Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Transkript

1 Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro zaručeí kovergece iteračích metod Postup: zvolí odhad řešeí x (pokud odhad ezáme tak libovolé číslo) předpokládáme x k1 =B k x k c k pro správé řešeí musí platit x =B k x c k, tedy x k1 x=b k x k x=b k B k 1 x k 1 x=b k B x x požadujeme, aby pro rostoucí k šlo k pro kovergeci je tedy uté a stačí, aby lim B k B = Metody: estacioárí matice B v každém kroku jiá stacioárí matice B pořád stejá Nestacioárí metoda Řízeá relaxace Řešíme soustavu Ax=b Na počátku odhademe řešeí libovolě x Spočítáme reziduum Ax b a určíme jeho v absolutí hodotě maximálí složku Potom volíme matici B tak, abychom tuto složku vyulovali Například pro soustavu 3 3, kde maximálí je druhá složka, je to a 21 x 1 x 2 a 23 x 3 b 2 Požadujeme tedy, aby v ásledujícím kroku platilo a 21 x 1 1 x 1 2 a 23 x 1 3 b 2 = Z této rovice vyjádříme i tou, tedy v tomto případě druhou složku x 1 2 = 1 b a 2 a 21 x 1 1 a 23 x Matici B a vektor c volíme tak, aby všechy složky až a i tou zůstaly a pro i tou složku aby platil předcházející vztah, tedy v ašem případě

2 x 1 2 = 1 b a 2 a 21 x 1 a 23 x 3 To odpovídá volbě 22 obecém případě tedy B= a i1 1 1 a i2 a i 1 1 B= a 21 a 23 a 1 a b c= i c= b 2 V Tato metoda je výpočetě áročá, eboť je v každém kroku uté hledat maximum rezidua Proto se v praxi epoužívá Stacioárí metody (Prostá iterace, Jakobiho, Gauss-Seidlova a Superrelaxačí metoda) Kovergece stacioárích metod Vlastí číslo matice platí Bx=x B je číslo takové, že k ěmu existuje eulový vlastí vektor, pro který Nutá a postačující podmíka kovergece stacioárích iteračích metod je, že spektrálí poloměr matice B musí být meší ež 1 Jiými slovy pro všecha vlastí čísla i matice B musí platit B=max i=1,, i 1 Postačující podmíka kovergece metody pak je, že v ěkteré maticové ormě platí B 1 (Z této podmíky samozřejmě plye podmíka předcházející, eboť x = x = Bx B x, tedy B 1 ) Proč požadujeme max i=1,, i 1? Nějaká věta říká, že pro matici B platí ásledující ekvivalece lim B k = B1 Pro kovergeci jsme již dříve ukázaly podmíku lim B k B =, tedy ve stacioárím případě lim B k B =lim B k = Přesost řešeí můžeme odhadout jako x k x = x k A 1 b = A 1 Ax k b A 1 Ax k b Prostá iterace Rovici Ax=b můžeme přepsat jako x= I Axb

3 Prostá iterace je založea právě a tomto vzorci, tedy x k1 = I Ax k b Jako matice B je tedy volea matice I A a jako vektor c je vole vektor b Přesost můžeme odhadout ásledově: x k =Bx k 1 b= =B Bx k 2 bb= =B 2 x k 2 Bbb== =B k x B k 1 bb k 2 bb Platí dále implikace : jestliže B1, pak (v podstatě jde o geometrickou posloupost matic) lim IBB 2 B m = I B 1 m Pro řešeí x pak z předchozího platí x= A 1 b= I B 1 b= IBB 2 b x k x = B k x IBB k 1 b IBB 2 b = = B k x B k B k1 b = = B k x IBB 2 b B k x IBB 2 b B k x IBB 2 b B k [ x I B B 2 b ] [ B k x b 1 B ] Metoda prosté iterace se pro systémy lieárích rovic prakticky epoužívá Jacobiho metoda V čem metoda spočívá?

4 Hledáme řešeí rovice Ax=b Napíšeme i tou rovici z této soustavy a ij x j b i = j=1 této rovice vyjádříme x i jako x i = 1 x i k1 = 1 a ij x j b i a takto provádíme iterace a ij x k j b i Z Jiak se to dá pro matici soustavy A (řádu 3) formulovat takto Matice A se rozloží a součet 3 matic podle ásledujícího vzoru 11 a 12 a 13 A=a a 21 a 23 d 22 a 31 a 32 a 33=DLR=d11 d 33l 21 l 31 l 32 r12 r 13 r 23 Z těchto tří matic se pak vytvoří matice B B=D 1 LR= 1 d 11 1 d 22 d 33 1 = r12 r 13 l 21 r 23 l 31 l 32 a 12 a 11 a 13 a 11 a 21 a 23 a 31 a 32 a 33 a 33 a vektor c se defiuje jako b1 a 11 c=d b= 1 b 2 b 3 a 33 Iterace se provádí podle obecého vzorce x k1 =Bx k c Už z formulace úlohy je patré, že matice A esmí mít ulové diagoálí prvky

5 Pro Jakobiho metodu je kovergece zaručeá pro matice soustavy A diagoálě domiatí: Diagoálí domiace je defiováa a ij Z toho plye maximovou ormu matice B=D 1 LR platí B 1 a ij 1 a tedy pro Metoda Gauss Seidlova Téměř stejá, jako Jacobiho, je vždy používáme už všechy ově spočítaé složky vektoru x Kovergece pro poměrě širokou třídu matic A, ale může být velmi pomalá Porováí s předchozími metodami: Gauss Seidl x k1 i =x k i 1 a a i1 x k1 1 1 x k1 i 1 x k i a i x k b i ii x k1 =x k DL 1 Ax k b B= DL 1 R kovergece zaručea c= DL 1 b A diagoálě domiatí ebo pozitivě defiití přímá iterace x i k1 =x i k a i1 x 1 k a i2 x 2 k a i x k b i x k1 =x k Ax k b B= I A c=b Jacobiho metoda x k1 i =x k i 1 a a i1 x k 1 a i2 x k 2 a i x k b i ii x k1 =x k D 1 Ax k b B= D 1 LR kovergece zaručea c=d 1 b A diagoálě domiatí Superrelaxačí metoda Vlastě urychleí kovergece Gauss Seidlovy metody V Gauss Seidlově metodě ozačíme x k =x k1 x k V Gauss Seidlově metodě tedy platí x k1 =x k x k Superrelaxačí metoda pak teto vztah přeformuluje takto x k1 =x k x k, kde je z itervalu,2 ( 1 subrelaxačí, 1 superrelaxačí, = 1 Gauss Seidl) Relaxačí faktor slouží tedy k urychleí kovergece a jeho optimálí hodotu lze vypočítat 2 podle vztahu opt = B GS, kde B GS = DL 1 R je matice B z Gauss Seidlovy metody

6 (Upozorěí: V ěkterých materiálech se matice L a Seidlovy a Superrelaxačí metody) R ásobí 1 při odvozováí Gauss Příklad a Superrelaxačí metodu v PASCALU DEMRELAXPAS Matice MATREL1DAT, MATRELDAT Problém vlastích čísel Vlastí číslo :, x, že Ax=x, vlastí číslo, x je vlastí vektor A Řeší se problémy: úplý ebo částečý Vlastí čísle lze počítat z charakteristického polyomu matice A det A I= Pro matici se jedá o polyom tého stupě, který má tedy kořeů (mohou být i ásobé, komplexě sdružeé) Ke každému vlastímu číslu existuje alespoň jede vlastí vektor Matice je defektí má méě ež LN vlastích vektorů Normálí matice (splňuje vztah A A T = A T A ) má LN vlastích vektorů Symetrická matice ( A= A T ) má všecha vlastí čísla reálá Trojúhelíková matice má vlastí čísla a diagoále Matice podobé (matice A a P 1 A P ) mají stejá vlastí čísla, eboť det P 1 A P I=det P 1 A I P=det P 1 det A Idet P=det A I Ke každé matici existuje matice jí podobá v Jordaově ormálím tvaru K ormálím maticím existuje dokoce podobá diagoálí matice Numerické metody řešeí úplého problému travsformace a přibližě diagoálí ebo trojúhelíkový tvar Jacobiho trasformace Najde všechy vlastí čísla symetrické matice Cílem metody je podobostími trasformacemi postupé zmešováí mimodiagoálích prvků Postup: Nalezeí v absolutí hodotě maximálího mimodiagoálího prvku a pq

7 Podobostí trasformace pootočeí os, aby se čtvercová matice a pp a qp a pq a qq prvků c s matice A stala diagoálí Matice trasformace je T pq =1 1 s c 1 Pro koeficiety c, s platí c=cos, s=si Po k té iteraci je prvek matice A a k pq =c 2 s 2 a k 1 pq csa k 1 pp a k 1 qq a abychom ho ulovaly, musíme volit úhel jako tak, že ta2 = 2 a pq a pp a qq Příklad v PASCALU ZKJACOBIPAS, matice JAC1DAT, JAC2DAT LU rozklad Pomalá kovergece, utý velký počet operací Provádí se rozklad A k =L k U k a dále se volí A k1 =U k L k Matice U k se volé jako ortogoálí, tedy U T k U k =I Z toho plye, že matice A k a A k1 jsou si podobé A k1 =U k L k =U k L k U k U T k =L k U k = A k Částečý problém vlastích čísel Hledá se ejčastěji extrémí vlastí číslo (v absolutí hodotě ejvětší, ejmeší) Například metoda: x k1 = 1 k Ax k, kde k =e 1 T Ax k ( k je prví složka Ax k ) platí lim k = a lim x k = x 1 Nejmeší vlastí čísla matice A jsou ejvětší matice A 1 Druhé ejmeší vlastí číslo redukce matice a řád 1 Vlastí číslo v ějaké oblasti posu A Ix=x Příklad v PASCALU CASTPPAS, matice apř MATRELDAT, MATREL1DAT