Záludnosti velkých dimenzí
|
|
|
- Radomír Konečný
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Jan Vybíral KM/FJFI/ƒVUT 6. listopadu /28
2 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel alespo jeden z nich? 2/28
3 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel alespo jeden z nich? Neboli: Najd te minimální n takové, ºe existuje P [0, 1] d o n prvcích taková, ºe pro kaºdý kvádr B = I 1 I d o objemu B = I 1... I d = 1/10 platí P B. 2/28
4 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Kolik bod je t eba rozmístit v jednotkové krychli [0, 1] d v dimenzi d, aby v kaºdém kvádru o objemu 1/10 leºel alespo jeden z nich? Neboli: Najd te minimální n takové, ºe existuje P [0, 1] d o n prvcích taková, ºe pro kaºdý kvádr B = I 1 I d o objemu B = I 1... I d = 1/10 platí P B. A je²t lépe: roste tento po et (tedy toto n) logaritmicky, polynomiáln, nebo exponenciáln s d, nebo neroste v bec? 2/28
5 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d /28
6 Warm-up Dva problémy na zah átí Geometrie R d Po et nutných bod roste pouze logaritmicky v d...! Konstrukce p íslu²né mnoºiny je náhodná - existuje s kladnou pravd podobností... 3/28
7 Curse of dimension Dva problémy na zah átí Geometrie R d Uvaºujme C -funkce ze t ídy { F d = f : [0, 1] d R, max x [0,1] d,α N d 0 } D α f (x) 1 Kolik musíme (a jak) zvolit bod x 1,..., x n, abychom ze znalosti f (x 1 ),..., f (x n ) mohli aproximovat f stejnom rn s chybou 1/2? 4/28
8 Curse of dimension Dva problémy na zah átí Geometrie R d Uvaºujme C -funkce ze t ídy { F d = f : [0, 1] d R, max x [0,1] d,α N d 0 } D α f (x) 1 Kolik musíme (a jak) zvolit bod x 1,..., x n, abychom ze znalosti f (x 1 ),..., f (x n ) mohli aproximovat f stejnom rn s chybou 1/2? V ta (Novak, Wo¹niakowski (2009)) Bod je t eba vzít exponencieln mnoho!, p esn ji: n 2 d/2. 4/28
9 Dva problémy na zah átí Geometrie R d Geometrie R d Jaký je skalární sou in dvou náhodných vektor na jednotkové sfé e S d 1 = {x R d : x 2 2 = x x 2 d = 1}? 5/28
10 Dva problémy na zah átí Geometrie R d Geometrie R d Jaký je skalární sou in dvou náhodných vektor na jednotkové sfé e S d 1 = {x R d : x 2 2 = x x 2 d = 1}? Jak vlastn vygenerujeme (t eba v Matlabu,...) náhodný vektor na jednotkové sfé e? 5/28
11 Dva problémy na zah átí Geometrie R d Geometrie R d Jaký je skalární sou in dvou náhodných vektor na jednotkové sfé e S d 1 = {x R d : x 2 2 = x x 2 d = 1}? Jak vlastn vygenerujeme (t eba v Matlabu,...) náhodný vektor na jednotkové sfé e? P ekvapivá(?) odpov : Vezm me (ω 1,..., ω d ) standardní gaussovské prom nné a vynormujeme! Tedy: ω = (ω 1,..., ω d ) ω ω2 d (se stejnom rn rozd lenými prom nnými v [ 1, 1] to nefunguje!) 5/28
12 Dva problémy na zah átí Geometrie R d Geometrie R d Jaký je skalární sou in dvou náhodných vektor na jednotkové sfé e S d 1 = {x R d : x 2 2 = x x 2 d = 1}? Jak vlastn vygenerujeme (t eba v Matlabu,...) náhodný vektor na jednotkové sfé e? P ekvapivá(?) odpov : Vezm me (ω 1,..., ω d ) standardní gaussovské prom nné a vynormujeme! Tedy: ω = (ω 1,..., ω d ) ω ω2 d (se stejnom rn rozd lenými prom nnými v [ 1, 1] to nefunguje!) Pak uº snadno ω 2 1 E ω, e 1 2 = E ω ω2 d. 5/28
13 Dva problémy na zah átí Geometrie R d Geometrie R d Jaký je skalární sou in dvou náhodných vektor na jednotkové sfé e S d 1 = {x R d : x 2 2 = x x 2 d = 1}? Jak vlastn vygenerujeme (t eba v Matlabu,...) náhodný vektor na jednotkové sfé e? P ekvapivá(?) odpov : Vezm me (ω 1,..., ω d ) standardní gaussovské prom nné a vynormujeme! Tedy: ω = (ω 1,..., ω d ) ω ω2 d (se stejnom rn rozd lenými prom nnými v [ 1, 1] to nefunguje!) Pak uº snadno ω 2 1 E ω, e 1 2 = E ω ω2 d = 1 d Eω ω2 d ω ω2 d = 1 d. 5/28
14 Koncentrace míry na sfé e Dva problémy na zah átí Geometrie R d ε-pruh okolo rovníku: K ε d 1 := {x Sd 1 : x 1 < ε} Jaký je povrch K ε d 1 (vzhledem k celé sfé e Sd 1 )? 6/28
15 Koncentrace míry na sfé e Dva problémy na zah átí Geometrie R d ε-pruh okolo rovníku: K ε d 1 := {x Sd 1 : x 1 < ε} Jaký je povrch K ε d 1 (vzhledem k celé sfé e Sd 1 )? Pomocí vcelku elementárních metod lze ukázat: Plocha (K ε ) ) d 1 ( (d Plocha (S d 1 ) 1 2 exp 2) ε2 2 a.k.a. Ve vysoké dimenzi ºije v t²ina lidí na rovníku! 6/28
16 Lemma D kaz Lemma Johnsona a Lindenstrausse 7/28
17 Lemma D kaz Lemma Johnsona a Lindenstrausse (1984) Bu ε (0, 1 2 ), x 1,..., x n R d... libovolné body, k Cε 2 log n. 8/28
18 Lemma D kaz Lemma Johnsona a Lindenstrausse (1984) Bu ε (0, 1 2 ), x 1,..., x n R d... libovolné body, k Cε 2 log n. Pak existuje lineární zobrazení (tedy matice) f : R d R k tak, ºe (1 ε) x i x j 2 2 f (x i ) f (x j ) 2 2 (1 + ε) x i x j 2 2 pro v²echna i, j {1,..., n}. 8/28
19 Lemma D kaz Lemma Johnsona a Lindenstrausse (1984) Bu ε (0, 1 2 ), x 1,..., x n R d... libovolné body, k Cε 2 log n. Pak existuje lineární zobrazení (tedy matice) f : R d R k tak, ºe (1 ε) x i x j 2 2 f (x i ) f (x j ) 2 2 (1 + ε) x i x j 2 2 pro v²echna i, j {1,..., n}. Nap íklad: n = 10 9, ε =.2, k = 4200, d libovolné! 8/28
20 D kaz J-L Lemma D kaz Standardní gaussovské prom nné (N (0, 1)): hustota p(x) = 1 e x2 /2 2π 9/28
21 D kaz J-L Lemma D kaz Standardní gaussovské prom nné (N (0, 1)): hustota p(x) = 1 e x2 /2 2π 9/28
22 D kaz J-L Lemma D kaz 2-Stabilita N (0, 1): Pro k N, λ = (λ 1,..., λ k ) R k a ω = (ω 1,..., ω k ) nezávislé N (0, 1) prom nné platí λ, ω = λ 1 ω λ k ω k ( k i=1 λ2 i )1/2 N (0, 1). 10/28
23 Lemma D kaz D kaz J-L 2-Stabilita N (0, 1): Pro k N, λ = (λ 1,..., λ k ) R k a ω = (ω 1,..., ω k ) nezávislé N (0, 1) prom nné platí λ, ω = λ 1 ω λ k ω k ( k i=1 λ2 i )1/2 N (0, 1). Koncentrace sou tu nezávis ých N (0, 1)-prom nných P ( ω ω 2 k k ) > 1 + ε e k 2 [ε2 /2 ε 3 /3] 10/28
24 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k y := (x i x j )/ x i x j 2 ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y 11/28
25 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y a po ítejme y := (x i x j )/ x i x j 2 P( f (x i ) f (x j ) 2 2 > (1 + ε) x i x j 2 2) = P( f (y) 2 > (1 + ε)) 11/28
26 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y y := (x i x j )/ x i x j 2 a po ítejme P( f (x i ) f (x j ) 2 2 > (1 + ε) x i x j 2 2) = P( f (y) 2 > (1 + ε)) = P( My 2 2 > (1 + ε)k) 11/28
27 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y y := (x i x j )/ x i x j 2 a po ítejme P( f (x i ) f (x j ) 2 2 > (1 + ε) x i x j 2 2) = P( f (y) 2 > (1 + ε)) = P( My 2 2 > (1 + ε)k) = P( y, ω 1, y, ω k, 2 > (1 + ε)k) 11/28
28 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y y := (x i x j )/ x i x j 2 a po ítejme P( f (x i ) f (x j ) 2 2 > (1 + ε) x i x j 2 2) = P( f (y) 2 > (1 + ε)) = P( My 2 2 > (1 + ε)k) = P( y, ω 1, y, ω k, 2 > (1 + ε)k) = P(ω ωk 2 > (1 + ε)k) 11/28
29 D kaz J-L Lemma D kaz Poloºme f (y) := My = 1 k k ω 1,1... ω 1,d..... ω k,1... ω k,d y y := (x i x j )/ x i x j 2 a po ítejme P( f (x i ) f (x j ) 2 2 > (1 + ε) x i x j 2 2) = P( f (y) 2 > (1 + ε)) = P( My 2 2 > (1 + ε)k) = P( y, ω 1, y, ω k, 2 > (1 + ε)k) = P(ω ωk 2 > (1 + ε)k) e k 2 [ε2 /2 ε 3 /3] 11/28
30 D kaz J-L Lemma D kaz Pravd podobnost, ºe n která z nerovností v J-L lemmatu neplatí je tedy nejvý²e ( ) n 2 e k 2 [ε2 /2 ε 3 /3] < n 2 e k 2 [ε2 /2 ε 3 /3] 2 pokud zvolíme k 4(ε 2 /2 ε 3 /3) 1 log n. = exp(2 log n k 2 [ε2 /2 ε 3 /3]) e 0 = 1 Moral: Dobrá matice pro redukci dimenze tedy existuje, ale nevíme, která to je... 12/28
31 Lemma D kaz Prony & 13/28
32 Pronyho metoda Prostá lineární rovnice Ax = y je pro x, y R d, A R d d t ºko e²itelná. 14/28
33 Pronyho metoda Prostá lineární rovnice Ax = y je pro x, y R d, A R d d t ºko e²itelná. Výpo et A 1? Stabilita? Sloºitost násobení Matice-Vektor? 14/28
34 Pronyho metoda Pronyho metoda Ve vysoké dimenzi se asto setkáme s vektory, které mají jen n kolik nenulových sou adnic (nap íklad vektor waveletových koecient daného obrázku - uºito ve formátu JPEG2000) 15/28
35 Pronyho metoda Pronyho metoda Ve vysoké dimenzi se asto setkáme s vektory, které mají jen n kolik nenulových sou adnic (nap íklad vektor waveletových koecient daného obrázku - uºito ve formátu JPEG2000) Kolika parametry m ºeme popsat vektor x R d, který má jen s nenulových sou adnic?... 2s... (... indexy a hodnoty... ) 15/28
36 Pronyho metoda Pronyho metoda Ve vysoké dimenzi se asto setkáme s vektory, které mají jen n kolik nenulových sou adnic (nap íklad vektor waveletových koecient daného obrázku - uºito ve formátu JPEG2000) Kolika parametry m ºeme popsat vektor x R d, který má jen s nenulových sou adnic?... 2s... (... indexy a hodnoty... ) Kolik lineárních parametr x (tedy skalárních sou in x s jinými vektory) musíme znát, abychom x ur ili? 15/28
37 Pronyho metoda Pronyho metoda V ta (Prony, 1795) let! Kaºdý vektor x R d s s nenulovými koecienty lze zrekonstruovat z 2s prvních koecient jeho diskrétní Fourierovy transformace. 16/28
38 Pronyho metoda Pronyho metoda V ta (Prony, 1795) let! Kaºdý vektor x R d s s nenulovými koecienty lze zrekonstruovat z 2s prvních koecient jeho diskrétní Fourierovy transformace. x=sprand(100,1,.2);% 20 ze 100 sou adnic nenulových y=fft(full(x)); % y = Fast Fourier Transform (x) 16/28
39 Pronyho metoda Pronyho metoda V ta (Prony, 1795) let! Kaºdý vektor x R d s s nenulovými koecienty lze zrekonstruovat z 2s prvních koecient jeho diskrétní Fourierovy transformace. x=sprand(100,1,.2);% 20 ze 100 sou adnic nenulových y=fft(full(x)); % y = Fast Fourier Transform (x) z=linsolve(toeplitz(y(20:39),flipud(y(1:20))),-1*y(21:40)); S=ifft([1; z; zeros(79,1)]); % inverzní FFT Nulová místa S jsou jiº nosi em x. 16/28
40 Pronyho metoda Pronyho metoda V ta (Prony, 1795) let! Kaºdý vektor x R d s s nenulovými koecienty lze zrekonstruovat z 2s prvních koecient jeho diskrétní Fourierovy transformace. x=sprand(100,1,.2);% 20 ze 100 sou adnic nenulových y=fft(full(x)); % y = Fast Fourier Transform (x) z=linsolve(toeplitz(y(20:39),flipud(y(1:20))),-1*y(21:40)); S=ifft([1; z; zeros(79,1)]); % inverzní FFT Nulová místa S jsou jiº nosi em x. Supp=find(abs(S)<1e-8); FMat=dftmtx(100); xout=sparse(supp,1,fmat(1:40,supp)\ y(1:40),100,1); = x=xout 16/28
41 Pronyho metoda Pronyho metoda Matlab varuje, ºe e²ená lineární rovnice je extrémn nestabilní 17/28
42 Pronyho metoda Pronyho metoda Matlab varuje, ºe e²ená lineární rovnice je extrémn nestabilní... a metoda je siln nestabilní a nerobustní 17/28
43 Pronyho metoda Pronyho metoda Matlab varuje, ºe e²ená lineární rovnice je extrémn nestabilní... a metoda je siln nestabilní a nerobustní Jak drobná porucha struktury (x = x + ε) 17/28
44 Pronyho metoda Pronyho metoda Matlab varuje, ºe e²ená lineární rovnice je extrémn nestabilní... a metoda je siln nestabilní a nerobustní Jak drobná porucha struktury (x = x + ε) tak ²um v m ení (y = y + ε) 17/28
45 Pronyho metoda Pronyho metoda Matlab varuje, ºe e²ená lineární rovnice je extrémn nestabilní... a metoda je siln nestabilní a nerobustní Jak drobná porucha struktury (x = x + ε) tak ²um v m ení (y = y + ε) zp sobí katastrofální chyby výstupu! 17/28
46 Pronyho metoda Je moºné e²it lineární rovnice Ax = y efektivn (=rychle a stabiln ) alespo pro n která A a n která x (resp. y)? 18/28
47 Pronyho metoda Je moºné e²it lineární rovnice Ax = y efektivn (=rychle a stabiln ) alespo pro n která A a n která x (resp. y)? V n kterých p ípadech ur it ANO! T eba rovnice F d x = y... x = F 1 d y, lze vypo ítat pomocí FFT v ase O(d log d) 18/28
48 Pronyho metoda Je moºné e²it lineární rovnice Ax = y efektivn (=rychle a stabiln ) alespo pro n která A a n která x (resp. y)? V n kterých p ípadech ur it ANO! T eba rovnice F d x = y... x = F 1 d y, lze vypo ítat pomocí FFT v ase O(d log d) Existuje ale n jaká v t²í t ída matic A a vektor x s podobnou vlastností? 18/28
49 Pronyho metoda Je moºné e²it lineární rovnice Ax = y efektivn (=rychle a stabiln ) alespo pro n která A a n která x (resp. y)? V n kterých p ípadech ur it ANO! T eba rovnice F d x = y... x = F 1 d y, lze vypo ítat pomocí FFT v ase O(d log d) Existuje ale n jaká v t²í t ída matic A a vektor x s podobnou vlastností? Donoho, Candès, Romberg, Tao (2006) 18/28
50 Pronyho metoda Pro kaºdé 1 s d 19/28
51 Pronyho metoda Pro kaºdé 1 s d nech A R m d má Restricted Isometry Property (RIP) ádu 2s s konstantou 1/3 pokud 2 3 z 2 2 Az z 2 2 z R d : #{i : z i 0} 2s. 19/28
52 Pronyho metoda Pro kaºdé 1 s d nech A R m d má Restricted Isometry Property (RIP) ádu 2s s konstantou 1/3 pokud 2 3 z 2 2 Az z 2 2 z R d : #{i : z i 0} 2s. x R d : #{i : x i 0} s 19/28
53 Pronyho metoda Pro kaºdé 1 s d nech A R m d má Restricted Isometry Property (RIP) ádu 2s s konstantou 1/3 pokud 2 3 z 2 2 Az z 2 2 z R d : #{i : z i 0} 2s. x R d : #{i : x i 0} s Rovnici Ax = y lze vy e²it pomocí (keyword: LASSO) arg min i u i takové, ºe Au = y 19/28
54 Pronyho metoda Pro kaºdé 1 s d nech A R m d má Restricted Isometry Property (RIP) ádu 2s s konstantou 1/3 pokud 2 3 z 2 2 Az z 2 2 z R d : #{i : z i 0} 2s. x R d : #{i : x i 0} s Rovnici Ax = y lze vy e²it pomocí (keyword: LASSO) arg min i u i takové, ºe Au = y Dobré matice existují uº pro m cs log(d) 19/28
55 Pronyho metoda min x 1 s.t. y = Ax min x 2 s.t. y = Ax {x : y = Ax} ervená: x1 2 + x 2 2 α modrá: x 1 + x 2 β 20/28
56 Pevné látky Co je aplikovaná matematika? 21/28
57 Pevné látky Co je aplikovaná matematika? Strejdo, a táta je doktor? 21/28
58 Pevné látky Co je aplikovaná matematika? Strejdo, a táta je doktor? No, ano, ale on je takový ten doktor, který nepomáhá lidem. 21/28
59 Pevné látky Strojové u ení a pevné látky Úloha (=toy problem): Pro dva atomy (i.e. Na & Cl) ur ete jejich krystalickou strukturu - Zinc blend (ZB) nebo Rock salt (RS) Jejich energetické hladiny jsou p ekvapiv blízké! NaCl - rocksalt: ZnS - zinc blende: 22/28 Jan Vybíral KM/FJFI/ VUT
60 Pevné látky P esn ji formulovaná úloha - p edpov d t = E(RS) E(ZB) z atomárních parametr! Vlastnosti jednotlivých atom Snadno spo ítatelné r s (A), r p (A), r s (B), r p (B) - polom ry orbital IP(A), EA(A), IP(B), EA(B) - ioniza ní potenciály, elektroanita HOMO(A), LUMO(A), HOMO(B), LUMO(B) - enerige nejvy²²ího obsazeného/nejniº²ího neobsazeného orbitalu... primární vlastnosti! 23/28
61 Pevné látky Phillips, van Vechten (1969, 1970) 24/28
62 LASSO at work Pevné látky Nejd íve denujeme fyzikáln smysluplné výrazy: Sekundární vlastnosti - i.e. 1/r p (A) 2, (r s (A) r p (A))/r p (B) 3, etc. A necháme LASSO navybrat nejlep²í kandidáty pro lineární t Výsledek IP(B) EA(B) r p (A) 2, r s(a) r p (B), exp(r s (A)) r p (B) r s (B) exp(r d (A) + r s (B)),... 25/28
63 Výsledky Pevné látky Nalezené deskriptory: 26/28
64 Výsledky Pevné látky Chyba lineárního tu: 27/28
65 Pevné látky Díky za pozornost! 28/28
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Limity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
T i hlavní v ty pravd podobnosti
T i hlavní v ty pravd podobnosti 15. kv tna 2015 První p íklad P edstavme si, ºe máme atomy typu A, které se samovolným radioaktivním rozpadem rozpadají na atomy typu B. Pr m rná doba rozpadu je 3 hodiny.
LASSO a Komprimované snímání
LASSO a Jan Vybíral (Univerzita Karlova Praha) Kv ten 2016 Praha 1 / 60 Úvodem Ná² syn Václav: Strejdo Pavle, a opravdu je tatínek doktor? M j bratr Pavel: Je, ale je takový ten doktor, který nepomáhá
P íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01RMF varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 1MF varianta A tvrtek 19. listopadu 215, 13:215:2 ➊ (5 bod ) Nech f (x), g(x) L 1 () a f (x) dx = A, x f (x) dx = µ, Vypo ítejte, emu se rovná z( f g)(z) dz. g(x)
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
Pravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
Ergodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Rovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
Integrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
Derivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
Obsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
Pr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 29/5/218, 9: 11: ➊ (8 bod ) Pro parametry a > a b R vypo t te ur itý integrál e ax2 cos(bx2 ) 1 x Uºijte v tu o derivaci integrálu s parametrem. Spln ní p edpokladu
Matice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 25/05/2017, 9:00 11:00 ➊ (9 bod ) Nech je dvojrozm rná Lebesgueova míra generována vytvo ujícími funkcemi φ(x) = Θ(x)x 2 a ψ(y) = 7y. Vypo t te míru mnoºiny
Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu
ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc. Osnova 1 2 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
Cvi ení 1. Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, 2018
Cvi ení 1 Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní operace Základní funkce 3 Simulink Princip práce v Simulinku Jednoduché
Co je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Unfolding - uºivatelský manuál
Unfolding - uºivatelský manuál Bc. Martin Veselý Fakulta jaderná a fyzikáln inºenýrská Katedra softwarového inºenýrství v ekonomii Skupina aplikované matematiky a stochastiky p i kated e matematiky Obsah
Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVU v Praze Zkou²ková písemná práce. 1 z p edm tu 1MAB4 25/5/216, 9: 11: ➊ (11 bod ) Vypo ítejte abstraktní plo²nou míru mnoºiny M = (x, y) R 2
Jméno: P íjmení: Datum: 17. ledna 2018 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu.
Jméno: P íjmení: Datum: 7. ledna 28 Nechci zápo et p i hodnocení niº²ím neº (nezávazné): vadí mi vystavení mého hodnocení na internetu. Rotující nádoba Otev ená válcová nádoba napln ná do poloviny vý²ky
Cvi ení 1. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 2, Organizace cvi ení 2 Matlab Za ínáme Základní operace Základní funkce
Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 2, 2018 1 Organizace cvi ení 2 Za ínáme Základní funkce 3 Princip práce v u Jednoduché modely v u Souhrn Organizace cvi ení webová
1 Spojitý model. 1.1 Princip stochastického modelu
Spojitý model Veli iny v dopravním systému jsou náhodné posloupnosti indexované diskrétním asem t. V kaºdém asovém okamºiku to jsou náhodné veli iny, po zm ení dostaneme realizace náhodné veli iny. Tyto
Lineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
Státní maturita 2011 Maturitní testy a zadání jaro 2011 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZD11C0T02 e²ené p íklady
Státní maturita 0 Maturitní testy a zadání jaro 0 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAMZDC0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 0. srpna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha
Statistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
se nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným
Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po
Modelování v elektrotechnice
Katedra teoretické elektrotechniky Elektrotechnická fakulta ZÁPADOƒESKÁ UNIVERZITA V PLZNI Modelování v elektrotechnice Pánek David, K s Pavel, Korous Luká², Karban Pavel 28. listopadu 2012 Obsah 1 Úvod
P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA
Modernizace výuky v rámci odborných a všeobecných p edm t st ední školy. íslo projektu: CZ.1.07/1.1.10/01.0021 P ÍPRAVY NA HODINU MATEMATIKA Tyto p ípravy na hodinu jsou spolufinancovány Evropským sociálním
2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ. lineárních rovnic (prove te zkou²ku dosazením):
ZÁKLADY MATEMATIKY 2 2. SÉRIE: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC, METODY E ENÍ P ípravní úlohy. V této sérii se p edpokládá, ºe uº umíte ur it v²echna e²ení jednoduchých soustav lineárních rovnic. Otestujte se
Domácí úkol 2. Obecné pokyny. Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab.
Domácí úkol 2 Obecné pokyny Dbejte na formáln správný zápis výpo tu! Pro vy íslení výsledku pro binomické rozd lení pouºijte nap. Maple nebo Matlab. Návod pro výpo et v Matlabu Jestliºe X Bi(n, p), pak
Státní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Cvi ení 7. Docházka a testík - 15 min. Distfun 10 min. Úloha 1
Cvi ení 7 Úkol: generování dat dle rozd lení, vykreslení rozd lení psti, odhad rozd lení dle dat, bodový odhad parametr, centrální limitní v ta, balí ek Distfun, normalizace Docházka a testík - 15 min.
na za átku se denuje náhodná veli ina
P íklad 1 Generujeme data z náhodné veli iny s normálním rozd lením se st ední hodnotou µ = 1 a rozptylem =. Rozptyl povaºujeme za známý, ale z dat chceme odhadnout st ední hodnotu. P íklad se e²í v následujícím
Cvi ení 2. Cvi ení 2. Modelování systém a proces. Mgr. Lucie Kárná, PhD. March 5, 2018
Modelování systém a proces Mgr. Lucie Kárná, PhD karna@fd.cvut.cz March 5, 2018 1 Gracké moºnosti Matlabu 2 Zobrazení signálu 3 4 Analýza signálu Gracké moºnosti Matlabu Základní gracké p íkazy I Graf
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB4 varianta A 18. dubna 2016, 11:2013:20 ➊ (1 bod) Nalezn te kritický bod soustavy generujících rovnic e x 6y 6z 2 + 12z = 13, 2e 2x 6y z 3 = 6. Uºijte faktu,
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA. Katedra matematiky. Matematika 2. pro technické obory. Petr Gurka, Stanislava Dvořáková
VYSOKÁ ŠKOLA POLYTECHNICKÁ JIHLAVA Katedra matematiky Matematika 2 pro technické obory Petr Gurka, Stanislava Dvořáková 2019 Petr Gurka, Stanislava Dvořáková Matematika 2 pro technické obory 1. vydání
Úvod. Matematická ekonomie 1. Jan Zouhar. 20. zá í 2011
Úvod Matematická ekonomie 1 Jan Zouhar 20. zá í 2011 Obsah 1 Organizace kurzu 2 Nápl kurzu 3 Motiva ní p íklad na úvod 4 Úvod do matematického programování 5 Úvod do lineárního programování 6 Základní
Frikce pracovního trhu
12. listopadu 2010 Literatura Mandelman, F. S. - Zanetti F.: Technical Handbook - No. 1.: Estimating general equilibrium models: an application with labour market frictions Centre for Central Banking Studies,
Numerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
Matematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
Obsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell
Binární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
p (1) k 0 k 1 je pravd podobnost p echodu ze stavu k i v l ; 1 kroku do stavu k j
Markovovsk n hodn procesy U Markovovsk ho n hodn ho proces nez vis dal v voj na zp sobu, jak se proces dostal do sou asn ho stavu. Plat 8 t
Regrese a nelineární regrese
Kapitola 10 Regrese a nelineární regrese 10.1 Regrese V testech nezávislosti jsme zkoumali, zda dv veli iny x a y jsou nezávislé. Pokud nejsou nezávislé, m ºeme zkoumat, jaká závislost mezi nimi je. 10.1.1
P íklady k prvnímu testu - Scilab
P íklady k prvnímu testu - Scilab 24. b ezna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot
Vektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sl
Line rn oper tory v euklidovsk ch prostorech V t to sti pou ijeme obecn v sledky o line rn ch oper torech ve vektorov ch prostorech nad komplexn mi sly z p edchoz ch kapitol k podrobn j mu zkoum n line
Teorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
( x ) 2 ( ) 2.5.4 Další úlohy s kvadratickými funkcemi. Předpoklady: 2501, 2502
.5. Další úlohy s kvadratickými funkcemi Předpoklady: 50, 50 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi ty méně organizované. Společně řešíme příklad, při dalším počítání se třída rozpadá. Já řeším příklady
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
Úvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů. Spektroskopie Augerových elektron (AES), elektronová mikrosonda, spektroskopie prahových potenciál
Úvod do fyziky tenkých vrstev a povrchů Spektroskopie Augerových elektron (AES), elektronová mikrosonda, spektroskopie prahových potenciál ty i hlavní typy nepružných srážkových proces pr chodu energetických
1 Spo jité náhodné veli iny
Spo jité náhodné veli in. Základní pojm a e²ené p íklad Hustota pravd podobnosti U spojité náhodné veli in se pravd podobnost, ºe náhodná veli ina X padne do ur itého intervalu (a, b), po ítá jako P (X
2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky
Požadavky na v domosti a dovednosti, které mohou být ov ovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky ást A Kompetence O ekávané v domosti a dovednosti pro maturitní zkoušku z matematiky v rámci spole né
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení
Aplikace pravd podobnostních model v kurzovém sázení 28.4.2016 Obsah 1 Kurzové sázení Tenis Kurz jako odhad pravd podobnosti Hodnocení kvality odhadu pravd podobnosti 2 Predikce pr b hu utkání Základní
1 P ílohy. 1.1 Dopln ní na tverec
1 P ílohy 1.1 Dopln ní na tverec Pouºívá se pro minimalizaci kvadratického výrazu nebo pro integraci v konvoluci dvou normálních rozd lení (tady má význam rozkladu normální sdruºené hp na podmín nou a
APLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!
MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu
Lineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
Matematická analýza III. Jan Malý
Matematická analýza III Jan Malý Obsah Kapitola 1. Eukleidovský prostor 5 1. Eukleidovský prostor 5 2. Obecn j²í pohled na prostor 7 3. Spojitost a limita 8 Kapitola 2. Diferenciální po et funkcí více
Úvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
4 DVOJMATICOVÉ HRY. Strategie Stiskni páku Sed u koryta. Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0)
4 DVOJMATICOVÉ HRY Strategie Stiskni páku Sed u koryta Stiskni páku (8, 2) (5, 3) Sed u koryta (10, 2) (0, 0) 125 DVOJMATICOVÁ HRA Je-li speciálně množina hráčů Q = {1, 2} a prostory strategií S 1, S 2
ízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
TROJFÁZOVÝ OBVOD SE SPOT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU
TROJFÁZOVÝ OBVOD E POT EBI EM ZAPOJENÝM DO HV ZDY A DO TROJÚHELNÍKU Návod do m ení Ing. Vít zslav týskala, Ing. Václav Kolá Únor 2000 poslední úprava leden 2014 1 M ení v trojázových obvodech Cíl m ení:
Intervalová data a výpočet některých statistik
Intervalová data a výpočet některých statistik Milan Hladík 1 Michal Černý 2 1 Katedra aplikované matematiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova 2 Katedra ekonometrie Fakulta informatiky a
Úvod do kombinatorické teorie her
Úvod do kombinatorické teorie her Lucie Mohelníková Lucka.Mohelnikova@gmail.com Lucie Mohelníková Úvod do kombinatorické teorie her 1 / 21 P ehled 1 Úvod 2 Základní typy her 3 Teorie okolo pi²kvorek 4
Cvi en 7 Ur ete vlnovou d lku a frekvenci de Broglieovy vlny pro molekulu kysl ku ve vzduchu va eho pokoje a pro stici o hmotnosti 10 g pohybuj c se r
Kvantov mechanika { cvi en Ladislav Hlavat September 9, 003 Cvi en 1 Napi te rozd lovac funkci Gaussova pravd podobnostn ho rozd len. Interpretujte v znam jej ch parametr. Vypo tejte jeho momenty. Napi
Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF
Příjmení a jméno 1 2 3 4 5 CELKEM Zkou²ková písemná práce. 1/A z p edm tu 01RMF 15/01/2016, 9:00 10:00 ➊ Je funkcionál denovaný p edpisem ze t ídy D (G), kde G = (1, + ). Vysv tlete! ( g; φ(x)) := R φ(x)
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
![MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]](/thumbs/58/41721403.jpg "MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]")
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE
ST2 - Cvi ení 1 STATISTICKÁ INDUKCE P íklad 1.1 Po et závad jistého typu elektrospot ebi e b hem záru ní doby má Poissonovo rozd lení s parametrem λ = 0,2. Jaká je pravd podobnost, ºe po prodeji 75 spot
Analýza oběžného kola
Vysoká škola báňská Technická univerzita 2011/2012 Analýza oběžného kola Radomír Bělík, Pavel Maršálek, Gȕnther Theisz Obsah 1. Zadání... 3 2. Experimentální měření... 4 2.1. Popis měřené struktury...
Plánování výroby elekt iny a ízení rizik na liberalizovaném trhu
Plánování výroby elekt iny a ízení rizik na liberalizovaném trhu 23. listopadu 2011 prezentace k lánku Power Generation Planning and Risk Managment in a Liberalised Market Thor Bjorkvoll, Stein-Erik Fleten,
Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce
P íklady k druhému testu - Matlab
P íklady k druhému testu - Matlab 1. dubna 2014 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a naprogramujte p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.