Materiál a konstrukce

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta stavební Materiál a konstrukce Šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a stavebních prvcích Pavel Kopecký Praha 2014 Evropský sociální fond Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 OBSAH Značení a jednotky... vi 1 Úvod Motivace Zákony zachování Bilance kontrolního objemu Bilance na rozhraní vrstev Rovnice kontinuity Šíření tepla Úvod Šíření tepla vedením Základní vztahy Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé tloušťce Jednovrstvé mezikruží Vícevrstvé mezikruží Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu Princip superpozice Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce Numerické metody řešení Šíření tepla prouděním Základní vztahy Větraná dutina Konvektivně difuzní rovnice Šíření tepla sáláním Základní vztahy Úvod Záření černého tělesa Vlastnosti reálných těles Solární záření Dlouhovlnné záření mezi povrchy ii -

3 2.5 Kombinovaný přenos tepla Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce Šíření tepla v uzavřené dutině Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině Šíření tepla v nehomogenní vrstvě Šíření tepla v obvodové stěně Šíření tepla přes nevytápěný prostor Šíření tepla obálkou budovy Energetická propustnost stavebních prvků Jednosklo Neprůsvitná stěna Dvojsklo Úlohy k procvičení Šíření vzduchu Úvod Tlakový rozdíl Tlakový rozdíl od rozdílu teplot Tlakový rozdíl od účinku větru Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání Modelování výměny vzduchu Šíření vlhkosti Úvod Vlhkost ve vzduchu Vlhkost v pórovitých materiálech Struktura pórovitého materiálu Vyjadřování vlhkosti Zadržování vlhkosti v materiálu Hygroskopická oblast Nadhygroskopická oblast Difuze vodní páry Základní vztahy Jednorozměrná difuze vodní páry v ustáleném stavu ve stěně Jednovrstvá stěna bez zdroje vodní páry Vícevrstvá stěna bez zdroje vodní páry Kondenzace vodní páry uvnitř konstrukce Jednorozměrná difuze vodní páry v neustáleném stavu iii -

4 Skoková změna hustoty vodní páry na povrchu polonekonečné desky Periodicky kmitající hustota vodní páry na povrchu polonekonečné desky Kapilární přenos Úvod Proudění vody v kapiláře Vodorovná kapilára Svislá kapilára Kapilární přenos v matematických modelech Proudění vzduchu Úlohy k procvičení Tepelná a vlhkostní bilance budov Tepelná bilance budovy v ustáleném stavu Úvod Model podle ČSN EN ISO Solární tepelné zisky do budovy Vnitřní tepelné zisky Tepelná bilance budovy v neustáleném stavu Úvod Modely se sdruženými parametry Solární tepelné zisky do budovy Vlhkostní bilance budovy v ustáleném stavu Vlhkostní bilance budovy v neustáleném stavu Úlohy k procvičení Příloha: Elektrická analogie Vodivosti v sérii Vodivosti paralelně Předepsaná hodnota teploty s vodivostí a předepsaný tok do uzlu Předepsané hodnoty teploty s vodivostmi do uzlu Literatura Rejstřík Summary iv -

5 Předmluva Tato kniha je určena všem zájemcům o šíření tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách a jejich prvcích. Text knihy stručně představuje základní fyzikální principy, některé numerické metody a ukázky praktických aplikací teoretických vztahů se zaměřením na aplikace v oblasti stavební tepelné techniky. Cílem knihy je být dobře strukturovanou česky psanou učebnicí stavební tepelné techniky. Další informace je možné hledat v kvalitních učebnicích, jakými například jsou [1], [2], [3]. Někdy je velmi vhodné začít od úplných základů s učebnicí středoškolské fyziky. Kniha je sestavena tak, aby čtenář četl její obsah popořadě. Teorie šíření tepla je využita jako základ pro navazující studium šíření vlhkosti. V textu se klade zvláštní důraz na odvození rovnic, vyjadřování modelů v podobě grafických schémat (analogie s elektrickými obvody) a ilustraci analogie šíření tepla a vlhkosti. Část z textů této knihy vznikala pro potřeby předmětů Matematické modelování ve stavební fyzice, základního kurzu Stavební fyziky a předmětu Materiál a konstrukce vyučovanými na Katedře konstrukcí pozemních staveb. I přes velkou péči věnovanou přípravě, je téměř jisté, že text není zcela prostý chyb. Autor proto bude velmi vděčný, když ho čtenář na případné chyby či nedostatky upozorní. V Praze Pavel Kopecký - v -

6 Značení a jednotky symbol vysvětlení anglický termín jednotka a Teplotní vodivost Thermal diffusivity m 2 /s a v Vlhkostní vodivost Moisture diffusivity m 2 /s b Tepelná jímavost Thermal effusivity Ws 0,5 /m 2 K b v Vlhkostní jímavost Moisture effusivity (m/s 0,5 ) c Měrná tepelná kapacita Specific heat capacity J/(kg K) d p Periodická hloubka tepelné penetrace Periodic thermal penetration depth m d pv Periodická hloubka vlhkostní penetrace Periodic moisture penetration depth m g a Hustota toku vzduchu Density of air flow kg/(m 2 s) g v Hustota difuzního toku vodní páry Density of vapor flow kg/(m 2 s) m Hmotnost Mass kg N Teplotní difuzní funkce Diffusion constant 1/s p v Částečný tlak vodní páry Partial pressure of water vapor Pa q Hustota tepelného toku Density of heat flow W/m 2 sq Objemový zdroj tepla Volumetric heat source W/m 3, sm Objemový zdroj vlhkosti Volumetric moisture source kg/(m 3 s) s d Ekvivalentní difuzní tloušťka Equivalent diffusion thickness m u Hmotnostní vlhkost Moisture content by mass kg/kg w Objemová vlhkost Moisture content by volume kg/m 3 t Čas Time s t p Perioda Period s A Plocha Area m 2 A w Součinitel nasákavosti Water absorption coefficient kg/m 2 s G Hmotnostní tok Mass flow kg/s G v Tok vodní páry Vapor flow kg/s G G Intenzita globálního Irradiance W/m 2 - vi -

7 solárního záření K Vodivost Conductance různé Q Teplo Heat J R Tepelný odpor Thermal resistance m 2 K/W T Teplota Temperature C, K Zp Difuzní odpor (v případě, že se počítá s rozdílem částečných tlaků vodní páry) Diffusion resistance m/s Z Difuzní odpor (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Diffusion resistance s/m x,y,z Osy souřadného systému Řecká písmena c Součinitel přestupu tepla prouděním Convective heat transfer coefficient W/(m 2 K) r Součinitel přestupu tepla sáláním Radiative heat transfer coefficient W/(m 2 K) Součinitel přestupu vodní páry prouděním (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Convective vapor transfer coefficient m/s Součinitel difuze (v případě, že se počítá s rozdílem hustot vodní páry) Vapor permeability m 2 /s p Součinitel difuze v případě, že se počítá s rozdílem částečných tlaků vodní páry Vapor permeability kg/(m s Pa) Emisivita Emissivity - Tepelný tok Heat flow W Relativní vlhkost Relative humidity - Součinitel tepelné vodivosti Thermal conductivity W/(m K) d Objemová hmotnost v suchém stavu Density kg/m 3 v Hustota vodní páry Vapor concentration kg/m 3 Vlhkostní kapacita (sklon Moisture capacity - - vii -

8 sorpční křivky) Faktor difuzního odporu Vapor resistance factor - C Časová konstanta Time constant s Úhlová frekvence Angular frequency rad/s Indexy spodní a Vzduch Air A Amplituda Amplitude ai Vzduch, vnitřní Air, internal ae Vzduch, vnější Air, external B Přímé Beam c Proudění Convection cav Dutina Cavity cd Vedení Conduction d Difuze Diffusion D Difuzní Diffuse dp Rosný bod Dew point e Vnější External ekv Ekvivalentní Equivalent g Zisk Gain G Globální Global h Horizontální Horizontal i Vnitřní Internal in Dovnitř In M Průměrná Mean out Ven Out p Povrch Surface r Sálání Radiation s Solární anebo zdroj Solar, or source sat Nasycený Saturated t Skloněný Tilted tot Celkový Total - viii -

9 T Prostup tepla Transmission v Vodní pára Vapor V Větrání Ventilation Indexy horní old Hodnota veličiny v čase t -1 new Hodnota veličiny v čase t - ix -

10 1 Úvod 1.1 Motivace Budovy jsou odděleny od venkovního prostředí stavebními prvky (stěnami, střechou, podlahou na zemině), které jsou vystaveny proměnlivým klimatickým podmínkám, jako například jsou solární záření, déšť, vítr a teplota venkovního vzduchu. V obálce budovy proto stále probíhají různé fyzikální procesy, jako například jsou přenos tepla, vlhkosti a vzduchu. Stavební tepelná technika je obor, který se zabývá šířením tepla, vzduchu a vlhkosti v budovách, stavebních prvcích, či samotných materiálech (viz Obrázek 1). Budova a okolí zoom Stavební prvky zoom Materiály Kapalná fáze Pevná fáze (skelet) Plynná fáze (vlhký vzduch) Obrázek 1: Různé úrovně zkoumání. V minulosti se budovy navrhovaly na základě předchozí zkušenosti. V dnešní době je vývoj nových materiálů a stavebních prvků příliš rychlý na to, aby se taková zkušenost stačila vybudovat. Chybné použití materiálů a stavebních prvků může vyústit v nekvalitní vnitřní prostředí budov, zbytečnou spotřebu energie při jejich provozování, ba dokonce ve vážné poškození obálky budovy. Jelikož se životnost nových staveb navrhuje v řádu několika desítek let, je každá chyba v návrhu trestána dlouhodobě. Dříve nebo později se jedná o finanční zátěž provozovatele, či obyvatele budov. Chceme-li navrhovat kvalitní budovy, je bezesporu potřeba dobře porozumět fyzikálním procesům, kterými jsou budovy ovlivňovány. Očekávané chování budovy musí být známo ještě předtím, než padnou rozhodnutí, která lze potom jen velmi těžko v průběhu návrhu měnit. Problematika šíření tepla a hmoty je naneštěstí velmi komplexní. Obrázek 2 se snaží naznačit fyzikální procesy, které v rámci nějakého stavebního prvku mohou probíhat

11 ŠÍŘENÍ TEPLA Povrchy venkovní - Ostatní budovy - Povrch země - Obloha Přestup tepla dlouhovlnným zářením (sáláním) Přestup tepla prouděním vzduchu exteriér Krátkovlnné záření Skupenské teplo kondenzace nebo vypařování Vedení tepla a proudění Proudění vzduchu Sálání Vedení Vzduchová dutina Povrchy v místnosti - Stěny - Strop - Podlaha - Okna - Otopná tělesa Přestup tepla dlouhovlnným zářením (sáláním) Přestup tepla prouděním vzduchu interiér ŠÍŘENÍ VLHKOSTI Větrem hnaný déšť Voda stékající po povrchu Přestup vodní páry prouděním vzduchu Kondenzace nebo vypařování na/z vnějšího povrchu exteriér Kondenzace nebo vypařování uvnitř konstrukce Difuze a šíření kapalné fáze Vzduchová dutina Zabudovaná vlhkost Proudění vzduchu Vzlínající voda Přestup vodní páry prouděním vzduchu Kondenzace nebo vypařování na/z vnitřního povrchu interiér Obrázek 2: Šíření tepla a vlhkosti probíhající uvnitř stavebního prvku, na jeho povrchu či mezi jeho povrchem a obklopujícími povrchy. Reálný experiment a teoretický výpočet představují dva možné způsoby jak zkoumat nějaký problém. Experiment poskytuje reálnou informaci o problému, a to i přes nejistoty měření. Měření je ale drahé, zdlouhavé a poskytuje nekompletní informaci. Počet čidel k dispozici je vždy omezený. Měření nicméně má svou nezastupitelnou úlohu ve výzkumu pro lepší pochopení reality a při vývoji lepších matematických modelů. Výpočet je

12 druhou možností, jak zkoumat nějaký problém. Na rozdíl od měření jsou výpočty levnější, rychlejší a poskytují podrobné informace. Stejně jako měření jsou však výpočtové modely zatíženy nejistotami. Může se například jednat o nejistoty vstupních údajů a nejistoty ve formulaci samotného modelu. Vhodně zjednodušený a dostatečně ověřený výpočtový model má svou nezastupitelnou úlohu při inženýrském návrhu budov a stavebních prvků. Fyzikální procesy jsou matematicky často popsány obyčejnými nebo parciálními diferenciálními rovnicemi. Výstupem z modelu je informace o rozložení nějakých vlastností reálného objektu v prostoru a čase. Sledujemeli pouze prostorové rozložení vlastností, hovoříme o ustáleném (stacionárním) stavu. Jsou-li vlastnosti proměnné i v čase, hovoříme o neustáleném (nestacionárním) stavu. Modely v ustáleném stavu nabízejí jednodušší matematickou formulaci, větší možnosti analytických řešení a základní vhled do problému. Jsou proto důležité pro inženýrskou praxi. Modely v neustáleném stavu jsou složitější, ale lépe popisují realitu. Je potřeba upozornit, že využití velmi podrobných modelů bohužel automaticky neznamená kvalitnější výsledky a kvalifikovanější rozhodnutí uživatele. Počet vstupních údajů do modelu a počet prvků v modelu nepochybně souvisí se schopností uživatele zadat správné vstupní údaje, pochopit model a kvalitně vyhodnotit výsledky. Vyřešit diferenciální rovnice analyticky ve většině případů není možné. Proto se dnes běžně využívají numerické metody řešení a s nimi související počítačové aplikace. Numerickou metodou se obvykle nazývá na počítači naprogramovaný postup, který řeší nějaký matematický problém. Počítač je potřeba, protože počet prováděných operací je příliš veliký na to, aby je bylo možné provádět ručně. 1.2 Zákony zachování Zákon zachování energie a zákon zachování hmoty jsou dva základní fyzikální principy. Oba v podstatě říkají, že energie ani hmota se nemůžou ze zkoumaného systému ztratit. Množství (např. energie ve formě tepla, vodní páry, vody v kapalné fázi, vzduchu, ) vstupující za časovou jednotku do kontrolního objemu mínus množství z kontrolního objemu vystupující se rovná množství v kontrolním objemu uloženému. Tyto dva principy tvoří základní pilíř matematické analýzy

13 1.2.1 Bilance kontrolního objemu Φ in (W) Q (J) Φ out (W) G in (kg/s) m (kg) G out (kg/s) Φ s (W) G s (kg/s) Obrázek 3: Bilance kontrolního objemu. Tepelná bilance (Obrázek 3, vlevo) je: dq dt in out s (J/s = W) (1.1) kde Q (J) je teplo akumulované v kontrolním objemu, Φ in (W) je tepelný tok vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch, Φ out (W) je tepelný tok vystupující z kontrolního objemu přes jeho povrch, a Φ s (W) je tepelný tok od zdroje tepla působícího uvnitř kontrolního objemu. Vzájemný vztah veličin nazývaných teplo a tepelný tok objasňuje Obrázek 4. Základní jednotkou pro teplo je 1 Joule = 1N 1m = kg m 2 s -2 = 1 Ws. V technické praxi se hojně využívá jednotky Wh (1 Wh = 3,6 kj). Někdy bývají používané i jiné jednotky, jako například jsou m 3 zemního plynu, litry topného oleje, kalorie. V praxi je důležité obě veličiny nezaměňovat mezi sebou. Φ (W) Q t 1 t 2 t 2 t1 dt t Obrázek 4: Teplo vs. výkon. Pokud ohříváme/ochlazujeme látku a nedochází ke změně jejího skupenství, můžeme k vyjádření změny akumulovaného tepla použít rovnici: dq mcdt (1.2) Příklad 1. Dokonale izolovaný zásobník s vodou o objemu 150 litrů jsme ohřáli z 15 C na 60 C. Kolik tepla bylo potřeba dodat? Kolik by bylo potřeba dodat tepla, pokud by v nádrži byl pouze vzduch?

14 Voda: dq = 1000 kg/m 3 0,15 m J/(kg K) (60-15)K = 28, J = 7, Wh Vzduch: dq = 1,2 kg/m 3 0,15 m J/(kg K) (60-15)K = 8, J = 2,27 Wh Do zásobníku s vodou jsme museli dodat přibližně 3500 více tepla než do zásobníku se vzduchem. Po dosazení rovnice (1.2) do (1.1) dostaneme: dt mc dt in out s Po dosazení za hmotnost kontrolního objemu dostaneme: (1.3) cv dt d t in out s (1.4) kde c tepelná kapacita vztažená na jednotku objemu (J/(m 3 K)) a V je objem (m 3 ). Hmotnostní bilance (Obrázek 3, vpravo) je: dm G G G dt in out s (kg/s) (1.5) kde m (kg) je hmotnost bilancované veličiny v kontrolním objemu, G in (kg/s) je hmotnostní tok vstupující do kontrolního objemu přes jeho povrch, G out (kg/s) je hmotnostní tok vystupující z kontrolního objemu přes jeho povrch, a G s (kg/s) je hmotnostní tok od zdroje bilancované veličiny, který působí uvnitř kontrolního objemu. Po dosazení za hmotnost dostaneme: d V dt G G G in out s (1.6) V případě, že můžeme považovat objemovou hmotnost za konstantu, a v čase se mění objem (např. zásobník s vodou), můžeme psát: dv G G G dt in out s (1.7) Také může nastat případ, že se mění hustota zachovávající se veličiny uvnitř konstatního objemu (např. hustota vodní páry v místnosti), potom máme: d V G G G dt in out s (1.8) Bilanční rovnice se někdy nazývají rovnicemi kontinuity. Společně s rovnicemi pro vyjádření jednotlivých toků (např. Fourierův zákon v případě vedení tepla, Fickův zákon v případě difuze vodní páry) vedou k odvození základních vztahů.

15 1.2.2 Bilance na rozhraní vrstev Častým problémem jsou bilance na rozhraní dvou vrstev. Může se například jednat o rozhraní mezi vzduchem a pevným materiálem. Kontrolní objem se v tomto případě redukuje na povrch, který má nulový objem. Teplo ani hmota v něm tedy nemohou být uloženy. Levé strany rovnic (1.1) a (1.5) proto jsou nulové a rovnice se redukují: in out 0 G in Gout 0 (J/s = W) (1.9) (kg/s) (1.10) Φ in (W) Φ out (W) G in (kg/s) G out (kg/s) Obrázek 5: Tepelná a hmotnostní bilance na rozhraní vrstev. 1.3 Rovnice kontinuity Uvažujme veškeré přítoky a odtoky v rámci kontrolního objemu ve tvaru kvádru (viz Obrázek 6). Hustota nějaké obecné tokové veličiny je označena jako j. Jedná se o vektor se třemi složkami j x, j y, j z. z y x j z (x,y,z+z) j y (x,y+y,z) z j x (x,y,z) j x (x+x,y,z) j y (x,y,z) y x j z (x,y,z) Obrázek 6: Přítoky a odtoky přes stěny kontrolního objemu. Celkový přítok do kontrolního objemu přes různé povrchy je: J j( xyz,, ) yz j( xyz,, ) xz j( xyz,, ) xy in x y z (1.11) Celkový odtok z kontrolního objemu přes různé povrchy je:

16 J j ( x x, y, z) yz j ( x, y y, z) xz j ( x, y, z z) xy out x y z (1.12) Hustotu tokové veličiny vycházející z kontrolního objemu lze aproximovat jako její lineární přírůstek ke vstupujícímu množství podél příslušné délky kontrolního objemu (viz Obrázek 7). Pro jednotlivé složky máme: jx x, y, z jx xxyz,, jx xyz,, x x (1.13) jy x, y, z jy x, y y, z jy x, y, z y y (1.14) jz x, y, z jz xyz,, z jz xyz,, z z (1.15) jx(x+x) - jx(x) j x (x+x) j x (x) djx dx chyba možný skutečný průběh j x j ( ) ( ) d x x x j j x x x x x dx x x x+x Obrázek 7: Vysvětlení k rovnici (1.13). Rozdíl mezi přítokem a odtokem tedy můžeme vyjádřit jako: jx x, y, z Jin Jout jx ( xyz,, ) yz jx xyz,, yz xyz x jy x, y, z jy( xyz,, ) xz jy xyz,, xz yxz y jz x, y, z jz( xyz,, ) xy jz xyz,, xy zxy z Po algebraické úpravě dostaneme:,,,,,, in Jout jx xyz jy xyz jz xyz J j xyz x y z (1.16) (1.17) kde divergence je operátor vyjadřující skalární součin: div,, x y z (1.18)

17 Tečka za nabla () je důležitá, protože zdůrazňuje, že se jedná o skalární součin. V našem případě je divergence vektoru hustoty tokové veličiny: jx jy jz div j j,, jx, jy, jz x y z x y z (1.19) Důležitou vlastností výrazu ( j ) je, že vyjadřuje rozdíl mezi toky vstupujícími do kontrolního objemu a toky vystupujícími z kontrolního objemu. Rovnice kontinuity je obecné vyjádření pro zákon zachování nějaké veličiny: j t s (1.20) kde je hustota zachovávající se veličiny a s je zdrojový člen, který vyjadřuje rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu. Pro šíření tepla máme: u q s t Q (1.21) kde u (J/m 3 ) je hustota vnitřní energie (tj. vnitřní energie vztažená na jednotku objemu), q (W/m 2 = J/(m 2 s)) je hustota tepelného toku a s Q (W/m 3 ) je vnitřní zdroj tepla. Takovým vnitřním zdrojem může být teplo z chemické reakce (například hydratace betonu). Pro šíření vlhkosti máme: w t g s m (1.22) kde w (kg/m 3 ) je vlhkost vztažená na jednotku objemu (viz kapitola 4.3), g (kg/(m 2 s)) je hustota vlhkostního toku a s m (kg/m 3 s) je vnitřní zdroj vlhkosti. Takovým vnitřním zdrojem může například být kondenzace vodní páry

18 2 Šíření tepla 2.1 Úvod Druhý termodynamický zákon říká: Teplo nemůže při styku dvou těles různých teplot samovolně přecházet z tělesa chladnějšího na těleso teplejší. Podmínkou šíření tepla tedy je existence rozdílu teplot. Teplo se může šířit následujícími třemi způsoby (viz Obrázek 8): vedením; prouděním; sáláním. Vedení tepla je důležité v pevných látkách, proudění a sálání je v nich méně významné. Proudění a sálání jsou naopak důležité v kapalinách a plynech, např. ve vzduchové dutině uzavřené v pevném materiálu. T 1 > T 2 T 1 T p2 T 1 q cd T 2 pohyb tekutiny q c T p > T 1 q r T p1 > T p2 T p T p1 Obrázek 8: Šíření tepla vedením, prouděním, sáláním. 2.2 Šíření tepla vedením Základní vztahy Předpis pro hustotu tepelného toku q cd (W/m 2 ) v homogenním materiálu se nazývá 1. Fourierův zákon. Hustota tepelného toku je úměrná teplotnímu gradientu a má opačný směr než vektor teplotního gradientu: q cd dt dx (W/m 2 ) (2.1) kde je součinitel tepelné vodivosti (W/(m K)), T je teplota (K), x je souřadnice (m). Součinitel tepelné vodivosti se často zjednodušeně uvažuje konstantní hodnotou. Ve skutečnosti jeho hodnota závisí na teplotě a vlhkosti materiálu. Hodnota také může být různá ve směru souřadnicových

19 os. Například dřevo ve směru rovnoběžně s vlákny vykazuje přibližně dvakrát až třikrát vyšší součinitel tepelné vodivosti, než ve směru kolmo na vlákna. Nyní uvažujme tenký kontrolní objem s vnitřním zdrojem tepla (viz Obrázek 9). q cd,x S Q A q cd, x q x cd, x dx T dx Obrázek 9: Jednorozměrný kontrolní objem. Tepelná bilance kontrolního objemu je vyjádřena rovnicí: dq qcd, x qcd, x qcd, x dxasq dt x (W) (2.2) V případě, že materiál nemění své skupenství, můžeme časovou změnu akumulovaného tepla vyjádřit jako (viz Obrázek 10): d Q mc T Vc T cadx T dt t t t (2.3) kde t(s) je čas, (kg/m 3 ) je objemová hmotnost, c (J/(kg K) je měrná tepelná kapacita). Součin c (J/(m 3 K)) se nazývá objemová tepelná kapacita. Q Q mc Obrázek 10: Závislost dodaného tepla na teplotě materiálu. Vlevo materiál nemění skupenství. Vpravo materiál mění skupenství. Po dosazení rovnice (2.3) do rovnice (2.2) dostaneme: T qcd, x cadx Adx S t x Q tání (2.4) Po eliminaci objemu Adx z rovnice (2.4) a dosazení rovnice (2.1) dostaneme:

20 c T T s t x x Q (2.5) V případě uvažování konstantních hodnot materiálových vlastností, c a a nulového vnitřního zdroje tepla s Q (W/m 3 ) dostaneme: 2 T T 2 t c x (2.6) kde teplotní vodivost (m 2 /s) se nazývá poměr: a c (m 2 /s) (2.7) Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně teploty okolí dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou okolí. Většina stavebních materiálů má podobnou hodnotu teplotní vodivosti (a 10-6 m 2 /s). Neexistuje totiž lehký materiál, který by současně měl vysoký součinitel tepelné vodivosti, ani těžký materiál, který by měl nízký součinitel tepelné vodivosti. Jistou výjimku představují kovy a také vzduch, které dosahují a 10-5 m 2 /s. Rovnice (2.6) se nazývá rovnice jednorozměrného vedení tepla v neustáleném stavu nebo někdy také 2. Fourierův zákon Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu Jednovrstvá stěna bez zdroje tepla Uvažujme jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu ve stěně vytvořené z jedné vrstvy materiálu s tloušťkou L (viz Obrázek 11). Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T 1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T 2. L T 1 T(x) T 2 q cd x Obrázek 11: Jednovrstvá stěna. Uvažujeme-li konstantní hodnotu součinitele tepelné vodivosti ( = konst.) a žádný zdroj tepla v rámci stěny, rovnice (2.6) se zredukuje na: 2 d T 2 dx 0 (2.8)

21 Řešení získáme integrací (2.8). Po první integraci máme: dt C dx 1 0 Po druhé integraci dostáváme obecné řešení: 1 2 T x Cx C (2.9) (2.10) kde C 1 a C 2 jsou integrační konstanty. Pro hustotu tepelného toku máme: q dt dx C cd 1 (2.11) Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.10) získáme: C C T T T L 2 1 Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: T T L 2 1 T x T1 x (2.12) (2.13) (2.14) V ustáleném stavu je tedy průběh teploty v homogenní stěně z jednoho materiálu přímka spojující teploty T 1 a T 2. Hustota tepelného toku je konstantní hodnota, viz rovnice (2.11): q cd T T T T L R (2.15) kde R se nazývá tepelný odpor (m 2 K/W). R L (2.16) K rovnici (2.15) se lze dostat i snadněji. Je potřeba si uvědomit, že hustota tepelného toku je v ustáleném stavu konstantní hodnota nezávislá na x, proto: x2 T2 qcd dx dt x1 T1 (2.17) Po úpravě rovnice (2.17) dostaneme rovnici (2.15)

22 Vícevrstvá stěna bez zdroje tepla Nyní se zabýváme případem stěny vytvořené z více vrstev. Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T 1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T 2. T(x) T 1 q T 2 1 x q x 2 q cd T 1 R(x) T(x) R R(x) T 2 R T 1 T 2 x Obrázek 12: Vícevrstvá stěna a grafické schéma problému. Využijeme předchozí závěr, že v ustáleném stavu je hustota tepelného toku v jakémkoliv místě stěny konstantní hodnota. Hustota tepelného toku přitékajícího zleva do uzlu T(x) musí být tedy stejná jako hustota tepelného toku odtékajícího z uzlu T(x) doprava. Situaci je výhodné si představit grafickým schématem (viz Obrázek 12, vpravo). q q q 1x x2 cd (2.18) Po dosazení rovnice (2.15) do rovnice (2.18) dostaneme: T1 T x T x T2 T1 T2 R x R R x R (2.19) kde R(x) je tepelný odpor od levé strany stěny až do x a R je tepelný odpor celé stěny. Po úpravě dostaneme vztah pro T(x): R x T x T1 T2 T1 R (2.20) Pro N materiálových vrstev, které mají tloušťku L i a součinitel tepelné vodivosti i, platí: R L N i i 1 (2.21) i Příklad 2. Vypočítejte průběh teplot ve stěně, která se skládá z vrstvy betonu tloušťky 0,25 m a vrstvy tepelné izolace tloušťky 0,15 m. Součinitel tepelné vodivosti betonu uvažujte hodnotou 1,5 W/(m K) a tepelné izolace 0,04 W/(m K). Mezi povrchy stěny dlouhodobě působí rozdíl teplot T 1 - T 2 = 20 - (-15) = 35 K. Uvažujte dvě varianty umístění tepelné izolace - na chladnější straně stěny, na teplejší straně stěny. Pro teplotu mezi oběma vrstvami máme: (T 1 -T 12 )/R 1 =(T 1 -T 2 )/R: T 12 =18,5 C (tepelná izolace ze strany exteriéru), resp. (T 1 -T 12 )/R 2 =(T 1 -T 2 )/R: T 12 =-13,5 C (tepelná izolace ze strany interiéru)

23 Obrázek 13: Vlevo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany exteriéru. Vpravo - průběh teplot ve stěně v případě tepelné izolace umístěné ze strany interiéru. Případů, kdy můžeme přímo zadat povrchové teploty, je velmi málo. Obvykle jsou známy teploty obklopujících prostředí. Z prostředí do povrchu stěny, případně z povrchu stěny do prostředí, se teplo šíří prouděním a sáláním. Komplexní vliv tohoto působení lze nahradit odpory při přestupu tepla na vnitřní R si (viz kapitola 2.5.1) a vnější straně stěny R se (viz kapitola 2.5.2). Odpory při přestupu tepla si lze představit jako další vrstvu nějakého materiálu přilepenou na vnitřní a vnější stranu stěny. Rovnici (2.20) lze zapsat jako: R R x T x T T T (2.22) si Rsi R Rse Teplota vnitřního povrchu stěny tedy je: Rsi Tpi T1 T2 T1 R R R (2.23) si Rovnici (2.23) lze také zapsat jako: se Rsi T1 Tpi R R R T T (2.24) si se 1 2 Podíl (T 1 T pi )/(T 1 T 2 ) vyjadřuje kvalitu konstrukce a nezávisí na hodnotách teplot prostředí. Hodnota doplňující tento podíl do jedničky se nazývá teplotní faktor vnitřního povrchu, který se v praxi používá pro posuzování rizika kondenzace vodní páry na povrchu konstrukcí a rizika růstu plísní, viz [18]. Příklad 3. Vypočítejte průběh teplot v jednovrstvé stěně. Uvažujte stěnu vytvořenou z betonu a z tepelné izolace. Výpočet proveďte pro případ zadaných povrchových teplot (1), a

24 pro zadané teploty prostředí s odpory při přestupu tepla (2). Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m 2 K)/W resp. 0,04 (m 2 K)/W. Obrázek 14: Vlevo - průběh teplot v jednovrstvé betonové stěně. Vpravo - průběh teplot v jednovrstvé stěně z tepelné izolace. V případě neizolované betonové stěny jsou odpory při přestupu tepla srovnatelné s tepelným odporem stěny, což vede k velkému rozdílu mezi povrchovými teplotami a teplotami prostředí (viz Obrázek 14, vlevo). Příklad 4. Uvažujte stěnu tloušťky 0,3 m vytvořenou z jedné vrstvy homogenního materiálu. Mezi povrchy stěny dlouhodobě působí rozdíl teplot T 1 - T 2 = 20-4 = 16 K. Vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího přes stěnu a množství tepla, které stěnou projde za jedno otopné období (uvažujte 240 dnů). Uvažujte tyto materiály: tepelná izolace ( = 0,04 W/(m K)), cihla ( = 0,8 W/(m K)), beton ( = 1,3 W/(m K))). Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m 2 K)/W resp. 0,04 (m 2 K)/W. Izolace: (T 1 -T 2 )/(R si +0,3/0,04+R se )=2,1 W/m 2, Q = 2,1 W/m h = 12 kwh/m 2. Cihla: (T 1 -T 2 )/(R si +0,3/0,8+R se )=29,4 W/m 2, Q = 29,4 W/m h = 169 kwh/m 2. Beton: (T 1 -T 2 )/(R si +0,3/1,5+R se )=39,9 W/m 2, Q = 39,9 W/m h = 230 kwh/m 2. U starší cihelné zástavby lze přibližně předpokládat, že potřebu tepla na vytápění určují pouze tepelné ztráty, tj. vliv tepelných zisků v tepelné bilanci budovy je zanedbatelný. Pokud uvažujeme současnou cenu energie 2 5 Kč/kWh (podle druhu paliva), tak dostáváme, že každým metrem čtverečním nezateplené cihelné stěny proteče nezanedbatelných Kč/(m 2 rok). Zateplením stěny 20 cm tepelné izolace lze snížit množství procházejícího tepla přibližně na jednu desetinu. Vícevrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla na rozhraní vrstev Ve vícevrstvé stěně působí konstantní zdroj tepla umístěný na rozhraní vrstev (viz Obrázek 15). Prakticky se například může jednat o stěnové vytápění či chlazení zabudované do stěny. Působící zdroj tepla je označený s Q a jednotkou je v tomto případě W/m 2. Tepelný odpor vrstev nalevo od zdroje je označený R 1 a tepelný odpor vrstev napravo od zdroje je označený R

25 T 1 s Q T 2 s Q 0 x L T 1 R 1 R 2 T(x) T 2 Obrázek 15: Vícevrstvá stěna se zdrojem tepla a grafické schéma problému. Tepelná bilance v uzlu T(x): T T x T x T sq R R (2.25) Odtud: T x RT RT sqrr R (2.26) kde R = R 1 + R 2.Tepelný tok mezi levým povrchem stěny a místem, kde působí zdroj, je: q cd,1 T T x T1 T2 sqr R R R (2.27) q cd,2 T x T T1 T2 sqr R R R (2.28) Příklad 5. Vypočtěte průběh teplot ve stěně z příkladu 3. Z vnitřní strany stěny je navíc umístěna cementová omítka, pod kterou je umístěno stěnové vytápění o tepelném výkonu 100 W/m 2. Vypočtený průběh teplot porovnejte s průběhem, jaký by nastal bez působení zdroje tepla. Odpory při přestupu tepla uvažujte hodnotami 0,13 (m 2 K)/W resp. 0,04 (m 2 K)/W. Obrázek 16: Vlevo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany exteriéru. Vpravo - průběh teplot v rámci stěny s tepelnou izolací umístěnou ze strany interiéru

26 Teploty na rozhraní mezi cementovou omítkou a betonovou stěnou jsou v obou případech stejné. U obou variant nicméně existuje velký rozdíl tepelného chování v neustáleném stavu, které je způsobeno rozdílným rozložením tepelné kapacity v rámci stěny. Jednovrstvá stěna s konstantním zdrojem tepla působícím v celé tloušťce Uvažujeme jednovrstvou stěnu, viz Obrázek 11. Po celé tloušťce stěny však působí objemový zdroj tepla označený jako s Q. Prakticky se například může jednat o uvolňování hydratačního tepla. Zjednodušeně se předpokládá, že velikost zdroje se nemění v čase ani v rámci tloušťky stěny. Rovnice (2.5) se zredukuje do tvaru: s Q 2 d T 0 2 dx Řešení získáme integrací (2.29). Po první integraci máme: dt dx s Q x C 1 Po druhé integraci dostáváme obecné řešení: (2.29) (2.30) s T x C1x C2 Q x 2 2 což představuje parabolický průběh. Pro hustotu tepelného toku máme: (2.31) dt qcd x C1sQx dx (2.32) což představuje přímku. Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek: C C T T T L 2 1 sql 2 Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: (2.33) (2.34) s Q T T T x T x x L x L (2.35) První dva členy rovnice (2.35) jsou identické s již známým řešením pro stěnu bez zdroje tepla (rovnice (2.14)). Třetí člen představuje vliv zdroje tepla. Člen nabývá nulové hodnoty na obou stranách stěny. Pro hustotu tepelného toku máme:

27 s Q T T qcd x 2x L R (2.36) kde R je tepelný odpor podle rovnice (2.16). Hustota tepelného toku v tomto případě v rámci stěny není konstantní. Příklad 6. Uvažujte betonový deskový prvek dostatečně tenký a velký, aby se na něm dalo považovat vedení tepla za jednorozměrné. Panel byl vyrobený v hale temperované na teplotu 15 C. Vypočtěte a vykreslete průběh teploty v rámci panelu, který by mohl nastat na konci prvního dne po betonáži. Výpočty proveďte pro dvě různé tloušťky panelu (10 cm a 50 cm). Předpokládejte, že za první den po betonáži se na 1 kg cementu uvolní 200 kj tepla. V 1 m 3 betonové směsi je zamícháno 350 kg cementu. Součinitel tepelné vodivosti betonu uvažujte hodnotou 1,5 W/(m K). Průměrný výkon první den po betonáži: ( ) J/kg/( s)= 2,31 W/kg s Q = 2,31 W/kg 350 kg/m 3 = 810 W/m 3 Využijeme řešení podle rovnice (2.35). Zároveň je ale potřeba si uvědomit některá zjednodušení. Průběh teplot odpovídá ustálenému stavu. Množství uvolňovaného hydratačního tepla samozřejmě není v čase konstantní a v čase se rychle se snižuje. Panel se tedy nemůže nacházet v ustáleném stavu. Dalším zjednodušením modelu je, že v modelu se neuvažují odpory při přestupu tepla. Odvádění tepla ve skutečnosti není tak rychlé, jak se předpokládá ztotožněním povrchové teploty panelu s vnitřní teplotou v hale. Obrázek 17: Vlevo - průběh teplot v rámci panelu. Vpravo - průběh hustot tepelných toků v rámci panelu. Na čtenáři zůstává, aby sám dopočítal průběh teplot numericky a porovnal takto vypočtený průběh s analytickým řešením. Návod: Rozdělte panel na přiměřený počet kontrolních objemů. Pro každý kontrolní objem sestavte jeho tepelnou bilanci. Za předpokladu ustáleného stavu pro i-tý kontrolní objem máme: Ki Ti-1 Ti Ki+1 Ti+1 Ti sqd i 0 (2.37) kde d i je tloušťka i-tého kontrolního objemu, T i je teplota i-tého kontrolního objemu, a K je vodivost mezi sousedními teplotními uzly (ve W/m 2 K, K = /d). Vznikne soustava lineárních rovnic, kterou vyřešíte ve vhodném softwaru. Dejte si pozor na tepelnou bilanci krajních kontrolních objemů, v kterých je nutné zahrnout změnu velikosti krajní vodivosti (K 1 = /d/2), či vliv odporů při přestupu tepla, pokud je uvažujete (K 1 = 1/(R si +d/2/))

28 Jednovrstvé mezikruží Zabýváme se mezikružím s vnitřním poloměrem r 1 a venkovním poloměrem r 2. Teplota na vnitřní straně je T(r = r 1 ) = T 1. Teplota na venkovní straně je T(r = r 2 ) = T 2. Φ cd dr r 1 r 2 T 1 r l T 2 Obrázek 18: Jednorozměrné vedení tepla v ustáleném stavu v mezikruží. Pro tepelný tok Φ cd v místě r přes mezikruží délky l máme: cd r 2rl dt dr (2.38) Z předcházejícího případu jednovrstvé stěny víme, že v ustáleném stavu je tepelný tok konstantní. Můžeme proto psát: cd r2 T2 dr r 2 l dt r1 T1 Po vyjádření obou integrálů máme: 2 l T T T T cd r2 R ln r (2.39) (2.40) kde tepelný odpor v (K/W) je: r2 ln r 1 R 2 l (2.41) Tepelný odpor mezikruží neroste při zvyšování tloušťky lineárně jako v případě stěny, ale logaritmicky. Teplota T(r) se vypočte z analogického vztahu k rovnici (2.20). Tepelný tok bývá někdy výhodné vztahovat k jednomu metru délky mezikruží. Potom máme: l 2 T T T T r R ln cd r 1 (2.42)

29 kde tepelný odpor R má rozměr (m K/W). Vícevrstvé mezikruží Řešení pro vícevrstvé mezikruží je analogické vícevrstvé stěně. Celkový tepelný odpor mezikruží vytvořeného z N materiálových vrstev tedy je: ri 1 ln N r i R 2 i 1 i (2.43) Stejně jako u stěny mohou hrát roli odpory při přestupu tepla. Uvnitř potrubí lze velmi často tento odpor zanedbat. Pro venkovní stranu potrubí s povrchovou teplotou T pe a odporem při přestupu tepla R se (m 2 K/W) máme: cd 2 rl T T R 2 pe 2 se Po vztažení tepelného toku na jeden metr délky: (2.44) cd T T T T l Rse Rse 2 r pe 2 pe 2 2 (2.45) kde R se je odpor při přestupu tepla v (m K/W). Tento odpor je nepřímo úměrný venkovnímu poloměru potrubí Jednorozměrné vedení tepla v neustáleném stavu Princip superpozice Mějme tenký plech tloušťky d a ploše A (viz Obrázek 19). V rámci uvažovaného objemu plechu působí zdroj tepla Φ s (t). Na obou površích působí teplota T 1 (t). Výpočtem máme určit časový průběh teploty plechu T(t). V Φ s A Φ s K T K T 1 d T T 1 T 1 C T 1 x Obrázek 19: Tenký plech se zdrojem tepla

30 Ze zákona zachování energie máme: dt C 2K T T dt s 1 (W) (2.46) kde K (W/K) je vodivost mezi středem plechu a jeho povrchem, a kterou je možné vypočítat jako: K A d 2 (2.47) Tepelná kapacita C (J/K) uvažovaného objemu plechu se vypočítá jako: C cv (2.48) Rovnici (2.46) vyřešíme analyticky pro situaci, kdy dojde ke skokové změně velikosti zdroje tepla (Φ s (t = 0) = 0, Φ s (t > 0) = Φ s ), a zároveň dojde ke skokové změně povrchové teploty (T 1 (t = 0) = T 0, T 1 (t > 0) = T 1 ). K řešení využijeme superpozici, která sčítá výsledné řešení komplexního problému z řešení jednotlivých dílčích problémů. Toto sečtení lze provést pouze v případě lineárního dynamického systému, a proto se často superpozice používá pro řešení úloh z oblasti vedení tepla. V našem případě problém rozdělíme na dva dílčí problémy (viz Obrázek 20). T 1 (t) Φ s (t) T 1 (t) T 1 (t) 0 T 1 (t) 0 Φ s (t) 0 T(t) T(t)=T 0 = T 1 (t) T 1 (t)=t 0 + T 2 (t) T 2 (t)=0 Obrázek 20: Princip superpozice. Nejprve tedy řešíme první dílčí problém, kdy je zdroj tepla nulový a dojde ke skokové změně povrchové teploty (T 1 (t = 0) = T 0, T 1 (t > 0) = T 1 ). Rovnici (2.46) přepíšeme do tvaru: dt 2K 2K T T1 dt C C (2.49) Řešení je možné hledat jako: T T T H P (2.50) kde T H je řešení rovnice (2.49) bez pravé strany (homogenní diferenciální rovnice) a T P je jedno partikulární řešení rovnice (2.49) s pravou stranou. Nejprve tedy řešíme rovnici:

31 dt 2K T 0 dt C Separujeme proměnné a integrujeme: (2.51) 1 2K dt T C dt (2.52) Po úpravě dostaneme řešení: 2K t C TH Ce 1 (2.53) Rovnice (2.53) je vlastně řešení pro situaci, kdy na pravé straně rovnice (2.49) vystupuje nulová hodnota teploty T 1. Řešení rovnice bez pravé strany samozřejmě musí splňovat i rovnici (2.49). Integrační konstantu však uvažujeme jako funkci C 1 (t): T C t e P 1 2K t C (2.54) 2K 2K dtp dc t 1 2K t C C e C1 e dt dt C (2.55) Po dosazení rovnic (2.54) a (2.55) do rovnice (2.49) dostaneme: 2K 2K 2K dc 1 t 2K 2 2 t K C C C 1 1 t K e C e C e T1 dt C C C Po algebraické úpravě dostaneme: dc1 2K Te 1 dt C 2K t C Po integraci posléze máme: 2K t C1t Te 1 C (2.56) (2.57) (2.58) Dosadíme (2.58) do (2.54) a dostaneme: 2K 2K t t C C P 1 1 T Te e T (2.59) Výsledným řešením rovnice (2.49) je: 2K t C 1 1 T t Ce T (2.60) kde integrační konstantu C 1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = T

32 C1 T0 T1 (2.61) Po dosazení (2.61) do (2.60) dostáváme: T t T T T e 2K t C (2.62) Druhým dílčím problémem je skoková změna velikosti zdroje tepla. Teplota na venkovní straně stěny se uvažuje nulovou hodnotou (viz Obrázek 20). Rovnice (2.46) upravíme do tvaru: dt 2K T dt C C s (2.63) Obdobným postupem jako v předchozím případě bychom dospěli k řešení: T t C e 1 2K t C s 2K (2.64) kde integrační konstantu C 1 určíme z počáteční podmínky T(t = 0) = 0. C 1 s 2K Po dosazení (2.65) do (2.64) tedy dostáváme: (2.65) T t 2K s t C 1 e 2K (2.66) Nyní z rovnic (2.62) a (2.66) složíme výsledné řešení: 2K t 1 2 s s C T t T tt t T1 T0 T1 e 2K 2K (2.67) S různými obdobami rovnice (2.67) se setkáme ještě několikrát. Funkce e -x se zvyšujícím x se rychle přibližuje nule (e -1 0,37, e -2 0,14, e -3 0,05). Poměr C/2K se nazývá časová konstanta a má rozměr (s). V čase, který je větší, než trojnásobek časové konstanty je tedy vliv exponenciálního členu zanedbatelný, tj. systém se v tomto čase téměř nachází v novém ustáleném stavu

33 Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce Polonekonečná deska s konstantní počáteční teplotou T 0 je vystavena skokové změně povrchové teploty (viz Obrázek 21). Teplota se v čase t 0 změní z T 0 na T p. T(z = 0,t > t 0 ) = T p T(z,t = t 0 )=T 0 z Obrázek 21: Skoková změna povrchové teploty na polonekonečné desce. Ačkoliv polonekonečné desky v reálném světě neexistují, poskytují analytická řešení jednorozměrného vedení tepla v neustáleném stavu v polonekonečné desce významný vhled do problematiky. Analytická řešení zde nejsou odvozována. Teplotu uvnitř polonekonečné desky můžeme vypočítat z analytického řešení rovnice (2.6): z T z, t T0 Tp T0erfc 4at (2.68) kde erfc() je doplňková chybová funkce. Hustota tepelného toku procházejícího dovnitř desky (z = 0) je: q z 0, t Tp T0 at kde tepelná jímavost je poměr: (W/m 2 ) (2.69) b a c (Ws 0,5 /(m 2 K)) (2.70) Hodnota tepelné jímavosti ovlivňuje velikost tepelného toku procházejícího dovnitř materiálu po skokové změně teploty na jeho povrchu. Teplo, které 1m 2 polonekonečné desky přijme za čas t 1, se získá integrací (2.69): t Tp T0 Tp T0 t Q qtdt dt 2 t1 btp T0 t1 at t a (2.71)

34 Příklad 7. Polonekonečná deska je vystavena skokové změně povrchové teploty. Uvažujte materiály, viz Tabulka 1. Teplota se v čase t 0 změní z 0 C na 1 C. Tabulka 1: Materiálové parametry materiál (W/m K) c (J/m 3 K) a (m 2 /s) b Ws 0,5 /(m 2 K) Poznámka Beton 1, , b největší Tepelná izolace (PPS) Tepelná izolace (dřevovlákno) 0, , a největší, b nejmenší 0, , a nejmenší Čím vyšší je hodnota teplotní vodivosti materiálu, tím rychleji se po změně teploty okolí dostane teplota materiálu do rovnovážného stavu s teplotou okolí. Nejrychleji reaguje na změnu teploty okolí pěnový polystyren, nejpomaleji dřevovlákno (viz Obrázek 22). Výsledek je poměrně překvapivý, protože člověk by intuitivně předpokládal, že se nejrychleji ohřeje beton. Nejvíce tepla přijme beton a oba druhy tepelné izolace řádově méně (viz Obrázek 23). Obrázek 22: Teplota uvnitř polonekonečné desky (vlevo - po jedné hodině, vpravo po dvanácti hodinách). Obrázek 23: Hustota tepelného toku na povrchu polonekonečné desky v čase

35 Teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek Teoretickým případem jsou dvě polonekočné desky, každá na počátku o jiné teplotě, které jsou dány do vzájemného dokonalého dotyku (viz Obrázek 24). T(z,t = t 0 )=T 1 q 1 T p q 2 T(z,t = t 0 )=T 2 z = 0 z Obrázek 24: Dvě polonekonečné desky ve vzájemném kontaktu. Pro teploty v obou materiálech máme: z 0: z T z, t T2 Tp T2erfc 4at (2.72) 2 z 0: z T z, t T1 Tp T1erfc 4at (2.73) 1 Na rozhraní obou desek musí platit tepelná bilance: q 1 q2 0 (2.74) Po dosazení (2.69) do (2.74) dostaneme: T p bt b bt b (2.75) Z rovnice (2.75) vyplývá, že teplota na rozhraní dvou polonekonečných desek je konstantní (nezávislá na čase) a závisí pouze na tepelných jímavostech materiálů obou desek a počátečních teplotách obou materiálů. Tento závěr si můžeme dát do souvislosti s lidským vnímáním teploty materiálu při dotyku bosou nohou. Materiály s vysokou hodnotou tepelné jímavosti (např. kovy, beton) se nám zdají výrazně studené. Teplota na rozhraní se totiž kvůli vysoké hodnotě tepelné jímavosti materiálu nastaví na hodnotu blízkou teplotě materiálu. Materiály s nízkou hodnotou tepelné jímavosti (např. dřevo) se nám naopak zdají příjemně vlažné. Tepelná jímavost je proto důležitou vlastností nášlapné vrstvy podlah

36 Periodicky kmitající povrchová teplota na polonekonečné desce Polonekonečná deska je vystavena periodickému kolísání povrchové teploty: T () t T T sint p M A (2.76) kde T M je průměrná povrchová teplota, T A je amplituda povrchové teploty, tje čas a ω je úhlová frekvence: 2 t p (2.77) kdet p je perioda kmitu. Průběh teploty v čase uvnitř polonekonečné desky (v hloubce z) můžeme spočítat z analytického řešení rovnice (2.6) pro okrajovou podmínku (2.76): z d z p Tzt (, ) TM Te A sin t d (2.78) p kde d p (m) je periodická hloubka tepelné penetrace. d p atp (2.79) Z rovnice (2.78) je zřejmé, že amplituda T A je exponenciálně tlumena zd faktorem e p a celý výsledný signál je zpožděn o zd p oproti průběhu povrchové teploty. Amplituda teploty v hloubce z = d p je utlumena na 37 % (e -1 = 0,368). Hustota tepelného toku je: z 2 d z p qcd( z, t) TAe sint dp d p 4 (W/m 2 ) (2.80) Hustota tepelného toku procházející dovnitř desky (z = 0) je: 2 qcd( z 0, t) TA sin t d p 4 (W/m 2 ) (2.81) I když to není na první pohled z rovnice (2.81) patrné, je tepelný tok procházející dovnitř desky opět ovlivněn hodnotou tepelné jímavosti: b dp atp a t p t (2.82) p

37 Teplo, které 1m 2 polonekonečné desky přijme za polovinu délky periody t p /2 se získá integrací rovnice (2.81): tp/2 Q q t dt 2bT 0 A tp 2 (2.83) Pro některé látky a základní stavební hmoty jsou uvedeny materiálové parametry (viz Tabulka 2), s kterými jsme se seznámili v předchozím textu. Tabulka 2: Materiálové parametry ovlivňující vedení tepla materiál (W/m K) c (J/m 3 K) a (m 2 /s) b (Ws 0,5 /m 2 K) d p (m/den) Voda 0, , ,06 Led 2, , ,17 Vzduch 0,026 1, , ,77 Dřevo 0, , ,06 OSB deska 0, , ,06 Sádrokarton 0, , ,09 Sklo 0, , ,10 Beton 1, , ,14 Zdivo 0, , ,12 Hliník , ,53 Ocel , ,65 Omítka z nepálené hlíny 1, , ,12 Minerální vlákna 0, , ,

38 Příklad 8. Vypočtěte teplotu v zemině během roku. Povrchovou teplotu zeminy uvažujte jako T p = 8, ,29 sin( t + 4,51), což odpovídá údajům pro Prahu. Výpočet proveďte pro dvě různé zeminy, které se liší hodnotou součinitele tepelné vodivosti (zemina A: = 2,0 W/(m K), zemina B: = 0,6 W/(m K)). Objemovou tepelnou kapacitu uvažujte pro obě zeminy stejnou hodnotou J/(m 3 K). Obrázek 25: Vlevo - časový průběh teploty v zemině během jednoho roku pro dvě různé hloubky pod povrchem země. Vpravo - časový průběh hustoty tepelného toku vstupujícího do zeminy. Příklad 9. Vypočtěte časový průběh teploty v zemině. Povrchovou teplotu země uvažujte harmonicky kmitající. Na začátku roku se navíc došlo ke třem týdnům velmi chladného období. Teplota je v tomto velmi chladném období o 10 C nižší než je běžná hodnota. Průběh povrchové teploty lze rozložit na periodickou část a obdélníkový puls (viz Obrázek 26): t 1 t 0 = t 0 t 1 Obrázek 26: Rozklad průběhu venkovní povrchové teploty. Obdélníkový puls lze složit ze dvou skokových změn (viz Obrázek 27). t 0 0 t 1 t = 0 0 t Obrázek 27: Rozklad obdélníkového pulsu na dvě skokové změny. Pro oba dílčí signály, z kterých se skládá výsledný průběh povrchové teploty (harmonické kolísání povrchové teploty, skoková změna povrchové teploty) známe analytické řešení rovnice vedení tepla. Výsledný průběh teploty v zemině se vypočítá superpozicí řešení dílčích problémů

39 Příklad 10. Střed potrubí tepelného výměníku leží pod povrchem země v (x,z) = (0,D). Tepelný tok q je vztažený na metr délky potrubí, jeho rozměr tedy je W/m. Záporná hodnota tepelného toku se uvažuje tak, že teplo teče z potrubí směrem do okolní zeminy. T = 0 D q x z Obrázek 28: Jedno potrubí v hloubce D pod povrchem země. Teplota ve vzdálenosti r od zdroje tepla q, který se v čase nemění, a působí na nekonečně velké oblasti homogenního materiálu je: q T r ln r (2.84) 2 Řešení pro zdroj na polonekonečné oblasti je superpozicí řešení pro zdroj v nekonečné oblasti a zrcadlového obrazu zdroje s opačným znaménkem tepelného toku (viz Obrázek 29): -q D T = 0 x D z - D z q T(x,z) z +D Obrázek 29: Polonekonečná oblast s konstantním zdrojem tepla. 2 q 2 q 2 2 T x, z ln x z D ln x z D (2.85) 2 2 Po úpravě dostaneme: q T x, z ln 2 2 x z D 2 x z D 2 2 (2.86)

40 Numerické metody řešení Principy numerických metod jsou vysvětleny na případu jednorozměrného neustáleného vedení tepla. Pro jednoduchost se zabývejme pouze stěnou z homogenního materiálu, ve které probíhá jednorozměrné neustálené vedení tepla. Stěnu rozdělíme na kontrolní objemy stejných tlouštěk (viz Obrázek 30). T 1 T 2 T i-1 q in,i T i T i+1 q out,i A = 1 m 2 Tn-1 T n x x x Obrázek 30: Tepelná bilance i-tého kontrolního objemu. Při odvozování rovnice vedení tepla jsme bilancovali tepelné toky na elementárním objemu. Nyní uděláme totéž pro i-tý kontrolní objem. Plocha kolmá na směr tepelného toku je 1 m 2. dqi 2 qin, i qout, i1m dt (W) (2.87) Změna uloženého (akumulovaného) tepla v kontrolním objemu za čas dt se rovná rozdílu přicházejícího a odcházejícího tepelného toku. Při odvozování rovnice vedení tepla jsme ukázali, že změnu uloženého tepla můžeme vyjádřit jako: dq mcdt i i (J) (2.88) kde m je hmotnost kontrolního objemu v kg, c je měrná tepelná kapacita v J/(kg K) a dt i je změna teploty i-tého kontrolního objemu. Hmotnost kontrolního objemu můžeme vyjádřit jako: m x 1m 2 (2.89) Po dosazení (2.88) do (2.87) dostaneme: dt x 1m c q q 1m dt i in, i out, i 2 2 (2.90) Zbývá dosadit za přitékající a odtékající tepelný tok do i-tého kontrolního objemu:

41 q in, i Ti 1 Ti x q out, i Ti T x i1 (W/m 2 ) (2.91) Po dosazení rovnic (2.91) do rovnice (2.90) dostaneme: dti Ti Ti Ti Ti xc dt x x 1 1 (W/m 2 ) (2.92) Zavedeme označení: Ccx (J/(m 2 K)) (2.93) K x (W/m 2 K) (2.94) Potom dostaneme: dti C K T T K T T dt i1 i i i1 (2.95) T i-1 K T i K T i+1 C Obrázek 31: Schéma tepelné bilance i-tého kontrolního objemu. Rovnice (2.95) lze zkráceně zapsat jako: x f ( x, u, t ), s počáteční podmínkou xt ( ) x 0 0 (2.96) kde x je vektor stavů (v našem případě se jedná o neznámé teploty), u je vektor vstupů (v našem případě se jedná o známé teploty na krajích stěny), a t je čas. Hledáme řešení rovnice (2.96) o krok h v čase dále. Aproximovat funkci v jejím okolí lze pomocí Taylorova rozvoje: 2 3 h h h xt0 h xt0 x t0 x t0 x t0 1! 2! 3! (2.97) x(t) x(t 0 +h) x(t 0 ) h Numerické řešení Exaktní řešení t Obrázek 32: Aproximace funkce x(t) v okolí x(t 0 ). Po dosazení rovnice (2.96) do rovnice (2.97) dostaneme:

42 2 h h d f x, u, t x t0 h xt0 f x, u, t t0 1! 2! dt (2.98) Pokud není krok h příliš dlouhý, tak se nabízí aproximovat exaktní řešení tečnou: 0 0,, x t h x t h f x u t Neboli: 0 0 x t h x t h f xut,, t0 t0 t0 (2.99) (2.100) Numerické řešení je tedy založeno na nahrazení časových derivací přibližným vyjádřením (diskretizace v čase). Numerické řešení zobrazují dynamický systém popsaný diferenciálními rovnicemi na dynamický diskrétní systém popsaný algebraickými rovnicemi (diferenciální rovnice se nahrazují rovnicemi algebraickými). V případě rovnice (2.95) máme: new old Ti Ti C K Ti1 TiK Ti Ti1 t (W/m 2 ) (2.101) kde t je časový krok výpočtu. Index new označuje hodnotu na konci výpočtového kroku, tj. hodnotu, která se počítá, index old označuje hodnotu, která už je známa, (hodnota na počátku výpočtového kroku). Z diferenciální rovnice (2.95) tak dostáváme rovnici algebraickou. Po úpravě dostaneme: new old K Ti Ti Ti1 2Ti Ti1 t C (2.102) kde činitel násobící závorku s teplotami se nazývá Fourierovo číslo: Fo K at t 2 C x (-) (2.103) kde a je teplotní vodivost (a = /c). Pro krajní uzly je potřeba rovnici (2.102) upravit s ohledem na uvažované okrajové podmínky (viz dále). Teploty na pravé straně rovnice (2.102) označíme jako T. Tuto teplotu vyjádříme jako: new T T 1 T old i i i (2.104) kde je číslo od nuly do jedné. Následující hodnoty faktoru vedou k různým numerickým metodám:

43 = 0 explicitní metoda (Forward Euler), T T old ; = 1 implicitní metoda (Backward Euler), T T new ; new old = 0,5 metoda Crank-Nicolson, i 0,5 i i T T T. Existují mnohé další numerické metody řešení diferenciálních rovnic. Výše zmíněné dávají dobrý vhled do problému. i i i i Explicitní metoda. T T Fo T 2T T new old old old old i i i1 i i1 Po úpravě dostaneme rovnici: T FoT 12Fo T FoT new old old old i i1 i i1 (2.105) (2.106) Nevýhodou explicitní metody je, že není vždy numericky stabilní. Řešení může začít vykazovat oscilace, které nejsou fyzikálně možné a jsou vytvořeny numericky. K vyloučení takových oscilací je potřeba zajistit, aby váhy násobící jednotlivé teploty v rovnici (2.106), byly kladnými hodnotami. Podmínka pro stabilní časový krok výpočtu se tedy odvodí z: 12Fo 0 To vede ke vztahu: t x 2a 2 (2.107) (2.108) Stabilní krok výpočtu je velmi ovlivněn tloušťkou kontrolního objemu a vlastnostmi materiálu. Implicitní metoda. new old new new new i i i1 i i1 T T Fo T 2T T (2.109) Po úpravě: FoT 12Fo T FoT T (2.110) new new new old i1 i i1 i Maticový zápis rovnice (2.110):

44 T new i 1 new old 0 Fo 12Fo Fo 0Ti Ti new 0 0 Ti (2.111) Výhodou implicitní metody je, že metoda je vždy numericky stabilní. Nevýhodou je, že je nutné řešit soustavu rovnic. Matice koeficientů v rovnici (2.111) je však třídiagonální a pro takové existují efektivní numerické algoritmy řešení. Pro vyřešení konkrétního problému je nutné správně zahrnout okrajové podmínky. Rozlišují se následující typy okrajových podmínek: Dirichletova, Neumannova, Newtonova. Dirichletova podmínka předepisuje hodnotu veličiny na hranici, například předepsaná hodnota teploty na povrchu stěny (viz Obrázek 33). T p 2K T 1 K T 2 T p T 1 T 2 Obrázek 33: Předepsaná povrchová teplota. C Tepelná bilance 1. kontrolního objemu: new old T1 T1 C 2K T T K T T t p (2.112) Neumannova podmínka předepisuje hodnotu toku na hranici. Velmi často se jedná o tzv. adiabatickou okrajovou podmínku, kdy je hodnota tepelného toku přes hranici předepsána nulovou hodnotou (viz Obrázek 34). dokonalá tepelná izolace T 1 K T 2 T 1 T 2 C Obrázek 34: Adiabatická okrajová podmínka. Tepelná bilance 1. kontrolního objemu:

45 new old T1 T1 C 0 K T T t 1 2 (2.113) Newtonova podmínka předepisuje tok na hranici rovnicí tok = součinitel přestupu rozdíl potenciálů, například tepelný tok prouděním = součinitel přestupu tepla prouděním rozdíl teplot. Častým případem může být přestup tepla společně s předepsaným tokem (viz Obrázek 35). T e sol G Gt T p K T 1 K T 2 T T 1 K p T 0 2 C T e Obrázek 35: Přestup tepla a solární záření dopadající na venkovní povrch stěny. Tepelná bilance v povrchovém uzlu: K0 Te Tp solggt K1 Tp T1 0 Jinak zapsáno: (2.114) K0 Tekv Tp K Tp T1 0, kde T ekv solg Gt Te K (2.115) 0 Tepelnou bilanci prvního kontrolního objemu je potom možné vyjádřit jako: new old T1 T1 K0K C Tekv T1 K T1 T2 0 t K K (2.116)

46 2.3 Šíření tepla prouděním Základní vztahy Přenos tepla prouděním (konvekcí) je vyvolán tokem tekutiny. Proudící tekutina s sebou unáší v ní uloženou energii (teplo) a přemisťuje ji například v potrubí nebo ve stavebním prvku. Proudění vyvolané čerpadlem nebo ventilátorem se nazývá vynucené. Proudění vyvolané rozdílem hustot kapaliny (rozdílem teplot) se nazývá přirozené. Přenos tepla prouděním nastává, pokud tekutina proudí podél povrchu a existuje rozdíl mezi teplotou tekutiny a teplotou povrchu (viz Obrázek 36). Tento proces se označuje jako přestup tepla prouděním. pohyb tekutiny q c T 1 T p > T 1 mezní vrstva T p Obrázek 36: Přestup tepla prouděním. Hustota tepelného toku se vyjadřuje součinem součinitele přestupu tepla prouděním c (W/(m 2 K)) a rozdílu teploty povrchu T p a teploty kapaliny T (Newtonův zákon): q T T c c p (W/m 2 ) (2.117) Výpočtu součinitele přestupu tepla prouděním se v literatuře věnuje rozsáhlá teorie, viz např. [5], [7]. K výpočtu se používají bezrozměrná podobnostní čísla: Nu Nusseltovo číslo, Re Reynoldsovo číslo, Pr Prandtlovo číslo, Gr Grashofovo číslo, Ra Rayleighovo číslo. Součinitel přestupu tepla prouděním se počítá z Nusseltova čísla Nu: c D char Nu (W/(m 2 K)) (2.118) kde je tepelná vodivost tekutiny (W/(m K)), D char je charakteristický rozměr (m). Nusseltovo číslo vyjadřuje poměr mezi tepelným tokem vyvolaným prouděním a tepelným tokem bez vlivu proudění (pouze vedení). Vztahy pro Nu je možné nalézt v literatuře pro definované geometrické konfigurace a omezující podmínky platnosti

47 Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z rychlosti proudění v blízkosti svislého povrchu (proudění rovnoběžné s povrchem, rychlost proudění v 5 m/s), viz [1]: c 6 4v (2.119) Součinitel přestupu tepla prouděním vzduchu v potrubí o kruhovém průřezu (průměry mm, v < 10 m/s) můžeme orientačně vypočítat z: c 3v 3 (2.120) kde v je průměrná rychlost vzduchu v potrubí dosazovaná v m/s. U vnitřních povrchů v místnosti se typicky jedná o přirozené proudění. Součinitel přestupu tepla prouděním můžeme orientačně vypočítat z, viz [1]: 0,25 c 2 Tp T a (2.121) kde T p - T a je rozdíl mezi teplotou vnitřního vzduchu a vnitřní povrchovou teplotou. Obvyklé hodnoty se pohybují v rozmezí 1 3 W/(m 2 K), viz Obrázek 37. Obrázek 37: Součinitel přestupu tepla prouděním. Další informace k součiniteli přestupu tepla prouděním jsou uvedeny například v [7], [32] Větraná dutina Častým případem technické praxe je proudění tekutiny potrubím, kanálem, či dutinou (viz Obrázek 38). T 1 G T 2 c Obrázek 38: Přenos tepla prouděním v potrubí

48 Tepelný tok odevzdaný či přijatý do/z stěny potrubí, kanálu, či dutiny se spočte: c GcT T 1 2 (W) (2.122) kde G je hmotnostní tok tekutiny ny v kg/s, c je měrná tepelná kapacita tekutiny v J/(kg K), (voda 4200 J/(kg K), vzduch 1010 J/(kg K)), T 1 je teplota tekutiny na vstupu do potrubí a T 2 je teplota tekutiny na výstupu z potrubí. Teplota tekutiny na výstupu je ovšem často neznámá. Teplotu na výstupu je možné vypočítat rozdělením potrubí, kanálu, či dutiny na několik kontrolních objemů tloušťky x, na kterých sestavíme jejich tepelnou bilanci (viz Obrázek 39). G T T p dt T x dx x Obrázek 39: Dutina s proudící kapalinou. Tepelná bilance kontrolního objemu: dt GcT Gc T x cpx T Tp 0 dx (W) (2.123) kde P je obvod potrubí či kanálu v m, výraz (Px) je tedy přestupová plocha kontrolního objemu v m 2. V rovnici (2.123) se zanedbává akumulace tepla v kontrolním objemu. Po úpravě: dt cp cp T T dx Gc Gc p (2.124) Rovnice (2.124) je typově stejná jako rovnice (2.49). Její analytické řešení již tedy bylo odvozeno: T T T T out p in p e cp x Gc (2.125) kde T out je teplota tekutiny na výstupu z kontrolního objemu, T in je teplota tekutiny na vstupu do kontrolního objemu. Pro potrubí kruhového průřezu máme:

49 P 2 r (2.126) kde r je poloměr potrubí v m. Pro dutinu se dvěma rovnoběžnými povrchy máme: P 2B (2.127) kde B je šířka dutiny v m Konvektivně difuzní rovnice Uvažujme homogenní stěnu s tloušťkou L, viz Obrázek 40. Průtok vzduchu přes stěnu je označený jako g a (kg/(m 2 s)). Teplota na levé straně stěny je T(x = 0) = T 1. Teplota na pravé straně je T(x = L) = T 2. L T 1 T(x) T 2 g a q cd +q c x Obrázek 40: Jednorozměrné vedení a proudění v homogenní stěně. Odvození rovnice popisující kombinované šíření tepla vedením a prouděním vychází z obdobné bilance kontrolního objemu jako v případě pouhého vedení. q cd qc c T t (2.128) V ustáleném stavu je teplota nezávislá na čase, rovnice (2.128) se proto zredukuje na: q cd qc 0 Po dosazení výrazů za jednotlivé hustoty tepelného toku dostaneme: d dt gct 0 dx (2.129) a a dx (2.130) Jelikož uvažujeme konstantní součinitel tepelné vodivosti ( = konst.), hustotu hmotnostního toku vzduchu (g a = konst.) a měrnou tepelnou kapacitu vzduchu (c a = konst.), můžeme rovnici (2.130) přepsat do tvaru

50 2 d T dt gc 2 a a 0 dx dx Neboli: 2 d T d 1dT d 2 x l x 0 kde l (m) je délka definovaná jako: (2.131) (2.132) l gc a a (2.133) Obecným řešení rovnice (2.132) je: l 1 2 T x C l e C x (2.134) kde C 1 a C 2 jsou integrační konstanty. Hustota tepelného toku vedením je: x dt 1 l qcd Cl 1 e C1e dx l Hustota tepelného toku prouděním je: x x l l qc gct a a gc a a Cle 1 C2 gcc a a 1 e gcc a a 2 gc a a x l 1 a a 2 C e g c C x l (2.135) (2.136) Hustota tepelného toku vedením a prouděním je: x x l l cd c 1 1 a a 2 a a 2 q q Ce Ce gc C gc C (2.137) Po dosazení okrajových podmínek do rovnice (2.134) získáme hodnoty integračních konstant: C 1 T2 T1 L l le 1 C 2 Te e L l 1 T2 L l 1 (2.138) Výsledné řešení pro uvažované okrajové podmínky tedy je: x l e 1 T x T T T L l e (2.139)

51 Pro hodnotu hustoty tepelného toku máme: q q g c cd c a a L l 1 T2 L l Te e 1 (2.140) 2.4 Šíření tepla sáláním Základní vztahy Úvod Přenos tepla sáláním je přenos energie mezi dvěma tělesy o různé teplotě šířením elektromagnetických vln. Přenos tepla vedením a prouděním vyžaduje rozdíl teplot v určité formě hmoty (pevná látka nebo kapalina). Přenos tepla sáláním naproti tomu hmotu ke své existenci nepotřebuje. Důkazem je naše každodenní osobní zkušenost s teplem od Slunce, které k nám dorazí i přesto, že vzdálenost mezi Sluncem a Zemí je 150 milionů kilometrů. Dalším rozdílem je, že tepelný tok sáláním není úměrný rozdílu teplot, ale rozdílu čtvrtých mocnin absolutních teplot. Jako sálání se označuje určitý interval vlnových délek elektromagnetického vlnění (přibližně mezi 0,1 100 m), viz Obrázek 41. Malou část vlnových délek z tohoto intervalu (0,4 0,76 m) označujeme jako světelné záření (tj. záření viditelné lidskému oku), viz Tabulka 3. gama záření rentgenové ultrafialové viditelné sálání infra červené mikrovlny rádiové vlny (m) Obrázek 41: Elektromagnetické spektrum. Tabulka 3: Rozsahy vlnových délek pro jednotlivé barvy Barva (m) Fialová 0,40-0,45 Modrá 0,44-0,49 Zelená 0,49-0,

52 Žlutá 0,57-0,59 Oranžová 0,59-0,62 Červená 0,62-0,76 Ve stavební tepelné technice se sálání rozlišuje na krátkovlnné a dlouhovlnné. Toto rozlišování souvisí s jednou ze základních vlastností sálání rozložením vyzářené energie přes spektrum vlnových délek, viz rovnice (2.141) a Obrázek 43. U sálání z povrchu o velmi vysoké teplotě převažují krátké vlnové délky. Za krátkovlnné záření se ve stavební fyzice obvykle označuje solární záření. U sálání z povrchu o nízké teplotě převažují dlouhé vlnové délky. Za dlouhovlnné záření se ve stavební fyzice obvykle označuje záření vydávané vnějšími či vnitřními povrchy budovy. Záření černého tělesa Černé těleso je fyzikální abstrakce (ideální těleso). Pohlcuje veškerou na něj dopadající energii. Můžeme si ho představit například jako dutinu kulového tvaru s malým otvorem (Obrázek 42, vlevo). Černé těleso má také tu vlastnost, že vyzařuje záření difuzně, tj. rovnoměrně do všech směrů (Obrázek 42, vpravo). černé těleso reálné těleso Obrázek 42: Vlevo - model černého tělesa. Vpravo - směrové rozložení záření. Tepelné záření černého tělesa je charakterizováno spektrálním rozložením vyzařované výkonu (spektrální hustotou intenzity vyzařování), viz Obrázek 43: Eb C1 C2 5 T e 1 (W/(m 2 m)) (2.141) kde C 1 = 2hc 0 2 = 3, Wm 4 /m 2, C 2 = hc 0 /k = 1, m K (h je Planckova konstanta, k je Boltzmannova konstanta, c 0 je rychlost světla ve vakuu). Rovnice (2.141) bývá označována jako Planckův zákon

53 Obrázek 43: Spektrální hustota intenzity vyzařování černého tělesa při dané teplotě. Poloha maxima na křivce spektrální hustoty intenzity vyzařování nastává pro danou teplotu tělesa T při určité vlnové délce max : 2898 T max (m) (2.142) Rovnice (2.142) bývá označována jako Wienův zákon. Povrchová teplota slunce dosahuje přibližně 5800 K. Maximum vyzářené energie tedy odpovídá vlnové délce 0,5 m, která leží uvnitř viditelné oblasti. Teplota povrchů v našem okolí, případně teplota lidského těla je přibližně 300 K. Maximum vyzářené energie připadá na 9,7 m. Oblast vlnových délek tedy nezasahuje do viditelné oblasti a dlouhé vlny proto nevidíme (viz Obrázek 43). Integrací vztahu (2.141) přes všechny vlnové délky dostáváme Stefanův- Boltzmannův zákon pro celkovou intenzitu vyzařování černého tělesa (plocha pod průběhem funkce E,b): 4 C1 4 b bd 4 15C 0 2 E T E T (W/m 2 ) (2.143) kde je Stefanova-Boltzmannova konstanta (5, W/m 2 K 4 ) a T je absolutní teplota (teplota v Kelvinech). Příklad 11. Teplota vlákna standardní žárovky je přibližně 3000 K. Intenzita vyzařování vlákna E b T 4 = 4, W/m 2. Spektrální hustota intenzity vyzařování je rozložena zejména do infračervené oblasti ( max = 1 m). Velmi malá část záření připadá na viditelnou oblast. Pouze malá část elektrické energie ( 5 %) se tedy přemění na světelné záření. Zbývající větší část je infračervené záření

54 Vlastnosti reálných těles Reálná tělesa nevyzařují stejné množství energie jako černé těleso. Emisivita (zářivost) je poměr mezi zářením vyzařovaným z povrchu reálného tělesa a zářením vyzařovaným z povrchu černého tělesa o stejné teplotě jako je teplota reálného tělesa. Z definice je zřejmé, že emisivita reálných těles je vždy menší než 1. Emisivita povrchu reálného tělesa není konstantou, závisí na teplotě povrchu, vlnové délce a směru záření. V praxi se používá tzv. hemisférická emisivita zprůměrovaná přes všechny směry. Pokud se emisivita definuje pomocí spektrální hustoty intenzity vyzařování, tak se emisivita označuje jako spektrální hemisférická emisivita:, T E E b, T, T (-) (2.144) Obdobně celková hemisférická emisivita je: b ET E T (-) (2.145) Průměrná emisivita (zářivost) povrchu reálného tělesa je poměr mezi celkovou intenzitou vyzařování reálného tělesa o teplotě T a celkovou intenzitou vyzařování černého tělesa o stejné teplotě jako je teplota reálného tělesa. Kvůli zjednodušení výpočtů se zavádí tzv. šedý povrch, resp. šedé těleso (viz Obrázek 44). Emisivita povrchu šedého tělesa je nezávislá na vlnové délce ( = konst.). E černé těleso o dané teplotě E b reálné těleso o dané teplotě E = E b Obrázek 44: Šedé těleso. šedé těleso o dané teplotě E = E b Celková hemisférická emisivita tak stačí k vyjádření intenzity vyzařování šedého tělesa: E E T b 4 (W/m 2 ) (2.146)

55 Záření není povrchy jen vyzařováno. Dopadající záření na nějaký povrch (ozáření G) je povrchem odráženo, pohlcováno, případně část záření prochází skrz (pokud se jedná o polopropustný materiál např. sklo). G q q q Obrázek 45: Pohltivost, odrazivost, propustnost. Platí zákon zachování energie: G q q q (W/m 2 ) (2.147) kde jednotlivé členy rovnice vyjadřují tepelný tok tělesem odražený, pohlcený a procházející skrz. Po úpravě: q q q 1 G G G Neboli: 1 (-) (2.148) (-) (2.149) kde jednotlivé členy jsou odrazivost, pohltivost, propustnost. Pro nepropustné materiály ( = 0) platí: 1 (-) (2.150) Pohltivost nezávisí na teplotě povrchu tělesa. Pohltivost ale velmi závisí na teplotě zdroje, který záření vyzařuje (viz Tabulka 4). Tabulka 4: Pohltivost různých povrchů. Teplota zdroje 5800 K (krátkovlnné) sol 300 K (dlouhovlnné) = Světlé povrchy < 0,1 0,8 Tmavé povrchy > 0,9 0,8 Sklo 0,1 0,8 Leštěné kovy 0,1 < 0,1-55 -

56 Sníh 0,28 0,97 Selektivní vrstvy 0,9 0,05 Povrchy současně vyzařují energii směrem k jiným povrchům a zároveň pohlcují vyzařovanou energii z okolních povrchů. Uvažujme zvláštní případ, kdy je velmi malý povrch o ploše A a teplotě T uzavřený uvnitř velké obálky (tj. černého tělesa), která má teplotu T p (viz Obrázek 46). T p AT p 4 AT 4 T A Obrázek 46: Velmi malý povrch uzavřený uvnitř velké obálky. Tepelná bilance na povrchu tělesa: AT 4 4 p AT 0 (W) (2.151) T T 4 4 p (2.152) Ve stavebně-fyzikálních problémech můžeme často přibližně uvažovat, že hodnota T i T p se pohybuje ve stejném řádu. Pokud je teplota malého povrchu v rovnováze s teplotou obálky (T = T p ), potom tedy platí: (-) (2.153) Rovnice (2.153) bývá označována jako Kirchhoffův zákon. Celková hemisférická emisivita povrchu o teplotě T se rovná celkové hemisférické pohltivosti pro záření, které je vysíláno černým tělesem o stejné teplotě. Energie pohlcená tělesem s vysokou pohltivostí musí být zase vyzářena. Materiály s nízkou pohltivostí (např. leštěné kovy) proto mají nízkou emisivitu. Povrchy běžných stavebních materiálů naopak mají vysokou pohltivost, a tedy i emisivitu. Emisivita závisí na struktuře povrchu (oxidace, drsnost, prach). Zoxidované kovy mnohem dosahují mnohem vyšší emisivity než kovy s vyleštěným povrchem Solární záření Zářivý výkon slunce a vzdálenost Země od Slunce se téměř nemění. Díky tomu se také příliš nemění ozáření na vnější hranici atmosféry, které se

57 nazývá solární konstanta (G sc = 1367 W/m 2 ). V atmosféře dochází k pohlcování, odrazu a rozptylu záření. Výsledkem je, že ozáření povrchu Země je nižší, než je hodnota solární konstanty. Za jasného dne to může na plochu kolmou k paprskům být až 1000 W/m 2. Solární záření dopadající na povrch se dělí na přímé záření a difuzní záření. Difuzní z oblohy Přímé Přímé odražené Difuzní od země odražené od země Obrázek 47: Vlevo - různé složky slunečního záření. Vpravo - solární geometrie (obrázek je převzatý z [8]). Přímé a difuzní ozáření na vodorovnou plochu se měří na některých meteorologických stanicích. Z těchto hodnot lze přepočítat globální ozáření skloněné a orientované plochy G Gt. Izotropický model přepočtu je založený na následující rovnici, viz [4]: cos 1 cos 1 cos G G G G G cos 2 2 Gt Bh Dh G Bh Dh z (2.154) kde G Bh (W/m 2 ) je přímé ozáření na vodorovnou rovinu, G Dh (W/m 2 ) je difuzní ozáření na vodorovnou rovinu, G je odrazivost terénu a okolních ploch (albedo) a je sklon plochy od vodorovné roviny. Podíl kosinů úhlu dopadu a zenitového úhlu z (definice úhlů viz Obrázek 47) zajišťuje přepočet přímé složky záření z vodorovné na skloněnou rovinu. Izotropický model zjednodušeně předpokládá, že veškeré difuzní záření je rovnoměrně rozloženo po obloze. Tepelný tok pohlcený povrchem při dopadu slunečních paprsků se spočte jako: q G sol Gt (W/m 2 ) (2.155) kde sol (-) je pohltivost povrchu pro sluneční záření. Výpočet ozáření na skloněnou a orientovanou rovinu je jedním z velmi důležitých výpočtů při simulaci budov. Kromě isotropického modelu (rovnice

58 (2.154)) existuje řada dalších modelů pro přepočet. Podrobné informace lze nalézt v [4], nebo česky v [8], [9] Dlouhovlnné záření mezi povrchy V aplikacích stavební tepelné techniky jsou důležité následující dva zvláštní případy sálání mezi dvěma tělesy tvořícími obálku. T 1 A 1 r T 2 A 2 Obrázek 48: Obálka s dvěma povrchy o různé teplotě. Malá plocha obklopená plochou velkou může například představovat oblohu a povrch budovy, o otopné těleso a vnitřní povrchy místnosti, anebo například o povrch teplotního čidla umístěného v místnosti. Velkou plochu je možné považovat za černé těleso ( 2 1). Tepelný tok sáláním je: A T T 4 4 r (W) (2.156) Dva veliké rovnoběžné povrchy mohou například představovat dvě tabule skla v okně, dva povrchy vzduchové dutiny v konstrukci, nebo absorbér a zasklení solárního kolektoru. Pokud jsou obě plochy černými tělesy, tak nedochází ke zpětnému odrazu a pro tepelný tok sáláním máme: 4 4 A E E A T T r b1 b2 1 2 (W) (2.157) Pokud jsou obě plochy šedými tělesy, tak pro tepelný tok sáláním máme: 4 4 A T1 T2 r (W) (2.158) Hustotu tepelného toku sáláním je výhodné vyjadřovat jako součin součinitele přestupu tepla sáláním a rozdílu teplot (analogicky k rovnici (2.117)): q T T r r 1 2 (W/m 2 ) (2.159) V případě malé plochy obklopené plochou velkou tedy dostáváme:

59 3 2 2 T1 T2 r 1 T1 T2 T1 T (W/(m2 K)) (2.160) V druhém případě dvou velikých rovnoběžných povrchů dostáváme: r T1 T T 1 T 2 T 1 T W/(m 2 K)) (2.161) Obvyklé hodnoty součinitele přestupu tepla sáláním se pohybují v rozmezí 3,5 6 W/(m 2 K), viz Obrázek 49. Pokud by jeden z povrchů měl nízkou emisivitu, tak se součinitel přestupu tepla sáláním redukuje pod hodnotu 1 W/(m 2 K). Obrázek 49: Součinitel přestupu tepla sáláním, vlevo pro malou plochu obklopenou plochou velkou, vpravo pro dva rovnoběžné povrchy. Příklad 12. Vypočítejte hustotu tepelného toku sáláním mezi dvěma rovnoběžnými povrchy. Teplota povrchu na levé straně je T 1 = 20 C (293 K), teplota povrchu na pravé straně je T 2 = -15 C (258 K). T 1 1 r 2 T 2 Obrázek 50: Sálání mezi dvěma rovnoběžnými povrchy. q q r1 r2 5, ,3 W/m A ,05 0, r1 2 5, ,5 W/m A ,8 0, r2 2 Z předchozího porovnání vyplývá, že emisivita povrchů hraje významnou roli

60 Příklad 13. Vnitřní povrch jedné obvodové stěny sdílí s ostatními povrchy místnosti teplo sáláním. Vypočtěte součinitel přestupu tepla sáláním. Střední teplotu povrchů lze přibližně uvažovat rovnou obvyklé teplotě vzduchu v místnosti (15-25 C]. Tabulka 5: Součinitel přestupu tepla sáláním na vnitřním povrchu konstrukce. ri (W/(m 2 K)) (T 1 +T 2 )/2 = 0,1 = 0,8 = 0,9 288 K (15 C) 0,54 4,35 4, K (20 C) 0,57 4,58 5, K (25 C) 0,60 4,82 5, Kombinovaný přenos tepla Přestup tepla na vnitřním povrchu konstrukce Uvažujeme vnitřní povrch obvodové konstrukce (viz Obrázek 51). Při jejím povrchu dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu konstrukce T pi a teploty vnitřního vzduchu T ai. Dochází také k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu konstrukce a střední teplotou okolních povrchů T ri. T pi Vedení tepla Dlouhovlnné záření T ai Proudění T ri Vnitřní povrchy q tot T pi ri ci T ri Tai q tot ci + ri T pi T i Obrázek 51: Tepelná bilance vnitřního povrchu konstrukce. Tepelná bilance na povrchu stěny: qci qri qtot 0 Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako: T T T T q ci ai pi ri ri p tot Postupnými úpravami se dostaneme k: T T q ci ri i pi tot kde T i je ekvivalentní vnitřní teplota: (W/m 2 ) (2.162) (2.163) (2.164)

61 citai ritri T 0,5 T T i ai ri ci ri (2.165) Teplota T ri se často aproximuje jako vážený průměr teplot povrchů stavebních prvků přes jejich plochy: T ri AT A AT... A... (2.166) 1 p1 2 p2 1 2 Výraz ( ci + ri ) bývá v harmonizovaných technických normách označován jako h i dříve i ). Převrácená hodnota R si = 1/( ci + ri ) se nazývá odpor při přestupu tepla na vnitřní straně. V inženýrských výpočtech se často používají normové (smluvní) hodnoty. Typické hodnoty shrnuje Tabulka 6. Tabulka 6: Typické hodnoty součinitele přestupu tepla na vnitřním povrchu konstrukce. ci ri ci + ri R si * (W/(m 2 K)) (W/(m 2 K)) (W/(m 2 K)) (m 2 K)/W) Svislá stěna 1,3 2,5 8 0,13 Vodorovný povrch, tepelný tok nahoru Vodorovný povrch, tepelný tok dolů 1,5 2,9 10 0,10 4,3 5,4 0,6 1,0 6 0,17 *Hodnoty dle [17]. Ve velmi dobře tepelně izolovaných budovách lze předpokládat, že teploty povrchů jsou blízké teplotě vnitřního vzduchu. Potom se vztah (2.165) zjednoduší na: T i Tai (2.167) Vnitřní teplota definovaná rovnicí (2.165) se někdy nazývá operativní teplota. Povrch lidského těla také sdílí teplo prouděním a sáláním, a proto je operativní teplota blízká teplotě, kterou vnímá člověk při svém pobytu v místnosti. Operativní teplota se proto používá pro hodnocení tepelné pohody člověka. Příklad 14. Vypočítejte vnitřní povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla U g = 0,7 W/m 2 K. Teplota venkovního prostředí je -15 C, teplota vnitřního vzduchu je 21 C a teplota ostatních vnitřních povrchů v místnosti je 20 C resp. 28 C ve variantě se stropním a stěnovým sálavým vytápěním

62 K -15 T pi ci ri K = 1/(1/U g R si ) = 1/(1/0,7 0,13) = 0,77 W/m 2 K Odhad součinitelů přestupu tepla: ci = 2,8 W/m 2 K, ri = 5 W/m 2 K. Povrchová teplota se určí z tepelné bilance uzlu T pi : T T T T KT T ci ai pi ri ri pi e pi 0 ritri citai K Te ,8 21 0,77 ( 15) Tpi 17,2 C ri ci K 52,80,77 Teplota vnitřního povrchu zasklení je 17,2 C. V případě sálavého vytápění by teplota vnitřního povrchu zasklení byla 21,8 C Přestup tepla na vnějším povrchu konstrukce Uvažujeme vnější povrch konstrukce (viz Obrázek 52). Při jejím povrchu dochází k přestupu tepla prouděním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu T pe a teploty venkovního vzduchu T ae. Dochází také k přestupu tepla sáláním, který je důsledkem rozdílu mezi teplotou povrchu a střední teplotou okolních povrchů T re, jakými například jsou okolní budovy a obloha. Na povrch s pohltivostí sol navíc dopadá sluneční záření. T re Dlouhovlnné záření Okolní povrchy Krátkovlnné záření T ae T pe Proudění Vedení tepla sol G Gt T ae ce T pe re T re q tot ce + re T e T pe q tot Obrázek 52: Tepelná bilance vnějšího povrchu konstrukce. Tepelná bilance na povrchu stěny: solggt qce qre qtot 0 Jednotlivé členy rovnice je možné vyjádřit jako: G T T T T q sol Gt ce ae pe re re pe tot Postupnými úpravami se dostaneme k: T T q ce re e pe tot (W/m 2 ) (2.168) (2.169) (2.170)

63 kde T e je ekvivalentní venkovní teplota: T e G T T sol Gt c ae re re ce re (2.171) Výraz ( ce + re ) bývá v harmonizovaných technických normách označován jako h e dříve e ). Součinitel přestupu tepla sáláním a prouděním se sdružuje do jediné hodnoty. Převrácená hodnota R se = 1/( ce + re ) se nazývá odpor při přestupu tepla na venkovní straně. Tabulka 7: Typické hodnoty součinitelů přestupu tepla na vnějším povrchu konstrukce re ce re + ce R se * (W/(m 2 K)) (W/(m 2 K)) (W/(m 2 K)) (m 2 K)/W) ,04 *Hodnota dle [17]. Významným faktorem v tepelné bilanci vnějšího povrchu může někdy být sálání vůči obloze. Problémem je reálné stanovení teploty T re, v tomto případě pojmenovávané jako T sky. Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty oblohy, viz Tabulka 8. Tabulka 8: Zjednodušené vztahy pro výpočet zdánlivé teploty oblohy [1] Vodorovný povrch, jasná obloha T 1,2T 14 Svislý povrch, jasná obloha T 1,1 T 5 sky sky ae ae (2.172) (2.173) Zatažená obloha T sky T ae (2.174) Obloha je ve skutečnosti velmi zřídka zcela bez oblačnosti. Teploty jsou ve C. Při výpočtech tepelných ztrát přes konstrukci, například kvůli výpočtu potřeby tepla na vytápění budovy, se často zanedbává vliv solárního záření a předpokládá se zatažená obloha (T re = T ae ). V takovém případě se vztah (2.171) zjednoduší na: T e T ae (2.175) Při výpočtech nesilových účinků na konstrukce (např. deformace vyvolané vlivem teplotní roztažností materiálů), se často pracuje s případem, kdy na povrch konstrukce slunce svítí, ale uvažuje se zatažená obloha T re = T ae (nepůsobí ochlazující vliv oblohy). V takovém případě se vztah (2.171) zjednoduší na:

64 T e T ae solg Gt ce re (2.176) Příklad 15. Vypočítejte vnější povrchovou teplotu trojskla o součiniteli prostupu tepla U g = 0,7 W/m 2 K. Teplota venkovního vzduchu je 0 C, teplota oblohy je -5 C a vnitřní teplota je 20 C. 0 ce K 20 K = 1/(1/U g R se ) = 1/(1/0,7 0,04) = 0,72 W/m 2 K re T pe -5 Odhad součinitelů přestupu tepla: re = 4 W/(m 2 K), ce = 3 W/(m 2 K), téměř bezvětří. Povrchová teplota se určí z tepelné bilance uzlu T pe : T T T T KT T retsky cetae K Ti ce ae pe re sky pe i pe 0 T pe ,7220 0,7 C K 430,72 re ce Teplota venkovního povrchu zasklení je -0,7 C. Podchlazení povrchové teploty pod teplotu venkovního vzduchu znamená nebezpečí kondenzace vodní páry a následného vytvoření námrazy. Sami vyzkoušejte, co by se stalo, pokud a) zasklení je tvořeno dvojsklem, b) vnitřní teplota je vyšší než 20 C, c) není jasná obloha, d) více fouká vítr, e) emisivita venkovního povrchu by byla snížená? V čem by se lišil případ střešního okna? Dopočtěte příklad pro kontaktní zateplovací systém Šíření tepla v uzavřené dutině Dutina je vrstva plynu, jejíž tloušťka je v porovnání s ostatními jejími rozměry malá. Může se například jednat o vzduch, nebo o vzácný plyn v případě dutiny mezi skly okna. V dutině s plynem dochází ke všem třem druhům šíření tepla (viz Obrázek 54). T 1 > T 2 sálání r A T 1 T 2 T ag proudění vedení T 1 T 2 T ag T 1 c+cd A T 2 Φ tot d Obrázek 54: Šíření tepla v uzavřené dutině

65 Součinitel přestupu tepla sáláním se vypočítá z rovnice (2.161). Součinitel přestupu tepla prouděním a vedením c se vypočítá z rovnice (2.118). Za charakteristický rozměr se považuje tloušťka dutiny d. Případ, kdy je Nu = 1 vyjadřuje situaci bez proudění. Dochází k přenosu tepla pouhým vedením tepla. Proudění je zanedbatelné ve velmi úzkých dutinách (d < 15 mm). Tepelná bilance v uzlu T 2 : ATT ATT r 1 2 c+cd 1 2 tot (2.177) V inženýrských výpočtech se pro vzduchové dutiny často využívají orientační hodnoty jejich tepelného odporu. Hodnoty lze například hledat v [17]. Přenosem tepla prouděním ve svislých a skloněných vzduchových vrstvách se zabývá publikace [10] Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině Stavební prvky často obsahují větrané dutiny. Takové konstrukce se někdy nazývají jako dvojplášťové. Větraná vzduchová dutina je napojená na venkovní prostředí vstupním a výstupním otvorem. Dutina má délku x a šířku B (viz Obrázek 55). Přestupová plocha tedy je A = xb. Průtok vzduchu dutinou je označený jako G a (kg/s) a předpokládá se, že jeho hodnota je známa. Průtok vzduchu dutinou v reálné situaci závisí na mnoha okolnostech. Hnacími silami jsou rozdíl tlaků kvůli rozdílu teplot vzduchu v dutině a teploty venkovního vzduchu a rozdíl tlaků kvůli působení větru. Jaký se nastaví průtok je zároveň ovlivněno hydraulickými odpory (vstupní otvor, tření o stěny dutiny, výstupní otvor). T a,out B sálání T 1 T T ag 2 proudění x T 1 r A T 2 Φ 1 Φ 2 c1 A Φ out T ag c2 A Φ in T a,in Obrázek 55: Šíření tepla ve větrané vzduchové dutině. Tepelná bilance v uzlu T 1 : ATT ATT 1 r l 2 c1 1 ag 0 (2.178) Tepelná bilance v uzlu T 2 :

66 ATT AT T r l 2 c2 ag Tepelná bilance v uzlu T ag : ATT AT T in out c1 1 ag c2 ag 2 0 (2.179) (2.180) kde GcT in a a a,in, resp. out GcT a a a,out (2.181) kde G a (kg/s) je průtok vzduchu v dutině, c a (1010 J/(kg K)) je měrná tepelná kapacita vzduchu a T a,out je teplota vzduchu na výstupu z dutiny. Pokud uvažujeme dokonalé větrání dutiny, tak: T ag T ae Pokud uvažujeme uzavřenou dutinu, tak máme: in out 0 (2.182) (2.183) Za předpokladu lineárního vzestupu teploty vzduchu v dutině můžeme psát: T ag T T 2 a,in a,out resp. T 2T T a,out ag a,in (2.184) Po dosazení zjednodušujícího předpokladu (2.184) do rovnice (2.181) dostaneme: 2GcT 2GcT AT T AT T 0 a a a,in a a ag c1 1 ag c2 ag 2 (2.185) Šíření tepla v nehomogenní vrstvě V rámci nějaké vrstvy v obvodové konstrukci mohou být přítomny pravidelně se opakující prvky s vyšším součinitelem tepelné vodivosti, než má převažující materiál (viz Obrázek 56). Tyto prvky, tzv. systematické tepelné mosty, zvyšují tepelný tok přes vrstvu. Tepelný tok přes nehomogenní vrstvu v ustáleném stavu lze zjednodušeně odhadnout jako, kdyby vedení tepla bylo pouze jednorozměrné. Za tohoto předpokladu můžeme psát: K T T K T T cd (2.186)

67 řez Charakteristický * výsek A 1 T * A 2 Φcd d t W T 1 K 1 A 1 T 1 K 2 T 2 Φ cd A 2 H pohled T 1 K ekv T 2 Obrázek 56: Nehomogenní vrstva se systematicky se opakujícími prvky. Po dosazení vodivostí do rovnice (2.186) máme: cd A1 T1 T2 A2 T1 T2 H W t H t T1 T2 d d d d (2.187) Pro hustotu tepelného toku máme: 1 2 HW t Ht cd d d q cd T1 T2 Uekv T1 T2 A H W (2.188) kde U ekv je ekvivalentní součinitel prostupu tepla nehomogenní vrstvy: U ekv 1 2 HW t Ht d d 1 1t 2t H W d Wd Wd (2.189) Zavedeme-li: f t t W můžeme vztah (2.189) přepsat na: (2.190) U 1 f f U 1 f U f d d 1 2 ekv t t 1 t 2 t (2.191) Alternativně také můžeme zavést ekvivalentní hodnotou součinitele tepelné vodivosti nehomogenní vrstvy ekv :

68 * * A1 A2 ekv Uekvd 1 1 ft 2 ft 1 * 2 * A A (2.192) kde A * je celková plocha charakteristického výseku a A 1 *, A 2 * jsou dílčí plochy charakteristického výseku. Velikost chyby závisí zejména na velikosti rozdílu hodnot součinitelů tepelné vodivosti obou materiálů. Lze očekávat, že pro kovové prostupující prvky bude chyba vyšší než například pro prostupující prvky ze dřeva. Pro složitější situace je vhodnější vypočítat tok přes nehomogenní vrstvu řešením dvojrozměrného vedení tepla. Norma [17] obsahuje inženýrské výpočtové metody, jak započítat vliv dalších druhů systematických tepelných mostů. Příklad 16. Vypočtěte ekvivalentní hodnotu součinitele tepelné vodivosti vrstvy tepelné izolace umístěné mezi krokvemi. Šířka krokve je 0,10 m a osová rozteč krokví 1,0 m. Součinitel tepelné vodivosti tepelné izolace uvažujte 0,04 W/(m K), resp. 0,15 W/(m K) pro dřevo. t/w = 0,1: ekv = (1-0,1) 0,04 + 0,1 0,15 = 0,051 W/(m K) Šíření tepla v obvodové stěně Uvažujeme neprůsvitnou obvodovou stěnu (viz Obrázek 57). Vnější povrch stěny je ovlivněn okolní teplotou vzduchu, teplotou okolních ploch, sluneční zářením a rychlostí větru. Vnější povrch je dále ovlivněn srážkami, povrchovou kondenzací a vypařováním. Vnitřní povrch je ovlivněn teplotou vnitřního vzduchu a povrchovou teplotou okolních stavebních prvků. Kromě toho i vnitřní povrch může být ovlivněn povrchovou kondenzací nebo vypařováním. Uvažuje se lineární model, tj. vlhkostní vlivy jsou zanedbány a materiálové vlastnosti jsou považovány za konstantní. Princip superpozice je tedy možné použít. T re Vnější povrchy Dlouhovlnné záření Krátkovlnné záření T ae Proudění T pe Vedení tepla T pi Dlouhovlnné záření T ai Proudění T ae T ri T re sol Vnitřní povrchy G ce re Gt T ai ci R 0 ri T pe T pi T ri Obrázek 57: Přenos tepla v obvodové stěně Schéma (viz Obrázek 58, vlevo) je ekvivalentní schématu (viz Obrázek 58, vpravo)

69 T ae R 0 T re sol G re ce Gt T pe T pi ci ri T ai T ri sol G Gt R se T e T pe R 0 T pi R si T i Obrázek 58: Tepelný model stavebního prvku - první zjednodušení. Teplota T e je ekvivalentní venkovní teplota, do které nebyl zahrnutý vliv pohlcovaného solárního záření. Hustota tepelného toku z vnitřního prostředí do venkovního prostředí může být vyjádřena jako superpozice dvou složek (viz Obrázek 59). Te sol R se G Gt T pe R 0 T pi R si Ti sol G Gt Rse R 0 R si = Te Ti R 0 se R 0 Rsi 0 (1) T pe (1) T pi + (2) T pe (2) T pi Obrázek 59: Superpozice dvou složek. První tepelný obvod vyjadřuje vliv teplot na obou stranách stěny: (1) Ti Te Ti Te q U Ti Te R R R R (2.193) si 0 se T kde R T se nazývá tepelný odpor při prostupu tepla (m 2 K/W) a U se nazývá součinitel prostupu tepla. Čím nižší je hodnota součinitele prostupu tepla, tím nižší je tepelný tok přes konstrukci. Aby se omezila energetická náročnost budov, jsou hodnoty součinitele prostupu tepla standardizovány. České požadavky na hodnoty součinitele prostupu tepla lze nalézt v [18]. Druhý tepelný obvod vyjadřuje příspěvek solárního záření dopadajícího na venkovní povrch prvku: (2) 0 solrseggt q solrseuggt gggt R R R (2.194) si 0 se kde g (-) se nazývá propustnosti solárního záření pro neprůsvitný prvek. Celková hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu tedy je: q q (1) q (2 ) U T T gg i e Gt (2.195) Prvek může být stíněn, takže na něj dopadne jen zlomek slunečního záření. Můžeme zavést celkový faktor stínění F sh : q U T T gf G i e sh Gt (2.196)

70 Pro klimatické podmínky České republiky je vnitřní teplota vyšší než venkovní teplota téměř celý rok. Takže je přirozené nazvat první člen v rovnici (2.196) tepelná ztráta a druhý člen solární tepelný zisk. Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako: q U T T i e kde venkovní ekvivalentní teplota je: (2.197) T e Te solfshrseggt (2.198) Vzorec (2.198) je jiným způsobem zapsaný vzorec (2.171), příspěvek solárního záření je zde započten ve zvýšení venkovní teploty. Hustota tepelného toku přes obvodovou stěnu by mohla být vyjádřena i jako: q U T T ekv i e kde U ekv je ekvivalentní hodnota součinitele prostupu tepla: (2.199) G Gt U ekv U gfsh T T (2.200) i e Příspěvek solárního záření je zde započten ve snížení součinitele prostupu tepla Šíření tepla přes nevytápěný prostor Zajímá nás tepelný tok v ustáleném stavu z prostoru vytápěného na teplotu T i přes obvodovou konstrukci, která sousedí s nevytápěným prostorem, do venkovního prostředí o teplotě T e (viz Obrázek 60). Teplota v nevytápěném prostoru je označena jako T 1. K 1 je vodivost konstrukce mezi vytápěným a nevytápěným prostorem a K 2 je vodivost mezi nevytápěným prostorem a venkovním prostředím ve W/K. T i Vytápěný prostor 1 T 1 Nevytápěný prostor T e K 1 T i Venkovní prostředí T 1 K 2 T e Obrázek 60: Tepelná ztráta přes nevytápěný prostor. Pro tepelný tok z vytápěného do nevytápěného prostoru máme:

71 K T T 1 1 i 1 (2.201) Tepelný tok z vytápěného prostoru do venkovního prostředí v případě, že bychom neuvažovali s vlivem nevytápěného prostoru, je: K T T 1 i e (2.202) Z tepelné bilance v uzlu T 1 můžeme odvodit vztah pro teplotu v nevytápěném prostoru: T 1 KT K KT K (2.203) 1 i 2 e 1 2 Pokud se vodivost K 1 bude blížit nule, bude se teplota nevytápěného prostoru blížit venkovní teplotě. A naopak, pokud vodivost K 1 bude vysoká, bude se teplota nevytápěného prostoru blížit teplotě vytápěného prostoru. Poměr tepelných toků nám vyjádří, na kolik procent se tepelná ztráta přes konstrukci sousedící s nevytápěným prostorem sníží v porovnání se situací, kdy by nevytápěný prostor nebyl přítomný. b 1 (2.204) Po dosazení rovnic (2.201), (2.202) a (2.203) do (2.204) dostaneme: 2 b K 1 K 2 K (2.205) Faktor b nabývá nulové hodnoty, když K 1 (velmi špatně tepelně izolovaná konstrukce mezi vytápěným a nevytápěným prostorem. Opačným extrém je, když K 1 0, potom se hodnota b blíží jedné. Rovnici (2.204) můžeme také přepsat do tvaru: bk TT 1 1 i e Rovnice (2.206) je odlišným způsobem zapsaný vztah (P.1). (2.206) Šíření tepla obálkou budovy Celkový tepelný tok prostupem obálkou budovy T (W) se skládá z dílčích tepelných toků například přes střechu, podlahu, stěny, okna a tepelné mosty (viz Obrázek 61): bu A bu A U A U A UAT T T s s s p p p st st w w i e (2.207)

72 kde U s je součinitel prostupu tepla střechy, U p je součinitel prostupu tepla podlahy, U st je součinitel prostupu tepla stěn, U w je součinitel prostupu tepla oken, U je přirážka na tepelné mosty, A s je plocha střechy, A p je plocha podlahy, A st je plocha stěn (plocha oken je odečtena od plochy fasád), A w je plocha oken. Veličiny označené jako b (-) jsou redukční činitele vyjadřující například zlepšující vliv zeminy nebo nevytápěného suterénu (b p ), nebo nevytápěné půdy (b s ). U s, A s (střecha) A b s U s A s b p U p A p U st, A st (stěny) T i U st A st U w A w T e T i H T T e A w, U w (okna) U p, A p (podlaha) U A Obrázek 61: Schéma jednoduché budovy a znázornění dílčích tepelných toků. Vydělením rovnice (2.207) celkovou ochlazovanou plochou A se dostaneme ke vztahu: q U T T T em i e (W/m 2 ) (2.208) kde U em je průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy ve W/(m 2 K): U em H A T (2.209) Průměrný součinitel prostupu tepla obálky budovy je tedy váženým průměrem jednotlivých součinitelů prostupu tepla dílčích obvodových konstrukcí přes jejich plochy: As Ap Ast Aw Uem bu s s bu p p Ust Uw U A A A A Plocha střechy může být vyjádřena jako: (2.210) A s 1 A cos p (2.211) kde je sklon střechy. U nízkých sklonů střechy tedy přibližně platí A s A p. Potom můžeme psát: Ap A 2Ap Aw Aw U em bu s s bpu p U st U w U A A A (2.212)

73 V rovnici (2.212) se předpokládá, že okna jsou umístěna pouze ve fasádách. Fasáda je definována jako celková plocha obálky budovy mínus plocha střechy a podlahy. Tímto způsobem může být zahrnuta i členitost fasády, pokud faktor A p /A v sobě tuto korekci obsahuje. Faktor A p /A vyjadřuje, jakou část z ochlazované plochy tvoří plocha podlahy budovy. Vyšší hodnoty představují přízemní rozsáhlé budovy. Nižší hodnoty naopak mohou představovat bodové bytové domy s malou plochou podlahy vzhledem k ochlazované ploše (a tedy velkou plochou fasád). Faktor A p /A lze snadno odhadovat z informací o budově, které jsou dnes běžně dostupné z elektronických mapových podkladů zastavěné plochy, obvodu zastavěné plochy a výšky budovy (viz Obrázek 62). h O p A p Obrázek 62: Běžně dostupné informace o budově. Tabulka 9: Faktor A p /A Plochá střecha Samostatně stojící a h b O a b p 2 F p 1 O 2 h A p p Koncová sekce a h b O a b p

74 Střední sekce a h b O p 2 a Šikmá střecha Samostatně stojící a h 1 b h O a b p 2 Ap 1 A 1 Op b 1 h h1 cos Ap A p Koncová sekce h 1 b h Op 2a b Ap 1 A 1 Op h1 b 1 h cos A p 2 A p a Střední sekce h b h 1 O p 2 a Ap A 1 1 O 1 h cos A p p a Rovnici (2.212) lze dále rozepsat: Ap 2Ap Aw Afas Aw Afas Uem bu s s bu p p Ust 1 Uw U A A Afas A Afas A (2.213) kde A fas je celková plocha fasády včetně plochy oken. Zavedeme následující značení: F w A A w fas, F p Ap A, F fas A A A 2A A 1 2F fas p p (2.214)

75 Faktor F w vyjadřuje, jakou část tvoří z celkové plochy fasády plocha oken (hovorově též nazývaný celkové procento prosklení). Po dosazení faktorů (2.214), do rovnice (2.213) dostaneme: U F bu bu F F U F F U U em p s s p p w p st w p w (2.215) Průměrný součinitel prostupu tepla obálky je funkcí součinitelů prostupu tepla jednotlivých stavebních prvků a dvou geometrických faktorů. Po aplikaci korekce na sklon střechy dostaneme obecnější vyjádření: bu s s 1 Uem Fp bpup 1Fw 11 Fp Ust... cos cos 1... Fw 1 1 FpUw U cos (2.216) kde je sklon střechy. Příklad 17. Vypočítejte průměrný součinitel prostupu tepla pro pravděpodobná rozmezí faktorů F w a F p a obvodové konstrukce v různé tepelně izolační úrovni (Tabulka 10). Tabulka 10: Součinitel prostupu tepla obvodových konstrukcí Úroveň tepelné izolace U st U s U p U w U b s b p F w F p (W/(m 2 K)) (-) ČSN (2007) 0,38 0,24 0,45 1,7 0,05 1,0 0,50 Doporučené hodnoty pro pasivní domy 0,12 0,10 0,15 0,8 0 1,0 0,90 0,05 0,5 0,09 0,36 Součinitele prostupu tepla obálky budovy jsou zobrazeny, viz Obrázek 61. Pokud faktor F p vzrůstá, tak součinitel prostupu tepla obálky budovy klesá, což je důsledek menšího zastoupení plochy fasády v celkové ochlazované ploše. Dosažitelné hodnoty součinitele prostupu tepla obálky budovy se pohybují mezi 0,15 0,20 W/(m 2 K). K tomuto výsledku jsou potřeba součinitele prostupu tepla obvodových konstrukcí na úrovni doporučených hodnot pro pasivní domy a přiměřené procento prosklení

76 U T (W/(m 2 K)) U T (W/(m 2 K)) F p (-) F p (-) F w (-) F w (-) Obrázek 63: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů F p a F w. Vlevo pro budovy podle požadavků ČSN (2007). Vpravo pro budovy v pasivním standardu. U T (W/(m 2 K)) Czech code (2007) Passive houses F p (-) U T (W/(m 2 K)) Czech code (2007) Passive houses F w (-) Obrázek 64: Součinitel prostupu tepla obálky budovy jako funkce parametrů F p a F w. Vlevo jako funkce parametru F p. Vpravo jako funkce parametru F w Energetická propustnost stavebních prvků Hustotu tepelného toku od solárního záření procházejícího přes stavební prvek lze vyjádřit jako: qin gggt qin,dir qin,indir (2.217) kde g je energetická propustnost a G Gt je intenzita globálního solárního záření dopadajícího na prvek (viz Obrázek 65). G Gt q in

77 Obrázek 65: Energetická propustnost stavebního prvku. Solární záření může přes prvek procházet přímo (průsvitné prvky), ale i nepřímo, tj. vedením tepla přes prvek a následným přestupem tepla mezi povrchem a vnitřním prostředím (sálání a proudění). Jednosklo Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes jednu tabuli skla je možné vyjádřit jako: q in,dir G Gt (2.218) kde je propustnost zasklení pro krátkovlnné (solární) záření. Pro vyjádření nepřímých zisků je účelné využít principu superpozice a problém rozdělit na dvě dílčí části. Zjednodušeně se předpokládá, že teplotní gradient je v rámci tloušťky skla zanedbatelný a sklo je tedy možné nahradit jedním teplotním uzlem. sol G Gt sol G Gt T e R se T g R si T i 0 R se T g (1) R si 0 = + T e R se T g (2) R si T i Obrázek 66: Jednosklo - schéma modelu a princip superpozice. Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme jako: (1) (2) (1) (2) Tg 0 Tg Ti qi qi qi R R (2.219) si si kde T g je teplota zasklení, T i je vnitřní teplota a R si je odpor při přestupu tepla na vnitřní straně zasklení. První člen vyjadřuje hustotu tepelného toku, která je výsledkem působení solárního záření pohlceného zasklením (bez působení teplotního rozdílu). Jedná se tedy o vyjádření nepřímých zisků přes zasklení. Druhý člen vyjadřuje hustotu tepelného toku, která je výsledkem působení vnitřní a vnější teploty (bez působení solárního záření). Teplotu zasklení je možné vyjádřit z tepelné bilance: sol G Gt (1) (1) Tg 0 Tg 0 0 R R (2.220) si se kde sol je pohltivost zasklení pro krátkovlnné záření. Po úpravě dostaneme:

78 T RR G R R (2.221) (1) si se g sol G si se Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků tedy dostaneme: (1) Rse qi qin,indir solggt R R (2.222) si se Dosazením rovnic (2.218) a (2.222) do rovnice (2.217) lze získat vztah pro energetickou propustnost jednoduchého zasklení: g R R se sol se R (2.223) si Z rovnice (2.223) je zřejmé, že zvýšení solárních zisků lze dosáhnout zvýšením propustnosti a pohltivosti sol, případně zvýšením odporu při přestupu tepla na vnější straně. Neprůsvitná stěna Stěna nepropouští solární záření přímo, proto q in,dir = 0. T e R se sol G G T se R 0 T si R si T i = sol G G 0 R se T se (1) R 0 R si 0 T si (1) T e + R se T se (2) R 0 T si (2) R si T i Obrázek 67: Stěna - schéma modelu a princip superpozice. Hustotu tepelného toku z povrchu zasklení do vnitřního prostoru vyjádříme jako: (1) (2) (1) (2) Tsi 0 Tsi Ti qi qi qi R R (2.224) kde q i (1) = q in,indir. si si Pro hustotu tepelného toku od nepřímých zisků dostaneme: q Rse G R R R (2.225) in,indir sol Gt se 0 si Energetická propustnost neprůsvitné stěny tedy je: g solrse solrseu R R R (2.226) se 0 si

79 kde U je součinitel prostupu tepla stěny. Z rovnice (2.226) je zřejmé, že dnešní velmi dobře tepelně izolované neprůsvitné stavební prvky mají zanedbatelnou energetickou propustnost. Dvojsklo Oproti zasklení s jedním sklem je situace složitější, protože v dutině mezi skly dochází k opakovanému odrazu (viz Obrázek 68). G Gt exteriér sol1ggt 1 G Gt 2 1 G Gt G Gt sol21ggt 1 2 G Gt G Gt interiér 1 2 Obrázek 68: Energetická propustnost dvojskla. Hustotu tepelného toku od solárních zisků procházejících přímo přes jednoduché zasklení je možné vyjádřit jako: q 1... G G G 1 in,dir Gt Gt 1 2 Gt 1 2 (2.227) kde je propustnost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření, je odrazivost tabule 1 a tabule 2 pro krátkovlnné záření. Pro vyjádření nepřímých zisků opět využijeme princip superpozice, kdy nás zajímá pouze část tepelného toku, která je příspěvkem působení solárního záření. q s1 q s2 T e R se R 0 R si T i T g1 T g2 Obrázek 69: Dvojsklo - schéma modelu. Vyjádření solárních zisků v jednotlivých uzlech: q G 1... G 1 s1 sol,1 Gt sol,1 Gt 1 2 (2.228)

80 2 2 1 q G 1... G 1 s2 sol,2 1 Gt sol,2 Gt 1 2 (2.229) Tepelná bilance v jednotlivých uzlech: sol,1 sol,2 1 0 T T T 0 1 (2.230) (1) (1) (1) g1 g1 g2 GG 1 2 Rse R0 T T T (2.231) Po úpravě: (1) (1) (1) 1 g1 g2 g2 GG 1 2 R0 Rsi G T T (1) (1) sol,1 G g1 g Rse R 0 R G T T 0 1 (1) (1) sol,2 G g1 g R 0 Rsi R 0 (2.232) (2.233) Řěšení soustavy rovnic vzhledem k T g2 : T (1) g G G Rse R 0 Rsi R 0 R sol,1 G sol,2 G R Rse R0 (2.234) Pro energetickou propustnost dvojskla tedy dostaneme: g sol,1 sol, R Rse R Rsi Rse R 0 Rsi R 0 R0 (2.235) Z prvního členu předchozího vzorce je zřejmé, že dominantní vliv na hodnotu energetické propustnosti mají propustnosti obou skel pro krátkovlnné záření. Druhý člen je násoben faktorem 1/R si, což ukazuje na logický závěr, že se zvyšujícím se odporem při přestupu tepla na vnitřní straně se zmenšuje nepřímý zisk do interiéru. 2.6 Úlohy k procvičení Ú1. Vypočítejte, za jakou dobu se u elektromobilu vybije elektrická baterie o kapacitě 20 kwh při průměrném výkonu elektromotoru J/s? Ú2. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,3 m, přes které proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 5 m/s

81 Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m 3. Vypočtěte průtok vzduchu v potrubí v m 3 /s a v kg/s. Ú3. Uvažujte potrubí čtvercového průřezu o délce strany 0,15 m, přes které proudí vzduch. Průměrná rychlost proudění vzduchu v potrubí je 1 m/s. Teplota vzduchu na vstupu do potrubí je 10 C. Teplota vzduchu na výstupu z potrubí je 0 C. Kolik tepla projde přes stěnu potrubí do okolí za 24 hodin? Hustotu vzduchu uvažujte hodnotou 1,2 kg/m 3. Měrnou tepelnou kapacitu vzduchu uvažujte hodnotou 1010 J/(kg K). Ú4. Jaký teoretický tepelný výkon musí mít karma, aby dokázala ohřát vodu pro jedno vysprchování. Uvažujte, že spotřeba teplé vody na jedno vysprchování je 35 litrů za 5 minut. Teplotu vody na vstupu do karmy uvažujte hodnotou 10 C. Teplotu vody na výstupu z karmy uvažujte hodnotou 45 C. Měrná tepelná kapacita vody je 4200 J/(kg K). Ú5. Uvažujte 0,5 m 3 materiálu obaleného v dokonalé tepelné izolaci. Objemová hmotnost materiálu je 2500 kg/m 3. Měrná tepelná kapacita materiálu je 1000 J/(kg K). Počáteční teplota je 10 C. Jaké teploty materiál dosáhne, budeme-li působit 500 Wattovým zdrojem tepla po dobu 24 hodin. Ú6. Uvažujte průběh teplot v masivní stěně (viz obrázek). Kdy může dojít k takovému průběhu teplot? exteriér T e T i interiér a) V zimě během noci. b) V létě během deště. c) V létě za silného solárního záření. d) V zimě během jasného dne exteriér T i interiér a) V zimě během jasné noci. b) V létě během deště. c) V létě za silného solárního záření. d) V zimě během jasného dne T ae Ú7. Ovlivňuje barva šálku rychlost chladnutí kávy? Odpověď vysvětlete

82 Ú8. V zimě přijedete do vymrzlé chaty a najdete v ní dvě stejně veliké nádoby s ledem. Jedna nádoba je z kovu, zatímco druhá nádoba je z plastu. V chatě po příjezdu začnete topit. V které nádobě led rozmrzne rychleji. Uveďte proč! Ú9. Uvažujte venkovní stěnu, která se skládá z vrstvy betonu (součinitel tepelné vodivosti 2,0 W/(m K)) a transparentní tepelné izolace (součinitel tepelné vodivosti 0,10 W/(m K)). Transparentní tepelná izolace je umístěna na venkovní straně stěny (viz obrázek). Předpokládejte, že na levém povrchu stěny dlouhodobě působí teplota 20 C, na pravém povrchu stěny dlouhodobě působí teplota -15 C, a že se tyto teploty v čase nemění. a) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou izolací za předpokladu, že na stěnu nedopadá žádné solární záření. b) Vypočtěte teplotu na rozhraní mezi betonem a transparentní tepelnou izolací za předpokladu, že na stěnu dopadá solární záření o konstantní intenzitě 500 W/m 2. Uvažujte 50% propustnost transparentní izolace pro solární záření. c) Pro oba dva případy vypočtěte hustotu tepelného toku procházejícího přes vrstvu betonu a vypočtené hodnoty porovnejte. T 1 T 2 Transparentní tepelná izolace 20 cm 20 cm Ú10. Jakou materiálovou vlastnost budete sledovat, pokud chcete vybrat materiál tvořící vnitřní povrchy v místnosti, a kterým chcete přispět ke zvýšení tepelné stability místnosti? Ú11. Proč je v parném letním dnu blízké okolí fontány s vodou chladnější než okolní zástavba. Ú12. Proč poklička na hrnci omezí rychlost chladnutí vody v hrnci?

83 3 Šíření vzduchu 3.1 Úvod Aby došlo k šíření vzduchu mezi dvěma body, musí mezi těmito body existovat rozdíl tlaků a cesta, která oba body spojuje. Vnitřní a vnější prostředí budov je propojeno přes obálku budovy. Ta představuje složitý soubor netěsností, spár, prostupů, napojení stavebních prvků, ale i průvzdušností prvků v jejich ploše. Rozdíl tlaků vzduchu mezi vnitřním a vnějším prostředím může být vyvolaný účinky větru, rozdílem teplot mezi interiérem a exteriérem, nebo větracím či spalovacím zařízením, resp. kombinací všech předchozích mechanizmů dohromady: P Ps Pw PV (Pa) (3.1) kde P s je tlakový rozdíl vyvolaný rozdílem teplot, P w je tlakový rozdíl vyvolaný účinky větru, P V je tlakový rozdíl od systému mechanického větrání. Záporný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch vytahován zevnitř budovy směrem ven. Kladný rozdíl tlaků znamená, že je vzduch tlačen z venkovního prostředí dovnitř budovy. Závislost objemového průtoku vzduchu na působícím tlakovém rozdílu se popisuje rovnicí: a V CP n (m 3 /h) (3.2) kde P (Pa) je tlakový rozdíl, C (m 3 /(h Pa)) je součinitel proudění a n (-) je exponent proudění. Součinitel proudění je průtok vzduchu při tlakovém rozdílu 1 Pa. Rovnici (3.2) lze také zapsat jako: a logv log C nlog P (3.3) což v grafu s logaritmickým měřítkem na obou osách představuje přímku, jejíž sklon je exponent proudění a průsečík s osou y součinitel proudění. Měříme-li průtok přes netěsnosti v obálce budovy a rozdíl tlaků, můžeme z měření určit parametry C a n, které charakterizují vzduchotěsnost obálky budovy. Schopnost obálky budovy propouštět vzduch, se v praxi nicméně hodnotí pomocí jediného parametru, intenzity výměny vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa (n 50 ): n 50 V a,50 V (1/h) (3.4) ai

84 kde V a,50 (m 3 /h) je objemový průtok vzduchu při tlakovém rozdílu 50 Pa a V ai (m 3 ) je objem vnitřního vzduchu v budově. Veličina se stanovuje experimentálním měřením na budově (tzv. Blower door test, viz [26]). Požadavky na vzduchotěsnost obálky budovy i jejích částí jsou uvedeny v normě [18]. Mimo celkovou úroveň vzduchotěsnosti obvodového pláště je také důležité rozložení netěsností v rámci obálky budovy. Proudění vzduchu přes obálku budovy má velký význam pro tepelnou a vlhkostní bilanci budovy a pro kvalitu vnitřního prostředí. Proudění vzduchu přes netěsnosti například může vést k značnému zvýšení tepelných ztrát budovy a ke zvýšení rizika kondenzace vodní páry v okolí netěsností. Z výše uvedených důvodů by obvodové konstrukce v ploše a jejich napojení měly být vzduchotěsné. K tomu slouží systém vzduchotěsnících opatření. Jeho spojitost by měla být zachována u všech plošných prvků, prostupujících prvků a napojení. Systém vzduchotěsnících opatření by měl být jasně vyznačený ve výkresech, včetně detailů, u kterých lze očekávat těžkosti v dosažení kontinuity. Zvyšování vzduchotěsnosti obálky budovy může vyvolat potřebu instalovat mechanický nebo jiný systém větrání, protože přirozené větrání přes netěsnosti již nemusí dostačovat přívodu čerstvého vzduchu. 3.2 Tlakový rozdíl Tlakový rozdíl od rozdílu teplot Budovy jsou v našich podmínkách v zimě vytápěné. Teplý vzduch uvnitř budovy je obklopený chladnějším venkovním vzduchem. Hustota vzduchu závisí na teplotě. Pokud je obálka budovy netěsná, tak teplý vnitřní vzduch má tendenci odcházet netěsnostmi v horní části budovy směrem ven a na jeho místo přichází přes netěsnosti ve spodní části budovy chladný vzduch. Budovu lze přirovnat k horkovzdušnému balónu, resp. k bublině vzduchu stoupající ke hladině moře. Uvedený princip se někdy nazývá komínový efekt. Během léta může nastat situace, kdy je teplota vzduchu uvnitř budovy nižší než teplota venkovního vzduchu a směr proudění je tedy opačný. Teplotní rozdíl ale nebývá tak velký jako v zimě. Ve výšce takzvané neutrální roviny je tlak v budově a tlak v exteriéru stejný. Rozdíl tlaků závisí na rozdílu hustot vnitřního a vnějšího vzduchu a vzdálenosti od neutrální roviny: P z g s ae ai (Pa) (3.5)

85 kde ae (kg/m 3 ) je hustota venkovního vzduchu, ai (kg/m 3 ) je hustota vnitřního vzduchu, g (m 2 /s) je gravitační zrychlení, z (m) je vzdálenost od neutrální roviny směrem dolů. Vztah (3.5) je možné vyjádřit pomocí absolutních teplot. Po dosazení stavové rovnice ideálního plynu dostaneme: 1 1 Ps z3456 Tae T ai (Pa) (3.6) Pokud si například představíme válec s otvorem pouze na jeho spodní straně (viz Obrázek 70), v kterém je vzduchem o teplotě 20 C, a v okolí válce je teplota vzduchu -10 C, tak tlak vzduchu se snaží válec nadzvednout, resp. roztáhnout jeho stěny. Pokud bychom stejný válec chvíli nechali venku, teploty se vyrovnají, a rozdíl tlaků přestane existovat. Pokud posléze vezmeme válec dovnitř vytopené budovy, bude na jeho dno resp. stěny tlačit studený vzduch. neutrální rovina z P s 20 C -10 C -10 C 20 C neutrální rovina z P s Obrázek 70: Přetlak ve válci s jedním otevřeným koncem. Příklad 18. Budova ČVUT, FSv má za svým hlavním vstupem atrium. Rovina zasklení atria je přibližně 10 m nad úrovní podlahy. Vypočtěte přetlak vzduchu v úrovni zasklení, pokud je teplota venkovního vzduchu -10 C a teplota vzduchu uvnitř atria 20 C. Atrium je napojené na venkovní prostředí přes hlavní vchod do budovy, takže poloha neutrální roviny je v pozici z = 0. Poloha zasklení odpovídá z = -10 m. P s = ((1/263)-(1/293)) = -13,4 Pa. Pokud si představíme stejný válec s otvorem na obou stranách (viz Obrázek 71), tak rozdíl teplot mezi vnitřkem válce a venkovním prostředím vyvolá tok vzduchu skrz válec. Pro udržení toku vzduchu je samozřejmě potřeba vnitřní vzduch stále ohřívat, protože, pokud by se to nedělo, vnitřní vzduch by nahradil venkovní studený vzduch a rozdíl tlaků se neudržel

86 T i < T e T i > T e neutrální rovina P s P s T i T e T i T e z z Obrázek 71: Komínový efekt. Neutrální rovina se nemusí vždy nacházet ve středu výšky budovy. Pokud je vrchní část budovy děravější než spodní část budovy, tak se neutrální rovina bude nacházet ve vrchní části budovy. Pokud je naopak vrchní část těsnější v porovnání se spodní částí, tak se pozice neutrální roviny bude nacházet ve spodní části budovy. Pokud je rozložení netěsností rovnoměrné, tak se neutrální rovina bude nacházet ve středu výšky budovy. neutrální rovina neutrální rovina neutrální rovina Vrchní část děravější než spodek Vrchní část těsnější než spodek Obrázek 72: Poloha neutrální roviny Tlakový rozdíl od účinku větru Rychlost i směr větru se v čase velmi mění a jsou ovlivněny drsností povrchu. Rychlost i směr větru se v místě meteorologické stanice měří ve výšce 10 m nad povrchem terénu. Lokální rychlost větru může být v místě budovy značně odlišná od rychlosti větru naměřené na meteorologické stanici. Dynamický tvar větru je daný jako kinetická energie vztažená na jednotku objemu: P w 1 w 2 a 2 (Pa) (3.7)

87 kde a (kg/m 3 ) je hustota venkovního vzduchu a w (m/s) je rychlost větru. Lokální dynamický tlak větru na libovolné místo povrchu budovy se vyjadřuje jako: 1 P C w w p 2 a 2 (Pa) (3.8) kde C p (-) je aerodynamický součinitel tlaku větru v daném místě na povrchu budovy. Kladné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají tlak větru na fasádu. Záporné hodnoty součinitele tlaku větru znamenají sání. Síla větru typicky vytváří na návětrné straně budovy přetlak, resp. na závětrné straně podtlak. Na návětrné straně je tedy venkovní vzduch tlačen přes netěsnosti v obálce do budovy (infiltrace). Na závětrné straně je vnitřní vzduch vytahován ven (exfiltrace). Směr větru Obrázek 73: Přetlak vzduchu vyvolaný větrem. Rozdíl tlaků mezi dvěma místy obvodového pláště můžeme vyjádřit jako: 1 P P P C C w w w1 w2 p1 p2 2 a 2 (Pa) (3.9) -0,3 Směr větru 0,4-0,6-0,2-0,3 Obrázek 74: Typické hodnoty aerodynamického součinitel tlaku větru (průměrné hodnoty pro dané plochy)

88 3.2.3 Tlakový rozdíl od systému mechanického větrání Systémy mechanického větrání většinou mohou zároveň přivádět a odvádět vzduch z budovy. To znamená, že vlivem nerovnováhy mezi přiváděným množstvím vzduchu, může nastat záporný i kladný tlakový rozdíl. Pokud je přiváděno stejné množství vzduchu, jako je odváděno, tak se jedná o rovnotlaké větrání. Pokud je do budovy přiváděno více vzduchu, než je odváděno, tak se jedná o přetlakové větrání. V budově je tak vyšší tlak vzduchu než ve venkovním prostředí, a zbývající vzduch je tlačen přes netěsnosti obvodového pláště do venkovního prostředí, například funkční spáry oken nebo záměrně navržené otvory. To může v dostatečně chladném období vést ke kondenzaci vodní páry. Pokud je do budovy přiváděno méně vzduchu, než je systémem větrání odváděno, tak se jedná o podtlakové větrání. 3.3 Modelování výměny vzduchu Intenzita větrání budovy je určena působením tlakových rozdílů vyvolaných rozdílem teplot, větrem anebo systémem mechanického větrání a je velmi proměnlivá v čase. Z tohoto důvodu, ale také vlivem nejistoty popisu netěsností je modelování proudění vzduchu v budovách spojené se značnými nejistotami. Proto se ve standardních výpočtech potřeby tepla na vytápění či chlazení intenzita větrání velmi často předpokládá nějakou konstantní hodnotou odvozenou například z doporučeného množství čerstvého vzduchu pro člověka ( 30 m 3 /(h os)). Intenzita větrání budovy se vypočte z objemového průtoku vzduchu podělením objemem vnitřního vzduchu: V a n V (1/s) (3.10) ai Intenzita větrání 1 h -1 znamená, že se objem vnitřního vzduchu každou hodinu jedenkrát vymění za venkovní vzduch. Pro odhad průměrné intenzity větrání přes netěsnosti se používá vztah: n n (3.11)

89 4 Šíření vlhkosti 4.1 Úvod Voda a vzduch jsou bezesporu nejdůležitější látky na Zemi. Voda se vyskytuje ve třech skupenstvích: zmrzlá (led), jako kapalina a jako plyn. Plynné skupenství nazýváme vodní parou. Vodní pára je tvořena jednotlivými velmi malými molekulami H 2 O (průměr přibližně 0, m). Voda v kapalné fázi je kvůli vodíkovým můstkům tvořena svazky jednotlivých molekul, které tedy mají mnohem větší průměr. Některé materiály proto mohou být propustné pro vodní páru, ale nepropustné pro vodu (Goretex). Budova je vystavena působení řady zdrojů vlhkosti. Může se jednat o vlhkost obsaženou ve venkovním vzduchu, zdroje vlhkosti pocházející z činnosti člověka (vaření, sušení, sprchování), větrem hnaný déšť, zabudovanou vlhkost z období výstavby, vlhkost zeminy, či netěsnost nějakého potrubí. Na stavební prvky voda působí značně destruktivně. Šíření vlhkosti je proces, při kterém je přenášena vlhkost, tj. vodní pára nebo voda v kapalném stavu. Šíření vlhkosti může nastat pouze v materiálech, které mají otevřený pórový systém. Vlhkost se může v pórovitém materiálu šířit zejména následujícími třemi způsoby: difuzí vodní páry, prouděním vlhkého vzduchu, kapilárním přenosem. Šíření vlhkosti lze do určité míry chápat analogicky k šíření tepla. V kontrolním objemu se namísto energie bilancuje hmota. Vlhkostní toky se taktéž uvažují úměrné rozdílu potenciálů, často částečných tlaků vodní páry anebo hustot vodní páry. Oproti šíření tepla ale existují podstatné odlišnosti. Zejména se jedná o to, že vlhkost materiálu ani vlhkost vzduchu nemohou růst do nekonečna, a že transportní součinitele jsou velmi závislé na vlhkosti materiálu. Procesy šíření tepla a šíření vlhkosti se vzájemně ovlivňují. Modelování reálného kombinovaného přenosu tepla a vlhkosti je proto kvůli těmto zpětným vazbám obtížnou úlohou. Některými zpětnými vazbami jsou: latentní teplo skupenských změn (kondenzace vypařování, mrznutí - rozmrzání) - kondenzace znamená vývin tepla, které může zvýšit teplotu v místě, kde dochází ke kondenzaci a omezit tak kondenzující

90 množství, vypařování naopak může snížit teplotu v místě, kde dochází k vypařování a omezit tak vypařující množství. závislost vlastností na teplotě částečný tlak vodní páry na mezi nasycení je nelineárně závislý na teplotě, sorpční křivky jsou teplotně závislé; závislost vlastností materiálu na vlhkosti tepelná vodivost vlhkého nebo zmrzlého materiálu je vyšší, tepelná kapacita vlhkého materiálu je vyšší. 4.2 Vlhkost ve vzduchu Vodní pára je jedním z několika plynů, ze kterých se sestává vzduch. Každý milovník pěnivého moku ví, že pokud je pivo dobře vychlazené, povrch sklenice se orosí. Voda, která se na chladném povrchu náhle objeví, je důsledkem kondenzace vodní páry. V budovách kondenzát často pozorujeme v místech, kde je dostatečně nízká povrchová teplota. Obvykle se například jedná o povrch skleněných tabulí v oknech (viz Obrázek 75), či místa se zhoršenou tepelnou izolací. Obrázek 75: Kondenzace vodní páry na vnitřním povrchu zasklení okna. Vzduch za obvyklých hodnot teploty a tlaku, které nastávají v budovách, je možné uvažovat jako směs dvou ideálních plynů: suchého vzduchu a vodní páry. Pro ideální plyn platí stavová rovnice: pv nrt (4.1) kde p (Pa) je tlak plynu, V (m 3 ) je objem soustavy, n (mol) je látkové množství (vyjadřuje počet částic plynu obsažených v objemu soustavy, T (K) je termodynamická teplota a R (J/mol K) je univerzální plynová konstanta (8,314 J/(mol K)). Rovnice (4.1) vyjadřuje, že tlak plynu v soustavě je

91 nepřímo úměrný objemu soustavy, a přímo úměrný teplotě, počtu částic a plynové konstantě. Látkové množství je možné vyjádřit jako poměr mezi hmotností všech částic v objemu plynu m (kg) a jejich molární hmotností M (kg/mol): pv m M RT (4.2) kde poměr R/M je konstanta v J/(kg K) a její hodnota se pro různé plyny liší. Celkový tlak směsi suchého vzduchu (index d) a vodní páry (index v) se v ideálním plynu řídí Daltonovým zákonem: P p p a d v (4.3) kde P a je atmosférický tlak vzduchu ( Pa na hladině moře), p d je částečný tlak suchého vzduchu a p v je částečný tlak vodní páry. Suchý vzduch se sestává z dusíku N 2, kyslíku O 2, a dalších plynů (Ar, další vzácné plyny, CO 2, ), viz Tabulka 11. Tabulka 11: Složení suchého vzduchu. látka Chemická značka Objemový podíl (%) ve vzduchu Molární hmotnost (g/mol) Dusík N 2 78,09 28,01 Kyslík O 2 20,95 32 Argon Ar 0,93 39,95 Oxid uhličitý CO 2 0,03 44 Částečný tlak suchého vzduchu můžeme vyjádřit jako součet částečných tlaků jeho jednotlivých složek: d N 2 O 2 Ar... p p p p (4.4) Pro částečný tlak suchého vzduchu z rovnice (4.2) máme: pv mrt d d d (4.5) kde R d je plynová konstanta pro suchý vzduch, R d = 287,04 J/(kg K). Obdobně pro částečný tlak vodní páry: pv mrt v v v (4.6)

92 kde R v je plynová konstanta pro vodní páru, R v = 461,5 J/(kg K). Zavedemeli hustotu (koncentraci) vodní páry jako: m v V v (4.7) dostaneme převodní vztah mezi částečným tlakem vodní páry a hustotou vodní páry: pv v RT v (4.8) Rozmezí obvyklých hodnot pro v resp. p v je 0 30 g/m 3, resp Pa. Vlhkost vzduchu se také někdy vyjadřuje jako hmotnost vodní páry vztažená k hmotnosti suchého vzduchu (měrná vlhkost vzduchu): x mv vv Rdpv pv 0,622 m V R p P p (4.9) d d v d a v Měrná entalpie vlhkého vzduchu a měrná vlhkost slouží při projektování klimatizace k zobrazování úprav vlhkého vzduchu v takzvaném hx diagramu. Vzduch při dané teplotě může pojmout jen určité množství vodní páry. Toto maximální množství se nazývá částečný tlak nasycené vodní páry p v,sat, hustota vodní páry na mezi nasycení v,sat, případně měrná vlhkost na mezi nasycení x sat, a je nelineární funkcí teploty vzduchu (viz Obrázek 76). v,sat (g/m 3 ) T ( C) p v,sat (Pa) T ( C) Obrázek 76: Hustota vodní páry na mezi nasycení (vlevo) a částečný tlak vodní páry na mezi nasycení (vpravo). V literatuře existuje řada vztahů pro výpočet p v,sat, viz například [1]: n T pv,sat a b 100 (4.10) kde T je teplota ve stupních Celsia a parametry a,b, n nabývají hodnot:

93 0T 30 C a = Pa, b = 1.098, n = T 0 C a = Pa, b = 1.486, n = 12.3 Alternativní vztahy pro výpočet p v,sat nabízí [20]: pvsat, 610,5 e pvsat, 610,5 e 17,269T 237,3T 21,875T 265,5 T pro T 0 C (4.11) pro T < 0 C (4.12) Relativní vlhkost vzduchu (-) je definována jako skutečná hodnota hustoty vodní páry vydělená hustotou vodní páry na mezi nasycení: v v,sat p p v v,sat (4.13) Relativní vlhkost tedy vyjadřuje míru nasycení vzduchu vodní parou při dané teplotě. V praxi se také používá vyjadřování relativní vlhkosti v %. Příklad 19. Vypočtěte částečný tlak vodní páry a hustotu vodní páry pro venkovní vzduch o teplotě -15 C a relativní vlhkosti 85 % (mrazivý zimní den). Výpočet zopakujte pro teplý letní den, kdy teplota vzduchu je 30 C a relativní vlhkost 40 %. Ze vzorce (4.10) máme: p v,sat (-15 C) = 165 Pa a p v,sat (30 C) = 4240 Pa. Z rovnice (4.8) dostaneme hodnoty: v,sat (-15 C) = 0,0014 kg/m 3 a v,sat (30 C) = 0,03 kg/m 3. Z rovnice (4.13) vypočítáme částečný tlak vodní páry nebo hustotu vodní páry. Pro mrazivý zimní den máme: p v = 0, Pa 140 Pa, resp. v = 0,85 0,0014 kg/m 3 = 0,0012 kg/ m 3. Pro teplý letní den máme: p v = 0, Pa 1696 Pa, resp. v = 0,40 0,03 kg/m 3 = 0,012 kg/ m 3. Z výsledků je zřejmé, že vzduch má v létě mnohem vyšší vlhkost než v zimě (viz Obrázek 77) ve (g/m 3 ) t (dny) Obrázek 77: Koncentrace vodní páry ve venkovním vzduchu během roku (údaje pro Prahu) Pro vyjádření vlhkosti vzduchu se někdy používá termín teplota rosného bodu. Jde o teplotu, na kterou by se musel vzduch o dané teplotě a relativní vlhkosti izobaricky ochladit, aby dosáhl relativní vlhkosti 100 %. Obrázek

94 ukazuje příklad grafického určení teploty rosného bodu (T dp ) pro vzduch o teplotě 10 C a relativní vlhkosti 60 %. A T dp Obrázek 78: Grafické určení teploty rosného bodu. Z bodu A je možné dosáhnout křivku na mezi nasycení mnoha způsoby. Pokud se pouze dodá vodní pára a nezmění teplota, jedná se o izotermický děj (z bodu A svisle nahoru). Křivku je také možné dosáhnout pouhým snížením teploty (z bodu A vodorovně vlevo), jak již bylo ukázáno (viz Obrázek 78). 4.3 Vlhkost v pórovitých materiálech Struktura pórovitého materiálu Stavební materiály (s výjimkou kovů) jsou typické svojí pórovitou strukturou, která je tvořena pevným skeletem a systémem pórů (viz Obrázek 79). U některých materiálů jsou póry viditelné pouhým okem (pórobeton). U některých materiálů se jedná o mikropóry viditelné pouze výkonným mikroskopem. Póry rozdělujeme podle jejich velikosti na: Submikroskopické póry (< 10-9 m) Kapilární póry ( m) Makropóry (> 10-3 m)

95 Reprezentativní kontrolní objem V V = Vmat + Vpore Kapalná fáze Pevná fáze (Vmat) Plynná fáze (směs suchého vzduchu a vodní páry) Obrázek 79: Struktura pórovitého materiálu. Objemová hmotnost v suchém stavu je definována jako poměr hmotnosti vzorku ve vysušeném stavu m d (kg) a celkového objemu vzorku V (m 3 ): m d V d (4.14) Hustota pevné fáze (skeletu) je definována jako poměr hmotnosti pevné fáze m mat (kg) a objemu pevné fáze V mat (m 3 ): mat m V mat mat (4.15) Hustota skeletu se pohybuje u organických materiálů v rozmezí kg/m 3, u silikátových materiálů v rozmezí kg/m 3 a u plastových materiálů kg/m 3. Otevřená pórovitost o (-) je definována jako poměr objemu otevřených pórů V pore,o (m 3 ), tj. pórů spojených se vzduchem v okolí vzorku, a celkovému objemu vzorku V (m 3 ): o V V pore,o (4.16) Celková pórovitost (-) je součtem otevřené pórovitosti o (-) a uzavřené pórovitosti u (-): o u (4.17) Uzavřené póry neumožňují přijímat do svého objemu vlhkost. Celkovou pórovitost lze zjednodušeně odhadovat na základě znalosti objemové hmotnosti materiálu a hustoty pevné fáze. Platí, že: V V mat V V V V pore mat 1, neboli 1 (4.18) V V mat 1 1 m mmat mat mpore (4.19) mat d

96 Jelikož platí, že m mat >> m pore, dostaneme: 1 d mat (4.20) Příklad 20. Odhadněte pórovitost smrkového dřeva ( d = 500 kg/m 3 ) a dubového dřeva ( d = 750 kg/m 3 ). Hustotu skeletu uvažujte jednotně hodnotou 1500 kg/m 3. Po dosazení hodnot do vzorce (4.20) dostaneme pro smrkové dřevo = 1 (500/1500) = 0,70 a pro bukové dřevo = 1 (750/1500) = 0,50. Pórovitost sama o sobě nestačí k výstižnému popisu pórového systému. Dva materiály o stejné pórovitosti ji mohou dosáhnout každý jiným způsobem. Jeden může mít velké množství malých pórů, a druhý naopak menší množství velkých pórů. Proto nás zajímá i zastoupení velikosti pórů v kontrolním objemu materiálu Vyjadřování vlhkosti Vlhkost pórovitého materiálu se obvykle vyjadřuje buď jako poměr hmotnosti vlhkosti (vodní pára index v, kapalné fáze index l) a hmotnosti vzorku ve vysušeném stavu, značeno u (kg/kg): m m v l u uv ul md (4.21) nebo jako poměr hmotnosti vlhkosti a objemu vzorku, značeno w (kg/m 3 ): m m V v l w wv wl (4.22) Veličiny u a w jsou analogické veličinám x a v používaným pro vyjadřování vlhkosti samotného vzduchu. Z rovnic (4.21) a (4.22) vyplývá převodní vztah: w u d (4.23) kde d je objemová hmotnost v suchém stavu, viz rovnice (4.14). Příklad 21. Typická hmotnostní vlhkost dřeva používaného pro stavební účely je 12 %. Vypočtěte kolik vlhkosti je obsaženo v 1 m 3 dřeva o objemové hmotnosti 500 kg/m 3. Z rovnice (4.23) dostaneme: w = 500 kg/m 3 0,12 = 60 kg/m 3. Pórobeton o stejné objemové hmotnosti má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 3 %, a tedy w = 500 kg/m 3 0,03 = 15 kg/m 3. Tepelná izolace ze skleněných vláken o objemové hmotnosti 18 kg/m 3 má při relativní vlhkosti 50 % (viz Obrázek 85) hmotnostní vlhkost 1,5 %, a tedy w = 18 kg/m 3 0,015 = 0,27 kg/m

97 4.3.3 Zadržování vlhkosti v materiálu Hygroskopická oblast Nyní si představme pórovitý materiál o celkovém objemu V, v jehož pórech by se vyskytoval pouze vlhký vzduch a žádná kapalná fáze (objem vzduchu v pórovém systému = 0 V). Použijeme stavovou rovnici pro vodní páru a dostáváme: p V m R T v 0 v v (4.24) Neboli: w v mv pv0 pv,sat0 V R T R T v v (4.25) Objemová vlhkost materiálu by tedy měla být při konstantní teplotě lineárně závislá na relativní vlhkosti. Příklad 22. Smrkové dřevo s pórovitostí 70 %, při teplotě 20 C a relativní vlhkosti 50 %. Ze vzorce (4.25) máme: w = (0, ,70) / (461,5 293) = 0,006 kg/m 3. Uvážíme-li objemovou hmotnost 500 kg/m 3, tak rovnovážná vlhkost pro relativní vlhkost 50 % je 0,10 kg/kg, tedy 0, = 50 kg/m 3, viz Obrázek 85. Materiály jsou reálně schopny pojmout mnohem více vlhkosti, než ukazuje rovnice (4.25). Stěny pórů v kontaktu s vodní parou obsaženou v obklopujícím vzduchu mají totiž kvůli existujícímu silovému poli tendenci shromažďovat molekuly H 2 O na svém povrchu. Tento jev se nazývá adsorpce. Při adsorpci dochází k hromadění molekul tekutiny (adsorbátu) na rozhraní s pevnou fází nazývanou adsorbent (viz Obrázek 80). kapilární kondenzát adsorbát adsorbent vlhký vzduch Obrázek 80: Adsorpce a kapilární kondenzace. Uvažujme nyní malý objem pórovitého materiálu, který je obklopen vzduchem o určité relativní vlhkosti (viz Obrázek 81)

98 exsikátor T = konst. w Nasycený roztok soli Obrázek 81: Vzorek materiálu v prostředí o stálé teplotě a relativní vlhkosti. Pokud bychom relativní vlhkost vzduchu v okolí vzorku postupně skokově navyšovali, tak pro každou hodnotu relativní vlhkosti obklopujícího vzduchu dosáhne materiál po určité době jisté rovnovážné vlhkosti. Křivka, která charakterizuje rovnovážný stav mezi relativní vlhkostí vzduchu a vlhkostí materiálu se nazývá sorpční křivka. Sorpční křivka většiny stavebních materiálů má charakteristický esovitě prohnutý tvar (viz Obrázek 82). u (kg/kg) u sat u cap Voda volná (přemístitelná) u crit 0 0,98 Hygroskopická oblast Voda vázaná 1 (-) Nadhygroskopická oblast Obrázek 82: Sorpční křivka. Výstižnější název je sorpční izoterma, protože existuje i malý vliv teploty na polohu křivky. S rostoucí teplotou je pro molekuly vody obtížnější udržet se na stěnách pórů, a proto rovnovážná vlhkost klesá (sorpční křivka se posunuje směrem dolů). Za konstantní teploty se z okolního vlhkého vzduchu může do pórovitého materiálu uložit jen omezené množství vlhkosti (označena jako u crit ). Jako hygroskopická oblast se obvykle nazývá interval mezi 0 % až do 98 % relativní vlhkosti

99 Při nízké relativní vlhkosti vzduchu ( 20 %) se na stěnách pórů vytváří jedna vrstva molekul vody (monomolekulární adsorpce). Při vyšší relativní vlhkosti vzduchu ( %) se ukládají další vrstvy molekul vody (polymolekulární adsorpce). Při ještě vyšší hodnotě relativní vlhkosti (> 40 %) může dokonce dojít až k propojení protilehlých vrstev adsorbátu a vytvoření menisku volné kapaliny. Tento jev se nazývá kapilární kondenzace. Ke kapilární kondenzaci dochází nejdříve ve velmi tenkých pórech. plyn plyn plyn plyn pevná fáze pevná fáze pevná fáze pevná fáze pevná fáze pevná fáze Voda (1000 kg/m 3 ) Adsorbát ( kg/m 3 ) Obrázek 83: Monomolekulární adsorpce (vlevo), polymolekulární adsorpce (uprostřed) a kapilární kondenzace uvnitř póru (vpravo). Jestliže dochází ke kapilární kondenzaci, znatelně se zvyšuje kapacita ukládání vody v pórovité struktuře materiálu. To je patrné z postupně se zvyšujícího se sklonu sorpční křivky pro vyšší relativní vlhkosti. Sklon je posléze tak strmý, že pro relativní vlhkosti blízké 100 % je obtížné jednoznačně odečíst odpovídající hodnotu vlhkosti. Hodnoty relativní vlhkosti vzduchu blízko stavu nasycení navíc neumíme přesně měřit. V nadhygroskopické oblasti (0,98 < < 1) je proto nutné měřit jiným způsobem, než je exsikátorová metoda. Proces, kdy je materiál postupně zpětně vysušován (relativní vlhkost obklopujícího vzduchu se postupně snižuje) se nazývá desorpce. Hodnoty rovnovážné vlhkosti při desorpci jsou vyšší než při sorpci. Tento fenomén se nazývá hysterze. Pro některé materiály je hysterze důležitá (například pro dřevo) a pro některé materiály zanedbatelná

100 u u cap 0 1 Obrázek 84: Hysterze sorpční křivky. V literatuře lze nalézt různá parametrická vyjádření pro průběh sorpční křivky. Například literatura [24] pro rozmezí 0,2 < < 0,98 uvádí rovnici: u u crit 1 c ln 1 b (4.26) kde a b, c jsou parametry. Obrázek 85 ukazuje sorpční křivky pro pórobeton, dřevo a tepelnou izolaci ze skleněných vláken u (%) (-) Obrázek 85: Sorpční křivky pro pórobeton (1), dřevo (2) a tepelnou izolaci ze skleněných vláken (3), údaje převzaty z [24]. 3 Sklon sorpční křivky se nazývá vlhkostní kapacita (), Obrázek 86. Tato materiálová vlastnost je analogická měrné tepelné kapacitě. Sklon sorpční křivky se mění, takže i vlhkostní kapacita se mění. Prakticky u všech stavebních materiálů lze nicméně nalézt téměř lineární průběh sorpční křivky v oblasti mezi 20 % a 70 % relativní vlhkosti

101 d u d (4.27) u (kg/kg) = du/d 0 (-) Obrázek 86: Definice vlhkostní kapacity. Nadhygroskopická oblast Další značné množství vody se do materiálu nasaje, pokud materiál bude s vodou v přímém kontaktu (viz Obrázek 87). Vlhkost, kterou materiál ve styku s kapalnou vodou po jisté době dosáhne, je označena jako u cap. Stále ještě nepůjde o stav, kdy dojde k úplnému naplnění všech pórů vodou. Tohoto stavu je velmi obtížné dosáhnout a experimentálně se mu lze přiblížit ve vakuu. Vlhkost ve stavu úplného nasycení pórů vodou se označuje jako u sat. Obrázek 87: Pórovitý materiál ve styku s vodou. Nejprve je potřeba odpovědět na otázku proč dojde k nasávání vody do materiálu. Kvůli působení napětí v povrchové vrstvě na styku voda - vzduch a adhezních sil mezi vodou a stěnou kapiláry se voda ve styku se stavebními materiály chová jako smáčivá kapalina. Zda kapalina smáčí nebo nesmáčí, je možné určit pomocí smáčivého úhlu (viz Obrázek 88): smáčivé 0 < < 90 (ostrý úhel) v dostatečně tenké kapiláře je vytahována i střední část hladiny vzhůru (např. voda);

102 nesmáčivé > 90 (tupý úhel) kapalina v kapiláře sestoupí níže (např. rtuť). Hydrofilní povrch Hydrofobní povrch Obrázek 88: Smáčivý úhel. Smáčivost není jenom vlastností samotné kapaliny. Například pro rozhraní parafín/voda/vzduch se voda chová nesmáčivě (mazání běžeckých lyží skluznými vosky). Obrázek 89 ukazuje tenkou kapiláru vloženou do vody. Pokud je smáčivý úhel ostrý, tak voda smáčí stěnu kapiláry a kvůli povrchovému napětí je v dostatečně tenké kapiláře vytahována i střední část hladiny vzhůru. Vytváří se konkávně zakřivený meniskus kapaliny. Sání působí na rozhraní mezi vzduchem, vodou a pevnou fází a vytvoří se v dostatečně tenkých kapilárách (< 10-3 m). Kvůli zakřivení menisku je tlak vody pod hladinou v kapiláře (P l2 ) mnohem nižší, než je tlak vzduchu (P a ). Voda se pohybuje z místa vyššího tlaku do místa nižšího tlaku (P l2 << P l1 ). Pohyb ustane ve výšce, ve které se vyrovná tíha sloupce vody ( l gh) s kapilární tahovou sílou (2rcos()). h max 2 cos gr (4.28) l kde h max je maximální výška, do které kapalina vystoupá (viz Tabulka 12). Výška vzlinutí je nepřímo úměrná poloměru kapiláry. Tabulka 12: Výška vzlinutí pro různé poloměry kapiláry. r (m) h max (m) 148,8 14,9 1,49 0,15 0,015 Rozdíl tlaků na rozhraní mezi vzduchem a vodou se nazývá kapilární tlak (P c = P a - P l ). Pro případ válcové kapiláry máme vztah (Youngova-Laplaceova rovnice): 2 cos 2 Pc Pa Pl (4.29) r r

103 kde P a (Pa) je tlak vzduchu nad meniskem kapaliny (atmosférický tlak), P l (Pa) je tlak kapaliny pod meniskem, je povrchové napětí vody vůči stěně kapiláry (0,073 N/m při 20 C), r je poloměr kapiláry. Voda se pohybuje z místa nižšího kapilárního tlaku do místa vyššího kapilárního tlaku. P a P l2 P a >> P l2 P l2 << P l1 Pohyb vody P c2 = P a - P l2 P a P l1 P a = P l1 P c1 = P a - P l1 = 0 Obrázek 89: Válcová kapilára se smáčivou kapalinou. Ze vzorce je zřejmé, že kapilární tlak vzrůstá, když průměr kapiláry klesá (viz Obrázek 90) P c (MPa) d (m) Obrázek 90: Závislost kapilárního tlaku na průměru kapiláry. Z termodynamiky máme vztah mezi relativní vlhkostí vzduchu nad meniskem kapaliny a kapilárním tlakem (Kelvinova rovnice), viz Obrázek 91: Pc exp wrt v (4.30) kde w je hustota vody ( 1000 kg/m 3 ), R v je plynová konstanta pro vodní páru a T je termodynamická teplota

104 (-) P c (MPa) Obrázek 91: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na kapilárním tlaku. Po dosazení rovnice (4.29) do (4.30) máme: 2 1 exp r wrvt (4.31) Relativní vlhkost tedy můžeme zobrazit jako závislost na průměru kapiláry (viz Obrázek 91). (-) d (m) Obrázek 92: Závislost relativní vlhkosti vzduchu nad meniskem kapaliny na průměru kapiláry. Obrázek 92 například ukazuje, že póry o průměru nižším než 10-8 m jsou zaplněny vodou již při relativní vlhkosti 80 % (resp. při kapilárním tlaku 30 MPa). Všechny póry o vyšším průměru jsou při relativní vlhkosti 80 % ještě prázdné. Pokud bychom znali četnost výskytu pórů v kontrolním objemu podle jejich průměru, mohli bychom dopočítat vlhkost materiálu

105 Četnost výskytu pórů ale neznáme, protože struktura reálných materiálů je velmi složitá. Materiál není složený z dokonale válcových kapilár a povrch kapilár není dokonale hladký. Závislost vlhkosti materiálu na kapilárním tlaku lze experimentálně měřit. Jedna z možných metod nejprve uvede vzorek do stavu volného nasycení, tj. vzorek zkoušeného materiálu má na počátku zkoušky vlhkost w cap. Potom se vzorek umístí do tlakové nádoby, v které se skokově zvyšuje tlak. Tím se z materiálu vytlačuje voda, která se jímá v samostatné nádobce. Rovnováha nastává, pokud se při nastavené tlakové úrovni v nádobce neobjevuje další voda. Po dosažení rovnovážného stavu se tlak zvýší na vyšší úroveň a zkouška pokračuje. Výsledkem je závislost w = f(p c ). Příklad měřených dat pomocí výše popsané metody ukazuje Obrázek 93. Konec křivky (P c 2.65 MPa) odpovídá hygroskopické oblasti (1) (2) w (kg/m 3 ) cihla hygroskopická oblast calcium silikát log 10 (P c ) Obrázek 93: Retenční křivka vlhkosti (w = f(p c )), body (1) pocházejí z měření pomocí exsikátorů (hygroskopická oblast), body (2) pocházejí z měření pomocí tlakových zkoušek (nadhygroskopická oblast), údaje převzaty z [28]. Změna sklonu retenční křivky souvisí s vyprazdňováním pórů. Pokud má materiál velké zastoupení pórů podobné velikosti, tak se kapilární tlak nebude příliš měnit, dokud se tyto póry nevyprázdní. Takové chování je viditelné u cihly, kdy náhlý pokles retenční křivky nastává v rozmezí log 10 (P c ) = 4,5 5, což odpovídá průměrům pórů 10-6 m. Analogicky k rovnici (4.27) můžeme definovat vlhkostní kapacitu materiálu, tentokrát v nadhygroskopické oblasti: d u dp (4.32) c Praktickým důsledkem rovnice (4.30) je, že retenční křivku vlhkosti můžeme převést na závislost w = f(), viz Obrázek

106 (1) (2) w (kg/m 3 ) calcium silikát cihla (-) Obrázek 94: Sorpční křivka, (1) údaje z exsikátorů, (2) údaje z tlakových zkoušek. 4.4 Difuze vodní páry Difuze je obecný termín. Jde o proces, kdy látka přechází z prostředí, kde je koncentrace látky vyšší, do prostředí s nižší koncentrací Základní vztahy Předpis pro hustotu difuzního toku vodní páry ve vzduchu g va (kg/m 2 s) se nazývá 1. Fickův zákon. Difuzní tok je úměrný gradientu částečných tlaků vodní páry a teče ve směru opačném než vektor gradientu částečných tlaků vodní páry: p v1 vzduch g va dx p v2 Obrázek 95: Difuze vodní páry skrz vrstvu samotného vzduchu. g va pa dp dx v (kg/(m 2 s)) (4.33) kde p v je částečný tlak vodní páry v Pa a pa (kg/(m s Pa) = s) je součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu, který můžeme vypočítat jako: pa 5 1,81 Pa0 T v a 273,15 2, R T P (kg/(m s Pa)) (4.34) kde P a0 je referenční tlak vzduchu a P a je aktuální tlak vzduchu. Hodnota součinitele difuze vodní páry v samotném vzduchu je tedy závislá na tlaku a

107 teplotě. Pro 20 C je to přibližně 1, kg/(m s Pa). Závislost na celkovém tlaku vzduchu lze pro inženýrské výpočty zanedbat (P a0 /P a = 1). 2 x pa (kg/(mspa)) T ( C) Obrázek 96: Součinitel difuze vodní páry v samotném vzduchu. Hustota difuzního toku vodní páry přes pórovitý materiál g v v kg/(m 2 s) se vyjadřuje jako: g v pa dp dx v (kg/(m 2 s)) (4.35) kde se nazývá faktor difuzního odporu. Jedná se o bezrozměrnou veličinu nabývající hodnot v rozmezí (1, ). Difuze přes pórovitý materiál se tedy považuje za difuzi v samotném vzduchu zmenšenou faktorem difuzního odporu, který má vyjadřovat vliv pórové struktury materiálu. Vztah (4.35) bývá také zapisován jako: p v1 g v dx p v2 pórovitý materiál Obrázek 97: Difuze vodní páry skrz vrstvu pórovitého materiálu. g v 1 dp N dx v (kg/(m 2 s)) (4.36) kde N se nazývá teplotní difuzní funkce (s -1 ), N = 1/d pa. Jelikož hodnota N je velmi vysoká, je hustota difuzního toku velmi malá. Za předpokladu konstantní teploty je možné z rovnice (4.8) vyjádřit derivaci dp v /dx jako: dp dx v RT v dv dx Pro hustotu difuzního toku dostaneme: (4.37)

108 g v pa dp v pa dv a d v RvT dx dx dx (kg/(m 2 s)) (4.38) Rovnici (4.38) lze také zapsat jako: g v p dp dx v dv dx (kg/(m 2 s)) (4.39) kde je součinitel difuze v m 2 /s a p je součinitel difuze v kg/(m s Pa) = s. Vztah mezi oběma součiniteli difuze je viditelný z rovnice (4.38): prvt (4.40) Z rovnic (4.38) a (4.39) je zřejmé, že: pa a p (-) (4.41) Faktor difuzního odporu tedy vyjadřuje, kolikrát nepropustnější je materiál vůči samotnému vzduchu. Čím vyšší je hodnota tohoto faktoru, tím je materiál nepropustnější pro vodní páru (viz Tabulka 13). Faktor difuzního odporu se měří miskovou metodou (metoda mokré nebo suché misky, viz [21] a Obrázek 98). Tabulka 13: Typické hodnoty faktoru difuzního odporu Materiál Faktor difuzního odporu (-) Vzduch 1 Minerální vlna 2 5 Pěnový polystyrén Extrudovaný polystyrén Dřevo rovnoběžně/kolmo k vláknům 5/150 OSB desky SDK desky 10 Hydroizolační pás na bázi PVC Asfaltový hydroizolační pás Zdivo z plných cihel 9 Železobeton Hodnota faktoru difuzního odporu materiálu závisí na otevřené pórovitosti materiálu. Intuitivně lze odhadnout že, čím vyšší otevřená pórovitost, tím

109 více bude materiál otevřený difuzi vodní páry ( ~ 1/ 0 ). Hodnota faktoru difuzního odporu materiálu ale také závisí na klikatosti pórů. Opět lze odhadnout že, čím delší cestu musí molekula vodní páry urazit, tím vyšší bude faktor difuzního odporu ( ~ ). Obrázek 98: Misková metoda ( wetcup ) pro měření faktoru difuzního odporu Zejména u hygroskopických materiálů (např. dřevo a materiály na jeho bázi) se výrazně vyšší hodnoty faktoru difuzního odporu naměří za nižších relativních vlhkostí než za vyšších relativních vlhkostí (viz Obrázek 99) (-) radial tangential (-) Obrázek 99: Faktor difuzního odporu dřeva jako funkce relativní vlhkosti, údaje podle [27]. Hlavní důvod pro takové chování je, že za vysokých hodnot relativní vlhkosti dochází k vytvoření ostrůvků kapaliny v tenčích pórech, a tedy k sériovému propojení vlhký vzduchu kapalina vlhký vzduch. Ostrůvky kapaliny zkracují cestu, kterou molekuly vodní páry musí urazit. Nyní uvažujme tenký kontrolní objem s vnitřním zdrojem vlhkosti (viz Obrázek 100)