Perspektiva. Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy. Obsahuje: zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen

Transkript

1 Perspektiva Doplňkový text k úvodnímu cvičení z perspektivy Obsahuje: úvodní pojmy určení skutečné velikosti úsečky zadané v různých polohách zobrazení kružnice v základní rovině metodou osmi tečen 1

2 Příklad 1 Základní pojmy: s π perspektivní průmětna 1 π základní rovina z = 1 π s π základnice 1 π obzorová rovina h = 1 π s π horizont S střed promítání k hloubková přímka H hlavní bod=úběžník hloubkové přímky Bod A 1 π se promítacím paprskem s procházejícím středem promítání S zobrazí do bodu A s s π. Hlavní bod H h je kolmým průmětem středu promítání S do s π. Bodem A 1 π vedeme hloubkovou přímku k s π, jejíž úběžník je v hlavním bodě H. Proto je k s =HA s. Přímka k dále protíná s π ve stopníku N s z, který také leží na průmětu k s. Nyní střed S sklopíme do s π do bodu (S) = D d tak, že SH = H(S), H(S) h. Současně se bod A sklopí do bodu (A) s π. Platí, že AN s = N s (A), N s (A) z. Protože v prostoru ležely v jedné přímce (na promítacím paprsku s) body S, A a A s, budou také na jedné přímce ležet body (S), (A) a A s. Bod (A) tedy najdeme jako průsečík spojnice (S)A s s kolmicí na základnici z vedenou bodem N s. Postup konstrukce k s = HA s, N s = k s z, N s (k) z, (A) = (S)A s (k). Příklad 2 Přímky ležící v horizontální rovině ( 1 π) mají úběžník na horizontu h. Tedy U a = a s h. V obzorové rovině 1 π leží přímky a a b, přičemž S a a, S b b. Přímky a a b svírají úhel 60, což uvidíme po sklopení obzorové roviny 1 π do perspektivní průmětny s π. Postup konstrukce (a )=(S)U a, (S) (b ), [(a )(b )]=60, U b =(b ) h, b s =U b B s, c s =U b C s. 2

3 Příklad 3 Skutečná velikost úsečky ve frontální rovině: D 1 π, CD 1 π. Body C a D promítneme přímkami k a l do s π do bodů [C] a [D]. Přitom je k, l s π a [D] z. Platí, že CD = [C][D]. Průměty k s, l s procházejí hlavním bodem H. k s = HD s, l s = HC s. Bod [D] = k s z, [C][D] z. Pozn. Místo hloubkových přímek k, l lze užít přímky rovnoběžné s 1 π. Ty pak mají úběžník U h, který si můžeme zvolit libovolně. B 1 π, AB s π. Body A, B promítneme přímkami k, l s π do bodů [A], [B] s π, přičemž [B] z. Pak je AB = [A][B]. Úsečka AB je rovnoběžná se svým perspektivním průmětem A s B s. Průměty k s, l s procházejí hlavním bodem H. k s = HB s, l s = HA s. [B] = k s z, [A][B] AB. Pozn. Místo hlavního bodu H bychom opět mohli užít libovolný úběžník U h. Příklad 4 Skutečná velikost úsečky na hloubkové přímce: Úsečka AB k s π. Body A, B promítneme přímkami a, b do bodů [A], [B] z. Přímky a, b svírají se základnicí z úhel 45. Pak je AB = [A][B]. Průměty a s, b s procházejí levým (pravým) distančníkem. Tedy a s = A s D l, b s = B s D l. [A] = a s z, [B] = b s z. 3

4 Příklad 5 Skutečná velikost úsečky na přímce v základní (případně horizontální) rovině: Body A, B p promítneme přímkami a, b do bodů [A], [B] z. Přímky a, b jsou kolmé na osu úhlu, který svírá přímka p se základnicí z. Pak je AB = [A][B]. Sklopením obzorové roviny 1 π do průmětny s π najdeme na horizontu h společný úběžník U a =U b přímek a, b. Ten se nazývá dělící (resp. měřící) bod přímky p a označujeme ho D p (= M p ). Získáme ho jako průsečík horizontu h s dělící kružnicí, která má střed v úběžníku U p a prochází bodem (S). Pak a s = D p A s, b s = D p B s, [A] = a s z, [B] = b s z. Příklad 6 Zobrazení kružnice v základní rovině metodou 8 tečen: 4

5 Úlohu řešíme otočením základní roviny 1 π do průmětny s π (viz Př. 1). Průměr AB kružnice leží na hloubkové přímce, tj. k s = HO s, A s =(A) = k s z. Určíme (k) z, na níž najdeme bod (O) jakožto průsečík s promítacím paprskem (S)O s. Pak sestrojíme otočenou kružnici, která je vepsaná do dvou čtverců vzájemně pootočených o 45. Střední příčky jednoho čtverce jsou průměry (A)(B) a (C)(D) kružnice, druhý čtverec má vrcholy (P ), (Q), (R), (T ). Užitím promítacích paprsků přeneseme všechny tyto body zpátky do průmětny s π. B s = k s (B)(S), P s = k s (P )(S), Q s = k s (Q)(S). Bodem O s vedeme průměr kružnice rovnoběžný se základnicí, který omezíme vrcholy C s a D s. Na této přímce také leží body R s a T s. Body C s a D s vedeme hloubkové přímky procházející hlavním bodem H, bodem B s vedeme rovnoběžku se základnicí. Tím získáme perspektivní průmět jednoho čtverce opsaného kružnici včetně bodů dotyku na jeho stranách. Poznamenejme, že na základnici leží samodružné body společné otočené poloze přímky a perspektivnímu průmětu této přímky. Druhý čtverec P s Q s R s T s má body dotyku na úhlopříčkách prvního čtverce. Tím získáme 8 tečen kružnice s body dotyku. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. 5