KRÁCENÍ A ROZŠIŘOVÁNÍ ZLOMKŮ

Transkript

1 Zlomky Pravidla pro počítání se zlomky ROVNOST ZLOMKŮ právě tehdy, když Příklad: = = KRÁCENÍ A ROZŠIŘOVÁNÍ ZLOMKŮ Zlomek krátíme tak, že jeho čitatel i jmenovatel dělíme týmž číslem různým od nulyjestliže čísla a, b jsou dělitelná číslem m a zároveň je b 0, m 0, pak platí a : m b : m Příklad: a) : = = : : = = : c) : : = = = 0 0 : : Zlomek rozšíříme tak, že jeho čitatele i jmenovatele vynásobíme týmž číslem různým od nuly Platí: a b = a m b m Příklad: a) c), kde b 0, m POROVNÁVÁNÍ ZLOMKŮ PODLE VELIKOSTI a) Se stejnými jmenovateli: je větší ten zlomek, který má většího čitatele, a menší je ten zlomek, který má menšího čitatele Příklad: a) < > S různými jmenovateli: je větší ten, který leží na číselné ose vpravopři porovnávání převedeme zlomky na společného jmenovatele Porovnáváme čitatele rozšířených zlomků Příklad: a) > = = a b

2 < protože >, platí též oba zlomky porovnáme pomocí šipkového pravidla < < < SMÍŠENÁ ČÍSLA Zlomek, který je větší než celek, můžeme vyjádřit smíšeným číslem Jeho zápis je složen z přirozeného čísla a zlomku menšího než celek Příklad:a) c) 0 0 = = = 0 SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ ZLOMKŮ Zlomky se stejným jmenovatelem sečteme tak, že sečteme čitatele a jmenovatel se nemění Součet je vždy vyjádřen zlomkem v základním tvaru Jeli součet zlomků nepravý zlomek ( zlomek větší než celek ), vyjádříme součet číslem smíšeným > Příklad: a) Zlomky s různým jmenovatelem sečteme tak, že je nejdříve převedeme na společného jmenovatele (nejmenší společný násobek) a pak je sečteme jako zlomky se stejným jmenovatelem a c a d b c, kde b 0, d 0 b d b d a c a c Při odčítání zlomků, platí stejná pravidla jako při sčítání zlomků, b d b d a c a d b c =, kde b 0, d 0 b d b d Příklad: a) = =

3 c) Příklad: a) c) 0 = = NÁSOBENÍ ZLOMKŮ Zlomky násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem Před násobením krátíme (vždy čitatele proti jmenovateli buď pod sebou kolmo, nebo křížem) Součin je opět vždy zlomek v základním tvaru nebo číslo smíšené, kde Příklad: a) DĚLENÍ ZLOMKŮ Násobíme převráceným číslem Převrácené číslo k číslu a je, k číslu je a, k číslu je, kde, kde Příklad: a) : = : : = c) : = ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA Jestliže chceme zlomek zapsat desetinným číslem, dělíme čitatele zlomku jmenovatelem zlomku Mohou nastat dva případy: Dělení je ukončené ( zbytek je nula) Dělení není ukončené a za desetinnou čárkou se opakuje stejná číslice nebo stejná skupina číslic Tuto číslici nebo skupinu číslic nazýváme perioda Nad periodou píšeme vodorovnou čáru

4 Příklad: a) c) d) e) = : = 0, = : = 0, = = = , : =, =, = : = 0, = 0, UŽITEČNÉ VĚTY ZLOMEK SE JMENOVATELEM NULA NEMÁ SMYSL (Celek nelze dělit na nula dílů) Zlomek je kladný, máli čitatel i jmenovatel stejné znaménko Zlomek je záporný, máli čitatel a jmenovatel různé znaménko Záporné znaménko připisujeme před zlomkovou čáru nebo k čitateli či jmenovateli Každé celé číslo můžeme napsat jako zlomek se jmenovatelem Zlomek, který má stejného čitatele a jmenovatele, je roven

5 ZLOMKY Krácení a rozšiřování zlomků Rozšiřte zlomky: a) číslem : číslem : c) číslem : Zapište jako zlomky: a) se jmenovatelem : se jmenovatelem : c) se jmenovatelem : Zkraťte zlomky na základní tvar: a) c) Kolik centimetrů je: 0 0 Ověřte, zda platí rovnost: a) = = 0 0 c) = 0 0 d) metru? Kolik metrů je: 0 kilometru? Kolik gramů je: 0 kilogramu? Vyjádřete v jednotkách uvedených v závorce: t ( q ) hl ( l ) hod ( min ) m ( mm ) min ( s ) kg ( g ) kg ( g ) q (kg ) 0 0 Doplňte čitatele nebo jmenovatele zlomku tak, aby platila rovnost: a) = = = = = = = 0 00 = e) 0 = 0

6 = = = 0 Uveďte zlomky na základní tvar: 0 a) = = 0 0 = 00 = Porovnávání zlomků podle velikosti Pomocí znaků rovnosti nebo nerovnosti zapište, které zlomky jsou menší než, větší než nebo rovny : Porovnejte podle velikosti dvojice zlomků: a a Které z čísel,, a, Seřaďte zlomky podle velikosti: a) a a vyhovuje nerovnici x 0 0 c) Jedna dílna splnila svůj plán na, druhá na Která dílna zvítězila? 0 Tři podniky dostaly dohromady Kč na odměny zaměstnanců Částku si rozdělily tak, že první dostal, druhý a třetí Maminka dala na misku 0 třešní Honza snědl a? a a 0 a 0 Určete, který podnik dostal největší a který nejmenší částku, Mirek 0 a Eva 0 třešní na misce Vypočítejte: a) kdo snědl nejvíce třešní kolik třešní snědl každý c) kolik třešní zbylo na misce? Milan, Jana a Petr dostali na konci školního roku stejnou knížku Na konci prázdnin měl Milan přečtenou, Jana a Petr knížky Kdo z nich přečetl největší část knížky a kdo nejmenší? Žáci soutěžili v česání jablek Z celkového množství 00 kg jablek načesali žáci A B, žáci C a žáci D Která třída načesala nejvíce a která nejméně jablek? 0 Zápis zlomků desetinnými čísly Zlomky upravte na desetinné zlomky a potom převeďte na desetinná čísla:, žáci

7 Zapište zlomky jako desetinné číslo: a) Zlomky vyjádřete desetinnými čísly a) s přesností na setiny: s přesností na tisíciny: Napište jako desetinné číslo, určete periodu: a) Zapište jako zlomek v základním tvaru: a) 0, 0,,,0,0,,,00 0,,, 0,000 Smíšená čísla Které ze zlomků je možné vyjádřit smíšenými čísly: 0 Převeďte dané zlomky na smíšená čísla: 0 Smíšená čísla vyjádřete zlomkem: Porovnejte: a a a a a 0 Kolik hodin a minut je: min min 0min 000min min Kolik arů je: ha a ha a 0 m ha 0 a ha a Sčítání a odčítání zlomků Sečtěte: a)

8 c) Sečtěte: a) Sečtěte smíšené zlomky: a) c) Sečtěte: a) Sečtěte: a) c) Odečtěte: a) c) Odečtěte: a) 0 c) c) 0 0 d)

9 Odečtěte: a) 0 c) Odečtěte: a) 0 0 Odečtěte: a) 0 0 c) 00 0 Přepravka s broskvemi má hmotnost hmotnost mají broskve kg, přepravka má hmotnost jen, kg Jakou V padesátilitrovém barelu zůstalo jen málo nafty Postupně se do něj přilévala nafta a to: l 0 l 0 l a tím byl barel naplněn Kolik litrů nafty bylo na začátku v barelu Obvod trojúhelníku je dm Délky dvou stran jsou strany trojúhelníku O kolik je součet čísel a větší než jejich rozdíl? dm a dm Určete délku třetí Ve dvacetilitrové plechovce je litru benzínu Kolik litrů benzínu se do ní ještě vejde? Které číslo je: a) o větší než číslo 0 o menší než číslo? V jedné konvi bylo l mléka, v druhé bylo o l mléka méně než v první, ve třetí bylo tolik jako v prvé a druhé dohromady Kolik litrů mléka bylo ve všech třech konvích? Dětské hřiště má tvar obdélníku Jeho délka je 0 obvod hřiště? Oč je součet čísel a větší než jejich rozdíl? m, šířka je o m kratší Jak velký je 0 Z kusu plátna 0 m dlouhého odstřihli nejprve dvakrát po m, potom ještě m Kolik metrů plátna v kusu zbylo?

10 Vypočítejte: a) 0, 0 0, 0 c) 0 Vypočítejte: a) c) Vypočítejte: a) c) d) 0 Vypočítejte: a) c) d) e) f) 0 g) Potápěč byl třikrát pod vodou: hodiny, hodiny, 0 celkem pod vodou? Maminka koupila sýra Jakou hmotnost měl celý nákup? Z látky dlouhé látky ještě zůstalo? kg cukru,, kg chleba, m bylo odstřiženo jednou hodiny Kolik hodin a minut byl kg mouky, kg krupice m, podruhé 0 m, potřetí kg masa a m Kolik metrů kg

11 Jeden balík má hmotnost kg, sedmý 0 kg, druhý kg, třetí kg, čtvrtý kg Jakou hmotnost mají všechny balíky dohromady? kg, pátý Ohrada má tvar obdélníku a má být oplocena pletivem Šířka ohrady je o m delší Kolik metrů pletiva je třeba k oplocení? (Branka se nepočítá) 0 Jeden litr petroleje má hmotnost kg, benzín je o kg, šestý m, délka ohrady je kg lehčí Jakou hmotnost má benzín? Kolik hodin chybí do osmihodinové pracovní doby, jestliže od jejího začátku uběhly hodiny? Součet dvou sčítanců je Suchá cihla má hmotnost hmotnost cihly větší? Vypočítejte: a) 0 c) Vypočítejte: a) c) d) 0 Vypočítejte: a) 0, c) 0, d) Násobení zlomků Vynásobte:, jeden sčítanec je 0 Určete druhého sčítance? kg, mokrá po dešti má hmotnost 0, d), 0 kg O kolik kilogramů je

12 a) c) 0 0 Vynásobte: a) Vynásobte: a) 0 0 c) Vynásobte: a) c) Vynásobte: a) c) 0 0 Vynásobte: a) c) Vynásobte:

13 a) c) d) ze z ze z ze ze z z z 0 z z ze z 0 z z z 0 z z z 0 ze ze 0 Vypočítejte: a) 00 c) d) 00 e) Vypočítejte: a) c) 0 d) 0 0 Obdélníková zahrada má rozměry m a z z z z z z ze m Vypočítejte její obvod Čtvercová zahrada má rozměr stran m Vypočítejte její obvod i obsah Sečtěte pětinásobek čísla, čtyřnásobek čísla a číslo sedmkrát větší než Vypočítej trojnásobek rozdílu čísel a Vypočítejte i dvojnásobek součtu obou čísel Do prázdného hektolitrového sudu bylo nalito věder po litru vody Kolik litrů vody bylo v sudu? Kolik litrů chybí do naplnění celého barelu?

14 Kolik korun se zaplatí za obdélníkovou parcelu s rozměry 0 jestliže se za m² zaplatí Stroj byl v chodu po dobu Dělení zlomků 0 Kč? Napište čísla převrácená k číslům: a) 0 0 m dlouhou a m širokou, osmihodinové pracovní doby Jak dlouho byl stroj v chodu? 0 c) Vydělte: a) : : 0 : 0 : : 0 : 0 : : 0 0 : : : 0 : Vydělte: 0 a) : : : : : : : : : : : : Vypočítejte: 0 a) : : : : : 0 : : : : : : Vypočítejte: a) : 0 : : : : 0 00 : : : : : 0 0 Vypočítejte a výsledek uveďte v základním tvaru: a) : : : : : : c) : : : : Vypočítejte: 0 : : :

15 a) : Vypočítejte: a) 0 : 0 : : 0 c) 00 c) 0 : : : Složený zlomek Upravte na zlomek v základním tvaru: a) Upravte na zlomek v základním tvaru: a) 0 Upravte na zlomek v základním tvaru: a) 0 0 Upravte na zlomek v základním tvaru: a) Vypočítejte a zjednodušte: 0, a) Vypočítejte a zjednodušte: a) 0, : Vypočítejte a zjednodušte:, c) d) 0 :

16 a) 0, Vypočítejte a zjednodušte: a) : : : : : : Složitější početní výkony se zlomky c) 0 : 0 Vypočítejte: a) 0 00 c) 0 d) e) : Vypočítejte: a) : 0 : c) 0 00 d) : : 0 0 e) : f) Vypočítejte: a) 0 : c) d) : 0 0 : 0

17 : c) : d) : : e) : f) : : Výsledky: Krácení zlomků: a),,,,,,,,,, c),,,,, a) ,,,,,,,,,,,,,, c),,, 0 0 0,,,, a),,,,,,,,,,,,,, c),,,,,,, 0,, 0, 0,,, 0, cm a) ne ne c) ano d) ano e) ne 00,, 00, 0, 0, 0, 00,, m 00, 0, 0, 00, 00, 0, 0, 00, 0, g q, l, min, 0 mm, s, 00 g, 00 g, q a),,,,, 0,,,, 0,,, 0 a),,,,,,,,,,,, Porovnávání zlomků podle velikosti: 0 0,,,,,,,, a),,,,,,, ,,,,,,, c),,,,,,, první druhý Kč třetí Kč a) M H 0, M, E c) Jana Petr C 0 kg D 0 kg Zápis zlomků desetinnými čísly: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, 0, 0, a) 0, 0, 0,00 0, 0,000 0,00, 0,00 0, 0,0,, 0, 0, 0,,, 0,, 0, a) 0, 0, 0,,, 0, 0,, 0,, a) 0,,,,,, 0,, 0,, a),,, ,,,,,,, Smíšená čísla: 0,,,,,,,,,,,,, 0,,,,,,

18 ,,,,, Sčítání a odčítání zlomků:,0, arů 0 a),,,,,,,,, c),,,,,, a) c) a),,0,,,,,, 0,, c), a), 0 0,,,,, a),,,,,,,,, c),,, 0 0 a),,,,,,,,,, c) ,,,,, a),,,,,,,,,, c),,, ,, d),,, a),,,,,,,,,, c),,,,, a) c) 0 a),,,,, kg l dm o l a) 0 l 00 m 0 m a),,,, c) a) c) 0 a) 0 hod min 0 d) c) kg a) 0 0,, 0 d) 0 kg Násobení zlomků: 0 a) c) 0 m d) 0 a) c) kg d) 0 m 0 c) e) f) kg g) 0 d) 0 a), hod 0 a),,,,,,,,,,,,0 c),,,,,, a),,,,,,,,,,0,,, a),,,,,, 0,,0,,,, c),,, 0,,, a),,,,,,,,,,,, c), ,,,,, a),,,, c),, a), 0, 00 c)

19 ,,,, c),,0, a),,,,, 00 0,,,,, c),,, 0,, d),,,,,, a) 0 c), 0 d) m²,, Dělení zlomků: e), a) l, c), l 0 0 d) Kč hod,, 0, m m a),,,,,,,,, a),,,,,,, 0 a),,,,,,,,,, a), 0,,,,, 0 0,,,, a),,,, c),, a) c) a), c) 0 Složený zlomek: a),,,, a),,,, a),,,, 0 0 a),,,,,,,,,,, a),, a) c) d) a) c) d) a) c) Složitější početní výkony se zlomky: a) 00 0 c) 0 c) d) 0 e) d) f) e) a) 0 c) 0 d) 0 e),, f) a)

20 Shodnost, středová souměrnost, útvary středově souměrné (posunutí rozšiřující učivo) Středová souměrnost Je určena středem souměrnosti Střed souměrnosti je samodružný bod to je bod, který se zobrazí sám v sebe Obvykle se značí S Zápis: Čteme: obrazem bodu A ve středové souměrnosti je bod Konstrukce obrazu bodu v dané středové souměrnosti: Sestrojíme polopřímku Kružítkem přeneseme vzdálenost bodu A od středu S na polopřímku opačnou k polopřímce Dostaneme bod Platí PŘÍKLADY: Které z následujících útvarů jsou středově souměrné: a) úsečka, polopřímka, c) obdélník, d) kruh V rovině zvolte dva různé body C a S Sestrojte obraz C bodu C ve středové souměrnosti se středem S Zapište, že body C a C jsou souměrně sdružené podle bodu S Narýsujte osu a vyznač na ní bod S tak, že má obraz na čísle Vyznačte alespoň tři dvojice bodů souměrně sdružených podle bodu S Vypiš dvojice čísel, které mají obrazy v těchto bodech Zvolte body A, B, C, D a SSestrojte obrazy bodů A, B, C, D ve středové souměrnosti se středem S Narýsuj přímku p a vyznač na ní tři různé body K, L, M tak, aby bod L ležel mezi body K a M Sestrojte obraz úsečky KL ve středové souměrnosti se středem M Sestrojte obraz polopřímky XY ve středové souměrnosti se středem S, jestliže a) X=S, Y=S, c) S YX Sestrojte obraz dané úsečky ve středové souměrnosti s daným středem S jestliže a) bod S na této úsečce neleží, bod S je jejím krajním bodem, c) bod S je jejím vnitřním bodem

21 Sestrojte obraz úsečky AB = cm ve středové souměrnosti se středem S, jestliže a) S AB, AS = cm, S AB, c) S AB Označme m obraz přímky m ve středové souměrnosti se středem O Kdy platí m = m? 0 Narýsujte polopřímku PX Sestrojte její obraz ve středové souměrnosti se středem O Polohu bodu O volte tak, aby a) splynul s počátečním bodem polopřímky PX, byl vnitřním bodem polopřímky PX, c) byl vnitřním bodem polopřímky opačné k PX Sestrojte obraz úhlu ve středové souměrnosti se středem S, jestliže a) S leží ve vrcholu úhlu, S leží na jednom rameni úhlu, c) S leží vně úhlu Narýsuj úhel AVB o velikosti 0 0 Sestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem a) V, A, c) B Sestrojte obraz úhlu = 00 0 v souměrnosti se středem S, jestliže bod S leží mimo úhel alfa Je dán trojúhelník ABC, v němž c = cm, = 0 0, = 0 0 Sestrojte obraz A B C trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem S, který a) je těžištěm trojúhelníku ABC, leží na přímce AB vně trojúhelníku ABC Je dán trojúhelník ABC a) ostroúhlý, pravoúhlý, c) tupoúhlý Sestrojte obraz A B C trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti se středem V, kde V je průsečík výšek trojúhelníku ABC Narýsujte libovolný trojúhelník ABC Sestrojte trojúhelník A B C, který je obrazem trojúhelníku ABC ve středové souměrnosti: a) se středem v bodě S, který je střed strany AC ve kterém je obrazem bodu A bod B Narýsujte kružnici k ( S, cm ) Sestrojte obraz kružnice k ve středové souměrnosti se středem O Bod O volte tak, aby a) SO =, cm, SO =, cm, c) O = S, d) SO = 0 mm Jsou dány dvě kolmé přímky k a l Sestrojte jejich obrazy ve středové souměrnosti se středem S, jestliže a) S leží na průsečíku přímek k a l, S leží na přímce k, c) S leží na přímce l Narýsujte čtverec ABCD o straně délky cm Na straně CD vyznačte bod X tak, aby DX = cm Sestrojte obraz čtverce ABCD ve středové souměrnosti se středem X 0 Narýsujte čtverec ABCD o straně délky cm a vyznačte jeho střed souměrnosti S Sestrojte kružnici k ( S cm ) Sestrojte obraz kružnice k a čtverce ABCD ve středové souměrnosti se středem B Narýsujte obdélník KLMN, jestliže strana k =, cm a strana l = cmsestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem X tak, aby X KLMN Sestrojte obraz kruhu K ( O r ) ve středové souměrnosti se středem S, jestliže a) O = S, S leží na kružnici, která tento kruh ohraničuje, c) S leží uvnitř kruhu, d) S leží vně kruhu V pravoúhlé soustavě souřadnic vyznačte body A, B, S Sestrojte následující body a určete jejich souřadnice: a) A, B, které jsou obrazy bodů A, B ve středové souměrnosti se středem S S, který je obrazem bodu S v osové souměrnosti s osou AB c) A, který je obrazem bodu A ve středové souměrnosti se středem S určeným v úloze Narýsujte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se stranou délky cm Sestrojte jeho obraz ve středové souměrnosti se středem A Kolik středů a kolik os souměrnosti mají následující útvary: a) kosočtverec rovnostranný trojúhelník c) rovnoramenný trojúhelník d) rovnoramenný lichoběžník e) dvě rovnoběžky f) dvě navzájem kolmé přímky g) dvě různoběžky, které svírají úhel 0 0

22 Posunutí Je určeno orientovanou úsečkou Orientace úsečky určuje směr posunutí, délka úsečky je délka posunutí Posunutí nemá samodružné body Zápis: Čteme: obrazem bodu A v posunutí daném orientovanou úsečkou je bod Konstrukce obrazu bodu v posunutí daném orientovanou úsečkou XX : Bodem A narýsujeme rovnoběžku s úsečkou a kružítkem přeneseme délku úsečky na připravenou rovnoběžku ve směru posunutí PŘÍKLADY: Jsou dány tři různé body A, B, C, které neleží v přímce V posunutí určeném orientovanou úsečkou AB sestrojte obraz a) úsečky AC, bodu C, c) přímky BC, d) přímky AB Narýsujte kosočtverec ABCD a sestrojte jeho obraz A B C D v posunutí určeném orientovanou úsečkou a) AC, CA, d) DB Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC a jeho těžiště T Sestrojte obrazy tohoto trojúhelníku v posunutí určeném orientovanou úsečkou TC Sestrojte kosodélník ABCD a jeho výšky DD,D D ( D volte na přímce AB, D na přímce BC ) Potom sestrojte a) obraz A B C D kosodélníku ABCD v posunutí určeném orientovanou úsečkou DD obraz A B C D kosodélníku ABCD v posunutí určeném orientovanou úsečkou DD Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF a jeho obraz A B C D E F v posunutí určeném orientovanou úsečkou SD S je střed souměrnosti šestiúhelníku ABCDEF Jaký útvar vznikne sjednocením šestiúhelníku ABCDEF a šestiúhelníku A B C D E F? Sestrojte trojúhelník ABC ( a = cm, b =, cm, c = cm ) a kružnici k ( K, cm ) tak, aby bod A byl středem úsečky CK Dále sestrojte obraz k kružnice k v posunutí určeném orientovanou úsečkou AB a obraz k kružnice k v posunutí určeném orientovanou úsečkou BC Co je obrazem kružnice k v posunutí určeném orientovanou úsečkou AC?

23 Sestrojte libovolný obdélník ABCD Určete posunutí, v němž průnik vzoru ABCD a jeho obrazu A B C D v tomto posunutí bude obdélník, jehož obsah se bude rovnat jedné čtvrtině obsahu obdélníku ABCD Směr posunutí volte rovnoběžný s přímkou a) AB, AC, c) AD Sestrojte libovolný obdélník ABCD Sestrojte jeho obraz v posunutí, ve kterém je obrazem bodu A střed S obdélníku ABCD Sestrojte kosodélník KLMN ( k = cm, l = cm, úhel při vrcholu K je 0 ) Sestrojte jeho obraz v posunutí, které je dáno orientovanou úsečkou SS, kde S je střed strany MN, S je střed strany LM 0 Je dán obdélník KLNM ( k =, cm, l =, cm ) Sestrojte jeho obraz K L M N v posunutí daném orientovanou úsečkou KM Dále sestrojte obraz K L M N obdélníku K L M N v osové souměrnosti s osou o, o = KL Trojúhelník Trojúhelníkem se obecně rozumí geometrický útvar, který tvoří taková množina bodů v rovině (obr ), která vznikne průnikem tří různých polorovin, které jsou zadány hraniční přímkou a jedním vnitřním bodem, v našem případě jsou to poloroviny ABC, BCA, ACB obr Body A,B,C nazýváme vrcholy Úsečky AB, BC, CA nazýváme strany, označujeme je též (po řadě) c, a, b Úhly CAB, ABC, BCA nazýváme vnitřní úhly, označujeme je též,, Při zápisech, zakreslování náčrtků je nutné mít vždy na paměti, že se obecně dodržují tato pravidla: Strana a = BC leží proti vrcholu A Úhel leží u vrcholu A Označení stran (respektive úhlů) značí také jejich délku (respektive velikost) TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST: Tři úsečky a, b, c, jsou stranami trojúhelníku, když pro ně platí: a b > c a c > b b c > a Tuto vlastnost trojúhelníku, že součet délek dvou stran je větší než délka strany třetí, nazýváme trojúhelníková nerovnost Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových ručiček Proti vrcholu leží stejnojmenná strana Úhly sevřené dvěma stranami trojúhelníku jsou vnitřní úhly trojúhelníku

24 Ke každému vnitřnímu úhlu trojúhelníku existuje dvojice úhlů vedlejších, kterým se říká vnější úhly trojúhelníku Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 0 Součet vnějších úhlů v trojúhelníku je 0 Proti většímu vnitřnímu úhlu trojúhelníku leží větší strana trojúhelníku, proti shodným vnitřním úhlům trojúhelníku leží shodné strany trojúhelníku Úhly,, jsou vedlejší úhly k vnitřním úhlům,, a nazývají se vnější úhly tohoto A protože vnitřní a vnější úhel u jednoho vrcholu trojúhelníku tvoří dvojici vedlejších úhlů, je jejich součet roven 0 Rozdělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů : a) Ostroúhlý trojúhelník Všechny tři vnitřní úhly jsou ostré (tj jejich velikost je menší než 0 ) Výšky, těžnice, osy stran i osy úhlů se protínají ve vnitřních bodech trojúhelníku Pravoúhlý trojúhelník Má právě jeden vnitřní úhel je pravý (tj jeho velikost je 0 ) Strana proti pravému úhlu se nazývá přepona, zbývající dvě jsou odvěsny Průsečík výšek je vrchol pravého úhlu Středem kružnice opsané je střed přepony Kružnice opsaná pravoúhlému trojúhelníku je Thaletova kružnice V každém pravoúhlém trojúhelníku platí: součet obsahů čtverců nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu čtverce nad přeponou Pythagorova věta c) Tupoúhlý trojúhelník Má právě jeden vnitřní úhel je tupý (tj jeho velikost je větší než 0 ) Zbývající vnitřní úhly jsou ostré Proti tupému úhlu leží nejdelší strana trojúhelníku Výšky tupoúhlého trojúhelníku a osy jeho stran se protínají v bodech vně trojúhelníku

25 Úsečky v trojúhelníku: a) Střední příčka trojúhelníku je úsečka, jejíž krajní body jsou středy dvou stran trojúhelníku Je rovnoběžná s jeho třetí stranou a její délka je rovna polovině délky této strany (obr ) Každý trojúhelník má tedy tři střední příčky AB AB AB = AB Totéž platí pro BC i CA obr Těžnice trojúhelníku je úsečka spojující vrchol trojúhelníku se středem protilehlé strany (například těžnici z vrcholu C vedenou ke středu strany c nazýváme těžnice na stranu cé a zapisujeme ) Každý trojúhelník má tři těžnice, které se protínají v jediném bodě T Tento bod nazýváme těžiště trojúhelníku Těžiště dělí těžnici na dvě části, a to tak, že delší část obsahuje vrchol a je dvakrát delší než kratší část (obr )

26 AT = ta TA = ta obr Totéž platí pro tb i tc c) Výška trojúhelníku je úsečku (nebo její délka), která spojuje vrchol trojúhelníku s patou kolmice vedené z tohoto vrcholu k přímce, na které leží protější strana Každý trojúhelník má tři výšky Přímky, na kterých tyto výšky leží, se protínají v jediném bodě V, který se nazývá průsečík výšek Jeho poloha vzhledem k trojúhelníku závisí na druhu trojúhelníku: v pravoúhlém trojúhelníku splývá bod V s vrcholem u pravého úhlu (obr ) v ostroúhlém trojúhelníku je bod V jeho vnitřním bodem (obr ) v tupoúhlém trojúhelníku leží bod V mimo trojúhelník (obr ) obr

27 obr Trojúhelník a kružnice: Kružnice opsaná trojúhelníku obr Kružnice, na níž leží všechny tři vrcholy trojúhelníku, se nazývá kružnice opsaná tomuto trojúhelníkukaždému trojúhelníku lze opsat jedinou kružnici Její střed je průsečíkem os stran trojúhelníku Její poloměr je roven vzdálenosti středu od libovolného vrcholu trojúhelníku (obr )

28 obr Kružnice trojúhelníku vepsaná Kružnice, která se dotýká všech tří stran trojúhelníku, se nazývá kružnice vepsaná tomuto trojúhelníkukaždému trojúhelníku lze vepsat jedinou kružnici Její střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku Její poloměr je roven vzdálenosti jejího středu od libovolné strany trojúhelníku (obr0)

29 obr0 Rozdělení trojúhelníků podle velikosti stran: Rovnoramenný trojúhelník Má dvě strany shodné (ty nazýváme ramena, zbývající stranu nazýváme základna) Ramena svírají tzv úhel při hlavním vrcholu Úhly při základně jsou shodné Výška na základnu je totožná (splývá) s těžnicí na základnu Je osově souměrný, osa souměrnosti leží na stejné přímce jako výška a těžnice vedené k základně, půlí základnu a úhel při hlavním vrcholu Rovnostranný trojúhelník Má všechny tři strany shodné Má všechny tři vnitřní úhly shodné, jejich velikost je 0 Všechny výšky jsou totožné s těžnicemi, osami stran, osami úhlů i osami souměrnosti rovnostranného trojúhelníku

30 Jeho těžiště je zároveň středem kružnice jemu opsané i vepsané Různostranný trojúhelník Strany v trojúhelníku mají různé velikosti Shodnost trojúhelníků: Každé dva trojúhelníky jsou shodné, shodujíli se: a) ve všech třech stranách věta sss ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném sus c) ve straně a dvou úhlech k ní přilehlých usu Zápis: ABC A B C čteme trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem A B C Konstrukce trojúhelníku podle vět sss, sus, usu Konstrukce trojúhelníku podle věty sss: Rozbor: Nejdříve ověříme, zda tři úsečky mohou být stranami trojúhelníku Musí platit: a b > c a c > b b c > a Jsouli tyto podmínky splněny provedeme náčrtek Známe: c=ab a hledáme C C k k Popis konstrukce: c c = AB k k ( A,b ) k k ( B,a ) C C k k trojúhelník ABC Konstrukce: provádí se pouze v jedné rovině Závěr: Úloha má jedno řešení Konstrukce trojúhelníku podle věty sus: Rozbor: Ověříme zda platí, že úhel dvěma stranami sevřený je menší než 0 < CAB < 0 Provedeme náčrtek Známe: c = AB, hledáme: C C AX k

31 Popis konstrukce: c c = AB < XAB < XAB = k k ( A,b ) C C AX k trojúhelník ABC Konstrukce: provádí se v jedné polorovině Závěr: Úloha má jedno řešení Konstrukce trojúhelníku podle věty usu: Rozbor: Nejdříve ověříme, že součet přilehlých úhlů ke straně je menší než 0 < CAB < ABC < 0 Provedeme náčrtek Známe c = AB Hledáme: C C AX BY Popis konstrukce: c c = AB < BAX < BAX = < ABY < ABY = C C AX trojúhelník ABC BY Konstrukce: provádí se v jedné rovině Závěr: Úloha má jedno řešení

32 Konstrukce trojúhelníku podle vět sss, sus, usu: Víme, že platí : a) KLM XYZ Zapiš všechny dvojice k sobě příslušných vrcholů KLM XYZ Zapiš všechny dvojice k sobě příslušných stran c) KLM XYZ Zapiš všechny dvojice k sobě příslušných úhlů Sestrojte trojúhelník ABC, jeli a= cm, b= cm, c= cm Proveď rozbor, konstrukci a zkoušku Sestrojte trojúhelník ABC, jeli a= cm, b= cm, = Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Sestrojte trojúhelník ABC, jeli a= cm, ß=0, =0 Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, b= cm, c= cm Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, b= cm, c= cm Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, b= cm, c= cm Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, c=, cm, ß= Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a=, cm, b=, cm, = 0' Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku 0 Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, = Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli b=, cm, =, =0 Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli c=, cm, = Proveď rozbor, konstrukci a zkoušku Rozhodněte, zda je možno sestrojit trojúhelník ABC Jestliže ano, sestrojte, jeli a= cm, =0, b= cm Proveďte rozbor, konstrukci a zkoušku Zvolte úsečku MN a označte S její střed Uvnitř poloroviny s hraniční přímkou MN zvolte bod C tak, aby platilo MSC NSC Podle které věty o shodnosti trojúhelníků budete postupovat? O trojúhelnících ABC a DEF platí: ABC DEF Obvod trojúhelníku ABC je 0 cm, strana b= cm a strana c=, cm Určete délku všech stran trojúhelníku DEF O trojúhelnících ABC a DEF platí: ABC DEF Vypočítejte velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli úhel DEF= ', úhel EDF= ' Je dán obdélník ABCD (AB>BC), jehož úhlopříčky se protínají v bodě S Vypište všechny dvojice shodných ostroúhlých trojúhelníků Je dán obdélník ABCD (AB>BC), jehož úhlopříčky se protínají v bodě S Vypište všechny dvojice shodných tupoúhlých trojúhelníků Je dán obdélník ABCD (AB>BC), jehož úhlopříčky se protínají v bodě S Vypište všechny dvojice shodných pravoúhlých trojúhelníků 0 Sestrojte trojúhelník ABC, víteli, že jeden jeho vnitřní úhel je pravý a zároveň platí, že nejdelší strana c=, cm, ß=0 Sestrojte trojúhelník ABC, víteli, že jeden jeho vnitřní úhel je pravý a zároveň platí, že AC, BC jsou odvěsny,delší odvěsna BC= cm, ß= Platí: DEF MNP a) která strana trojúhelníku DEF je shodná s úsečkou NP, která strana trojúhelníku DEF je shodná s úsečkou MN, c) který úhel trojúhelníku DEF je shodný s úhlem MPN, ß=, =0,

33 d) který úhel trojúhelníku DEF je shodný s úhlem PMN? Platí: ABC který úhel trojúhelníku ABC je shodná s úhlem MLK, c) která strana trojúhelníku KLM je shodná s úsečkou AC? Platí: EFG E'F'G' a) zapiš dvojice k sobě příslušných vrcholů trojúhelníků, zapiš dvojice k sobě příslušných stran trojúhelníků, c) zapiš dvojice k sobě příslušných úhlů trojúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC, jeli dáno : a) b= mm, c= mm, = a= mm, c= mm, =0 c) b=c= mm, =0 d) a= mm, ß=, = Sestrojte trojúhelník ABC, jeli dáno: a) b= mm, =, ß= a= mm, b= mm, = c) a= mm, = Je dána libovolná úsečka AB Narýsuj přímku p, která je osou úsečky AB Označte S střed úsečky AB Na přímce p zvolte bod X různý od bodu S Rozhodněte podle které věty o shodnosti trojúhelníků platí, že AXS BXS Je dán rovnoběžník ABCD, jehož žádný vnitřní úhel není pravý Vyznačte bod S, který je středem souměrnosti tohoto rovnoběžníku Určete trojúhelník s vrcholy z množiny {A, B, C, D, S} shodný s trojúhelníkem ASB Je dán rovnoběžník ABCD, jehož žádný vnitřní úhel není pravý Vyznačte bod S, který je středem souměrnosti tohoto rovnoběžníku Určete trojúhelník s vrcholy z množiny {A, B, C, D, S} shodný s trojúhelníkem ABD 0 Rozhodněte, zda existuje uvnitř rovnostranného trojúhelníku ABC takový bod D, pro který platí: AD=BD=CD Jestli že existuje, kterými konstrukčními postupy lze bod D určit? Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC a nad každou jeho stranou čtverec ABAB, ACCA, BCBC Dvojice vrcholů sousedních čtverců AA, BB, CC jsou spojeny úsečkami Jaké jsou trojúhelníky AAA, BBB, CCC? Zdůvodněte Bod E je středem strany AB a bod F středem strany CD čtverce ABCD Body G, H jsou průsečíky úhlopříček AC s úsečkami ED, BF Narýsujte Vypište dvojice navzájem shodných trojúhelníků Bod E je středem strany AB a bod F středem strany CD čtverce ABCD Body G, H jsou průsečíky úhlopříček AC s úsečkami ED, BF Narýsujte Vypište dvojice navzájem shodných čtyřúhelníků Bod E je středem strany AB a bod F středem strany CD čtverce ABCD Body G, H jsou průsečíky úhlopříček AC s úsečkami ED, BF Narýsujte Vypište dvojice navzájem shodných pětiúhelníků Sestrojte trojúhelník ABC, jeli dáno: a) a=b= cm, = 0 c=, cm, = 0, = c) b=, cm, = = d) =, b= cm, = 0 Rozhodněte, jeli možné, aby strany a, b, c a obvod trojúhelníku ABC měly tyto délky: a) a= cm, b=0 mm,o= cm a= cm, b=0 cm, o= m KLM a) který úhel trojúhelníku KLM je shodný s úhlem ACB, =00,

34 c) b= mm, c=, cm, o=, cm d) a=, cm, b=, cm, o=, cm Sestrojte trojúhelník KLM, jeli: a) m= mm, < MKL = 0, < KLM = 0 k= cm, l= cm, < LMK = c) l= mm, <KLM =, <LMK = d) m= cm, <MKL = <LMK = Sestrojte bez použití úhloměru trojúhelník ABC, jeli a= cm, =, = 0 Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jeli: a) a= cm, b= mm a= mm, = 0 c) a=b= mm d) b= mm, = 0 Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB: a) c= cm, a= mm c= cm, = c) c= cm, =0 d) b= cm, =0 Sestrojte rovnoramenný trojúhelník, jeli: a) obvod o = cm, délka základny z = cm obvod o = cm, délka ramene r =, cm Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC, jeli: a) strana a má délku, cm jehož obvod je, cm c) jehož obvod se rovná obvodu trojúhelníku s délkami stran mm,, cm a 0, dm Narýsujte trojúhelník ABC a sestrojte kružnici tomuto trojúhelníku opsanou Sledujte polohu středu kružnice opsané a) c=, cm, = 0, = b=, cm, = 0, = 0 c) c=, cm, b= cm, = 0 Narýsujte trojúhelník KLM a sestrojte kružnici tomuto trojúhelníku vepsenou: a) m=, cm, l= cm, <MKL = l= cm, <KML =, <MKL = 0 c) k=, cm, <MKL = <KLM = 0 Zvolte tři různé body M, N, O, které neleží v jedné přímce Sestrojte kružnici, která prochází všemi třemi body Narýsujte tři navzájem různoběžné přímky, které se protínají v bodech D, E, F Sestrojte kružnici, která se dotýká všech přímek Sestrojte trojúhelník ABC, jeli poloměr kružnice opsané r = mm a a) AB = mm, BC = cm c=, cm, = 0 Výsledky: Konstrukce trojúhelníku podle vět sss, sus, usu

35 ano ne ano ano ne 0 ano ne ano ano sss a =, cm ` 0 = 0 a) EF DE c) < DFE d) < FDE a) < KML < CBA c) KM sus DSC CDB 0 opsaná kružnice shodné podle věty sss a) ano, c = cm ano, c = cm c) ano, a =, cm d) ano, c =, cm 0 a) b = mm = c) =, = d) a = cm, = 0, = 0 r = cm z = cm a =, cm c) a =, cm

36 Celá čísla Celými čísly vyjadřujeme změny stavu hladin řek, změny teplot vzduchu, změny výše konta v bance apod K obrazu každého přirozeného čísla na číselné ose existuje obraz souměrný podle obrazu čísla nula Říkáme, že ke každému přirozenému číslu přiřazujeme číslo opačné a, a, 0 a 0 jsou čísla navzájem opačná Celá čísla jsou čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula Celá čísla se značí Z Zápis čteme: číslo a je číslo celé Čísla na číselné ose vpravo od nuly jsou celá kladná čísla, vlevo od nuly jsou celá záporná čísla Vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly se nazývá absolutní hodnota čísla Značí se x Tedy: Protože se jedná o vzdálenost, je absolutní hodnota vždy číslo kladné nebo nula x x x Příklad: Porovnávání celých čísel: Každé kladné číslo je větší než nula > 0 Každé záporné číslo je menší než nula < 0 Ze dvou kladných čísel je větší to, jehož obraz leží na číselné ose více vpravo < Ze dvou záporných čísel je menší to, jehož obraz leží na číselné ose více vlevo > Každé kladné číslo je větší než číslo záporné < Početní výkony s celými čísly: SČÍTÁNÍ Čísla se stejnými znaménky sčítáme jako čísla přirozená Znaménko součtu je shodné se znaménkem sčítanců Příklad: = zkráceně = = zkráceně = Čísla s různými znaménky sečteme tak, že znaménko součtu se rovná znaménku čísla s větší absolutní hodnotou a hodnota součtu se rovná rozdílu obou čísel

37 Příklad: = = tedy = = tedy () = = = = = = Sčítámeli více kladných a záporných sčítanců, použijeme záměny sčítanců tak, že nejdříve sečteme kladné sčítance a zvlášť záporné sčítance a potom sečteme tyto dva součty Příklad: = = = = ODČÍTÁNÍ způsob:odečíst celé číslo znamená přičíst číslo k němu opačné Příklad: = = = = způsob: odstraněním závorek: a) stejné znaky, které jsou před závorkou i v závorce, nahradíme znakem, např =, = opačné znaky, které jsou před závorkou a v závorce, nahradíme znakem, např 0 = 0, = Příklad: = = = 0 = 0 = = 0 0 = 0 0 = NÁSOBENÍ Součin dvou kladných čísel je kladné číslo Součin dvou záporných čísel je kladné číslo Součin kladného a záporného čísla je číslo záporné = = = = Příklad: = =

38 = = Součin sudého počtu záporných činitelů je číslo kladné, lichého počtu záporných činitelů je číslo záporné Příklad: = = DĚLENÍ Podíl dvou kladných čísel je kladné číslo Podíl dvou záporných čísel je kladné číslo Podíl kladného a záporného čísla je číslo záporné : = : = : = : = Příklad: : : : : = = = = Početní výkony s celými čísly K daným číslům určete čísla opačná:, 0,,,, 0,,,,,,, 00 Normální stav vodní hladiny je dán výškou 0 cm ode dna Zapište kladnými nebo zápornými čísly odchylky od normálního stavu, jestliže výška hladiny byla cm, 0 cm, cm, cm, 0 cm, 0 cm, cm, cm Zapište všechna celá čísla, která najdeme na číselné ose mezi čísly: a) a a c) a d) 0 a Porovnejte dvojice celých čísel: a) a a a a 0 a a 0 a a a a a a Určete alespoň celá čísla, která jsou řešením nerovnice: a) x > x < c) x >

39 Najděte všechna celá čísla, která vyhovují dané nerovnici: a) < x < < x < c) < x d) x Uspořádejte vzestupně čísla:,,,, 0,,,,, 0, Vypočítejte: a) c) d) e) 0 f) 0 0 Sečtěte: a) c) d) 0 0 Vypočítejte: a) 0 c) 00 0 Vypočítejte: a) 0 c) Nákladní vlak ve stanici odstavil vagónů a přibral vagóny V příští stanici odstavil vagóny a přibral vagónů V další stanici odstavil vagónů a přibral vagónů Má nyní vagónů více, nebo méně než při vjezdu do první stanice? O kolik? Kolik má nyní vagónů, jestliže do první stanice přijel se vagóny? Ráno teploměr ukazoval C Pak teplota stoupla o C, znovu stoupla o C, klesla o C, stoupla o C, klesla o C a znovu klesla o C Zjistěte konečnou teplotu Na autobusové zastávce vystoupili lidé a přistoupilo lidí Na další zastávce vystoupilo lidí, nastoupilo lidí Na třetí zastávce vystoupilo lidí a přistoupili cestující Dále cestovalo lidí Kolik cestujících bylo původně v autobuse? Sečtěte: a)

40 0 c) 00 d) 0 e) 0 f) 0 g) h) 0 i) Na stavbě se na stěně vyznačuje přímka ve výši m nad podlahou Střed přítoku vody do dřezu má být cm nad touto přímkou, střed zaústění odpadu cm pod ní Udej výšku odpadu a přítoku nad podlahou Průměrná roční teplota na rovníku je C Na severním pólu je o C nižší, na jižním pólu je o C nižší než na rovníku Vyjádři záporným číslem jaká je průměrná teplota na severním pólu Průměrná roční teplota na rovníku je C Na severním pólu je o C nižší, na jižním pólu je o C nižší než na rovníku Vyjádři záporným číslem průměrnou teplotu na jižním zemském pólu Průměrná roční teplota na rovníku je C Na severním pólu je o C nižší, na jižním pólu je o C nižší než na rovníkuvyjádři záporným číslem o kolik stupňů je průměrná teplota na jižním pólu nižší než na severním pólu 0 Vypiš k daným číslům,,,, 0, čísla opačná Vypiš k daným číslům, 00,,,, čísla opačná Vypiš k daným číslům,,,,, čísla opačná Zapiš celá čísla, která leží na číselné ose mezi čísly a Zapiš celá čísla, která leží na číselné ose mezi čísly a Zapiš celá čísla, která leží na číselné ose mezi čísly a Zapiš celá čísla, která leží na číselné ose mezi čísly a Urči vzdálenost celých čísel,, 00,, od nuly na číselné ose Jednotka na číselné ose je cm Urči vzdálenost celých čísel,,, 0,, od nuly na číselné ose Jednotka na číselné ose je cm Urči vzdálenost celých čísel,,, od nuly na číselné ose Jednotka na číselné ose je cm 0 a) Urči záporné číslo, jeli jeho vzdálenost od nuly na číselné ose rovna Urči záporné číslo, jeli jeho vzdálenost od nuly na číselné ose rovna

41 c) Urči záporné číslo, jeli jeho vzdálenost od nuly na číselné ose rovna d) Urči kladné číslo, jeli jeho vzdálenost od nuly na číselné ose rovna e) Urči kladné číslo, jeli jeho vzdálenost od nuly na číselné ose rovna Vypočítejte: a) 0 ( ) : : Doplňte: a) 00 Vypočítejte: Na teploměru vystoupila v pokoji rtuť den na C, den na C V nevytápěné hale naměřili den C, den C Venkovní teploměr ukazoval ve stejné dny C a C Porovnej teploty naměřené den a druhý den v pokoji Na teploměru vystoupila v pokoji rtuť den na C, den na C V nevytápěné hale naměřili den C, den C Venkovní teploměr ukazoval ve stejné dny C a C Porovnej teploty naměřené den a druhý den v hale Napiš pět celých čísel, která podle velikosti bezprostředně následují za číslem Napiš pět celých čísel, která podle velikosti bezprostředně následují za číslem Napiš pět celých čísel, která podle velikosti bezprostředně následují za číslem 000 Napiš pět celých čísel, která podle velikosti bezprostředně předcházejí číslu 0 Napiš pět celých čísel, která podle velikosti bezprostředně předcházejí číslu Uspořádej vzestupně čísla: a),,,,,,,,, 0, 0,,, 0, c),,,,,,, Urči všechna celá čísla, která jsou větší než a menší než 0 Urči všechna celá čísla, která jsou větší než a menší než

42 Urči všechna celá čísla, která jsou větší než a menší než Seřaď čísla 0, 00, 00,, od nejmenšího k největšímu číslu a zapiš pomocí znaků <, > Seřaď čísla,,,, 0 od nejmenšího k největšímu číslu a zapiš pomocí znaků <, > Seřaď čísla 0, 0,,, od největšího k nejmenšímu číslu a zapiš pomocí znaků <, > Seřaď čísla,,,, 0 od největšího k nejmenšímu číslu a zapiš pomocí znaků <, > Najdi všechna celá čísla, která vyhovují nerovnici: a) < x < < x < c) > x > d) < x < 0 e) > x > 0 Urči všechna sudá jednociferná celá čísla, která jsou řešením nerovnice: a) x > x < c) x < d) x > e) x < Vypočítejte: a) () () () 0 () 0 0 Sečtěte: () () () () () Vypočítejte: () () () () () () (0) () () () () () 0 () () () () () () () () () () () () () Nákladní vlak odstavil vagónů a přibral vagóny V příští stanici odstavil vagóny a přibral vagónů V další stanici odstavil vagónů a přibral vagónů Má nyní vagónů více nebo méně? O kolik? Urči součet všech celých čísel, které jsou mezi čísly a

43 Stanice metra má koleje m hluboko pod povrchem, druhá stanice má koleje o m hlouběji Jak hluboko má koleje druhá stanice? Odečtěte: a) () c) d) () () () () 0 0 () () 0 0 Odečtěte: a) () 0 c) d) () () () () () Vypočtěte: a) c) Pokladník vydal Kč a přijal Kč O kolik se zvětšila hotovost v pokladně? Večer byla hladina řeky cm nad normálem, ráno byla cm pod normálem O kolik centimetrů klesla hladina během noci? Karel je o cm vyšší než je průměrná výška žáka ve třídě, Jirkovi chybí do průměrné výšky cm O kolik cm je Jirka menší než Karel? c) 00 ( 0) ( ) 0 Hladina Kaspického moře je m pod hladinou oceánu Místo největší hloubky je 0 m pod hladinou oceánu Jak je moře hluboké? Vypočtěte: a) (0) () ( 0) Největší hloubka Bajkalského jezera je 0 m Jaká je nadmořská výška dna jezera, jestliže hladina je m nad hladinou oceánu? Myslím si číslo Když k němu přičtu, dostanu číslo, které je o větší než číslo Které číslo si myslím?

44 Z klubka, ve kterém bylo m provazu, si Libor odřízl m, aby mohl pouštět draka Tatínek potřeboval ještě m provazu Vypočti, kolik metrů zbylo na klubku? Teplota vzduchu nad hladinou přehrady byla C, teplota vody na dně přehrady byla C Jaký je rozdíl obou teplot? Nádrž obsahuje 00 l vody Při vypouštění odteče za minutu l vody Kolik litrů vody zůstane v nádrži po 0 minutách? 0 Nádrž obsahuje 00 l vody Při vypouštění odteče za minutu l vody Kolik litrů vody zůstane v nádrži po minutách? Je dána množina celých čísel {,,,, 0,,,, } Která čísla této množiny vyhovují nerovnici x >? Od podlahy sklepa, který je m pod úrovní silnice, vedou svisle vzhůru vodovodní trubky m dlouhé V jaké výši nad úrovní ulice trubky končí? Výška míst se v zeměpise udává v metrech nad mořem V Příbrami (nadmořská výška je 0 m) je šachta hluboká 00 m Jakou nadmořskou výšku má její dno? Nejvyšší hora světa je Mount Everest ( m) Hladina Mrtvého moře má nadmořskou výšku m Jaký je rozdíl nadmořských výšek obou míst? Vypočítejte: a) () ()()() 0(0) ()() ()() ()()(0) ()(0) [()] ()() [()] ()()() [()]() Vypočítejte: a) [()()]() () c) ()()() d) ()() e) ()()()() f) ()()()()() g) () Vynásobte: a) () () c) ()() d) () e) () f) ()() g)() Vynásobte: ()

45 ()() ()()()() Vypočítejte: a) () [()] c) () d) () e) () f) ()0 0 Vydělte: a) : ():() :() (:) (): (): ():() ():() (): :() :() (): Vydělte: a) ():() ():() 0:(0) (): 0:() (): (): ():() 00:(00) ():() :() :() ():() :() Vypočítejte: a) () : [() : ()] [() () : ] : () c) () () () : (0) d) () [() () : (0)] Vypočítejte: a) 0 0 : : : Vypočítejte: a)

46 c) d) e) f) 0 0 g) h) : [( ) ( ) ] c) { [ ( ) ( )] ( ) ( ) } d) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) Vypočítejte: a) Výsledky: 0 00 a) 0 c) 0 d) c) 0 a) 0 0 c) 0 d) a) 0 c) 0 d) 0 0 e) 0 f) 0 a) c) 0 d) 0 a) 0 0 c) a) 0 c) o vagóny méně, 0 vagónů C a) c) 0 d) e) f) g) 0 h) i) 0 a cm C C C cm 0 cm cm 0 a) c) d) e) a) 0 0 a) 00 0 > > a) c) a) 0 0 c) 0 d) Ø c) Ø 0 A) c) d) e) Ø a) o méně m a) 00 c) d) 00 a) 0 c) 0 d) 0 0 a) 0 c) 0 o Kč o cm o cm a) c) 0 0 m Nezbylo 00 l 0 Nic 0 m m m a) a) 0 c) d) e) 0 f) 0 g) a) 0 c) d) e) f) g) 0 0 a) c) d) e) f) 0 0 a) a) 0 0 a) c) d) a) a) 0 c) 0 d) e) f) 00 g) h) a) c) d)