Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková"

Transkript

1 Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková

2 Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou učebici Geodetické počtářství do elektroické podob s ohledem a deší techické vbaveí a platé předpis. Ozačováí vužívaé v tetu je vsvětleo u jedotlivých kapitol. Teto tet bude dle potřeb průběžě aktualizová.

3 Obsah:. Výpočet výměr Výpočet výměr výpočet rozkladem výpočet ze souřadic Vrováí hraice vrováí hraice bodem vrováí hraice daým směrem Děleí pozemků Trigoometrické určováí výšek Odvozeí zeitové vzdáleosti Určeí výšk předmětu předmět s patou přístupou předmět s patou epřístupou Určeí admořské výšk bodu Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl Vrovávací počet Charakteristik měřických chb Charakteristik přesosti měřeí Vlastosti ahodilých chb Základ vrovávacího počtu Vrováí pozorováí přímých stejé váh Vrováí pozorováí přímých estejé váh Měřické dvojice Příklad

4 . Výpočet výměr Pod pojmem výpočet výměr rozumíme určeí ploch mohoúhelíků, které jsou obrazem jedotlivých pozemků. Výpočet lze provádět rozkladem a jedoduché geometrické obrazce, jejichž obsah počítáme podle vzorců. Při zalosti souřadic všech lomových bodů vužíváme výpočet výměr ze souřadic (L` Huillierov vzorce). Na základě zámých ploch provádíme potom apř. vrováí hraice a děleí pozemků... Výpočet výměr... výpočet rozkladem Určovaý obrazec vhodě rozdělíme a trojúhelík, lichoběžík a čtřúhelík; vpočteme ploch jedotlivých obrazců a sečteme. Zpravidla počítáme dvojásobou plochu a teprve výsledý součet dělíme. Přehled vzorců: obsah trojúhelíka: P = a v a = b v b = c v c P = a b si b c si a c si c si si P = si a b c P = ss a s bs c, kde s P = a b (pravoúhlý trojúhelík) obr.- 4

5 obsah lichoběžíka: P = z z v, kde z, z jsou základ; v je výška P = obr.- Pokud jsou bod a opačých straách měřické přímk (tzv. zvrhlý lichoběžík) dosadíme jedu kolmici se zamékem (záporou). Vpočteme rozdíl ploch B' a B', tj. plochu DCB'. obr.-3 obsah čtřúhelíka: P = u v u v u v v (obr.-4) P = ).( ).( 3 (obr.-5) 3 obr.-4 obr.-5 5

6 Rozklad složitějších obrazců provedeme dvojím způsobem:. poecháme rozděleí, které vtvoří kolmice z měřeí obr.-6 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíka a lichoběžíků.. dělicí čáru vedeme z bodu a obvodu a patu kolmice ásledujícího bodu a opět a ásledující bod a obvodu obr.-7 Výpočet se skládá z výpočtu ploch trojúhelíků a čtřúhelíků. Příklad.: Vpočtěte výměru obrazce ohraičeého lomeou hraicí až 6, měřickou přímkou a kolmicí bodu 6 (obr.-8 a obr.-9). obr.-8. P = 5, ,76 5,86 3,67 4,93 88,49 50,76 33,5 3, 67,70 88,49 3,84 33,5 55,48 9,70 5,33 3, 84 P = 4 330,85m ,7067m 6

7 obr.-9. P = 50,76 4,93 88,49 5,86 3,67 9,70 50,76 33, 5,48 88,49 3,84 55,48 9,70 5, ,7067m P = 4 330,85m Pokud leží bod po obou straách měřické přímk, volíme při výpočtu rozkladem ploch po jedé straě kladé a po druhé záporé (vlevo kladé, vpravo záporé). Příklad.: Vpočtěte plochu mohoúhelíka při měřické přímce -6 (obr.-0). obr.-0. P = 0,54 6,07 54,09 0,54 30,67 6,07 88,54 54,09 30,67 34, 6 9,75 88,54 9,8 34,6 55,45 9,75 9, 8-7,950 m P = -356,48 m. P = 54,09 6,07 88,54 0,54 30,67 9,75 54,09 34, 6 55,45 88,54 9, 8-7,950 m P = -356,48 m 7

8 Příklad.3: Vpočtěte výměru pozemkové parcel č. 3 (obr.-). obr.- U bodů, 4 při výpočtu zvrhlého lichoběžíka je kolmice záporá, protože leží vě uzavřeého obrazce.. P = 37,83 8,9 9,94 0,53 75,56 37,83 6,90 9, 94 04,48 75,56 6,56 6,90 04,48 89,09 7,68 6, 56 89,09 68,6 7,68 5,38 68,6 3,47 5,38 7, 3,47,45 7, 7,8,45 8,9 7,8 0,53 = 8 384,5967 m P = 4 9,30 m obr.-. P = 37,83,45 0,53 75,56 8,9 9,94 04,48 37,83 6, 90 89,09 75,566,56 04,48 68,6 7,68 89,09 3,475, 38 68,6,45 7, 3,47 8,97, 8= 8 384,5967 m P = 4 9,30 m 8

9 ... výpočet ze souřadic Pokud jsou vrchol mohoúhelíka zadá pravoúhlými souřadicemi, lze pro výpočet použít L` Huillierov vzorce. Odvodíme je pomocí ploch lichoběžíků vtvořeých hraicemi mohoúhelíka a souřadicovou osou +X. obr.-3 obr.-4 obr.-5 9

10 P = P ''+ P 33''+P 344'3' P 4'4' P = po vásobeí P = souči se stejými ide se odečtou a ostatí můžeme uspořádat ejprve podle, pak podle podle : P = ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde podle : P = ; a obecě lze pro -úhelík psát P = ; [.] kde Z odvozeí vplývá, že ; ; tto rovice použijeme při číselém výpočtu ke kotrole. 0 0 Při číselém výpočtu je třeba dodržovat základí pravidla: ) výpočet provádět s vhodě redukovaými souřadicemi (redukce emá vliv a výsledek) ) obrazec musí být uzavřeý, předepsaý ve směru pohbu hodiových ručiček 3) při předpisu proti pohbu hodiových ručiček vjde obsah záporý 4) je-li obrazec v růzých kvadratech, emá to vliv a zaméko ai velikost obsahu, pokud dodržíme pravidlo ) 5) při předpisu pro číselý výpočet je vhodé po uzavřeí obrazce zopakovat ještě další bod pro výpočet souřadicových rozdílů,,3,4,, 0

11 Příklad.4: Vpočtěte výměru mohoúhelíka (obr.-6). ) zobrazte zadaé bod ve vhodém měřítku, souřadice vhodě redukujte ) předepište obrazec po směru pohbu hodiových ručiček 3) vpočtěte výměru mohoúhelíka Bod Y X , , , 04 43, , , , ,3 Y redukujeme o m, X redukujeme o m a zvolíme vhodé měřítko pro zobrazeí : 5000 Bod Y X 50,76 4,87 345, 43, ,73 89, ,78 36,3 obr.-6 Obrazec předepíšeme po směru pohbu hodiových ručiček, uzavřeme a pro sadější výpočet zopakujeme ještě druhý bod.

12 Bod Y X 50,76 4, ,78 36, ,73 89,33 345, 43,54 50,76 4, ,78 36,3 Bod Y X 50,76 4, ,78 36, ,73 89,33 345, 43,54 50,76 4, ,78 36,3 Vpočteme dvojásobou plochu pomocí L Huillierových vzorců rovice [.], [.] P = P = P = 36,3 475,73 50,76 89,33 345, 64,7843,54 50,76 475, 73 4,87 64,78 345, 5 33,847 m P = 64,78 4,87 89,33 475,73 36,3 43,54 345, 89,33 4, 87 50,76 43,54 36, ,847 m P = 6 67 m Výsledek dvojásobé výměr musí být v obou případech stejý, vpočteme výměru a tu zaokrouhlíme a m. Obsah zvrhlých mohoúhelíků obrazec popíšeme po obvodě, část I ( ) je předepsáa ve směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde kladý; část II ( ) je předepsáa proti směru pohbu ručiček hodiových obsah vjde záporý. L Huillierov vzorce dávají hodotu I+II (tj. rozdíl ploch I a II). obr.-7

13 Do měřické přímk vložíme osu +, osu + určíme podle zásad pro orietaci os, předepíšeme obrazec při měřické přímce -8 (obr.-8) a L Huillierovými vzorci vpočteme výměru I+II. obr.-8 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 3 3,38 5,3 3 3,38 5,3 4,54 73,54 4,54 73,54 5 0,00 89,3 5 0,00 89,3 6-7,96,06 6-7,96,06 7-4,68 33,64 7-4,68 33,64 8 0,00 55,45 8 0,00 55,45 0,00 0,00 0,00 0,00 4,86 5,83 4,86 5,83 P = - 446,8576 m P = - 446,8576 m P = -73,43 m P = -73,43 m Příklad.5: Vpočtěte výměru mohoúhelíka při měřické přímce -7 (obr.-9). obr.-9 3

14 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 3 8,9 54, 3 8,9 54, 4 3,6 6, 4 3,6 6, 5-9,9 94,94 5-9,9 94,94 6 4, 3,33 6 4, 3,33 7 0,00 45,5 7 0,00 45,5 0,00 0,00 0,00 0,00 9,6 9,4 9,6 9,4 P = -655,5406 m P = -655,5406 m P = -87,77 m P = -87,77 m Příklad.6: Vpočtěte výměru parcel 0 (obr.-0). obr.-0 Bod Bod 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 3-7,5, 3-7,5, 5 0,00 38,6 5 0,00 38,6 4 5,6 74,34 4 5,6 74,34 0,00 0,00 0,00 0,00 -,7 56,4 -,7 56,4 P = 4 886,4863 m P = 4 886,4863 m P = 443,4 m P = 443,4 m 4

15 Příklad.7: Vpočtěte výměru parcel 03 ze souřadic v S-JTSK (obr.-). Bod Y X 73 94, , , , , , , , , ,9 Souřadice pro výpočet redukujeme Y 0 = m; X 0 = 0 500m a bod zobrazíme. obr.- Bod Y X Bod Y X 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 3 05,66 33, 3 05,66 33, 4 74,4 6, ,4 6, ,96 39,9 5 39,96 39,9 34,6 48,8 34,6 48,8 407,9 74,4 407,9 74,4 P = 7 044,99 m P = 7 044,99 m P = 35 5,50 m P = 35 5,50 m Výpočet provádíme vžd pro kotrolu podle obou vzorců. 5

16 Pozámka: L Huillierov vzorce lze upravit i jiým způsobem a ejprve pouze souči sečíst a potom odečítat. Výpočet je bez kotrol. P = P = Obě rovice dávají shodý výsledek ukázka a příkladu.4. Výpočet je ted bez kotrol. Bod Y X Bod Y X 50,76 4,87 50,76 4, ,78 36,3 4 64,78 36, ,73 89, ,73 89,33 345, 43,54 345, 43,54 50,76 4,87 50,76 4,87 P = 50,76 43,54 345, 89,33 475,73 36,3 64,78 4, 87 4,87 345,43,54 475,73 89,33 64,78 36,350, 76 = 5 33,847 m P = 6 67 m 6

17 .. Vrováí hraice Je potřeba ahradit lomeou hraici mezi pozemk hraicí přímou tak, ab se výměra pozemků ezměila. Předpokládáme, že hodota směňovaých částí pozemků je stejá. Požadujeme, ab ová hraice procházela zvoleým bodem ebo měla daý směr. Úkolem je vpočítat vtčovací prvk pro vtčeí ové přímé hraice v teréu. Při výpočtu vtčovacích prvků poecháme výměru a celý počet desetiých míst, abchom zajistili požadovaou přesost prvků (prvk desetiá místa plocha 4 desetiá místa).... vrováí hraice bodem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která vchází ze zadaého bodu a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si vsvětlíme a příkladu. Příklad.8: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk a (obr.-). Postup výpočtu: obr.- ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 7 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 78; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 79; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá jako výměra trojúhelíka M7 4) vpočteme vtčovací prvk pro bod M (výšku v, tj. kolmici MM ', staičeí M ', délku 7 M, případě 8 M po původí hraici a délku M ové hraice (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 5) kotrolě vpočteme výměru trojúhelíka M7 6) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 7

18 P M7 = 7 v ; P MM' v ; 7 MM' 78' 7M' ; 88' 78 7M MM' ; 88' M M' MM' pro kotrolu 7M MM' 7M' ; P M7 = 7 MM ' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 -,48 5,6 3 4, 9,84 4 6,4 4,7 5-3,6 74, 6-5,63 97,79 7 0,00 6,39 0,00 0,00 -,48 5,6 P = 888,688 m P = 944,3 m 888,688 MM' v = 4,94 m 6,39 4,94 6,75 7M' = 7,67 m 3,6 4,94 36,70 7M = 6,8 m pro kotrolu 3,6 7 M 4,94 7,67 = 6,79 m M ' 7 7M ' = 6,39 + 7,67 = 34,06 m M 34,06 4,94 = 34,89 m P M7 = 6,39 4,94 = 888,666 m P M7 = 944,3 m 8

19 ... vrováí hraice daým směrem Lomeou hraici zaměříme a vhodě zvoleou měřickou přímku, která má požadovaý směr ového rozděleí a prochází přibližě místem ového rozděleí. Postup výpočtu si opět vsvětlíme a příkladu. Příklad.9: Vpočtěte vtčovací prvk pro vtčeí přímé hraice mezi pozemk 3 a 3, která má být kolmá k cestě p.č. 4 (obr.-3). Postup výpočtu: obr.-3 ) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka určeého vrchol až 8 ) při kladém výsledku je větší plocha po levé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 80; při záporém výsledku je větší plocha po pravé straě měřické přímk, proto ová dělicí hraice bude a přímce 89; při ulovém výsledku je měřická přímka ovou dělicí hraicí 3) výměra mohoúhelíka je stejá, jako výměra lichoběžíka 8PM 4) lichoběžík ahradíme obdélíkem o základě 8 5) vpočteme výšku v', délku hraice MP a z výměr a základe vpočteme výšku v. 6) pokud jsou v' a v rozdílé vpočteme zovu MP a ovou výšku v. 7) pokud se výšk v požadovaé přesosti eliší, vpočteme vtčovací prvk pro bod P ( tj. kolmici v PP', staičeí P ', délku ové hraice MP, délku 8 P, případě 9 P po původí hraici (pro výpočet vužíváme podobost trojúhelíků) 8) stejým způsobem postupujeme i u bodu M, v ašem příkladu je pata kolmice M' totožá s bodem 9) kotrolě vpočteme výměru lichoběžíka 8PM 0) pokud záme všech lomové bod parcel, vpočteme kotrolě výměr parcel původí i ové 9

20 . výpočet: P 8PM = 8 v' ; P MM' PP' v' ; 8 PP' 89' 8P' ; MP 8-8P' ; 99' P 8PM = 8 MP v ; MM' PP' ásleduje. výpočet: P v 8 MP ; PP' 89' 8P' ; 99' PP' 89 8P ; pro kotrolu 99' 8P PP' 8P' ; MP 8-8P' ; P 8PM = 8 MP PP' Číselý výpočet: Bod 0,00 0,00 4,97 0,00 3,83 8,7 4-0,08 4,56 5-5,03 6,06 6 7,03 70, 7 5,06 88,3 8 0,00 96,48 0,00 0,00 4,97 0,00 P = -306,97 m P = -53,486 m. výpočet: 53,486,59 9,54 MM' PP' v',59 m; 8P' 0,49 m; 96,48 3,09 MP 96,48-0,49 95,99 m. výpočet: MM' PP' v 306,97 96,48 95,99,59 m,59 9,54,59 3,50 8P' 0,49 m; 8P,66 m; MP 96,48-0,49 95,99 m; 3,09 3,09 59 P 8PM = 96,48 95,99, = 306,073 m P 8PM = 53,0 m 0

21 Příklad.0: Vpočtěte vtčovací prvk ové přímé hraice mezi pozemk 3 a 3. Hraice bl zaměře ze staoviska 400 polárí metodou s orietací a bod (úhl v míře setié). Lomeou hraici až 7 ahraďte hraicí přímou, která vchází z bodu (obr.-4). obr.-4 Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel ,3 0,00 45,04 9,04 3 9,3 6, ,73 33, ,8 79, ,08 63, ,49 45, ,74 6, ,97 96, ,7 368,00 73,38 38,55 5,4 7, ,37 80,4 4 70,73 7,48 Poz. Výškový úhel

22 Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 400 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 400- a vpočteme souřadice bodů až 4 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 7 4) plocha je kladá, ová hraice bude a přímce 74 5) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 7, 4 6) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod 7, 4 od přímk 7 převodem polárích souřadic a pravoúhlé 7) vpočteme výšku trojúhelíka 7M 8) podobostí trojúhelíků vpočteme vtčovací prvk pro bod M 9) vpočteme souřadice bodu M 0) vpočteme výměr pozemků 3 a 3 původí i ové Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) , ,00 76,3 0,00 00, ,3 5000,00 45,04 9,04 9,04 043, ,74 3 9,3 6,045 06,045 09,4 4998,8 4 6,73 33,663 3, ,56 506,35 5 6,8 79, , ,3 5058, ,08 63,56 363,56 958, , ,49 45, ,668 93, , ,74 6,596 36,596 94, , ,97 96, , , , ,7 368,00 68,00 065, 5035,53 73,38 38,55 38,55 060, ,6 5,4 7,340 7,340 0, ,87 3 5,37 80,4 80,4 975,86 499, 4 70,73 7,48 37,48 93,8 508,8 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 7. Bod 76,3 00,00 43,04 86,74 3 9,4 98,8 4 03,56 6, ,3 58, ,79 63,95 7 3,56 58,83 76,3 00,00 43,04 86,74 P = 40,4838 m P = 70,49 m

23 Výpočet ortogoálích vtčovacích prvků pro bod 4 Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 076,3 5000,00 0,00 0, , ,83 55,33 34,78 55,33 0, ,8 508,8 45,7 308,45 40,86-37,3 40,4838 9,4 4,47 MM' v = 9,4 m 7M' = 3,54 m 55,33 37,3 9,4 40,05 7M = 9,8 m pro kotrolu 7M 9,4 3,54 = 9,80 m 37,3 M ' 7 7M ' = 55,33 3,54 = 5,79 m M 5,79 9,4 = 5,06 m Vpočteme souřadice bodu M Bod s (m) σ (g) 7 93, , ,8 508,8 40,0 0,77 M 9,80 0,77 93, ,03 parcela 3 parcela 3 Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 43,04 86,74,30 53,87 3 9,4 98,8 3 75,86 9, 4 03,56 6,35 4 3,8 8,8 5 80,3 58,95 7 3,56 58, ,79 63, ,79 63,95 7 3,56 58, ,3 58,95 8 4,50 86, ,56 6, ,83 66,84 3 9,4 98,8 0 65, 35,53 43,04 86,74 76,3 00,00 76,3 00,00 43,04 86,74 60,59 58,6 P = 34,867 m P = 0065,647 m P = 6557,43 m P = 503,8 m 3

24 Bod Bod 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03,30 53,87 7 3,56 58, ,86 9, 8 4,50 86,34 4 3,8 8,8 9 95,83 66,84 M 3,38 49, , 35,53 76,3 00,00 76,3 00,00 60,59 58,6 M 3,38 49,03 P = 35,863 m P = 0064,6008 m P = 6557,93 m P = 503,30 m Rozdíl ve výměře parcel je způsobe zaokrouhleím vtčovacích prvků a cm. 4

25 .3. Děleí pozemků Velmi častou úlohou je při úpravách a majetkových převodech pozemků rozděleí tak, ab děleí vhovovalo předem zadaým podmíkám (oddělovaá část má daou výměru, dělicí hraice má určitou polohu). V teréu je potřeba ejprve celý pozemek zaměřit, vpočítat výměru a tu porovat s výměrou uvedeou v katastru emovitostí. Rozdíl O P = P KN P V esmí překročit mezí odchlku u MP pro dvojí určeí výměr (apř. u MP = 0,5 P ). Mezí odchlka je staovea podle měřítka a tpu mapových podkladů v zájmovém prostoru a způsobu určeí výměr. V současé době jsou v katastru emovitostí uvede výměr s kódem kvalit 0,, (0 grafický způsob, z přímo měřeých měr, ze souřadic). Mapové podklad mohou být aalogové, digitalizovaé ebo digitálí. Podle tpu podkladu porováváme výměru z KN s výměrou vpočteou. Mezí odchlk pro dvojí určeí ploch jsou uvede v příloze 4 vhlášk 6/007 Sb. U oddělovaých částí uvádíme do KN výměru z vpočteých hodot. Vtčovací prvk ové hraice počítáme vžd z výměr vpočteých z měřeí. Příklad.: Rozdělte pozemek 54 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau AB. Výměra uvedeá v KN je 4570 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. obr.-5 Postup výpočtu: ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN. ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru ACC a BCC 4) z podobosti BDD a BCC vpočteme DD ' ; BD '; BD 5) kotrolě vpočteme výměr 54/ a 54/. 5

26 Číselý výpočet: P ABC = AB CC' = 8,03 7,35 = 934,9405 m P = 4567,47 m O P = 4570 m 4567 m = 3 m u MP = 0, = 9 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 7,6 7,35 = 76,38 m; Os = -0,04 m 00,77 7,35 = 3,48 m; Os = 0,04 m P ABC = AC' CC' = 7,6 7,35 = 945,00 m P = 97,50 m P BCC = C' B CC' = 00,77 7,35= 789,9395 m P = 3594,97 m oddělovaá část = P54 = 83,74 m (54/, 54/) P DD ' 54 = CC' P BCC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = P P 54 BCC' CC' ; DD ' = 56,87 m P BD ' 54 = BC' P BCC' ; BD ' = P P 54 BCC' P54 BC' ; BD' = BC'; BD ' = 80,3 m P BCC' BD = BC P P 54 BCC' ; BD = P P 54 BCC' BC ; BD = P P 54 BCC' BC ; BC = 98,39 m kotrolě BD = BD' DD' ; BD = 80,3 56,87 = 98,4 m vtčovací prvk, tj. souřadice, v místí soustavě (_přímka AB): D (-56,87;47,7) kotrolí výpočet výměr : 54/ P = P ACC + P CDD C = 97,50 m + 3,05 m = 83,55 m 54/ P = P BDD = 83,90 m 6

27 Do katastru emovitostí zapíšeme výměr a celé m, tj. 84 m, P KN = 4570 m, P (54/+54/) = 4568 m, rozdíl m erozdělujeme, protože ové určeí výměr je přesější ež určeí původí. Příklad.: Rozdělte pozemek 4 a stejé části tak, ab ová dělicí hraice bla rovoběžá se straou BC. Výměra uvedeá v KN je 055 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Postup výpočtu: Číselý výpočet: obr.-6 ) vpočteme výměru ABC, porováme s výměrou z KN ) kotrolě vpočteme oměré 3) vpočteme výměru oddělovaé části, tj. P4 4) z podobosti trojúhelíků platí, že poměr ploch je stejý jako poměr čtverců PV AB stra, apř. pv AM 5) vpočteme vzdáleosti AM, AP, MP, PP', AP' ; pro výpočet použijeme měřeé hodot 6) kotrolě vpočteme výměru 4/ P ABC = AB CC' = 74,6 8,48 = 4,948 m P V = 057,464 m O P = 055 m 057 m = - m u MP = 0,5 057 = 0 m O P < u MP kotrolě vpočteme oměré AC = BC = 56,5 8,48 = 6,96 m; Os = -0,04 m 8, 8,48 = 33,75 m; Os = 0,05 m p V = P V = 58,73 m 7

28 AM AB p P V V ; AM = 5,5 m AP AC p P V V ; AP = 44,55 m MP BC p P V V ; MP = 3,83 m PP' CC' p P V V ; PP ' = 0,4 m AP' PP' ; AP ' = 39,7 m AC' CC' P 4/ = 5,5 0,4 = 58,776 m Příklad.3: Rozdělte pozemek 06 a části tak, ab ová dělicí hraice bla kolmá a strau 5 a vcházela z bodu 3. Výměra uvedeá v KN je 70 m, kvalita 0, aalogová mapa v měřítku :000. Lomové bod bl zaměře polárí metodou ze staoviska 40 s orietací a bod, směr v míře setié. Tp úloh Číslo bodu staičeí vzdáleost kolmice vodorový úhel 40 3,6 0,00 38,94 96,4 3 4,38 4,9 4 6,76 86, ,8 6,39 Poz. Výškový úhel obr.-7 8

29 Postup výpočtu: ) zvolíme souřadice staoviska 40 (000,00; 5000,00) ) osu vložíme do směru 40- a vpočteme souřadice bodů až 5 3) vpočteme L Huillierovými vzorci výměru mohoúhelíka až 5 4) z bodu vpočteme polárí prvk (délku, směrík) pro bod 5 5) vpočteme ortogoálí vtčovací prvk pro bod M a přímce 5 s vužitím rovic pro bod a kolmici 6) vpočteme souřadice bodu M 7) vpočteme polárí vtčovací prvk pro bod M ze staoviska 40 8) vpočteme výměr pozemků 06/ a 06/ Číselý výpočet: Bod vzdáleost vod.směr směrík (m) (g) (g) , ,00 3,6 0,00 0,00 000,00 503,6 38,94 96,4 96,4 038,87 500,36 3 4,38 4,9 4,9 04, 4990,6 4 6,76 86,67 86,67 005, ,8 5 34,8 6,39 6,39 97, ,5 Souřadice redukujeme a vpočteme výměru mohoúhelíka až 5. Bod 00,00 3,6 38,87 0,36 3 4, 90,6 4 05,56 73,8 5 7,39 80,5 00,00 3,6 38,87 0,36 P = 4533,78 m P = 66,8609 m Výpočet polárích prvků pro bod 5 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97, ,5 59,36 3,06 9

30 Výpočet ortogoálích prvků (staičeí, kolmice) pro bod M 3 s M si5 km3 cos5 3 s M cos5 km3 si5 d osadíme a ahradíme si k ; 5 cos 5 k 4, s M k km3 k s M k km3 k 4,00 vřešeím soustav rovic dostáváme s M 6,93 m; k M3-56,36 m Bod M leží a přímce 5, kolmice je 0. Bod s (m) σ (g) staičeí kolmice 000,00 503,6 0,00 0, , ,5 59,36 3,06 59,36 0,00 M 6,93 3,06 6,93 0,00 Vpočteme souřadice bodu M a polárí vtčovací prvk z bodu 40 Bod s (m) σ (g) 000,00 503,6 5 97, ,5 59,36 3,06 M 6,93 3,06 99,84 507,33 Bod s (m) σ (g) ω (g) , ,00 000,00 503,6 3,6 0,0000 0,0000 M 99,84 507,33 9,6 37, ,9846 parcela 06/ parcela 06/ Bod Bod 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 5 7,39 80,5 3 4, 90,6 M 9,84 7,33 M 9,84 7,33 3 4, 90,6 00,00 3,6 4 05,56 73,8 38,87 0,36 P = 375,6405 m P = 358,966 m P = 587,8 m P = 679,0 m kotrola P (06/+06/) = 67 m, rozdíl 0 m 30

31 . Trigoometrické určováí výšek Výškové rozdíl určujeme ivelací ebo trigoometrickým způsobem. Trigoometrický způsob vužijeme, pokud ivelace eí vhodá a postačí ám ižší přesost. Při trigoometrickém způsobu vcházíme z aměřeé vzdáleosti (vodorové ebo šikmé) a svislého úhlu (zeitové vzdáleosti ebo výškového úhlu). Trigoometrické určováí výšek užíváme pro ) určeí výšk předmětu ) určeí admořské výšk bodu.. Odvozeí zeitové vzdáleosti obr.- o,o. měřeá hodota v I. a II. poloze dalekohledu z, z. zeitová vzdáleost v I. a II. poloze dalekohledu i. ideová chba z z o i 4R o i 4R o o z [.] 3

32 Oprava ideové chb z z o i 4R o i i 4R o o i 4R (o o ) 4R - o o i ebo o o i R [.] pro i = 0 platí: o 4R [.3] o o 4R i..odečíst od o o o 4R i..přičíst k o o Příklad.: Vpočtěte ideovou chbu a zeitovou vzdáleost z měřeí v obou polohách dalekohledu. o = 99,960 g o = 97,49 g o = 300,70 g o = 30,854 g o o = 400,0080 g o o = 399,9960 i = -0,0080 g i = +0,0040 g i = -0,0040 g i = +0,000 g z = 99,90 g z = 97,439 g g.. Určeí výšk předmětu Určeí výšk předmětu rozdělujeme a ) předmět s patou přístupou lze přímo měřit vzdáleost a úhel a vrchol i patu předmětu, apř. stožár ) předmět s patou epřístupou elze přímo určit vzdáleost ai úhel k patě předmětu, apř. kostelí věže a podle prostoru potom řešíme ) pomocí trojúhelíka při dostatku místa v okolí ) v přímce při edostatku místa 3

33 ... předmět s patou přístupou obr.- h s0 cot g z h s0 cot g z [.4] s 0 0 H s cot g z cot g z [.5].vodorová vzdáleost od staoviska k předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a vrchol předmětu z.zeitová vzdáleost (úhel) a patu předmětu Za předpokladu, že měříme šikmou vzdáleost, lze vužít vzorce obr.-3 33

34 s i h s cos z h cos cos cos.šikmá vzdáleost od staoviska k předmětu s z [.6] H s z s z [.7] Vzhledem k tomu, že pod horizotem). z 0;R vzorce platí pro všech případ (bod ad horizotem, říklad.: Vpočtěte výšku předmětu pro vzdáleost s = 00 m a zeitové vzdáleosti a) z = 70,00 g z = 90,00 g b) z = 0,00 g z 30,00 g = c) z = 90,00 g z = 0,00 g P 0 obr.-4 a, b, c Číselý výpočet: g g 0 cot g 70 cot g 90 g b) H 0 cot g0 cot g30 g g H cot g 90 cot g a ) H s = 00 0, ,58384 s g = 00 0, ,50955 s 00 0, ,58384= 3 c) 0 0 = = 35, m = 35, m,68 m Příklad.3: Vpočtěte výšku sigálu s přístupou patou. Zadáí a) b) c) s 0 7,4 m 84,76 m 3,45 m z 74,46 g 8,66 g 0,8 g z 06,73 g 94,548 g,867 g 34

35 obr.-5 Číselý výpočet: podle vzorců [.4] a [.5] H s 0 cot g z cot g z Zadáí a) b) c) h 30,89 m 3,7 m - 3,53 m h - 7,66 m 7,8 m - 5,30 m H= h - h 38,55 m 6,44 m,77 m H 38,54 m 6,45 m,76 m Rozdíl ve výšce jsou způsobe postupem výpočtu (zaokrouhleím mezivýsledků h, h a cm a přímým výpočtem H podle vzorce [.5]. 35

36 ... předmět s patou epřístupou. zvolíme staoviska tak, ab s předmětem tvořil trojúhelík (pokud možo rovostraý ebo rovorameý s úhlem a bodě V v itervalu g ), vzdáleosti spočteme siovými větami z délk pomocé základ b a změřeých vodorových úhlů α, β (obr.-6). obr.-6 s b si si b si s [.8] si Výšku předmětu vpočteme z převýšeí (h, h ) pomocí změřeé zeitové vzdáleosti z a vrchol předmětu, vzdáleosti s a laťového úseku (l, l ) změřeého a lati postaveé u pat předmětu při dalekohledu urovaém do vodorové poloh. obr.-7 h s z cot g cot g h s z [.9] H h l h l [.0] Pokud je rozdíl obou vpočteých hodot meší ež mezí odchlka, použijeme do dalších výpočtů průměrou hodotu. 36

37 . zvolíme vzdáleější staovisko (S ) a druhé staovisko (S ) zařadíme do přímk S V, změříme základu b= S S, zeitové vzdáleosti z,z a laťové úsek l,l. obr.-8 b cot z l H h l g H h l cot g z l [.] b cot g z l cot g z l cot g z cot g z b cot z l l g b cot g z l l cot g z cot g z [.] Po výpočtu vpočteme výšku předmětu dosazeím do rovic [.], které vzikl úpravou rovic [.9], [.0]. h s z cot g cot g h s z H h l h l Příklad.4: Vpočtěte výšku věže od prahu při dostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g z 85,494 g 84,599 g l,3 m,4 m 37

38 obr.-9 Číselý výpočet: staovisko S S b 0,6 m vod.úhel 6,46 g 74,48 g s 0,99 m 00,30 m z 85,494 g 84,599 g h 5,74 m 4,75 m l,3 m,4 m H 6,87 m 6,89 m H 6,88 m 38

39 Příklad.5: Vpočtěte výšku věže od prahu při edostatku místa v okolí. Měřeé hodot: staovisko S S b 74,87 m z 8,487 g 64,87 g l,86 m 0,94 m obr.-0 Číselý výpočet: Dosazeím do vzorce [.] vpočteme vzdáleost věže od staoviska S b cot g z l l cot g z cot g z = 73,48 m staovisko S S b 74,87 m 73,48 m s 48,35 m 73,48 m z 8,487 g 64,87 g h 44,40 m 45,3 m l,86 m 0,94 m H 46,6 m 46,6 m H 46,6 m 39

40 .3. Určeí admořské výšk bodu Používáme při výpočtu výšek bodů bodových polí. Při vzdáleostech ad 300m je třeba zavádět opravu ze zakřiveí Země a z refrakce. obr.- V B = V A + v s + h - v c [.3] VAB VB VA VBA VA VB = - VAB h s cot g z ; h s cos z 0 Výškové rozdíl se zpravidla určují tam i zpět, do dalšího výpočtu se používá průměrá hodota (rozdíl T a Z esmí překročit mezí odchlku). obr.- obr.-3 40

41 V AB T V BA Z T - Z V AB VAB - VBA VAB [.4] Výsledý výškový rozdíl je průměrem absolutích hodot T a Z, zachová se zaméko převýšeí T. Při výpočtu výšek v polgoovém pořadu se vpočteý výškový rozdíl počátečího a kocového porovává s výškovým rozdílem daým a odchlka O v se rozdělí úměrě délkám OV stra ( Vi si ). [s ] i Příklad.6: Vpočtěte admořské výšk bodů,. staovisko výška stroje m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m A,46 9,85,50 48,36,50 A 08,7,50 48,36 03,73,50 96,94,64 96,374,50 96,94 B 06,59,50 6,7 B,38 93,46,50 6,7 měřeí tam Obr.-4a 4

42 měřeí zpět obr.-4b Číselý výpočet: Vpočteme výškové rozdíl V, odchlku O v a výsledé výšk bodů,. Odchlku O v rozdělíme úměrě délkám stra. sta. záměra a bod vzdáleost m h (m) v s - v c (m) V(m) V(m) V (m) A 48,36 0,44-0,04 0, ,74 A -0,43 0-0,43 0,4 567,7 96,94-5,66 0-5,66 + 5,53 0,4 5,67-5,67 56,5 B 6,7-6,69 0,4-6,55 + B 6,7-0, 6,59-6,57 544,96 [ ] 407,47 -,8 -,78 O v = -,78 - (-,8) = 0,04 m 4

43 .4. Vliv zakřiveí Země a refrakce a výškové rozdíl Výškový rozdíl bodů A, B je vzdáleost od skutečého horizotu bodu A ke skutečému horizotu bodu B měřeá po svislici. Výšk určujeme ale od zdálivého horizotu a je ted třeba zjistit rozdíl skutečého a zdálivého horizotu q (obr.-5). Vlivem změ hustot vzduchu v růzých výškách dochází k refrakci světelého paprsku, který probíhá přibližě po kruhovém oblouku a m měříme úhel k tečě tohoto oblouku. Bod B se ám jeví zdálivě v B a výškový rozdíl musíme opravit o q (obr.-6). Oprava ze zakřiveí a refrakce se zavádí společě a je v ašich podmíkách vžd kladá (q je přibližě 7 větší ež q ). s. vzdáleost bodů A,B r. poloměr Země R.poloměr refrakčího oblouku k.refrakčí koeficiet = poměr obou poloměrů, je závislý a admořské výšce, zeměpisé poloze, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme průměrou hodotu k = 0,306 O oprava ze zakřiveí a refrakce (q.oprava ze zakřiveí, q.oprava z refrakce) a. vliv zakřiveí Země obr.-5 s arc ; q s arc r s r [.5] 43

44 b. vliv refrakce obr.-6 ρ = z - z ; s arc ; arc R s R r arc R r R arc k s r s q s arc k [.6] r k. refrakčí koeficiet, eí stálý, závisí a admořské výšce, deí době, teplotě vzduchu, vegetačím porostu a dalších čiitelích; používáme k = 0,306 c. výsledá oprava ze zakřiveí a refrakce s s s k k k s o s [.7] r r r r O = q q k o =, je pro daé území a refrakčí koeficiet kostatí, pro r = 6380 km a k = 0,306 r 0,306 se vpočte o 5 6,8 0 km 6380 Pokud dosadíme do rovice [.7] r v km, s v m, vjde oprava O v mm. 44

45 Příklad.7: Vpočtěte admořskou výšku bodu 48 z bodů 0, 06 a 4. Zeitové vzdáleosti bl měře a daých bodech i bodě určovaém. Výsledou výšku určete ze všech hodot obecým (vážeým) aritmetickým průměrem a zjistěte jeho středí chbu, váha pi, kde s i je délka v km. s i obr.-7 výpis ze zápisíků a staoviskách 0, 06, 4 staovisko výška stroje m výška cíle m výška bodu m záměra a bod zeitová vzdáleost g výška cíle m vzdáleost m 0,60,00 97, 48 0,7939 4,94 89,9 06,4,9 84, ,900 4,94 96,8 4,48 4,36, ,5504 4,94 674,4 měřeí tam měřeí zpět obr.-8a obr.-8b 45

46 () Nomeklatura: 40 Staovisko: cetrické Měřil: Číslo a ázev bodu: Měřeo de: od U Krbu M.N. do Zápisík měřeých výškových úhlů () (3) (4) (5) (6) (7) (8) Skupia součet Kotrola Výškový úhel Číslo a ázev Pozámka: cíle U každého cíle se mě průměr ( I + II ) Zeitová vzdáleost v pol. II. hed po pol. g c cc c cc g c cc g c cc 0 V Zálesí 4 Hůrka 06 Lada Cílová začka (ákres) v c =,00 v c =,9 v c = 4,36 Poloha dalekohledu I II II 97 4 I II 30 I II 96 I i = -90 i = i = Theodolitem Theo 00 č. Theodolit postave a stativu I II I Stav povětrosti: zatažeo, mírý vítr Výšk ad měřickou začkou 4,94 II I II I II 0.00,56 0,00 I II I II Vpočteme zápisík.9 - měřeých výškových úhlů. Pro další výpočet lze použít zápisík 4.3 výpočet výšek polgoového pořadu, případě si vhotovit vlastí tabulku. 46

47 Pořad č Bod pořadu VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) str.:... zpět Z () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () g c cc 0 48 Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) cotg z Stra s 89,9 s.cotg z -39,8,60 4,90 Výšk ad kameem,56,00 O 4,94 0,05-4,47 0,05 4,5-4,49 Nadm. výšk 97, 54,7 O (oprava ze zakř. a refr.) ,8-6,7 9,95,4,56 4,94 0, -9,68,9 0, 9,70-9,69 84,40 54, ,4 36,57-30,35,48,56 4,94 4,36 0,03 0,03 33,4-33, 33,3,54 54,67 *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra [ ] Geodézie 4-3 O - k r s Ml 008 Výsledou výšku vpočteme obecým aritmetickým průměrem. i sta. o s p δ pδ v pv pvv m km cm cm cm 0 54,7 0,89,6 5, ,786, ,7,30 0,59 6,5 - -,84, ,67 0,67,8 7 5,596 4,456 8,9 [ ] 0 = 54,60 4,08 37,5 0,638 0 [ p ] 54,60 m + [ p] 37,5 4,08 cm = 54,69 m středí chba obecého aritmetického průměru m [ pvv] [ p] m,638 =,7 cm 4,08 47

48 Příklad.8: Vpočtěte souřadice a výšk bodů 5 a 5 zaměřeých vetkutým polgoovým pořadem. Dáo: Bod Y X Z , ,0 34, , ,8 36,7 obr.-9 Zápisík měřeých úhlů a vzdáleostí Číslo Výsledá Kotrola Vodorová Pozámka Vodorové úhl vzdáleost Svislé úhl I+II vzdáleost O průměr Zeitová s edukovaý průmě s průměr vzdáleost s g c cc g c cc m cm g c cc g c cc cm m cm cm () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) () () (3) (4) 0 I v s = 5,50,6 II staoviska 5 cílového bodu 0 Řada I II Redukce Str.: výška cíle,50 půleí v s =,58 5 I II , I II ,00 v s =,66 3 v s =,63 I II I II Geodézie č O = O + O + O 3 + O 4 O O O 3 O 4 z porováí z teplot redukce a ulovou hladiu ze zkresleí,50,50 48

49 VÝPOČET SOUŘADNIC BODŮ POLYGONOVÝCH POŘADŮ Číslo pořadu () s(+ si + cos ) Úhl a úhlové Směrík Stra si vrováí s + si + cos Číslo bodu g c cc g c cc cos () (3) (4) (5) (6) Souřadice a souřadicové vrováí Y X (7) (8) , , ,4 49,6 6, ,96 98,30 6, ,5 [ ']= 47,9 [ ']= 40,39 σ'=,4776 g s' = 47,78 m σ=,54 g s = 47,69 m σ P = 378,6478 g Os = -0,09 m s = 0,3 m Os <Δs , , ,4-48,85 40, , , ,4 5, 36, , , ,96 5,9 5, , ,8 Y = 7,56 Y = 47,6 444,5 [ ']= 7,56 [ ']= 47,70 O = 0 O = -0,08 Op = 0,08 p = 0,3 m Op <Δp Geodézie č Pro výpočet výšek spočteme vzdáleosti ze souřadic. Výšk vpočteme v zápisíku

50 VÝPOČET VÝŠEK V POLYGONOVÉM POŘADU str.:... Pořad č Bod pořadu teodolitu cíle oprava z vr. **) (5)+(6) T - Z -(7)+(8) () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () Zeitová vzdáleost z z měřeí tam T *) zpět Z g c cc cotg z Stra s s.cotg z Výšk ad kameem 34, ,4,6,50 3,36-48, ,44,58,50-3,36 3,36 356, ,6,58,00 3,84-36, ,50,66,00-3,84 3,84 380, ,98,66,50-8,8-59, ,69,63,50 8,8-8,8 36,7 O Nadm. výšk O O (oprava ze zakřiveí a refrakce) - k s r *) smsl T odpovídá pořadí ze sl. **) rozdělí se úměrě délkám stra Geodézie 4-3 8,38 8,35 Ov = -0,03 Ml 008 Sezam souřadic a výšek Bod Y X Z , ,3 356, , ,34 380,00 50

51 3. Vrovávací počet Při měřeí všech veliči se objevují měřické chb. Jsou způsobe edokoalostí pomůcek a epozorostí měřiče. Většia chb se odstraí opakovaým měřeím, měřickým postupem a pečlivou prací. Vrovávat lze pouze výsledk, které obsahují zbtkové chb sstematické a chb ahodilé. Opakovaým měřeím téže veliči za praktick stejých podmíek vziká základí (stejorodý) soubor výsledků, které jsou zatíže měřickými chbami. Protože ale ve většiě případů ezáme absolutě správou hodotu určovaé veliči, zjistíme z výsledků měřeí pouze ejpravděpodobější hodotu a její spolehlivost (přesost měřeí a výsledku). 3.. Charakteristik měřických chb Měřické chb rozdělujeme a 3) oml jsou rozpozatelé a prví pohled, apř. zapomeutý klad pásma, záměa číslic; měřeí elze použít 4) chb hrubé přesahují mezí odchlku metod měřeí, odstraí se opakovaým měřeím; z dalšího zpracováí je musíme vloučit 5) chb evhutelé vsktují se v měřeí vžd, dělí se a - sstematické - kostatí - promělivé - periodické - ahodilé Chb sstematické se odstraňují početě ebo měřickým postupem. Vrovávat lze pouze hodot obsahující chb ahodilé a zbtkové chb sstematické. Skutečá chba (ε) Skutečou chbu (ε) defiujeme jako rozdíl absolutě správé hodot měřeé veliči (skutečé) X a aměřeé hodot o i : ε i = X o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.] Skutečou hodotu X záme je výjimečě, proto i skutečou chbu ε můžeme určit je zřídka ( skutečou chbou je apříklad uzávěr úhlů v trojúhelíku součet má být 80 ). Nejpravděpodobější chba (v) Pro vrováí pozorováí přímých stejé váh je ejpravděpodobější hodotou aritmetický průměr o o... o = o [3.] Nejpravděpodobější chba je ted defiováa jako rozdíl ejpravděpodobější hodot a aměřeé hodot o i : v i = - o i (i =,. je počet opakovaých měřeí) [3.3] Nejpravděpodobější chb v i jsou podle rovice [3.3] odchlk od aritmetického průměru a zároveň jsou to oprav aměřeých hodot. 5

52 3.. Charakteristik přesosti měřeí Výsledk měřeí lze posuzovat podle růzých kriterií. Pro měřeí a výpočt mají výzam tto chb. a) průměrá (lieárí) chba s je aritmetický průměr absolutích hodot všech chb ε s [3.4] b) základí středí (kvadratická) chba m je defiováa jako kvadratický průměr všech chb ε m [3.5] ebo při výpočtu z oprav v : vv m [3.6] Vzhledem k tomu, že m je citlivější a větší chb ež s, používá se v geodézii téměř vžd základí středí (kvadratické) chb jako charakteristik přesosti. Základí středí (kvadratické) chba m je dáa metodou a podmíkami při měřeí (stroj, ostatí pomůck, zkušeosti měřiče). Teoretick je to středí hodota všech chb v základím souboru, kd počet měřeí. Její hodota je pro daou metodu měřeí kostatí ( m =kost.). V prai ji ahrazujeme hodotou určeou z velkého počtu měřeí, provedeých za stejých podmíek a říkáme jí středí chba metod měřeí (apř. středí chba uvedeá u měřických přístrojů). Při meším počtu měřeí jsou výsledk a jejich chb je áhodým výběrem ze základího souboru. Středí chbu v tomto případě počítáme pro koečé ( je počet měřeí). m počet měřeí [3.7] vv m [3.8] a říkáme jí výběrová středí chba ebo odhad základí středí chb (středí chba jedoho měřeí). c) pravděpodobá chba r pravděpodobost P(r) = [3.9] přibližou hodotu r můžeme určit tak, že uspořádáme chb podle jejich velikosti a ajdeme hodotu uprostřed (tzv. mediá). Chba může být se stejou pravděpodobostí větší ebo meší ež základí pravděpodobá chba. 5

53 Vztah mezi velikostí chb lze vjádřit poměrem m : s : r : 0,80 : 0, Vlastosti ahodilých chb Jedotlivá chba se eřídí žádým zákoem, edokážeme předvídat její velikost, ai zaméko. V dostatečě velkém souboru ahodilých chb lze ale zjistit určité vlastosti těchto chb. Vlastosti ahodilých chb si vsvětlíme a příkladu 7 uzávěrů trojúhelíků českosloveské trigoometrické sítě. Chb seskupíme do itervalů po 0,33 a sestrojíme sloupcový graf (histogram). Chb dosahují hodot do ±,0. Hodota,0 je zahruta v itervalu,66",,00". POČET UZÁVĚRŮ INTERVAL (ČETNOST) + - součet 0,00 0, ,33 0, ,66, ,00, ,33, ,66, Celkem ČETNOST CHYB četost ,00" -,66" -,33" -,00" -0,66" -0,33" 0,00" 0,33" 0,66",00",33",66",00" skutečé chb obr.3-53

54 obr.3- Z dostatečě velkého souboru vplývá, že ahodilé chb podléhají určitým zákoitostem jak ukazuje Gaussova křivka: ) kladé a záporé chb stejé velikosti jsou stejě četé ) čím je chba meší, tím je četější 3) ejvětší četost má chba ulová 4) v prai epřekročí chb určitou mez Mezí chb ejvětší přípusté chb. Staoví se směricemi a předpis. Mezí chba se vpočítá ze součiu středí chb metod měřeí m a tzv. koeficietu spolehlivosti t. u t m [3.0] t se volí ejčastěji - 3 dle áročosti prováděého měřeí a podmíek při měřeí. S velikostí itervalu spolehlivosti souvisí pravděpodobost, že ahodilá chba bude ležet a tomto itervalu. INTERVAL KOEFICIENT pravděpodobost % t m; m 68 m; m 95 3m; 3m 3 99,7 Mezí (dopusté) odchlk u jsou vhodým kriteriem pro epřípusté skutečé chb (apř. uzávěr trojúhelíků). Pro rozdíl dvojího měřeí (délk, úhlu, převýšeí, ploch) se určují ejvětší dovoleé odchlk, tzv. mezí rozdíl. u mez u [3.] 54

55 obr Základ vrovávacího počtu Ve vrovávacím počtu předpokládáme, že z měřeých hodot jsme vloučili oml, hrubé chb a většiu chb sstematických a sažíme se ajít hodotu, která se co ejvíce blíží hodotě skutečé (X).Vlivem ahodilých měřických chb dostáváme pro měřeou veličiu číselé hodot, které se v určitých mezích liší. Výsledek hledáme vrováím z aměřeých hodot. Vrováí lze rozdělit a a) pozorováí přímá stejé váh měříme přímo hledaou veličiu jedou pomůckou (měřeí délk pásmem) b) pozorováí přímá estejé váh - měříme přímo hledaou veličiu růzě přesými pomůckami (měřeí délk pásmem, itkovým dálkoměrem, elektrooptickým dálkoměrem) c) pozorováí zprostředkující měříme veličiu, z které ezámou určíme výpočtem (apř. při protíáí vpřed vrováváme souřadice, měříme vodorové směr) d) pozorováí podmíková vrovaé hodot musí vhovovat určité podmíce (součet úhlů v -úhelíku) V tomto učebím tetu se budeme věovat pouze pozorováím přímým stejých a růzých vah. Gauss a základě pravděpodobosti dokázal (Gaussův záko chb), že vrovaá hodota se ejvíce přiblíží skutečé (absolutí) hodotě X je-li splěa podmíka miima. 55

56 Vrovaou veličiu budeme ted hledat tak, ab vhovovala podmíce vv miimum, pro pozorováí přímá stejé váh [3.] pvv miimum, pro pozorováí přímá estejé váh [3.3] Vrovaá veličia musí vhovovat Gaussově podmíce miima. Váha pozorováí. Pokud pro ás mají výsledk pozorováí stejou přesost, říkáme, že mají stejou váhu. Nemají-li stejou přesost, mluvíme o estejé váze a každému pozorováí přiřadíme číslo p tzv. váhu, která vjadřuje přesost jedotlivých pozorováí a závisí a středí chbě. Čím je váha větší, tím je větší přesost tohoto pozorováí. Platí, že váha je epřímo úměrá čtverci středí chb. k k k k p : p : p3 :... : p : : :... : [3.4] m m m3 m k pi [3.5] mi pro pozorováí s váhou p 0 vjadřuje k jedotkovou středí chbu k m0 čtverec jedotkové středí chb [3.6] Vrováí pozorováí přímých stejé váh o,... vrovaá hodota v, v,... v oprav v o,, o o výsledk jedotlivých pozorováí v o,.. v o Gaussova podmíka miima vv o o o = mi. [3.5]... Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o o... o 0 [3.6] o o... o o.aritmetický průměr [3.7] v 0.kotrola [3.8] 56

57 Vrovaá hodota se u pozorováí přímých stejé váh určí aritmetickým průměrem z aměřeých veliči a součet oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá veličia se eshoduje s teoretick správou hodotou X a je v í určitá chba ε, tj.skutečá chba aritmetického průměru, která udává přesost měřeí. Zpravidla ji ezáme, a její velikost usuzujeme ze středí chb aritmetického průměru m. X.skutečá chba aritmetického průměru (ezáme ji) [3.9] X o X o.. X o o X [ o] [ ] X, ze vzorce [3.7, 3.9] vplývá [ ] X [3.0] Podle Gaussova zákoa ahodilých chb mají chb ε růzá zaméka, proto se lieárí výraz po umocěí budou rovat přibližě m lieárí výraz zaedbáme, rovají se přibližě 0 a po aplikaci zákoa hromaděí středích chb dostáváme m m ] m... m [ mi m m pro koečé bude použito m, m m m [3.] m m pro [3.] m [3.3] m 57

58 m m [3.4] U pozorováí přímých stejé váh klesá chba výsledé hodot (aritmetického průměru) s odmociou z počtu pozorováí. Středí chb ale počítáme z oprav a je ted třeba odvodit vzájemý vztah mezi chbou ε a opravou v. X X o o v X X o o podle vzorců [3.9]; [3.]; [3.3] v chb m v v v v v v v, ahradíme podle zákoa hromaděí skutečých vv m v vv Z předchozího odvozováí vplývá: a) v 0 [3.8] z Gaussov podmík miima b) m m [3.3] m m m c) po úpravě vzorce [3.7] a rovice bude po úpravě: m m [ vv] [ ] m m [ vv], tj. výběrová středí chba jedoho pozorováí [3.5] dosazeím do [3.3] m = m [ vv] bude m m [ vv], tj. výběrová středí chba aritmetického průměru [3.6] Odchlku s jakou je vrovaá hodota určea udává základí středí (kvadratická) chba m. V prai se uvažuje iterval spolehlivosti, 5m, ve kterém s praktickou jistotou leží skutečá hodota X. 58

59 Výsledek měřeí m tvoří pár sdružeých čísel, které při dalším počítáí musí být eodlučitelě spolu. Nejistota výsledku se přeáší a součet, rozdíl ebo libovolou fukci měřeých veliči. Záko přeášeí (hromaděí) ahodilých a středích chb v praktickém měřeí ovlivňuje výběr metod měřeí, přístrojové techik a výpočetího postupu Vrováí pozorováí přímých estejé váh o, o,... o výsledk jedotlivých pozorováí p, p,... p váh jedotlivých pozorováí (váha p pro měřeí ) vrovaá hodota v, v,... v oprav v o, v o,.. v o o p o Gaussova podmíka miima pv p o p o p o... = mi. [3.7] Výraz má ejmeší hodotu pro takové, pro které je prví derivace výrazu rova 0. o p o... p o 0 p po po... po p p... p po p. obecý (vážeý) aritmetický průměr [3.8] pv 0.kotrola [3.9] Vrovaá hodota se u pozorováí přímých estejé váh určí vážeým aritmetickým průměrem (obecým) z aměřeých veliči a příslušých vah, součet součiu vah p a oprav v je rove 0 (kotrola výpočtu). Vrovaá hodota se opět liší od teoretické hodot X, takže obsahuje středí chbu m a bude mít váhu p. Stejě jako pro pozorováí přímá stejé váh lze odvodit středí chb pro: a) jedotlivé pozorováí o váze p i.. m i [ pvv] mi [3.30] p b) pozorováí o váze p 0.. m 0 středí chba jedotková i [ pvv] m 0 [3.3] 59

60 c) aritmetický průměr.. m ] [ ] [ p pvv m [3.3] d) váhu aritmetického průměru p [ p] p [3.33] Měřické dvojice Velmi častým případem vrováí jsou měřické dvojice (dvojí měřeí délk, úhlu). Při odvozeí vcházíme z pozorováí přímých stejé váh.,o o výsledk jedotlivých pozorováí vrovaá hodota,v v oprav o v, o v d diferece o o d o o [3.34] d o o o o o o o o o v [3.35] d o o o o o o o o o v [3.36] 4 4 ] [ d d d vv = mi. [3.37] a) středí chba jedotlivého pozorováí ] [ d d vv m [3.38] b) středí chba aritmetického průměru 4 ] [ d d d vv m m [3.39] 60

61 3.4.4 Příklad Příklad 3.: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. V kolika skupiách musíme měřit, ab směr měl přesost m a) 0,000 g b) 0,000 g c) 0,00005 g Řešeí : podle vzorce [3.3] m m m m a) 4skupi b) 6 skupi c) 64skupi 0,5 Příklad 3.: Úhel bl zaměře v 6 skupiách. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : zvolíme základí hodotu [3.7] i o δ v vv [ ] = a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [ ] = [ vv] 34 m = 5,6 m [ vv] m = =, = ±, m Příklad 3.3: Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,0004 g. Teodolit má udáváu přesost měřeého směru v jedé skupiě m = 0,004 g. V kolika skupiách musíme měřit teodolitem, ab směr měl rovoceou přesost s teodolitem? Řešeí : podle vzorce [3.4] k k p : p : p m p m k m m 4 p 4 p k 6

62 pokud zvolíme k = 4 = 96 p 6 p 96 = p Teodolitem je potřeba měřit směr ve skupiách, ab měřeí blo rovoceé s měřeím teodolitem v jedé skupiě. Pozámka: Výrobci uvádějí v prospektech přesost daou středí chbou měřeí ve směru. Středí chba v úhlu se vpočte pomocí zákoa hromaděí středích chb. Pokud jsou směr měře se stejou středí chbou ( m m m ) l p P L m m l m p m g g m 0, 0004 m 0,0004 = 0,0006 g Příklad 3.4: Vpočtěte výšku bodu P, která bla určea čtřmi ivelačími pořad (váha měřeí pi ), vrovaou hodotu, středí chbu jedotlivého měřeí m i, s Řešeí: i středí chbu jedotkovou m a středí chbu aritmetického průměru m. 0 i o s p δ pδ v pv pvv m km mm mm,76 0,5,000 6, ,000,75,6 0,65 3 0, ,65 80,65 3,74, 0,833 7, ,998 9,988 4,738,0, , ,000 [ ] 0 =,70 4, , ,63 zvolíme základí hodotu [3.8] [ p ] 0,70 m + [ p] =,70 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce 0 67,493 4,458 mm =,735 m podle vzorce [3.30] m i [ pvv] p i 6

63 m 46,63 = 8,4 mm;,000 3 m 46,63 = 5, mm; 0,653 m 3 46,63 = 3, mm; 0,8333 m 4 46,63 =,9 mm,000 3 podle vzorce [3.3] m 0 [ pvv] m 0 46,63 =,9 mm 3 podle vzorce [3.3] m [ pvv] [ p] m 46,63 4,458 3 = 5,6 mm m =,735 m ± 5,6 mm Příklad 3.5: Vzdáleost bla změřea krát. Vpočtěte vrovaou hodotu, středí chbu jedoho měřeí m a středí chbu aritmetického průměru m. Řešeí : i o δ d v vv m mm mm mm 46, , [ ] 0 = 46, zvolíme základí hodotu 0 = 46,730 m a výpočet provedeme podle upraveého vzorce [3.34] 0 = 46,730 m + 0,04m = 46,77 m podle vzorce [3.38] m [ vv] d d 78 m = 55, mm podle vzorce [3.39] m m [ vv] d 4 d d 78 m = 39 mm 63

64 Literatura: BURŠÍK, A., PROCHÁZKA, F. Geodetické počtářství.. přepracovaé vdáí. Praha : Kartografie, 979. spszememericka,

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006

Asynchronní motory Ing. Vítězslav Stýskala, Ph.D., únor 2006 8 ELEKTRCKÉ STROJE TOČVÉ říklad 8 Základí veličiy Určeo pro poluchače akalářkých tudijích programů FS Aychroí motory g Vítězlav Stýkala, hd, úor 006 Řešeé příklady 3 fázový aychroí motor kotvou akrátko

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

6.16. Geodetické výpočty - GEV

6.16. Geodetické výpočty - GEV 6.16. Geodetické výpočty - GEV Obor: 36-46-M/01 Geodézie a katastr nemovitostí Forma vzdělávání: denní Počet hodin týdně za dobu vzdělávání: 8 Platnost učební osnovy: od 1.9.2010 1) Pojetí vyučovacího

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ

OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ OBECNÉ METODY VYROVNÁNÍ HYNČICOVÁ TEREZA, H2IGE1 2014 ÚVOD Z DŮVODU VYLOUČENÍ HRUBÝCH CHYB A ZVÝŠENÍ PŘESNOSTI NIKDY NEMĚŘÍME DANOU VELIČINU POUZE JEDNOU VÝSLEDKEM OPAKOVANÉHO MĚŘENÍ NĚKTERÉ VELIČINY JE

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

DOPRAVNÍ STAVBY A KONSTRUKCE

DOPRAVNÍ STAVBY A KONSTRUKCE 0o Dopraví stavb a kostrukce 0o DOPRVNÍ STVBY KONSTRUKCE Rozsah výuk: 7 týdů * hod/týde 4 hodi cvičeí hodia obsah cvičeí Úvod; podmík pro uděleí zápočtu Používaé orm Přehled průřezů používaých ve stavebích

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí . Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více