Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012
|
|
- Otakar Novák
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech Projekt je spolufinancován z Evropského sociálního fondu a státního rozpočtu České republiky.
2 Obsah Hodnost matice 3 Soustavy lineárních rovnic úpravami matic 5 Determinanty 7 Kvadratické rovnice a nerovnice 9 Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 0 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou Rovnice s parametrem Reciproké rovnice 3 Eponenciální rovnice a nerovnice Logaritmické rovnice a nerovnice 5 Limita funkce 6 Užití limit výpočet asymptot 7 Derivování základních elementárních funkcí 9 Derivování goniometrických funkcí 0 Derivování eponenciálních a logaritmických funkcí Derivování cyklometrických funkcí Derivování hyperbolických funkcí 3 Logaritmické derivování Průběh funkce 5 Využití derivací ve fyzice 7 Úlohy z kinematiky 30
3 Hodnost matice Hodnost matice je číslo, které udává maimální počet jejích lineárně nezávislých řádků (sloupců). Má-li matice M hodnost h, píšeme h(m) h. Určování hodnosti matice podle uvedené definice je pracné, proto se používá jiný způsob ekvivalentních úprav na matici v tzv. schodovitém tvaru: Říkáme, že matice A typu (m, n) má schodovitý tvar, právě když každý nenulový řádek matice začíná větším počtem nul než řádek předcházející. Příklad: S Ekvivalentní úpravy matice hodnost matice se nezmění těmito úpravami:. Záměna pořadí řádků matice.. Libovolný řádek matice se vynásobí nenulovým číslem. 3. K libovolnému řádku matice se přičte lineární kombinace jiných řádků.. Vynechá se nebo připojí řádek, který je lineární kombinací jiných řádků. Hodnost matice se nezmění ani analogickými úpravami se sloupci matice. Příklad : Určete hodnost matice A. A Závěr: Hodnost matice h(a) (výsledkem jsou lineárně nezávislé řádky). 3
4 Příklad : Určete hodnost matice B Vynecháním. i 3. řádku (každý je násobkem. řádku) získáme matici ( 6 ) 0 3 o dvou lineárně nezávislých řádcích. Závěr: Hodnost matice h(b). Úlohy hodnost matice. Bez výpočtu určete hodnost matic: A ( 3 3 ), B. Určete hodnost matic: ( ) A, B 0 ( 0 ) ( 3 5, C ), C Určete hodnost matic: K 3 7 5, L Čtvercová matice A n se nazývá regulární, jestliže hodnost h(a n ) n. Není-li čtvercová matice A n regulární, nazývá se singulární. Určete, které z následujících matic jsou regulární a které singulární. C A ( ), B, D
5 Soustavy lineárních rovnic úpravami matic V soustavě m lineárních rovnic o n neznámých (,,..., n ): a + a a n n b a + a a n n b a m + a m a mn n b m představují a ik koeficienty a čísla b, b,..., b m absolutní členy soustavy. U každé soustavy rozlišujeme dvě matice: matici soustavy A, která je typu (m, n), a rozšířenou matici soustavy B, která je typu (m, n + ): a a... a n a a... a n A....., B. a m a m... a mn Věta řešitelnost soustavy lineárních rovnic. h(a) < h(b) soustava nemá řešení. a a... a n a a... a n a m a m... a mn. h(a) h(b) n soustava má právě jedno řešení. 3. h(a) h(b) < n řešení některé neznámé volíme (parametry). Příklad : Řešte soustavu rovnic: + 3y z + y 3z + w 3 + y + z w 3 + y z + w Sestavíme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji do schodovitého tvaru: řádek: w 08 ;. řádek: y (6 3w + z) ; řádek: z 75 (3 + 8w) 3;. řádek: ( w + z y) 5 5 Řešení: [, y, z, w] [,, 3, ] 5 b b. b n
6 Úlohy soustavy rovnic Řešte následující soustavy lineárních rovnic:. + y 8 t. y 6 y + z 8 y + t z y 0 z + u z t z u 6 nemá u + 8 u t u řešení α + 9β α 7β α β nemá řešení 6. p + q + 3r p q + r + 3s 7 q r + s + 3t r 3 s + t + 3p 8 s 3 t + p + 3q 9 t
7 Determinanty Determinant je číslo, které lze podle určitých pravidel přiřadit čtvercové matici A řádu n. Formálně jej značíme svislými závorkami: det A A a a... a n a a... a n a n a n... a nn a Determinant. stupně: A a a a a a a a např Determinant 3. stupně: a a a 3 a A a a a 3 a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 + a 3 a 3 a 33 a 3 a a 3 a a a 33 a a 3 a ( ) + ( 3) ( 3) 5 9 ( ) Determinanty od. stupně výše se počítají rozvojem podle prvků některého řádku/sloupce: ( ) ( ) ( ) ( ) + ( 6) Úlohy vypočtěte determinanty: A 6 7 B C Řešení: A 5, B 0, C 00 7
8 Využití determinantů soustavy lineárních rovnic Cramerovo pravidlo Nechť A je matice systému n lineárních rovnic o n neznámých: a + a a n n b a + a a n n b () a n + a n a nn n b n Nechť A k je determinant matice, která vznikne z matice A nahrazením k-tého sloupce sloupcem absolutních členů. Pak platí:. Systém () má právě jedno řešení A 0 a k A k, k,..., n. A. Jestliže A 0, pak systém () má buď řešení nebo žádné řešení. Příklady řešte soustavu rovnic: A A A 0 A Kořeny rovnice: 5 5 3, 0 5, [Řešení: 5,, 3 ] 8
9 Kvadratické rovnice a nerovnice A. V množině R řešte rovnice:. ( 3) 3 ( ) (5+ 3) ( ) [ (+)] 3[( ) ( ) ] ( + ) B. V množině R řešte nerovnice: > 0 0. ( + 6)( + ) ( + 5) > < >. 3 C. Slovní úlohy 5. Ze stanice má být vypraveno vlaků, z nichž každý má po 35 vagónech. Aby se ušetřilo několik lokomotiv, zmenší se počet vlaků tím, že ke každému vlaku bude přidáno tolikrát po pěti vagónech, kolik lokomotiv bude ušetřeno. Tak budou vypraveny všechny vagóny. Kolik lokomotiv bude uvolněno k provedení údržby? 6. Obrázek znázorňuje průřez komínem. Obsah vnitřního obdélníku je pětkrát menší než obsah vnějšího obdélníku. Určete šířku zdiva označenou z. z 3 m m 7. Kupec koupil koně a po nějakém čase ho prodal za pistolí. Přitom ztratil tolik procent, kolik pistolí jej kůň stál. Za kolik pistolí koně koupil? (Bézoutova úloha, 8. století) 8. Určete všechna dvojciferná přirozená čísla, která mají tu vlastnost, že číslice na místě jednotek je o menší než číslice na místě desítek a přitom součin tohoto čísla a součtu jeho číslic je přirozené číslo menší než Aby byla zajištěna návaznost na několik dalších spojů, je třeba, aby rychlík zvýšil svou průměrnou rychlost o 9 km, neboť tak ujede svou trať 80 km o 0 minut dříve než při h původní rychlosti. Za jak dlouho projel rychlík trať původní rychlostí? 0. Třída na brigádě byla rozdělena na dvě skupiny. První skupina nasbírala za den 60 kg brambor, druhá, v níž bylo o žáky více, 356 kg. Výkon druhé skupiny byl o 6 kg na žáka větší. Určete počet žáků ve třídě.. Po kružnici se v opačných směrech pohybují dvě tělesa: jedno rovnoměrně rychlostí v, druhé rovnoměrně zrychleně se zrychlením a. V okamžiku t 0 se obě tělesa nacházela v témže bodě A a rychlost druhého tělesa byla rovna nule. Za jakou dobu dojde k prvnímu setkání, když ke druhému setkání dojde opět v bodě A? Řešení:. { 3± }. { ; } 3. {; }. {±3} 5. {±} 6. { 5 ; } 7. { 3 ; } 8. (, 3) (5, ) 9. R { } 0. 3; 3. (, 0) (, ). (, ) (, ) 3. ( 3, ) (, 3). (, 3 (, ) 5. lokomotivy 6.,3 m 7. 0 nebo 60 pistolí 8. 0, 3,, 53, 6, h 0. 3 žáků (5 neodpovídá reálné situaci). ( 5 ) v a 9
10 Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou A. V množině R řešte rovnice: ( ) B. V množině R řešte rovnice: C. V množině R řešte nerovnice: > > > D. Řešte v R; neznámá, k parametr: 9. k k E. V množině R řešte rovnice: F. V množině R řešte nerovnice: 5. 6, > < + { } { Řešení:. 3,., } { { } { }, } 6., 7. { } 8. 0 { } { 3, , 3. ± }. {0} 3. (, 7 3, ). (, 0 5. (, 0) ( ) ( ) (6, ) 6. (, 9) 7.,, 5 8. ; ) (8; { }. {±}.,, 3± 7 { } , 3± ( 05. {±6} 5. 33, 7 7, 33 6., ) ( ) 3 3, 7. 7, (, ) 0
11 Rovnice a nerovnice s neznámou pod odmocninou A. V množině R řešte rovnice: , C. V množině R řešte nerovnice: 5. < > D. Řešte v R soustavy: 8. y y 3 + y + y 9 y + y 9. y y y + y y 8 + y 7 y 5 + y B. Řešte v R pomocí vhodné substituce: ( + ) } 3. { 75 7 } { } }. 5. {} 6. {0} 7. {± 5 Řešení:. {}. { 3 8. { { } 5 3} { ; }. { ; 0} 3. {5}. {} 5. (, ) 6. (, 6 6, ) 7., ) ( 5 5, 8. { [; ], [ { } 9; ]} 9 9. [ 5; 3], [3; ], [ + 0, + 5 0], [ 0, 5 0] 0. {[6; 0]}
12 Rovnice s parametrem Poznámka: V následujících úlohách představuje neznámou, další písmena reálné parametry. A. V množině R řešte rovnice:. (p ) 6 p. k + k p +. p p p + p p t t + u a( + ) 3( ) 6. + B. V množině R řešte soustavy rovnic: 7. a ay 9 3 y a 8. ay a y 9. a + y a + ay a 3 0. V rovnici c 0 je jeden kořen 37. Určete parametr c a druhý kořen.. V rovnici 3 + b je jeden kořen ( ). Určete parametr b a druhý kořen. 9. Je dána kvadratická rovnice Její různé kořeny označme r, s. Zapište všechny kvadratické rovnice s kořeny R, S, které splňují tuto podmínku: a) R r, S s b) R 3r, S 3s c) R r, S s 3. Rovnice cos α + cos α 0 má kořeny r, s. Vyjádřete výraz A pomocí goniometrických funkcí reálného parametru α. rs r + rs + s. Je dána rovnice + b 3 + b + 0, kde b je reálný parametr, je neznámá. a) Pro která b má rovnice nejvýše jeden kořen? b) Pro která b má rovnice dvojnásobný kořen? c) Pro která b má rovnice dva kladné kořeny? d) Pro která b má rovnice dva záporné kořeny?
13 Reciproké rovnice A. V množině C řešte reciproké rovnice sudého stupně: B. V množině C řešte reciproké rovnice lichého stupně: Řešení část A:. { ; ; 3 ; 3}. { ± 3 i ; ± 5 i } 3. { ; ; ; }. { ± + ; ± } } { 7. ±i; ; ; ; ; ± } 3 i 5. { 3; 3 ; ; ; ; } 6. { ; ; 3 ; 3 ; ; 8. { ±; ±i; 5 ; 5} 9. { { ±; 5; 5 ; ; } 0. ±; ; ; ±i; ± } 3 { } { i } část B:. ; ; ; ± 5 i. ; ; ; ± 3 i 3. { ; ; ; 3 ; 3}. { ; ; ; ; } 5. { { } ; ±i; ; ; 5 ; 5} 6. ; ±i; ; ; ± 3 i 3
14 Eponenciální rovnice a nerovnice A. V množině R řešte eponenciální rovnice a nerovnice:. 6, ( 5 ) 3 9, B. V množině Q řešte eponenciální rovnice: 8. ( 9 5 ) ( ) 5 log 8 7 log ,5 +3, , , (0,75) 3 < C. Řešte soustavy eponenciálních rovnic: y 5 5 y 5 y+ 7. y + y 3 ( + y) y y 8. y 3 8 y 6 +y 0 y 3 3 y 9 y Řešení. {, 7}. {35} 3. { 0,5}. { } 0; 5. 7, 3 ) 6. 3, ) 7. ( 3 3, 0 ) ( 3+ 3, ) { } { { } [ 8. { } 9. { } }. {3} 3. {3} , ] 6. [, ] [ 6,, ] [ 6 7. [7; 5] 8. [ ; ], 3, ]
15 Logaritmické rovnice a nerovnice A. V množině R řešte logaritmické rovnice a nerovnice: B. V množině R řešte logaritmické rovnice:. log ( + 3) log ( 3) log ( + 9). log 0 3. log + log. ( + ) log(+) 3 0,0 5. log ( + 7) log ( + 7) 6. 0,5 log ( + 0) log ( + ) 7. log ( ) < 0,5 (log 5 log ) 8. + log (log 7 ) log 00 +log 0. log a + log a ( a). 5 log + + log. log (9 + 7) + log (3 + ) 3. log ( + + ) log C. Řešte soustavy logaritmických rovnic:. log log 3 y 7 y 5 5. log ( + y) log 3 ( y) y 6. 3 y 576 log (y ) 7. log + 3 log y 0 3 y 0 D. Upravte výrazy obsahující logaritmy: 8. Dokažte, že platí: log log a log ab + log b log b a a b 9. Zjednodušte výraz a log b a 0. Dokažte, že za předpokladů a + b c, a > 0, b > 0, c > 0, c b, c + b platí: log c+b a + log c b a log c+b a log c b a Řešení { } { {00; 0,0} 3. {}. {9,5} 5. 3, ) 6. (, 3 7. (, ) 8. 9, 3 } {0; 0,0} 0. { [ a }. {; 8}. {; } 3. {8}. [65; 3], [5; ] 5. 3 ], 6. [ ] [; 6] 7. 3, 8. obě strany lze upravit na log a ab 9. log b a 5
16 Limita funkce Říkáme, že funkce y f() má v bodě a R (v němž nemusí být definována) limitu L R, právě když ke každému kladnému číslu ε eistuje takové kladné číslo δ, že pro všechna z δ-okolí bodu a leží funkční hodnoty f() v ε-okolí bodu L. Zápis lim f() L čteme: limita f() pro jdoucí k a je rovna L. a Poznámka: δ-okolí bodu a je otevřený interval (a δ, a + δ) neboli množina všech R, pro která platí: (a δ, a + δ) resp. a < δ. Limita funkce ve vlastním bodě Při výpočtu následujících limit upravíme lomený výraz vhodným rozšířením nebo krácením: lim 0 + lim lim ( + + ) lim lim lim ( 3. lim ). lim ,5 lim 6 6. lim lim lim lim a a a a a 0. lim 0 ( + 3) ( + ) 3 Výsledky a
17 Výpočet limity funkce s využitím substituce lim 3 t 6 t 3 t6 lim t t6 lim t (t + ) (t + t + ) lim t t t 3 lim (t )(t + ) t (t )(t + t + ) Limita funkce v nevlastním bodě Při výpočtu těchto limit dělíme před provedením limitního procesu čitatele i jmenovatele lomené funkce nejvyšší mocninou proměnné : lim lim lim U funkcí se součtem (rozdílem) odmocnin nejprve výraz vhodně upravíme: ( lim + ) ( lim + ) lim lim + + lim lim 0. lim 0 3. lim 3 + m + ( 3 ) +. lim + 5. lim 6. lim ( 3 + ) 7. lim ( + 3 ) 8. lim ( ) 9. lim ( + ) 0. lim ( + + ) ( ). lim ( + a)( + b). lim ( ) Výsledky m. 3 ; subst.: + m t3. ; subst.: + t a+b
18 Užití limit výpočet asymptot Asymptota bez směrnice Jestliže lim f() ±, pak přímka a je její asymptotou bez směrnice. Tyto a přímky jsou rovnoběžné s osou y a procházejí takovými body, v nichž funkce není definována. Asymptota se směrnicí Přímka y k + q je asymptotou se směrnicí grafu funkce y f(), právě když eistují limity f() k lim +, q lim f() [f() k ] resp. k lim +, q lim [f() k ] Příklad Určete asymptoty ke grafu funkce y +. a) D(f) R {} lim + 0 Asymptotou bez směrnice je přímka. b) lim lim ( + ) lim [ + ] + lim + lim + Asymptotou se směrnicí je přímka y. k lim + lim + q Úlohy určete asymptoty ke grafům následujících funkcí:. y +. y 3. y ( ). y 3 Výsledky.,, y.,, y 3. 0, y.,, y 8
19 Derivování základních elementárních funkcí Určete první derivaci eplicitně zadaných funkcí. y y 0 7 0,8 3. y ( ) +. y y y 3 7. y y y y. y. y + ( ) ( + ) 3 3. y (5 ) 0. y (7 ) y (8 3) 6. y 8 7. y + 8. y + Geometrické úlohy 9. Pod jakým úhlem se protíná parabola y s přímkou 3 y 0? 0. Ve kterém bodě je tečna paraboly y a) rovnoběžná s přímkou y 5; b) kolmá k přímce 6y + 5 0; c) svírá s přímkou 3 y + 0 úhel 5? Výsledky , 0, ( ) (+ 0. ). ( ) ( (5 +) ( ) 3 (+) ) 9 (7. 3 +)( ) (8 3) ( +) (8+9 ) ( 8 ) ϕ [ ] [ ] arctg ; ϕ arctg a) [; ] b) 3 ; 9 c) [ ; ], ; 6 9
20 Derivace goniometrických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y + sin B) y tg + 3 tg3 + 5 tg5 A) y + cos + sin ( + cos ) + sin sin + cos cos cos sin (sin + cos + cos sin ) + sin cos + sin B) y cos tg (+ tg ) cos cos tg + tg cos cos + tg + tg cos ( ) cos cos cos 6 sec6 Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y sin 3. y sin + cos 3. r cos ( π ϕ ) 6. y sin 7. y sin cos cos + sin 8. y ( + tg ) 0. y 3 cotg + cotg 3 9. y sin y sin cos 0. y sin + cos sin Výsledky. 3 sin 3. sin 3. sin( π ϕ) cos ϕ. 3 sin 5. cos 6. sin 7. 0 sin (cos + sin ) cos sin 3 cos 3 0. sin 3 cos 3 sin 0 sin
21 Derivace eponenciálních a logaritmických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y e e e + e + B) y ln A) y (e + e )(e + e ) (e e )(e e ) (e + e ) (e + e ) (e e ) (e + e ) e + + e (e + e ) (e + e ) (e + e ) B) y + + ( ) ( + )( ) ( ) ( + + ) + ( ) + ( ) Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y + e e. y y e ln. y 0 5. y cos e 6. y (e a e a ) 7. y log 3 8. y + ln 9. y ln( + ) 0. y ln ( + ) a. y ln + ln. y ln e + Výsledky e. 0. ln 0 3. e ln ( e ) (+0 ) ln 6. a(e a e a ) 7. ln 6 log ln ln ( ln 0) 5. e (sin + cos ) +ln a (+ln ) ( ) +
22 Derivace cyklometrických funkcí Příklad derivujte následující funkce: A) y arcsin + B) y arctg cos + sin A) y (+ ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) (+ ) ( + ) + ( + ) + B) y + ( ) cos +sin sin ( + sin ) cos cos ( + sin ) ( + sin ) ( + sin ) + cos sin sin cos ( + sin ) (sin + sin + cos ) + sin + sin + cos (sin + ) ( + sin ) Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y arcsin (ln ). y 3 arctg 3 3. y arcsin +. y arccotg 5. y arctg ( ln ) 6. y arccotg 7. y arccos + 8. y arctg + 9. y arccos 3 0. y e e + arcsin e Výsledky. arcsin(ln ) ln. 3 arctg arcsin. (+ln ) e e
23 Derivace hyperbolických funkcí f() sinh e e cosh e + e tgh e e e + e cotgh e + e e e f () (sinh ) cosh (cosh ) sinh (tgh ) cosh (cotgh ) sinh vztahy cosh sinh cosh cosh + sinh sinh sinh cosh Příklad derivujte následující funkce: A) y cosh B) y tgh + cotgh A) y sinh cosh sinh cosh cosh cosh cosh + B) y cosh sinh cosh + sinh cosh sinh sinh cosh ( sinh cosh ) sinh cosh sinh Úlohy určete první derivace těchto funkcí:. y sinh cosh. y sinh + cosh 3. y + sinh. y cotgh 5. y arcsin(tgh ) 6. y ln(cosh ) + cosh 7. y cosh (cotgh sinh ln ) 8. y + tgh tgh Výsledky. cosh. sinh 3. sinh. cotgh 5. cosh 7. sinh 3 8. cosh sinh 6. tgh 3 3
24 Logaritmické derivování Funkce tvořené výrazem, který lze logaritmovat, můžeme derivovat metodou tzv. logaritmické derivace. Podstatou této metody je derivace složené logaritmické funkce: [ln f()] f() f () f () f() [ln f()] Kromě funkcí ve tvaru součinu a podílu mocnin funkcí derivujeme metodou logaritmické derivace funkce ve tvaru y [u()] v() (stručně y u v ) takto: y u v ln y v ln u y y [v ln u] y [v ln u] y Příklad Derivujte:. y sin. y e y (tg ) cos ln y y y y y y y Úlohy ln tg cos sin cos ln tg + cos 3 tg sin ln tg + sin cos sin ln tg + sin cos y sin ln tg + sin cos (tg ) cos Derivujte následující funkce: 3. y 9 3. y ( ) a 5. y, a 0 6. y (sin ) cos 7. y 3 ( + ) 8. y ( + ) y (3 ) + ( + ) 5 Výsledky. (cos ln + sin ) sin. e e (ln + ) ( + ln ). (ln + ) 5. ( a ) ( ln a ) 6. (cos sin ln sin )(sin ) cos 7. 3 ( +) ( ) (3+ 3 ) 9. ( 3 73)(3 ) 3 (+) 6 +
25 Průběh funkce. Určete průběh funkce f() 3 ( + ) Postup. Definiční obor funkce: D(f) R { } (, ) (, ). Sudost lichost, perioda: f() f( ) a f( ) f()... f-ce není S ani L 3. Nulové body: z rovnice f() 0 jediný nulový bod: 0. První derivace f (): f () ( 3 ) ( + 3) ( + ) ( + ), 3 5. Stacionární body: řešením rovnice f () 0 obdržíme stacionární body: 3, 0 ( 6. Druhá derivace f (): f ) ( + 3) () ( + ) 3 3 ( + ), dosazením stacionárních bodů do f () určíme etrémy: f ( 3) 9 < 0... lokální maimum 6 f (0) inflení bod 7. Asymptoty: a) bez směrnice: f( ) nedefinována b) se směrnicí: y k + q f() k lim q lim [f() k] 3 lim ( + )... [ ] lim asymptota se směrnicí: y 3 ( + ) 5
26 8. Souhrnná tabulka: (, 3) 3 ( 3, ) (, 0) 0 (0, ) f () + 0 nedef f () 9 6 nedef. 0 + f() monotónnost f() průběh 7 8 ma. nedef. 0 asympt. inflení bod Graf funkce f() 3 ( + ) 6
27 Využití derivací ve fyzice Příklad výpočet okamžité rychlosti Maják je vzdálen od břehu 5 km a jeho reflektor se za každou minutu otočí ve vodorovné rovině o 360. Vypočtěte rychlost světelné stopy pohybující se po břehu v okamžiku, kdy světelný paprsek svírá s pobřežím úhel 60. Předpokládáme, že břeh je přímočarý. Řešení f min 60 s α 60 r 5 km 5000 m v s? m s A s P 60 r 5 km ϕ M Bod M na obrázku představuje maják; předpokládejme, že světelná stopa se pohybuje na břehu od bodu P k bodu A. Z pravoúhlého trojúhelníka MPA je dráha s uražená světelnou stopou: s r tg ϕ r tg ω t r tg πft () Okamžitou rychlost v s světelné stopy určíme jako. derivaci dráhy s podle času t: v s ṡ ds dt d dt (r tg ω t) ω r cos ωt () kde ω r πf r a v okamžiku, kdy světelný paprsek svírá s pobřežím úhel 60, je úhel ωt ϕ Po dosazení uvedených hodnot do () je v s π , m s 93,9 km h. cos 30 Závěr Rychlost světelné stopy pohybující se v daném okamžiku po břehu je 93,9 km h. 7
28 Příklad výpočet okamžité rychlosti Během otáčení s frekvencí 80 otáček za minutu se rozpadlo kolo setrvačníku. Jeho poloměr je 90 cm a střed se nachází m nad zemí. Jakou rychlost bude mít úlomek označený na obrázku písmenem A při dopadu na zem? Řešení f 80 min 3 s r 90 cm 0,9 m ϕ 5, h m v D? m s A B 5 m h B D Velikost okamžité rychlosti úlomku v bodě A určíme jako obvodovou rychlost: v A ω r πf r π 3 0,9 5 π m s. 7,5 m s. Pohyb úlomku je vrhem šikmým vzhůru pod elevačním úhlem 5. Rozložíme-li rychlost v A na vodorovnou a svislou složku ( v A, v Ay ), pak jejich velikosti jsou stené: v A v Ay v A sin 5 v A cos 5 5 π. 5,33 m s. Na trajektorii v bodě B (ve stejné výšce nad zemí jako bod A) jsou velikosti obou složek v A, v Ay stejné jako v A, ale svislá složka rychlosti míří dolů. Abychom získali velikost svislé složky rychlosti (v Dy ) úlomku při dopadu na zem, vyčíslíme nejprve výškový rozdíl h B : h B h + r sin 5 + 0,9.,636 m. Dále určíme čas dopadu úlomku vyřešením kvadratické rovnice h B v Ay t + g t g t + v Ay t h B 0 t, v A y ± v A y gh B g. 5,33 ± 7,78., t 0,5 s, t < 0 9,8 Pro svislou složku rychlosti úlomku při dopadu na zem platí: v Dy h B dh B d (v Ay t + ) dt dt g t v Ay + g t a po dosazení číselných hodnot je v Dy 5,33 + 9,8 0,5. 7,78 m s. Celková výsledná rychlost úlomku v bodě D je pak vektorový součet v D v Dy + v A a pro její velikost tedy platí: v D v Dy + v A 7,78 + 5,33. 9,3 m s. Závěr: Úlomek dopadne na zem rychlostí 9,3 m s. 8
29 Příklad 3 výpočet okamžitého zrychlení Vlečná nákladní loď je ke břehu přitahována silnými lany, které se navíjejí rychlostí m s. Paluba lodi je o m níže než přístavní molo s navijáky. S jakým zrychlením se pohybuje loď v okamžiku, kdy je její horizontální vzdálenost od přístaviště 8 metrů? Řešení v n m s h m z 0 8 m a z0? m s s v n t h m z 0 8 m Horizontální vzdálenost z je dána vztahem (viz obrázek): z v n t h () Určíme okamžitou rychlost nákladní lodi (. derivace z podle času): ż dz dt d dt v n t h v n t v n t h v n t v n t h Okamžité zrychlení lodi (. derivace z podle času) je z d z d vn t dt dt v n t h v n v n t h v n t v n t v n t h v n t h vn(v n t h ) vn t vn t h v n t vn h vn t vn t h (vn t h ) vn t h v n h (v n t h ) 3 () Ze vztahu () vyjádříme t a vyčíslíme: t z 0 + h v n a dosadíme do (): a z0 z 6 ( 0 6) 3 8 m s 0,5 m s. Závěr V daném okamžiku se loď pohybuje se zrychlením 0,5 m s (pohyb je zpomalený). 9
30 Úlohy z kinematiky Výpočet okamžité rychlosti. Člověk vysoký,7 m se vzdaluje rychlostí 6,3 km h od zdroje světla, který se nachází ve výšce 3 m. Jakou rychlostí se pohybuje stín jeho hlavy?. Žebřík délky 0 m se horním koncem dotýká svislé stěny, dolním koncem je opřen o podlahu. Dolní konec žebříku je uveden do pohybu rychlostí m min směrem od stěny. Jakou rychlost má horní konec žebříku v okamžiku, kdy jeho dolní konec je vzdálen 6 m od stěny? Kam míří vektor rychlosti? 3. Kůň běží po okruhu rychlostí 0 km h. Ve středu okruhu se nachází světelný zdroj a podél tečny k okruhu v bodě, z něhož startuje kůň, je postavena zeď. Jakou rychlostí se pohybuje stín koně po zdi v okamžiku, kdy se kůň nachází v jedné osmině okruhu? Výpočet okamžitého zrychlení. Hmotný bod se pohybuje přímočaře podle vztahu s 3 t3 t+5. Určete zrychlení a na konci. sekundy (s v metrech, t v sekundách). 5. Hmotný bod se pohybuje přímočaře, přičemž s πt sin + s 9 0. Určete zrychlení na konci. sekundy (s v centimetrech, t v sekundách). 6. Těžká kláda délky l 3 m se spouští na zem tak, že její dolní konec je připevněn k vagónku a horní konec opírající se o zeď je připevněn provazem navinutým na kolo rumpálu. Provaz se odvíjí rychlostí m min. Určete zrychlení vagónku v okamžiku, kdy se nachází ve vzdálenosti s 5 m od bodu O (viz obrázek). Výsledky.,63 km h.,5 m min 3. 0 km h. 6 m s 5. π 8 cm s 6. 0,005 m s 30
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceFunkce. Vlastnosti funkcí
FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Více. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.
Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
Vícec) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice
Několik dalších ukázek: Eponenciální rovnice. Řešte v R: a) 5 +. 5 - = 5 - b) 5 9 4 c) 7 + = 5 d) = e) + + = f) 6 4 = g) 4 8.. 9 9 S : a) na každé straně rovnice musí být základ 5, aby se pak základy mohly
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceProseminář z matematiky pro fyziky
Proseminář z matematiky pro fyziky Mgr. Jan Říha, Ph.D. e-mail: riha@prfnw.upol.cz http://www.ictphysics.upol.cz/proseminar/inde.html Katedra eperimentální fyziky Přírodovědecká fakulta UP Olomouc Podmínky
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VícePOŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY
TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceDerivace úvod. Jak zjistit míru změny?
Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%
VíceVZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava
VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,
VíceP ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceKINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika I: Pracovní listy do cvičení
Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceModelové úlohy přijímacího testu z matematiky
PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceCVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017
Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru
Více13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET
. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceOpakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <
8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceFUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE
VíceCVIČNÝ TEST 3. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 3 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jsou dány intervaly A = ( ; 2), B = 1; 3, C = 0;
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceV této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že
.5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceCVIČENÍ Z MATEMATIKY I
Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
Více