Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Intervalové odhady parametrů některých rozdělení."

Transkript

1 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů: -bodový odhad (poit estimate, estimator) je odhad parametru pomocí statistiky (fukce áhodého výběru), jejíž hodotu pro datový soubor považujeme za hledaou hodotu ezámého parametru rozděleí (či jeho fukce); -itervalový odhad (kofidečí iterval) (cofidece iterval) je iterval, ve kterém se hodota ezámého parametru vyskytuje s požadovaou pravděpodobostí, pochopitelě s hodotou blízkou jedé. Itervalový odhad. Jestliže je θ ezámý parametr zkoumaého rozděleí a τ(θ) je fukce parametru, kterou odhadujeme, pak hledáme statistiky T d a T h takové, že pro koeficiet spolehlivosti (cofidece level) ( ) platí: P (T d τ(θ) T h ) =, (oboustraý odhad) (two-tailed) přičemž obvykle ještě požadujeme P (τ(θ) < T d ) = P (τ(θ) > T h ) =. Itervalovým odhadem (oboustraým) fukce τ(θ) je iterval (T d, T h ). Někdy hledáme pouze jedostraé odhady (oe-tailed). Je pak: τ(θ) (T d, ), kde P (τ(θ) T d ) = a P (τ(θ) < T d ) = ; τ(θ) (, T h ), kde P (τ(θ) T h ) = a P (τ(θ) > T h =. Obvykle volíme = 0, ; 0, 05, 0, 0. Spolehlivost odhadu (level of sigificace) je pak ( ) = 0, 9, 0, 95, 0, 99. To zameá, že po řadě v 90%, v 95% ebo v 99% případech je áš odhad pro parametr správý. Itervalové odhady parametrů ěkterých rozděleí.. Normálí rozděleí. A) Odhad parametru µ (středí hodoty) rozděleí N(µ, σ ) při zámém rozptylu σ. Zde použijeme statistiku X (výběrový průměr) jako jeho odhad. Víme, že áhodá veličia U = X µ má ormovaé ormálí rozděleí N(0, ). Potom σ je P ( U u ) = u X µ u σ, kde symbolem u p, 0 < p < ozačujeme p kvatil ormovaého or- 39

2 málího rozděleí N(0, ). Odtud dostaeme, že T d = X σ u µ T h = X + σ u. µ T h = X + σ u, resp. µ T d = X σ u. Jedostraými odhady jsou itervaly (levostraý), resp. (pravostraý) B) Odhad parametru σ při zámé středí hodotě µ. Zde použijeme skutečosti, že má áhodá veličia U i = X i µ ormovaé ormálí σ rozděleí N(0, ). Potom má áhodá veličia V = ( ) Xi µ rozděleí χ (). Je i= σ pak s = i= (X i µ) = σ i= ( Xi µ σ ) = σ V. Má tudíž statistika V = s dostaeme σ rozděleí χ (). Pro oboustraý odhad P (v V v ) = v = χ () a v = χ (), kde symbolem χ p() ozačujeme p kvatil rozděleí χ (). Odtud plye odhad χ () s σ χ () s () σ s (). χ Obdobě dostaeme jedostraé odhady (pravostraý) resp. (levostraý) σ s χ (), resp. s χ () σ. C) Odhad středí hodoty µ za podmíky, že rozptyl σ uvažovaého rozděleí eí zám. Ke staoveí itervalu spolehlivosti použijeme statistiku T = X µ, o které víme, že má Studetovo t rozděleí t( ) S 40 χ

3 o ( ) stupích volosti. Je totiž a T = X µ σ S σ U = X µ σ N(0; ), eboť X N(µ; σ /). Dále je a Z = ( ) S σ = i= T = X X i σ U Z má tedy Studetovo rozděleí t( ). Iterval spolehlivosti určíme z podmíky χ ( ) Odtud je tudíž P ( T t ( )) =. t X µ t S, X S t µ X + S t je oboustraý iterval spolehlivosti pro parametr µ. Obdobě dostaeme jedostraé itervaly (pravostraý), resp. (levostraý) ve tvaru: µ X + S t, µ X S t, kde symbolem t ozačujeme kvatil uvažovaého rozděleí. D) Odhad parametru σ při ezámé středí hodotě µ. Zde použijeme statistiku Y = S, která má rozděleí χ ( ). Je totiž σ Y = i= X X i σ 4 χ ( )

4 a dále vycházíme ze skutečosti, že pro statistiku S je E(S ) = σ a může tedy sloužit jako vhodý odhad parametru σ. Oboustraý iterval spolehlivosti dostaeme z podmíky P (v Y v ) = v = χ ( ), v = χ ( ) jsou odpovídající kvatily rozděleí χ. Odtud plye pro oboustraý iterval spolehlivosti v ( )S σ v ( ) S σ ( ) S. v v Jedoduchou úpravou získáme jedostraé itervaly spolehlivosti (pravostraý), resp. (levostraý) ve tvaru σ ( ) v S, ( ) v S σ, kde v a v jsou zde po řadě kvatily χ ( ), v = χ ( ) rozděleí chí-kvadrát o ( ) stupích volosti.. Expoeciálí rozděleí. Uvedeme iterval spolehlivosti pro rozděleí Exp(0; δ), kde využijeme skutečosti, že je středí hodota E(X) = δ. Statistika T = X má δ totiž rozděleí χ (). O tom se sado přesvědčíme pomocí charakteristické fukce. Jestliže uvážíme, že áhodá veličia X, která má uvažovaé expoeciálí rozděleí, má charakteristickou fukci ψ X (t) = jtδ, pak pro statistiku T dostaeme charakteristickou fukci ψ T (t) = ( jt). To je ovšem charakteristická fukce áhodé veličiy, která má rozděleí χ(). Je totiž X = i X i ψ X = E e jt i= x i = = E ( e jtx ).E ( e jtx )... E ( e jtx ) = (ψx (t)). Pro expoeciálí rozděleí Exp(0; δ) je ψ X (t) = δ 0 e jtx e x/δ dx = δ 0 e x(/δ jt) dx = 4

5 Je tedy Dále je tedy = δ δ [ e x(/δ jt ] δjt = 0 δjt ψ X(t) = ( δjt). ψ X (t) = E ( e jtx ) = ψ X (t), ψ T (t) = ψ( X( δ t) = jt), což je charkteristická fukce rozděleí χ (). Iterval spolehlivosti získáme z idetity P (v T v ) = v X δ v X δ X, v v kde v = χ () a v = χ () kvatil rozděleí chí-kvadrát. Obdobě dostaeme jedostraé itervaly spolehlivosti ve tvaru X v δ, δ X v, kde v = χ () a v = χ () jsou kvatily rozděleí chí-kvadrát. Pro rozsáhlé výběry při velkém můžeme použít důsledku cetrálí limití věty. Protože pro áhodou veličiu s expoeciálím rozděleí je E(X) = δ a D(X) = δ, je pro výběrový průměr áhodého výběru z tohoto rozděleí E(X) = δ a D(X) = δ. Potom má áhodá veličia U = X δ δ v limitě ormovaé ormálí rozděleí N(0; ). Itervaly spolehlivosti můžeme určit pomocí kvatilů ormálího rozděleí obdobě jako v odstavci A. V áhodé veličiě U použijeme odhadu δ = X a pro staoveí itervalu spolehlivosti vycházíme z áhodé veličiy U = X δ X 43,

6 u které předpokládáme ormovaé ormálí rozděleí N(0; ). Z idetity P X δ X dostaeme iterval spolehlivosti ve tvaru < u = X u X < δ < X + u X, kde symbolem u ozačujeme kvatil ormovaého ormálího rozděleí. Pokud je áhodý výběr výběrem s obecého expoeciálího rozděleí Ex(A; δ), pak staovíme odhad parametru A pomocí metod uvedeých v odstavci 4 a zpracováváme soubor Y i = X i A, i. 3. Alterativí rozděleí. Odhadujeme hodotu parametru p, kde využíváme skutečosti, že pro áhodý výběr z alterativího rozděleí má výběrový úhr X = i= X i biomické rozděleí Bi(, p). Podle cetrálí limití věty lze pro dostatečě rozsáhlý výběr předpokládat, že součet má ormálí rozděleí. Protože je E( X) = p a D( X) = p( p), má pro p( p) > 9 výběrový úhr X ormálí rozděleí N(p, p( p)). Náhodá veličia Z = X p p( p) = X p p( p) má ormovaé ormálí rozděleí. Potom je P ( Z u ) = u Odtud plye, že pro parametr p platí X u p( p) p( p) p X + u N(0; ) X p u p( p). p( p). Itervalový odhad parametru p obsahuje ale hodotu rozptylu, která X( X) závisí a p. Hodotu rozptylu ahradíme jeho odhadem. Pro 44

7 parametr p dostaeme itervalový odhad X u X( X) p X + u X( X). 4. Geometrické rozděleí s parametrem p má pravděpodobostí fukci p(k) = p( p) k, k =,,..., a odhadujeme parametr p. Pro áhodou veličiu X s tímto rozděleím je E(X) = p a D(X) = ( ) p p, tedy pro áhodý výběr z tohoto rozděleí dostaeme, že E(X) = p a D(X) = ( ) p p. Pro základí číselé charakteristiky je: E(X) = kp( p) k = p ( ( p) k ) p = p = ( p) = k= k= E(X ) = k= k(k )p( p) k + = p( p) k= ( ) = p p = p p = p ; k p( p) k = [k(k ) + k]p( p) k = k= ( p) ( p) k= kp( p) k = p( p) k= ( ( p) k ) + p = = p( p) ( p + p ) + p = = p( p) p 3 + p = p p ; D(X) = E(X ) (E(X)) = p p p = p p = ( ) p p. Je-li (X, X,..., X ) áhodý výběr z geometrického rozděleí, pak pro výběrový úhr X a výběrový průměr X platí: E( X) = p, E(X) = p, D( X) = ( ) p p, D(X) = ( ) p p. Pro velké hodoty rozsahu výběru má podle cetrálí limití věty áhodá veličia X p U = ( ) p p 45

8 v limitě ormálí rozděleí N(0; ). Pro iterval spolehlivosti k daé hodotě dostaeme iterval spolehlivosti ve tvaru X p p Jestliže použijeme odhadu p pro parametr p ve tvaru ( p ) ( p ) u..= X(X ), pak dostaeme iterval X u X(X ) p X + u X(X ). Příklad: Při hodech hrací kostkou sledujeme počet hodů, které musíme provést, dokud epade šestka. Je tedy p = 6 = 0, 6666, p = 6. Pro = 0, je z tabulek u 0,95 =, Pro áhodé výběry jsme dostali: = 30, X = 4, 63333, tedy 3, 4083 p 5, , 705 p 0, 94. = 0, X = 5, 65, tedy 4, 88 p 6, 4 0, 558 p 0, 05. = 80, X = 5, 8555, tedy 5, 08 p 6, 5093, tedy 0, 536 p 0,

9 Příklady. Určete itervaly spolehlivosti, oboustraé i jedostraé pro zadaé hodoty, = 0,, 0, 05, 0, 0.. Normálí rozděleí. Ukážeme si použití a datech ze souborů, které jsou přehledem výšek v cm a vah v kg ve skupiách studetů. Příslušé výběrové charakteristiky vždy uvedeme u řešeé úlohy. V tabulkách jsou zadáy hodoty výběrových statistik pro áhodý výběr z ormálího rozděleí. Písmeem X je ozače soubor výšek posluchačů v cm a písmeem Y je ozače soubor vah v kg. Písmeo M začí muže, písmeo Ž žey. je rozsah souboru, X je hodota výběrového průměru a SX je hodota výběrového rozptylu pro áhodý výběr. soubor výb. průměr výb. rozptyl počet hodot rozpětí 990,M X = 80 SX = 38, 8 = 7 65, ,Ž X = 65, 55 SX = 47, 7 = 5, ,M+Ž X = 79, SX = 58, 875 = 8 5, (+) X = 8, 673 SX = 68, 489 = 5 65, 0 000() X = 8, 607 SX = 94, 04 = 8 65, 0 000() X = 8, 75 SX = 38, 687 = 4 7, ,M Y = 7, 5 SY = 55, 9 = 7 60, ,Ž Y = 56, 78 SY = 4, 07 = 45, ,M+Ž Y = 7, 57 SY = 67, 975 = 8 45, (+) Y = 77, 93 SY = 06, 48 = 5 60, () Y = 75, 893 SY = 8, 3 = 8 60, () Y = 80, 9 SY = 69, 873 = 4 6, 95 rozsah souboru, X výběrový průměr, S výběrový rozptyl, V S výška v cm, V H váha v kg. 47

10 X S X S VS- 35 8, 6, VH , 4 0, 78 VS , 97 VH , 4 0, 59 VS , 35 7, 48 VH , 53 34, 6 VS , 77 VH , 74 59, 74.. Výběr je áhodým výběrem z ormálího rozděleí N(µ; σ ) z daými parametry. Určete iterval spolehlivosti pro středí hodotu µ. Ke staoveí itervalů spolehlivosti použijeme statistiku T = X µ t( ), S která má t rozděleí o stupích volosti. Pozameejme, že pro 30 je t rozděleí již shodé z ormovaým ormálím rozděleím N(0; ). Je pak: oboustraý iterval spolehlivosti ( ) X S t µ X + S t ; jedostraé itervaly spolehlivosti ( ) µ X + S t, µ X S t. a) Soubor 990(M): Jedá se o soubor výšek v cm, X = 80, S = 38, 8, = 7, rozpětí 65, 00. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval t S/ µ 0,, 64485, 6 78, 78 < µ < 8, 6 0, 05, 95996, , 55 < µ < 8, 449 0, 00, 57583, , < µ < 8, 904 jedostraé itervaly t S/ µ µ 0,, 86 0, 9474 µ < 80, 95 µ > 79, 05 0, 05, 64485, 6 µ < 8, µ > 78, 78 0, 00, 364, µ < 8, 7 µ > 78, 8 48

11 b) Soubor 990(Ž): Jedá se o soubor výšek v cm, X = 65, 55, S = 47, 7, =, rozpětí 5, 78. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval t S/ µ 0,, 85 3, , 79 < µ < 69, 3 0, 05, 8 4, , 93 < µ < 70, 7 0, 00, , , 98 < µ < 7, jedostraé itervaly t S/ µ µ 0,, 37, 8446 µ < 68, 39 µ > 6, 70 0, 05, 85 3, 7573 µ < 69, 3 µ > 6, 79 0, 00, , 794 µ < 7, 8 µ > 59, 8 c) Soubor 990(M): Jedá se o soubor vah v kg, Y = 7, 5, S = 55, 9, = 7, rozpětí 60, 95. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval t S/ µ 0,, 64485, 450 7, 07 < µ < 73, 97 0, 05, 95996, 78 70, 79 < µ < 74, 5 0, 00, 57583, 7 70, 5 < µ < 74, 79 jedostraé itervaly t S/ µ µ 0,, 86, 99 µ < 73, 65 µ > 7, 39 0, 05, 64485, 450 µ < 73, 97 µ > 7, 07 0, 00, 364, 05 µ < 74, 57 µ > 70, 47 49

12 d) Soubor 990(Ž): Jedá se o soubor vah v kg, Y = 56, 78, S = 4, 07, =, rozpětí 45, 77. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval t S/ µ 0,, 85 3, , 8 < µ < 60, 8 0, 05, 8 4, 30 5, 48 < µ < 6, 08 0, 00, , 99 47, 66 < µ < 65, 90 jedostraé itervaly t S/ µ µ 0,, 37, 6497 µ < 59, 43 µ > 54, 3 0, 05, 85 3, 4999 µ < 60, 8 µ > 53, 8 0, 00, , 3374 µ < 6, µ > 5, 44.. Výběr je áhodým výběrem z ormálího rozděleí N(µ; σ ) z daými parametry. Určete iterval spolehlivosti pro rozptyl σ. Ke staoveí itervalů spolehlivosti použijeme statistiku Y = σ S, která má rozděleí χ ( ). Vycházíme ze skutečosti, že pro statistiku S je E(S ) = σ a může tedy sloužit jako vhodý odhad parametru σ. Oboustraý iterval spolehlivosti dostaeme ve tvaru ( ) ( ) χ S < σ < ( ) χ S. Jedostraé itervaly spolehlivosti dostaeme ve tvaru ( ) σ > ( ) χ S, σ < ( ) χ S. 50

13 a) Soubor 990(M): Jedá se o soubor výšek v cm, X = 80, S = 38, 8, = 7, rozpětí 65, 00. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval χ χ σ 0, 90, 53 5, < σ < 5, 49 0, 05 95, 03 48, 758 8, 58 < σ < 55, 70 0, 00 04, 43, 75 6, 06 < σ < 6, 76 jedostraé itervaly χ χ σ σ 0, σ < σ > 0, 05 90, 53 5, 739 σ < 5, 49 σ > 30 0, 00 00, 43 45, 44 σ < 59, 77 σ > 7, 04 b) Soubor 990(Ž): Jedá se o soubor výšek v cm, X = 65, 55, S = 47, 7, =, rozpětí 5, 78. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval χ χ σ 0, 8, 307 3, , 8 < σ < 9, 96 0, 05 0, 483 3, 47 3, 08 < σ < 45, 6 0, 00 5, 88, 559 8, 77 < σ < 98, 4 jedostraé itervaly χ χ σ σ 0, σ < σ > 0, 05 8, 307 3, 9403 σ < 9, 96 σ > 5, 8 0, 00 3, 09, 558 σ < 84, 78 σ > 0, 37 5

14 c) Soubor 990(M): Jedá se o soubor vah v kg, Y = 7, 5, S = 55, 9, = 7, rozpětí 60, 95. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval χ χ σ 0, 90, 53 5, 739 4, 68 < σ < 74, 67 0, 05 95, 03 48, , 66 < σ < 79, 4 0, 00 04, 43, 75 37, 07 < σ < 89, 8 jedostraé itervaly χ χ σ σ 0, σ < σ > 0, 05 90, 53 5, 739 σ < 74, 67 σ > 4, 68 0, 00 00, 43 45, 44 σ < 85, 0 σ > 38, 47 d) Soubor 990(Ž): Jedá se o soubor vah v kg, Y = 56, 78, S = 4, 07, =, rozpětí 45, 77. Ke staoveí itervalů použijeme vzorce ( ) a ( ). oboustraý iterval χ χ σ 0, 8, 307 3, 9403, 4 < σ < 04, 0, 05 0, 483 3, 47 0, 0 < σ < 6, 3 0, 00 5, 88, 559 6, 8 < σ < 90, 5 jedostraé itervaly χ χ σ σ 0, σ < σ > 0, 05 8, 307 3, 9403 σ < 04, σ >, 4 0, 00 3, 09, 558 σ < 60, 33 σ > 7, 67 5

15 . Expoeciálí rozděleí... Výběr je áhodým výběrem z expoeciálího rozděleí Exp(0; δ) z daými parametry. Určete iterval spolehlivosti pro středí hodotu δ. Zde využijeme skutečosti, že je středí hodota E(X) = δ. a toho, že statistika T = X δ má rozděleí χ (). Iterval spolehlivosti získáme ve tvaru X v < δ < X v, kde v = χ () a v = χ () kvatil rozděleí chí-kvadrát. Obdobě dostaeme jedostraé itervaly spolehlivosti ve tvaru X v < δ, δ < X v, kde v = χ () a v = χ () kvatil rozděleí chí-kvadrát. a) Soubor byl geerová z expoeciálího rozděleí Exp(0; δ) a má parametry: X =, 094, = 40. Potom je X = 80., 094 = 87, 538. Odtud dostaeme oboustraý iterval spolehlivosti χ χ δ 0, 0, 88 60, 39 0, 86 < δ <, 45 0, 05 06, 63 57, 53 0, 8 < δ <, 53 0, 00 6, 3 5, 7 0, 75 < δ <, 7 jedostraý iterval spolehlivosti χ χ δ δ 0, , 05 0, 88 60, 39 0, 86 < δ δ >, 45 0, 00 06, 63 57, 53 0, 8 < δ δ >, 53 53

16 3. Alterativí rozděleí. V tabulce jsou hodoty, které odpovídají výběru z alterativího rozděleí pro p =. 6 = 0, 667. Jsou to počty, kolikrát při hodech hrací kostkou padou čísla,,...,6. Podmíka pro aproximaci pomocí ormálího rozděleí je p( p) > 9, tedy > 65. X X X X X X V další tabulce jsou uvedey výběrové průměry X, tedy odhady parametru p =. 6 = 0, 667. X X X X X X 90 0, 0,556 0,667 0,444 0,444 0, ,47 0,583 0,667 0,5 0,083 0, ,6 0,466 0,667 0,467 0,867 0, ,7 0,389 0,6 0,5 0,889 0, ,65 0,65 0,667 0,47 0,04 0, ,567 0,767 0,7 0,33 0,033 0,6 Iterval spolehlivosti pro parametr p určíme ze vzorce X u X( X) p X + u X( X) a příslušé výsledky jsou uvedey v tabulce. Pro kvatily u dostaeme z tabulek hodoty: u 0,95 =, 64485, u 0,975 =, 95996, u 0,995 =, Pro kvatily u, resp, u dostaeme: u 0,9 =, 855, u 0,95 =, 64485, u 0,99 =,

17 < p < < p < < p < 90 0,057-0,655 0,098-0,88 0,0-0,33 0 0,0894-0,994 0,035-0,3 0,08-0,6 50 0,08-0,09 0,099-0,94 0,67-0, ,6-0,84 0,0965-0,83 0,6-0, ,34-0,06 0,34-0,06 0,7-0, ,59-0,975 0,405-0,9 0,343-0,057 < p < < p < < p < 90 0,934-0,954 0,699-0,389 0,5-0,44 0 0,573-0,593 0,547-0,69 0,79-0,3 50 0,099-0,94 0,344-0,369 0,403-0, ,06-0,939 0,409-0,369 0,409-0, ,047-0,787 0,64-0,47 0,34-0, ,008-0,65 0,65-0,45 0,5-0, Geometrické rozděleí. Iterval spolehlivosti pro parametr p má tvar X u X(X ) p X + u X(X ). Jeho vyjádřeí si ukážeme pro data jsou ze souboru z geometrickým rozděleím s parametrem p = 6, tedy p = 6. Jedá se o počet hodů hrací kostkou, které musíme provést, aby padlo zvoleé číslo, apř. šestka. Pro hodotu = 0, je u 0,95 =, a pro hodoty ze souboru máme: X < p < < p < 30 4,633 3, 4 < p < 5, 87 0, 7 < p < 0, 9 0 5,65 4, 88 < p < 6, 4 0, 56 < p < 0, ,86 5, < p < 6, 5 0, 54 < p < 0, 9 55

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

7. cvičení 4ST201-řešení

7. cvičení 4ST201-řešení cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi 13 1 016 Obsah 1 O čem to

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Aplikovaná statistika v průmyslu

Aplikovaná statistika v průmyslu Aplikovaá statistika v průmyslu Úvod... Popisá statistika... 3. Základí pomy... 3. Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem... 4.3 Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky... 5.4 Statistické

Více

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení

LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení LIMITNÍ VĚTY DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PR. 8. cvičení Způsoby statistického šetření Vyčerpávající šetření prošetření všech jednotek statistického souboru (populace) Výběrové šetření ze základního souboru

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin

Bc. Barbora Šimková. Odhady parametrů rozdělení náhodných veličin Uiverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Bc. Barbora Šimková Odhady parametrů rozděleí áhodých veliči Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijí program:

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Teováí hypoéz Teováí hypoéz Nechť je áhodá proměá, kerá má diribučí fukci Fx, ϑ. Předpokládejme, že záme var diribučí fukce víme jaké má rozděleí a ezáme

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více