Záznam o ústní zkou²ce z p edm tu 01RMF (akademický ²kolní rok 2015/2016) P íjmení a jméno Datum Hodnocení Písemka Celkové hodnocení Podpis studenta

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Záznam o ústní zkou²ce z p edm tu 01RMF (akademický ²kolní rok 2015/2016) P íjmení a jméno Datum Hodnocení Písemka Celkové hodnocení Podpis studenta"

Transkript

1 báze v Hilbertov prostoru obory excentricity parciální diferenciální rovnice (a metoda jejich detekce pro PDR druhého ádu pro funkci dvou prom nných) fundamentální e²ení operátoru 1. ➋ Dokaºte: f( x), g( x) L 2 (G) f( x)g ( x) L 1 (G). ➌ Z jakého d vodu nem ºe být rovnost ( L[f(t)](p), φ(p) ) = ( f(t), L[φ(p)](t) ) prohlá²ena za denici zobecn né Laplaceovy transformace? ➍ O em pojednává Hellinger v-toeplitz v teorém? K emu ho lze vyuºít? ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o omezenosti Volterrova integrálního operátoru a v²ech jeho mocnin. ➏ Vyslovte a dokaºte v tu o vyhlazení charakteristické funkce omezené oblasti G E r.

2 2. L p a L p násobení funkcí v D (E r ) a anní transformace (z stává výsledek t chto operací skute n v D (E r )?) komutující operátory obor nulovosti zobecn né funkce ➋ Pro klasické funkce dokaºte rovnost ( ) f f( x) g( x) = x k x k Jaké p edpoklady pro f( x) a g( x) je nutno uvaºovat? g( x). ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o klasickém Laplaceov obrazu derivace. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o Fourierov obrazu fundamentálního e²ení. ➎ Dokaºte: f( x) L 2 (G) H G µ(h) < + f( x) L 1 (H). ➏ Dokaºte, ºe transforma ní vztahy odvozené z e²ení rovnice y = λ 1,2 (x, y) skute n p evád jí parabolickou diferenciální rovnici do normálního tvaru.

3 hustota derivace v D geometrická násobnost vlastního ísla operátoru (jaké vlastnosti má geometrická násobnost u operátoru s ist bodovým spektrem a jak to souvisí s po tem vlastních ísel?) 3. ➋ Dokaºte: Nech S = {f 1 (x), f 2 (x),...} je maximální ortonormální mnoºina na Hilbertov prostoru H a g(x) H. Nech pro kaºdé k N : g f k = 0. Pak g( x) = 0. ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o derivaci klasického Laplaceova obrazu. ➍ Vyslovte a dokaºte základní v tu o e²ení diferenciální rovnice v D. ➎ Dokaºte: f n (x) = s(x) g( x) H fn g = s g. n=1 n=1 ➏ Dokaºte, ºe Fourierova transformace je zobrazení z S (E r ) do S (E r ). D kaz demonstrujte na p ípad r = 1.

4 4. skalární sou in na prostoru funkcí (a n které p íklady) D(G) a D (G) Volterrova integrální rovnice a Volterrovo jádro separabilní Hilbert v prostor ➋ Dokaºte: L[Θ(t) t 0 f(τ) dτ] = F (p) p ➌ Dokaºte, ºe pro libovolnou testovací funkci φ(x) D(R) existuje K R + 0 x, y R (x y) platí φ(x) φ(y) x y K. tak, ºe pro kaºdé ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o hermiticit sloºeného operátoru K L. ➎ Z jakého d vodu nelze p ijmout rovnost ( f g, φ( x) ) = ( f( x) g( y), φ( x + y) ) za denici konvoluce v D? Podrobn vysv tlete na p íklad. ➏ Prezentujte detailn konstrukci Legendreových polynom.

5 5. D a D reg Cauchyova úloha pro vlnovou rovnici a její p evod do D rezolventa integrální rovnice ➋ Odvo te obrazy F[δ µ ] a F[sin(αx)]. ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o posunutí tenzorového sou inu. ➍ Diskutujte pojem unfoldované spektrum operátoru. Jakým zp sobem se konstruuje p íslu²ná operátorová báze v H? ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o omezenosti Fredholmova integrálního operátoru na Banachov prostoru C σ (Ḡ) i na prostoru kvadraticky integrabilních funkcí L 2(G). ➏ Prezentujte detailn konstrukci Hermiteových polynom.

6 konvergence na prostoru zobecn ných funkcí Cauchyova úloha pro Schrödingerovu rovnici a její p evod do D nosi zobecn né funkce a zobecn ná funkce s pozitivním nosi em 6. ➋ Vyslovte a dokaºte v tu o násobení tenzorového sou inu funkcí a( y) (f( x) g( y) ). ➌ Jak souvisí hodnota funkcionálního diskriminantu d(x, y) s typem excentricity parciální diferenciální rovnice? Dokaºte. ➍ Dokaºte následující tvrzení (tzv. lemma o kruhovém spektru): Nech L : H H je operátor s ist bodovým spektrem, pro který platí, ºe σ( L) leºí na jednotkové kruºnici v Gaussov rovin. Dokaºte, ºe vzdálenost obraz dvou funkcí z H se aplikací operátoru L nem ní. ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o e²ení Fredholmovy integrální rovnice se separabilním jádrem. ➏ Dokaºte komutativitu tenzorového sou inu.

7 operace rovnosti, s ítání a násobení na prostoru D (E r ) (z jakého d vodu z stávají výsledky t chto operací v D (E r )?) Diracova prostá vrstva Co je faktorová funkce a faktorový prostor funkcí? 7. ➋ Dokaºte rovnost D (1,1,...,1) Θ µ ( x) = δ µ ( x). ➌ Dokaºte, ºe jsou-li f, g regulární distribuce s generátory f( x), g( x) L 1 (E r ), pak f g existuje a je také regulární. Co je jejím generátorem? ➍ Dokaºte, ºe je-li Fredholm v operátor zadán spojitým jádrem, pak lze volit Dom( K) = C σ (Ḡ) i Dom( K) = L 2 (G). ➎ Dokaºte, ºe konverguje-li (η k ) k=1 také. k jedni ce, pak ( η k + η ) k x j k=1 ➏ Vyslovte a dokaºte v tu o vlastních íslech integrálního operátoru se separabilním jádrem.

8 8. Hilbert v prostor funkcí a konvergence podle normy tenzorový sou in v D spojitost operátoru t ída funcí D sep (E r+s ) a její zásadní vztah k D(E r+s ) ➋ Nech φ( x) D(E r ). Za jakých p edpoklad platí a( x)φ( x) D(E r )? Své tvrzení dokaºte. Jaká je alternativa tohoto tvrzení pro φ( x) S (E r )? ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o limit obrazu pro klasickou Laplaceovu transformaci. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o reálnosti kvadratické formy hermiteovského operátoru. Ob implikace dokaºte. Co lze z tohoto tvrzení odvodit pro vlastní ísla hermiteovského operátoru? ➎ Dokaºte, ºe je-li Volterr v operátor zadán spojitým jádrem, pak lze volit Dom( K) = C σ ( 0, a ). ➏ Vyslovte a dokaºte v tu o derivaci konvoluce zobecn ných funkcí.

9 hlavní hodnota integrálu konvoluce v D omezenost operátoru 9. ➋ Vyslovte a dokaºte v ty o vztahu klasického a zobecn ného e²ení parciální diferenciální rovnice L(u) = f( x). ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o obrazu konvoluce pro klasickou Laplaceovu transformaci. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o ortogonalit vlastních funkcí. ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o e²ení Volterrovy integrální rovnice metodou postupných aproximací. ➏ Dokaºte v tu: Nech f, g D a g je nitní. Pak existuje konvoluce f g a pro kaºdou testovací funkci φ( x) D platí ( f g, φ( x) ) = ( f( x) g( y), η( y)φ( x + y) ), kde η( y) je libovolná testovací funkce, která je na okolí nosi e supp(g) rovna jedné.

10 10. lokáln integrabilní funkce (kde se tento pojem uplat uje v teorii zobecn ných funkcí?) Diracova δ funkce a centrovaná δ funkce operátor s ist bodovým spektrem ➋ Uvaºujme integrální rovnici µ K(φ) + f( x) = φ( x) a mnoºiny W 0 := {φ( x) Dom( K) : µ K(φ) = φ( x)} a W f := {φ( x) Dom( K) : µ K(φ)+f( x) = φ( x)}. Diskutujte, jaké vlastnosti ob mnoºiny spl ují a jaká je mezi nimi vazba. Jak tyto vlastnosti souvisejí s po tem e²ení rovnice s pravou stranou a bez pravé strany? ➌ Dokaºte spojitost tenzorového sou inu. ➍ Podle denice ukaºte, ºe δ f = f δ = f. ➎ Dokaºte, ºe Volterr v operátor se spojitým jádrem je lineární, spojitý a omezený na deni ním oboru Dom( K) = C σ ( 0, a ). ➏ Zodpov zte a va²e tvrzení podpo te korektním výpo tem: Nech u(x, t) C 1 (R 2 ) \ C 2 (R 2 ). Nech w(x, t) je zobecn ná funkce generovaná klasickou funkcí Θ(t)u(x, t). ƒemu je v D (R 2 ) roven výraz w (x, t)? t

11 11. kone ná ást (partie nie) superstejnom rná konvergence ve Schwartzov prostoru kvadratická a bilineární forma indukovaná operátorem ➋ Diskutujte vztah mezi L, L 1, L 2 a L loc. Jednotlivá tvrzení zd vodn te. ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o vztahu stejnom rné konvergence a konvergence podle normy na L (w) 2 (G), kde µ(g) <. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o asociativit konvoluce v D +(R). ➎ Formulujte Cauchyovu úlohu pro dopravní rovnici a p eve te ji do e i zobecn ných funkcí. ➏ Odvo te metodu pro hledání transforma ních vztah pro hyperbolickou PDR druhého ádu pro funkci dvou prom nných.

12 12. superstejnom rná konvergence v prostoru testovacích funkcí Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla a její p evod do D Neumannova ada integrální rovnice (dokaºte její regulární konvergenci pro Fredholm v i Volterr v integrální operátor) ➋ Leºí Heavisideova, resp. Diracova funkce (v etn centrovaných variant) v D +(E r )? Podrobn komentujte. ➌ Dokaºte, ºe zobrazení F : S S je spojité. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o derivaci tenzorového sou inu. ➎ Dokaºte, ºe je-li f( x) L 1 (E r ), pak F[f( x)] existuje. ➏ Dokaºte v tu: Nech S = {f 1 ( x), f 2 ( x),..., f k ( x),...} je báze v separabilním Hilbertov prostoru H tvo ená vlastními funkcemi operátoru L s ist bodovým spektrem. Ozna me µ k vlastní íslo p íslu²né vlastní funkci f k ( x). Nech U = {µ 1, µ 2,..., µ k,...}. Pak σ( L) = U.

13 13. funkcionál (jeho spojitost a linearita) Heavisideova a centrovaná Heavisideova funkce (klasická a zobecn ná) hermiticita operátoru okolí mnoºiny ➋ Z denice hermiticity operátoru odvo te podmínku pro jádro K ( x, y) integrálního operátoru K denovaného na L 2 (G) posta ující pro to, aby K byl hermiteovský. ➌ Dokaºte, ºe je-li f( x) S, pak F[f( x)] existuje. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o existenci konvoluce pro klasické funkce. ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o e²ení Fredholmovy integrální rovnice metodou iterovaných jader. ➏ Jak vypadá obecný vztah pro laplaceovskou inverzi? Vztah d kladn rozeberte a jeho aplikací odvo te Laplace v vzor k obrazu F (s) = Θ(s)/s.

14 14. spojitost skalárního sou inu Sochockého distribuce typy denitnosti operátoru nitní distribuce ➋ Vyslovte v tu o zjednodu²ení denice zobecn né konvoluce za p edpokladu, ºe ob funkce f, g budou ze t ídy D +(R). K emu lze takové zjednodu²ení dále vyuºít? ➌ Dokaºte, ºe je-li f(t) P(R), pak L[f(t)] existuje. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o e²ení Fredholmovy integrální rovnice metodou postupných aproximací. ➎ Co zajímavého lze demonstrovat na konvoluci Θ δ 1? ➏ Odvo te metodu detekce normaliza ních transforma ních vztah pro diferenciální rovnici s konstantními koecienty.

15 15. Fourierova ada funkce f H, Fourierovy koecienty prostory S (E r ) a S (E r ) posloupnost konvergující k jedni ce (+ p íklad konstrukce) ➋ Vyslovte a dokaºte v tu o vektorovém prostoru vlastních funkcí. Jak souvisí tato v ta s pojmem geometrická násobnost? ➌ Rozhodn te o platnosti následující implikace: f(x) S (R) Dom(f) (0, + ) L[f] existuje. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o zám n klasického laplaceovského obrazu a vzoru v ur itém integrálu. ➎ Dokaºte Sochockého vzorce a v²echny kroky d kazu korektn zd vodn te. ➏ Dokaºte v tu: Konvoluce zobecn ných funkcí je na D +(R) spojitá v obou argumentech, tj. pro libovolnou zobecn nou funkci g D +(R) a libovolnou posloupnost zobecn ných funkcí f k D +(R), která v D (R) konverguje k funkci f D +(R), platí rovnosti lim (f k g) D = f g, lim (g f k) D = g f. k k

16 16. Parseval v vzorec, Parsevalova rovnost a Besselova nerovnost (diskuse jejich vztah) klasická Laplaceova transformace funkcionální σ norma (diskutujte, pro jde o normu a na co je t eba dát p i denici funkcionální σ normy pozor) ➋ Dokaºte, ºe centrovaná Diracova δ funkce je singulární. ➌ Dokaºte: Nech φ( x), ψ( x) S (E r ) a φ, ψ jsou regulární distribuce generované funkcemi φ( x), ψ( x) S (E r ). Pak v S (E r ) platí rovnost ( F[φ], ψ( x) ) = ( φ, F[ψ( x)]). Pro se tato v ta dokazuje je²t p ed zavedením Fourierovy transformace na prostoru temperovaných distribucí? ➍ Dokaºte, ºe kaºdý skalární sou in na Hilbertov prostoru H je spojitý. Jaký je d sledek této vlastnosti? ➎ Odvo te tvar jádra integrálního operátoru K 2 pro Volterr v integrální operátor. Je operátor K 2 také Volterrova typu? ➏ Vyslovte a dokaºte v tu o harmonickém e²ení vlnové rovnice a rovnice vedení tepla.

17 17. parciální diferenciální operátor druhého ádu a jeho vlastnosti (zapi²te tvar operátoru v multiindexové notaci) klasická Fourieova transformace t ídy W 0 a W f pro parciální diferenciální operátor L a jejich vztah konvergence ve t íd temperovaných distribucí ➋ Za jakých podmínek platí implikace Dokaºte a srovnejte. limnorm f n( x) = f( x) H limnorm L ( f n ( x) ) = L ( f( x) )? n n limnorm n f n( x) = f( x) H lim n L(f n ) g = L(f) g. ➌ Dokaºte komutativitu konvoluce (v L 1 i v D ). ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o derivaci obrazu ve Fourierov transformaci (v S i S ). ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o e²ení Volterrovy integrální rovnice metodou iterovaných jader. ➏ e²te rovnici x m f(x) = 0 v S (R) a znalosti jejího e²ení uºijte p i odvození Fourierova obrazu jednotkové funkce.

18 18. klasikace parciálních diferenciálních rovnic druhého ádu Fourierova transformace v S (E r ) integrální rovnice (typologie integrálních rovnic) ➋ Dokaºte rovnost δ µ = δ( x µ). ƒemu se rovná supp(δ µ )? Své tvrzení dokaºte. ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o substituci ve vzoru ve Fourierov transformaci (v S i S ). ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o omezenosti spojitého operátoru. ➎ Vyslovte a dokaºte v tu o Parsevalov vzorci a Parsevalov rovnosti. ➏ Dokaºte v tu: Operátor s ist bodovým spektrem, pro který σ( L) R, je hermiteovský.

19 19. zobecn ná alternativa pro klasickou funkci 1 x µ diferenciální operátor v D a e²ení diferenciální rovnice v D jádro integrálního operátoru a jeho spojitost, resp. separabilita ➋ Vyslovte a dokaºte v tu o parciální derivaci sou inu zobecn ných funkcí. ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o Fourierov obrazu konvoluce v S. ➍ Vyslovte a dokaºte v tu o harmonickém e²ení dopravní rovnice. ➎ Jak lze rozepsat δ( x) D (E r ) za pomoci tenzorového sou inu? Dokaºte. K s ist bodovým spektrem, ➏ Dokaºte v tu: Nech je dán Fredholm v integrální operátor jehoº deni ním oborem je L 2 (G). Nech soubor σ unf ( K) = (λ 1, λ 2, λ 3...) je unfoldovaným spektrem tohoto operátoru a B = { φ 1 ( x), φ 2 ( x), φ 3 ( x)... } p íslu²ná operátorová báze. Nech ada k=1 λ k konverguje. Pak integrální jádro takového operátoru m ºe být p epsáno do tvaru K ( x, y) = l=1 λ lφ l ( x)φ l ( y).

20 20. prostor testovacích funkcí a p íklady Cauchyova úloha pro oby ejnou diferenciální rovnici a její p evod do D mez integrálního jádra a d kaz její kone nosti ➋ Vyslovte a dokaºte v tu o zobecn né derivaci skokové funkce. ➌ ƒemu se rovná L[ f(t) t ] a za jakých p edpoklad? Dokaºte. ➍ Dokaºte Besselovu nerovnost. ➎ Pro v D neexistuje 1 x? Jak se absence této distribuce e²í? ➏ Vyslovte a dokaºte tvrzení o tvaru Fourierovy inverzní transformace v S i S. Uºijte faktu, ºe F[1] = (2π) r δ( ξ).

21 21. Cimrmanovy bu inky linearita a spojitost funkcionálu nad D(E r ) - denici demonstrujte na p íklad ( f, φ( x) ) = Banach v prostor C σ (J) ➋ Dokaºte, ºe δ µ D (E r ) a Θ µ D (E r ). φ( µ 2 x) d x ( µ E r ). ➌ Vyslovte a dokaºte v tu o obrazu derivace ve Fourierov transformaci (v S i S ). ➍ Vyslovte v tu o Fourierov rozvoji a diskutujte, jakým zp sobem lze dokázat. ➎ Za jakých podmínek platí vlastnost R f(x)g(x) dx = F (x)g(x) dx z Fourierova desa- R tera? Dokaºte. ➏ Dokaºte: Nech S = {f 1 (x), f 2 (x),...} je ortonormální mnoºina na Hilbertov prostoru H a g(x) H. Ozna me a k := g f k. Pak existuje limita limnorm n n a k f k (x) = a k f k (x) H. k=1 Ozna íme-li tuto limitu h(x), pak navíc pro kaºdé k N platí: g h fk = 0. k=1

Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF

Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF Příjmení a jméno 1 2 3 4 5 CELKEM Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF 15/01/2016, 9:00 10:00 ➊ Je funkcionál denovaný p edpisem ze t ídy D (G), kde G = (1, + ). Vysv tlete! ( g; φ(x)) := R φ(x)

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte

Více

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci

nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A

Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu

Více

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4

Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2

Více

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =

1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) = I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

22 Základní vlastnosti distribucí

22 Základní vlastnosti distribucí M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající

Více

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY

I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.

Více

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo

Více

Záznam o ústní zkoušce z předmětu 01MAB4 (akademický školní rok 2017/2018) Příjmení a jméno studenta Finální hodnocení Datum ústní zkoušky

Záznam o ústní zkoušce z předmětu 01MAB4 (akademický školní rok 2017/2018) Příjmení a jméno studenta Finální hodnocení Datum ústní zkoušky hladká funkce na oblasti G E r 1. matematickým zápisem vystihněte geometrickou interpretaci abstraktního Lebesgueova integrálu Kam míří gradf( a)? Své tvrzení podpořte výpočtem. Jaký je rozdíl mezi symboly

Více

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32

5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité

Více

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce

Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx

Více

ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III

ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK. Matematika pro fyziky III ZS: 2018/2019 NMAF063 F/3 Josef MÁLEK Matematika pro fyziky III OBECNÉ INFORMACE A SYLABUS Přednášející: Cvičící: Josef Málek Tomáš Los, Michal Pavelka, Michal Pavelka, Vít Průša Termíny přednášek: čtvrtek

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019 Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.

Více

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic

1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic 1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma

Více

Parciální diferenciální rovnice

Parciální diferenciální rovnice Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s

Více

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU

M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU M4140 Vybrané partie z matematické analýzy Přírodovědecká fakulta MU jaro 2010 Rozsah 4/2/0. 6 kr. Ukončení: zk. 1) Obyčejné diferenciální rovnice: 1.1. Úvod základní pojmy, přímé metody řešení některých

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa

Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor

Více

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.

2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n. Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n

Více

24. Parciální diferenciální rovnice

24. Parciální diferenciální rovnice 24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ

DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ DERIVACE FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ vlastnosti holomorfní DERIVACE U reálných funkcí více reálných proměnných nebylo možné definovat derivaci analogicky definici reálné jedné reálné proměnné (nešlo dělit...)

Více

Numerické řešení nelineárních rovnic

Numerické řešení nelineárních rovnic Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16

Více

Obraz matematický objekt. Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R

Obraz matematický objekt. Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Obraz matematický objekt Spojitý obraz f c : (Ω c R 2 ) R Diskrétní obraz f d : (Ω {0... n 1 } {0... n 2 }) {0... f max } Obraz matematický objekt

Více

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými

Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Binární operace. Úvod. Pomocný text

Binární operace. Úvod. Pomocný text Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý

Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY

SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)

Více

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody

e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.

Více

K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny

K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište

Více

Poznámky k Fourierově transformaci

Poznámky k Fourierově transformaci Poznámky k Fourierově transformaci V těchto poznámkách jsou uvedeny základní vlastnosti jednorozměrné Fourierovy transformace a její aplikace na jednoduché modelové případy. Pro určitost jsou sdružené

Více

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015:

Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: Semestrální práce z p edm tu URM (zadání), 2014/2015: 1. Vyzna te na globusu cestu z jihu Grónska na jih Afriky, viz Obrázek 1. V po áte ní a cílové destinaci bude zapíchnutý ²pendlík sm ující do st edu

Více

Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu

Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp

Více

Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny

Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou

Více

Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza

Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza Okruhy k bakalářské státní závěrečné zkoušce (2015) Matematická analýza 1. Funkce, graf funkce, inverzní funkce, operace s funkcemi, trigonometrické funkce, mocninná funkce, exponenciální funkce, logaritmická

Více

Integrování jako opak derivování

Integrování jako opak derivování Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje

Více

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% KLÍČOVÉPOJMY %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% KLÍČOVÉPOJMY %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% KLÍČOVÉPOJMY %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% norma normovaný lineární prostor metrika indukovaná normou

Více

FOURIEROVA ANALÝZA- ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK

FOURIEROVA ANALÝZA- ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOUIEOVA ANALÝZA- ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Fourierovy řady klasika 1 2. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru 3 3. Sčítání Fourierových řad 4 4. Distribuce 6 5. Distribuce jako funkcionály*

Více

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze

Komplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.

MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární

Více

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah

Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Záludnosti velkých dimenzí

Záludnosti velkých dimenzí Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu 2017 1/28 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

FOURIEROVA TRANSFORMACE

FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána (připomeňte si, že f(x) = (f(x + ) + f(x ))/2): VĚTA. Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje. Potom f(x)

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Co je to tensor... Vektorový prostor

Co je to tensor... Vektorový prostor Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni

Více

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4

2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4 Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P

Více

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.

které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic. 1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh.

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Obsah. 1 Lineární prostory 2

Obsah. 1 Lineární prostory 2 Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

P íklad 1 (Náhodná veli ina)

P íklad 1 (Náhodná veli ina) P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny

Více

se nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným

se nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po

Více

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.

Rovnice a nerovnice. Posloupnosti. .. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková

VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Vektory. Vektorové veli iny

Vektory. Vektorové veli iny Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat

Více

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost

1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost (8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo

Více

MATEMATIKA IV - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOURIEROVA ANALÝZA A PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

MATEMATIKA IV - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOURIEROVA ANALÝZA A PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE MATEMATIKA IV - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOUIEOVA ANALÝZA A PACIÁLNÍ DIFEENCIÁLNÍ OVNICE JAN MALÝ Obsah 1. Fourierovy řady klasika. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru 3 3. Sčítání Fourierových řad 5 4. Fourierova

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA

P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Teorie měření a regulace

Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek

Více

Obsah. Pouºité zna ení 1

Obsah. Pouºité zna ení 1 Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního

Více

QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d =

QR, b = QS, c = QP. Dokaºte ºe vzdálenost bodu P od roviny spl uje. a (b c) d = . cvi ení -Opakování geometrie IR n, p íklady () Najd te velikost úhlu mezi hlavní diagonálou krychle a diagonálou jedné ze stran, která s ní má spole ný vrchol. (2) Dokaºte ºe x y = y x. (3) Dokaºte ºe

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy

18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"

Více

Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu

Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu Ztráta stability prost podep eného Timo²enkova prutu ƒeské vysoké u ení technické v Praze 12. zá í 2016 Vedoucí seminární práce: prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 3 4 Cíl práce Cíl práce Nalézt

Více

Netradiční výklad tradičních témat

Netradiční výklad tradičních témat Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

DRN: Kořeny funkce numericky

DRN: Kořeny funkce numericky DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f

Více

ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY. Jiří Bouchala

ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY. Jiří Bouchala ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jiří Bouchala Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu

Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více