Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti"

Transkript

1 Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti

2 Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou MLE? Jak vypadají estraý a MLE odhad parametru?

3 Opakováí použití průměru a mediáu Jmeujte výhody a evýhody průměru a mediáu jako statistik pro odhad středí hodoty áhodé veličiy. Jmeujte příklad, kdy průměr je výhodější ež mediá, a příklad, kdy mediá je výhodější ež průměr.

4 . Motivace

5 Spolehlivost bodového odhadu Výběr číslo Výběr číslo Celá cílová populace 0 x R 0 x R 0 x R Pracujeme li s výběrem z cílové populace, je třeba a základě variability pozorovaých dat spočítat tzv. iterval spolehlivosti pro bodový odhad. ( ( 0 x R 0 x R Umíme li změřit celou cílovou populaci, epotřebujeme iterval spolehlivosti, protože jsme schopi odhadout sledovaý parametr přesě v praxi je tato situace ereálá. Iterval spolehlivosti a základě výběru číslo.

6 Itervalový odhad Bodový odhad je prvím krokem ve statistickém popisu dat. Co ám říká jedo číslo? Studie může publikovat číslo x, studie číslo x. Které je správější, lepší, přesější? Bodový odhad je sám o sobě edostatečý pro popis parametru rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Zajímá ás přesost (spolehlivost bodového odhadu.

7 . Variabilita pozorováí a variabilita výběrového průměru

8 Populace a áhodá veličia Cílová populace skupia subjektů, o které chceme zjistit ějakou iformaci. Realizujeme li áhodě výběr z cílové populace, dostaeme výběrovou populaci (experimetálí vzorek. Cílová populace Vzorek Zak áhodá veličia vlastost, která ás zajímá. Realizace áhodé veličiy reálé číslo, pozorovaá hodota a vybraém subjektu. Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr možia ezávislých áhodých veliči se stejým rozděleím:,,,. Realizace áhodého výběru reálá čísla, hodoty pozorovaé a výběrové populaci. Jev A ω 0 x R

9 Pravděpodobostí chováí áhodé veličiy F(x, f(x a p(x popisují chováí áhodé veličiy úplě, ale složitě. Dvě charakteristiky odráží vlastosti rozděleí jedím číslem: středí hodota a rozptyl. Odmocia z rozptylu je směrodatá odchylka. E(, D(, SD( Platí ásledující: Jedotlivé realizace áhodé veličiy vykazují variabilitu (dle SD(. Jakákoliv statistika (apř. průměr je jako trasformace áhodých veliči také áhodou veličiou. Má tedy i rozděleí pravděpodobosti. Jedotlivé realizace statistiky ad růzými áhodými výběry také vykazují variabilitu (opět úměrou SD(.

10 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu. Proč?

11 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto plye z vlastostí rozptylu trasformovaé áhodé veličiy. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu plye z cetrálí limití věty.

12 Charakteristiky výběrového průměru Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. i i i i i i i D SD D D E E N μ μ ( ( ( ( ( (, ( ~ Pro odhad, respektive statistiku, se tomuto výrazu říká směrodatá chyba ebo stadardí chyba ( stadard error a začí se SE.

13 Příklad výběrový průměr Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr,,, Výběrový průměr Jev A ω 0 x R 0 x x x 3 x 4 x 5 R 0 x R

14 Shrutí Směrodatá odchylka (SD eí směrodatá chyba popisé statistiky (SE! Směrodatá odchylka (SD je odrazem variability áhodé veličiy ve sledovaé populaci. Směrodatá chyba (SE je odrazem přesosti popisé statistiky jako odhadu středí hodoty áhodé veličiy. Pozor a rozdíl mezi SD a SE v člácích a kihách tabulkách a grafech!

15 Příklad výška člověka Náhodá veličia bude výška člověka: ~ N(75, 5, tedy uvažujme středí hodotu 75 cm a směrodatou odchylku 5 cm. Jak se chovají průměry pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: x <- rep(0, 00 # vytvořím si vektor pro ukládáí průměrů for (i i :00 { pom <- rorm(0, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 0 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 for (i i :00 { pom <- rorm(00, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 00 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 00 for (i i :00 { pom <- rorm(000, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 000 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

16 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000

17 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000 od 60 cm do 90 cm od 70 cm do 80 cm od 73 cm do 77 cm N(75, N(75, N(75, ~ 0 ~ 00 3 ~ 000

18 3. Cetrálí limití věta

19 Připomeutí: stadardizace ormálího rozděleí Stadardizace je trasformace áhodé veličiy s N(μ, a N(0,. Důvod: řada statistických metod byla odvozea pro stadardizovaé ormálí rozděleí, N(0,. Děláme to tedy opět kvůli lepší možosti hodoceí dat. Teoretická stadardizace áhodé veličiy: Praktická stadardizace aměřeých hodot: U u i x i μ x s

20 Cetrálí limití věta Klíčová věta umožňující sestrojeí itervalových odhadů. Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má suma i přibližě ormálí i i rozděleí pravděpodobosti.

21 Cetrálí limití věta Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má výběrový průměr přibližě ormálí rozděleí se středí hodotou μ a rozptylem /. i i Tedy ( μ /( / rozděleí pravděpodobosti: lim Ρ( / má přibližě stadardizovaé ormálí x x μ u / π e du

22 CLV zjedodušeá iterpretace Pokud je rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy ormálí, pak je i rozděleí průměru pozorovaých hodot ormálí (a to i pro. Pokud rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy eí ormálí, pak je rozděleí průměru pozorovaých hodot přibližě ormálí, když je dostatečě velké (. Dostatečě velké zameá >30 pro rozděleí podobá ormálímu a > 00 pro rozděleí epodobá ormálímu.

23 Co je super Cetrálí limití věta fuguje i když rozděleí původí áhodé veličiy eí ormálí rozděleí pravděpodobosti. A dokoce i když eí spojité!

24 Příklad biomické rozděleí Chceme sledovat s jakou přesostí lze odhadout podíl hypertoiků v dospělé populaci ČR. Předpokládejme, že skutečý podíl dospělých s hypertezí je 0,. Náhodá veličia : osoba trpí / etrpí hypertezí. Pravděpodobostí fukce (alterativí rozděleí Ao Hyperteze Ne

25 Příklad biomické rozděleí Náhodá veličia S bude součet i, i,,. Náhodá veličia Y bude defiováa jako S/. E( S p D( S p( p E( Y E( S / p D( Y D( S / ( p( p / Jak se chová Y pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: s <- rbiom(000, 0, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 0 a p0, y <- s / 0 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 00, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 00 a p0, y <- s / 00 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 000, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 000 a p0, y <- s / 000 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

26 Příklad biomické rozděleí 000 realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při 000 p 0, p 0, p 0,

27 Příklad Poissoovo rozděleí

28 Co když ale ejde do ekoeča? Neí li velikost vzorku dostatečě velká, elze rozděleí výběrových průměrů považovat za ormálí. Aproximace Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleí pravděpodobosti: Lze ho chápat jako aproximaci ormálího rozděleí pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů koverguje k ormálímu rozděleí.

29 4. Itervalové odhady

30 Co je super pokračováí Cetrálí limití věta mi říká, že rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru můžu při dostatečém aproximovat ormálím rozděleím. Když provedu stadardizaci, tak dokoce stadardizovaým ormálím rozděleím. x μ / lim ( u Ρ x e du / π / μ ~ N(0,

31 Iterval spolehlivosti Pricip vytvořeí itervalového odhadu pro výběrový průměr, respektive kostrukce itervalu spolehlivosti pro výběrový průměr, je shodý s teoretickým pozadím pravidla ±3. 68,3 % všech hodot 95,6 % všech hodot 99,7 % všech hodot

32 Připomeutí kvatilová fukce Iverzí fukce k distribučí fukci, výsledkem eí pravděpodobost, ale číslo a reálé ose, které odpovídá určité pravděpodobosti. Distribučí fukce F( x P( x Kvatilová fukce x p F ( P( x F ( p P Spojitá áhodá veličia x

33 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / 90 % 95 % Pravděpodobosti 99 % z 0,005,58,58 z 0,995 z 0,05,96,96 z 0,975 z 0,050,64,64 z 0,950 Kvatily

34 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / Oblast, kde se áhodá veličia se stadardizovaým ormálím rozděleím realizuje s pravděpodobostí α lze vyjádřit pomocí ásledujícího vztahu: 90 % 95 % 99 % P α α ( zα / Z z α / FN (0, ( z α / FN (0, ( zα / α

35 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Máme áhodý výběr,,, z ormálího rozděleí. Budeme předpokládat, že záme! Z předchozího símku víme, že platí: Když si rozepíšeme a upravíme výraz a levé straě, dostaeme: 00( α% IS pro μ má tvar: α α α α α α α ( ( ( / (0, / (0, / / z F z F z Z z P N N, ( ~ μ N i ( ( ( / / / / / / / α μ α α α α α α z z P z Z z P z Z z P ( ( / / / / α α α α μ μ + z z P z z P ; (, ( / / α α + z z H D

36 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Co te vzorec zameá? ( D, H ( z / ; + z / α α ~ N( μ, SE( Tedy zjedodušeě: 00( α% IS ± z / SE( α

37 Iterpretace itervalu spolehlivosti Poloha ezámého parametru je μ kostatí (jsme li frekvetisti! 95% iterval spolehlivosti má ásledující iterpretaci: Pokud bychom opakovaě vybírali skupiy 0 ( d x h ( d x h ( x 3 d 3 h 3 R cca 95 % ( d x h subjektů o stejé velikosti ( a počítali výběrový průměr s 95% IS, pak 95 % těchto itervalů spolehlivosti ezámý parametr obsahuje a 5 % ho eobsahuje. Tedy 95% IS obsahuje ezámý parametr s rizikem α. ( d 99 x 99 h 99 ( d 00 x 00 h 00 cca 5 % ( d x h

38 Co když ezáme? V předchozím případě jsme předpokládali, že záme přesou hodotu rozptylu / směrodaté odchylky. To je v praxi ereálé! Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? K čemu to povede?

39 Co když ezáme? Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? Logické je použít výběrovou směrodatou odchylku s. Náhrada ale eí úplě jedoduchá eí to dosazeí s za. s i ( x i x K čemu to bude? Pomocí s vytvoříme statistiku s chí kvadrát rozděleím (χ tu pak použijeme pro vytvořeí statistiky se Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleích pravděpodobosti: ~ N(0,, Q ~ χ ( k T Q / k T ~ t( k

40 Co když ezáme? Lze ukázat, že statistika K s ~ χ ( Použijeme ještě stadardizovaou ormálí veličiu Z μ ~ / N(0, A obě dohromady použijeme pro vytvořeí T statistiky: T Z ( μ / μ T ~ t( K /( ( s /( s / Z toho plye tvar 00( α% itervalu spolehlivosti pro μ v případě, že ezáme hodotu : s s ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α

41 Příklad kostrukce itervalu spolehlivosti Chceme sestrojit 95% IS pro odhad středí hodoty systolického tlaku studetů vysokých škol. 00 3,4 mm Hg s SD 4,0 mm Hg SE 4 / 00,4 mm Hg t α / (,98 z tabulek aměřeé hodoty s s 95% IS ( D, H ( t α / ( ; + t α / ( 4,0 4,0 95% IS ( D, H (3,4 t (99;3,4 t 0,05/ ( ,05/ % IS ( D, H (0,6;6,

42 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku s rostoucí velikostí vzorku je IS užší (máme více iformace a odhad je přesější, zároveň se kvatily t rozděleí blíží kvatilům stadardizovaého ormálího rozděleí.. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

43 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy čím áhodá veličia vykazuje větší variabilitu, tím je IS pro odhad středí hodoty širší, tedy odhad je méě přesý. 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

44 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme chceme li mít větší jistotu, že áš IS pokrývá ezámou středí hodotu, IS musí být samozřejmě širší, stačí li ám meší spolehlivost, bude užší. Stadardě se používá 95% IS (ale také 90% aebo 99%

45 Pozámka Lze vytvořit i IS pro odhad parametru, který je založe a již zmíěé statistice K. K s ~ χ ( Lze vytvořit i IS pro odhad podílu dvou parametrů a (pomocí F statistiky. Te lze použít pro hodoceí homogeity rozptylů dvou výběrů, která je jedím z předpokladů v testováí hypotéz.

46 Pozámka Velmi důležitý je i IS pro odhad středí hodoty rozdílu dvou áhodých veliči. Záme li a, provedeme stadardizaci a pak odvodíme 00( α% IS: Nezáme li a, použijeme statistiky K a K, abychom se zbavili a, výsledá statistika má opět Studetovo t rozděleí., ( ~ μ N, ( ~ μ N Y, ( ~ N Y μ μ +, ( ~ N μ, ( ~ N Y μ (!! / / z Y z Y P α α μ μ α ( ( ( / / s s s s t Y t Y P α α μ μ α

47 Příklad Radiofrekvečí ablace tkáě sliivky břiší u prasat. Sledujeme vliv typu chlazeí okolích struktur (A žádé, B průplach vodou a ejvětší rozměr ekrózy. Zajímá ás rozdíl v efektu obou typů chlazeí a jeho 95% IS. A B 8 7 x x A B 5, mm,8 mm SD SD A B s s A B 0,8,4 SE SE A B 0,8/,4 / 8 0,9 mm 7 0,58 mm Dosadíme do vzorce s použitím příslušého t kvatilu: t0,975(8 + 7,03 α sa sb sa P ( x x t ( + + μ μ x x + t ( + + A B s α / A B A B A B A B α / A B A B B,4 ( 3,3 (33 3,3 (33 0,8 0,8,4 P t0,975 + μ A μb + t0, A B P(, μ μ 4,5

48 Pozámka 3 Iterval spolehlivosti počítá pouze s variabilitou daou áhodým výběrem, epočítá se zdroji systematického zkresleí. Příklady: Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo starým měřidlem ( techical bias. Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo tím, že se do studie přihlásí pouze určitá skupia osob ( selectio bias.

49 Neparametrické metody pro kostrukci IS Variabilitu výběrového průměru lze odhadout i pomocí eparametrických metod: Bootstrap je založe a pricipu opakovaého vzorkováí aměřeých dat s vraceím, kdy pro vytvořeí ového vzorku dat může být každý prvek použit více ež jedou, právě jedou aebo eí použit vůbec (ovšem se zachováím celkové velikosti souboru i velikosti jedotlivých skupi. Jackkife opakovaý výpočet sledovaé charakteristiky je provádě vždy s vyecháím právě jedoho pozorováí. Teto postup ám stejě jako v případě metody bootstrap poskytuje představu o rozsahu hodot, ve kterých se ámi sledovaá charakteristika může pohybovat, budeme li považovat aměřeá data za reprezetativí vzorek z cílové populace.

50 Příklad Máme áhodý výběr o velikosti 00 z N(0,. Vytvoříme 95% IS pro průměr pomocí směrodaté chyby a pomocí metody bootstrap (000 bootstrap vzorků. x 0,079 ( d, h ( 0,6; 0,84 ( d, h ( 0,33; 0,64

51 Poděkováí Rozvoj studijího oboru Matematická biologie PřFMU Bro je fiačě podporová prostředky projektu ESF č. CZ..07/..00/ Víceoborová iovace studia Matematické biologie a státím rozpočtem České republiky

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření

Seriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení

Odhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1)

1 Úvod { }.[ ] A= A A, (1.1) Obsah Obsah... Úvod... 3 Základí pojmy počtu pravděpodobosti... 7. Základí statistické pojmy... 7. Fukce áhodých veliči... 8.3 Charakteristiky áhodých veliči... 0.4 Některá rozděleí pravděpodobosti....5

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobost a matematická statistika Mirko Navara Cetrum strojového vímáí katedra kyberetiky FEL ČVUT Karlovo áměstí, budova G, místost 104a http://cmpfelkcvutcz/ avara/mvt http://cmpfelkcvutcz/ avara/psi

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů.

Z mých cvičení dostalo jedničku 6 studentů, dvojku 8 studentů, trojku 16 studentů a čtyřku nebo omluveno 10 studentů. 1. Příklad Hodíme 60krát šestistěou hrací kostkou. Jedotlivé stěy padly v ásledujícím poměru: 7:9:10:6:15:13. Proveďte test a 5% hladiě výzamosti, zda je kostka v pořádku. H 0 : π 1 = 1/6, π = 1/6, π 3

Více