Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti"

Transkript

1 Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti

2 Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou MLE? Jak vypadají estraý a MLE odhad parametru?

3 Opakováí použití průměru a mediáu Jmeujte výhody a evýhody průměru a mediáu jako statistik pro odhad středí hodoty áhodé veličiy. Jmeujte příklad, kdy průměr je výhodější ež mediá, a příklad, kdy mediá je výhodější ež průměr.

4 . Motivace

5 Spolehlivost bodového odhadu Výběr číslo Výběr číslo Celá cílová populace 0 x R 0 x R 0 x R Pracujeme li s výběrem z cílové populace, je třeba a základě variability pozorovaých dat spočítat tzv. iterval spolehlivosti pro bodový odhad. ( ( 0 x R 0 x R Umíme li změřit celou cílovou populaci, epotřebujeme iterval spolehlivosti, protože jsme schopi odhadout sledovaý parametr přesě v praxi je tato situace ereálá. Iterval spolehlivosti a základě výběru číslo.

6 Itervalový odhad Bodový odhad je prvím krokem ve statistickém popisu dat. Co ám říká jedo číslo? Studie může publikovat číslo x, studie číslo x. Které je správější, lepší, přesější? Bodový odhad je sám o sobě edostatečý pro popis parametru rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Zajímá ás přesost (spolehlivost bodového odhadu.

7 . Variabilita pozorováí a variabilita výběrového průměru

8 Populace a áhodá veličia Cílová populace skupia subjektů, o které chceme zjistit ějakou iformaci. Realizujeme li áhodě výběr z cílové populace, dostaeme výběrovou populaci (experimetálí vzorek. Cílová populace Vzorek Zak áhodá veličia vlastost, která ás zajímá. Realizace áhodé veličiy reálé číslo, pozorovaá hodota a vybraém subjektu. Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr možia ezávislých áhodých veliči se stejým rozděleím:,,,. Realizace áhodého výběru reálá čísla, hodoty pozorovaé a výběrové populaci. Jev A ω 0 x R

9 Pravděpodobostí chováí áhodé veličiy F(x, f(x a p(x popisují chováí áhodé veličiy úplě, ale složitě. Dvě charakteristiky odráží vlastosti rozděleí jedím číslem: středí hodota a rozptyl. Odmocia z rozptylu je směrodatá odchylka. E(, D(, SD( Platí ásledující: Jedotlivé realizace áhodé veličiy vykazují variabilitu (dle SD(. Jakákoliv statistika (apř. průměr je jako trasformace áhodých veliči také áhodou veličiou. Má tedy i rozděleí pravděpodobosti. Jedotlivé realizace statistiky ad růzými áhodými výběry také vykazují variabilitu (opět úměrou SD(.

10 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu. Proč?

11 Co je zajímavé výběrový průměr Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru tím méě variabilí čím více pozorováí je v průměru zahruto plye z vlastostí rozptylu trasformovaé áhodé veličiy. Rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru se s rostoucím přestává podobat rozděleí původích dat a začíá se podobat rozděleí ormálímu plye z cetrálí limití věty.

12 Charakteristiky výběrového průměru Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. i i i i i i i D SD D D E E N μ μ ( ( ( ( ( (, ( ~ Pro odhad, respektive statistiku, se tomuto výrazu říká směrodatá chyba ebo stadardí chyba ( stadard error a začí se SE.

13 Příklad výběrový průměr Základí prostor Ω Náhodá veličia Náhodý výběr,,, Výběrový průměr Jev A ω 0 x R 0 x x x 3 x 4 x 5 R 0 x R

14 Shrutí Směrodatá odchylka (SD eí směrodatá chyba popisé statistiky (SE! Směrodatá odchylka (SD je odrazem variability áhodé veličiy ve sledovaé populaci. Směrodatá chyba (SE je odrazem přesosti popisé statistiky jako odhadu středí hodoty áhodé veličiy. Pozor a rozdíl mezi SD a SE v člácích a kihách tabulkách a grafech!

15 Příklad výška člověka Náhodá veličia bude výška člověka: ~ N(75, 5, tedy uvažujme středí hodotu 75 cm a směrodatou odchylku 5 cm. Jak se chovají průměry pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: x <- rep(0, 00 # vytvořím si vektor pro ukládáí průměrů for (i i :00 { pom <- rorm(0, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 0 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 for (i i :00 { pom <- rorm(00, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 00 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 00 for (i i :00 { pom <- rorm(000, 75, 5 x[i] <- mea(pom} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro 000 hist(x, breaks0, xlimc(60,90 # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

16 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000

17 Příklad výška člověka Původí pozorováí mají rozsah hodot zhruba od 0 cm do 0 cm. Kde se pohybují jedotlivé průměry? Výběrové průměry ze vzorku 0 Výběrové průměry ze vzorku 00 Výběrové průměry ze vzorku 000 od 60 cm do 90 cm od 70 cm do 80 cm od 73 cm do 77 cm N(75, N(75, N(75, ~ 0 ~ 00 3 ~ 000

18 3. Cetrálí limití věta

19 Připomeutí: stadardizace ormálího rozděleí Stadardizace je trasformace áhodé veličiy s N(μ, a N(0,. Důvod: řada statistických metod byla odvozea pro stadardizovaé ormálí rozděleí, N(0,. Děláme to tedy opět kvůli lepší možosti hodoceí dat. Teoretická stadardizace áhodé veličiy: Praktická stadardizace aměřeých hodot: U u i x i μ x s

20 Cetrálí limití věta Klíčová věta umožňující sestrojeí itervalových odhadů. Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má suma i přibližě ormálí i i rozděleí pravděpodobosti.

21 Cetrálí limití věta Máme posloupost,, ezávislých, stejě rozděleých áhodých veliči, které mají koečou středí hodotu μ a rozptyl. Pak platí, že pro má výběrový průměr přibližě ormálí rozděleí se středí hodotou μ a rozptylem /. i i Tedy ( μ /( / rozděleí pravděpodobosti: lim Ρ( / má přibližě stadardizovaé ormálí x x μ u / π e du

22 CLV zjedodušeá iterpretace Pokud je rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy ormálí, pak je i rozděleí průměru pozorovaých hodot ormálí (a to i pro. Pokud rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy eí ormálí, pak je rozděleí průměru pozorovaých hodot přibližě ormálí, když je dostatečě velké (. Dostatečě velké zameá >30 pro rozděleí podobá ormálímu a > 00 pro rozděleí epodobá ormálímu.

23 Co je super Cetrálí limití věta fuguje i když rozděleí původí áhodé veličiy eí ormálí rozděleí pravděpodobosti. A dokoce i když eí spojité!

24 Příklad biomické rozděleí Chceme sledovat s jakou přesostí lze odhadout podíl hypertoiků v dospělé populaci ČR. Předpokládejme, že skutečý podíl dospělých s hypertezí je 0,. Náhodá veličia : osoba trpí / etrpí hypertezí. Pravděpodobostí fukce (alterativí rozděleí Ao Hyperteze Ne

25 Příklad biomické rozděleí Náhodá veličia S bude součet i, i,,. Náhodá veličia Y bude defiováa jako S/. E( S p D( S p( p E( Y E( S / p D( Y D( S / ( p( p / Jak se chová Y pro áhodé výběry o velikosti 0, 00 a 000? Kód v R: s <- rbiom(000, 0, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 0 a p0, y <- s / 0 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 00, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 00 a p0, y <- s / 00 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 0 s <- rbiom(000, 000, 0. # vytvořím si 000 realizací veličiy S při 000 a p0, y <- s / 000 # S trasformuji a 000 realizací veličiy Y hist(y, breaks0, xlimc(0, # vykresleí histogramu pro výběrové průměry pro 000

26 Příklad biomické rozděleí 000 realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při realizací veličiy Y při 000 p 0, p 0, p 0,

27 Příklad Poissoovo rozděleí

28 Co když ale ejde do ekoeča? Neí li velikost vzorku dostatečě velká, elze rozděleí výběrových průměrů považovat za ormálí. Aproximace Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleí pravděpodobosti: Lze ho chápat jako aproximaci ormálího rozděleí pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů koverguje k ormálímu rozděleí.

29 4. Itervalové odhady

30 Co je super pokračováí Cetrálí limití věta mi říká, že rozděleí pravděpodobosti výběrového průměru můžu při dostatečém aproximovat ormálím rozděleím. Když provedu stadardizaci, tak dokoce stadardizovaým ormálím rozděleím. x μ / lim ( u Ρ x e du / π / μ ~ N(0,

31 Iterval spolehlivosti Pricip vytvořeí itervalového odhadu pro výběrový průměr, respektive kostrukce itervalu spolehlivosti pro výběrový průměr, je shodý s teoretickým pozadím pravidla ±3. 68,3 % všech hodot 95,6 % všech hodot 99,7 % všech hodot

32 Připomeutí kvatilová fukce Iverzí fukce k distribučí fukci, výsledkem eí pravděpodobost, ale číslo a reálé ose, které odpovídá určité pravděpodobosti. Distribučí fukce F( x P( x Kvatilová fukce x p F ( P( x F ( p P Spojitá áhodá veličia x

33 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / 90 % 95 % Pravděpodobosti 99 % z 0,005,58,58 z 0,995 z 0,05,96,96 z 0,975 z 0,050,64,64 z 0,950 Kvatily

34 Kvatily stadardizovaého ormálí rozděleí α / α α / Oblast, kde se áhodá veličia se stadardizovaým ormálím rozděleím realizuje s pravděpodobostí α lze vyjádřit pomocí ásledujícího vztahu: 90 % 95 % 99 % P α α ( zα / Z z α / FN (0, ( z α / FN (0, ( zα / α

35 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Máme áhodý výběr,,, z ormálího rozděleí. Budeme předpokládat, že záme! Z předchozího símku víme, že platí: Když si rozepíšeme a upravíme výraz a levé straě, dostaeme: 00( α% IS pro μ má tvar: α α α α α α α ( ( ( / (0, / (0, / / z F z F z Z z P N N, ( ~ μ N i ( ( ( / / / / / / / α μ α α α α α α z z P z Z z P z Z z P ( ( / / / / α α α α μ μ + z z P z z P ; (, ( / / α α + z z H D

36 00( α% iterval spolehlivosti pro μ Co te vzorec zameá? ( D, H ( z / ; + z / α α ~ N( μ, SE( Tedy zjedodušeě: 00( α% IS ± z / SE( α

37 Iterpretace itervalu spolehlivosti Poloha ezámého parametru je μ kostatí (jsme li frekvetisti! 95% iterval spolehlivosti má ásledující iterpretaci: Pokud bychom opakovaě vybírali skupiy 0 ( d x h ( d x h ( x 3 d 3 h 3 R cca 95 % ( d x h subjektů o stejé velikosti ( a počítali výběrový průměr s 95% IS, pak 95 % těchto itervalů spolehlivosti ezámý parametr obsahuje a 5 % ho eobsahuje. Tedy 95% IS obsahuje ezámý parametr s rizikem α. ( d 99 x 99 h 99 ( d 00 x 00 h 00 cca 5 % ( d x h

38 Co když ezáme? V předchozím případě jsme předpokládali, že záme přesou hodotu rozptylu / směrodaté odchylky. To je v praxi ereálé! Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? K čemu to povede?

39 Co když ezáme? Musíme použít jiou testovou statistiku s jiým rozděleím pravděpodobosti. Čím bychom mohli ahradit? Logické je použít výběrovou směrodatou odchylku s. Náhrada ale eí úplě jedoduchá eí to dosazeí s za. s i ( x i x K čemu to bude? Pomocí s vytvoříme statistiku s chí kvadrát rozděleím (χ tu pak použijeme pro vytvořeí statistiky se Studetovým t rozděleím (viz předáška o jedotlivých rozděleích pravděpodobosti: ~ N(0,, Q ~ χ ( k T Q / k T ~ t( k

40 Co když ezáme? Lze ukázat, že statistika K s ~ χ ( Použijeme ještě stadardizovaou ormálí veličiu Z μ ~ / N(0, A obě dohromady použijeme pro vytvořeí T statistiky: T Z ( μ / μ T ~ t( K /( ( s /( s / Z toho plye tvar 00( α% itervalu spolehlivosti pro μ v případě, že ezáme hodotu : s s ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α

41 Příklad kostrukce itervalu spolehlivosti Chceme sestrojit 95% IS pro odhad středí hodoty systolického tlaku studetů vysokých škol. 00 3,4 mm Hg s SD 4,0 mm Hg SE 4 / 00,4 mm Hg t α / (,98 z tabulek aměřeé hodoty s s 95% IS ( D, H ( t α / ( ; + t α / ( 4,0 4,0 95% IS ( D, H (3,4 t (99;3,4 t 0,05/ ( ,05/ % IS ( D, H (0,6;6,

42 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku s rostoucí velikostí vzorku je IS užší (máme více iformace a odhad je přesější, zároveň se kvatily t rozděleí blíží kvatilům stadardizovaého ormálího rozděleí.. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

43 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy čím áhodá veličia vykazuje větší variabilitu, tím je IS pro odhad středí hodoty širší, tedy odhad je méě přesý. 3. Spolehlivost, kterou požadujeme

44 Šířka itervalu spolehlivosti Co ovlivňuje šířku itervalu spolehlivosti? s s 00( α% IS pro μ ( D, H ( t / ( ; + t / ( α α. Velikost vzorku. Variabilita áhodé veličiy 3. Spolehlivost, kterou požadujeme chceme li mít větší jistotu, že áš IS pokrývá ezámou středí hodotu, IS musí být samozřejmě širší, stačí li ám meší spolehlivost, bude užší. Stadardě se používá 95% IS (ale také 90% aebo 99%

45 Pozámka Lze vytvořit i IS pro odhad parametru, který je založe a již zmíěé statistice K. K s ~ χ ( Lze vytvořit i IS pro odhad podílu dvou parametrů a (pomocí F statistiky. Te lze použít pro hodoceí homogeity rozptylů dvou výběrů, která je jedím z předpokladů v testováí hypotéz.

46 Pozámka Velmi důležitý je i IS pro odhad středí hodoty rozdílu dvou áhodých veliči. Záme li a, provedeme stadardizaci a pak odvodíme 00( α% IS: Nezáme li a, použijeme statistiky K a K, abychom se zbavili a, výsledá statistika má opět Studetovo t rozděleí., ( ~ μ N, ( ~ μ N Y, ( ~ N Y μ μ +, ( ~ N μ, ( ~ N Y μ (!! / / z Y z Y P α α μ μ α ( ( ( / / s s s s t Y t Y P α α μ μ α

47 Příklad Radiofrekvečí ablace tkáě sliivky břiší u prasat. Sledujeme vliv typu chlazeí okolích struktur (A žádé, B průplach vodou a ejvětší rozměr ekrózy. Zajímá ás rozdíl v efektu obou typů chlazeí a jeho 95% IS. A B 8 7 x x A B 5, mm,8 mm SD SD A B s s A B 0,8,4 SE SE A B 0,8/,4 / 8 0,9 mm 7 0,58 mm Dosadíme do vzorce s použitím příslušého t kvatilu: t0,975(8 + 7,03 α sa sb sa P ( x x t ( + + μ μ x x + t ( + + A B s α / A B A B A B A B α / A B A B B,4 ( 3,3 (33 3,3 (33 0,8 0,8,4 P t0,975 + μ A μb + t0, A B P(, μ μ 4,5

48 Pozámka 3 Iterval spolehlivosti počítá pouze s variabilitou daou áhodým výběrem, epočítá se zdroji systematického zkresleí. Příklady: Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo starým měřidlem ( techical bias. Měřeí krevího tlaku může být systematicky zkresleo tím, že se do studie přihlásí pouze určitá skupia osob ( selectio bias.

49 Neparametrické metody pro kostrukci IS Variabilitu výběrového průměru lze odhadout i pomocí eparametrických metod: Bootstrap je založe a pricipu opakovaého vzorkováí aměřeých dat s vraceím, kdy pro vytvořeí ového vzorku dat může být každý prvek použit více ež jedou, právě jedou aebo eí použit vůbec (ovšem se zachováím celkové velikosti souboru i velikosti jedotlivých skupi. Jackkife opakovaý výpočet sledovaé charakteristiky je provádě vždy s vyecháím právě jedoho pozorováí. Teto postup ám stejě jako v případě metody bootstrap poskytuje představu o rozsahu hodot, ve kterých se ámi sledovaá charakteristika může pohybovat, budeme li považovat aměřeá data za reprezetativí vzorek z cílové populace.

50 Příklad Máme áhodý výběr o velikosti 00 z N(0,. Vytvoříme 95% IS pro průměr pomocí směrodaté chyby a pomocí metody bootstrap (000 bootstrap vzorků. x 0,079 ( d, h ( 0,6; 0,84 ( d, h ( 0,33; 0,64

51 Poděkováí Rozvoj studijího oboru Matematická biologie PřFMU Bro je fiačě podporová prostředky projektu ESF č. CZ..07/..00/ Víceoborová iovace studia Matematické biologie a státím rozpočtem České republiky

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne

Klonování, embryonální kmenové buňky, aj. proč ano a proč ne Kloováí, embryoálí kmeové buňky, aj. proč ao a proč e Doc. MUDr. Petr Hach, Csc., Em. předosta ústavu pro histologii a embryologii 1. lékařské fakulty Uiversity Karlovy v Praze Neí určeo k dalšímu šířeí

Více

stavební obzor 1 2/2014 11

stavební obzor 1 2/2014 11 tavebí obzor /04 Exploratorí aalýza výběrového ouboru dat pevoti drátobetou v tlau Ig. Daiel PIESZKA Ig. Iva KOLOŠ, Ph.D. doc. Ig. Karel KUBEČKA, Ph.D. VŠB-TU Otrava Faulta tavebí Věrohodé vyhodoceí experimetálích

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I

ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I JIŘÍ ENGLICH ÚVOD DO PRAKTICKÉ FYZIKY I ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ Jede z epermetů, které změly vývoj fyzky v mulém století. V roce 9 prof. H. Kamerlgh Oes ve své laboratoř v Leydeu měřl teplotí závslost

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná

Výroční zpráva fondů společnosti Pioneer investiční společnost, a.s. - neauditovaná Výročí zpráva fodů společosti Pioeer ivestičí společost, a.s. - eauditovaá Obsah 1. Účetí závěrka: Pioeer Sporokoto, Pioeer obligačí fod, Pioeer růstový fod, Pioeer dyamický fod, Pioeer akciový fod, BALANCOVANÝ

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana

Katedra softwarového inženýrství MFF UK Malostranské náměstí 25, 118 00 Praha 1 - Malá Strana Katedra softwarového ižeýrství MFF UK Malostraské áměstí 25, 8 00 Praha - Malá Straa, v. 3.5 co jsou "techiky přeosu dat"? Katedra softwarového ižeýrství, Matematicko-fyzikálí fakulta, Uiverzita Karlova,

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013

SML33 / SMM33 / SMN3. Multifunkční měřící přístroje Návod k obsluze. Firmware 3.0 / 2013 KMB systems, s.r.o. Dr. M. Horákové 559, 460 06 Liberec 7, Czech Republic tel. +420 485 30 34, fax +420 482 736 896 email : kmb@kmb.cz, iteret : www.kmb.cz SML33 / SMM33 / SMN3 Multifukčí měřící přístroje

Více

Statistická analýza dat

Statistická analýza dat INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: 5.. 011 Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/09.0031

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí

2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí . Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

POZN AMKA K V YPO CTU BAYESOVSKEHO RIZIKA Ales LINKA TU Liberec, KPDM Abstrakt. V teto praci porovame dva bayesovske odhady fukce spolehlivosti v expoecialm rozdele z pohledu bayesovskeho rizika vypo-

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Fraktálová komprese. Historie

Fraktálová komprese. Historie Fraktálová komprese Hstore Prví zmíky o tzv. fraktálové kompres jsem ašel kdys v bezvadé a dodes aktuálí kížce!! Grafcké formáty (Braslav Sobota, Já Mlá, akl. Kopp), kde však šlo spíše o adšeý úvod a pak

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více