Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Transkript

1 Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou

2 Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou

3 A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí, právě tehdy když eistuje číslo a R takové, že platí: ke každému 0 eistuje 0 N tak, že pro všecha přirozeá čísla 0 je a a. Číslo a se azývá ita poslouposti a a zapisujeme: a a Platí: - Poslouposti, které ejsou kovergetí, se azývají divergetí. - Každá posloupost má ejvýše jedu itu. - Každá kovergetí posloupost je omezeá.

4 Věty o itách poslouposti: Jsou-li poslouposti a, b kovergetí a a a b b,, pak platí: a) a b a b b) a b a b c) a b ab a a d) b 0 b b e) c a ca c R,

5 Dále platí: - Posloupost je kovergetí s itou rovou 0. - Geometrická posloupost q, pro kterou je q, je kovergetí s itou rovou 0. - Každá geometrická posloupost a, pro kterou je q, je kovergetí s itou rovou 0.

6 Příklad Rozhoděte, které z uvedeých posloupostí jsou kovergetí, a v kladém případě určete její itu. a) Volíme-li za přirozeá čísla, hodoty se pro velká blíží, posloupost je kovergetí. 0

7 b) Posloupost vyjádříme jako rozdíl dvou kovergetích posloupostí. 0 c) Posloupost vyjádříme jako součet dvou posloupostí. Limita prví poslouposti je rova 0, ale druhá posloupost je divergetí, proto zadaá posloupost je divergetí a emá itu.

8 6 d) Nelze použít věta o podílu kovergetích posloupostí, protože posloupost v čitateli i jmeovateli zlomku eí kovergetí. Vytkeme v čitateli i jmeovateli s ejvyšší mociou. 0 e), 0 Jedá se o součet kovergetích posloupostí. 0 0, 0,

9 Příklad Rozhoděte, které z uvedeých posloupostí jsou kovergetí, a v kladém případě určete její itu. a) b) c) d) 7

10 8 e) 7 f) g) h)

11 Příklad Vypočtěte: a) i) b) j) c) k) 8 d) l) 9

12 e) m) f) )... g) o) h) 0

13 Procvičováí: Maturití miimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str.9, př..,.

14 B) Limita fukce B vlastí ita ve vlastím bodě Defiice: Fukce f má v bodě a itu L, jestliže k libovolě zvoleému okolí bodu L eistuje okolí bodu a tak, že pro všecha reálá a z tohoto okolí áleží hodoty f() zvoleému okolí bodu L. Zapisujeme: f ( ) L a Platí: - Fukce f má v bodě a ejvýše jedu itu. - Fukce f je spojitá v bodě a, právě když f ( ) f ( a ) a. - Věta o itě dvou fukcí:

15 Jestliže pro všecha a z jistého okolí bodu a platí f()=g() a současě f ( ) g( ) L g L, potom má v bodě a itu i fukce f a platí a a. a - Věty o itě součtu, rozdílu, součiu a podílu jako u posloupostí. si - 0 si k - 0 k 0 k si a a - 0 b 0 b b

16 Příklad Vypočtěte ity fukcí: a) Daá fukce je v bodě 0 spojitá, dosadíme za hodotu 0 a vypočteme itu. 7 b) Daá fukce eí v bodě defiováa a spojitá, k výpočtu použijeme věty o itě dvou fukcí. Předpis fukce upravíme a převedeme a fukci, která je v bodě spojitá.

17 c) Daá fukce eí v bodě defiováa a spojitá, k výpočtu použijeme věty o itě dvou fukcí. Předpis fukce upravíme rozšířeím čitatele i jmeovatele a rozdíl druhých moci a převedeme a fukci, která je v bodě spojitá.

18 si d) 0 si k Při výpočtu ity využijeme vzorec: 0 k 0 k cos si e) 0. Zadaou fukci rozdělíme a součet dvou fukcí a využijeme věty o itě součtu, zámé goiometrické vzorce si si a a a věty: 0, 0 b 0 b b 0 0 cos si si si 0. 0 cos 0 si 0 si 6

19 f) 0 si Daá fukce eí v bodě 0 defiováa a spojitá, k výpočtu použijeme věty o itě dvou fukcí. Předpis fukce upravíme rozšířeím čitatele a rozdíl druhých moci a převedeme a fukci, která je v bodě 0 spojitá. 0 0 si si 0 si 0 0 7

20 B jedostraá vlastí ita fukce v bodě Defiice: Fukce f má v bodě a itu L zleva, jestliže k libovolě zvoleému okolí bodu L eistuje levé okolí bodu a tak, že pro všecha reálá a z tohoto okolí áleží hodoty f() zvoleému okolí bodu L. Zapisujeme: f L Fukce f má v bodě a itu L zprava, jestliže k libovolě zvoleému okolí bodu L eistuje pravé okolí bodu a tak, že pro všecha reálá a z tohoto okolí áleží hodoty f() zvoleému okolí bodu L. Zapisujeme: f L Fukce f() má v bodě a itu L pouze tehdy, pokud se ity zprava a zleva sobě rovají. a a 8

21 Příklad Vypočtěte ity fukcí: a) 0 sg Z grafu fukce plye, že daá fukce abývá v pravém okolí bodu 0 hodoty. b) 0 sg Z grafu fukce plye, že daá fukce abývá v levém okolí bodu 0 hodoty -. 9

22 B evlastí ita fukce v bodě Defiice: Fukce f má v bodě a evlastí itu, jestliže ke každému číslu K eistuje okolí bodu a tak, že pro všecha reálá a z tohoto okolí jsou hodoty f K. Fukce f má v bodě a evlastí itu, jestliže ke každému číslu K eistuje okolí bodu a tak, že pro všecha reálá a z tohoto okolí jsou hodoty f K. Zapisujeme: f a Nevlastí itu lze defiovat také zprava ebo zleva, bereme-li pouze pravé ebo levé okolí bodu a. Věty o součtu a součiu it fukcí lze užít, pokud výpočet evede k eurčitému výrazu. 0

23 Příklad Vypočtěte ity fukcí: a) 0 Z grafu fukce plye, že daá fukce abývá v okolí bodu 0 velkých kladých hodot, proto ita je rova. b) log 0 Z grafu fukce plye, že daá fukce abývá v okolí bodu 0 velkých záporých hodot, proto ita je.

24 c) cot g cot g Zadaou fukci rozdělíme a souči dvou fukcí a využijeme věty o itě součiu. d) 6 6 Za dosazujeme hodoty blízké číslu 6 zleva a získáváme fukčí hodoty, které se blíží.

25 B vlastí ita fukce v evlastím bodě Defiice: Fukce f má v evlastím bodě itu L, jestliže k libovolě zvoleému okolí bodu L eistuje takový bod 0, že pro všecha 0 áleží hodoty f() zvoleému okolí bodu L. Fukce f má v evlastím bodě itu L, jestliže k libovolě zvoleému okolí bodu L eistuje takový bod 0, že pro všecha 0 áleží hodoty f() zvoleému okolí bodu L. Zapisujeme: f L

26 Příklad Vypočtěte ity fukcí: a) 0 0 Předpis fukce upravíme vytkutím a užijeme věty o výpočtu it rozdílu a podílu. b) Předpis fukce upravíme vytkutím s ejvyšší mociou v čitateli a jmeovateli, zkrátíme a užijeme věty o výpočtu it součtu, rozdílu a součiu.

27 B evlastí ita fukce v evlastím bodě Defiice: Fukce f má v evlastím bodě ( ) evlastí itu, jestliže ke každému číslu K eistuje takové číslo 0, že pro všecha 0 ( 0) platí: f K. Zapisujeme: f Fukce f má v evlastím bodě ( ) evlastí itu, jestliže ke každému číslu K eistuje takové číslo 0, že pro všecha 0 ( 0) platí: f K. Zapisujeme: f

28 6 Příklad Vypočtěte ity fukcí: a) 0 0 Předpis fukce upravíme vytkutím s ejvyšší mociou a užijeme věty o výpočtu it součiu. b) Předpis fukce upravíme vytkutím s ejvyšší mociou v čitateli a jmeovateli, zkrátíme a užijeme věty o výpočtu it součtu, rozdílu a součiu.

29 Příklady a procvičeí: Př.. = Př Př.. 0 Př.. cos 0 tg 7

30 8 Př.. Př. 6. Př Př Př

31 Př Př.. Př.. Př.. 0 Př.. 9

32 Př.. Př cos cos Př. 7. si 0 Př Př. 9. 0

33 Př. 0. tg tg si Př.. 0 cos tg si Př.. si cos cos Př.. a si si a a (využijte. skupiu goiometrických vzorců)

34 Př.. 0 si tg Př.. tg si 0 Př Př Př. 8. 0

35 Př. 9. Př. 0. si 0 Př.. si tg si 0 Př.. si si si si 6

36 Př.. cot g cot g cot g Př.. Př.. 6 Př. 6. Př. 7. 7

37 Př. 8. Př. 9. Př. 0. log log Př.. Př..

38 Př.. Př.. Př.. Př. 6. 0, 0, Př. 7. 6

39 Př. 8. Př. 9. Př. 0. Př.. 7

40 Př.. Př.. 6 Př.. Př.. Př. 6. 8

41 Př. 7. Př. 8. Př. 9. Př Př

42 Př Př. 6. Př. 6. Př

43 Výsledky:. ;. 0;. 6;. 0;. -; 6. ; 7. 6.; ; 8. 8 ; 9. ; 0. ;. ;. 0;. ;. a;. 0;. ; ; 6. 0; 7. ; 8. -; 9. -; 0. ;. ;. ;. cos 6. 6; 7. ; 8. ; 9. ; 0. 6 ;. ;. -;. -;. 9;. ; 6. ; 7. 7 ; 8. ; 9. 6; 0. ;. ;. 0;. 0;. ;. ; 6.0; 7. ; 8. ; 9. ; 0. ;. ;. ;. ;. ;. ;

44 6. ; 7. ; 8. ; 9. eeistuje; 60. ; 6. ; 6. ; 6. ; 6. ; 6.

45 Procvičováí: Maturití miimum sbírka úloh pro SŠ, Prometheus, str. -6, př..-.,.-.