Promítání. zobrazovat na body roviny E 2

Transkript

1 Promítání I jako nedeskriptiváři tušíme, že sestrojování perspektivních pohledů souvisí nějak se zobrazováním nebo s promítáním. Bylo by užitečné si význam těchto pojmů a metod deskriptivní geometrie ozřejmit nebo připomenout. Jen s jejich znalostí totiž můžeme plně pochopit i princip perspektivního zobrazování a plně využívat jeho možností. Jinak bychom se podobali členům středověkých malířských škol, kteří perspektivu často konstruovali pouze podle návodů, jež byly tajemstvím řádu, bez znalosti jejich podstaty, anebo některým současným příručkám malířské perspektivy, které nechtějí umělce příliš přetěžovat "zbytečnými" znalostmi geometrie a matematiky. Pojmy a metody, se kterými se seznámíme, nejsou samoúčelné. Vznikly z potřeb deskriptivní geometrie. Jedním z jejich nejdůležitějších úkolů je převedení úloh prostorové geometrie na úlohy geometrie rovinné a umožnit tak jejich grafické řešení. Výhoda takového postupu je zřejmá. Pokud bychom chtěli úlohy prostorové geometrie řešit přímo v prostoru, museli bychom se spoléhat pouze na svou představivost nebo vypracovat prostorový model situace. Nevýhodnost takových řešení je jasná. Zkuste si představit například průnik dvou trojúhelníků v prostoru. I kdybychom měli jakousi představu, nebudeme mít k dispozici přesný výsledek. Vypracování modelu například ze špejlí je pracné a nutně nepřesné (i když tato metoda byla před objevem moderních zobrazovacích metod z nouze používána). Pokud úlohu náležitým způsobem převedeme do roviny, umožní nám to nalézt její řešení běžnými postupy rovinné geometrie, to jest pomocí tužky, kružítka a pravítka. Jak však provést ono "převedení" úlohy z prostoru do roviny? Tady nám pomůže jeden z nejpoužívanějších pojmů matematiky, a to zobrazení. Zobrazením myslíme předpis, který každému prvku jedné množiny přiřadí právě jeden prvek druhé množiny. V deskriptivní geometrii se tomu někdy říká princip zobrazení. V našem případě to znamená, že budeme body prostoru E 3 zobrazovat na body roviny E 2. Předpisů takovýchto zobrazení zapsaných například algebraicky bychom mohli najít ohromné množství a většina by byla pro naše účely nepoužitelná. Situace z prostoru by se nám v rovině zobrazila jako nesmyslná kombinace bodů nebo v lepším případě zkreslených obrazů. Má-li mít takovéto zobrazení pro nás nějaký význam, musí splňovat požadavky na názornost nebo snadnou konstrukci (přičemž nedostatek jednoho je obyčejně vyvážen výhodou druhého). Takovýmto vhodným zobrazením říkáme promítání a snad není tak překvapivé, že jsou odvozeny od fyziologických vlastností oka, že vznikají jejich geometrickou abstrakcí. Právě jejich podobnosti s fungováním oka vděčíme za dosažení požadované názornosti nebo jednoduchosti konstrukce. Zkusme si je odvodit, i když je i jako nedeskriptiváři zřejmě znáte. Vyjděme tedy z funkce oka. To se skládá z optické soustavy tvořené několika rozdílnými optickými prostředími a jejich rozhraním (duhovka, čočka a sklivec) a ze sítnice. Paprsek odražený od pozorovaného bodu (předmětu) prochází touto optickou soustavou, láme se a dopadá na sítnici tvaru kulového vrchlíku. Ze světlocitlivých buněk (tyčinek a čípků) na sítnici vzniklý signál přechází po nervových vláknech do mozku, kde se dále zpracovává. Celou situaci si můžeme zjednodušit. Nedopustíme se velké chyby, když si představíme, že paprsky místo složité dráhy v jednotlivých optických prostředích procházejí přímočaře, ale vždy jedním bodem - středem optické soustavy. Stejně tak je možno si představit, že sítnice nemá tvar kulového vrchlíku, ale že je to rovina. Toto zjednodušení omluví to, že signály ze sítnice jsou zpracovány velice subjektivně, na základě získaných zkušeností. Například přímky, které se na sítnici nutně zobrazí jako křivky, vnímáme opět jako přímky, "oko se to naučilo". 139

2 Mějme tedy libovolnou pevnou rovinu π (vlastní) a bod S, které nejsou incidentní, S π. Dále mějme v prostoru bod A, který chceme zobrazit. Sestrojíme přímku SA. Průsečík přímky SA s průmětnou π je bod A'=SA π. Bod A' je obrazem bodu A. Toto je námi hledané promítání, které vychází z fyziologických vlastností oka a splňuje díky tomu naše požadavky. Rovině π budeme říkat průmětna a bodu S střed promítání. Je třeba si ovšem upřesnit jeho polohu. Vezměme si jako první případ, kdy střed promítání S bude od průmětny nekonečně vzdálen, bude tedy nevlastní. Takovýto nevlastní bod určuje směr a "trsem" promítacích přímek procházejících tímto nevlastním bodem budou tedy rovnoběžky tohoto směru. Přes méně stravitelou představu nekonečně vzdáleného středu promítání dostaneme velice jednoduché promítání, kde každý obraz A' bodu A najdeme jako průsečík průmětny π s přímkou procházející bodem A daného směru. Tuto přímku nazýváme promítací přímka. Bodu A' říkáme rovnoběžný průmět bodu A. Rovnoběžným průmětem útvaru je množina rovnoběžných průmětů všech bodů útvaru. Například průmětem přímky, která není přímkou směru promítání, je množina průmětů všech jejích bodů. Promítací přímky těchto bodů tvoří takzvanou promítací rovinu. Výsledný obraz je potom průnikem promítací roviny s průmětnou. Uveďme si důležité vlastnosti rovnoběžného promítání. U rovnoběžného promítání jsou jednoduché a je možno je vidět i pomocí nakresleného obrázku. Vlastnosti rovnoběžného promítání: 1. Průmětem bodu je bod. 2. Průmětem přímky je přímka nebo bod (pokud je přímka rovnoběžná se směrem promítání). 3. Průmětem roviny je celá průmětna nebo přímka (když je rovina rovnoběžná se směrem promítání). 4. Zachovává se incidence. 5. Průmětem rovnoběžných přímek jsou opět rovnoběžné přímky nebo body. To znamená: Rovnoběžnost se zachovává. 6. Poměr velikostí navzájem rovnoběžných úseček se zachovává (pokud neleží na promítacích přímkách). To znamená: Dělící poměr se zachovává. 7. Průměty rovinných útvarů, které leží v průčelných rovinách (to jest v rovinách rovnoběžných s průmětnou), jsou shodné se svými vzory. Poté, co jsme si uvědomili vlastnosti takového rovnoběžného promítání, podívejme se na jeho jednotlivé případy. Jednou možností je, že si situaci ještě zjednodušíme a směr promítání zvolíme kolmý na průmětnu. Obraz A' libovolného bodu A pak hledáme jako patu kolmice spuštěné k průmětně π z bodu A. Tak získáme asi nejjednodušší promítání - kolmé rovnoběžné promítání. (obr. ) Jeho názornost můžeme posoudit z obrázku ulice a přilehlých domů. Průmětna je svislá. Její polohu (a tedy i směr promítání) jsme zvolili tak, aby byla rovnoběžná s hlavními směry zobrazených předmětů. Ty se nám díky tomu, že leží v průčelných rovinách (rovinách rovnoběžných s průmětnou), zobrazí ve skutečné velikosti. Jejich rozměry můžeme proto snadno odečítat přímo z obrázku a to je velmi užitečné například v technické praxi. O jejich rozmístění do hloubky se však můžeme pouze dohadovat podle toho, jak se překrývají. Tento druh zobrazování nalézáme u již zmíněného "primitivního" umění a u dětí. 140

3 OBR. 117 Vše je v prvním plánu, zobrazeno ve skutečné velikosti (vzhledem k měřítku) nezávisle na vzdálenosti od pozorovatele (pomineme-li různé velikosti užité ke znázornění významu osob). Samozřejmě, že směr a s ním tedy i průmětnu kolmého promítání jsme mohli určit libovolně, ale rozměry těles, která by takto neležela průčelně, by se nám nezobrazily ve skutečné velikosti. A to je to, oč při použití rovnoběžného promítání obyčejně usilujeme. Druhou možností je, že směr promítání volíme libovolně, nezávisle na umístění průmětny, vyjma případu, kdy by směr byl s rovinou rovnoběžný (proč, to je zřejmé). Zavedeme-li si do zobrazované skutečnosti vhodný souřadný systém (tři na sebe kolmé osy), můžeme celé promítání značně zjednodušit. V rovině, v níž konstruujeme kolmý průmět, zvolíme bod O (obraz počázku souřadnic) a ve třech libovolných směrech osy x, y, z tak, že maximálně dvě se mohou překrývat. Na ty pak nanášíme souřadnice zobrazovaných bodů ve skutečné velikosti nebo zmenšené. Ať je zvolíme jakkoli, vždy je možno najít příslušný směr promítání a polohy průmětny, která tomuto zobrazování odpovídá. Podívejme se na některé, nejvíce používané projekce. Je třeba ještě dodat, že tento druh promítání, kdy směr projekce a poloha průmětny na sebe nejsou kolmé, nazýváne šikmé (kosé) rovnoběžné promítání. 141

4 Představme si tedy, že směr promítání je rovnoběžný se základní rovinou - tak budeme říkat rovině, na níž námi zobrazované předměty leží (domy na zemi). Přitom není kolmý na průmětnu, kterou ponecháme svislou a rovnoběžnou s jedním směrem předmětů. Toto zobrazení je obyčejně druhé, které používají děti při svých pokusech o přechod do prostoru. Náš příklad je výjimečný tím, že jsme zvolili směr promítání s odchylkou 45 od průmětny, takže nejen v průčelných rovinách, ale i do hloubky se všechny rozměry zachovávají. Známe-li rozměry domů a jejich umístění, je tedy konstrukce mimořádně snadná. OBR. 118 Další možností je, že promítáme šikmo vzhůru (obr. ). Vzdálenější předměty si zachovávají opět své rozměry, ale ustupují nahoru. Jak už víme, tento způsob zobrazování skutečnosti v umění preferovali Egypťané. Někdy se mu říká vertikální perspektiva, i když deskriptiváři by asi protestovali. Co se týká našeho obrázku, je třeba upozornit, že ulice nahoře nekončí, ale dále pokračuje. Nevlastní body a přímka roviny se zobrazují opět na nevlastní prvky, to je důsledek rovnoběžnosti našeho promítání. Proto jakékoliv umísťování horizontu (to jest přímky, na níž by se základní rovina stýkala s nebem) je nesmyslné a působilo by to i velice rušivě. Stejně tak domy si zachovávají své měřítko, ať už jsou jakkoli vzdáleny. 142

5 OBR. 119 Jinou velmi užitečnou metodou promítání je promítání ve směru, který není kolmý na žádný z hlavních směrů předmětů. 143

6 OBR. 120 Jak vidíme, výsledný obrázek je velmi názorný, a proto se v deskriptivní geometrii tohoto zobrazení hojně používá pro objasnění, méně však přímo pro řešení úloh. S tímto zobrazením jsme se v malířství setkali poprvé u Etrusků a v jiných méně dokonalých pokusech o prostorové zobrazení v kombinaci s nedokonalou jednostředou lineární perspektivou. Nejvíce tak jsou zobrazovány drobnější předměty, např. nábytek v interiéru, kde nesbíhání se hloubkových přímek nepůsobilo tak rušivě jako u těles velkých, např. právě onoho interiéru. Zřejmě právě proto si malíři neuvědomovali, že by se i tady sbíhat měly. Tam, kde tato chyba přece jen poznat byla, se to pokoušeli zakrýt dalšími předměty, postavami atd. Toto zobrazování je také zpravidla třetí, poslední fází vývoje malování dítěte, než si začne osvojovat perspektivu. Když už jsme u toho, jak se u dětí postupně vyvíjí znázorňování prostoru, můžeme si tento vývoj s trochou nadsázky popsat takto: Dítě nakreslilo domeček, a to tím nejjednodušším způsobem. Použije rovnoběžné kolmé promítání s průmětnou rovnoběžnou se znázorněnou stěnou domu. 144

7 Později dům vylepší o přístavek (např. chlívek). Přichází otec, který nepochopil význam přilehlé hospodářské budovy. Omylem vše považuje za nedokončené kosé rovnoběžné promítání a tak ho dokončí. Přimaluje střechu. Dítě přes mylnou interpretaci svého díla kupodivu neprotestuje - právě objevilo způsob, jak se dostat do prostoru, a tak s nadšením "staví" domky, které jsou tak pěkně vidět zepředu i z boku. Potom se mu znelíbí, že si na plácek před domem nemůže namalovat panáka a začne promítat šikmo na podlahu. Může-li kreslit neprůčelně jednu stěnu domu, proč by tak nemohlo kreslit i druhou? Dále už se může rozvíjet pouze směrem ke správnému perspektivnímu malování. Zpočátku k perspektivě jednoúběžné, potom dvojúběžné. 145

8 Vraťme se však k našemu rovnoběžnému promítání. Poslední, se kterým se seznámíme, je promítání opět na svislou průmětnu směrem, který je rovnoběžný s kteroukoli svislou rovinou a se základní rovinou svírá úhel 45. OBR. 121 V tomto promítání se půdorys situace zobrazí nezměněn a všechny velikosti jsou zachovány. Pro tyto vlastnosti (je možné celý obrázek použít současně jako plán půdorysu) byl velmi oblíben ve vojenské praxi (znázorňování pevnostních staveb), a proto se mu dostalo názvu vojenská perspektiva. Použití takového názvu je ovšem problematické. Není to perspektiva v pravém slova smyslu. Kadeřávek skoro rozhořčeně říká: "Nejedná se o perspektivu, i kdyby měla být pouze vojenskou!" Takto jsme si probrali různé možnosti prvního případu promítání, kdy střed promítání je nevlastní bod a symbolizuje tedy směr. Podívejme se nyní na druhý, pro nás důležitější případ, kdy střed promítání S je vlastní. Jinak vše zůstává stejné. Máme průmětnu π, S v ní neleží, S π. Obrazy bodů A hledáme tak, že zkonstruujeme přímku SA - to je takzvaná promítací přímka. Hledaným obrazem A' je průnik této promítací přímky SA s průmětnou π, tedy A'=SA π. Velkou důležitost má rovina ρ rovnoběžná s π a procházející středem S. Nazýváme ji středovou (nebo distanční) rovinou. Promítací přímky bodů, které v ní leží, jsou rovnoběžné s průmětnou. Jak najít průsečík 146

9 takovéto přímky s průmětnou? můžeme si představit, že se protnou v nekonečnu, že přímka obsahuje nekonečně vzdálený bod, budeme mu říkat nevlastní, který je obrazem příslušného bodu distanční roviny. Tak, jako se rovnoběžné přímky nebo přímka a rovina protnou v nekonečně vzdáleném nevlastním bodě, rovnoběžné roviny se protnou v nevlastní přímce. Všechny nevlastní prvky (body a přímky) tvoří jedinou nevlastní rovinu. Zavedením nevlastních prvků se značně zjednoduší řešení některých geometrických úloh a zavedení geometrických vět. Říkáme tomu projektivní rozšíření euklidovského prostoru. Zavedení nevlastních prvků je možno nastudovat např. v [5]. Prostor, ve kterém celé promítání provádíme, tedy projektivně rozšíříme o nevlastní body. Získáme tak rozšířený euklidovský prostor s nevlastními útvary, ve kterém se nám body středové roviny promítnou jako nevlastní (průmětna π a promítací paprsek takového bodu se protnou v nekonečně vzdáleném nevlastním bodě). Přes provedené projektivní rozšíření E 3 však nedokážeme zobrazit samotný střed promítání S. To je jediný bod, ke kterému nelze jednoznačně sestrojit promítací přímku a tedy ani nalézt průsečík. Vypišme si vlastnosti popsaného středového promítání. 1. Středovým průmětem bodu (vlastního i nevlastního), který neleží ve středové rovině σ, je vlastní bod. 2. Středovým průmětem bodu, který leží ve středové rovině σ a je různý od S, je nevlastní bod. 3. Středovým průmětem přímky (vlastní nebo nevlastní), která není promítací a neleží (leží) ve středové rovině σ, je vlastní (nevlastní) přímka. 4. Středovým průmětem promítací přímky, která leží (neleží) ve středové rovině, je vlastní (nevlastní) bod. 5. Rovnoběžné přímky se zobrazí zpravidla jako různoběžky (kromě průčelných přímek). Rovnoběžnost se tedy nezachovává. 6. Poměr velikostí navzájem rovnoběžných úseček na nepromítacích přímkách se jejich středovým promítnutím navzájem nezachovává. Středové promítání tedy nezachovává dělící poměr. 7. Středovým průmětem promítací roviny různé od středové roviny je vlastní přímka. Středovým průmětem středové roviny je nevlastní přímka. Středovým průmětem každé jiné roviny je průmětna. 8. Průměty rovinných útvarů, ležících v rovinách rovnoběžných s průmětnou (průčelné útvary) jsou podobné se svými vzory. Poznámka k bodu 6. Nejen, že se nezachovají poměry, ale úsečka procházející distanční rovinou (středovou rovinou) se zobrazí jako dvě polopřímky. (A což teprve trojúhelník nebo kružnice!) Uvedené vlastnosti zobrazování základních elementů (bodů, přímek, rovin) ukazují, že geometrické konstrukce středového promítání budou poměrně složité. To je cena za jeho velkou názornost, vyplývalící z jeho silné podobnosti s mechanismem lidského vidění. Můžeme ho také přirovnat k fotografickému snímku. Čočka fotoaparátu (její optický střed) je středem promítání, rovina filmu je promítací rovinou. Právě na fotografii dobře uvidíme, že při středovém promítání se stejně velké úsečky mohou zobrazit jako úsečky různých velikostí (příkladem je fotografie nebo pohled do krajiny, kde se vzdálené předměty jeví jako menší), rovnoběžky se mohou zobrazit jako různoběžky (například koleje se sejdou na horizontu) atd. Zopakovali jsme si vlastnosti dvou důležitých druhů promítání, středového a rovnoběžného. Nyní se můžeme věnovat lineární perspektivě. 147

10 Lineární perspektiva Naším cílem je nalézt zobrazení, které by vytvářelo co nejpřesvědčivější obraz skutečnosti, aby se dojem při pozorování obrazu co nejvíce blížil dojmu pozorování skutečného objektu. Vraťme se ještě jednou k funkci lidského oka. Tam vjem pozorovaného vzniká tak, že zorné paprsky procházejí oční čočkou a dopadají na sítnici. Abstrakcí tohoto děje jsme získali středové promítání. Ze získaných průmětů však nebylo možno jednoznačně rekonstruovat původní situaci v prostoru. Bod nebyl pouze obrazem jednoho bodu, ale celé bodové řady bodů vlastních a nevlastního ležících na promítací přímce. Tato vlastnost platí plně i pro fungování oka. Není to však pro nás žádná nevýhoda, ale naopak klad, který nám umožní ošálit oko a konstruovat díky tomu přesvědčivé perspektivní obrazy. Na tomto místě by mohla přijít námitka, že člověk se nedívá pouze jedním okem, ale oběma, že tedy jeho vidění je stereoskopické. Ano, tak má člověk k dispozici dva středové průměty s rozdílnými středy promítání pro každé oko a porovnáním těchto středových průmětů může určit s jistou přesností hloubku umístění bodu. Lidské vidění je takto svým způsobem jednojednoznačné a je zobrazovací metodou. Toto však nemá v malířství žádné využití. Použití této skutečnosti pro vytvoření zvláště přesvědčivých prostorových vjemů si vyžaduje složitější technické prostředky (barevné nebo polarizační filtry či jiné prostředky pro oddělené vnímání dvou rozdílných obrazů každým okem) a ani dnes nedosáhlo výraznějšího rozšíření. Útěchou nám budiž to, že středy takovýchto dvou rozdílných centrálních průmětů jsou velice blízko (vzdálenost lidských očí), a proto se schopnost hloubkového rozlišení projevuje pouze na malou vzdálenost. Nedopustíme se tedy hrubé chyby, když budeme dále předpokládat, že se díváme pouze jedním okem. To nám poskytuje, jak už jsme si řekli, nejednoznačné obrazy skutečnosti stejně jako středové promítání. Představme si tedy tuto situaci. Sledujeme okem daný objekt, např. bod A. Umístíme mezi oko a pozorovaný objekt rovinu (průhlednou). Mohla by to být ovšem jakákoli plocha (když to přeženu, klidně vlnitý plech). Sestrojíme středový průmět bodu A do zmíněné roviny ze středu promítání O (optický střed oka). Získáme tak průmět A p. Ten leží spolu s A na společném promítacím paprsku procházejícím okem O a vytvářejícím na jeho sítnici obraz A'. Díky tomu, že oko nezobrazuje vzájemně jednoznačně, je A' na sítnici společným obrazem bodu A i průmětu A p na průmětně ν. Můžeme bod A odstranit a bod A p zajistí na sítnici oka stejný vjem jako bod A. Takto ovšem můžeme z bodu O oka zkonstruovat průmět celého objektu do průmětny ν a na sítnici tím vyvolat dojem přímého pozorování předmětu. Vidíme, že námi hledané zobrazení je středové promítání na vhodnou průmětnu. Aby však vjem byl opravdu dokonalý, je třeba toto promítání vystavit ještě několika dodatečným požadavkům. Takto upravené promítání budeme nazývat perspektivou. Při středovém promítání distance (to je vzdálenost středu promítání od průmětny) nebyla nijak omezena shora ani zdola. Pro správný vjem je třeba perspektivní obraz pozorovat ze středu promítání. Jeho vzdálenost od průmětny nesmí být menší, než je vzdálenost blízkého bodu oka. To je nejmenší vzdálenost, na kterou je zdravé oko schopno zaostřit. Distance by proto neměla být menší než cca 21 cm. Další omezení distance je omezení shora. Předpokládáme zdravé oko. Máme-li vidět všechny znázorňované detaily obrazu, nesmí zorný úhel, pod kterým je vidíme, být menší než 1. Největší dovolená distance je za této podmínky dána rozměry těchto detailů. Dalším problémem je zorný úhel. Středové promítání umožňovalo promítat na rovinnou průmětnu všechny body prostoru kromě samotného středu promítání. Tedy za i před průmětnou. Oko takovéto promítání neumožňuje. Důvody jsou zřejmé. "Rovina" sítnice 148

11 prostor rozdělí na dva poloprostory, přičemž z prostoru za okem žádné body jistě znázorňovat nebudeme. Zbyly nám tak pouze dvě oblasti, a to od oka k průmětně a za průmětnou (tentokrát nemyslíme sítnici oka, ale průmětnu, na které chceme vytvořit perspektivní obraz), přičemž prostoru za průmětnou budeme dávat přednost. Budeme se tedy snažit, aby průmětna, na kterou znázorňujeme, byla mezi znázorňovaným objektem a naším okem. Znázorňování předmětů ležících před průmětnou je sice principiálně možné, ale museli bychom pro jejich nejbližší body kontrolovat, byla-li dodržena nejmenší povolená distance, a tím by se nám celá situace komplikovala. Může přijít námitka, že daný prostor, ze kterého je ještě možno zobrazovat, je ještě užší s poukazem na zorný úhel oka. Ano, pokud si představíme, že oko je strnulé, nepohyblivé, opravdu vnímáme jen omezené množství bodů, jejichž promítací paprsky svírají s hlavním paprskem úhel menší než nějaké maximum. Tento prostor tedy tvoří rotační kužel s vrcholem ve středu promítání, oku, a s tímto maximálním vrcholovým úhlem. Určení takového zorného úhlu je ovšem věc subjektivní. Nejjasněji a nejostřeji vnímáme body ve středu zorného pole, čím dále od něj, tím je vnímání horší, nakonec jsme omezeni okraji sítnice oka. A i částmi obličeje (nadočnicové oblouky, nos, líce), které zasahují do dráhy zorných paprsků. Velikost zorného úhlu je věcí individuální té které osoby. Jasnost vnímání v okrajových částech vidění je vrozená a také získaná tréninkem (např. u sportovců takzvané periferní vidění). Existence zorného úhlu oka vede většinu autorů (Čeněk, někdy i Kadeřávek) k tomu, že stanovují na průmětně jakousi oblast správného zobrazování, v níž musí být konstruována perspektiva, aby vznikl správný a přesvědčivý vjem. Touto oblastí má být kruh, který vznikne jako průnik zorného kužele a průmětny. Myslím si, že tato úvaha je příliš zjednodušená nebo přímočará. Oko přece není strnulé, je ve stálém pohybu. Člověk je zvyklý s ním stále prohledávat prostor a pokud ani to nestačí, natáčí hlavu. Tím jakékoli omezení mizí. Chyba vzniklá pohybem hlavy, a tedy změnou středu promítání, pro konstruování perspektivy je zanedbatelně malá v poměru k rozměrům sledovaných předmětů. Oblast správného znázorňování je proto omezená pouze velikostí průmětny. Zorný úhel je dán poměrem velikosti průmětny a distance. To v extrémním případě průmětny jako nekonečné roviny znamená zorný úhel 90 (to je úhel, který svírá hlavní paprsek s promítacím paprskem nejvzdálenějšího bodu průmětny, to je s některým nevlastním bodem). Zorný úhel správného zobrazování, kdy je oblast správného zobrazování menší než průmětna, si nakonec stanovíme, ale důvody jsou trochu jiné. Sledujme tento modelový příklad. Zobrazujeme ve středovém promítání na rovinnou průmětnu kulovou plochu. Nebudeme zobrazovat každý bod, ale pouze obrys tělesa. To znamená, že promítací přímky ze středu O konstruujeme jako tečny této kulové plochy z bodu O. Jejich průnik s průmětnou bude obrazem obrysu této kulové plochy. Jaký bude mít tvar? Je-li tento obraz v blízkosti hlavního bodu na průmětně, je to kružnice (ve skutečnosti je to elipsa s velmi malou výstředností jen málo odlišná od kružnice) tedy to, co bychom očekávali. Je-li však průmět vzdálen od H, je to elipsa, jejíž excentricita s rostoucí vzdáleností od H roste! Výsledné obrazy jsou vlastně průniky průmětny s kuželovou plochou tvořenou zornými paprsky s vrcholem v O a obalující zobrazovanou kulovou plochu. Přichází logická námitka, že takto (tj. jako elipsa) by se nám kulová plocha zobrazovat neměla. Že okem nikdy žádnou takovou elipsu jako obraz koule nevidíme. Ano, ale pozor! Pozorujeme-li zkonstruovanou perspektivu náležitým způsobem, to je s okem ve středu promítání, potom se nám tato elipsa jeví opět jako kružnice a vjem je přesvědčivý. Bohužel, tento předpoklad, tedy pozorování z bodu, z něhož byla perspektiva konstruována, je málokdy splněn. Tím spíše, jedná-li se o panoramatický obraz na velké ploše. Pozorovatel neodolá a prochází kolem něj, zkoumaje jednotlivé detaily obrazu z různé vzdálenosti. Pozoruje jej tedy z nesprávného bodu a často i s jinou distancí. Jeli obraz reprodukovaný např. v knize, je obyčejně zmenšený (aby se tam vešel) a s tím se 149

12 v příslušném měřítku zmenší i distance správného pozorování. Ta je tímto často menší než blízký bod oka a správné pozorování obrazu je nemožné. Pozorujeme-li obraz s jinou distancí nebo z jiného než správného bodu, vzniká dojem pozorování nějakého jiného prostoru. V okolí hlavního bodu je rozdíl minimální, ale dále od něj rozdíl a zkreslení rostou. Obrysy kulových ploch jsou elipsy. Obrazy čtverců v pavimentu se zobrazují jako extrémně deformované čtyřúhelníky (dobře jsme to viděli na obraze Klanění tří králů od Leonarda). Jak tento nedostatek napravit? Pomineme-li možnosti tzv. nelineární perspektivy, nezbývá než opravdu omezit zorný úhel při konstruování perspektivy. Stanovit oblast (kružnici) správného zobrazování. Stanovení, v jaké vzdálenosti od H je už obraz příliš zkreslený, a tedy i určení takového úhlu je velice subjektivní, je proto u různých autorů stanoven v rozmezí 20 až 45. Snad až teprve tady můžeme odvozovat oblast správného zobrazování od zorného úhlu oka úvahou, že člověk je zvyklý tolerovat a korigovat různá zkreslení obrazu způsobená ovšem tvarem sítnice právě v rozsahu zorného úhlu oka a tedy nebude vnímat nesrovnalosti na průmětně způsobené nesprávným bodem pozorování, pokud vzniknou právě promítáním v oblasti nepřesahující tento úhel. Vyjmenujme si ještě jednou omezení, ke kterým jsme došli. Je to správná distance, která není menší než cca 21 cm. Dále zobrazování bodů v kuželovém prostoru, jejichž obraz padne do kružnice správného zobrazování, to jest body ležící uvnitř oblasti vymezené kuželovou plochou s vrcholem v O a vrcholovým úhlem v rozmezí 20 až 45. Jako podmínky doplňkové, tedy ne nutné, ale převážně se vyskytující, máme, že průmětna je svislá. Stojíme na základní rovině kolmé na průmětnu (vodorovné rovině). Na ní obyčejně stojí i předměty, které znázorňujeme. Podrobíme-li těmto podmínkám středové promítání, získáme perspektivní zobrazení. Perspektivní zobrazení je ovšem speciálním případem středového promítání, a proto může ten kdo je dobrým znalcem tohoto promítání, ke konstruování správných perspektiv použít všech jeho metod. My se však seznámíme se dvěma metodami perspektivního zobrazování, a to metodou průsečnou a metodou sítí, pro jejich názornost a snadné použití. 150

13 Průsečná metoda Víme, že perspektivní zobrazení je středové promítání upravené podle fyziologických a psychologických zákonitostí lidského vidění a vnímání prostoru a předmětů v něm rozmístěných. Díky tomu se vyznačuje velkou názorností výsledného obrazu, ovšem za cenu vyšší obtížnosti jeho konstrukce. Samotný princip perspektivního promítání je jednoduchý. Po vhodném umístění průmětny a středu promítání v prostoru konstruujeme promítací přímky (zorné paprsky) ze středu promítání O, procházející jednotlivými body zobrazovaného tělesa, a získáváme průniky těchto paprsků s průmětnou. Výsledný obraz na průmětně je pak hledaný perspektivní průmět. Toto vše se však odehrává v prostoru a konstruovat přímo v něm geometrickými metodami nemůžeme. Takto v prostoru bychom po zavedení souřadného systému mohli průniky hledat pouze analyticky. Jak tedy konstruovat perspektivní obrazy pomocí kružítka a pravítka? Řekli jsme si, že konstrukce perspektivního obrazu je obtížná. To vyplývá z vlastností středového (a tedy i perspektivního) promítání. Je to zobrazení, při kterém se rovnoběžky většinou zobrazí jako různoběžky, nezachovávají se poměry, velikost obrazu nezávisí pouze na velikosti vzoru, ale i na jeho vzdálenosti od průmětny. Některé vlastní body a přímky se zobrazují jako nevlastní a většina nevlastních jako vlastní. Jak tedy postupovat? Jednou z možností je odvodit si z teorie vlastnosti takového promítání. Jak závisí velikost obrazu předmětu na vzdálenosti od průmětny, jak najdeme bod, v němž se sbíhají obrazy rovnoběžných přímek (to jest obraz nevlastního bodu) atd. Znalost těchto vlastností nám umožní po zadání hlavních parametrů dané perspektivy, tj. vzájemné polohy průmětny a tělesa, distance a výšky středu promítání oka O nad základní rovinou, určit její důležité body a přímky: hlavní bod H, horizont h, základnici z, hlavní vertikálu v, levý, pravý, horní a dolní distančník L D, P D, H D, D D, hlavní a ostatní úběžníky U a,, U b...atd. Pomocí nich pak můžeme již přímo konstruovat perspektivní obraz zamýšlené skutečnosti. Práce se ještě ulehčí, pokud si předem podle nich zkonstruujeme pavimentum nebo perspektivní síť, do které už obrazy zamýšlených těles vpisujeme přímo v dané perspektivě. Tyto metody nazýváme metodami přímými. Tento postup je vhodný pro zobrazování prostoru a předmětů myšlených nebo zapamatovaných, tedy pro práci umělce nebo pro prvotní architektonický návrh. Jinou možností, a tou se teď budeme zabývat, jsou metody nepřímé. Jejich podstatou je obvyklý postup v deskriptivní geometrii, převedení problému z prostoru pomocí vhodného zobrazení na plochu, což umožní jeho geometrické řešení. Nejběžnějším vhodným zobrazením je ortogonální (kolmé) promítnutí zobrazovaného tělesa na dvě ortogonální průmětny. Jednu z průměten (označme si je 1 π, 2 π) sklopíme do druhé. Získáme zobrazení v rovině, kde každému bodu E 3 přináleží dva sdružené průměty, které bod jednoznačně určují. Pokud to někomu připomíná Mongeovo promítání, není to náhoda. Základní rovinu obyčejně ztotožníme s první průmětnou Mongeova promítání. Polohu zobrazovaného tělesa volíme tak, aby ortogonální průměty byly co nejjednodušší, bez nároků na názornost, to znamená hlavní směry tělesa rovnoběžné s průmětnami. 151

14 OBR. 122 OBR

15 Ortogonálně si ovšem nezobrazíme pouze těleso, ale celou situaci perspektivního promítání, to znamená všechny určující prvky perspektivy. Nejdříve zakreslíme přímku, která bude osou zorného kužele, a tím určíme směr perspektivního pohledu. Zpravidla bývá rovnoběžná se základní rovinou (kromě žabí a ptačí perspektivy) a měla by přibližně procházet středem zobrazovaného prostoru. Její výška nad základní rovinou je rovna vzdálenosti oka O a stanoviště S, to je přibližně 165 až 175 cm (samozřejmě v příslušném měřítku). Její první průmět je tedy přímka v požadovaném směru, druhý průmět rovnoběžka s osou Mongeova promítání. Nyní určíme střed promítání, to je polohu oka pozorovatele. Ta nemůže být libovolná. Oko O je vrcholem zobrazovacího kužele (a leží tedy samozřejně na jeho ose). Poloha tohoto vrcholu vzhledem k zobrazovanému útvaru určuje vrcholový úhel zobrazovacího kužele a ten musí přibližně odpovídat zornému úhlu lidského oka. Jinak by byl obraz nepřirozeně zkreslený. Jeho velikost je individuální, ale měla by být kolem 20. Z toho vyplývá, že vzdálenost středu promítání a zobrazovaného útvaru by měla být jedenapůl násobkem největšího příčného rozměru zobrazovaného tělesa ve směru osy. My se spokojíme s určením středu promítání z obou sdružených ortogonálních průmětů. Případná chyba tím vzniklá není tak důležitá, vždyť požadavek na velikost zorného úhlu byl jen přibližný. Najdeme v obou ortogonálních průmětech největší vzdálenost bodu zobrazovaného tělesa od osy zorného kužele a naneseme její trojnásobek na první ortogonální průmět o osy (ta je v tomto průmětu ve skutečné velikosti). Úsečku dané velikosti nanášíme od průniku osy s tělesem ve směru pozorovatele. Tak získáme první průmět O středu promítání a snadno sestrojíme i druhý. Teď zbývá ještě perspektivní průmětna ν. Ta je kolmá na zornou osu a tedy i na základní rovinu. Jinak může být její poloha libovolná, kromě případu, kdy by proťala střed promítání O. Její průmět do první průmětny je tak libovolná kolmice na průmět osy o 1. My si ji však umístíme tak, aby celý zobrazovaný předmět byl za průmětnou. V druhé průmětně se samozřejmě zobrazí do celé průmětny. Průnik perspektivní promítací roviny ν s osou o je hlavní bod perspektivy H. Jeho sdružené průměty snadno sestrojíme. Vzdálenost hlavního bodu a oka je distance d= OH. Ta nám říká, z jaké vzdálenosti musíme výsledný perspektivní obraz sledovat k vytvoření správného prostorového dojmu. Z toho vyplývá také její nejmenší vhodná velikost cca 21cm - tak zvaný blízký bod, přes který by již nebylo možno zdravým okem obraz dostatečně zaostřit. (Takovýmto obrazům říkáme miniatury a jejich správné pozorování s předpokládaným dojmem prostoru je možné pouze přes zvětšovací sklo.) Distance d je kromě absolutní polohy pozorovatele a perspektivní průmětny závislá také na měřítku celé situace v ortogonálních průmětech. Pokud vám disance po určení středu promítaní O vyšla malá, nepropadejte panice. Vzhledem k běžnému formátu rysu a umístění perspektivní průmětny před zobrazovaný předmět nám ani jinak vyjít nemohla. Později se dozvíme, jak tento problém vyřešit. Dalším prvkem perspektivy, který si sestrojíme, je horizont h, přímka kolmá na osu o, rovnoběžná se základní rovinou a procházející hlavním bodem H. Její první průmět splývá se stopou perspektivní roviny ν. Druhý je rovnoběžný s osou Mongeova promítání a prochází druhým průmětem hlavního bodu H. Těleso, které nejčastěji zobrazujeme, je kvádr (popřípadě jiné jednoduché geometrické těleso). Jeho zobrazení je maximálně jednoduché a přitom ho můžeme použít jako obal složitějších útvarů, které bychom jinak museli zobrazovat bod po bodu. Místo toho zobrazíme perspektivně pouze kvádr a těleso do něho v perspektivě vpisujeme. Složitější těleso můžeme obalit větším množstvím kvádrů s rovnoběžnými stěnami. Další postup je stejný. Po tom, co jsme stanovili všechny prvky perspektivy v Mongeově promítání, můžeme v tomto zobrazení provádět celý proces konstrukce perspektivního obrazu. Zvolíme libovolný bod tělesa (v našem případě jeden z vrcholů kvádru, např. A) v prvním ortogonálním průmětu a spojíme ho prvním průmětem zorného paprsku a 1 se středem 153

16 promítání, okem O. Tím získáme v prvním průmětu průnik A p 1 promítací přímky s nákresnou. Stejně tak zkonstruujeme odpovídající průmět zorného paprsku a 2 v druhé průmětně a snadno nalezneme i druhý průmět průniku A p 2 s perspektivní nákresnou. Takto postupujeme dál až po nalezení průmětů všech význačných bodů tělesa (v našem případě vrcholů kvádru). Víme, že v obou druzích promítání (perspektivním i ortogonálním) se přímky zobrazují opět jako přímky (resp. body). Můžeme tedy získané odpovídající si body (vrcholy) spojit úsečkami. V prvním průmětu všechny splynou s přímkou ν 1, obrazem průmětny. Ve druhém průmětu získáme už obraz krychle. Ale pozor, to není námi hledaný perspektivní obraz! Je to pouze jeho šikmý rovnoběžný průmět. Přímo perspektivní obraz bychom získali pouze tehdy, pokud by průmětna středového promítání byla rovnoběžná s některou z průměten ortogonální projekce (Mongeova promítání), to je ovšem pouze speciální případ. Jak tedy získáme perspektivní obrazec? Nejpřehlednějším způsobem je nekreslit ho na plochu s ortogonálními průměty a nemíchat tak dohromady dva druhy projekce, ale nakreslit jej zvlášť. Zvolíme si proto rovinu (obr. ) mimo Mongeův průmět, v ní přibližně ve středu zvolíme bod, bude to hlavní bod H perspektivního promítání, a dvě jím procházející a na sebe kolmé přímky, vodorovný horizont h a svislou hlavní vertikálu v. Ty nám vlastně tvoří osy souřadného systému s počátkem v H. Chceme-li do něj přenést perspektivní průmět bodu z průmětny znázorněné v Mongeově promítání, stačí přenést odpovídající vzdálenosti. Např. znázorňujeme perspektivní průmět bodu A p. V prvním ortogonálním průmětu najdeme vzdálenost ortogonálních průmětů A' 1 a hlavního bodu H 1 a přeneseme do roviny na horizont h. Ve druhém ortogonálním průmětu najdeme jejich vzdálenost A p 2H 2 a přeneseme do roviny na vertikálu v. Toto jsou souřadnice perspektivního obrazu bodu A. Pomocí kružítka nebo papírové mírky postupně přeneseme všechny důležité body a získáme perspektivní obraz celého tělesa (v našem případě kvádru nebo skupiny kvádrů). Pokud bychom tuto konstrukci prováděli v rovině s Mongeovými průměty (horizontem h by byl první průmět promítací roviny ν 1, hlavním bodem H jeho obraz H 1 a vertikálou v osa zorného kužele o 1 ), ušetřili bychom si sice přenášení souřadnic na horizont h, ale konstrukce by byla méně přehledná. Po provedení konstrukce a získání perspektivního obrazu (obrazu kvádru) můžeme provést kontrolu její správnosti a přesnosti. Víme už, že obrazy rovnoběžných přímek (zde hran kvádru), pokud nejsou průčelné, jsou různoběžky, které se protnou v úběžnících jako obrazech nekonečně vzdálených bodů. Postup jejich hledání v Mongeově promítání je zřejmý. V prvním průmětu zkonstruujeme rovnoběžky s hlavními směry (kvádru), procházející prvním průmětem středu promítání O 1. Tyto rovnoběžky jsou vlastně první průměty směrových přímek hlavních směrů určených hranami kvádru. Jejich průniky s prvním průmětem průmětny ν 1 jsou první průměty úběžníků U 1, 1 U2 1 těchto směrů. Potom obdobným způsobem nalezneme druhé průměty těchto úběžníků U 1 2, U 2 2. Známým způsobem je přeneseme do roviny perspektivního obrazu. Jestliže jsme postupovali správně, měly by se do nich sbíhat obrazy hran kvádrů. Z takto provedené kontroly vyplývá další možnost konstruování perspektivního obrazu. Této variantě průsečné metody říkáme vrstevnicová metoda. Nejprve si sestrojíme perspektivní obraz půdorysu zobrazovaných předmětů (kvádru, kvádrů). Základem konstrukce je základnice z jako přímka vzniklá průmětem průmětny perspektivního promítání a základní roviny, která je v tomto případě totožná s první průmětnou π 1 Mongeova promítání. Prodloužené hrany půdorysu kvádrů, přímky, které na těchto hranách leží, protínají základnici v bodech, jejichž perspektivy snadno nalezneme (jsou samy sobě perspektivními průměty). Potom nalezneme úběžníky směrů určených hranami kvádru. Pomocí těchto úběžníků a bodů na základnici nakreslíme perspektivní obrazy přímek půdorysu a tedy i celý půdorys. 154

17 OBR

18 OBR

19 Známým způsobem doplníme půdorys perspektivními obrazy výšek svislých hran. Tato konstrukce perspektivy je rychlejší, snazší a nakonec i přesnější než přenášení obrazu po jednotlivých bodech. Nevýhodou předchozí metody je ale to, že pracujeme s úběžníky směrů tělesa, které jsou zpravidla velmi vzdálené. Jednou možností je, že si pro celou situaci zvolíme měřítko takové, aby se úběžníky vešly na nákresnu, a získaný obrázek, který bude nutně malý, po skončení konstrukce homoteticky zvětšíme (středem homotetie bude nejlépe bod H) tak, aby zaplnil celou nákresnu. Jinou možností, pokud se chceme vyhnout zvětšování malého obrázku, jež je nutně nepřesné, je tzv. dvojúběžníková metoda. Obraz půdorysu můžeme totiž sestrojit také pomocí takových horizontálních rovnoběžek, jejichž úběžník ležící na horizontě není příliš vzdálen od hlavního bodu. Jedním z takových směrů jsou například přímky kolmé na průmětnu ν, tzv. hloubkové přímky. Druhý směr s vhodným úběžníkem zvolíme libovolně, je však třeba mít na paměti, že čím menší úhel oba směry svírají, tím je nalezení průsečíků jejich přímek nepřesnější. Těmito průsečíky si vyznačíme význačné body zobrazovaného tělesa. Další postup, tedy konstrukce perspektivních obrazů těchto pomocných přímek dvou směrů, je stejný jako v předchozí metodě. 157

20 Síťové metody V předchozím jsme se naučili konstruovat pavimentum v průčelné poloze a používat ho jako perspektivní obraz čtvercové sítě k určování šířek a hloubek a k určování polohy předmětů v perspektivním zkrácení. Pavimentum nám prostor rozdělilo do hloubky. Pokud jsme chtěli perspektivně znázornit nějaký předmět, nejprve jsme pomocí perspektivního obrazu čtvercové sítě zakreslili jeho půdorys a potom vynášeli v perspektivním zkrácení jednotlivé výšky. Situaci jsme si ulehčili, pokud jsme si celý proces konstrukce pavimenta zopakovali pro vhodnou svislou rovinu, kolmou na průmětnu. Ta nám prostor rozdělila i na výšku. Výšky zobrazovaného předmětu jsme potom v příslušné hloubce mohli odečítat na této svislé síti, anebo do ní přímo zakreslit perspektivní obraz bokorysu. Pokud doplníme vhodně další perspektivní obrazy svislých, popř. vodorovných čtvercových sítí kolmých na průmětnu nebo průčelných, získáme perspektivní síť, pohled do uzavřeného prostoru, který můžeme použít na zakreslení jednostředé perspektivy interiéru místnosti. Bez zadní průčelné stěny a bez stěny horní vodorovné je to vhodná pomůcka k jednoúběžníkové perspektivě ulice s frontou domů. Tak by nám ovšem tato metoda, nazývaná metoda sítí, umožňovala konstruovat pouze perspektivy jednoduché jednoúběžníkové. Předtím, než se dozvíme, jak používat metody sítí ke konstrukci neprůčelných perspektiv, musíme se naučit kreslit pavimentum, vodorovnou čtvercovou síť, v neprůčelné poloze. Ta se skládá ze dvou skupin rovnoběžek, takzvaných osnov, jejichž úběžníky leží na horizontu. Jak ale určit tyto úběžníky? OBR

21 Víme, že umělci minulých dob, kteří dvojúběžníkovou perspektivu používali, jejich polohu na horizontu nejspíše pouze odhadovali, pokud si nepomáhali camerou obscurou. My si je však s našimi znalostmi můžeme určit přesně. Úběžníky dvou skupin rovnoběžek nalezneme jako průsečíky jejich směrových přímek (to je přímek s nimi rovnoběžných, procházejících okem O) s průmětnou ν. Toto se však děje v prostoru. Jak celou věc znázornit? Představme si, že jsme horizontální rovinu (rovina rovnoběžná se základní rovinou, procházející okem O), ve které leží směrové přímky osnov neprůčelného pavimenta, otočili kolem horizontu h do průmětny. Potom jako bychom se na celou situaci dívali z velké dálky shora. Horizont h je nyní obrazem průmětny ν. Kromě otočené polohy bodu O 0 si zakreslíme do otočené horizontální roviny jeden ze čtverců zobrazovaného neprůčelného pavimenta v požadované poloze. Rovnoběžky s jeho stranami vedené okem O, popřípadě přímky ležící na jeho stranách, tvoří-li bod O jeden z jeho vrcholů, protnou horizont h (obraz průmětny ν) ve dvou bodech - a to jsou hledané úběžníky osnov neprůčelného pavimenta. Pro další snadnější postup ještě stejným způsobem najdeme úběžník jedné úhlopříčky čtverce (čtverců) pavimenta. Teď se vrátíme opět k pohledu na perspektivní průmětnu. Zvolíme libovolný bod, nejlépe na základnici. Spojíme ho s úběžníkem jednoho směru osnovy a na této přímce určíme libovolně délku strany jednoho čtverce (určujeme ale délku jejího obrazu v perspektivě, skutečnou délku ještě určit neumíme). Koncovými body takto vzniklého perspektivního obrazu úsečky (strany obrazu čtverce) proložíme přímky s úběžníky obou směrů osnov a směru úhlopříčky čtverce. Průnik těchto přímek určí další vrcholy čtverce a takto mohu postupovat až po zkonstruování neprůčelného pavimenta požadované velikosti. Místo skládání pavimenta z jednotlivých čtverců jsme mohli najít obraz jednoho velkého a jeho strany potom perspektivně rozdělit na stejné díly a tak snadněji získat perspektivní obraz neprůčelné čtvercové sítě. Jak však strany rozdělit? Vybereme si libovolný bod (úběžný bod) na horizontu h a proložíme z něj přímky koncovými body úsečky, kterou chceme perspektivně rozdělit na stejné díly (tady jsou to koncové body jedné strany čtverce). Přímky mi vytnou úsečku na základnici z. Známou středoškolskou metodou ji rozdělíme na požadovaný počet stejných dílů. Správnost takové konstrukce se ozřejmí, když si uvědomíme, že přímky proložené pomocným úběžníkem a stejně vzdálenými body na základnici, jsou obrazy stejně vzdálených rovnoběžek. Získanými body a zvoleným pomocným úběžníkem proložíme přímky. Jejich průniky s perspektivním obrazem strany čtverce ho rozdělují perspektivně na daný počet stejných dílů. Získanými body vedeme přímky do odpovídajícího úběžníku osnovy. Dostali jsme perspektivní obrazy přímek jedné osnovy pavimenta. Na počátku zvoleným bodem a úběžníkem úhlopříček čtverců pavimenta vedeme přímku. Ta je perspektivním obrazem diagonály tvořené těmito úhlopříčkami. Její průniky s přímkami první osnovy určí body, které určí s úběžníkem druhého směru obrazy přímek druhé osnovy pavimenta. Máme tak perspektivní obraz pavimenta; ještě však neumíme určit skutečnou velikost jedné strany čtverce. Pavimentum nám rozdělí prostor do hloubky pro zakreslení těles v neprůčelné poloze (samozřejmě stejných základních směrů jako má pavimentum). Ale zpět k sítím. Když jsme pavimentum v průčelné poloze doplnili obrazy vhodných svislých čtvercových sítí, získali jsme perspektivní síť, která nám rozdělovala prostor. Poté, co jsme se naučili konstruovat pavimentum v neprůčelné poloze, můžeme tuto konstrukci zobecnit. Postavme na základní rovinu dvě neprůčelné roviny navzájem kolmé. Narýsujme v těchto rovinách čtvercové sítě o dané délce hrany čtverců a orientované v rovinách tak, aby strany čtverců byly rovnoběžné s průsečnicemi zvolených rovin. Směry těchto průsečnic tvoří souřadný systém, ve kterém můžeme odměřovat šířky, délky a výšky. Tím jsme si opět rozdělili prostor. Zkonstruujeme-li perspektivní obraz těchto tří čtvercových 159

22 sítí, získáme perspektivní síť, do které na základě známých rozměrů tělesa (skupiny těles) zakreslíme jeho perspektivní obraz. Jak provedeme samotnou konstrukci? Nejprve, poté, co jsme určili rozměry sítě, velikost jejího modulu (velikost čtverců, ze kterých se skládá), a její polohu, nakreslíme jako první perspektivní obraz čtvercové sítě ležící v základní rovině, to jest "pavimentum" v neprůčelné poloze. Tuto konstrukci již známe. Dále doplníme obraz pavimenta perspektivními obrazy čtvercových sítí ležících ve svislých rovinách procházejících stranami čtverce neprůčelného pavimenta. Jednu osnovu zobrazované svislé čtvercové sítě tvoří svislé rovnoběžky kolmé na základní rovinu. Jejich obrazy jsou opět svislé rovnoběžky (každá přece leží v průčelné rovině). Jejich požadovanou výšku odměříme jejich vysunutím do průmětny. Jejich perspektivní odstupňování do hloubky odečteme na obrazu sestrojeného pavimenta. Druhá osnova je systém neprůčelných přímek rovnoběžných s jednou z osnov horizontálního pavimenta. Proto jejich obrazy jsou různoběžky procházející stejným úběžníkem. Jejich obrazy bychom snadno našli, kdybychom měli perspektivní obraz úhlopříčky čtverců této svislé sítě. Sestrojíme-li svislou přímku kolmou na základnici, procházející úběžníkem hledaných obrazů přímek, je tato přímka úběžnicí vertikální roviny, ve které přímky leží. Další postup už je známý. Naneseme směrem nahoru na svislici velikost distance a získaný bod je úběžníkem diagonál, tvořených úhlopříčkami čtverců svislé sítě. Sestrojíme vhodnou diagonálu a pomocí jejích průniků se svislými přímkami jedné osnovy pak sestrojíme průniky druhé osnovy procházející úběžníkem. Celý proces zopakujeme i pro druhou svislou rovinu. Podle toho, které svislé roviny zvolíme, získáme různé sítě: pohled "do rohu místnosti" nebo "na nároží domu". Při konstruování sítě nesmíme zapomenout na správnou distanci, která by měla být zhruba trojnásobkem největšího průčelného rozměru zobrazovaného tělesa (tedy i sítě). Jinak by byl zorný úhel příliš velký a získaný obraz při pohledu z jiného stanoviště příliš zkreslený. Dalším důležitým parametrem je určení výšky horizontu. Ten by měl být, jak už víme, m ve výšce předpokládaného pozorovatele. V interierové síti pro zobrazení běžné místnosti jsou to přibližně dvě třetiny její výšky. Při pohledu na nároží, tedy v síti sloužící k zobrazení architektury, je horizont, stejně jako oči pozorovatele, někde v úrovni prvního nadzemního podlaží. Stejně tak musíme určit modul sítě, to jest rozměr, který určuje jeden čtverec perspektivní sítě. Při zobrazení interiéru bude odvozen z velikosti zobrazovaných předmětů a postav, tedy např. 1/8 výšky lidského těla. V perspektivní síti pro architekturu může mít jeden čtverec rozměry patra budovy. Právě při zobrazování do této sítě narážíme na problém. Výška horizontu a tedy šířka pásu určeného horizontem h a základnicí z, do které se zobrazí základní rovina, je vzhledem k celkové velikosti obrazu velmi malá. Z toho vyplývá nepřesnost konstrukcí v základní rovině. Obrazy přímek v základní rovině se protínají pod malým úhlem a takto získané průniky jako obrazy hledaných bodů jsou nutně nepřesné. Platí pravidlo, že při všech konstrukcích je přesnost o to vyšší, čím více se úhel, který svírají protínající se přímky, blíží úhlu pravému. V tom případě zvolíme níže položenou základní rovinu π' rovnoběžnou se základní rovinou π a půdorysy rovinných útvarů v ní zobrazíme pravoúhlou osovou afinitou, jejíž osa je horizont h a pár odpovídajících si přímek jsou základnice z a z'; z'=π' ν. Sítě umožňují snadnou konstrukci perspektivních pohledů, jejich dodatečnou úpravu a vnášení dalších detailů bez nutnosti jejiho složitého promýšlení To je však vykoupeno určitou nevýhodou, že sítí, kterou máme k dispozici, jsou již pevně určeny parametry takové perspektivy, to jest distance, stanoviště, výška horizontu, zorný úhel. Nevýhoda je částečně eliminována možností mít velké množství připravených sítí pro různé situace. Tyto vyšly tiskem, popř. je možno si požadovanou síť pro daný pohled připravit. Sítě je možno využít pro konstrukce perspektivních pohledů v technických oborech, stavebnictví a architektuře. Jsou 160

23 vhodné i pro první seznámení s perspektivními metodami, pro svou jednoduchost a rychlé výsledky. Obrazy přímek v základní rovině se protínají pod malým úhlem a takto získané průniky jako obrazy hledaných bodů jsou nutně nepřesné. Platí pravidlo, že při všech konstrukcích je přesnost o to vyšší, čím více se úhel, který svírají protínající se přímky, blíží úhlu pravému. V tom případě zvolíme níže položenou základní rovinu 1 π' rovnoběžnou se základní rovinou 1 π a půdorysy rovinných útvarů v ní zobrazíme pravoúhlou osovou afinitou, jejíž osa je horizont h a pár odpovídajících si přímek jsou základnice z a z'; z'= 1 π' 2 π. 161

24 Ukázky kreseb vytvořených pomocí programu pro tisk sítí 162

25 163

26 164