Intervalové odhady parametrů
|
|
- Zdenka Blažková
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, s laskavým svoleím autora. Itervalové odhady 2 Itervalové odhady Odhad, zámé Iterpretace Souvislosti Rozsah výběru Odhad, ez t-rozděleí Př: odhad Odhad rozptylu Odhad q Př: Odhad q Shrutí
2 Itervalové odhady 2 / 16 Itervalový odhad Víte, kolik statistiků je potřeba k výměě ˇzárovky? 1 aˇz 3. Se spolehlivostí 95 %. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 3 / 16 Itervalové odhady Dosud jsme skutečou hodotu parametru θ ahrazovali bodovým odhadem Θ (coˇz je áhodá veličia). Obvykle se sado spočítá, ale kdo ví, jak dobrý je to odhad? Jak moc se můˇze změit, vypočteme-li jej z jié realizace áh. výběru? Nyí budeme hledat itervalový odhad, tzv. iterval spolehlivosti I, coˇz je miimálí iterval takový, ˇze P[θ I] 1 α, tj. pravděpodobost, ˇze iterval I pokryje skutečou (ezámou) hodotu parametru θ, je 1 α, kde α (0, 1) je pravděpodobost, ˇze iterval I epokryje skutečou hodotu θ, a 1 α je koeficiet spolehlivosti. Hledáme jedostraé odhady, dolí (levostraý), resp. horí (pravostraý), kdy I = q Θ (α), ), resp. I = (, q Θ (1 α), ebo (symetrický) oboustraý odhad ( α ( I = q Θ, 2) q Θ 1 α ). 2 K tomu potřebujeme zát rozděleí odhadu Θ. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 4 / 16 2
3 Normálí rozděleí: itervalový odhad při zámém Mějme realizaci áhodého výběru = ( 1,..., ) z ormálího rozděleí N(, ). Rozptyl záme, chceme odhadout. Středí hodotu odhademe výběrovým průměrem s rozděleím N(, σ2 ). Pro kvatilovou fukci ormálího rozděleí platí: q N(, ) (α) = +q N(0, ) (α) = +σφ 1 (α) Z defiice kvatilové fukce platí pro [ ( ] [ ] P, q ( ) (1 α) = P q ( ) (1 α) = 1 α = N, σ2 N, σ2 ] [ = P q ( ) (1 α) N 0, σ2 [ = P σ Φ 1 (1 α), coˇz stačí v době počítačů, a dále ], coˇz je uté pro hledáí v tabulkách. Pro dolí, horí, resp. oboustraý itervalový odhad pak dostáváme σ ) Φ 1 (1 α),, (, + σ Φ 1 (1 α), resp. σ Φ 1( 1 α ), + σ Φ 1( 1 α 2 2). Při výpočtu pak ahradíme výběrový průměr jeho realizací. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 5 / 16 Iterpretace itervalových odhadů Příklad: Náhodá veličia N(, ), záme, chceme odhadout pomocí áhodého výběru. Defiujme maimálí chybu odhadu jako = σ Φ 1( 1 α 2). Iterval, v ěmˇz se bude acházet (1 α) 100 % hodot.v. : + Iterval, v ěmˇz se bude acházet (1 α) 100 % hodot výběrových průměrů : + Pro m růzých realizací. výběrů : + m růzých realizací itervalu spolehlivosti: Cca v αm případech bude leˇzet uvitř tohoto itervalu. Toto eí iterval spolehlivosti! Iterval spolehlivosti je áhodý v tom smyslu, ˇze je urče áhodou veličiou! Toto jsou itervaly spolehlivosti! P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 6 / 16 3
4 Iterpretace itervalových odhadů (pokr.) Příklad (pokr.): Pro itervalový odhad středí hodoty můˇzeme před provedeím eperimetu (získáím realizace áhodého výběru) říci: Výsledý 95% iterval spolehlivosti bude skutečou (ezámou, ale kostatí) středí hodotu rozděleí obsahovat (překrývat) s pravděpodobostí 95 %. Po provedeí eperimetu můˇzeme dostat výsledek apř.: 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu je (0.1, 0.4). Platí ásledující výroky? Skutečá středí hodota leˇzí mezi 0.1 a 0.4 s 95% pravděpodobostí. Skutečá středí hodota leˇzí mezi 0.1 a 0.4 s 95% pravděpodobostí. Můˇzeme si být a 95 % jistí, ˇze skutečá středí hodota leˇzí mezi 0.1 a 0.4. Můˇzeme si být a 95 % jistí, ˇze skutečá středí hodota leˇzí mezi 0.1 a 0.4. Kdybychom opakovali eperimet zovu a zovu, pak by v 95 % případů skutečá středí hodota leˇzela mezi 0.1 a 0.4. Kdybychom opakovali eperimet zovu a zovu, pak by v 95 % případů skutečá středí hodota leˇzela mezi 0.1 a 0.4. Proč eplatí? Skutečá hodota parametru je kostatí; bud uvitř itervalu jistě je ebo jistě eí, ˇzádá jiá moˇzost eeistuje. Nemá smysl mluvit o pravděpodobosti. Iterval spolehlivosti eí vlastostí parametru (abychom mohli říct, ˇze skutečá hodota parametru se achází uvitř itervalu s pstí... ), ale je vlastostí procedury odhadu (estimátoru). Spíše umoˇzňuje posoudit chybu odhadu. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 7 / 16 Souvislost rozsahu výběru, ma. chyby odhadu a spolehlivosti Ve vztahu pro oboustraý iterval spolehlivosti P [ + ] = 1 α, kde = σ Φ 1( 1 α 2), vystupují ásledující proměé: koeficiet spolehlivosti P = 1 α, tj. míra aší důvěry ve výrok o poloze, chyba odhadu středí hodoty (pro oboustraý iterval spolehlivosti I = 2 ), tj. ejistota při určeí hodoty parametru, a rozsah výběru. Tyto proměé spolu souvisí ásledujícím způsobem: P kostatí kostattí kostattí ր ց ր Pր P ր ր P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 8 / 16 4
5 Výpočet potřebého rozsahu výběru Pro oboustraý iterval spolehlivosti I =, + platí, ˇze P [ + ] 1 α, kde = σ Φ 1( 1 α 2). Staovíme-li maimálí přípustou chybu odhadu ma, můˇzeme určit potřebý rozsah výběru mi při poˇzadovaé spolehlivosti 1 α: ma = σ Φ 1( 1 α ), 2 ( σ Φ 1( 1 α ) ) 2 = mi. ma 2 Pro jedostraé itervaly spolehlivosti lze postupovat obdobě, apř. pro horí itervalový odhad I = (, + platí, ˇze P [ + ] 1 α, kde = σ Φ 1 (1 α). Staovíme-li maimálí přípustou chybu odhadu ma, můˇzeme určit potřebý rozsah výběru mi při poˇzadovaé spolehlivosti 1 α: ma = σ Φ 1 (1 α), ( ) σ 2 Φ 1 (1 α) = mi. ma P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 9 / 16 Normálí rozděleí: itervalový odhad při ezámém Středí hodotu odhademe výběrovým průměrem s rozděleím N(, σ2 ). Rozptyl odhademe výběrovým rozptylem S 2 ; ( 1)S2 má rozděleí χ 2 ( 1). Pouˇzití odhadu rozptylu místo skutečé hodoty rozptylu je další zdroj eurčitosti; abychom zachovali koeficiet spolehlivosti 1 α, musíme rozšířit iterval spolehlivosti, tj. pouˇzít kvatily jiého rozděleí: Studetovo t-rozděleí s 1 stupi volosti, t( 1). Z toho vyplývají ásledující itervalové odhady: S ) q t( 1) (1 α),, (, + S q t( 1) (1 α), S ( q t( 1) 1 α ), + S ( q 2 t( 1) 1 α 2). Při výpočtu ahradíme výběrový průměr jeho realizací a výběrovou směrodatou odchylku S její realizací s. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 10 / 16 5
6 Studetovo rozděleí Studetovo t-rozděleí s η stupi volosti, t(η) je rozděleí áhodé veličiy kde U Vη, U má rozděleí N(0, 1), V má rozděleí χ 2 (η) a U a V jsou ezávislé. Hustota: f t() () Normálí rozděleí vs. t-rozděleí N(0, 1) t(1) t(2) t(3) t(5) t(10) t(50) Pro velký počet stupňů volosti se ahrazuje ormálím rozděleím V případě odhadu středí hodoty při ezámém rozptylu U = ( ) má N(0, 1), σ V = ( 1)S2 má χ 2 ( 1), η = 1, σ ( ) = S 2 U Vη = S ( ) má t( 1), z čehoˇz vyplývají odhady a předchozím slidu. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 11 / 16 Příklad: itervalové odhady při ezámém Zadáí: Vliv alkoholismu matky a iteligeci dítěte. Nalezeo 6 ˇze, které byly v době těhoteství chroickými alkoholičkami. IQ jejich dětí bylo změřeo v 7 letech: = 6, = 78, i=1 ( i ) 2 = Vypočtěte horí a oboustraý 95% iterval spolehlivosti pro středí hodotu rozděleí IQ dětí alkoholiček. Řešeí: Předpokládáme, ˇze výběr alkoholiček byl áhodý. Protoˇze výběrový rozptyl odhadujeme a rozsah výběru je malý, pouˇzijeme kvatily Studetova rozděleí. Pro výběrovou směrodatou odchylku a oboustraý iterval spolehlivosti platí 1 s = 1 i=1 = ± s ( q t( 1) 1 α 2 a pro horí odhad 1805 ( i ) 2 = = 19 5 ) = 78± = 78±19.94 = 58.06, 97.94, + s q t( 1) (1 α) = = = Závěry: 1. S pravděpodobostí 95 % středí hodota rozděleí IQ dětí alkoholiček leˇzí v58.06, S pravděpodobostí 95 % středí hodota rozděleí IQ dětí alkoholiček epřekročí Kdybychom eperimet prováděli opakovaě a itervaly spolehlivosti kostruovali výše uvedeým způsobem, pak by v cca 95 % případů iterval obsahoval skutečou středí hodotu. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 12 / 16 6
7 Itervalový odhad rozptylu Rozptyl odhademe výběrovým rozptylem S 2 ;.v. ( 1)S2 P[ ( 1)S 2 ( 1)S 2 = P[ [ = P ] (, q χ 2 ( 1) (1 α) = 1 α = ] [ q χ 2 ( 1) (1 α) = P ( 1)S 2 q χ 2 ( 1) (1 α), )] Dostali jsme dolí odhad, ostatí obdobě. ( 1)S 2 σ2 q χ 2 ( 1)(1 α) Dolí, horí a oboustraý itervalové odhady rozptylu jsou ) ( ( 1)S 2 q χ 2 ( 1) (1 α), ( 1)S 2,, q χ 2 ( 1) (α), ( 1)S 2 ( 1)S ( ) 2 q χ 2 ( 1) 1 α, ( 2 q α2 ). χ 2 ( 1) Při výpočtu ahradíme výběrový rozptyl S 2 jeho realizací s2. má rozděleí χ 2 ( 1). Všiměte si: oboustraý odhad rozptylu eí symetrický kolem bodového odhadu S 2! P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 13 / 16 ] = Alterativí rozděleí: odhad populačí pravděpodobosti q Mějme áhodý výběr rozsahu, = { 1,..., }, kde i {0, 1}, i Ber(q). Populačí pravděpodobost q odhademe výběrovou relativí četostí = 1 i=1 i. Pro dostatečě velký rozsah výběru ( > 100) lze rozděleí výběrových relativích četostí aproimovat ormálím rozděleím, ( N q, q(1 q) ) ( N q, ) (1 ), a pouˇzít itervaly spolehlivosti pro středí hodotu ormálího rozděleí: (1 ) Φ 1 (1 α), (1 ),, + Φ 1 (1 α), (1 ) resp. Φ 1( 1 α ) (1 ), + Φ 1( 1 α 2 2). Při výpočtu pak ahradíme výběrovou relativí četost její realizací. Při malém rozsahu výběru ( < 100) je třeba hledat kvatily rozděleí výběrových relativích četostí ve speciálích tabulkách. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 14 / 16 7
8 Příklad: Odhad populačí pravděpodobosti q Zadáí: V roce 1973 bylo a Berkeley přijato 3700 z 8300 uchazečů muˇzského pohlaví a 1500 z 4300 uchazečů ˇzeského pohlaví. Vypočtete 95% oboustraé itervaly spolehlivosti (α = 0.05) pro pravděpodobosti přijetí u muˇzů, q M a u ˇze q Z. Řešeí: Itervaly spolehlivosti pro populačí pravděpodobosti přijetí u muˇzů a u ˇze: M = = Z = = q M = M ± Φ 1( 1 α ) M (1 M ) = 2 M ( ) = ±1.96 = 44.58±1.07% 8300 q Z = Z ± Φ 1( 1 α ) Z (1 Z ) = 2 Z ( ) = ±1.96 = 34.88±1.42% 4300 Co můˇzete říct o rozdílu mezi pravděpodobostmi přijetí? Je to důkaz pohlaví diskrimiace? Odpovědi v příštích předáškách. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 15 / 16 Shrutí: Odhady parametrů Výběrové statistiky (apř., S 2, apod.), resp. jejich realizace (, s2, apod.), se pouˇzívají k odhadu populačích parametrů (,, apod.). Jsou to bodové odhady. Itervalové odhady jsou lepší eˇz bodové odhady v tom smyslu, ˇze umoˇzňují posoudit epřesost procedury odhadu. P. Pošík c 2017 A6M33SSL: Statistika a spolehlivost v lékařství 16 / 16 8
Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceTeorie odhadů 2 Teorie odhadů... 3 Odhad parametrů... 4
Metody odhadováí parametrů. Metoda mometů. Maximálě věrohodé odhady. Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Více0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)
. Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě
VíceIntervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním
Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VíceVYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VícePřednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
VíceTESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího
Více7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace
7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší
VíceMOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ
PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceTestování statistických hypotéz
Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím
Vícea další charakteristikou je četnost výběrového souboru n.
Předáška č. 8 Testováí rozptylu, testy relatví četost, testy dobré shody, test ezávslost kvaltatvích zaků Testy rozptylu Testy se používají k ověřeí hypotézy o určté velkost rozptylu a k ověřeí vztahu
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceTestujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:
Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceEKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model
EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceTeorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:
Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou
VíceOdhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení
Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bodové a intervalové odhady
SP Bodové a tervalové odhady PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a tervalové odhady Lbor Žák SP Bodové a tervalové odhady Lbor Žák Bodové a tervalové odhady Nechť je áhodá proměá, která má dstrbučí fukc
VíceZhodnocení přesnosti měření
Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek
VíceSeriál XXX.II Zpracování dat fyzikálních měření
Seriál: Zpracováí dat fyzikálích měřeí V miulém díle seriálu jsme se sezámili s tím, co je to áhodá veličia, hustota pravděpodobosti a jak se dá v ěkterých případech odhadout typ rozděleí áhodé veličiy
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VícePravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými
Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí
VíceNáhodný výběr, statistiky a bodový odhad
Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
Více} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy
Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více7. cvičení 4ST201-řešení
cvičící 7. cvičeí 4ST21-řešeí Obsah: Bodový odhad Itervalový odhad Testováí hypotéz Vysoká škola ekoomická 1 Úvod: bodový a itervalový odhad Statistický soubor lze popsat pomocípopisých charakteristik
Více3. Hodnocení přesnosti měření a vytyčování. Odchylky a tolerance ve výstavbě.
3. Hodoceí přesost měřeí a vytyčováí. Odchylky a tolerace ve výstavbě. 3.1 Úvod o měřeí obecě 3.2 Chyby měřeí a jejch děleí 3.2.1 Omyly a hrubé chyby 3.2.2 Systematcké chyby 3.2.3 Náhodé chyby 3.3 Výpočet
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI
3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšém a aktivím absolvováí této KAPITOLY Budete umět: rozpozat průběh a vlastosti, uvést základí vztahy charakteristik rozděleí spojité áhodé
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
VíceInterval spolehlivosti pro podíl
Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
Matematka IV PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Lbor Žák Matematka IV Lbor Žák Regresí aalýza Regresí aalýza zkoumá závslost mez ezávslým proměým X ( X,, X k a závsle proměou Y. Tato závslost se vjadřuje ve tvaru
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceOdhad parametrů normálního rozdělení a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z normálního rozdělení
Odhad parametrů ormálího rozděleí a testy hypotéz o těchto parametrech * Věty o výběru z ormálího rozděleí Nechť, X, X je áhodý výběr z rozděleí N ( µ, ) X, Ozačme výběrový průměr a = X = i = X i i = (
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje
VíceDynamická pevnost a životnost Statistika
DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické
VíceTest dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:
Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceUžití binomické věty
9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +
Více8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
8 DALŠÍ SPOJITÁ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI Ča ke tudiu kapitoly: 60 miut Cíl: Po protudováí tohoto odtavce budete umět: charakterizovat další typy pojitých rozděleí: χ, Studetovo, Ficher- Sedocorovo -
VícePravděpodobnost a statistika Výpisky z cvičení Ondřeje Chocholy
Pravděpodobost a statistika Výpisky z cvičeí Odřeje Chocholy Ja Štětia 9. listopadu 9 Cviˇceí 3.9.9 Úloha: Máme 4 kostky. Ω = {a, b, c, d}, Ω = 6 4 A = 6 5 4 3 P(A) = 6 5 4 3 6 4 Naejvýš l kostek: m...
Více6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
Více,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3
Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru
SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
VíceFITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI PRO APLIKACE
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT OF MATHEMATICS FITOVÁNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI
Více