Povídání k šesté sérii

Transkript

1 Povídání k šesté sérii Při řešení úloh 6. série lze většinou elegantně využít tzv. kruhovou inverzi(což neznamená, že by tyto úlohy nešly řešit jinak, většinou ale budou postupy složitější). Účelem tohoto textíku je s kruhovou inverzí Tě seznámit, vyložit zde její nejdůležitější vlastnosti a ukázat některá typická použití. Doporučuji kreslit si při čtení tohoto textu obrázky. Cototedyjekruhováinverze?Jetogeometrickézobrazení předpis,kterýbodům(vnašem případě bodům v rovině) přiřazuje body. K jejímu určení potřebujeme bod S tzv. střed kruhovéinverze akladnéreálnéčíslo r tzv.poloměrkruhovéinverze.bod Xzobrazíme nabod X takto: (1) X ležínapolopřímce SX. (2) SX = r2 SX. Zbývá vyřešit, jak zobrazit bod S při jeho zobrazování právě popsaným postupem bychomtotiždělilinulou,bod S vychází nekonečnědaleko.přidejmeprotokrovinějeden bodvnekonečnu tzv.nevlastníbod.upozorňuji,žejejenjeden ležívevšechsměrech, takže jím prochází například každá přímka. Kruhová inverze zobrazuje bod S na nevlastní bod,nevlastníbodna S. Pro objasnění, proč se nevlastní bod zavádí právě takto, následuje malá motivační vsuvka. Uvažme v prostoru sféru(povrch koule) nad průměrem AB a rovinu dotýkající se sféry vbodě B.Uvažmedálestředovýprůmět(sestředem A) nasféru.pokudberemevrovinějen vlastní(tj. nikoli nevlastní) body, pak se žádný bod nezobrazí na A. Bodu A odpovídá právě ten nevlastní bod. Rozmyslete si, jak v průmětu na sféru vypadají přímky a kružnice, jak se na průmětu projeví provedení kruhové inverze. Tím myslím toto: Provedeme kruhovou inverzi apakrovinupromítnemenasféru.jakýjevztahtohotoprůmětuaprůmětu původní,tj. nezinvertované roviny? Vlastnosti kruhové inverze Při řešení můžete využívat dále uvedených vlastností kruhové inverze. Zkuste se zamyslet nad tím, jak byste je dokazovali. Pokud některý důkaz nevymyslíte a bude vás zajímat, napištenámotom bude-livásvíce,můžesepříslušnýdůkazobjevitvevzorovémřešení této série. A teď už slíbené vlastnosti: (1) Dvojím provedením téže kruhové inverze dostaneme identitu. (2) KružnicesestředemvSsezobrazínakružnicisestředemvS.Speciálně kružnicese středemvsapoloměrem rjesamodružná(tj.zobrazísesamanasebe). (3) Vnitřek samodružné kružnice se zobrazí na její vnějšek a naopak. To znamená, že rovina se jaksi obrátí na ruby kolem samodružné kružnice odtud získala kruhová inverze své jméno. (4) Přímka procházející středem(tj. bodem S) je samodružná. (5) Přímka neprocházející středem se zobrazí na kružnici procházející středem a naopak. (6) Kružnice neprocházející středem se zobrazí na kružnici neprocházející středem. (7) Úhel mezi dvěma křivkami v jejich průsečíku se zachovává, pokud tento průsečík není bod S.

2 Použití kruhové inverze A konečně se dostáváme k tomu nejzajímavějšímu jak lze kruhovou inverzi využít. Poměrně známým užitím jsou tzv. Appoloniovy úlohy. Tak se nazývají úkoly sestrojit kružnici vyhovující třem podmínkám. Každá z podmínek říká buď, že se hledaná kružnice dotýká dané přímky či kružnice, anebo, že prochází daným bodem. Některé Appoloniovy úlohy lze šikovně vyřešit užitím kruhové inverze. Zkusme například sestrojit kružnici dotýkající se dvou daných kružnic a procházející daným bodem(neležícím na žádné z kružnic). Provedeme kruhovou inverzi se středem v daném bodě. Při ní přejdou dané kružnice v kružnice(neboť neprocházejí středem kruhové inverze), hledaná kružnice přejde v přímku, jejich společnou tečnu. A tu už není problém zkonstruovat. Všimněte si, že nezáleží na poloměru, s nímž inverzi provádíme. Tojepoměrněčastýpřípad jdenámjenoto,zdaobrazbudepřímkačikružnice,najejich poloze a velikosti nezáleží. Dále vyřešíme pomocí inverze ještě jeden příklad, jehož řešení klasickými prostředky by bylopoměrněobtížnéazdlouhavé.jedánakružnice kadvarůznébody L, M ležícína k. Kružnice l(resp. m)sedotýká kvbodě L(resp. M),navícse lamdotýkajívbodě B. Jsou-likružnice kabody L, Mpevné,jakájemnožinavšechbodů B? Možnávámnenípřílišjasné,coznamenápojemmnožinavšechbodů B.Mínísetímtoto: sestrojíme kružnice l, m všemi způsoby(podle uvedených podmínek). Útvar vytvořený všemi taktozískanýmibody Bbudemenazývatmnožinavšechbodů B.Úlohaponásžádápopsat nějakýútvarvroviněadokázatoněm,žejetomnožinavšechbodů B.Důkazbyseměl skládatzedvoukroků jetřebadokázatjednak,žekaždýpřípustnýbod Bležívnalezeném útvaru,jednak,žekaždýbodnalezenéhoútvarujebod Bpronějakouvolbukružnic l, m. Nyní už přistupme k řešení úlohy. Doporučuji kreslit si při čtení obrázek. Proveďme kruhovou inverzi se středem L a s libovolným poloměrem. Zinvertované útvary budeme značit čárkovaně.zvolmesinějakoudvojicikružnic l, m.kruhovouinverzídostaneme k, l rovnoběžnépřímky(rozmysletesi,pročjsourovnoběžné)am kružnici,kterásedotýká k v M, l v B.Snadnosipředstavíte(aurčitětakésnadnodokážete),žeje k B M.Tudíž množinavšech B ječástípřímky p kolména k aprocházející M.Toovšemznamená,že množinavšech Bječástíkružnice pprocházející LaM,kolména kvbodě M(neboťúhly se zachovávají). Stejnou úvahou, kde provádíme kruhovou inverzi se středem M, zjistíme, že tatokružnicejekolmána kivbodě L. 1 Zbýváprovéstdruhoučástdůkazu zjistit,zdakaždýbodtétokružnicejebodem Bpro nějakouvolbu lam.zvolíme-linapřímce p libovolněvlastníbod B různýod M,můžeme evidentněsestrojitpřímku l (B l )rovnoběžnousk akružnici m nadprůměrem B M (tasebudedotýkat k i l,neboťtečnajekolmánaspojnicistředusdotykovýmbodem). Provedením kruhové inverze získáme kružnice k, l a m, které mají požadované vlastnosti. Zvolíme-li B = M či B nevlastní (tj. B = L ), měla by m mít poloměr nulový, resp. nekonečný. Zejména druhý případ je trochu těžký na představu(navíc takové kružnice nemáme definovány), proto postupujme jinak. Tyto možnosti odpovídají tomu, že bod B splývásjednímzbodů L, Matedyjednazkružnic l, mmánulovýpoloměr,druhásplývá s k. Pokud povolujeme i kružnice degenerované v bod a považujeme dvě shodné kružnice za 1 tojeostatněvidětizesymetriekružnice

3 dotýkající se(dohodněme se, že obojí budeme činit), budou i body L, M možnou polohou bodu B. V souhrnu jsme tedy zjistili, že množina všech bodů B je kružnice, která prochází body L, M ajenakružnici kvtěchtobodechkolmá.ztétokolmostijepatrnáipolohastředu tétokružnice jetoprůsečíktečenke kvlavm. Upozornění: V právě skončeném řešení je jedna malá chyba. Odhalíte ji? Téma: Termínodeslání: 6. série Kruhová inverze º ÞÒ ¾¼¼½ ½º ÐÓ Ó Ýµ Nechťjedánbod B,bod Sapoloměr r.najdětemnožinuvšechbodů Asvlastností A B = AB,kde A (resp. B )jeobrazbodu A(resp. B)vkruhovéinverzisestředemvbodě S a poloměrem r. ¾º ÐÓ Ó Ýµ Mějmedvěprotínajícísekružnice k 1 a k 2,jejichžtečnyvprůsečícíchjsounasebekolmé, akružnici l,kteráprocházístředemkružnice k 2.Nechťprůsečíkykružnice lsk 1 a k 2 jsou čtyřirůznébody(k 1 l={a, B}, k 2 l={c, D}).Nechť(přímka) AB k 2 = {P, Q}, CD k 1 = {R, S}.Ukažte,že PRQSjetětivovýčtyřúhelník. º ÐÓ Ó Ýµ Nechťkružnice k, lsestředy S, T seprotínajívedvourůznýchbodech A, B.Nechťpřímka ASprotínákružnici lvbodě C A,nechťpřímka AT protínákružnici kvbodě D A. Dokažte, že přímka AB prochází středem kružnice opsané trojúhelníku ACD. º ÐÓ Ó µ Jsoudánytřirůznébody A, B, C.Uvažmevšechnydvojicekružnic k, ltakové,že kprochází body A, B,dále lprocházíbody B, Catečnykružnic kalvbodě Bjsounasebekolmé. Najděte množinu průsečíků(různých od B) všech možných takových dvojic k a l. º ÐÓ Ó µ Nechťjepevnědanákružnice k sestředem S apoloměrem r anechťjedálepevnědán libovolnýbod U.Uvažujmelibovolnoukružnici l,kteráprocházíbody Sa Uaprotíná kve dvoubodech A l, B l.jakýchhodnotmůženabývatsoučin UA l UB l?

4 º ÐÓ Ó µ Zobrazte daný bod v kruhové inverzi jen pomocí kružítka. Přesněji řečeno: na papíře jsou vyznačenybod X,bod Sakružnice k(s, r).popištekonstrukcibodu X,obrazubodu X vkruhovéinverzisestředem Sapoloměrem r,jenpomocíkružítka. º ÐÓ Ó µ Nechťkružnice k 1 a k 2 seprotínajívedvoubodech Ua V. Pbuďlibovolnýbodna k 1 uvnitř k 2 a Qlibovolnýbodna k 2 uvnitř k 1.Přímka UP protíná k 2 vbodě R Ua UQprotíná k 1 vbodě S U.Buď T U průsečíkpřímky UV skružnicíopsanoutrojúhelníku UPQ. Dokažte,žepak PR QT = PT QS. º ÐÓ Ó µ Nechťjedántrojúhelník ABC.Označme Sstředjemuvepsanékružnice laoznačme P, Q, R dotykové body kružnice l po řadě se stranami BC, AC, AB. Buď k kružnice opsaná středům strantrojúhelníku PQR.Buď X Cprůsečíkpřímky CSakružniceopsanétrojúhelníku ABC,buď Y průsečíkúsečky SXakružnice k.buď Zjedenzprůsečíkůkružnice lakolmice kpřímce CXvedenébodem Y.Dokažte,žepřímka XZsedotýkákružnice l. Řešení 6. série 1. úloha Nechťjedánbod B,bod Sapoloměr r.najdětemnožinuvšechbodů Asvlastností A B = AB,kde A (resp. B )jeobrazbodu A(resp. B)vkruhovéinverzisestředemvbodě S a poloměrem r. Budemepředpokládat,že B S,jinakúlohazřejměnemásmysl.Stejnětakjejasné,že stačíhledatbody A S.Nejprvedokážemepomocnélemma,kterésenámbudehoditipři řešení dalších úloh: Lemma:Provzdálenostobrazů A, B bodů A S, B Svkruhovéinverzipodlekružnice opoloměru rastředu Splatí A B r 2 = AB AS BS. Důkaz: Jelikož SA SA = r 2 = SB SB, jsou trojúhelníky SA B a SBA podobné 2 s koeficientem podobnosti α:= SB r 2 = SA SA SB. 2 Mohlobysestát,žebody S, AaB ležínajednépřímceanetvořítedytrojúhelník, následující úvahy o podobnosti však zůstávají v platnosti i v tomto případě.

5 Takže A B =α AB,cožjsmemělidokázat. Jistě AB = A B,právěkdyž α=1nebo AB =0,tj. SA SB =r 2 nebo A=B. Množinavšechbodů Ajetedykružnicesestředem Sapoloměrem r 2 / SB,kekteréjepřidán navícbod B. Poznámky opravovatele: Většina řešitelů zapomněla na bod A = B. Za toto pochybení jsem strhával jeden bod. Hodně řešitelů si také neuvědomilo, že úloha má dvě části. Je potřeba ukázatnejen,ževšechnybodynakružnici(abod B)splňujírovnost AB = A B,aletaké, že ostatní body tuto rovnost nesplňují. A tak přestože šlo o velice jednoduchou úlohu, plný počet bodů získal jen málokdo. Za diskutování případu B = S jsem dával +i. 2. úloha Mějmedvěprotínajícísekružnice k 1 a k 2,jejichžtečnyvprůsečícíchjsounasebekolmé, akružnici l,kteráprocházístředemkružnice k 2.Nechťprůsečíkykružnice lsk 1 a k 2 jsou čtyřirůznébody(k 1 l={a, B}, k 2 l={c, D}).Nechť(přímka) AB k 2 = {P, Q}, CD k 1 = {R, S}.Ukažte,že PRQSjetětivovýčtyřúhelník. Uvažujmekruhovouinverzipodlekružnice k 2.Kružnice k 2 jezřejměsamodružná,kružnice k 1 sezřejmězobrazínanějakoukružnici(nebopřímku),kterápodlevlastnostizachovávání úhlůvprůsečícíchprotínákolmokružnici k 2 vestejnýchbodechjako k 1.Odtudužjevidět, žekružnice k 1 sezobrazísamanasebe(ovšembodyzvnějšku k 2 sezobrazínabodyzvnitřku anaopak).kružnice lsezřejmězobrazínapřímku CD.Zjistímeobrazybodů P, Q, RaS. Body P a Qsezobrazísamynasebe.Body RaS průsečíkykružnice k 1 apřímky CD se musí(díky zachování incidence při zobrazení kruhovou inverzí) zobrazit na body A a B průsečíkykružnice k 1 (kterájesvýmvlastnímobrazem)akružnice l(obrazpřímky CD). Zjistilijsme,žeobrazybodů P, Q, RaSjsoubody P, Q, AaB,kteréležínajednépřímce (která zřejmě neprochází bodem S, to by totiž protínala kružnici l ve třech různých bodech, cožnenímožné).odtudjezřejmé,žebody P, Q, RaSležínajednékružnici(pořadítěchto bodů, jak snadno nahlédneme z obrázku, je správné). Poznámka: Poznamenejme, že vlastnost zformulovanou v zadání má libovolná trojice kružnic k 1, k 2 a l(pokudsekaždédvěznichprotínají).předpokladkolmosti k 1 a k 2 atoho,že l prochází bodem S byl zadán jen proto, aby bylo možné velmi elegantně využít kruhovou inverzi. Obecná varianta má celkem elegantní řešení, využívající mocnosti bodu ke kružnici a pojmuchordály.větuomocnostibodukekružnicijižznámezeseriálu(vizvěta19),připomeneme tedy ještě pojem chordály: Definice: Buď k a l dvojice kružnic. Pak jejich chordálou rozumíme množinu bodů v rovině, jejichžmocnostikekružnicím kaljsoustejné. Zajímavé je, že chordála každé dvojice kružnic je přímka (dokazovat to zde však pro úsporu místa nebudeme, přenecháváme to tedy zvídavému čtenáři). Pokud se tyto dvě kružnice protínají, pak je to zjevně přímka procházející jejich průsečíky(ty mají totiž mocnosti k oběma kružnicím nulové, tedy shodné).

6 Nyní se již můžeme pustit do alternativního řešení. Přímka AB je chordálou dvojice kružnic k 1 a l,přímka CDjechordáloudvojicekružnic k 2 a l.průsečíktěchtodvoupřímek (označmeho Z)mátedystejnoumocnost(označmeji m)kevšemtřemkružnicím k 1, k 2 a l,takžezřejměplatí ZP ZQ =m= ZR ZS.Odtudjejižzvětyomocnostibodu kekružnicijasné,žekružniceopsanábodům P, QaRprocházíbodem S.Tatokružnice totižprotínápřímku CDvnějakémbodě S,prokterýplatí m= ZR ZS.Bod Stuto vlastnostmá,navícvidíme,že S jejednoznačněurčenposlednírovnostíatedymusíbýt roven S. 3. úloha Nechťkružnice k, lsestředy S, T seprotínajívedvourůznýchbodech A, B.Nechťpřímka ASprotínákružnici lvbodě C A,nechťpřímka AT protínákružnici kvbodě D A. Dokažte, že přímka AB prochází středem kružnice opsané trojúhelníku ACD. Doporučuji kreslit si při čtení obrázek. Označme m kružnici opsanou trojúhelníku ACD a označme U její střed. Potřebujeme ukázat, že přímka AB prochází bodem U, což zřejmě nastaneprávětehdy,kdyžbudepřímka AB kolmánatečnykekružnici mvpříslušných průsečících. Abychom toto ukázali, provedeme kruhovou inverzi se středem v bodě A a s libovolnýmpoloměrem r >0.Obrazybodůakružnicbudemeznačit čárkovaně.kružnice k, lampřejdouvkruhovéinverzinapřímky k = B D, l = B C a m = C D.Přímka ACpřejdevkruhovéinverzivpřímku AC,kterájekolmána B D (podleúvoduktétosérii seúhlymezikřivkamizachovávají).podobněpřímka ADpřejdenapřímku AD kolmouna B C.Jetedyjasné,žebod A(průsečíkpřímek AC a AD )jeprůsečíkvýšektrojúhelníku B C D.Jetedyzřejmé,žepřímka AB jekolmánapřímku m = C D,aopětovnýmprovedením kruhové inverze znovu podle vlastnosti zachovávání úhlů v průsečících dostaneme, že přímka ABjekolmánatečnukekružnici mvjejichprůsečíku(různémod A).Tedypřímka AB prochází bodem U, což jsme měli dokázat. 4. úloha Jsoudánytřirůznébody A, B, C.Uvažmevšechnydvojicekružnic k, ltakové,že kprochází body A, B,dále lprocházíbody B, Catečnykružnic kalvbodě Bjsounasebekolmé. Najděte množinu průsečíků(různých od B) všech možných takových dvojic k a l. Označme mhledanoumnožinubodů, M nějakýbod m.uvažujmenachvílitudvojici kružnic kal,kterévyhovujípodmínkámzadáníaprotínajísevbodě M.Proveďmekruhovou inverzisestředemvbodě Balibovolnýmpoloměrem.Obrazybodůakružnicvtétokruhové inverzibudemeznačit čárkovaně.podlevlastnostíuvedenýchvúvoduktétosériibude k přímkaprocházejícíbodem A, l budepřímkaprocházejícíbodem C a M budejejich průsečík.navícpřímky k a l jsounasebekolmé(jelikožtečnykružnic kalbylyvbodě M nasebetakékolmé).bod M tedyležípodlethaletovyvětynakružnicisprůměrem A C. Opětovným provedením téže kruhové inverze tedy dostáváme, že bod M leží na obrazu této kružnice, což je kružnice nebo přímka, která prochází body A a C. Snadno nahlédneme, že jetopřímkaprávětehdy,kdyžbod B(středkruhovéinverze)ležínakružnicisprůměrem

7 A C,tedyprávětehdy,kdyžúhel ABC= A BC jepravý.zjistilijsme,že mječástí jistékružnicenebopřímky,musímenynízjistit,zdananínebudou chybět nějakébody. Uvažujmelibovolnýbod M (různýod B)nakružnicinadprůměrem A C.Označme k přímku A M, l přímku C M.Pokudanijednaztěchtopřímekneprocházíbodem B,jejich obrazyvkruhovéinverzibudouvyhovujícíkružnice k a labod M budedomnožiny m patřit.pokudvšakbod Bležínapř.napřímce k,jejíobrazjepřímka k,takžeodpovídající bod Mdomnožiny mnebudepatřit nedostanemehojakoprůsečíkdvoukružnic 3.Snadno zjistíme,ževpřípadě,žeúhel ABCjepravýi,totonikdynenastaneatedy mbudecelá přímka AC(viz obrázek). V případě, že ABC není pravý, budou na hledané kružnici chybět dvabody(vizobrázek).tysnadnonajdemejakoprůsečíkpřímky k=ab(resp. l=bc) sodpovídající kolmou kružnicí l(resp. k).tytobodylzesnadnozkonstruovat,např.jako průsečíkkolmicekpřímce AB(resp. BC)vbodě A(resp. C)spřímkou BC (resp. AB), detailysičtenářrozmyslí. 4 Nalezenímtěchtobodůjsmezároveňurčilihledanoukružnici(bez dvou bodů) m, jelikož jsme našli čtyři body, kterými prochází. Výjimkou je případ, kdy body A, Ba Cležínajednépřímce,paktotiž chybějící bodysplynousbody AaCakurčení hledané kružnice je potřeba využít například symetrie hledané kružnice vůči přímce AC. m k k B l M A B C A M C m l Poznámky opravovatele: Nejčastější chybou řešení byla následující úvaha: Nechť M je některýzhledanýchbodů.pakhozinvertujemepodlestředu Bazjistíme,že M ležínathaletověkružnicinadprůměrem A C.Tedymnožinavšechhledanýchbodů Mjecelákružnice (nebo přímka) obraz zmíněné Thaletovy kružnice. Tato úvaha je zjevně chybná, nikdo nám nezaručí, že body M nám vyčerpají celou Thaletovukružnicinadprůměrem A C.Tobychommohlianalogickyargumentovattím,že M ležíurčitěněkdevrovině,takžemnožinahledanýchbodů Mjecelárovina. 3 Pokudbychomsevšakdohodli,žebudemeitento degenerovaný případpřímkypovažovat za kružnici, bude i tento odpovídající bod do m patřit. 4 Takysizkusrozmyslet,žespojnicetěchtodvouchybějícíchbodůtvoříprůměrhledané kružnice.

8 Několik řešení se spokojilo se zjištěním, že hledaná množina bodů je kružnice(resp. část kružnice či přímka), někteří navíc konstatovali, že prochází body A a C, to však není zrovna přesná charakterizace v rovině existuje nekonečně mnoho takových kružnic. Jako drobnou vadu na kráse(strhnutí i-ček) jsem hodnotil, když řešitel tuto kružnici charakterizoval tak, že zkonstruoval jeden nebo několik pomocných bodů pomocí kruhové inverze. Takováto charakterizace nám totiž nedává přesnou představu o tom, jak zmíněná kružnice vypadá, dokud pomocné body nezkonstruujeme úloha Nechťjepevnědanákružnice k sestředem S apoloměrem r anechťjedálepevnědán libovolnýbod U.Uvažujmelibovolnoukružnici l,kteráprocházíbody Sa Uaprotíná kve dvoubodech A l, B l.jakýchhodnotmůženabývatsoučin UA l UB l? Pokud U= S,paksoučin UA l UB l můženabývatjedinéhodnoty r 2.Dálepředpokládejme U S.Uvažujmekružnici l,kteráprocházíbody Sa Uaprotínádanoukružnici kvbodech A l a B l.proveďmekruhovouinverzisestředemvbodě Sapoloměrem r(podle danékružnice k).označmevšechnyobrazy čárkovaně.kružnice kjesamodružná.kružnice lsezobrazínapřímku l procházejícíbodem U.Podlevětyomocnostibodukekružnici(viz Věta19zeseriálu)velikostsoučinu U A l U B l nezávisínazvolenépřímce l(ajerovna číslu U S 2 r 2 ).Podlelemmatuzprvníúlohyje U A l = UA l r/ US a U B l = UB l r/ US.Tedy UA l UB l = U A l U B l US 2 /r 2 =( U S 2 r 2 ) US 2 /r 2 = r 2 US 2. Hledanýsoučintedymůženabývatjedinéhodnoty,jevždyrovenčíslu r 2 US 2.Dostali jsme tedy zajímavou analogii věty o mocnosti bodu ke kružnici. Poznámky opravovatele: Téměř všichni řešitelé použili kruhovou inverzi obdobně jako ve vzorovémřešeníapřevedliúlohunavětuomocnostibodukekružnici.většinaznichsi zvolilalibovolnéumístěníbodu Uvněkružnice k,atakzbytečněpřišlaodvabody. 6. úloha Zobrazte daný bod v kruhové inverzi jen pomocí kružítka. Přesněji řečeno: na papíře jsou vyznačenybod X,bod Sakružnice k(s, r).popištekonstrukcibodu X,obrazubodu X vkruhovéinverzisestředem Sapoloměrem r,jenpomocíkružítka. Symbolem k(a, a) budeme označovat kružnici se středem A a poloměrem a, symbolem s(ab) střed úsečky AB a kružnici k(s, r) označíme k. Nejprve popíšeme tři pomocné konstrukce. (K1)Jsoudánybody A, B,jejichžvzdálenostje x.sestrojtebod Ctakový,že B= s(ac). Sestrojímebody E 1, E 2 jakovrcholyrovnostrannýchtrojúhelníkůsezákladnou AB.Poté sestrojíme bod C jakovrcholrovnostrannéhotrojúhelníkusezákladnou E 1 E 2 tak,že C ležínapolopřímce AB.Body A, B, Cležínaoseúsečky E 1 E 2,vzdálenost E 1 E 2 = 3x, vzdálenost AC = x 2 + 3x 3 2 =2x. (K2)Jsoudánybody A, B,jejichžvzdálenostje x.sestrojtebod D=s(AB).

9 Nejprvekonstrukcí(K1)sestrojímebod C.Nechť {F 1, F 2 }=k(c,2x) k(a, x), D k(f 1, x) k(f 2, x), D A.Nynídokážemesprávnostpostupu.Body A, B, Dležínaose úsečky F 1 F 2.Nechť G=s(AD), H= s(af 1 ),pak F 1 G AB, CH AF 1,aproto AF 1 G ACH.Zpoměrustrandostaneme AG = AH AC AF 1 = x 4,tedy AD =2 AG = x 2. (K3)Jsoudánybody A, B,jejichžvzdálenostje x.sestrojtebod X,kterýležínapolopřímce ABajehožvzdálenostod Aje nx,kde n N, n >2. Stačí vhodně opakovat konstrukci(k1)... Nyní k vlastní konstrukci. Podle polohy zobrazovaného bodu X vůči kružnici k rozlišíme dva případy: (i) SX > r.nechť P= s(sx), t=k(p, SP ), {T 1, T 2 }=t k.potom X = s(t 1 T 2 )(tento bodumímesestrojitpodle(k2)).zjevněbod X ležínapolopřímce SX.Jelikož tjethaletova kružnice,jeúhel ST 1 Xpravý,aprotože X jestředemzákladnyrovnoramennéhotrojúhelníku SPT 1,je T 1 X výškoutohototrojúhelníka.podleeukleidovavztahuje SX SX = ST 1 2 = r 2. (ii) SX r.tentopřípadpřevedemenapřípad(i)takto:určitěexistuje ntakové,žebod Y napolopřímce SX,kterýsplňuje SY =n SX,ležívněkružnice k(umímehosestrojit podle(k3) postupně budeme sestrojovat příslušné body ve vzdálenostech 2 SX, 3 SX,... takdlouho,ažsedostanemevněkružnice k).obraz Y bodu Y vkruhovéinverzipodle kjižumímesestrojitpodle(i).obraz X bodu Xsestrojímenapolopřímce SY podle(k3) tak,aby SX =n SY. Poznámky opravovatele: Úloha se skládala ze dvou konstrukcí. Jedna zobrazovala body vzdálené od středu kružnice více než r/2(resp. r) a druhá vhodně převedla ostatní případy na tento. Jak už to tak někdy bývá, přijde se po zveřejnění autorského řešení na řešení jednodušší. Tak tedy první konstrukce může být následující: Sestrojíme kružnici k(x, SX ). Ta protne kružnici k(s, r) ve dvou bodech A 1,A 2 a X = k(a 1, r) k(a 2, r), X S. Toto řešení i se správným důkazem poslalo několik řešitelů. Jiní řešitelé konstruovali úsečky různých délek, s jejichž pomocí pak sestrojili hledaný bod, nebo postupovali podobně jako autorské řešení. Zasprávnouprvníkonstrukciiskorektnímdůkazemjsemdával3body,zadruhou2body. Za velmi krátké a elegantní řešení jsem Daně Chromíkové dal +i a některým řešitelům jsem za zdlouhavé či chaotické řešení imaginární body strhával. 7. úloha Nechťkružnice k 1 a k 2 seprotínajívedvoubodech Ua V. Pbuďlibovolnýbodna k 1 uvnitř k 2 a Qlibovolnýbodna k 2 uvnitř k 1.Přímka UP protíná k 2 vbodě R Ua UQprotíná k 1 vbodě S U.Buď T U průsečíkpřímky UV skružnicíopsanoutrojúhelníku UPQ. Dokažte,žepak PR QT = PT QS. Označmesi k 3 kružniciopsanoubodům U, P, Q(a T).Proveďmekruhovouinverzise středem v U a libovolným poloměrem r > 0. Obrazy v kruhové inverzi budeme značit čárkovaně.snadnonahlédneme,ževšechnytřikružnice k 1, k 2 a k 3 přejdouvpřímky,navíc

10 přímky UQ, UV a UP zůstanou přímkami. Odtud je vidět, že po provedení zmíněné kruhové inverzedostanemetrojúhelník UP Q avněmpříčky UT, P S a Q R,kteréseprotínají vjedinémbodě V.PodleCèvovyvěty(kterouznámezprvníhodíluseriálu)platí UR R P P T T Q Q S S =1. ( ) U Mámedokázat,že PR QT = PT QS,stačítedydokázat PT PR QS QT =1.Abychom ktomumohlivyužítrovnost( ),stačísivyjádřit nečárkované vzdálenostipomocí čárkovaných.ktomuužijemelemmazprvníúlohy.podlenějplatí(uvědommesi,žedvojí provedenítéžekruhovéinverzejeidentita,takželze nečárkované bodypovažovatzaobrazy čárkovaných ) PT = P T r 2 P U T U. PR = P R QS = Q S QT = Q T r 2 P U R U. r 2 Q U S U. r 2 Q U T U. Dosazením těchto 4 vztahů a drobnou úpravou nám skutečně vyjde(s využitím vztahu( )) Tím je úloha dokázána. PT PR QS QT = UR R P P T T Q Q S S =1. U Poznámky opravovatele: Většina řešitelů používala postup uvedený v autorském řešení, tedy nejprve provedli kruhovou inverzi, při které se oblouky kružnic převedly na přímky, a poté užili Cèvovu větu pro trojúhelníky. Jen několik výjimek si tento postup zkomplikovalo tím, že nepoužily kruhovou inverzi hned na počátku celého řešení a pracovaly tudíž s kruhovými oblouky. Po dosti úmorných výpočtech(několikanásobné využití kosinové věty) se ovšem také dostaly k cíli. Použití kruhové inverze bylo v tomto případě elegantnější než postup bez ní. 8. úloha Nechťjedántrojúhelník ABC.Označme Sstředjemuvepsanékružnice laoznačme P, Q, R dotykové body kružnice l po řadě se stranami BC, AC, AB. Buď k kružnice opsaná středům strantrojúhelníku PQR.Buď X Cprůsečíkpřímky CSakružniceopsanétrojúhelníku ABC,buď Y průsečíkúsečky SXakružnice k.buď Zjedenzprůsečíkůkružnice lakolmice kpřímce CXvedenébodem Y.Dokažte,žepřímka XZsedotýkákružnice l.

11 Označme Dstředstrany QR.Zesymetrie QRpodlepřímky ASplyne,že Dležínapřímce AS a úhel ADQ je pravý. Podle Eukleidovy věty o odvěsně pro pravoúhlý trojúhelník AQS dostáváme SD SA = SQ 2 a tedy bod D je obraz bodu A v kruhové inverzi podle kružnice l. Analogicky lze postupovat pro ostatní středy stran v trojúhelníku P QR a nakonec dostaneme, že kružnice k je obrazem kružnice opsané trojúhelníku ABC v kruhové inverzipodlekružnice l.pakjealejasnézdefinicebodů Xa Y (ležínastejnépolopřímce vycházejícízbodu S, X ležínakružniciopsanétrojúhelníku ABC, Y ležína k),že Y je obrazem bodu X ve zmíněné kruhové inverzi a tedy(podle definice kruhové inverze) platí SX SY =r 2 = SZ 2.ZnovupodleEukleidovyvětyoodvěsněprotrojúhelník SZX dostáváme,žemusíbýtpravoúhlý,tedypřímka XZjekolmána SZajetedytečnoukružnice lvbodě Z.