MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

Transkript

1 část 1.

2 MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem ( ) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

3 ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten sdružení průměten π 1... půdorysna (první průmětna) π 2... nárysna (druhá průmětna) x... osa x (průsečnice průměten) A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A Každý bod prostoru je jednoznačně dán svým prvním a druhým průmětem. Tyto průměty leží na kolmici na osu x, takové kolmici říkáme ordinála.

4 ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

5 ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

6 ZOBRAZENÍ PŘÍMKY p 1... půdorys přímky p p 2... nárys přímky p

7 ZOBRAZENÍ PŘÍMKY P... půdorysný stopník (průsečík přímky s π 1 ) N... nárysný stopník (průsečík přímky s π 2 ) P 1... půdorys půdorysného stopníku P 2... nárys půdorysného stopníku N 1... půdorys nárysného stopníku N 2... nárys nárysného stopníku

8 Příklad: Určete podle obrázků polohu přímky p vzhledem k průmětnám.

9 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do půdorysny sklápíme první promítací rovinu přímky AB

10 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do půdorysny sklápíme první promítací rovinu přímky AB

11 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do půdorysny sklápíme první promítací rovinu přímky AB

12 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do polohy rovnoběžné s půdorysnou

13 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do polohy rovnoběžné s půdorysnou

14 SKLOPENÍ PŘÍMKY - do polohy rovnoběžné s půdorysnou

15 Obdobně funguje i sklápění do nárysny a do polohy rovnoběžné s nárysnou. Příklad: Určete odchylku přímky p (A, B) od nárysny.

16 Obdobně funguje i sklápění do nárysny a do polohy rovnoběžné s nárysnou. Příklad: Určete odchylku přímky p (A, B) od nárysny.

17 Obdobně funguje i sklápění do nárysny a do polohy rovnoběžné s nárysnou. Příklad: Určete odchylku přímky p (A, B) od nárysny.

18 vzájemná poloha dvou přímek rovnoběžky různoběžky mimoběžky

19 ZOBRAZENÍ ROVINY - stopy roviny

20 Příklad: Určete podle obrázků polohu roviny σ vzhledem k průmětnám.

21 ZOBRAZENÍ ROVINY - hlavní a spádové přímky první osnovy hlavní přímka 1 h ρ... přímka roviny ρ rovnoběžná s první průmětnou

22 ZOBRAZENÍ ROVINY - hlavní a spádové přímky první osnovy hlavní přímka 1 h ρ... přímka roviny ρ rovnoběžná s první průmětnou spádová přímka 1 s ρ... přímka roviny ρ kolmá na hlavní přímky první osnovy

23 ZOBRAZENÍ ROVINY - hlavní a spádové přímky druhé osnovy hlavní přímka 2 h ρ... přímka roviny ρ rovnoběžná s druhou průmětnou

24 ZOBRAZENÍ ROVINY - hlavní a spádové přímky druhé osnovy hlavní přímka 2 h ρ... přímka roviny ρ rovnoběžná s druhou průmětnou spádová přímka 2 s ρ... přímka roviny ρ kolmá na hlavní přímky druhé osnovy

25 Příklad: Je dán první průmět bodu A a stopy roviny ρ. Určete druhý průmět bodu A, jestliže bod A leží v rovině ρ.

26 Příklad: Je dán první průmět bodu A a stopy roviny ρ. Určete druhý průmět bodu A, jestliže bod A leží v rovině ρ.

27 Příklad: Je dán první průmět bodu A a stopy roviny ρ. Určete druhý průmět bodu A, jestliže bod A leží v rovině ρ.

28 Příklad: Určete stopy roviny ρ, která je zadána rovnoběžkami a, b.

29 Příklad: Určete stopy roviny ρ, která je zadána rovnoběžkami a, b.

30 Příklad: Určete stopy roviny ρ, která je zadána rovnoběžkami a, b.

31 Příklad: Určete stopy roviny ρ, která je zadána rovnoběžkami a, b.

32 Příklad: Určete stopy roviny ρ, která je zadána rovnoběžkami a, b.

33 průsečnice dvou rovin daných stopami

34 průsečnice dvou rovin

35 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU - metoda krycí přímky

36 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU - metoda krycí přímky krycí přímka r... průsečnice promítací roviny přímky p s rovinou ρ

37 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU - metoda krycí přímky krycí přímka r... průsečnice promítací roviny přímky p s rovinou ρ

38 PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU - metoda krycí přímky krycí přímka r... průsečnice promítací roviny přímky p s rovinou ρ

39 Příklad: Určete průsečík přímky p s rovinou danou různoběžkami a, b.

40 Příklad: Určete průsečík přímky p s rovinou danou různoběžkami a, b.

41 Příklad: Určete průsečík přímky p s rovinou danou různoběžkami a, b.

42 Příklad: Určete průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC

43 Příklad: Určete průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC

44 Příklad: Určete průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC

45 Příklad: Určete průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC

46 Příklad: Určete průsečík přímky a s trojúhelníkem ABC

47 ZOBRAZENÍ KRUŽNICE kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa

48 ZOBRAZENÍ KRUŽNICE kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice se zobrazuje ve skutečné velikosti pouze na hlavních přímkách procházejících středem kružnice...v prvním průmětu na 1 h ρ 1, v druhém průmětu na 2 h ρ 2

49 ZOBRAZENÍ KRUŽNICE kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice se zobrazuje ve skutečné velikosti pouze na hlavních přímkách procházejících středem kružnice...v prvním průmětu na 1 h ρ 1, v druhém průmětu na 2 h ρ 2 koncové body průměrů zobrazených ve skutečné velikosti jsou hlavními vrcholy elips v jednotlivých průmětech, vedlejší vrcholy získáme proužkovou konstrukcí

50 ZOBRAZENÍ KRUŽNICE kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice se zobrazuje ve skutečné velikosti pouze na hlavních přímkách procházejících středem kružnice...v prvním průmětu na 1 h ρ 1, v druhém průmětu na 2 h ρ 2 koncové body průměrů zobrazených ve skutečné velikosti jsou hlavními vrcholy elips v jednotlivých průmětech, vedlejší vrcholy získáme proužkovou konstrukcí

51 ZOBRAZENÍ KRUŽNICE kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice se zobrazuje ve skutečné velikosti pouze na hlavních přímkách procházejících středem kružnice...v prvním průmětu na 1 h ρ 1, v druhém průmětu na 2 h ρ 2 koncové body průměrů zobrazených ve skutečné velikosti jsou hlavními vrcholy elips v jednotlivých průmětech, vedlejší vrcholy získáme proužkovou konstrukcí konstrukcí oskulačních kružnic získáme představu o tvaru elips a vykreslíme je

52 ZOBRAZENÍ TĚLES - s podstavou v půdorysně pravidelný kolmý čtyřboký jehlan šikmý válec

53 ZOBRAZENÍ TĚLES - s podstavou v nárysně rotační kužel šikmý trojboký hranol

54 PERSPEKTIVNÍ AFINITA malé odbočení - vztah mezi objekty promítnutými z jedné roviny do druhé roviny směrem, který není rovnoběžný ani s jednou z rovin o... osa afinity, s... směr afinity, A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na rovnoběžkách se směrem s odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence, rovnoběžné přímky se zobrazí na rovnoběžné přímky, střed úsečky se zobrazí na střed úsečky

55 Příklady perspektivní afinity: - mezi dolní podstavou hranolu a řezem hranolu: osa afinity je průsečnice roviny dolní podstavy s rovinou řezu, směr afinity je rovnoběžný s bočními hranami - mezi rovinou a jejím otočeným obrazem: osa afinity je osa otáčení, směr afinity je určený libovolným bodem původní roviny a jeho otočeným obrazem

56 OSOVÁ AFINITA vzniká promítnutím perspektivní afinity do roviny (směr promítání musí být různoběžný od rovin ve kterých probíhala perspektivní afinita od původního směru promítání a od roviny do které promítáme) vlastnosti perspektivní afinity zůstávají zachovány afinita (perspektivní i osová) je daná osou o a párem odpovídajících si bodů AA, které určují směr afinity s AF = (o AF, A, A )

57 OSOVÁ AFINITA vzniká promítnutím perspektivní afinity do roviny (směr promítání musí být různoběžný od rovin ve kterých probíhala perspektivní afinita od původního směru promítání a od roviny do které promítáme) vlastnosti perspektivní afinity zůstávají zachovány afinita (perspektivní i osová) je daná osou o a párem odpovídajících si bodů AA, které určují směr afinity s AF = (o AF, A, A )

58 OSOVÁ AFINITA vzniká promítnutím perspektivní afinity do roviny (směr promítání musí být různoběžný od rovin ve kterých probíhala perspektivní afinita od původního směru promítání a od roviny do které promítáme) vlastnosti perspektivní afinity zůstávají zachovány afinita (perspektivní i osová) je daná osou o a párem odpovídajících si bodů AA, které určují směr afinity s AF = (o AF, A, A )

59 OSOVÁ AFINITA vzniká promítnutím perspektivní afinity do roviny (směr promítání musí být různoběžný od rovin ve kterých probíhala perspektivní afinita od původního směru promítání a od roviny do které promítáme) vlastnosti perspektivní afinity zůstávají zachovány afinita (perspektivní i osová) je daná osou o a párem odpovídajících si bodů AA, které určují směr afinity s AF = (o AF, A, A )

60 OSOVÁ AFINITA vzniká promítnutím perspektivní afinity do roviny (směr promítání musí být různoběžný od rovin ve kterých probíhala perspektivní afinita od původního směru promítání a od roviny do které promítáme) vlastnosti perspektivní afinity zůstávají zachovány afinita (perspektivní i osová) je daná osou o a párem odpovídajících si bodů AA, které určují směr afinity s AF = (o AF, A, A )

61 ŘEZY TĚLES - hranol postup řešení - řez hranolu rovinou: najdeme jeden bod řezu - průsečík jedné z bočních hran hranolu s rovinou řezu určíme osu afinity mezi řezem a dolní podstavou - průsečnice roviny řezu s rovinou dolní podstavy další body řezu na hranách určíme afinitou určíme viditelnost řezu

62 Poznámka: Tak jako je mezi řezem hranolu a jeho dolní podstavou vztah afinity, tak je mezi řezem jehlanu a jeho dolní podstavou vztah středové kolineace. STŘEDOVÁ KOLINEACE je daná osou o středem S a párem odpovídajících si bodů AA (které leží na přímce procházející středem) KOL = (S, o, A, A ), A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na přímkách procházejících středem S odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence

63 Poznámka: Tak jako je mezi řezem hranolu a jeho dolní podstavou vztah afinity, tak je mezi řezem jehlanu a jeho dolní podstavou vztah středové kolineace. STŘEDOVÁ KOLINEACE je daná osou o středem S a párem odpovídajících si bodů AA (které leží na přímce procházející středem) KOL = (S, o, A, A ), A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na přímkách procházejících středem S odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence

64 Poznámka: Tak jako je mezi řezem hranolu a jeho dolní podstavou vztah afinity, tak je mezi řezem jehlanu a jeho dolní podstavou vztah středové kolineace. STŘEDOVÁ KOLINEACE je daná osou o středem S a párem odpovídajících si bodů AA (které leží na přímce procházející středem) KOL = (S, o, A, A ), A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na přímkách procházejících středem S odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence

65 Poznámka: Tak jako je mezi řezem hranolu a jeho dolní podstavou vztah afinity, tak je mezi řezem jehlanu a jeho dolní podstavou vztah středové kolineace. STŘEDOVÁ KOLINEACE je daná osou o středem S a párem odpovídajících si bodů AA (které leží na přímce procházející středem) KOL = (S, o, A, A ), A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na přímkách procházejících středem S odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence

66 Poznámka: Tak jako je mezi řezem hranolu a jeho dolní podstavou vztah afinity, tak je mezi řezem jehlanu a jeho dolní podstavou vztah středové kolineace. STŘEDOVÁ KOLINEACE je daná osou o středem S a párem odpovídajících si bodů AA (které leží na přímce procházející středem) KOL = (S, o, A, A ), A... vzor, A... obraz vlastnosti: odpovídající si body leží na přímkách procházejících středem S odpovídající si přímky se protínají na ose o v tzv. samodružných bodech zachovává se incidence

67 ŘEZY TĚLES - jehlan postup řešení - řez jehlanu rovinou: najdeme jeden bod řezu - průsečík jedné z bočních hran jehlanu s rovinou řezu určíme osu kolineace mezi řezem a dolní podstavou - průsečnice roviny řezu s rovinou dolní podstavy další body řezu na hranách určíme kolineací určíme viditelnost řezu

68 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

69 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

70 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

71 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

72 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

73 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

74 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

75 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

76 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

77 Příklad: Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDĀ B C D rovinou ρ, která je daná stopami.

78 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

79 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

80 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

81 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

82 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

83 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

84 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

85 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

86 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

87 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

88 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

89 Příklad: Sestrojte řez daného čtyřbokého jehlanu ABCDV rovinou ρ (K, L, M).

90 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez rovinou kolmou k jedné z průměten

91 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez rovinou kolmou k jedné z průměten

92 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez rovinou kolmou k jedné z průměten

93 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu

94 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu

95 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu

96 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu

97 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu

98 SPECIÁLNÍ PŘÍPADY ŘEZŮ - řez kolmého hranolu