Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti"

Transkript

1 Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti

2 Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou MLE? Jak vypadají estraý a MLE odhad parametru?

3 Opakováí použití průměru a mediáu Jmeujte výhody a evýhody průměru a mediáu jako statistik pro odhad středí hodoty áhodé veličiy. Jmeujte příklad, kdy průměr je výhodější ež mediá, a příklad, kdy mediá je výhodější ež průměr.

4 . Motivace

5 Spolehlivost bodového odhadu Výběr číslo Výběr číslo Celá cílová populace 0 x R 0 x R 0 x R Pracujeme li s výběrem z cílové populace, je třeba a základě variability pozorovaých dat spočítat tzv. iterval spolehlivosti pro bodový odhad. ( ( 0 x R 0 x R Umíme li změřit celou cílovou populaci, epotřebujeme iterval spolehlivosti, protože jsme schopi odhadout sledovaý parametr přesě v praxi je tato situace ereálá. Iterval spolehlivosti a základě výběru číslo.

6 Itervalový odhad Bodový odhad je prvím krokem ve statistickém popisu dat. Co ám říká jedo číslo? Studie může publikovat číslo x, studie číslo x. Které je správější, lepší, přesější? Bodový odhad je sám o sobě edostatečý pro popis parametru rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Zajímá ás přesost (spolehlivost bodového odhadu.

7 . Variabilita pozorováí a variabilita výběrového průměru

8 Populace a áhodá veličia Cílová populace skupia subjektů, o které chceme zjistit ějakou iformaci. Realizujeme li áhodě výběr z cílové populace, dostaeme výběrovou populaci (experimetálí vzorek. Cílová populace Vzorek Zak áhodá veličia vlastost, která ás zajímá. Realizace áhodé veličiy reálé číslo, pozorovaá hodota a vybraém subjektu. Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr možia ezávislých áhodých veliči se stejým rozděleím:,,,. Realizace áhodého výběru reálá čísla, hodoty pozorovaé a výběrové populaci. Jev A ω 0 x R

9 Pravděpodobostí chováí áhodé veličiy F(x, f(x a p(x popisují chováí áhodé veličiy úplě, ale složitě. Dvě charakteristiky odráží vlastosti rozděleí jedím číslem: středí hodota a rozptyl. Odmocia z rozptylu je směrodatá odchylka. E(, D(, SD( Platí ásledující: Jedotlivé realizace áhodé veličiy vykazují variabilitu (dle SD(. Jakákoliv statistika (apř. průměr je jako trasformace áhodých veliči také áhodou veličiou. Má tedy i rozděleí pravděpodobosti. Jedotlivé realizace statistiky ad růzými áhodými výběry také vykazují variabilitu (opět úměrou SD(.

10 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu. Proč?

11 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto plye z vlastostí rozptylu trasformovaé áhodé veličiy. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu plye z cetrálí limití věty.

12 Charakteristiky výběrového průměru Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. i i i i i i i D SD D D E E N μ μ ( ( ( ( ( (, ( ~ Pro odhad, respektive statistiku, se tomuto výrazu říká směrodatá chyba ebo stadardí chyba ( stadard error a začí se SE.

13 Příklad výběrový průměr Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr,,, Výběrový průměr Jev A ω 0 x R 0 x x x 3 x 4 x 5 R 0 x R

14 Shrutí Směrodatá odchylka (SD eí směrodatá chyba popisé statistiky (SE! Směrodatá odchylka (SD je odrazem variability áhodé veličiy ve sledovaé populaci. Směrodatá chyba (SE je odrazem přesosti popisé statistiky jako odhadu středí hodoty áhodé veličiy. Pozor a rozdíl mezi SD a SE v člácích a kihách tabulkách a grafech!

15 Příklad výška člověka Náhodá veličia bude výška člověka: ~ N(75, 5, tedy uvažujme středí hodotu 75 cm a směrodatou odchylku 5 cm. Jak se chovají průměry pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: x <- rep(0, 00 # vytvořím si vektor pro ukládáí průměrů for (i i :00 { pom <- rorm(0, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 0 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 for (i i :00 { pom <- rorm(00, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 00 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 00 for (i i :00 { pom <- rorm(000, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 000 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

16 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000

17 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000 od 60 cm do 90 cm od 70 cm do 80 cm od 73 cm do 77 cm N(75, N(75, N(75, ~ 0 ~ 00 3 ~ 000

18 3. Cetrálí limití věta

19 Připomeutí: stadardizace ormálího rozděleí Stadardizace je trasformace áhodé veličiy s N(μ, a N(0,. Důvod: řada statistických metod byla odvozea pro stadardizovaé ormálí rozděleí, N(0,. Děláme to tedy opět kvůli lepší možosti hodoceí dat. Teoretická stadardizace áhodé veličiy: Praktická stadardizace aměřeých hodot: U u i x i μ x s

20 Cetrálí limití věta Klíčová věta umožňující sestrojeí itervalových odhadů. Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má suma i přibližě ormálí i i rozděleí pravděpodobosti.

21 Cetrálí limití věta Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má výběrový průměr přibližě ormálí rozděleí se středí hodotou μ a rozptylem /. i i Tedy ( μ /( / rozděleí pravděpodobosti: lim Ρ( / má přibližě stadardizovaé ormálí x x μ u / π e du

22 CLV zjedodušeá iterpretace Pokud je rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy ormálí, pak je i rozděleí průměru pozorovaých hodot ormálí (a to i pro. Pokud rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy eí ormálí, pak je rozděleí průměru pozorovaých hodot přibližě ormálí, když je dostatečě velké (. Dostatečě velké zameá >30 pro rozděleí podobá ormálímu a > 00 pro rozděleí epodobá ormálímu.

23 Co je super Cetrálí limití věta fuguje i když rozděleí původí áhodé veličiy eí ormálí rozděleí pravděpodobosti. A dokoce i když eí spojité!

24 Příklad biomické rozděleí Chceme sledovat s jakou přesostí lze odhadout podíl hypertoiků v dospělé populaci ČR. Předpokládejme, že skutečý podíl dospělých s hypertezí je 0,. Náhodá veličia : osoba trpí / etrpí hypertezí. Pravděpodobostí fukce (alterativí rozděleí Ao Hyperteze Ne

25 Příklad biomické rozděleí Náhodá veličia S bude součet i, i,,. Náhodá veličia Y bude defiováa jako S/. E( S p D( S p( p E( Y E( S / p D( Y D( S / ( p( p / Jak se chová Y pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: s <- rbiom(000, 0, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 0 a p0, y <- s / 0 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 00, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 00 a p0, y <- s / 00 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 000, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 000 a p0, y <- s / 000 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

26 Příklad biomické rozděleí 000 realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při 000 p 0, p 0, p 0,

27 Příklad Poissoovo rozděleí

28 Co když ale ejde do ekoeča? Neí li velikost vzorku dostatečě velká, elze rozděleí výběrových průměrů považovat za ormálí. Aproximace Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleí pravděpodobosti: Lze ho chápat jako aproximaci ormálího rozděleí pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů koverguje k ormálímu rozděleí.

29 4. Itervalové odhady

30 Co je super pokračováí Cetrálí limití věta mi říká, že rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru můžu při dostatečém aproximovat ormálím rozděleím. Když provedu stadardizaci, tak dokoce stadardizovaým ormálím rozděleím. x μ / lim ( u Ρ x e du / π / μ ~ N(0,

31 Iterval spolehlivosti Pricip vytvořeí itervalového odhadu pro výběrový průměr, respektive kostrukce itervalu spolehlivosti pro výběrový průměr, je shodý s teoretickým pozadím pravidla ±3. 68,3 % všech hodot 95,6 % všech hodot 99,7 % všech hodot

32 Připomeutí kvatilová fukce Iverzí fukce k distribučí fukci, výsledkem eí pravděpodobost, ale číslo a reálé ose, které odpovídá určité pravděpodobosti. Distribučí fukce F( x P( x Kvatilová fukce x p F ( P( x F ( p P Spojitá áhodá veličia x

33 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / 90 % 95 % Pravděpodobosti 99 % z 0,005,58,58 z 0,995 z 0,05,96,96 z 0,975 z 0,050,64,64 z 0,950 Kvatily

34 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / Oblast, kde se áhodá veličia se stadardizovaým ormálím rozděleím realizuje s pravděpodobostí α lze vyjádřit pomocí ásledujícího vztahu: 90 % 95 % 99 % P α α ( zα / Z z α / FN (0, ( z α / FN (0, ( zα / α

35 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Máme áhodý výběr,,, z ormálího rozděleí. Budeme předpokládat, že záme! Z předchozího símku víme, že platí: Když si rozepíšeme a upravíme výraz a levé straě, dostaeme: 00( α% IS pro μ má tvar: α α α α α α α ( ( ( / (0, / (0, / / z F z F z Z z P N N, ( ~ μ N i ( ( ( / / / / / / / α μ α α α α α α z z P z Z z P z Z z P ( ( / / / / α α α α μ μ + z z P z z P ; (, ( / / α α + z z H D

36 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Co te vzorec zameá? ( D, H ( z / ; + z / α α ~ N( μ, SE( Tedy zjedodušeě: 00( α% IS ± z / SE( α

37 Iterpretace itervalu spolehlivosti Poloha ezámého parametru je μ kostatí (jsme li frekvetisti! 95% iterval spolehlivosti má ásledující iterpretaci: Pokud bychom opakovaě vybírali skupiy 0 ( d x h ( d x h ( x 3 d 3 h 3 R cca 95 % ( d x h subjektů o stejé velikosti ( a počítali výběrový průměr s 95% IS, pak 95 % těchto itervalů spolehlivosti ezámý parametr obsahuje a 5 % ho eobsahuje. Tedy 95% IS obsahuje ezámý parametr s rizikem α. ( d 99 x 99 h 99 ( d 00 x 00 h 00 cca 5 % ( d x h

38 Co když ezáme? V předchozím případě jsme předpokládali, že záme přesou hodotu rozptylu / směrodaté odchylky. To je v praxi ereálé! Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? K čemu to povede?

39 Co když ezáme? Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? Logické je použít výběrovou směrodatou odchylku s. Náhrada ale eí úplě jedoduchá eí to dosazeí s za. s i ( x i x K čemu to bude? Pomocí s vytvoříme statistiku s chí kvadrát rozděleím (χ tu pak použijeme pro vytvořeí statistiky se Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleích pravděpodobosti: ~ N(0,, Q ~ χ ( k T Q / k T ~ t( k

40 Co když ezáme? Lze ukázat, že statistika K s ~ χ ( Použijeme ještě stadardizovaou ormálí veličiu Z μ ~ / N(0, A obě dohromady použijeme pro vytvořeí T statistiky: T Z ( μ / μ T ~ t( K /( ( s /( s / Z toho plye tvar 00( α% itervalu spolehlivosti pro μ v případě, že ezáme hodotu : s s ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α

41 Příklad kostrukce itervalu spolehlivosti Chceme sestrojit 95% IS pro odhad středí hodoty systolického tlaku studetů vysokých škol. 00 3,4 mm Hg s SD 4,0 mm Hg SE 4 / 00,4 mm Hg t α / (,98 z tabulek aměřeé hodoty s s 95% IS ( D, H ( t α / ( ; + t α / ( 4,0 4,0 95% IS ( D, H (3,4 t (99;3,4 t 0,05/ ( ,05/ % IS ( D, H (0,6;6,

42 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku s rostoucí velikostí vzorku je IS užší (máme více iformace a odhad je přesější, zároveň se kvatily t rozděleí blíží kvatilům stadardizovaého ormálího rozděleí.. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

43 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy čím áhodá veličia vykazuje větší variabilitu, tím je IS pro odhad středí hodoty širší, tedy odhad je méě přesý. 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

44 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme chceme li mít větší jistotu, že áš IS pokrývá ezámou středí hodotu, IS musí být samozřejmě širší, stačí li ám meší spolehlivost, bude užší. Stadardě se používá 95% IS (ale také 90% aebo 99%

45 Pozámka Lze vytvořit i IS pro odhad parametru, který je založe a již zmíěé statistice K. K s ~ χ ( Lze vytvořit i IS pro odhad podílu dvou parametrů a (pomocí F statistiky. Te lze použít pro hodoceí homogeity rozptylů dvou výběrů, která je jedím z předpokladů v testováí hypotéz.

46 Pozámka Velmi důležitý je i IS pro odhad středí hodoty rozdílu dvou áhodých veliči. Záme li a, provedeme stadardizaci a pak odvodíme 00( α% IS: Nezáme li a, použijeme statistiky K a K, abychom se zbavili a, výsledá statistika má opět Studetovo t rozděleí., ( ~ μ N, ( ~ μ N Y, ( ~ N Y μ μ +, ( ~ N μ, ( ~ N Y μ (!! / / z Y z Y P α α μ μ α ( ( ( / / s s s s t Y t Y P α α μ μ α

47 Příklad Radiofrekvečí ablace tkáě sliivky břiší u prasat. Sledujeme vliv typu chlazeí okolích struktur (A žádé, B průplach vodou a ejvětší rozměr ekrózy. Zajímá ás rozdíl v efektu obou typů chlazeí a jeho 95% IS. A B 8 7 x x A B 5, mm,8 mm SD SD A B s s A B 0,8,4 SE SE A B 0,8/,4 / 8 0,9 mm 7 0,58 mm Dosadíme do vzorce s použitím příslušého t kvatilu: t0,975(8 + 7,03 α sa sb sa P ( x x t ( + + μ μ x x + t ( + + A B s α / A B A B A B A B α / A B A B B,4 ( 3,3 (33 3,3 (33 0,8 0,8,4 P t0,975 + μ A μb + t0, A B P(, μ μ 4,5

48 Pozámka 3 Iterval spolehlivosti počítá pouze s variabilitou daou áhodým výběrem, epočítá se zdroji systematického zkresleí. Příklady: Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo starým měřidlem ( techical bias. Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo tím, že se do studie přihlásí pouze určitá skupia osob ( selectio bias.

49 Neparametrické metody pro kostrukci IS Variabilitu výběrového průměru lze odhadout i pomocí eparametrických metod: Bootstrap je založe a pricipu opakovaého vzorkováí aměřeých dat s vraceím, kdy pro vytvořeí ového vzorku dat může být každý prvek použit více ež jedou, právě jedou aebo eí použit vůbec (ovšem se zachováím celkové velikosti souboru i velikosti jedotlivých skupi. Jackkife opakovaý výpočet sledovaé charakteristiky je provádě vždy s vyecháím právě jedoho pozorováí. Teto postup ám stejě jako v případě metody bootstrap poskytuje představu o rozsahu hodot, ve kterých se ámi sledovaá charakteristika může pohybovat, budeme li považovat aměřeá data za reprezetativí vzorek z cílové populace.

50 Příklad Máme áhodý výběr o velikosti 00 z N(0,. Vytvoříme 95% IS pro průměr pomocí směrodaté chyby a pomocí metody bootstrap (000 bootstrap vzorků. x 0,079 ( d, h ( 0,6; 0,84 ( d, h ( 0,33; 0,64

51 Poděkováí Rozvoj studijího oboru Matematická biologie PřFMU Bro je fiačě podporová prostředky projektu ESF č. CZ..07/..00/ Víceoborová iovace studia Matematické biologie a státím rozpočtem České republiky

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými

Pravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí

Více

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti

Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky. χ 2 test nezávislosti Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Oborový semiář χ 2 test ezávislosti Petr Míchal 27 listopadu 2017 Situace 2 X {1,, I}, Y {1,, J} Jsou X a Y ezávislé? K dispozici máme áhodý vyběr (X 1,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.

( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N. .. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI

8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály

Analýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Kvantily. Problems on statistics.nb 1

Kvantily. Problems on statistics.nb 1 Problems o statistics.b Kvatily 5.. Nechť x a, kde 0 < a

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy

Pravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Národní informační středisko pro podporu jakosti

Národní informační středisko pro podporu jakosti Národí iformačí středisko pro podpor jakosti Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie,

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více