M - Příprava na 9. zápočtový test

Transkript

1 M - Příprava na 9. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a = c. ca b = c. cb Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a + b = c. ca + c. cb = c. (ca + cb) = c. c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c = a + b = a + b = c Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = = 4 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý :5:0 z 8

3 ± Pythagorova věta - procvičovací příklady. 339,4 m ,9 cm ,6 cm cm ,78 cm m cm :5:0 6,06 cm z 8

4 . 347 ± Eukleidovy věty Eukleidovy věty. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v ca = Þ v = ca.cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v cb = Þ v = ca.cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.. Věta o odvěsně :5:0 3 z 8

5 Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: cb b = Þ b = cb.c b c Rovněž by se dalo vyjádřit: ca a = Þ a = ca.c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x = Zvolíme-li x = v, ca =, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö0 Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö :5:0 4 z 8

6 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x = Zvolíme-li x = a, ca =, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö0 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, :5:0 5 z 8

7 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, :5:0 6 z 8

8 ± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r r =.r r = Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: :5:0 7 z 8

9 3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x ± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5, :5: z 8

10 . Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce., ± Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v :5:0 9 z 8

11 předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady ,9 cm. 580 Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC na obrázku. Oba obsahy jsou shodné :5:0 Zmenšení obsahu o 0 % Zmenšení obvodu o, % 0 z 8

12 m m Čtverec má větší obsah než obdélník ,7 m :5:0 6 z 8

13 . 574 řešení: , % cm :5:0 z 8

14 cm ,5 cm cm. 6 3,5 cm ,4 cm :5:0 3 z 8

15 ,8 cm , :5:0 57,74 cm 4 z 8

16 BC = 0 cm, obsah je 54 cm m :5:0 5 mm 5 z 8

17 ABD cm ,08 m, 800 cm cm , m o = 4 cm; S = 4,6 cm :5:0 88 cm 6 z 8

18 v = 4,33 cm b) :5:0 40, m 7 z 8

19 řešení: 0,5 cm;,5 cm krát Kč :5:0 7,3 cm 8 z 8

20 / Poloměr kružnice opsané: 4,6 cm Poloměr kružnice vepsané:,3 cm 60,5 % :5:0 977 m 9 z 8

21 m ,9 % trojúhelníků Tupoúhlý :5: z 8

22 Ne cm cm ,075 cm :5:0 AF = 5 cm, BC = cm z 8

23 ,8 m Nemohou cm :5:0 0,35 m z 8

24 obdélníků ,7 cm cm 6 cm :5:0,, 3 z 8

25 83. 56,, cm :5:0 v = 6,06 cm ABD 4 z 8

26 a = 0, b = 70, c = 60, d = 50, e = 60, f = 70, g = 60, h = cm ,4 m :5:0 dlaždic 5 z 8

27 cm ,5 ha :5:0 6 z 8

28 / ,, Není zavlažováno 6,8 m, třetí strana pole je 33,94 m cm :5:0 700 m ; 60 m 7 z 8

29 ,6 dm cm cm m :5: krát 8 z 8

30 ,8 cm cm ,3 cm , resp cm m ,8 % m ± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka :5:0 9 z 8

31 ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu V je jejich společný Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček. Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: :5:0 30 z 8

32 Oblouková míra: :5:0 3 z 8

33 p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: p rad 5... x rad Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: :5:0 p rad 3 z 8

34 x... 3p/4 rad Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou p.a o x= rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Stupňová a oblouková míra :5: z 8

35 :5:0 9,97 34 z 8

36 , ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník. ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: :5:0 35 z 8

37 V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: :5:0 36 z 8

38 Funkce zdola omezená: :5:0 37 z 8

39 Funkce periodická: :5:0 38 z 8

40 Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a :5:0 39 z 8

41 ± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: :5:0 40 z 8

42 Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: :5:0 4 z 8

43 Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: :5:0 4 z 8

44 ± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny :5:0 43 z 8

45 Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: :5:0 44 z 8

46 Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = 5 cm a =? [ ] b =? [ ] a c 5 sin a = 8 sin a = :5:0 45 z 8

47 sin a = 0,65 a = 38 4 a c 5 cos b = 8 cos b = cos b = 0,65 b = 5 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38 4 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 5 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = 5 cm, úhel QOP = Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = 5 cm úhel QOP = 35 0 PQ = o =? [cm] tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ = 5. tg 35 0 = 5. 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) PQ = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů a =? [ ] tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,0556 a = 3 Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem :5:0 46 z 8

48 ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0,4 m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost a úhel při vrcholu F má velikost Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? 478 m 3. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. 43,3 m V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = 4 cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. 54 cm V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. 4,3 cm Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? :5:0 36, 47 z 8

49 7. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 4 cm, c = 30 cm. b = 8 cm, a = 53 08, b = 36 5, g = Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30. Vypočti povrch válce cm 9. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a 34. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a = 3,9 cm, b = 5,7 cm 467. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 46. 3,4 m Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou 3, s kratší stranou :5: z 8

50 3. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy ks Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury ,8 cm 5. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48 30, c = 3, m a =,40 m, b =, m, b = 4 30, g = Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63 0, a = 6,7 m b = 3,39 m, c = 7,5 m, b = 6 50, g = :5:0 49 z 8

51 7. Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; 3 cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT ,7 cm 8. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0, Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80. Vypočti hloubku příkopu ,7 cm Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a = 4. Vypočti výšku kvádru v :5: ,5 dm 50 z 8

52 . Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 4 (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?. 479,8 cm Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö5 a AC = 4 cm., cm 47 ± Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do :5:0 5 z 8

53 Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců. Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90 + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice). Platí tedy: sin (90 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (90 + a) = cos a cos (90 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (90 + a) = - sin a Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců: sin (90 + a ) cos a = = -cotg a cos(90 + a ) - sin a cos(90 + a ) - sin a cotg (90 + a ) = = = -tga sin (90 + a ) cos a tg (90 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 -a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické :5:0 5 z 8

54 sin (80 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: sin (80 - a) = sin a cos (80 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 - a) = - cos a sin (80 - a ) sin a = = - tg a cos(80 - a ) - cos a cos(80 - a ) - cos a cotg (80 - a ) = = = -cotg a sin (80 - a ) sin a tg (80 - a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (80 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (80 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (80 + a) = - sin a cos (80 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (80 + a) = - cos a sin (80 + a ) - sin a = = tg a cos(80 + a ) - cos a cos(80 + a ) - cos a cotg (80 + a ) = = = cotg a sin (80 + a ) - sin a tg (80 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (70 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 - a) = - cos a cos (70 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: cos (70 - a) = - sin a sin (70 - a ) - cos a = = cotg a cos(70 - a ) - sin a cos (70 - a ) - sin a cotg (70 - a ) = = = tg a sin (70 - a ) - cos a tg (70 - a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (70 + a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (70 + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné :5:0 53 z 8

55 poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (70 + a) = - cos a cos (70 + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (70 + a) = sin a sin (70 + a ) - cos a = = -cotg a cos(70 + a ) sin a cos(70 + a ) sin a cotg (70 + a ) = = = - tg a sin (70 + a ) - cos a tg (70 + a ) = Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a): Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické. sin (360 - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek záporný Závěr: sin (360 - a) = - sin a cos (360 - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladný Závěr: cos (360 - a) = cos a sin (360 - a ) - sin a = = - tg a cos(360 - a ) cos a cos(360 - a ) cos a cotg (360 - a ) = = = -cotg a sin (360 - a ) - sin a tg (360 - a ) = Ukázkové příklady: Příklad : Vypočtěte: sin cos 0 + tg 50-0,5 tg 45 Řešení: sin ( ) - cos ( ) + tg (80-30 ) - 0,5. = = - sin 30 - (- cos 30 ) + (- tg 30 ) - 0,5 = =- + - = = 3 6 = = Příklad : Vypočtěte: sin cos ,5. tg tg 495 Řešení: :5:0 54 z 8

56 Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 80. sin cos ,5. tg tg 495 = sin cos 5 + 0,5. tg 60 + tg 35 = = sin ( ) - cos ( ) + 0,5. tg 60 + tg ( ) = = - sin 60 - (- cos 45 ) + 0,5. tg 60 + (- cotg 45 ) = = = = =- = - ± Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady , , :5:0 0, z 8

57 , , , , , , , , , :5:0 -,73 56 z 8

58 . 77-0, , , , , , , ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později. Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat: :5:0 57 z 8

59 sin x cos x cos x cotg x = sin x tgx = sin (-x) = - sin x cos (-x) = cos x tg (-x) = - tg x cotg (-x) = - cotg x sin x + cos x = tg x. cotg x = sin (x + y) = sin x. cos y + cos x. sin y sin (x - y) = sin x. cos y - cos x. sin y cos (x + y) = cos x. cos y - sin x. sin y cos (x - y) = cos x. cos y + sin x. sin y tgx + tgy - tgx.tgy tgx - tgy tg ( x - y ) = + tgx.tgy tg ( x + y ) = sin x = sin x. cos x cos x = cos x - sin x tg x = tgx - tg x sin x - cos x = cos x + cos x = tg x - cos x = + cos x x+ y x- y cos x+ y x- y sin x - sin y = cos sin x+ y x- y cos x + cos y = cos cos x+ y x- y cos x - cos y = - sin sin sin x + sin y = sin Příklad : :5:0 58 z 8

60 Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6: :5:0 59 z 8

61 Řešení: Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Řešení: Příklad 9: Řešení: :5:0 60 z 8

62 Příklad 0: Řešení: ± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady :5:0 0 6 z 8

63 :5:0 6 z 8

64 :5:0 63 z 8

65 :5:0 64 z 8

66 :5:0 65 z 8

67 ± Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad : Řešte rovnici sin x = 0,5 Řešení: Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30. Platí tedy, že x= 30 + k.360 Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (80-30 ) = 50 (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x = 50 + k.360 Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře: Příklad : Řešte rovnici: sin x = - 3 Řešení: Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici sin x = 3 Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x = ( ) + k.360 = 40 + k.360 x = ( ) + k.360 = k.360 I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře: Příklad 3: Řešte rovnici sin x = 0,5 Řešení: :5:0 66 z 8

68 V tomto případě je vhodné použít substituci: y = x Řešíme pak rovnici sin y = 0,5 Z příkladu č. už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y = 30 + k.360 y = 50 + k.360 Vrátíme se k substituci a dostaneme: x = 30 + k.360 a odtud: x = 5 + k.80 x = 50 + k.360 a odtud: x = 75 + k.80 I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře: Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x. sin x = 0 Řešení: Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části:. část: Řešíme cos 3x = 0 Substituce: y = 3x Rovnice cos y = 0 má řešení: y = 90 + k. 360 y = 70 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 70 = 3. 90, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90. Získáme tak řešení: y = (k + ). 90 Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (k + ), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x = (k + ). 90 neboli x = (k + ). 30. část: Řešíme sin x = 0 Substituce: y = x Rovnice sin y = 0 má dvě řešení: y = 0 + k. 360 y = 80 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 80 =. 90 a 0 = 0. 90, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90 a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90. Získáme tak opět jediné řešení: y = k. 90 Vrátíme se k substituci a získáme: x = k. 90 neboli x = k. 90 Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře: Příklad 5: :5:0 67 z 8

69 Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 = 0 Řešení: Substituce y = cos x Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 = 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y = -,5 a y = 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x = -,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-; > cos x = 0,5 x = 60 + k. 360 x3 = ( ) + k. 360 = k. 360 Řešením tedy je x = 60 + k. 360, x = k. 360, neboli v obloukové míře: ± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady. 80 Řešte rovnici:. 85 Řešte rovnici: 3. Řešte rovnici: sin x = 3cos x Řešte rovnici: Řešte rovnici: :5:0 68 z 8

70 Řešte rovnici: Řešte rovnici: tg x = 8. Řešte rovnici: cos x = cos x Řešte rovnici: 0. Řešte rovnici: sin x +,5cos x =,5sin x. cos x 80. Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin x = Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :5:0 69 z 8

71 7. 8 Řešte rovnici: 8. Řešte rovnici: sin x. cos x == 0, Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = Řešte rovnici:. 83 Řešte rovnici:. 807 Řešte rovnici: 3. Řešte rovnici: sin x + sin x - = Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :5:0 70 z 8

72 8. 8 Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Rovnice nemá řešení. 809 Řešte rovnici: 3. Řešte rovnici: sin x - sin x. cos x - cos x = Řešte rovnici: cos x = cos x Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: :5:0 7 z 8

73 38. 8 Řešte rovnici: 39. Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x. cos x - 5cos x = Řešte rovnici: sin x. cotg x = Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: Řešte rovnici: 45. Řešte rovnici: tg x - 3cotg x = Řešte rovnici: cos x = Řešte rovnici: :5:0 7 z 8

74 Řešte rovnici: cotg 6x = Řešte rovnici: 50. Řešte rovnici: sin x. ( + cos x) = Řešte rovnici: 5. Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x = Řešte rovnici: sin x = 3sin x ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a = b sin b ; b sin b = c sin g ; c sin g = a sin a nebo a b c = = sin a sin b sin g Důkaz: :5:0 73 z 8

75 Volme jednotkovou kružnici. Platí: BC = a = a r Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu: a = sin a + ( - cos a ) = sin a + - cos a + cos a = r = - cosa =.( - cos a ) =. sin a + cos a - cos a + sin a = BC = ( ) =. sin a = 4 sin a a = 4 sin a r a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme: a = r sin a Obdobně bychom dokázali: c b = r = r sin g sin b ; Odtud tedy platí: a b c = = sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich :5:0 74 z 8

76 Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad : Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a = 3,07 m b = g = Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a = 80 - (b + g ) = 80 - ( ) = = = 4 7 a b = sin a sin b a. sin b b= sin a 3,07. sin b= sin 4 7 b = 65,9 m a c = sin a sin g a. sin g c= sin a 3,07. sin c= sin 4 7 c = 73,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 4 7, strana b je dlouhá 65,9 metru a strana c má délku 73,45 m. ± Sinová věta - procvičovací příklady m :5:0 46 m 75 z 8

77 3. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: m Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: ,3 m 8 9 m ,3 m Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno:. 5,6 m Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: :5: , m 76 z 8

78 3. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: 836 3,75 m Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: 835,35 m ,8 m ± Kosinová věta Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g, a stranami a, b, c platí: a = b + c - bc.cosa b = a + c - ac.cosb c = a + b - ab.cosg Důkaz: a a = BC = c :5:0 77 z 8

79 b b æb ö BC = ç - cos a + sin a = - cos a + cos a + sin a = c c èc ø b b = + - cos a c c a = b + c - bc.cosa Je-li a > 90, pak cosa = - cos(80 - a) a platí tedy: a = b + c +bc.cos(80 - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad : Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 38 Řešení: a = 7 cm c = 4 cm b = 78 b =? [cm] a =? [ ] g =? [ ] b = a + c - ac.cosb b = cos 78 b = cos 78 b = 53,3576 b = 7,3 cm (po zaokrouhlení) a b = sin a sin b a. sin b sin a = b 7. sin 78 sin a = = 0,9379 7,3 a = 69 4 a c = sin a sin g c. sin a sin g = a 4. sin 69 4 sin g = = 0, g = 3 4 Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69 4, g = :5:0 78 z 8

80 Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: a = b + c - bc. cos a b + c - a cos a = bc 7, cos a = = 0,3474.7,3.4 a = c = a + b - ab. cos g a + b - c ab 7 + 7,3-4 cos g = = 0, ,3 cos g = g = 3 4 Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější. ± Kosinová věta - procvičovací příklady. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = , b = 683, m, c= 534,7 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m m m :5: z 8

81 6. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : 3 : Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m N Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je 4 : 5 : Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = , b = 683, m, c= 534,7 m ,5 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : 3 : Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : : 3 Trojúhelník neexistuje ,6 m :5:0 5,3 m 80 z 8

82 8. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : : 3 Trojúhelník neexistuje 873 Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m m. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 40 m, b = 3 m, c= 3 m Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je 4 : 5 : ,3 m Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = , b = 683, m, c= 534,7 m 35,5 m m 8. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : 3 : Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je : : 3 Trojúhelník neexistuje :5:0 8 z 8

83 30. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je 4 : 5 : Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6,9 m, b = 6 m, c= 7,3 m Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a = 6 m, b = m, c= 7 m ,6 m :5: z 8

84 Obsah Pythagorova věta Pythagorova věta - procvičovací příklady Eukleidovy věty Eukleidovy věty - procvičovací příklady Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady Výpočty rovinných útvarů Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady Goniometrie a trigonometrie Orientovaný úhel Stupňová a oblouková míra Jednotková kružnice Funkce sinus Funkce kosinus Funkce tangens Funkce kotangens Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí Goniometrické funkce úhlů větších než 90 Goniometrické funkce úhlů větších než 90 - procvičovací příklady Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice - procvičovací příklady Sinová věta Sinová věta - procvičovací příklady Kosinová věta Kosinová věta - procvičovací příklady :5: