Dolní odhad síly pro ztrátu stability obecného prutu

Transkript

1 ƒeské vysoké u ení technické v Praze 9. února 216 Vedoucí seminární práce: doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. prof. Ing. Milan Jirásek, DrSc.

2 Osnova 1 2

3 Cíl práce Cíl práce Nalézt velikost síly, která zp sobí ztrátu stability neprizmatického prutu

4 P edpoklady e²ení úlohy P edpoklady o zkoumaném prutu Prut je staticky ur it podep ený (jako prostý nosník) St ednice prutu je úse ka Prut je vyroben z dokonale homogenního materiálu P i namáhání ohybem a tahem (tlakem) se prut chová lineárn pruºn P edpoklady o zatíºení p sobícím na prut Na prut p sobí na jednom z jeho konc zatíºení rovnob ºné se st ednicí, jehoº výslednice prochází st ednicí prutu Ostatní zatíºení p sobící na prut jsou v porovnání s tímto zatíºením zanedbatelná. Neuvaºujeme i gravita ní zatíºení plynoucí z hmotnosti prutu

5 P edpoklady e²ení úlohy ídíme se p edpoklady Navier-Bernoulliovy hypotézy Navier-Bernoulliova hypotéza Po deformaci z stává libovolný p í ný ez (kolmý na p ímou st ednici) rovinný a kolmý na deformovanou st ednici Prut je staticky ur it podep ený Deformace jsou ádov men²í neº délka prutu

6 Sestavení fyzikálního modelu problému Sestavíme jednorozm rný model problému Prut budeme modelovat pomocí jeho st ednice (spojnice t ºi² jednotlivých pr ez ) Zatíºení budeme modelovat pomocí výslednice (bodové síly), která má p sobi²t v hrani ním bod st ednice Podep ení prutu modelujeme jako vazby (prostý nosník) Budeme p edpokládat, ºe k k p sobení síly (a tedy i deformaci) m ºe dojít pouze ve sm ru osy z, jejíº polohu si zvolíme

7 Velikost síly F vedoucí ke kolapsu prutu v na²em jednorozm rném modelu Na prut nem ºe p sobit neomezen velká síla F, aniº by nedo²lo k jeho kolapsu a ztrát statické funkce Existuje tedy jistá kritická síla F k, p i které dojde ke kolapsu prutu Kritické síly vedoucí ke kolapsu prutu Síla, p i které dojde ke ztrát pevnosti (bereme v potaz pouze namáhání tlakem) Síla p i které dojde je ztrát stability (bereme v potaz pouze namáhání ohybem)

8 Ztráta stability P i p sobení by minimálního zatíºení ve sm ru osy z dojde k (by minimální) deformaci ve sm ru osy z P ímka proloºená vektorem síly F tedy neprochází kaºdým bodem st ednice - dochází k namáhání ohybem Budeme zkoumat moment na deformované konstrukci - teorie II. ádu Na deformované konstrukci vyjád íme moment jako funkci celkového pr hybu w(x) M y (x) = F k w(x),

9 Ztráta stability M y (x) = EI y (x)κ y (x), κ y (x) = w (x), M y (x) = F k w(x), F k w(x) = EI y (x)w (x).

10 Klasický Euler v model - sloup je prizmatický I y (x) l x

11 Ná² model - sloup není prizmatický (má prom nný pr ez) I y (x) l x

12 Interpretace F k pro reálný nosník Ná² model popisuje F k pro p sobení síly pouze v jedné vybrané rovin Pokud je prut rota ní t leso - stejné F k pro libovolný výb r roviny p sobení síly Pokud je prut nerota ní t leso - r zné F k pro libovolný výb r roviny p sobení síly

13 Rovnice popisující fyzikální model Získali jsme rovnici EI y (x)w (x) F k w(x) =, D = {w; w C 2, l, w() = w(l) = }, Kdy dojde ke ztrát stability prutu? Pokud má rovnice pro dané F k nekone n mnoho e²ení

14 Rovnice popisující fyzikální model Z matematického hlediska se jedná o ODR 2. ádu s nulovou pravou stranou Pokud hledáme taková F k, aby úloha m la nekone n mnoho e²ení, e²íme úlohu vlastních ísel - F k ozna me jako λ M ºeme ekvivalentn zapsat w (x) λ w(x) =, w() = w(l) =, EI y (x) Aw = w (x), Bw = 1 EI y (x) w(x), Aw λbw =, w() = w(l) =.

15 Existence a vlastnosti λ Protoºe A a B jsou pozitivn denitní operátory, platí, ºe: Pokud je λ vlastním íslem úlohy, pak má úloha nekone n mnoho e²ení w(x), takzvaných vlastních funkcí Existuje spo etn mnoho, a to kladných reálných vlastních ísel λ, která tvo í rostoucí posloupnost. Platí tedy, ºe první vlastní íslo je nejmen²í ze v²ech vlastních ísel úlohy.

16 Existence a vlastnosti λ I y (x) I y1 I y2 λ 1,Iy1 λ 1,Iy2 I y2 (x) I y1 (x) l x

17 Existence a vlastnosti λ Pokud je λ vlastním íslem úlohy, pak má úloha nekone n mnoho e²ení w(x), takzvaných vlastních funkcí Existuje spo etn mnoho, a to kladných reálných vlastních ísel λ, která tvo í rostoucí posloupnost. Platí tedy, ºe první vlastní íslo je nejmen²í ze v²ech vlastních ísel úlohy. Pokud bychom e²ili dv úlohy, ve kterých bychom volili stejnou hodnotu E, tedy E 1 = E 2 a funkce I y 1 a I y 2 obecn r zné, ale takové, aby I y 1 I y 2, pak pro nejmen²í vlastní ísla úlohy platí, ºe λ 1,I y1 λ 1,I y2. Poznámka - Hledáme pouze λ 1, dal²í vlastní ísla pro nás nemají p ímý fyzikální význam!

18 Analytické e²ení úlohy λ 1 umíme najít analyticky, pokud I y je konstantní funkce w (x) λ EI w(x) =, λ EI = 1 EI y λ, w() = w(l) = λ n = EI y n 2 π 2, n = 1, 2,...,. 2 l Iy(x) K Iy1(x) = K l x

19 Analytické e²ení úlohy I y = kx 2, k R\, w (x) λ Ek x w(x) =, λ 2 Ek = 1 λ, w(a) = w(b) = Ek n λ n = π2 2 Ek ( ( a )) 1, n = 1, 2,..., ln 2 4 b I y(x) k I y1(x) = kx 2, x a, b a a 1 b x

20 Numerické e²ení úlohy - hledání zaru eného dolního odhadu Pro jiné tvary I y neumíme vlastní ísla nalézt analytickým zp sobem Snaºíme se tedy najít dolní odhad λ 1 Moºný postup hledání dolního odhadu λ 1 P edpokládejme, ºe e²íme úlohu s I y 2, pro kterou neumíme najít e²ení analytickým zp sobem P edpokládejme, ºe existuje I y 1, pro které platí I y 1 I y 2, p i emº n jakým zp sobem umíme najít vlastní ísla (nebo op t jejich dolní odhady) úlohy s I y 1 ( I y 1 umíme vy e²it Vlastní ísla úlohy s I y 1 jsou zaru ené dolní odhady vlastních ísel s I y 2 Tyto zaru ené dolní odhady ozna me λ L

21 Numerické e²ení úlohy - hledání zaru eného dolního odhadu I y (x) I y1 I y2 λ 1,Iy1 λ 1,Iy2 I y2 (x) I y1 (x) l x

22 Metoda konstantní aproximace I y (x) nahradíme I y,konst. (x) = K, tak ºe I y,konst. I y I y (x) I y (x) I y,konst. I y K I y,konst. (x) = K l x

23 Metoda po ástech konstantní aproximace I y (x) nahradíme I y,pkonst. (x), tak ºe I y,pkonst. I y I y (x) I y (x) I 2,pkonst. I 1,pkonst. I 3,pkonst. x h 2h l = 3h

24 Metoda po ástech konstantní aproximace Víme, ºe pro úlohu s po ástech konstantní funkci I y (x) existuje nekone n mnoho vlastních ísel této úlohy Zabývejme se vlastními funkcemi této úlohy Na celém, l ale tato vlastní ísla neumíme najít Rozd lme ale, l na otev ené intervaly (, h), (h, 2h)...((K 1)h, Kh), n = 1, 2...K, K N

25 Metoda po ástech konstantní aproximace Na kaºdém z t chto interval umíme ale najít fundamentální systém úlohy - jeho lineární kombinace musí nutn obsahovat ásti vlastních funkcí (pro dané vlastní íslo) na intervalu ((n 1)h, nh) ( ) ( ) λ i,l λ i,l w n = C 1ncos x + C 2nsin x EI n,y (x) EI n,y (x)

26 Metoda po ástech konstantní aproximace Pro vlastní funkce úlohy musí platit spojitost w w 1 () =, w 1 (h) = w 2 (h), w 2 (2h) = w 3 (2h)......w K 1 (Kh) = w K (Kh), w K (l) =.

27 Metoda po ástech konstantní aproximace w(x) w 1 (x) w 2 (x) w 3 (x) w(x) w(x) w(x) x h 2h l = 3h

28 Metoda po ástech konstantní aproximace Pro vlastní funkce úlohy musí platit spojitost w w 1(h) = w 2(h), w 2(2h) = w 3(2h)......w K 1 (Kh) = w K (Kh).

29 Metoda po ástech konstantní aproximace Získáváme soustavu rovnic v je vektor konstant C 1n, C 2n Matice G je t ídiagonální Gv = Protoºe vlastních funkcí musí být nekone n mnoho, musí mít soustava nutn nekone n mnoho e²ení det(g) = Získáváme rovnici jediné prom nné λ i,l Rovnice obsahuje r zné sou ty a sou iny prvk ve tvaru λi,l ω n sin ( nh λ i,l ω n ), λi,l ω n cos ( nh λ i,l ω n )

30 Metoda po ástech konstantní aproximace Rovnici neumíme vy e²it analyticky Musíme pouºít n jakou numerickou metodu - pot ebujeme zaru it, ºe nám numerická metoda poskytne dolní odhad λ 1,L Vyuºijeme toho, ºe funkce je spojitá a platí Bolzanova v ta

31 Metoda po ástech konstantní aproximace x λ 1,L λ 2,L λ 3,L

32 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + x d λ 1,L λ 2,L λ 3,L

33 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + f(2d) > + x d λ 1,L λ 2,L λ 2d 3,L

34 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + f(2d) > + x d 2d λ 1,L λ2,l λ3,l 3d f(3d) <

35 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + d f(2d) > + 3d λ 1,L λ2,l λ3,l 2d = λ 1,LL f(3d) < x

36 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) λ 1,L λ2,l λ3,l x

37 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + d λ 1,L λ2,l λ3,l x

38 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + f(2d) > + 2d d λ 1,L λ2,l λ3,l x

39 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) λ 1,L f(d) > + f(2d) > + 2d x 3d d λ2,l λ3,l f(3d) <

40 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + f(2d) > + 2d d λ 1,L λ2,l λ3,l x 3d 2d λ 1,LL f(3d) <

41 Metoda po ástech konstantní aproximace Aby nám metoda poskytla dolní odhad λ 1,L, musí platit, ºe d λ 2,L λ 1,L Hledáme tedy dolní odhad λ 2,L λ 1,L Tento odhad m ºeme sestrojit podle metod uvedených v láncích pro konstantní I y Nedokázaná hypotéza Vzdálenost prvního a druhého vlastního ísla úlohy s I y,pkonst, je v t²í nebo rovna vzdálenosti prvního a druhého vlastního ísla úlohy s I y,konst, tak ºe I y,konst I y,pkonst.

42 Metoda po ástech konstantní aproximace Funkce f (x) je Lipschitzovsky spojitá f (x C ) f (x D ) < C L x C x D C L = sup(f (x)) na, l

43 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f() f() f(d 2 ) < C L d 2 f(d 2 ) λ 1,L λ2,l λ3,l x d 1 d 2

44 Metoda po ástech konstantní aproximace Ze znalosti λ 1,LL a λ 2,L λ 1,L m ºeme najít λ 2,LL

45 Metoda po ástech konstantní aproximace f(x) f(d) > + d f(2d) > + 3d λ 1,L λ2,l λ3,l 2d = λ 1,LL f(3d) < x

46 Varia ní formulace Úlohu nejd íve formulujeme varia n Roz²í íme mnoºinu funkcí D, mezi kterými hledáme e²ení na H H = H 1 (, l) = {w; 1 (w ) 2 dx <, w() =, w(l) = } Na H zave me skalární sou in (w, v) H = l wvdx

47 Varia ní formulace Dle Galerkinovy metody má varia ní formulace tvar (Aw λbw, v) = v H l l w v dx = λ 1 EI y wvdx

48 Varia ní formulace l l w v dx = λ (w, v) = a(w, v) = l l 1 EI y wvdx 1 EI y wvdx w v dx a(w, v) = λ(w, v)

49 Varia ní formulace Pro varia n formulovanou úlohu platí: Pokud je λ vlastním íslem úlohy, má úloha nekone n mnoho e²ení Varia n formulovaná úloha má stejná vlastní ísla jako klasicky formulovaná úloha V²echny zmín né vlastnosti vlastních ísel z stávají v platnosti Vlastní funkce jsou ortogonální vzhledem ke skalárním sou in m (w, v), a(w, v) Platí Friedrichs-Poincarého nerovnost λ 1,I y w 2 w 2 A, v H

50 Metoda kone ných prvk a(w, v i ) = λ(w, v i ), v i, i = 1...n, n N Za v i budeme volit po ástech lineární funkce Úloha vede k úloze najít zobecn ný vlastní vektor a zobecn ná vlastní ísla matic v rovnici Av λbv =

51 Metoda kone ných prvk Metodou kone ných prvk dostaneme p ibliºnou hodnotu λ 1h Pomocí Friedrichs-Poincarého nerovnosti je moºné ukázat, ºe vºdy platí λ 1 λ 1h

52 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk P edpoklady: 1) Musíme znát dolní odhad λ 2 úlohy, který nazv me λ 2,L, který je ale v t²í neº λ 1 úlohy, tedy < λ 1,LL λ 1 < λ 2,L < λ 2 2) Musíme znát, by t eba velmi hrubý, dolní odhad λ 1 úlohy, který si ozna me λ 1,LL

53 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk λ 1,L = λ 1h (1 λ ( 1h/λ 2,L) 2 1 αh 2 /4) 1 η h 2 a α h = 2 ( 1 ) 1 βh 2 β h = (1 λ 1h/λ 2,L) 1 η h β h < 1

54 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk Podle Rieszovy v ty o reprezentaci platí = λ 1h(w h, v) a(w h, v), v H n, a(η h, v) = λ 1h(w h, v) a(w h, v), v H n.

55 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk Podle Rieszovy v ty o reprezentaci platí = 1 = = a(η h, v) = λ 1h(w h, v) a(w h, v) 1 1 λ 1hw h v dx EI y 1 1 EI y λ 1hw h v dx 1 ( 1 EI y λ 1hw h σ )v dx 1 w h v dx (w h + σ)v dx (w h + σ)v dx σv dx

56 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk Úpravami a dosazením η h za v,dostáváme η h A 1 1 ( 1 λ 1hw h σ λ1,ll EI ) 2 dx + y = 1 λ1,ll 1 λ 1hw h σ EI y + w h + σ 1 (w h + dx σ)2

57 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk w h (x), w h (x), σ(x) w h (x) x l

58 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk w h (x), w h (x), σ(x) w h (x) x w h (x) l

59 Zaru ený dolní odhad získaný metodou kone ných prvk w h (x), w h (x), σ(x) w h (x) x σ(x) w h (x) l

60 Numerické výsledky I y,konst. (x), I y (x) I y (x) = x I y (x) I 2,y = I 1,y = x a = b =

61 Numerické výsledky NUMERICKÉ VYJÁDŘENÍ v kn Počet funkcí konečných prvků Přesná hodnota F_k 773, , , Metoda horního odhadu pomocí MKP 773, , , Metoda dolního odhadu pomocí MKP 758, , , Metoda konstantní aproximace 517, , , Metoda po částech konstantní aproximace 618, , , PERCENTUÁLNÍ VYJÁDŘENÍ (v procentech přesné hodnoty F_k ) Počet funkcí konečných prvků Přesná hodnota F_k Metoda horního odhadu pomocí MKP 1,798 1, ,84 Metoda dolního odhadu pomocí MKP 98, , , Metoda konstantní aproximace 66, , , Metoda po částech konstantní aproximace 79, , ,

62 Numerické výsledky PERCENTUÁLNÍ VYJÁDŘENÍ (v procentech přesné hodnoty F_k ) Počet funkcí konečných prvků Přesná hodnota F_k Metoda horního odhadu pomocí MKP 1,798 1, ,84 Metoda dolního odhadu pomocí MKP 98, , , Metoda konstantní aproximace 66, , , Metoda po částech konstantní aproximace 79, , , ROZDÍLY PERCENTUÁLNÍHO VYJÁDŘENÍ (pro různý počet kon.prvků) Počet funkcí kon. prvků (hrubší odhad)- počet funkcí kon. prvků (jemnější odhad) Metoda horního odhadu pomocí MKP,595932, , ROZDÍLY PERCENTUÁLNÍHO VYJÁDŘENÍ (pro různý počet kon.prvků) Počet funkcí konečných prvků (jemnější odhad) - počet funkcí kon. prvků (hrubší odhad) Metoda dolního odhadu pomocí MKP 1, , ,

63 Záv ry Záv ry

64 D kuji za pozornost