arcsin π arcsin π 0 ))) = Φ(u α + n(arcsin π arcsin π 0 )) + Φ(u α + n(arcsin π 0 arcsin π)) Tedy aproximací obdržíme pro oboustranný test tvar ) ) < u 1 α ) β(π) = Φ ( u α + n ( arcsin π arcsin π 0 )) + + Φ ( u α + n ( arcsin π 0 arcsin π )), π π 0, (3.40) 3

41 pro pravostranný test pro levostranný test β(π) = Φ ( u α + n ( arcsin π arcsin π 0 )), π < π0, (3.41) β(π) = Φ ( u α + n ( arcsin π 0 arcsin π )), π > π 0, (3.4) kde Φ(x) je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1). Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 pomocí testovací statistiky U 1. Rozsah náhodného výběru volme n = 0, 30, 40, 50, 60, 80 a 100. Výsledné silofunkce získané pomocí simulací jsou zakresleny tečkovaně v obrázku 3.10, teoretické silofunkce jsou znázorněny plnou čarou. Hodnoty silofunkcí v bodě π 0 se pohybují nad i pod hladinou významnosti α. Nejvíce podhodnocený a zároveň nejslabší je test výběru o rozsahu n = 0, kdy hodnota silofunkce β(π) v bodě π = 0, je rovna 0, 799, zatím co pro rozsah n = 30 je již β(0, ) = 0, H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( π ) n = 0 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = δ = π π 0 Obr. 3.10: Silofunkce oboustranného U 1 -testu pro různá n Pro porovnání závislosti silofunkcí na volbě parametru π 0 zafixujme rozsah náhodného výběru na hodnotě n = 100 a testujme hypotézu H 0 : π = π 0 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 pro parametr π 0 = 0, 1; 0, ; 0, 3; 0, 4 a 0, 5. Jak lze vyčíst z obrázku 3.11 i tabulky 3.10, silofunkce testu si jsou velmi podobné pro volbu parametru π 0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5, nejvíce se pak odlišuje silofunkce získaná volbou π 0 = 0, 1. Tento rozdíl je patrný zejména v bodě π = π 0 + 0, 1, kdy se hodnota silofunkce β(π) pro volby parametru π 0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5 pohybuje v rozmezí od 0, 518 do 0, 633, 33

42 Tabulka 3.9: Hodnoty silofunkcí oboustranného U 1 -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = n = n = β(π) n = n = n = n = zatím co pro volbu π 0 = 0, 1 je β(π) = 0, 813. Ovšem již v bodě π = π 0 + 0, se hodnoty β(π) pro všechny volby parametru π 0 blíží k hodnotě 1 tak, že pravděpodobnosti 1 β chyby II. druhu pro jednotlivé volby parametru se liší maximálně jen o, %. Také je patrné, že síla testu v bodě π 0 se s roustoucím π 0 zvětšuje. 1 H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0, α = 0.05,n = β( π ) π = π = 0. 0 π = π = π = δ = π π 0 Obr. 3.11: Silofunkce oboustranného U 1 -testu pro různá π 0 Věta Silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U (viz (3.36)) má přesný tvar pro oboustranný test β α (π) = u1 8n+6 sin α q 8nπ n+ +arcsin «38 8n+6 1 u α 8n+6 x= sin 8 4n+ +arcsin q ı 8nπ0 +3 «38 8n ( ) n π x (1 π) n x, π π 0, (3.43) x

43 Tabulka 3.10: Hodnoty silofunkcí oboustranného U 1 -testu pro různá π 0, n = 100, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π π 0 = π 0 = β(π) π 0 = π 0 = π 0 = pro pravostranný test β α (π) = pro levostranný test β α (π) = n u α 8n+6 x= sin 8 4n+ +arcsin 8n+6 8 sin u1 α 4n+ +arcsin x=0 q ı 8nπ0 +3 «38 8n+6 +1 q 8nπ0 +3 «38 8n+6 1 ( ) n π x (1 π) n x, π < π 0, (3.44) x ( ) n π x (1 π) n x, π > π 0. (3.45) x Důkaz. Důkaz věty se provede analogicky jako u věty Poznámka. Aproximace silofunkce kritického oboru testu využívajícího statistiku U má tvar pro oboustranný test ( β(π) = Φ u α + ( )) π + 3 π 8n n 4n + arcsin arcsin Φ ( pro pravostranný test ( β(π) = Φ pro levostranný test ( β(π) = Φ u α + 4n + u α + 4n + u α + 4n + ( ( ( arcsin arcsin arcsin 4n π n n π + 3 8n n π n n arcsin arcsin arcsin 4n π + 3 8n n π n n π + 3 8n n )) )), π π 0, kde Φ(x) je distribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1). 35 )) (3.46), π < π 0, (3.47), π > π 0, (3.48)

44 Provedeme-li opět testování hypotézy H 0 : π = π 0 = 0, 5 proti alternativě H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 pro různé volby rozsahu výběru n tentokrát ovšem pomocí statistiky U (situaci ilustruje obrázek 3.1 a tabulka 3.11), získáme obdobné výsledky jako v případě použití statistiky U 1. Hodnoty silofunkcí β(π = π 0 ) se pohybují nad i pod hladinou významnosti α = 0, H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( π ) n = 0 n = 30 n = 40 n = 50 n = 60 n = 80 n = δ = π π 0 Obr. 3.1: Silofunkce oboustranného U -testu pro různá n Tabulka 3.11: Hodnoty silofunkcí oboustranného U -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π n = n = n = β(π) n = n = n = n = Obrázek 3.13 a tabulka 3.1 demonstrují simulace testu využívajícího statistiku U pro různou volbu parametru π 0. Silofunkce pro volby π 0 = 0, 3; 0, 4; 0, 5 si jsou opět velmi blízké. Nejsilnější je test při volbě π 0 = 0, 1, výrazný rozdíl je v bodě π = π 0 +0, 1, ovšem silofunkce v bodě π = π 0 + 0, pro všechny volby parametru π 0 se již blíží hodnotě 1. 36

45 1 H 0 : π = π 0, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( π ) π 0 = 0.1 π = 0. 0 π 0 = 0.3 π 0 = 0.4 π 0 = δ = π π 0 Obr. 3.13: Silofunkce oboustranného U -testu pro různá π 0 Tabulka 3.1: Hodnoty silofunkcí oboustranného U -testu pro různá π 0, n = 100, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05 π π 0 = π 0 = β(π) π 0 = π 0 = π 0 = Volba rozsahu výběru n V rámci plánování senzorického experimentu je nutné stanovit minimální vhodný rozsah souboru n odpovídající předem stanoveným požadavkům, které zahrnují dodržení předepsané chyby II. druhu. Věta Uvažujme test jednoduché hypotézy H 0 : π = π 0 proti jednoduché alternativě H 1 : π = π 1 na dané hladině významnosti α pomocí testovací statistiky U viz (3.0). Pak rozsah výběru n, při nemž je pravděpodobnost chyby II. druhu nejvýše rovna předem dané hodnotě β, musí splňovat nerovnost n ( u 1 α π0 (1 π 0 ) π(1 π) + u 1 β ) (π π 0 ) π(1 π). (3.49) 37

46 Při využití upravené testovací statistiky U viz (3.1) je rozsah n určen vztahem n u = π(1 π) ( u 1 α n n u + n u (π π 0 ), kde (3.50) (π π 0 ) ) π 0 (1 π 0 ) π(1 π) + u 1 β + π π 0. Důkaz. Podmínka pro volbu rozsahu n má tvar 1 β α (π) β, tedy ( ) X nπ 0 1 P π nπ0 (1 π 0 ) u 1 α β ( X nπ π P π 0 (1 π 0 ) u 1 α nπ(1 π) u 1 α ) π(1 π) π π 0 n 1 β π(1 π) π 0 (1 π 0 ) π(1 π) π π 0 n = uβ π(1 π) Úpravou dostaneme výraz pro minimální hodnotu rozsahu výběru n = ( u 1 α π0 (1 π 0 ) π(1 π) + u 1 β ) (π π 0 ) π(1 π). Vzorec (3.50) udávající minimální rozsah souboru pro test využívající upravenou statistiku U se odvodí analogicky. Daný problém lze řešit také graficky (popř. numericky). Vykreslí se teoretické silofunkce pro daný test pro různá n na zadané hladině významnosti α a zjistí se, ke které z těchto silofunkcí má zadaný bod o souřadnicích [π π 0 ; β α (π π 0 )] nejblíže. Příklad: Požadujme, aby pro U-test hypotézy H 0 : π = π 0 = 0, 5 na hladině významnosti α = 0, 05 byla pravděpodobnost chyby II. druhu při alternativě H 1 : π = π 1 = 0, 8 menší než β = 0,, tj. aby síla testu v bodě δ = π π 0 = 0, 8 byla větší než 0, 8. Pak dle vzorce 3.49 lze spočítat, že je nutno volit rozsah souboru n 19.61, tedy vhodný minimální rozsah je n = 0. Danou hodnotu lze také odvodit graficky. Na obrázku 3.14(b) jsou v detailu zakresleny teoreticky spočítané silofunkce pro zadanou hladinu α a danou alternativu H 1. Bod o souřadnicích [π π 0 ; β 0,05 (π π 0 )] = [0, 3; 0, 8] leží mezi silofunkcemi pro rozsah n = 19 a n = 0, což odpovídá spočítané hodnotě n. Chceme-li tento případ pro danou alternativu a hladinu významnosti za stejné podmínky týkající se síly testovat pomocí testovací statistiky U, použijeme ke stanovení minimálního doporučeného rozsahu vztah Výpočtem získáme hodnotu n, 471, pro U -test tedy potřebujeme pro dosažení stejné síly při stejné hladině významnosti a alternativě soubor o větším rozsahu než u U-testu (viz srovnání silofunkcí těchto dvou 38

47 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( δ) δ = π π 0 n = 17 n = 18 n = 19 n = 0 n = 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05 (a) Silofunkce oboustranného U-testu 0.84 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = β( π ) n = 17 n = 18 n = 19 n = 0 n = δ = π π 0 (b) Detail silofunkcí U-testu β( π ) δ = π π 0 n = 19 n = 0 n* = n* = 3 (c) Detail silofunkcí U-testu a U -testu Obr. 3.14: Hledání minimálního rozsahu pomocí silofunkcí oboustranného U-testu a U - testu Tabulka 3.13: Hodnoty silofunkcí oboustranného U-testu a U -testu pro různá n, H 0 : π = π 0 = 0, 5, H 1 : π = π 1 na hladině významnosti α = 0, 05 n β(0, 8) β (0, 8) testů pro různá n v detailu na obrázku 3.14(c)). Pro názornost jsou uvedeny hodnoty 39

48 silofunkce β(π 1 ) v bodě π 1 = 0, 8 také v tabulce 3.13, přičemž silofunkce U -testu je značena β. Věta Mějme test hypotézy H 0 : π = π 0 proti zadané alternativě H 1 : π = π 1 na určené hladině významnosti α založený na testovací statistice U 1 viz (3.35). Pak pro n ( u1 α + u ) 1 β 4(arcsin π arcsin (3.51) π 0 ) platí, že pravděpodobnost chyby II. druhu je menší rovna dané hodnotě β. Důkaz. Věta se dokáže analogicky jako věta 3.9.1, tedy P π ( n ( arcsin 1 β α (π) β ( 1 P π ( n arcsin )) X n arcsin π 0 β ) X n arcsin ) π u 1 α n(arcsin π arcsin π 0 ) 1 β n = u 1 α n(arcsin π arcsin π 0 ) = u β ( u1 α + u ) 1 β 4(arcsin π arcsin π 0 ). Poznámka. Nerovnice (3.49), (3.50) a (3.51) určující potřebný minimální rozsah výběru n jsou odvozeny aproximací, jedná se tedy pouze o přibližné výpočty rozsahu. Vrátíme-li se k příkladu a spočítáme-li pro zadané hodnoty minimální rozsah výběru podle vzorce 3.51, dostaneme výsledek n 18, 954, tedy pro dodržení síly β 0, 8 v bodě π 1 = 0, 8 je zapotřebí souboru o rozsahu n 19. Vztah pro výpočet minimálního rozsahu výběru n splňujícího dané podmínky není pro U -test (viz (3.36)) ani pro testování pomocí intervalu π D,π H, tedy F-testu, snadné analyticky vyjádřit, problém návrhu experimentu se tedy řeší graficky nebo numericky. Pro výše uvedený příklad byla získána grafickou metodou pro oba tyto testy hodnota minimálního rozsahu n = 0. 40

49 4 Srovnání testů o parametru π binomického rozdělení Uvažujme pět výše popsaných testů: F-test založený na použití kvantilů Fisherova rozdělení v intervalu spolehlivosti (viz odstavec 3.3), U-test využívající statistiku (3.0) získanou aproximací normálním rozdělením, U -test s upravenou statistikou (3.), dále pak arcussinovou transformací odvozený U 1 -test se statistikou (3.35) a U -test využívající statistiku (3.36). Testujme hypotézu H 0 : π = π 0 proti alternativě π π 0 na hladině významnosti α = 0, 05. Tuto formulaci testu budeme uvažovat pro všechny následující rozbory v této kapitole, nebot α = 0, 05 je v praxi nejužívanější volbou. Nejprve volme parametr binomického rozdělení π 0 = 0, 5. Pomocí simulací se snadno dokáže, že F-test pro rozsah výběru n 5 nikdy hypotézu H 0 nezamítá. Nelze totiž najít taková c 1 a c (viz (3.9)), aby β(π 0 ) α, jak je patrné z tabulky 4.1. V programu pro Tabulka 4.1: Srovnání hodnot c 1, c, β(π 0 ) při π 0 = 0, 5 n c c β(π 0 ) 0,15 0,063 0,031 0,016 vykreslování teoretických silofunkcí F-testu (viz příloha P) je tato skutečnost ošetřena podmínkami. Necht je tedy n = 6. Na obrázku 4.1 lze vidět, že ani F-test, ani U -test nedosahují H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = 6 F test U test U* test U 1 test U test 0.6 β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.1: Srovnání testů pro π 0 = 0, 5 a n = 6 41

50 stanovené hladiny významnosti, přičemž více podhodnocený je U -test. Největší síly dosahuje U 1 -test pro δ 0, 47; 0, 47, tedy pro π 0, 03; 0, 97. Použití testovací statistiky U není pro dané parametry vhodné, např. silofunkce β(π) v bodě π = 0, 1 je u U -testu rovna pouze 0.48, zatímco pro U 1 -test je β(0, 1) = 0, 63. Z grafu je dále patrné, že silofunkce F-testu nabývá větších hodnot než silofunkce U-testu v rozmezí π 0, 03; 0, 18 0, 8; 0, 97. Ve srovnání s U -testem je F-test silnější do bodu π = 0, 11, resp. od bodu π = 0, 89. Zatímco sílu U 1 -testu převyšuje do bodu π = 0, 0, resp. od bodu π = 0, 98. Silofunkce U -testu nabývá vyšších hodnot než silofunkce U-testu do bodu π = 0, 08, resp. od bodu π = 0, 9. Do (resp. od) tohoto bodu je vhodnější použít jeden z testů využívajících statistiky U 1, U nebo přesný F-test. Na obrázku 4. je znázorněna situace pro volbu rozsahu výběru n = 10. F-test a U -test H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = 10 F test U test U* test U 1 test U test 0.6 β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.: Srovnání testů pro π 0 = 0, 5 a n = 10 jsou opět podhodnocené, u obou je totiž síla v bodě π = π 0 rovna 0, 08, což je méně než je stanovená hladina významnosti α = 0, 05. Silofunkce F-testu dosahuje vyšších hodnot než silofunkce U -testu pro π 0, 04; 0, 35 0, 65; 0, 96. Celkově nejméně vhodným testem pro parametr π 0, 05; 0, 95 je U -test. Použití této statistiky je výhodné pouze pro velká δ ( δ 0, 45). Do bodu π = 0, 05, resp. od bodu π = 0, 95 je nejslabší U -test. Nejsilnějším testem na intervalu π 0, 09; 0, 91 je test využívající statistiku U 1. Pro π do 0, 09, resp. od 0, 91 je výhodnější použití U-testu. Testy používající statistiky U a U se výrazně liší do bodu π = 0, 16, resp. od bodu π = 0, 84. Je-li n = 15, jak je vidět z obrázku 4.3, výsledky jsou podobné předcházející situaci. Síla v bodě π = π 0 je pro F-test rovna 0, 035 a pro U -test je to 0, 065, oba testy jsou tedy opět podhodnocené. U -test je celkově nejméně vhodným testem pro volbu parametru π 0, 1; 0, 9. Do bodu π = 0, 1, resp. od bodu π = 0, 9 nabývá nejnižších hodnot silofunkce U -testu. Pro vyšší δ, tj. δ 0, 4 je naopak jednou z nejlepších variant použití právě U -testu. Nejsilnějším testem na intervalu π 0, 15; 0, 85 je test využívající statistiku U 1. Pro π do 0, 15, resp. od 0, 85 nabývá nejvyšších hodnot U-test. S rostoucím rozsahem výběru n (viz obrázek 4.4), roste síla U -testu v bodě π = π 0 směrem k hodnotě předepsané hladiny α, ovšem nikdy jí nedosáhne. Dále také dochází 4

51 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = 15 F test U test U* test U 1 test U test 0.6 β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.3: Srovnání testů pro π 0 = 0, 5 a n = 15 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = 50 1 H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) 0.5 β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test F test U test U* test U 1 test U test δ = π π δ = π π 0 Obr. 4.4: Srovnání testů pro π 0 = 0, 5 a n = 50, 90 k zúžení intervalu pro volbu parametru π, pro nějž je nejsilnějším testem U 1 -test, zároveň k zúžení intervalu, na němž je nevhodné použít testovací statistiku U. Rozdíly mezi testy U, U 1 a U se víceméně vytrácejí. Necht π 0 = 0, 3. Pak pro n 10 nelze vůbec najít vhodné číslo c 1 (viz tabulka 4.) pro F-test. Na obrázku 4.5 je znázorněno srovnání testů pro minimální rozsah, tedy n = 11. Jak je patrné, silofunkce všech pěti testů mají asymetrický tvar, přičemž nejvíce anomální situace nastává při použití statistiky U pro δ < 0, tj. π < π 0. U -test je obecně nejslabší pro volbu parametru π z intervalu 0; 0, 93. V bodě π = π 0 = 0, 3 je síla tohoto testu rovna 0, 01, pro F-test je β(π 0 ) = 0, 0414, testy jsou tedy podhodnocené. Od bodu π = 0, 93 dosahuje nejnižších hodnot silofunkce U -testu. Jako nejsilnější test pro π < π 0 se chová U 1 -test, pro π > π 0 je pak nejvhodnější použít testovací statistiku U, kterou ovšem pro π < π 0 nelze doporučit. 43

52 Tabulka 4.: Srovnání hodnot c 1, c, β(π 0 ) při π 0 = 0, 3 n c c β(π 0 ) 0,069 0,045 0,039 0,041 1 H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test δ = π π 0 Obr. 4.5: Srovnání testů pro π 0 = 0, 3 a n = 11 Na obrázku 4.6 jsou vykresleny silofunkce testů pro volbu n = 15. Síla F-testu v bodě 1 H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test δ = π π 0 Obr. 4.6: Srovnání testů pro π 0 = 0, 3 a n = 15 π = π 0 dosahuje pouze hodnoty 0, 0199, u U -testu se jedná o hodnotu 0, 049, oba jsou tedy opět podhodnocené. Změna nastává v tom, že úlohu nejslabšího testu přebírá na 44

53 intervalu π 0, 31; 0, 75 F-test. Stejně jako v předešlé situaci je nejsilnějším testem pro π < π 0 U 1 -test, pro π > π 0 je to výrazně U-test. S rostoucím n (viz obr. 4.7) se vytrácí asymetrické chování silofunkcí. Zmenšují se rozdíly 1 H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = 30 1 H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) 0.5 β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test F test U test U* test U 1 test U test δ = π π δ = π π 0 Obr. 4.7: Srovnání testů pro π 0 = 0, 3 a n = 30, 60 mezi U -testem, F-testem a rovněž mezi U 1 -testem a U -testem. U-test zůstává nadále dominantní pro π > π 0. Je-li π 0 = 0.1, F-test zamítá hypotézu H 0 oboustranně až od n = 36, pro nižší n vůbec nelze najít vhodná čísla c 1 (viz tabulka 4.3). Na obrázku 4.8 je znázorněno srovnání silofunkcí testů pro n = 36. Tabulka 4.3: Srovnání hodnot c 1, c, β(π 0 ) při π 0 = 0, 1 n c c β(π 0 ) 0,045 0,045 0,46 0,030 Pokud chceme provádět F-test pro π 0 = 0.05 je zapotřebí volit n 7, nebot pro menší rozsahy tento test zamítá pouze jednostranně, přičemž nelze vůbec najít vhodné c 1 (viz tabulka 4.4). Srovnání silofunkcí testů je ilustrováno obrázkem 4.9. Je zapotřebí poznamenat, že není vhodné provádět testování dané hypotézy pomocí statistik U, U, U 1, U pro menší než výše doporučené rozsahy výběru pro F-test. Testy totiž pro malé rozsahy zamítají pouze jednostranně či asymetricky. Některé z nich dokonce vykazují určité další nedostatky. Konkrétně silofunkce U-testu pro π 0 = 0, 3, n = 5 a silofunkce U -testu pro π 0 = 0, 5, n = 5 a π 0 = 0, 3, n = 10 mají anomální průběhy. Tyto 45

54 1 H 0 : π = π 0 = 0.1, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test δ = π π 0 Obr. 4.8: Srovnání testů pro π 0 = 0, 1 a n = 36 Tabulka 4.4: Srovnání hodnot c 1, c, β(π 0 ) při π 0 = 0, 05 n c c β(π 0 ) 0,051 0,035 0,035 0,034 1 H 0 : π = π 0 = 0.05, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) F test U test U* test U 1 test U test δ = π π 0 Obr. 4.9: Srovnání testů pro π 0 = 0, 05 a n = 7 příklady ilustrují obrázky 4.10, 4.11 a 4.1. Příslušné hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 4.5, 4.6 a

55 1 H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.10: Anomálie u U-testu pro π 0 = 0, 3, n = 5 Tabulka 4.5: Anomálie u U-testu pro π 0 = 0, 3, n = 5 π 0,01 0,03 0,05 0,1 0,15 0,18 0, β(π) 0,0060 0,04 0,0598 0,0664 0,0578 0,0518 0, H 0 : π = π 0 = 0.5, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.11: Anomálie u U -testu pro π 0 = 0, 5, n = 5 47

56 Tabulka 4.6: Anomálie u U -testu pro π 0 = 0, 5, n = 5 π 0,01 0,015 0,0 0,03 0,04 0,05 0,08 0,1 β(π) 0,1391 0,1636 0,1760 0,1855 0,1859 0,186 0,1648 0, H 0 : π = π 0 = 0.3, H 1 : π π 0, α = 0.05, n = β( δ ) δ = π π 0 Obr. 4.1: Anomálie u U -testu pro π 0 = 0, 3, n = 10 Tabulka 4.7: Anomálie u U -testu pro π 0 = 0, 3, n = 10 π 0,01 0,0 0,03 0,05 0,1 0,15 0, 0,3 β(π) 0,0809 0,111 0,1176 0,1114 0,0789 0,0516 0,034 0,01 48

57 5 Statistické metody v senzorické analýze 5.1 Vyhodnocení rozlišovacích metod Senzorická data získaná při rozlišovacích zkouškách se vyhodnocují pomocí testů hypotéz o parametru π binomického rozdělení popsaných v kapitole Párová porovnávací zkouška Necht π je pravděpodobnost, že posuzovatel zvolí výrobek A jako intenzivnější. Pak mějme hypotézu H 0 : výrobky nelze rozlišit, tedy π = 1, proti oboustranné alternativě H 1: výrobky jsou rozdílné, tj. π 1. Hodnocení provedlo n posuzovatelů, z toho n A posuzovatelů označilo vzorek A a n B hodnotitelů se vyslovilo pro vzorek B, tedy n = n A + n B. Test lze provést za využití statistik : 1. a F 1 = n A n n A + 1 (5.1) F = n A + 1 n n A (5.) vycházejících z (3.16) a (3.17), přičemž hypotéza H 0 se zamítá, platí-li na dané hladině významnosti α ( F 1 F ν1,ν 1 α ) ( α ) nebo F F ν3,ν 4, kde F ν1,ν ( 1 α ) a Fν3,ν 4 ( α ) jsou kvantily Fisherova rozdělení s ν1 = (n n A +1), ν = n A a ν 3 = (n n A ), ν 4 = (n A + 1) stupni volnosti,. U = n A n n (5.3) založené na statistice (3.0), přičemž hypotéza H 0 se zamítá, platí-li 3. kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U u 1 α, U = n A n 1 n (5.4) dle (3.1), přičemž hypotéza H 0 se zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), 49 U u 1 α,

58 4. U 1 = n ( arcsin odvozené z (3.35), H 0 se zamítá, platí-li ) na 1 n arcsin U 1 u 1 α, (5.5) 5. kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U = 4n + ( arcsin ) 8nA + 3 4n + 3 8n + 6 arcsin, (5.6) 8n + 6 viz (3.36), H 0 se zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1). U u 1 α, Diskuze, kdy je kterou z těchto uvedených testovacích statistik vhodnější použít, je popsána v předešlé kapitole 4. V případě jednostranného testu formulujeme k hypotéze H 0 : výrobky nelze rozlišit, tj. π = 1, alternativu H 1: vlastnost výrobku A je intenzivnější než u výrobku B, tj. π > 1. Jako testovací kriterium se použije (5.1), H 0 se zamítá, pokud F F 1 α (ν 1,ν ), kde F 1 α (ν 1,ν ) je kvantil Fisherova rozdělení s ν 1 = (n n A + 1) a ν = n A stupni volnosti. Je možno použít také statistiku hypotéza H 0 se zamítá, platí-li U = n A n 1 n, (5.7) U u 1 α, kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1). Dále se využívají statistiky (5.3), (5.5) a (5.6), pomocí nichž se test vyhodnotí stejně jako v případě (5.7) Zkouška duo-trio Test pro zkoušku duo-trio se formuluje obdobně jako v odstavci Pro vyhodnocení se použijí testovací statistiky stejné jako u jednostranného testu při párové porovnávací zkoušce. Zde se ovšem jedná o jednostranný test pouze z technického hlediska, výsledkem není určení směru rozdílnosti, ale pouze její existence. 50

59 5.1.3 Trojúhelníková zkouška Necht π je pravděpodobnost, že posuzovatel zvolí vzorek A jako odlišný od ostatních. Protože se jedná o volbu jednoho vzorku ze tří, pravděpodobnost správné kombinace je π = 1. Mějme tedy hypotézu H 3 0: výrobky nelze rozlišit, tj. π = 1, proti oboustranné 3 alternativě H 1 : výrobky jsou rozdílné, tj. π > 1. Hodnocení provedlo n posuzovatelů, 3 z toho n A posuzovatelů rozpoznalo správnou kombinaci. Rozdíl ve sledované vlastnosti bude zřejmý, pokud správnou kombinaci uvede více než třetina posuzovatelů, tj. n A > n B, za platnosti n = n A + n B. Jako testové kriterium využijeme statistiky 1. F = n A n n A + 1 (5.8) odvozenou z (3.16), pak se hypotéza H 0 zamítá, platí-li na dané hladině významnosti α F 1 F 1 α (ν 1,ν ), kde F 1 α (ν 1,ν ) je kvantil Fisherova rozdělení s ν 1 = (n n A +1), ν = n A stupni volnosti.. U = 3n A n n, (5.9) viz (3.0), přičemž hypotéza H 0 se zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U u 1 α, 3. U = 6n A n 3 8n (5.10) 4. dle (3.1), hypotéza H 0 se zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U 1 = n ( U u 1 α, arcsin ) na 1 n arcsin 3 odvozené z (3.35), hypotéza H 0 se opět zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U 1 u 1 α, (5.11) 51

60 5. U = 8 8nA + 3 4n + arcsin 8n + 6 arcsin n (5.1) 8n + 6 získané z (3.36), přičemž hypotéza H 0 se zamítá, platí-li kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1), U u 1 α, Pomocí těchto jednostranných testů stejně jako u zkoušky duo-trio pouze odhadujeme, zda se výrobky liší či nikoli, ale nelze takto zjistit směr rozdílu. Pro tento účel je vhodné využití párové porovnávací zkoušky. Vhodnost použití testů je diskutována v kapitole Vyhodnocení pořadových metod Pořadová zkouška se nejčastěji vyhodnocuje Friedmanovým testem. Pořadí vzorků od jednotlivých hodnotitelů se zapíšou do tabulky a následně se spočítají součty pořadí jednotlivých vzorků. Mějme hypotézu H 0 : mezi vzorky nejsou významné rozdíly ve sledovaném znaku, proti alternativě H 1 : mezi zkoumanými vzorky je alespoň jeden, který se od jiného či jiných odlišuje. Pokud platí H 1, měly by být součty pořadí teoreticky stejné. Jako testové kriterium se použije veličina FR = 1 nr(r + 1) R i=1 T i 3n(R + 1), (5.13) kde n je počet hodnotitelů, R počet vzorků a T i jsou součty pořadí jednotlivých vzorků pro i = 1,,..., R. Testovaná hypotéza se zamítá, pokud pro dané α platí FR Q 1 α (R,n), přičemž Q 1 α (R,n) jsou kritické hodnoty tabelované pro α = 0, 05 a 0, 01, 3 n 16, 3 R 10 (viz [11]). Pro vyšší počet posuzovatelů či vzorků (pro R 5, n 5) je přijatelná aproximace testovací statistiky Pearsonovým χ rozdělením s (R 1) stupni volnosti. Hypotéza H 0 se pak zamítá, pokud pro dané α platí FR χ 1 α(r 1), kde χ 1 α(r 1) jsou kvantily Pearsonova χ rozdělení s (R 1) stupni volnosti. Zamítne-li se daná hypotéza, je vhodné zjistit, které jednotlivé vzorky se od sebe liší. K tomuto účelu slouží Némenyiho metoda vícenásobného párového porovnávání závislých výběrů. Jedná se o oboustranný test, lze tedy stanovit rozdílnost mezi vzorky jako takovou, ale nikoli její směr. Metoda výchází znovu ze součtů pořadí. Rozdíl mezi i-tým a j-tým vzorkem pak je se 100(1 α)% spolehlivostí významný, platí-li T i T j q 1 α (R, n), (5.14) 5

61 kde q 1 α (R, n) je speciální tabelovaná kritická hodnota pro párová porovnávání opět pro α = 0, 05 a 0, 01, 3 n 16, 3 R 10 (viz [11]). V případě malého rozsahu tabelovaných hodnot lze již pro R > 5 použít aproximaci. Hypotéza se pak pro dané α zamítá, platí-li nr(r + 1) T i T j g 1 α (R) (5.15) 1 kde g 1 α (R) je kritická hodnota speciální studentizované funkce pro počet vzorků v původní R-tici (viz [11], [4]) 5.3 Vyhodnocení stupnicových metod Hodnocení jednoho senzorického znaku v rámci jednoho výrobku Úkolem metod sloužících pro hodnocení jednoho senzorického znaku v rámci jednoho výrobku je srovnání pravděpodobností kategorií v rámci dané otázky. Mějme n posuzovatelů hodnotících dle stupnice o K kategoriích. Relativní četnost k- té kategorie je p k = n k n, kde n = K k=1 n k a n k je absolutní četnost k-té kategorie pro k = 1,,..., K. Při hodnocení jednoho znaku chceme ověřit, zda se podíl posuzovatelů hovořících ve prospěch jedné a druhé kategorie významně liší. V rámci jedné otázky se tedy zjišt uje, zda je rozdíl mezi absolutními četnostmi n i a n j těchto dvou kategorií statisticky významný. Tato úloha se opět řeší testem o parametru binomického rozdělení. Mějme hypotézu H 0 : kategorie se navzájem neliší, tj. π = 1, proti alternativě H 1: existuje rozdíl mezi i-tou a j-tou kategorií, tj. π 1. Hypotéza H 0 se zamítá, platí-li n i n j + 1 F 1 α (ν 1,ν ), (5.16) kde F 1 α (ν 1,ν ) je kvantil Fisherova rozdělení s ν 1 = (n j +1) a ν = n i stupni volnosti. Je-li k dispozici dostatečně velký počet hodnotitelů (dle [11] pro n i + n j > 30), lze požít také testovací statistiku u = n i n j. (5.17) ni + n j Hypotéza se pak zamítá, platí-li u u 1 α/, kde u 1 α/ je kvantil rozdělení N(0, 1). Je-li předmětem zájmu prokázání, zda podíl posuzovatelů hovořících ve prospěch i-té kategorie významně převyšuje podíl hodnotitelů stavějících se ve prospěch j-té kategorie, aplikuje se jednostranný test. V případě, že potřebujeme rozšířit srovnávání na L kategorií, využijeme test o shodě pravděpodobností L kategorií, L K. Tento test je možné provést, platí-li n 1 +n n L > 30(viz [11]). Mějme hypotézu H 0 : kategorie jsou shodné, tj. π 1 = π = = π L, 53

62 proti alternativě H 1 : alespoň jedna kategorie se od další liší, tj. π i π j pro libovolné i j. Pak pro test využijeme statistiku χ = L k=1 (n k nπ k ) nπ k. Protože pro H 0 platí π k = 1, k = 1,..., L, lze testovací kriterium zapsat jako L χ = L L k=1 n k L k=1 n k L n k. (5.18) k=1 Hypotéza se zamítá na dané hladině významnosti α, platí-li χ χ 1 α(l 1), kde χ 1 α(l 1) je kvantil Pearsonova rozdělení s (L 1) stupni volnosti. K dalším metodám sloužícím k vyhodnocení jednoho senzorického znaku u jednoho výrobku patří také metoda odhadu intervalu spolehlivosti tzv. míry asymetrie pro ordinální znak. Předpokládá se větší počet posuzovatelů (n 30) a stupnice o lichém počtu kategorií. Uprostřed stupnice se nachází tzv. neutrální kategorie. Všechna hodnocení se roztřídí do tří kategorií. Do první kategorie označené symbolem se zařadí výrobky označované jako horší, či méně intenzivní než střední úroveň, do druhé kategorie označené symbolem 0 se zařadí výsledky odpovídající střední úrovni a poslední kategorie + zahrne výsledky vyjadřující lepší nebo více intenzivní úroveň než střední úroveň. Pro tyto kategorie stanovíme absolutní a relativní četnosti, označíme je postupně n, n 0, n +, p, p 0 a p +. Za předpokladů n > 30, n + > 5 a n > 5, lze stanovit 100(1 α)% oboustranný interval spolehlivosti (α D, α H) = (a u 1 α s, a + u 1 α s ), (5.19) kde a = n + n n je odhad charakteristiky α vyjadřující míru asymetrie (podrobněji viz [11]), s = p0 (1 p 0 ) + 4p + p je odhad směrodatné chyby odhadu a u 1 α/ je kvantil rozdělení N(0, 1) Srovnání senzorického znaku dvou a více výrobků Je-li potřeba srovnat mezi sebou ve sledované senzorické vlastnosti dva výrobky A a B, použije se Wilcoxonův test. Podmínkou je, aby pro počet posuzovatelů platilo n A + n B 0. Ke každému výrobku se přiřadí náhodný výběr reprezentovaný výsledky posuzovatelů a ze všech jednotek se vytvoří sdružený výběr o rozsahu n = n A +n B uspořádaný vzestupně 54 n

63 podle velikosti. Jednotlivým hodnotám se přiřadí pořadová čísla, stejným hodnotám se přiřadí průměrná pořadová čísla. Pro každý výrobek se pak spočítá součet pořadí jednotek příslušejících do j-tého výběru a označí se T j, j = A, B. Dále se použije modifikovaná testovací statistika s opravou na spojitost u W = T j n j(n+1) ± 1, (5.0) var(sw ) kde n j je počet posuzovatelů j-tého výrobku a var(s W ) = n A n B 1 n3 K k=1 (n k) 3, n(n 1) kde K je počet kategorií, n k jsou četnosti odpovídající tzv. celkovému zastoupení k-té kategorie ve sdruženém výběru, k = 1,,..., K. Ve vztahu (5.0) použijeme + 1, je-li výraz v čitateli (bez 1) záporný, a 1, když je výraz v čitateli kladný. Provádíme-li oboustranný test, tj. zajímá-li nás, zda mají výrobky odlišnou úroveň ve sledovaném znaku, zamítneme hypotézu o shodnosti úrovní, pokud u W u 1 α, kde u 1 α je kvantil rozdělení N(0, 1). Použití jednostranného testu závisí na typu předložené stupnice. Hypotézou H 0 je tvrzení, že oba výrobky nejsou ve sledovaném znaku rozdílné. Předpokládejme použitou ordinální stupnici prvního druhu. Pak alternativa H 1 tvrdí, že výrobek A je intenzivnější nebo lepší než výrobek B. Hypotéza se zamítá, platí-li u W u 1 α. (5.1) Pokud bude alternativa H 1 tvrdit, že A je méně intenzivní nebo horší než výrobek B, hypotéza H 0 se zamítne, pokud u W u 1 α. (5.) Předpokládáme-li použití stupnice druhého druhu, pak se při alternativě H 1 hypotéza H 0 zamítá pro (5.) a při alternativě H 1 zamítáme H 0, platí-li (5.1). Pro srovnání senzorického znaku u více než dvou výrobků je vhodnou metodou Kruskalův-Wallisův test. Předpokládejme, že se hodnotí R výrobků ve sledované vlastnosti a počet posuzovatelů n je alespoň 5. Každému výrobku se přiřadí náhodný výběr reprezentovaný výsledky posuzovatelů a ze všech jednotek se vytvoří sdružený výběr o rozsahu n = n 1 + n n R uspořádáný vzestupně podle velikosti. Jednotlivým hodnotám se přiřadí pořadová čísla. Pro každý výběr se pak počítá součet pořadí jednotek příslušejících do r-tého výběru. Mějme hypotézu H 0 : mezi R výrobky není rozdíl v úrovni sledovaného znaku, proti alternativě H 1 : existuje alespoň jeden výrobek, který se ve sledované R-tici v úrovni senzorického znaku liší od jiného či jiných. Použije se testovací kriterium Q KW = 1 n(n + 1) R r=1 55 T r n r 3(n + 1). (5.3)

64 Pokud je shodných pozorování ve všech výběrech více než 5%, pak se doporučuje užít korigované testové kritérium Q KW = Q KW, (5.4) 1 D n 3 n kde D = K k=1 (n3 k n k), K je počet kategorií, R je počet výrobků, n k je počet pozorování v k-té kategorii ve sdruženém souboru, n r počet posuzovatelů v r-tém výběru, n = R r=1 n r je celkový počet posuzovatelů a T r je součet pořadí jednotek r-tého výběru. Hypotéza se při dané hladině α zamítá, pokud platí Q KW χ 1 α(r 1), kde χ 1 α(r 1) je kvantil Pearsonova rozdělení s (R 1) stupni volnosti. Pokud byla na základě Kruskalova-Wallisova testu zamítnuta hypotéza o shodě úrovní, je vhodné pokračovat Némenyiho metodou vícenásobného porovnávání nezávislých výběrů pro zjištění, které jednotlivé vzorky v R-tici posuzovaných výrobků se od sebe liší. Jestiže je počet posuzovatelů n r u všech výrobků stejný a platí n r 5, rozdíl mezi i-tým a j-tým výrobkem je významný se spolehlivostí 100(1 α)%, platí-li T i T j > Q 1 α (R, n r ), (5.5) kde T i, T j jsou součty pořadí jednotek příslušejících i-tému, j-tému výrobku a R je počet výrobků zahrnutých v původním Kruskalově-Wallisově testu. Pro n r 5 a R 10 jsou kritické hodnoty Q 1 α (R,n r ) tabelované pro α = 0, 05 a α = 0, 01 (viz [11]). Jestiže je počet posuzovatelů n r u všech výrobků stejný, platí n r > 5 a pro počet výrobků platí R 0, rozdíl mezi i-tým a j-tým výrobkem je významný se spolehlivostí 100(1 α)%, platí-li R(Rnr + 1) T i T j > g 1 α (R)n r. (5.6) 1 Kritické hodnoty g 1 α (R) speciální studentizované funkce jsou tabelované pro počet posuzovatelů R 0 a hladiny významnosti α = 0, 05 a α = 0, 01 (viz [11]). Pro nestejný ale dostatečný počet posuzovatelů u všech výrobků je rozdíl mezi i-tým a j-tým výrobkem významný se spolehlivostí 100(1 α)%, platí-li vztah T i T ( j n i n j > n i n j ) n(n + 1)χ 1 α(r 1), (5.7) kde χ 1 α(r 1) je kvantil Pearsonova rozdělení s (R 1) stupni volnosti. Všechny uvedené typy testů Neményiho metody jsou oboustranné, tj. lze stanovit pouze rozdílnost v úrovni jako takovou, a nikoli její směr. Podrobný popis testů pro vyhodnocování stupnicových metod obsahuje např. [], [8]. 56

65 6 Software pro zpracování senzorických dat V rámci diplomové práce byl na základě výše uvedených teoretických závislostí v programovacím jazyce Delphi vytvořen uživatelský software SMSA verze 1.09 (zkratka názvu Statistické metody v senzorické analýze) pro vyhodnocování senzorických dat vybranými statistickými metodami. Skládá se ze dvou modulů: Senzorická analýza a Analýza jednorozměrných dat. Výběr mezi sekcemi i následně mezi jednotlivými testy se provádí pomocí roletového menu umístěného v horní části aplikace. Všechny aktuální výsledky včetně vstupních dat lze ukládat ve formátu.txt v průběhu testování, vykreslené grafy lze uložit ve formátu.bmp. Obr. 6.1: Software SMSA 6.1 Senzorická analýza Tento modul obsahuje prostředky k vyhodnocení rozlišovacích, pořadových a stupnicových senzorických metod dle kapitoly 5, přičemž je přesně zachováno výše uvedené názvosloví a označení proměnných. 57

66 6.1.1 Rozlišovací zkoušky Po zvolení jedné z rozlišovacích zkoušek z menu (viz obrázek 6.) lze vybrat konkrétní test, podle kterého se získaná senzorická data vyhodnotí. Na obrázku 6.3 je možno vidět ukázku Obr. 6.: Roletové menu oboustranné párové porovnávací zkoušky. Byla zadána vstupní data: hladina významnosti α, počet hodnotitelů n A, kteří označili vorek A, a počet hodnotitelů n B, kteří vybrali Obr. 6.3: Ukázka rozlišovací zkoušky vzorek B. Byl zvolen test pomocí statistiky F. Po výpočtu se zobrazily zarámečkované 58

67 výsledky obsahující vypočtené příslušné statistiky F 1, F a kvantily F 1 α, F1, dále pak červeně zvýrazněný závěr celého testu. Uživatel má možnost stisknout tlačítko Analýza silofunkcí, čímž otevře nové okno, kde se vykreslují silofunkce pro předem zadané hodnoty a vybrané druhy testů (viz obrázek 6.4). Zároveň se vypisují hodnoty β(δ) v bodě δ = 0, tedy π = π 0. Konkrétně pro pořadovou Obr. 6.4: Analýza silofunkcí zkoušku je v nabídce také tlačítko Volba rozsahu výběru, po jehož stisknutí se otevře okno, v němž lze zadat potřebné hodnoty pro výpočet minimálního rozsahu výběru (ten se provádí na základě vzorců uvedených v odstavci 3.9). Pro zadanou hladinu významnosti α, hypotézu H 0 : π = π 0 proti alternativě H 1 = π = π 1 se požaduje splnění podmínky, že pravděpodobnopst chyby II. druhu nebude větší než β. Daná situace je ilustrována na obrázku 6.5. Ve spodním rámečku jsou vypsány spočtené hodnoty minimálního rozsahu výběru n pro jednotlivé vybrané testovací statistiky Pořadové zkoušky Po zvolení položky Pořadová zkouška, přičemž na výběr jsou obě varianty uvedené v odstavci 5., uživatel zadá počet vzorků a počet hodnotitelů. Poté vyplní do tabulky jednotlivá pořadí získaná při senzorické zkoušce a stiskne tlačítko Vypočti. Zobrazí se tabulka s diferencemi mezi vzorky, vypočtené testovací kritérium F R, kritické hodnoty Q, nebo χ 1 α, pro Némenyiho metodu krit., závěr a tabulka se vzorky, mezi nimiž jsou statisticky významné rozdíly (viz obrázek 6.6). 59

68 Obr. 6.5: Volba rozsahu testu Obr. 6.6: Ukázka pořadové zkoušky 60

69 6.1.3 Stupnicové zkoušky Vyhodnocení jedné otázky v jednom výběru Uživatel nejdříve zadá počet kategorií použité stupnice, přičemž maximální počet je 7, poté vyplní tabulku získanými absolutními četnostmi a vybere si jeden z testů uvedených v odstavci 5.3.1, tedy Srovnání relativní četnosti a teoretické pravděpodobnosti u jedné kategorie, Srovnání struktury výběru s předpokládanou strukturou, Srovnání dvou kategorií - přesný test, Srovnání více než dvou kategorií nebo Vyhodnocení míry asymetrie. Na obrázku 6.7 je znázorněna první situace. Obr. 6.7: Ukázka vyhodnocení jedné otázky v jednom výběru Srovnání výsledků jedné otázky ve dvou a více výběrech Zde jsou na výběr tyto funkce: Srovnání dvou nezávislých výběrů - oboustranný a jednostranný Wilcoxonův test, Srovnání tří a více nezávislých výběrů - Kruskalův-Wallisův test. Vyhodnocení se provádí dle odstavce Na obrázku 6.8 lze vidět příklad Kruskalova- Wallisova testu. 6. Analýza jednorozměrných dat Sekce Analýza jednorozměrných dat je zpracována nad rámec teoretické části této diplomové práce, jednotlivé výpočty jsou založeny na vzorcích uvedených v literatuře [10], [5]. Tato část aplikace se dále dělí na: Základní zpracování dat, Srovnání souboru s předpokladem, Srovnání dvou nezávislých souborů a Srovnání dvou závislých souborů. 61

70 Obr. 6.8: Ukázka srovnání tří a více nezávislých výběrů 6..1 Základní zpracování dat Na základě vstupních dat vyplněných do tabulky je možno jednak ověřit normalitu výběru pomocí C-testu (test založený na výběrové šikmosti a výběrové špičatosti viz [5]) a dále pak spočítat tyto základní charakteristiky souboru: rozsah souboru, aritmetický průměr, momentový rozptyl, momentová odchylka, výběrový rozptyl, výběrová odchylka, koeficient šikmosti a koeficient špičatosti (viz [5]). Ilustrující ukázka je uvedena na obrázku Srovnání souboru s předpokladem V této sekci se provádí srovnání hodnot s předpokladem pomocí parametrických testů a testů pro vyhodnocení nominálního znaku. Testy pro nominální znak se provádějí analogicky jako při vyhodnocování jedné otázky v jednom výběru u stupnicových metod (5.3.1). Využitím parametrických testů může uživatel srovnat jak rozptyl (test χ pro rozptyl souboru viz [10]), tak střední hodnotu souboru s předpokládanou konstantou (ttest při známém rozptylu viz [10]). Na obrázku 6.10 je uveden příklad srovnání střední hodnoty s předpokladem Srovnání dvou nezávislých souborů Dva nezávislé soubory se srovnávají pomocí parametrických metod, a to porovnáním bud jejich rozptylů (F-test [10]), nebo jejich středních hodnot (příklad uveden na obrázku 6.1). Před hodnocením středních hodnot souborů je zapotřebí zvolit předpoklad heteroskedasticity, nebo homoskedasticity, dle tohoto požadavku se pak zvolí příslušný test (dvouvýběrové t-testy viz [10]). Je možno také využít funkce Ověřit shodnost rozptylů. Dle jejího výsledku se předpoklad automaticky nastaví (ilustrováno na obrázku 6.11). 6

71 Obr. 6.9: Ukázka základního zpracování dat Obr. 6.10: Ukázka srovnání souboru s předpokladem 63

72 Obr. 6.11: Ukázka srovnání dvou nezávislých souborů - ověření homoskedasticity Obr. 6.1: Ukázka srovnání dvou nezávislých souborů - srovnání středních hodnot 6..4 Srovnání dvou závislých souborů Tato sekce využívá opět parametrické metody. Spočívá v porovnání souboru zadaných diferencí s předpokládanou nulovou střední hodnotou (t-test při známém rozptylu [10]). Ukázku lze vidět na obrázku

73 Obr. 6.13: Ukázka srovnání dvou závislých souborů 65

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Limitní věty teorie pravděpodobnosti. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jestliže opakujeme nezávisle nějaký pokus, můžeme z pozorovaných hodnot sestavit rozdělení relativních četností

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA

MATEMATICKÁ STATISTIKA MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat

Více

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní

X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní ..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat

1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat 1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky

Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky Errata ke skriptu Základy počtu pravděpodobnosti a metod matematické statistiky K. Hron a P. Kunderová Autoři prosí čtenáře uvedeného studijního textu, aby případné další odhalené chyby nad rámec tohoto

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013

Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika. 1 Úvodní poznámky. Verze: 13. června 2013 Bakalářské studium na MFF UK v Praze Obecná matematika Zaměření: Stochastika Podrobnější rozpis okruhů otázek pro třetí část SZZ Verze: 13. června 2013 1 Úvodní poznámky 6 Smyslem SZZ by nemělo být toliko

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace

Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na

Více

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce

Rozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení

NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který

Více

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze

Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f

Více

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek

Náhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Bodové odhady a intervaly spolehlivosti Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 10 Vytvořeno v rámci projektu 963/011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 10) Bodové odhady a intervaly

Více

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek

Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek 10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1 PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované

Více

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a

Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a Všechno, co jste chtěli vědět z teorie pravděpodobnosti, z teorie informace a báli jste se zeptat Jedinečnou funkcí statistiky je, že umožňuje vědci číselně vyjádřit nejistotu v jeho závěrech. (G. W. Snedecor)

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin

Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 24 Příklad (25 bodů) Spočtěte Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A M x 2 dxdy, kde M = {(x, y) R 2 ;

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

MATEMATICKÁ STATISTIKA.   Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým

Více

Náhodné (statistické) chyby přímých měření

Náhodné (statistické) chyby přímých měření Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více