Geometrie nelineárních útvarů cvičení

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Geometrie nelineárních útvarů cvičení"

Transkript

1 Geometrie nelineárních útvarů cvičení Geometrie křivek. Parametrické a obecné rovnice křivek, singulární body, tečný vektor Křivky v R zadané parametricky lze vykreslit v programu Maple jednoduchým příkazem plot[xt,yt,t=a..b]; konkrétně např. plot[*cost,3*sint,t=0..*pi]; Pro vykreslení křivek v R 3 lze použít příkaz withplots: spacecurve[xt, yt, zt], t = a.. b; Poznámka k následujícím úlohám: Vyloučení parametru t při hledání obecné rovnice křivky nemusí být vždy jednoduché. V mnohých případech doporučuji podívat se na výsledek a odhadnout, jak rovnice vhodně upravovat, sčítat, umocňovat apod., aby nakonec parametr vypadl. Je-li parametrizace dána polynomickými či racionálními funkcemi, lze k vyloučení parametru v případě ploch dvou parametrů použít teorii Gröbnerových bází. Teorie je použitelná i pro parametrizace dané goniometrickými funkcemi, použijí-li se vhodné substituce a přidají-li se dodatečné rovnice vyjadřující platnost některých goniometrických identit. Při převádění z obecného na parametrické vyjádření je často výhodné použití polárních souřadnic, viz příklad.. Uvažujme křivku rt = [ R cost 3 ; R sint 3 ], kde t R. Obrazem rr je kružnice o poloměru R. a Najděte její singulární body, b najděte regulární parametrizaci, jejímž obrazem bude stejná kružnice. a Singulární bod je v t 0 =0 rt 0 = [; 0] b např. rt =[R cost; R sint]. Křivka zvaná traktrix mj. se jedná o evolventu řetězovky, viz příklad 0, podsekce. je dána parametrizací rt = [ a ln tan t + cos t ; a sin t ], kde t 0,π. Nalezněte její obecnou rovnici. x = ln tan arcsin y + a y [ 3. Descartesův list je dán parametrickým vyjádřením rt = rovnici Descartesova listu. x 3 + y 3 3axy =0 [ 4. Dioklova kisoida je dána parametrickým vyjádřením rt = rovnici. y a x =x 3 5. Strofoida je dána parametrickým vyjádřením rt = rovnici strofoidy. a xy =a + xx 3at +t 3 ; 3at +t 3 ], kde t R \ { }. Najděte obecnou at +t ; at 3 +t ], kde t R. Najděte její obecnou [ a t +t ; at t +t ], kde t R. Najděte obecnou 6. Nikomédova konchoida je dána obecnou rovnicí x a x + y =b x. Napište obecnou rovnici i parametrické vyjádření Nikomédovy konchoidy v polárních a kartézských souřadnicích. ρ = a cos ϕ ± b, r polt =[ρ, ϕ] = [ a cos t ± b; t], kde jsme položili ϕ = t, dosadíme-li do definice polárních souřadnic x = ρ cos t a y = ρ sin t, dostáváme parametrické vyjádření v kartézských souřadnicích r kart t = [x, y] =[a ± b cos t; a tan t ± b sin t]. 7. Po pevné kružnici k poloměru R se zvenku valí bez prokluzování další kružnice k o poloměru R. Pevně zvolený bod na k pak opisuje křivku zvanou epicykloida, jejíž parametrické vyjádření může být např. x =R + R cos R t R cos t + R t, R R y =R + R sin R t R sin t + R t. R R

2 Valí-li se bez prokluzování kružnice k o poloměru R <R zvnitřku pevné kružnice k, opisuje pevně zvolený bod na k křivku zvanou hypocykloida, jejíž parametrické vyjádření může být např. x =R R cos R t + R cos t R t, R R y =R R sin R t R sin t R t. R R a Uvažujme epicykloidu, pro kterou R = R = R. Taková křivka se nazývá kardioida nebo též srdcovka. Najděte její parametrické vyjádření, křivku načrtněte a najděte její singulární body. rt = [R cos t R cos t;rsin t R sin t]; singulární body dostaneme pro t =kπ, k Z; Pro obrázek viz worksheet krivky.mw, získáme jej např. volbou R = R =. b Uvažujme epicykloidu, pro kterou R = R. Taková křivka se nazývá nefroida. Najděte její parametrické vyjádření, křivku načrtněte a najděte její singulární body. rt = [3/R cos/t /R cos3/t, 3/R sin/t /R sin3/t]; singulární body jsou v t =kπ, pro t =0, 4π, 8π, π,... máme bod r0 = [R, 0], pro t =π, 6π, 0π,... máme bod rπ =[ R, 0] c Steinerova křivka je hypocykloida, pro níž platí R = R 3. Napište její parametrické vyjádření a nakreslete ji. rt = [R /3 cost/3 + R /3 cost/3; R /3 sint/3 R /3 sint/3] d Asteroida je hypocykloida, pro níž platí R = R 4. Napište její parametrické vyjádření a nakreslete ji. rt = [3R /4 cost/4 + R /4 cos3t/4; 3R /4 sint/4 R /4 sin3t/4], pomocí goniometrických identit lze dojít až ke tvaru rt = [ R cos 3 t; R sin 3 t ] e Jak vypadá hypocykloida pro R = R? Jedná se o úsečku s parametrizací rt = [ R cos t ;0], což lze chápat jako kmitavý pohyb ve směru osy x s rovnovážnou polohou v počátku. Toho se využívá i v technické praxi při transformaci rotačního pohybu na kmitavý přímočarý pohyb. f Promyslete si, jak by vypadaly epicykloida a hypocykloida pro různé volby R a R. Zkuste si tyto případy vykreslit v Maplu, použijte worksheet krivky.mw. Můžete si měnit hodnoty R při pevně zvoleném R a získáváte tak různé epicykloidy a hypocykloidy vznikající valením různých kružnic po téže pevné kružnici. Několik poznámek: Poměr k = R R je rozhodujícím faktorem, máme-li rozhodnout, zda je epicykloida resp. hypocykloida uzavřená po určitém počtu oběhů valící se kružnice se křivka začne replikovat, či nikoliv. Pro k Q je křivka uzavřená, pro k R \ Q nikoliv. Epicykloidu i hypocykloidu lze podobně jako tomu bylo u cykloidy prodlužovat a zkracovat máme tedy prodlouženou zkrácenou epicykloidu a prodlouženou zkrácenou hypocykloidu viz obrázky. Někdy se provádí následující klasifikace, kdy se souhrnně hovoří o tzv. trochoidách neboli cyklických křivkách. Patří sem: prostá, prodloužená a zkrácená cykloida,

3 prostá, prodloužená a zkrácená epicykloida souhrnně tzv. epitrochoidy, prostá, prodloužená a zkrácená hypocykloida souhrnně tzv. hypotrochoidy, evolventa přímka se valí po kružnici, pericykloida kružnice valící se svou vnitřní stranou po vnější straně pevné kružnice. Možná jste si v dětství hráli s umělohmotnými ozubenými kolečky vybavenými otvory v různých místech, do nichž se zasunula tužka a jezdilo se dokola kolem nehybného kolečka případně uvnitř nehybného mezikruží, které se špendlíky připevnilo k podložce. Vznikaly pěkné ornamenty. Jaké křivky jste vlastně kreslili? Co muselo být splněno, aby se křivka po určité době začala replikovat? 8. Pascalova závitnice limacon je dána parametrickým vyjádřením rt =[a cos t b cos t; a sin t b sin t]. Nalezněte její obecnou rovnici v souřadnicích x, y a také v polárních souřadnicích ρ, ϕ. Jedná se o speciální případ některé z výše uvedených křivek. Které? x + y ax = b x + y ; ρ = a cos ϕ ± b [ ] a 9. Witch of Agnesi je křivka s parametrickými rovnicemi rt = at; +t pro t R. Jak křivka vypadá a jak se konstruuje naleznete např. na of Agnesi. Nalezněte její obecné vyjádření a singulární body. y = 8a3 x +4a ; singulární body nejsou 0. Studujte vlastnosti známých spirál rovnice jsou uvedeny v polárních souřadnicích ρ, ϕ: Archimedova spirála ρ = aϕ, logaritmická spirála ρ = a ϕ, hyperbolická spirála ρ = a ϕ, Fermatova spirála ρ = a ϕ, Lituuova spirála ρ = a ϕ, sinová spirála ρ m = a m sinmϕ.. Řetězovka je křivka s obecnou rovnicí y = a cosh x a. Vrchol řetězovky leží v bodě 0,a. Ukažte, že v tomto vrcholu má řetězovka styk třetího řádu s parabolou o rovnici y = x a + a. Styk třetího řádu křivek rt a st v bodě t 0 znamená splnění rovnic rt 0 =st 0, ṙt 0 =ṡt 0, rt 0 = st 0,... rt 0 =... st 0.. Napište parametrické vyjádření lemniskáty s obecnou rovnicí x + y = a x y. Je výhodné použít polární souřadnice x = ρ cos ϕ a y = ρ sin ϕ, parametrizace má pak tvar r kart ϕ = [ a cos ϕ cos ϕ; a cos ϕ sin ϕ ], obrázek v Maplu získáme příkazem plot[*sqrtcos*phi*cosphi,*sqrtcos*phi*sinphi,phi=-pi/4..5*pi/4];. Délka křivky, evolventa, parametrizace obloukem. Spočtěte délku oblouku cykloidy rt =[Rt sin t; R cos t], t 0, π. 8R. Spočtěte délku kardioidy rt = [R cos t R cos t;r sin t R sin t],t 0, π. 6R 3. Spočtěte délku oblouku logaritmické spirály rt =[a t cos t, a t sin t], a>, a pro t t,t, b pro t,t. +ln a a ln a a t a t +ln, b a ln a a t, jedná se tedy o konstantní násobek průvodiče. 4. Určete délku jednoho závitu šroubovice rt =[R cos t; R sin t; at], t 0, π. π R + a 5. Určete délku oblouku křivky rt =[acosh t; a sinh t; at], a>, pro t 0,. a e e 6. Určete délku oblouku křivky rt = [ at sin t; a cos t; 4a cos t ] mezi dvěma následujícími průsečíky s rovinou xz. 3

4 8a 7. Najděte evolventu neboli involutu šroubovice rt = [cos t; sin t; t]. rt = [cos t +t t 0 sin t; sin t t t 0 cos t; t 0 ] Všimněme si, že z-ová komponenta nezávisí na t a je tudíž konstantní evolventa šroubovice je vždy rovinná křivka ležící v rovině z = t 0, tedy v rovině rovnoběžné s rovinou xy procházející bodem, kde začalo odvalování přímky. 8. Najděte evolventu semikubické Neilovy paraboly rt = [ t ; at 3], t>0. [ rt = t 4+9a t 3 7 a 4+9a t a 4+9a t ; at a t 3 a 4+9a t a 4+9a t at ] 9. a Ukažte, že involutou asteroidy rt = [ cos 3 t; sin 3 t ] s počátkem odvalování v t = π 4 jinak umístěná, viz obrázek. je opět asteroida b Ukažte, že involutou zploštělé asteroidy rt = [ 3 cos3 t; 3 sin 3 t ] s počátkem odvalování v t 0 =0, přičemž k funkci t t 0 ṙτ dτ přičteme integrační konstantu, je elipsa s parametrickým vyjádřením rt = [ cos t; sin t], viz obrázek. 0. Najděte involutu řetězovky rt = [t; cosh t], počátek odvíjení zvolte v t 0 =0. rt = [ t tanh t; cosh t], jedná se o traktrix v poněkud jiné parametrizaci než v příkladu podsekce... Parametrizujte šroubovici rt = [R cos t; R sin t; at] obloukem. Je třeba nalézt funkci st = t t 0 ṙτ dτ, kde t 0 I je libovolně zvolený bod, a tu pak invertovat. V našem případě st = t t 0 R + a, hledáme inverzní funkci vyjádříme t pomocí s. Vyjde nám ts = s R +a rs = + t 0, což můžeme dosadit do původní parametrizace a dostáváme hledanou parametrizaci obloukem [ R cos s R + a + t 0 ; R sin s R + a + t 0 ; a ] s R + a + t 0. 4

5 Speciálně, pro t 0 =0, vychází [ s rs = R cos R + a ; R sin s R + a ; ] as. R + a.3 Normálový vektor, křivost, oskulační kružnice, evoluta, Frenetův repér. Uvažujme křivku rt = [ t 3 + t ; t 5 7 ], kde t R. a Najděte její singulární body. Singulární bod dostáváme pro t 0 =0 rt 0 = [0; 7]. b Najděte její inflexní body. Rovnice Ṫt = 0 má dvě řešení t =0,t =. První řešení odpovídá singulárnímu bodu viz předchozí podúloha, avšak tečný vektor T je definován pouze v regulárních bodech. Inflexní bod křivky tedy dostáváme pouze pro t = rt = [0; 8], viz obrázek níže. c Najděte normálový vektor této křivky v obecném bodě rt a pak v bodě r. 5t Nt = 3 ; 3t+ 5t 6 +9t +t+4 5t, N = t +t+4 0 ; 50 0 d Spočtěte křivost κ a poloměr křivosti poloměr oskulační kružnice R této křivky v obecném bodě t a pak v bodě t =. Křivost počítejte z definice křivosti κt = Ṫt ṙt. κt = 30tt+ 5t 6 +9t +t+4 3, κ = , Rt = κt, R = κ. e Předchozí podúlohu d řešte s využitím užitečného vztahu pro výpočet křivosti pouze z derivací parametrizace: κ = ṙ ṙ r r ṙ r ṙ. 3. Určete poloměr křivosti logaritmické spirály rt =[a t cos t; a t sin t]. Rt =a t + ln a 3. Napište parametrické rovnice evoluty elipsy rt = [ cos t, sin t]. Evoluta je množina středů všech oskulačních kružnic dané křivky, její parametrizace má tedy tvar načrtněte si obrázek ˆrt =rt+ κt Nt. Sestrojíme-li k výsledné křivce evolventu neboli involutu, dostaneme při vhodné volbě počátku odvalování a přičtení vhodné integrační konstanty původní křivku viz příklad 9 v podsekci.. Jedná se o zploštělou asteroidu rt = [ 3 cos3 t; 3 sin 3 t ], viz obrázek k příkladu 9 v podsekci.. 4. Najděte evolutu kružnice. Evolutou je jediný bod střed kružnice. 5. Napište parametrické rovnice oskulační roviny σ šroubovice rt = [cos t; sin t; 3t] v bodě r0. Oskulační rovina v bodě rt 0 je rovina určená tečnou a normálou v tomto bodě, jedná se tedy o rovinu rt 0 + Tt 0, Nt 0. σ = [, 0, 0] + 0, 0 0, 3 0 0,, 0, 0 = [, 0, 0] + 0; ; 3, ; 0; 0 6. Napište parametrické rovnice oskulační roviny σ křivky rt = [cos t; sin t;e t ] v bodě r0. 5

6 σ = [, 0, ] + 0,,, 6 3, 6 6, 6 6 = [, 0, ] + 0; ;, ; ; 7. Spočtěte křivost hyperboly rt =[a cosh t; b sinh t]. ab κt =, ve vrcholu hyperboly t =0, vychází κ = a a sinh t+b cosh t 3 b. [ t 8. Ukažte, že křivost klotoidy s parametrizací rt = 0 cos πs ds; ] t 0 sin πs ds je přímo úměrná délce oblouku. Délka oblouku měřená od t 0 =0je t, křivost vychází πt. 9. Spočtěte poloměr oskulační kružnice sinusoidy y = sin x pro x = π. R = Poznámka: Počítáme-li křivost a torzi přímo z definice, může to být někdy dosti pracné. Pro jejich výpočet lze užít níže uvedených vztahů, s jejichž pomocí spočteme křivost κ a torzi τ rovnou z derivací parametrizace. Ve worksheetu Frenetuvreper.mw naleznete jak výpočet z definice, tak výpočet využívající níže uvedených vzorečků. Je-li rt = [xt,yt,zt], pak platí: ṙ r ṙ ṙ r r ṙ r κt = ṙ 3 nebo též κt = ṙ 3, ẋ ẏ ż det ẍ ÿ z τt =... x y z ṙ r. 0. Popište Frenetův repér šroubovice rt =[a cos t; a sin t; bt]. Spočtěte její křivost a torzi. Tt = a sin t; a cos t; b, Nt = cos t; sin t; 0, Bt = a +b a b sin t; b cos t; a, κ = +b a a +b, τ = b a +b.. Popište Frenetův repér křivky rt = [ t; t ; t 3]. Spočtěte její křivost a torzi využijte vztahů a. Tt = ; t ; 3t +4t +9t 4 +4t +9t 4 +4t, +9t 4 t+9t Nt = +4t +9t 4 ; 9t 4 +9t +9t 4 +4t +9t 4 ; 3tt + +9t +9t 4 +4t, +9t 4 +9t +9t 4 3t Bt = ; 3t ; 9t4 +9t + 9t4 +9t + 9t4, κt = 9t 4 +9t + 3, τt = +9t + +4t +9t 4 3 9t 4 +9t +.. Popište Frenetův repér křivky rt = [ t; t ; t + ]. Spočtěte její křivost a torzi. Tt = ; +4t, Nt = ; ; t +t +t +t 3 t ; +4t +4t, τt = 0 = jedná se o rovinnou křivku. +t 3. Najděte tečnu ke křivce rt = [ t ; t;e t] rovnoběžnou s rovinou x y 5 = 0. Např. [,, e] +,, e 4. Na prostorové křivce rt =[xt,yt,zt] uvažujme bod rt 0., Bt = Rovina určená bodem rt 0 a vektory Tt 0 a Nt 0 se nazývá oskulační rovina. Rovina určená bodem rt 0 a vektory Nt 0 a Bt 0 se nazývá normálová rovina. Rovina určená bodem rt 0 a vektory Tt 0 a Bt 0 se nazývá rektifikační rovina. ; 0;, κt = Napište parametrické rovnice oskulační, normálové a rektifikační roviny šroubovice rt = [a cos t; a sin t; bt] v bodě r0. Směrové vektory rovin nemusejí být nutně jednotkové, lze použít vhodné násobky vektorů T, N a B. 6

7 ρ osk = [a, 0, 0] +, 0, 0, 0, a, b, ρ norm = [a, 0, 0] +, 0, 0, 0, b, a, ρ rekt = [a, 0, 0] + 0, a, b, 0, b, a. 5. Určete křivost a torzi křivky rt = [a cosh t; a sinh t; at], kde a>0. κt =τt = a cosh t 6. Prostudujte worksheet Frenetuvreper4D.mw. Je zadána křivka rt = [cos t, sin t, cos t, sin t] R 4. Máme nalézt Frenetův repér této křivky a všechny možné zobecněné křivosti, tedy první druhou a třetí křivost. Při hledání Frenetova repéru je nutné použít Gram-Schmidtův ortonormalizační proces, s nímž má u složitějších křivek problém i Maple zkuste si to. Křivosti pak počítáme z definice zobecněných křivostí. Náš příklad vychází docela pěkně, všechny tři křivosti vycházejí konstantní. Existují nějaké vzorce analogické vztahům a, které by nám umožnily spočítat první, druhou a třetí křivost křivky v R 4, případně další křivosti v prostorech vyšších dimenzí? Geometrie ploch Terminologická poznámka: Označíme-li K Gaussovu křivost a H střední křivost plochy, pak: je-li K = konst > 0, plocha se nazývá sférická, je-li K = konst < 0, plocha se nazývá pseudosférická, je-li K =0, plocha se nazývá rozvinutelná, je-li H = konst, hovoříme o ploše s konstantní střední křivostí, je-li H =0, plocha se nazývá minimální.. Vivianiho křivka je průnikem sféry o poloměru R a rotační válcové plochy o polovičním poloměru, přičemž válcová plocha prochází středem sféry. Křivka připomíná prostorově vyvedenou číslici 8. a Najděte parametrické vyjádření této křivky. b Ukažte, že Vivianiho křivka je též průnikem sféry a kuželové plochy, která má vrchol na rovníku, její osa je tečnou k poledníku a plocha prochází severním pólem sféry. Válcová plocha je popsána rovnicí x R + y = R, sféru můžeme parametrizovat sférickými souřadnicemi x = R cos ϑ cos ϕ, y = R cos ϑ sin ϕ, z = R sin ϑ. Dosazením parametrických rovnic sféry do rovnice válcové plochy dostáváme jednu rovnici o dvou neznámých ϑ a ϕ. Vyřešíme-li ji, zjistíme, že ϑ = ϕ. Dosadíme-li pak zpět do parametrických rovnic sféry dostaneme parametrické vyjádření Vivianiho křivky rt = [ R cos t; R cos t sin t; R sin t ], kde jsme položili ϕ = t. Při hledání průniku sféry s kuželovou plochou postupujeme analogicky.. Uvažujme anuloid s parametrizací ru, v = [R + R cos u cos v;r + R cos u sin v; R sin u]. a Určete, zda je tato parametrizace anuloidu regulární. Ano, Jacobiho matice J r je regulární ve všech bodech. b Načrtněte souřadnicovou síť na anuloidu vytvářenou touto parametrizací. Pro R =a R =viz obrázek. c Určete tečný prostor anuloidu v bodě ra, kde a = 0, π. Napište parametrické rovnice tečné roviny anuloidu v bodě ra. 7

8 Tečný prostor je definován jako lineární obal tečných vektorů k souřadnicovým křivkám. Vychází: r u = 0, 0,R r u,v=0, π, v = R u,v=0, π R, 0, 0, přičemž pro zapsání vektorového prostoru generovaného těmito vektory můžeme použít jejich libovolné násobky. Máme tedy T ra rr = 0, 0,,, 0, 0. Tento vektorový prostor je zaměřením hledané tečné roviny, která prochází bodem ra = [0,R + R, 0], její parametrické vyjádření je T = [0,R + R, 0] + 0, 0,,, 0, 0. Pro R =a R =viz obrázek. d Vypočtěte první fundamentální formu anuloidu v této parametrizaci. g = R, g = g =0, g =R + R cos u, resp. I = R du +R + R cos u dv. e Najděte normálové vektorové pole anuloidu v této parametrizaci. Nezapomeňte, že normálový vektor má být jednotkový! n = cos u cos v, cos u sin v, sin u nebo opačný vektor. f Vypočtěte druhou fundamentální formu anuloidu v této parametrizaci. h = R, h = h =0, h = R cos u + R cos u, resp. II = R du +R cos u + R cos udv. g Spočtěte tvarový operátor Shape operator anuloidu. Označíme-li g a h matice koeficientů první a druhé fundamentální formy, pak S = g h = R 0 cos u. 0 R +R cos u h Určete Gaussovu a střední křivost anuloidu. K = det S = det h det g = cos u R R +R cos u, H = Tr S = R +R cos u R R +R cos u i Spočtěte všechny Christoffelovy symboly anuloidu v této parametrizaci. Γ =Γ =Γ =Γ =Γ =0, Γ = sin ur+r cos u R, Γ =Γ =. Uvažujme sféru s parametrizací rϑ, ϕ =[R cos ϑ cos ϕ; R cos ϑ sin ϕ; R sin ϑ]. a Určete, zda je tato parametrizace sféry regulární. R sin u R +R cos u Parametrizace není regulární pro ϑ = π + kπ, kde k Z severní a jižní pól. Jacobiho matice má v těchto bodech hodnost. b Načrtněte souřadnicovou síť na na sféře vytvářenou touto parametrizací. Pro R =viz obrázek. 8

9 c Vypočtěte první fundamentální formu sféry v této parametrizaci. g = R, g = g =0, g = R cos ϑ, resp. I = R dϑ + R cos ϑdϕ. d Najděte normálové vektorové pole sféry v této parametrizaci. n = cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ nebo opačný vektor. e Vypočtěte druhou fundamentální formu sféry v této parametrizaci. h = R, h = h =0, h = R cos ϑ, resp. II = Rdϑ + R cos ϑdϕ. f Spočtěte tvarový operátor sféry. Označíme-li g a h matice koeficientů první a druhé fundamentální formy, pak S = g h = g Určete Gaussovu a střední křivost sféry. R 0. 0 R K = det S = det h det g = R = konst = jedná se o sférickou plochu, H = Tr S = R = konst = jedná se o plochu s konstantní střední křivostí. h Spočtěte hlavní křivosti sféry a pomocí nich určete Gaussovu a střední křivost sféry. Hlavní křivosti určíme jako vlastní hodnoty tvarového operátoru: κ, = R = hlavní křivosti jsou konstantní ve všech bodech sféry. K = κ κ = R, H = κ + κ = R. i Spočtěte všechny Christoffelovy symboly sféry v této parametrizaci. Γ =Γ =Γ =Γ =Γ =0, Γ = sin ϑ cos ϑ, Γ =Γ = tan ϑ 3. Uvažujme otevřenou polosféru polosféru bez rovníku s parametrizací ru, v = [ u; v; R u v ], kde u a v splňují podmínku u + v <R. a Určete, zda je tato parametrizace otevřené polosféry regulární. Ano, Jacobiho matice je regulární pro všechna u a v splňující u + v <R. b Načrtněte souřadnicovou síť na na otevřené polosféře vytvářenou touto parametrizací. Pro R =viz obrázek. 9

10 c Vypočtěte první fundamentální formu otevřené polosféry v této parametrizaci. I = R v R u v du uv + R u v dudv + R u R u v dv 4. Uvažujme helikoid, katenoid, pseudosféru a rotační válcovou plochu. U všech těchto ploch spočtěte první a druhou fundamentální formu, Gaussovu a střední křivost, případně též Christoffelovy symboly. Určete též, zda je některé z těchto ploch nepatří do některé z výše uvedených tříd ploch sférické, pseudosférické, rozvinutelné, minimální plochy, plochy s konstantní střední křivostí. Všechny výpočty naleznete ve worksheetech helikoid.mw, katenoid.mw, pseudosfera.mw, valec.mw. 5. Určete délku křivky ut =t, vt =t, kde t 0, π na ploše, jejíž první fundamentální forma má tvar I =du + 4 cos vdv. 6. Loxodroma na sféře je křivka, která protíná všechny poledníky pod stejným úhlem viz obrázek. Sféru parametrizujme obvyklým způsobem pomocí sférických souřadnic, rϑ, ϕ =[R cos ϑ cos ϕ; R cos ϑ sin ϕ; R sin ϑ], v nichž má první fundamentální forma tvar I = R dϑ + R cos ϑdϕ. Lze poměrně snadno odvodit, že loxodroma má rovnici ϕ ϕ 0 = tan αarctanh sin ϑ arctanh sin ϑ 0, 3 přičemž se většinou řeší dva typy úloh:. Jsou zadány dva body rϑ,ϕ a rϑ,ϕ, kterými má loxodroma procházet, z rovnice 3 jsme pak schopni určit úhel α, pod kterým loxodroma protíná všechny poledníky,. je dána odchylka od poledníků α a jeden bod rϑ 0,ϕ 0, kterým má loxodroma procházet, v rovnici 3 pak vystupuje ϑ jako parametr, přičemž ϕ je jeho funkcí. Určete délku loxodromy mezi body rϑ,ϕ a rϑ,ϕ. Nejprve určíme úhel α, ze vztahu 3 dostáváme ϕ ϕ α = arctan. arctanh sin ϑ arctanh sin ϑ Loxodroma je podle 3 vlastně zadána rovnicemi ϑt =t a ϕt = tan αarctanh sin t arctanh sin t + ϕ, kde α, t = ϑ a ϕ jsou konstanty. Bod rϑ,ϕ považujeme za výchozí a budeme od něj počítat délku loxodromy až do bodu rϑ,ϕ. Spočtěme dϑ a dϕ: dϑ =dt, dϕ = tan α sin t cos t dt = tan α cos t dt. Nyní stačí dosadit do vztahu pro délku křivky na podvarietě předpokládáme α, ϑ 0, π, ať se vyhneme absolutním hodnotám: l = = t t R dϑ + R cos ϑdϕ = R dt + R cos t t t t R + tan αdt = R t cos α dt = R t cos α t t tan α cos t dt = t dt = R cos α t t. 0

11 Jestliže jsme za parametr t označili přímo latitudu ϑ, potom l = R cos α ϑ ϑ. Kupř. pro ϑ,ϕ = 0, 0 a ϑ,ϕ = π 4, π 4 dostáváme α. = 4 4 a l. =,05R. 7. Spočtěte Lieovu závorku vektorových polí ξ = y x x y + xyz z a η = ln x x + z y + z. [ξ, η] = xz y x x + ln x +xyz y + yz ln x xz3 xy z

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1)

(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1) Cvičení II (Křivky) (1) Rozhodněte, zda pohyb f(t) = (t 1, t 3 t), t R je jednoduchý. [Není, bod samoprotnutí odpovídá hodnotám t = 1 a t = 1 () Určete singulární body pohybu x = r( cos t cos t), y = r(

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016

Křivky kolem nás. Webinář. 20. dubna 2016 Křivky kolem nás Webinář 20. dubna 2016 Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f (x). Je to množina F uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x,

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ELEKTRONICKÁ SKRIPTA CYKLICKÉ KŘIVKY Cyklické křivky patří především mezi technické křivky. Mají bohatou historii. První zmínku nacházíme dokonce už u Ptolemáia, konkrétnější studie

Více

Kinematická geometrie

Kinematická geometrie Gymnázium Christiana Dopplera Kinematická geometrie Autor: Vojtěch Šimeček Třída: 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Ročníkovou práci jsem zhotovil samostatně, pouze s pomocí zdrojů

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou

Rozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

Diferenciální geometrie křivek a ploch

Diferenciální geometrie křivek a ploch cvičení 1 Podmínky pro získání zápočtu: Celkem je třeba získat 30 bodů. Body je možno získat následujícími způsoby: (10 bodů) Účast na minimálně 10 cvičeních (tj. maximálně 3 absence). Nelze získat jen

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly.

Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Kinematika rektifikace oblouku (Sobotkova a Kochaňského), prostá cykloida, prostá epicykloida, úpatnice paraboly. Výpočty trajektorií bodů při složených pohybech. Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky

7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky 7.KINEMATICKÁ GEOMETIE V ROVINĚ 7.1 Rovinné křivky Křivka jako jednoparametrická množina bodů v E 2. k={x[x,y] E 2, x=x(u), y=y(u), u J R Příklad. Oblouk asteroid: x=cos 3 u, y=sin 3 u, u (dx/du,dy/du)

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Obsah a průběh zkoušky 1PG Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

Diferenciáln. lní geometrie ploch

Diferenciáln. lní geometrie ploch Diferenciáln lní geometrie ploch Vjádřen ení ploch Eplicitní: z = f(,) ; [,] Ω z Implicitní: F(,,z)=0 + + z = r z = sin 0, π ; 0,1 Implicitní ploch bloob objects,, meta balls Izoploch: F(,,z)=konst. Implicitní

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Parametrické rovnice křivek

Parametrické rovnice křivek Parametrické rovnice křivek Kreslení křivek a tečný vektor Parametrizace křivek, tečna ke křivce. p.1/8 Kreslení křivek a tečný vektor Příklad 6.1.1 Máme křivku K zadanou parametrickými rovnicemi K : x

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Další plochy technické praxe

Další plochy technické praxe Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu

Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace. Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ŠROUBOVICE Šroubový pohyb rovnoměrný pohyb složený z posunutí a rotace Šroubovice dráha hmotného bodu při šroubovém pohybu ZÁKLADNÍ POJMY osa šroubovice o nosná válcová plocha (r poloměr řídicí kružnice

Více

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015 Kartografie 1 - přednáška 1 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Úvod přednášky, cvičení, zápočty, zkoušky Jiří Cajthaml (přednášky, cvičení) potřebné znalosti: vzorce

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Křivky. Copyright c 2006 Helena Říhová Křivky Copyright c 2006 Helena Říhová Cassiniovy křivky, lemniskáta Křivky nesou jméno francouzského matematika a astronoma Jeana Dominiquea Cassiniho (1625 1712) a jsou definovány jako množina bodů X

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

11. Rotační a šroubové plochy

11. Rotační a šroubové plochy Rotační a šroubové plochy ÚM FSI VU v Brně Studijní text. Rotační a šroubové plochy. Rotační plochy Rotační plochy jsou plochy, které lze získat rotačním šablonováním křivky. Jejich rovnice je tedy tvaru

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33

Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Offsety KMA/ITG Informační technologie ve vyučování geometrie Offsety ITG 1 / 33 Motivace Motivace 3-osé obrábění motivaci k zavedení offsetů je možné hledat v obrábění. 3-osé obrábění je obrábění frézou,

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy Matematická kartografie Buchar.: Matematická kartografie 10, ČVUT; Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Referenční plochy referenční elipsoid (sféroid) zploštělý rotační elipsoid Besselův

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více