BA008 Konstruktivní geometrie. Kolmá axonometrie. pro kombinované studium. učebna Z240 letní semestr

Transkript

1 BA008 Konstruktivní geometrie pro kombinované studium Kolmá axonometrie Jan Šafařík Jana Slaběňáková přednášková skupina P-BK1VS1 učebna Z240 letní semestr března 2017

2 Základní literatura Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, ISBN

3 Doporučená literatura Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, Provazníková, Marie: Pravoúhlá axonometrie - úvod, Mendelova univerzita, uvod.pdf Provazníková, Marie: Pravoúhlá axonometrie - řezy hranatých těles, Mendelova univerzita, rezy.pdf Tkadlecová, Miroslava: Axonometrie, Mendelova univerzita, dalkari/axonometrie.pdf

4 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Ilustrace Tosa Micuokiho ze 17. století, mající znaky axonometrické projekce.

5 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Ukázka axonometrie dimetrie na výkresu petentu (US Patent 1874).

6 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Zastavovací studie.

7 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Popisy a návody na montáž.

8 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Popisy a návody na montáž.

9 Ukázky použití axonometrie jako zobrazovací metody Prostředí počítačových her.

10 Princip axonometrie π... půdorysna ν... nárysna µ... bokorysna

11 Princip axonometrie α... průmětna axonometrická α protíná všechny tři osy x, y, z v bodech X, Y, Z XYZ... axonometrický trojúhelník

12 Princip axonometrie objekty v prostoru promítáme kolmo do roviny α do roviny α promítáme i půdorysy, nárysy a bokorysy do roviny α promítneme i osy x, y, z

13 Princip axonometrie Průmětem os x, y, z vzniká axonometrický osový kříˇz O, x, y, z. Průmětem jednotkové úsečky j na osách x, y, z jsou axonometrické jednotky j x, j y, j z.

14 Princip axonometrie Průmětem os x, y, z vzniká axonometrický osový kříˇz Věta (Pohlkeova věta) O, x, y, z. Průmětem jednotkové úsečky j na osách x, y, z jsou axonometrické jednotky j x, j y, j z. Každé tři úsečky v rovině, které mají společný jeden krajní bod, a které neleží v jedné přímce, jsou rovnoběžným průmětem tří vzájemně kolmých a stejně dlouhých úseček, které mají společný jeden krajní bod.

15 Průmět bodu souřadnicový kvádr bodu A: A... axonometrický průmět A 1... axonometrický půdorys A 2... axonometrický nárys A 3... axonometrický bokorys

16 Průmět bodu souřadnicový kvádr bodu A: A... axonometrický průmět A 1... axonometrický půdorys A 2... axonometrický nárys A 3... axonometrický bokorys A[a 1, a 2, a 3 ] x A = a 1 j x, y A = a 2 j y, z A = a 3 j z, x A, y A, z A jsou tzv. redukované souřadnice bodu A.

17 Průmět bodu souřadnicový kvádr bodu A: A... axonometrický průmět A 1... axonometrický půdorys A 2... axonometrický nárys A 3... axonometrický bokorys A[a 1, a 2, a 3 ] x A = a 1 j x, y A = a 2 j y, z A = a 3 j z, x A, y A, z A jsou tzv. redukované souřadnice bodu A. Pro určení bodu stačí 2 průměty, zpravidla A, A 1. Spojnice bodů A, A 1 je tzv. ordinála.

18 Typy axonometrií 1 Podle velikosti jednotek j x, j y, j z : izometrie j x = j y = j z z dimetrie j x = j y j x = j z j y = j z z trimetrie j x j y j z z j z O j z O j z O x j x j y y x j x j y y x j x j y y 2 Podle směru promítání s α pravoúhlá axonometrie s α šikmá (kosoúhlá) axonometrie

19 Speciální axonometrie Volné rovnoběžné promítání j x : j y : j z = 1 : 2 : 2 (x, z) = 135, (y, z) = 90 Kavalírní promítání j x : j y : j z = 1 : 1 : 1 (x, z) = 135, (y, z) = 90

20 Speciální axonometrie Vojenská perspektiva j x : j y : j z = 1 : 1 : 1 (x, z) = 135, (y, z) = 135 Technická izometrie j x : j y : j z = 1 : 1 : 1 (x, z) = 120, (y, z) = 120

21 Speciální axonometrie Technická dimetrie (inˇzenýrská perspektiva) j x : j y : j z = 1 : 2 : 2 (x, z) = 132, (y, z) = 97

22 Pravoúhlá axonometrie s α obecně trimetrie: j x j y j z osy x, y, z se promítají do výšek trojúhelníka XYZ

23 Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla pouˇzíváme axonometrický průmět a půdorys.

24 Průmět přímky Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.

25 Průmět přímky Příklad (1) Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem m a axonometrickým půdorysem m 1.

26 Průmět přímky Příklad (1) Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem m a axonometrickým půdorysem m 1. P... půdorysný stopník

27 Průmět přímky Příklad (1) Sestrojte stopníky přímky m, která je dána axonometrickým průmětem m a axonometrickým půdorysem m 1. P... půdorysný stopník M... bokorysný stopník N... nárysný stopník

28 Vzájemná poloha dvou přímek rovnoběˇzky různoběˇzky mimoběˇzky

29 Zobrazení roviny Rovina se zadává sdruženými průměty určujících prvků (2 různoběˇzky, 2 rovnoběˇzky, bod + přímka, 3 body) pomocí stop:

30 Zobrazení roviny Zvláštní polohy roviny: z z n ρ m ρ n ρ m ρ x y x p ρ y rovina rovnoběžná s π rovina kolmá k π

31 Přímka v rovině Příklad (2) Je dána rovina σ svými stopami. Sestrojte axonometrický průmět přímky m, m σ, je-li dáno m 1.

35 Přímka v rovině Příklad (3) Rovina σ je dána třemi body A, B, C. Sestrojte stopy roviny σ.

42 Průsečík přímky s rovinou metoda krycí přímky Příklad (4) Sestrojte průsečík přímky a s rovnoběˇzníkem ABCD. Vyznačte viditelnost přímky a.

49 Průsečík přímky s rovinou metoda krycí přímky Příklad (5) Sestrojte průsečík přímky a s rovinou σ danou stopami a vyznačte viditelnost přímky a.

56 Vzájemná poloha dvou rovin Příklad (6) Sestrojte průsečnici rovin σ a ϱ, které jsou dány svými stopami.

59 Příklad (7) Sestrojte průsek trojúhelníků ABC a KLM.

60 Příklad (7) Sestrojte průsek trojúhelníků ABC a KLM. 1 KL ABC = {R} pomocí krycí přímky k

65 Příklad (7) Sestrojte průsek trojúhelníků ABC a KLM. 1 KL ABC = {R} pomocí krycí přímky k 2 ML ABC = {S} pomocí krycí přímky m

70 Příklad (7) Sestrojte průsek trojúhelníků ABC a KLM. 1 KL ABC = {R} pomocí krycí přímky k 2 ML ABC = {S} pomocí krycí přímky m 3 r = RS

71 Příklad (7) Sestrojte průsek trojúhelníků ABC a KLM. 1 KL ABC = {R} pomocí krycí přímky k 2 ML ABC = {S} pomocí krycí přímky m 3 r = RS

72 Zobrazení kružnice ležící v souřadných rovinách Kruˇznice (S; r) se zobrazuje v pomocných průmětnách jako elipsa.

73 Zobrazení kružnice ležící v souřadných rovinách Kruˇznice (S; r) se zobrazuje v pomocných průmětnách jako elipsa. Postup řešení: 1 Průměr kružnice se zobrazí ve skutečné velikosti na kolmici k ose z vedené středem S.

74 Zobrazení kružnice ležící v souřadných rovinách Kruˇznice (S; r) se zobrazuje v pomocných průmětnách jako elipsa. Postup řešení: 1 Průměr kruˇznice se zobrazí ve skutečné velikosti na kolmici k ose z vedené středem S. 2 Koncové body tohoto průměru jsou hlavní vrcholy zobrazované elipsy.

75 Zobrazení kružnice ležící v souřadných rovinách Kruˇznice (S; r) se zobrazuje v pomocných průmětnách jako elipsa. Postup řešení: 1 Průměr kružnice se zobrazí ve skutečné velikosti na kolmici k ose z vedené středem S. 2 Koncové body tohoto průměru jsou hlavní vrcholy zobrazované elipsy. 3 Průsečík rovnoběˇzek s osami x a y těmito hlavními vrcholy je dalším bodem elipsy.

76 Zobrazení kružnice ležící v souřadných rovinách Kružnice (S; r) se zobrazuje v pomocných průmětnách jako elipsa. Postup řešení: 1 Průměr kruˇznice se zobrazí ve skutečné velikosti na kolmici k ose z vedené středem S. 2 Koncové body tohoto průměru jsou hlavní vrcholy zobrazované elipsy. 3 Průsečík rovnoběžek s osami x a y těmito hlavními vrcholy je dalším bodem elipsy. 4 Vedlejší vrcholy elipsy získáme např. prouˇzkovou konstrukcí.

77 Řezy těles hranol, jehlan a válec Postup řešení:

78 Řezy těles hranol, jehlan a válec Postup řešení: Najdeme jeden bod řezu průsečík jedné z bočních hran hranolu / jehlanu nebo osy válce s rovinou řezu.

79 Řezy těles hranol, jehlan a válec Postup řešení: Najdeme jeden bod řezu průsečík jedné z bočních hran hranolu / jehlanu nebo osy válce s rovinou řezu. Určíme osu afinity / kolineace mezi řezem a dolní podstavou průsečnice roviny řezu s rovinou dolní podstavy.

80 Řezy těles hranol, jehlan a válec Postup řešení: Najdeme jeden bod řezu průsečík jedné z bočních hran hranolu / jehlanu nebo osy válce s rovinou řezu. Určíme osu afinity / kolineace mezi řezem a dolní podstavou průsečnice roviny řezu s rovinou dolní podstavy. Další body řezu na hranách určíme afinitou / kolineací.

81 Řezy těles hranol, jehlan a válec Postup řešení: Najdeme jeden bod řezu průsečík jedné z bočních hran hranolu / jehlanu nebo osy válce s rovinou řezu. Určíme osu afinity / kolineace mezi řezem a dolní podstavou průsečnice roviny řezu s rovinou dolní podstavy. Další body řezu na hranách určíme afinitou / kolineací. Určíme viditelnost řezu.

82 Příklad (Řez šikmého hranolu) Sestrojte řez šikmého čtyřbokého hranolu ABCDA B C D rovinou σ. Hranol má podstavu ABCD v půdorysně, horní podstava A B C D je rovnoběˇzná s půdorysnou. Rovina σ je dána stopami. Řešení 1 První bod řezu sestrojíme jako průsečík jedné boční hrany (AA ) s rovinou σ, řešíme metodou krycí přímky. 2 Sestrojíme řez pomocí afinity mezi rovinou podstavy a rovinou řezu. Osou afinity je půdorysná stopa roviny σ, pár odpovídajících si bodů je A, Ā.

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97 Příklad (Řez kolmého hranolu) Je dán kolmý čtyřboký hranol s podstavou ABCD v půdorysně a horní podstavou A B C D rovnoběžnou s půdorysnou. Sestrojte těleso, které vznikne odřiznutím horní části hranolu rovinou σ. Řešení 1 První část řezu najdeme ve stěně ABA B jako průsečnici dvou rovin α = ABA a σ. Získáme tak body řezu Ā, B. 2 Sestrojíme řez pomocí afinity mezi rovinou podstavy a rovinou řezu. Osou afinity je půdorysná stopa roviny σ, pár odpovídajících si bodů je A, Ā. 3 Vyznačíme těleso, které vznikne odříznutím horní části hranolu.

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107 Příklad (Řez jehlanu) Sestrojte řez pětibokého jehlanu ABCDEV rovinou σ. Podstava jehlanu ABCDE leží v půdorysně, rovina σ je dána stopami Řešení 1 První bod řezu sestrojíme jako průsečík jedné boční hrany (CV) s rovinou σ, řešíme metodou krycí přímky. 2 Sestrojíme řez pomocí středové kolineace mezi rovinou podstavy a rovinou řezu. Osou kolineace je půdorysná stopa roviny σ, střed kolineace je bod V a pár odpovídajících si bodů je C, C.

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122 Průsečík přímky s tělesem Postup řešení:

123 Průsečík přímky s tělesem Postup řešení: Průsečík přímky p s kuˇzelem a jehlanem určíme pomocí řezu vrcholovou rovinou, která prochází přímkou p a vrcholem kuˇzele / jehlanu.

124 Průsečík přímky s tělesem Postup řešení: Průsečík přímky p s kuˇzelem a jehlanem určíme pomocí řezu vrcholovou rovinou, která prochází přímkou p a vrcholem kuˇzele / jehlanu. Průsečík přímky p s válcem určíme pomocí řezu rovinou, která prochází přímkou p a je rovnoběžná s osou válce.

125 Průsečík přímky s tělesem Postup řešení: Průsečík přímky p s kuˇzelem a jehlanem určíme pomocí řezu vrcholovou rovinou, která prochází přímkou p a vrcholem kuˇzele / jehlanu. Průsečík přímky p s válcem určíme pomocí řezu rovinou, která prochází přímkou p a je rovnoběžná s osou válce. Průsečík přímky p s hranolem určíme pomocí řezu rovinou, která prochází přímkou p a je rovnoběˇzná s bočními hranami hranolu.

126 Příklad (Průsečík přímky s tělesem) Určete průsečíky přímky r s daným šikmým válcem, jehoˇz podstava leží v půdorysně, určete viditelnost tělesa a přímky. Řešení 1 Přímkou r proloˇzíme směrovou rovinu σ, která je rovnoběˇzná se střednou s = SS daného válce. Bodem C vedeme přímku rovnoběˇznou s s a sestrojíme její půdorysný stopník P, kterým pak prochází půdorysná stopa p σ = PP roviny σ 2 Rovina σ protíná daný válec v rovnoběžníku, přímka r protíná rovnoběˇzník řezu v bodech X a Y, které jsou současně hledanými průsečíky dané přímky r s pláštěm daného kosého kruhového válce.

127

128

129

130

131

132

133 Děkuji za pozornost!