Michal Garlík. Topologie v teorii relativity
|
|
- Silvie Soukupová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Michal Garlík Topologie v teorii relativity Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. Studijní program: Fyzika, obecná fyzika 2009
2 Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu této práce, RNDr. Otakaru Svítkovi, Ph.D., za trpělivost a ochotu při vedení práce a za to, že mi umožnil věnovat se topologii v bakalářské práci fyzikálního zaměření. Můj vděk patří též mým rodičům, za umožnění studia a podporu v něm. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Michal Garlík 2
3 Obsah Úvod 5 1 Kauzální struktura Minkowskiho prostoročasu Minkowskiho prostoročas - základní pojmy Kauzální relace a Zeemanův teorém Topologie Minkowskiho prostoročasu Euklidovská topologie Topologie, které v M souhlasí s euklidovskou Metrická topologie P-topologie Homeomorfismy v P-topologii 26 Závěr 29 Literatura 31 3
4 Název práce: Topologie v teorii relativity Autor: Michal Garlík Katedra: Ústav teoretické fyziky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. vedoucího: Otakar.Svitek@mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme topologií Minkowskiho prostoročasu a jejím vztahem ke kauzální struktuře. Standardně se uvažuje pouze euklidovská topologie, která však není z fyzikálního hlediska nijak přirozená. Podáváme přehled nejčastěji uvažovaných topologií v Minkowskiho prostoročasu a rozebíráme jejich základní vlastnosti. Nejvíce se věnujeme P-topologii, mezi jejíž fyzikální přednosti patří mimo jiné to, že grupa homeomorfismů je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. P-topologie je tak fyzikálně přirozenější a byla zobecněna i do obecné teorie relativity. Klíčová slova: Minkowskiho prostoročas, topologie, Lorentzova grupa, speciální teorie relativity Title: Topology in the Theory of Relativity Author: Michal Garlík Department: Institute of Theoretical Physics Supervisor: RNDr. Otakar Svítek, Ph.D. Supervisor s address: Otakar.Svitek@mff.cuni.cz Abstract: In the present work we study topologies of Minkowski spacetime and their relation to the underlying causal structure. This issue is frequently neglected and usually only the Euclidean topology is considered. Apart from the survey of the most common topologies and their properties we pay special attention to the P-topology. Namely, we show that its group of homeomorphisms naturally leads to dilations, translations and Lorentz transformations. In this way, the P-topology is much more natural and has already been generalized to curved spacetimes. Keywords: Minkowski space, topology, Lorentz group, special relativity 4
5 Úvod Zkoumání kauzální struktury prostoročasu patří mezi důležité úkoly fyziky. Kauzální relace mezi body prostoročasu interpretujeme jako popis toho, které události mohou ovlivnit danou událost a které události jsou danou událostí ovlivněny. V roce 1964 E. C. Zeeman publikoval pozoruhodný článek [10], ve kterém ukázal, že z kauzální struktury Minkowskiho prostoročasu už vyplývá i jeho lineární struktura: kauzalitu definoval jako uspořádání na Minkowskiho prostoročasu a dokázal, že grupa automorfismů zachovávajících toto uspořádání je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. Zároveň podrobil kritice euklidovskou topologii, standardně používanou v Minkowskiho prostoročasu, protože kauzalitu nijak nerespektuje. Ve svém následujícím článku [11] pak Zeeman navrhl euklidovskou topologii nahradit novou Fine-topologií, kterou definoval jako nejjemnější topologii Minkowskiho prostoročasu takovou, že indukuje euklidovskou topologii na každé časupodobné přímce a indukuje euklidovskou topologii na každé prostorupodobné nadrovině. Tato topologie byla motivována tím, aby v každém bodě oddělovala časupodobné vektory od prostorupodobných, jako to činí světelný kužel. Zeeman o ní ukázal, že spojité křivky v Minkowskiho prostoročasu s Fine-topologií se skládají z konečně mnoha časupodobných úseček (tedy pouhý požadavek spojitosti křivky dává křivce fyzikální význam) a že grupa homeomorfismů Fine-topologie je generována dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi. Fine-topologie ale neměla spočetnou bázi okolí bodu, což ji činilo nevhodnou pro praktické výpočty. V ještě nepublikovaném článku [8] z roku 2008 dokazuje N. B. Sáinz, že Fine-topologie, tak jak ji definoval Zeeman, nemůže existovat. Důvod této časové prodlevy spatřuje Sáinz v tom, že Fine-topologii pro její nepraktičnost asi nikdo nezkusil použít k opravdovým výpočtům. Po Zeemanově objevu se začaly zkoumat další alternativní topologie Minkowskiho prostoročasu s fyzikálním významem. Zvláště se hledaly takové topologie, jejichž grupa homeomorfismů je generovaná dilatacemi, translacemi a Lorentzovými transformacemi, jako tomu bylo u Fine-topologie. Tuto vlastnost ukazuje S. Nanda v článcích [6] a [7], pro s-topologii (nejjemnější topologie indukující euklidovskou topologii na každé prostorupodobné nadrovině) a pro t-topologii (Nanda ji definoval pomocí báze okolí bodu tvořené množinami N P ε (x), které budeme definovat v podkapitole 2.4). V roce 1976 publikovali S. W. Hawking, A. R. King a P. J. McCarthy článek [4], kde definují P-topologii už v obecné relativitě jako nejjemnější topologii indukující euklidovskou topologii na každé (ne nutně hladké) časupodobné křivce. V Minkowskiho prostoročasu je P-topologie shodná s t-topologií definovanou Nandou, 5
6 ale díky nové definici Hawkinga, Kinga a McCarthyho se podařilo o P-topologii dokázat mnoho fyzikálně i matematicky zajímavých tvrzení. Zaměříme se na ně v této práci. 6
7 Kapitola 1 Kauzální struktura Minkowskiho prostoročasu 1.1 Minkowskiho prostoročas - základní pojmy Minkowskiho prostoročas je 4-dimenzionální reálný vektorový prostor M na němž je definovaná nedegenerovaná symetrická bilineární forma g signatury (+, +, +, ), nazvaná Minkowskiho skalární součin. Existuje tedy ortonormální báze {e 1, e 2, e 3, e 4 } splňující g(e i, e i ) = 1 pro i {1, 2, 3} a g(e 4, e 4 ) = 1. Indexujme dále prvky každé ortonormální báze {ê 1, ê 2, ê 3, ê 4 } prostoru M tak, aby g(ê 4, ê 4 ) = 1. Prvky M chápeme jako události, o ortonormální bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } mluvíme jako o vztažné soustavě. Pro x = x a e a pohlížíme na trojici (x 1, x 2, x 3 ) jako na prostorové souřadnice a na (x 4 ) jako na časovou souřadnici události x vůči vztažné soustavě {e 1, e 2, e 3, e 4 }. Vektor v M nazýváme časupodobný, je-li g(v, v) < 0, světlupodobný, je-li g(v, v) = 0 a prostorupodobný je-li g(v, v) > 0. Dále budeme chtít dobře definovat časovou orientaci časupodobných a světlupodobných vektorů. K tomu pomůže následující lemma. Lemma 1.1. Necht v je časupodobný a w je časupodobný nebo světlupodobný a nenulový. Necht {e 1, e 2, e 3, e 4 } je ortonormální báze prostoru M a v = v a e a, w = w a e a. Potom nastane právě jedna z následujících možností: (a) v 4 w 4 > 0 & g(v, w) < 0 (b) v 4 w 4 < 0 & g(v, w) > 0. Důkaz. Podle předpokladu máme g(v, v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 0 a g(w, w) = (w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 (w 4 ) 2 0. Vynásobením nerovností dostáváme (v 4 w 4 ) 2 > ((v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 +(v 3 ) 2 )((w 1 ) 2 +(w 2 ) 2 +(w 3 ) 2 ) (v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 ) 2, kde poslední nerovnost plyne ze Schwartzovy nerovnosti. Dostáváme v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, tedy v 4 w 4 0. Pokud v 4 w 4 > 0, tak v 4 w 4 = v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3, tedy g(v, w) < 0. Podobně, pokud v 4 w 4 < 0, tak v 4 w 4 = v 4 w 4 > v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ), tedy g(v, w) > 0. Definujme binární relaci ρ na množině všech časupodobných vektorů prostoru M takto: (x, y) ρ g(x, y) < 0. Díky předchozímu lemmatu se lehce ukáže, 7
8 že ρ je relace ekvivalence a že má právě dvě třídy ekvivalence. Vyberme jednu z těchto dvou tříd ekvivalence a nazývejme její prvky časupodobné vektory orientované do budoucnosti, prvky druhé třídy ekvivalence nazývejme časupodobné vektory orientované do minulosti. Všimněme si, že množina časupodobných vektorů orientovaných do budoucnosti (resp. orientovaných do minulosti) je uzavřená na součet a na násobení kladným reálným číslem. K zavedení časové orientace světlupodobných vektorů si rozmyslíme následující tvrzení. Lemma 1.2. Bud x nenulový světlupodobný vektor. Potom g(x, v) má stejné znaménko pro všechny časupodobné vektory v orientované do budoucnosti. Důkaz. Sporem, necht v, w jsou časupodobné vektory orientované do budoucnosti a g(x, v) < 0, g(x, w) > 0. Pro ṽ = g(x,w) g(x,v) v platí, že je to časupodobný vektor orientovaný do budoucnosti a g(x, ṽ) = g(x, w). Tedy g(x, ṽ + w) = 0. To je ale ve sporu s lemmatem 1.1, protože ṽ + w je časupodobný vektor. To nám umožňuje definovat: nenulový světlupodobný vektor x je orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti), jestliže g(x, v) < 0 (resp. g(x, v) > 0) pro všechny časupodobné do budoucnosti orientované vektory v. Dále zaved me: světelný kužel v bodě x 0 : C N (x 0 ) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0}, budoucí světelný kužel v bodě x 0 : C + N (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0 & x x 0 orientovaný do budoucnosti }, minulý světelný kužel v bodě x 0 : C N (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) = 0 & x x 0 orientovaný do minulosti }, časový kužel v bodě x 0 : C T (x 0 ) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0}, budoucí časový kužel v bodě x 0 : C + T (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0 & x x 0 orientovaný do budoucnosti }, minulý časový kužel v bodě x 0 : C T (x 0) = {x M; g(x x 0, x x 0 ) < 0 & x x 0 orientovaný do minulosti }. Řekneme, že ortonormální báze {e 1, e 2, e 3, e 4 } prostoru M je standardní báze, jestliže její časupodobný vektor e 4 je orientovaný do budoucnosti. Následující geometricky názorná lemmata budou velmi užitečná v dalších kapitolách. Lemma 1.3. Součet dvou vektorů v, w M, které jsou časupodobné nebo světlupodobné, oba orientované do budoucnosti (resp. orientované do minulosti), je vektor časupodobný orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti), kromě případu, kdy jsou oba světlupodobné a jeden je násobkem druhého, tehdy bude součet světlupodobný vektor orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti). Důkaz. Součet jakýchkoli dvou vektorů orientovaných do budoucnosti (resp. orientovaných do minulosti) je opět vektor orientovaný do budoucnosti (resp. orientovaný do minulosti). Dále proto obecně uvažujme, že v a w mají stejnou časovou orientaci. Necht v je časupodobný a w je časupodobný nebo světlupodobný, t.j. platí g(v, v) < 0, g(w, w) 0 a g(v, w) < 0. Dostáváme g(v + w, v + w) = g(v, v) + 2g(v, w) + g(w, w) < 0, takže v + w je časupodobný. 8
9 Necht jsou v a w oba světlupodobné. Pak platí g(v + w, v + w) = g(v, v) + 2g(v, w)+g(w, w) = 2g(v, w). Zvolme {e 1, e 2, e 3, e 4 } ortonormální bázi v M. Protože v a w jsou oba orientované do budoucnosti nebo oba orientované do minulosti, platí v 4 w 4 > 0. V této bázi máme g(v, w) = v 1 w 1 +v 2 w 2 +v 3 w 3 v 4 w 4 ((v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 ) 1/2 ((w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 ) 1/2 v 4 w 4 = v 4 w 4 v 4 w 4 = 0, kde nerovnost plyne se Schwarzovy nerovnosti. Pokud by nastala rovnost, t.j. g(v, w) = 0, tak dostáváme v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = v 4 w 4 (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 ) 2 = (v 4 ) 2 (w 4 ) 2 = ((v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 )((w 1 ) 2 + (w 2 ) 2 + (w 3 ) 2 ) 2v 1 w 1 v 2 w 2 + 2v 1 w 1 v 3 w 3 + 2v 2 w 2 v 3 w 3 = (v 1 w 2 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 v 3 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 = 0. Tedy (v 1 w 2 v 2 w 1 ) = 0, (v 1 w 3 v 3 w 1 ) = 0, (v 2 w 3 v 3 w 2 ) = 0, a jelikož w je světlupodobný nenulový, je alespoň jedna ze souřadnic w 1, w 2, w 3 nenulová, necht je to w i. Potom ale v 1 = vi w i w1, v 2 = vi w i w2, v 3 = vi w i w3, tedy existuje k R takové, že k(w 1, w 2, w 3 ) = (v 1, v 2, v 3 ). Dosadíme-li zpět do předpokládaného vztahu g(v, w) = 0, dostáváme v 4 w 4 = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3 = (kw 1 )w 1 + (kw 2 )w 2 + (kw 3 )w 3 = k(w 4 ) 2. Po vykrácení nenulovým w 4 vychází v 4 = kw 4. Takže jsme dostali v = kw. Naopak, je-li v = kw pro nějaké k R, tak zřejmě platí g(v, w) = 0. Tudíž dostáváme, že g(v, w) = 0 nastane právě když je v násobkem w. V opačném případě bude nerovnost ve vztahu g(v, w) 0 ostrá, celkem proto g(v+w, v+w) = 2g(v, w) < 0 a v + w je tak časupodobný pro světlupodobné stejně časově orientované vektory v a w z nichž není jeden násobkem druhého. Lemma 1.4. Necht x 1, x 2,..., x n M pro n N. Potom existuje p M takové, že {x 1, x 2..., x n } C + T (p) a q M takové, že {x 1, x 2..., x n } C T (q). Důkaz. Dokážeme tvrzení o p, existence q se dokáže analogicky. Bud {e 1, e 2, e 3, e 4 } standardní báze prostoru M. Dokazujeme indukcí podle n. Pro n = 1 stačí vzít p = x 1 e 4 a tvrzení je splněno. Necht tvrzení platí pro n 1 a p = p a e a splňuje {x 1, x 2..., x n 1 } C + T ( p). Bud x n = x a ne a a položme Potom s = p 4 ( ( p 1 ) 2 + ( p 2 ) 2 + ( p 3 ) 2) 1/2, t = x 4 n ( (x 1 n) 2 + (x 2 n) 2 + (x 3 n) 2) 1/2. g( p se 4, p se 4 ) = ( p 1 ) 2 + ( p 2 ) 2 + ( p 3 ) 2 ( p 4 s) 2 = 0, g(x n te 4, x n te 4 ) = (x 1 n) 2 + (x 2 n) 2 + (x 3 n) 2 (x 4 n t) 2 = 0 9
10 a p 4 s 0, x 4 n t 0. Tedy p (C + N (se 4) {se 4 }) a x n (C + N (te 4) {te 4 }). Položme r = min{s, t} 1 a p = re 4. Potom díky lemmatu 1.3 platí { p, x n } C + T (p). Použitím téhož lemmatu dostáváme {x 1, x 2..., x n } C + T (p) a důkaz je hotov. Ortogonální transformace prostoru M, t.j. lineární zobrazení L : M M splňující g(lx, Ly) = g(x, y) pro každé x, y M, se nazývá Lorentzova transformace. Je vidět, že Lorentzovy transformace tvoří grupu, jmenuje se Lorentzova grupa. Snadno se nahlédne, že ortogonální transformace zobrazí libovolnou ortonormální bázi prostoru M opět na ortonormální bázi, a že pro libovolné dvě ortonormální báze prostoru M existuje ortogonální transformace, která zobrazí jednu bázi na druhou. Lorentzova transformace tak vyjadřuje vztah mezi souřadnicemi události naměřenými ve dvou vztažných soustavách. Může ale obrátit časovou orientaci všech časupodobných a nenulových světlupodobných vektorů, a taky může převrátit prostorovou orientaci, t.j. změnit orientaci bázových vektorů {e 1, e 2, e 3 } z pravotočivé na levotočivou a naopak. Ortochronní Lorentzovu transformaci definujeme jako Lorentzovu transformaci, která časovou orientaci zachová, t.j. takovou Lorentzovu transformaci L, že g(x, Lx) < 0 pro každý časupodobný nebo nenulový světlupodobný vektor x. Ortochronní Lorentzovy transformace zřejmě tvoří podgrupu Lorentzovy grupy, jmenuje se ortochronní Lorentzova grupa. 1.2 Kauzální relace a Zeemanův teorém Na prostoru M definujeme dvě binární relace, a <, kterým říkáme kauzální relace, takto: Necht x, y M, řekneme, že x chronologicky předchází y a značíme x y, jestliže y x je časupodobný orientovaný do budoucnosti. Řekneme, že x kauzálně předchází y a značíme x < y, jestliže y x je světlupodobný orientovaný do budoucnosti. Všimněme si, že relace je uspořádání na prostoru M, kdežto relace < uspořádání není (protože není tranzitivní). Následující lemma říká, že každá z kauzálních relací a < se dá definovat pomocí druhé. Lemma 1.5. Necht x, y M, x y. Potom platí (1) x < y právě když (x y & ( z)(y z x z)) (2) x y právě když (x y & ( z)(x < z < y)) Důkaz. (1) Necht x < y. Potom x y platí, protože g(y x, y x) = 0. A je-li y z, tak z x = (z y) + (y x) je dle lemmatu 1.3 časupodobný do budoucnosti orientovaný vektor, tedy x z. Naopak, necht x y a x y. Potom je y x bud časupodobný orientovaný do minulosti nebo světlupodobný orientovaný do minulosti nebo prostorupodobný. Nastane-li první možnost, tak díky lemmatu 1.3 je pro libovolné z splňující x < z vektor z y = (z x) + (x y) časupodobný orientovaný do budoucnosti, tedy y z, ale x z. Pro zbylé dvě možnosti pro vektor y x zvolme nejprve v M nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht x = x a e a, y = y a e a. Položme 10
11 z n = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 + (y 4 + 1/n)e 4 pro každé n přirozené a počítejme: g(z n x, z n x) = g((z n y) + (y x), (z n y) + (y x)) = g(z n y, z n y) + 2g(z n y, y x) + g(y x, y x) = 1 n 2 1 n (y4 x 4 ) + g(y x, y x) = 1 ( 2(x 4 y 4 ) 1 ) + g(y x, y x). n n Je-li y x světlupodobný orientovaný do minulosti, tak g(y x, y x) = 0 a x 4 y 4 > 0, a tedy pro dostatečně velké n je g(z n x, z n x) > 0. Je-li y x prostorupodobný, tak g(y x, y x) > 0 a opět pro dostatečně velké n bude g(z n x, z n x) > 0. Zvolíme-li tedy v těchto dvou případech z = z n pro nalezené n, dostáváme y z a x z. Tím je důkaz (1) hotov. (2) Necht x y. Potom x y platí a je třeba najít z M splňující x < z < y. Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat x = 0. Zvolme v M nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht y = y a e a. Položme z = z a e a, kde z 1 = z 4 = g(y, y) 2(y 4 y 1 ) a z 2 = z 3 = 0. Jelikož 0 = x y, máme g(y, y) < 0 a y 4 > 0, tudíž y 1 < y 4 a tedy z 4 > 0. Zřejmě g(z, z) = 0 a g(y z, y z) = g(y, y) 2g(y, z) + g(z, z) = g(y, y) 2(y 1 z 1 y 4 z 4 ) + 0 = g(y, y) 2(y 1 y 4 g(y, y) ) 2(y 4 y 1 ) = 0. Ověřili jsme, že z má požadované vlastnosti. Pro opačnou implikaci v (2) si uvědomme, že podle lemmatu 1.3 je y x = (y z)+(z x) časupodobný vektor orientovaný do budoucnosti nebo světlupodobný vektor orientovaný do budoucnosti, a jelikož je druhý případ podle předpokladu vyloučen, dostáváme kýžené. Zobrazení f : M M nazveme kauzální automorfismus, jestliže f je bijekce a f i f 1 zachovávají uspořádání, t.j. ( x, y M) x y f(x) f(y). Díky předchozímu lemmatu není obtížné ověřit, že bijektivní zobrazení f : M M je kauzální automorfismus právě když ( x, y M) x < y f(x) < f(y). Řekneme, že zobrazení T : M M je translace prostoru M, jestliže T (x) = x + x 0 pro nějaké pevné x 0 M. Zobrazení K : M M nazveme dilatace prostoru M, jestliže K(x) = kx pro nějaké k kladné reálné. Je vidět, že kauzální automorfismy tvoří grupu, a že tato grupa obsahuje grupu generovanou všemi ortochronními Lorentzovými transformacemi, translacemi a dilatacemi, protože každý z těchto generátorů je kauzálním automorfismem. Zeemanův teorém tvrdí pozoruhodnou věc, že se tyto grupy rovnají. Jeho důkaz neuvádíme, odkazujeme čtenáře na původní Zeemanův článek [10]. Podrobněji je důkaz v [5], kde je mu věnována kapitola
12 Věta 1.6. (E. C. Zeeman) Necht f : M M je kauzální automorfismus. Potom existuje ortochronní Lorentzova transformace L : M M, translace T : M M a dilatace K : M M tak, že f = T K L. 12
13 Kapitola 2 Topologie Minkowskiho prostoročasu 2.1 Euklidovská topologie Tuto podkapitolu věnujeme topologii uvažované v Minkowskiho prostoročasu nejčastěji. Zvolíme nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } prostoru M a definujeme euklidovskou vzdálenost dvou bodů x = x a e a a x 0 = x a 0 e a jako d E (x 0, x) = ( (x 1 x 1 0) 2 + (x 2 x 2 0) 2 + (x 3 x 3 0) 2 + (x 4 x 4 0) 2) 1/2. Takto definovaná vzdálenost je metrikou. Definujeme E-otevřenou kouli o středu x 0 a poloměru ε jako N E ε (x 0 ) = {x M; d E (x 0, x) < ε} (viz obrázek 2.1). Lehce se ověří, že množina všech E-otevřených koulí splňuje podmínky báze 1, a topologie touto bází generovaná se nazývá euklidovská, budeme ji značit E a prostor M s touto topologií označíme M E. Povšimněme si, že euklidovská topologie nemá žádný vztah ke kauzální struktuře Minkowskiho prostoročasu. V Minkowskiho prostoročasu má každý bod svůj světelný kužel oddělující časupodobné vektory od prostorupodobných. Euklidovská topologie informaci o tomto kuželu nijak neobsahuje, časupodobné vektory od prostorupodobných nerozezná. Ani grupa homeomorfismů euklidovské topologie nemá fyzikální význam: například lineární zobrazení prostoru M na sebe, které zobrazí časupodobný vektor na prostorupodobný, je jistě homeomorfismem vzhledem k euklidovské topologii. Necht I R je nedegenerovaný interval a necht α : I M je E-spojitá (t.j. α 1 (V ) je otevřená v I pro každou E-otevřenou množinu V M). Řekneme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 pokud existuje souvislá otevřená množina U I obsahující t 0 a splňující t U & t < t 0 = α(t) α(t 0 ) 1 Definice základních pojmů jako báze topologie, subbáze, topologie generovaná bází atd. nalezne čtenář například na začátku první kapitoly v Engelkingově knize [3]. I v dalším textu se na tuto knihu budeme odkazovat; potřeba budou pouze základní pojmy z topologie. 13
14 Obrázek 2.1: Otevřená koule v trojrozměrném Minkowskiho prostoročasu s euklidovskou topologií a t U & t 0 < t = α(t 0 ) α(t). Analogicky definujeme křivku časupodobnou orientovanou do minulosti v bodě t 0. Křivku α nazveme časupodobnou orientovanou do budoucnosti, resp. časupodobnou orientovanou do minulosti, je-li časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 pro každé t 0 I, resp. časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 pro každé t 0 I. Křivku α nazveme časupodobnou, je-li časupodobná orientovaná do budoucnosti nebo časupodobná orientovaná do minulosti. Fyzikálně popisují časupodobné křivky světočáry hmotných částic v M, je ale třeba dát pozor na následující věc. V definici časupodobné křivky α jsme připustili možnost, že α (t 0 ) je světlupodobný nebo že α (t 0 ) neexistuje (prostorupodobný být nemůže, nebot časupodobné vektory nemohou konvergovat k prostorupodobnému). Avšak pro spojitou křivku mohou tyto situace nastat pouze na diskrétní podmnožině intervalu I, nikoli třeba na nějakém intervalu. Neexistenci α (t 0 ) v nějakém bodě t 0 I můžeme pro částici se světočárou α interpretovat tak, že v α(t 0 ) došlo k náhlé změně její rychlosti nebo směru jejího pohybu, například v důsledku srážky s jinou částicí. Je-li ale α (t 0 ) v nějakém t 0 I světlupodobný, znamená to, že se částice v α(t 0 ) pohybuje rychlostí světla, a tak pro hmotnou částici považujeme za fyzikální jen části světočáry mimo takovéto body. V M E nyní dokážeme tři tvrzení o časupodobných křivkách potřebná dále. Jsou převzata z [5]. Lemma 2.1. Necht {e 1, e 2, e 3, e 4 } je standardní báze v M a necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka. Pokud je α časupodobná orientovaná do budoucnosti, 14
15 je x 4 (α(t)) rostoucí na I. Pokud je α časupodobná orientovaná do minulosti, je x 4 (α(t)) klesající na I. Speciálně, je-li α časupodobná, pak je injektivní. Důkaz. Předpokládejme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti a necht t 0, t 1 I, t 0 < t 1. Projekce x 4 (α(t)) je spojitá funkce a na kompaktu [t 0, t 1 ] musí tedy nabývat maximum. Pro spor předpokládejme, že se maximum nabývá v bodě t 2 [t 0, t 1 ). Jelikož α je časupodobná orienotvaná do budoucnosti v bodě t 2, existuje (dle definice) otevřené okolí U bodu t 2 speciálně splňující t U (t 2, t 1 ) α(t 2 ) α(t). Protože U (t 2, t 1 ) je neprázdná a α(t 2 ) α(t) implikuje x 4 (α(t 2 )) < x 4 (α(t)), dostáváme spor s tím, že v t 2 je maximum na [t 0, t 1 ]. Maximum se proto nabývá pouze v bodě t 1. Speciálně, x 4 (α(t 0 )) < x 4 (α(t 1 )). Důkaz pro α časupodobnou orientovanou do minulosti je analogický. Tvrzení o injektivitě plyne pak z toho, že rostoucí nebo klesající funkce je injektivní. Věta 2.2. Necht p, q M. Potom p q právě tehdy když existuje E-spojitá křivka α : [a, b] M, která je časupodobná orientovaná do budoucnosti a splňuje α(a) = p, α(b) = q. Důkaz. Platí-li p q, potom úsečka α : [a, b] M, α(t) = p+ t a b a (q p), kde např. a = 0, b = 1, je hledaná křivka. Předpokládejme naopak, že α : [a, b] M je E-spojitá křivka, která je časupodobná orientovaná do budoucnosti a splňuje α(a) = p, α(b) = q. Pro každé t [a, b] zvolme souvislou otevřenou U t [a, b] jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t. Potom {U t ; t [a, b]} je otevřené pokrytí kompaktu [a, b], vyberme tedy konečné podpokrytí U = {U a, U t1,... U tn }. Máme a U a a pokud i b U a, je α(a) α(b) a jsme hotovi. Pokud b U a, pak pro pravý koncový bod s 0 intevalu U a platí s 0 b, s 0 U a. Zvolme U ti U takovou, že s 0 U ti. Je U ti U a, U a U ti, zvolme tedy T 0 U a U ti takové, že a < T 0 < t i. Pokud b U ti, je α(a) α(t 0 ) α(t i ) α(b) a jsme hotovi. Jestliže tomu tak není, pak pro pravý koncový bod s 1 intevalu U ti platí s 1 b, s 1 U ti. Opakujeme postup zvolením U tj U takové, že s 1 U tj. Je U tj U a, U tj U ti, nebot s 1 U a, s 1 U ti. Platí U ti U tj, zvolme tedy T 1 tak, že T 0 < T 1 < t j a tak dále. Jelikož U je konečná a pokrývá [a, b], postup se po konečném počtu kroků zastaví, nastane b U tk pro nějaké k n, s výsledkem α(a) α(b). Lemma 2.3. Necht α : I M je E-spojitá křivka. Pokud α je časupodobná v každém bodě t 0 ležícím ve vnitřku Int I intevalu I (t.j. pro každé t 0 Int I je α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 nebo časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 ), potom je α časupodobná. Důkaz. V prvním kroku ukážeme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti pro každé t 0 Int I, nebo že α je časupodobná orientovaná do minulosti pro každé t 0 Int I. V druhém kroku rozšíříme platnost tvrzení do koncových bodů intervalu I, pokud I své koncové body obsahuje. 1.krok: Položme S = {t 0 I; α je časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 0 } a předpokládejme, že S. Necht t 0 S a zvolme U Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 0. 15
16 Ukážeme, že U S: pro spor předpokládejme, že existuje t 1 U takové, že α je časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 1. Necht t 1 > t 0. Vzhledem k libovolné standardní bázi pro M je x 4 (α(t)) spojitá funkce na kompaktu [t 0, t 1 ], nabývá zde proto maxima. Toto maximum není v bodě t 0 : U (t 0, t 1 ), pro libovolné t 2 U (t 0, t 1 ) máme α(t 0 ) α(t 2 ), tedy x 4 (α(t 0 )) < x 4 (α(t 2 )). Maximum není v bodě t 1 : necht U 1 je jako v definici časupodobné křivky orientované do minulosti v bodě t 1, potom U 1 (t 0, t 1 ), pro libovolné t 3 U 1 (t 0, t 1 ) máme α(t 3 ) α(t 1 ), tedy x 4 (α(t 3 )) < x 4 (α(t 1 )). Maximum je tedy v nějakém bodě t 4 (t 0, t 1 ). Je-li α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 4, zvolme U 4 Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 4. Potom U 4 (t 4, t 1 ), bud t 5 U 4 (t 4, t 1 ), dostáváme α(t 4 ) α(t 5 ), tedy x 4 (α(t 4 )) < x 4 (α(t 5 )) je spor s tím, že v t 4 je maximum. Je-li α časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 4, zvolme U 5 Int I jako v definici časupodobné křivky orientované do minulosti v bodě t 4. Potom U 5 (t 0, t 4 ),bud t 6 U 5 (t 0, t 4 ), máme α(t 4 ) α(t 6 ), tedy x 4 (α(t 4 )) < x 4 (α(t 6 )) je spor s tím, že v t 4 je maximum. Celkem tedy α není časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě t 4 ani časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 4, což je spor s předpokladem lemmatu. Pro t 1 < t 0 bychom postupovali analogicky. Ukázali jsme, že U S pro libovolné t 0 S, a jelikož U je otevřená v Int I, je množina S otevřená v Int I. Analogicky se ukáže, že množina {t 0 I; α je časupodobná orientovaná do minulosti v bodě t 0 }, což je komplement množiny S v Int I, je otevřená v Int I. S je tedy otevřená i uzavřená v Int I a jelikož Int I je souvislá, musí být bud S = nebo S = Int I. Tudíž je α bud časupodobná orientovaná do budoucnosti na Int I nebo časupodobná orientovaná do minulosti na Int I. 2.krok: Ukážeme, že pokud α je časupodobná orientovaná do budoucnosti na Int I a I obsahuje svůj levý koncový bod a, tak potom α je časupodobná orientovaná do budoucnosti i v bodě a (ostatní případy by se ukázaly analogicky). Necht U je souvislá množina otevřená v I, obsahující a a neobsahující pravý koncový bod intervalu I (pokud jej I obsahuje). Necht t 1 U, t 1 > a a položme q = α(a), r = α(t 1 ). Necht t 2 (a, t 1 ). Jelikož [t 2, t 1 ] Int I je díky větě 2.2 α(t 2 ) r. Jelikož t 2 (a, t 1 ) bylo libovolné, máme α((a, t 1 )) C T (r). Protože a je v uzávěru intervalu (a, t 1 ) v I a α je E-spojitá, je q Cl E C T (r) (kde Cl E A je uzávěr množiny A v topologii E). Protože Cl E C T (r) = C T C N (r) {r}, musí q ležet v jedné z těchto množin. q = r nemůže nastat: α je časupodobná orientovaná do budoucnosti na (a, t 1 ], dle lemmatu 2.1 je x 4 (α(t)) rostoucí na (a, t 1 ] a jelikož je x 4 (α(t)) spojitá na [a, t 1 ], je x 4 (q) < x 4 (r). Ukážeme, že q C T (r). Zvolme t 3 (a, t 1 ) a položme s = α(t 3 ). Potom s C T (r) a díky stejnému argumentu s uzávěry jako výše (s t 3 místo t 1 ) je q Cl E C T (s) a opět není q = s možné. Tedy bud q C T (s) nebo q C N (s). Celkem r s je časupodobný orientovaný do budoucnosti a s q je bud časupodobný orientovaný do budoucnosti nebo světlupodobný orientovaný do budoucnosti. Podle lemmatu 1.3 je tedy r q = (r s)+(s q) časupodobný orientovaný do budoucnosti, tedy q C T (r), q r. Jelikož bylo t 1 U, t 1 > a voleno libovolně a v I neexistují body menší než a, je α časupodobná orientovaná do budoucnosti v bodě a. 16
17 2.2 Topologie, které v M souhlasí s euklidovskou V této podkapitole budeme v M definovat topologie pomocí Minkowskiho skalárního součinu g a relace uspořádání. Alexandrova topologie, též zvaná intervalová topologie, je definovaná takto: její otevřenou bázi tvoří množiny {x M; p x & x q} pro p, q M, jinak řečeno množiny C + T (p) C T (q) pro p, q M. Dokážeme, že v Minkowskiho prostoročasu splývá Alexandrova topologie s euklidovskou topologií. V obecné teorii relativity má ale význam Alexandrovu topologii uvažovat, protože se obecně může od topologie variety lišit 2. Věta 2.4. Na prostoru M splývá Alexandrova topologie s euklidovskou topologií. Důkaz. Každá bázová množina Alexandrovy topologie je průnikem dvou E-otevřených množin, je tedy E-otevřená. Pro opačnou inkluzi ukažme, že je-li U E-otevřená množina a x U, tak existuje bázová množina z Alexandrovy topologie, která je částí U a obsahuje x. Zvolme {e 1, e 2, e 3, e 4 } nějakou standardní bázi v M. Bez újmy na obecnosti uvažujme x = 0. Protože U je E-otevřená, existuje ε > 0 takové, že Nε E (x) U. Položme p = εe 4, q = εe 4. Zřejmě x C + T (p) C T (q). Ukážeme, že C+ T (p) C T (q) N ε E (x). Necht v C + T (p) C T (q). Pro v tedy platí tyto vztahy: 0 > g(v p, v p) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 + ε) 2 (2.1) 0 > g(q v, q v) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (ε v 4 ) 2 (2.2) 0 < v 4 p 4 = v 4 + ε (2.3) 0 < q 4 v 4 = ε v 4 (2.4) Je-li v 4 = 0, je (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < ε 2 díky 2.1. Pokud je v 4 > 0, dostáváme (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < (ε v 4 ) 2 + (v 4 ) 2 = ε 2 2v 4 (ε v 4 ) < ε 2 díky 2.2 a 2.4. A je-li v 4 < 0, dostáváme (d E (x, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < (v 4 + ε) 2 + (v 4 ) 2 = ε 2 + 2v 4 (v 4 + ε) < ε 2 díky 2.1 a 2.3. Vždy tedy vyšlo v N E ε (x) a C + T (p) C T (q) N E ε (x) je splněno. Další topologii chceme definovat užitím Minkowskiho skalárního součinu g a absolutní hodnoty tak, aby množiny {v M; g(v x, v x) < ε 2 } pro x M a ε > 0 byly otevřené. Díky definici je tento soubor množin uzavřen na působení Lorentzovy grupy. Netvoří ale bázi, a tak jej považujme za subbázi. Uvidíme ale, že topologie generovaná touto subbází je euklidovská topologie. Věta 2.5. Topologie generovaná množinami X ε (x) = {v M; g(v x, v x) < ε 2 }, pro x M a ε > 0, je euklidovská topologie. Důkaz. Každá množina X ε (x) je E-otevřená, protože je vzorem otevřené množiny při E-spojitém zobrazení v g(v x, v x). 2 viz věta 4.24 v [9], která pro prostoročas M tvrdí ekvivalenci následujících tří podmínek: (a) M je silně kauzální, (b) Alexandrova topologie splývá s topologií variety, (c) Alexandrova topologie je Hausdorffova 17
18 Pro opačnou inkluzi stačí ukázat, že se do libovolně malé euklidovské koule vejde vhodný neprázdný konečný průnik množin ze subbáze. Potom se totiž translací snadno zajistí, aby pro libovolné x U, U E-otevřená, byl tento průnik okolím bodu x obsaženým v U. Necht ε > 0. Zvolme nějakou standardní bázi v M a položme p = εe 4, q = εe 4. Necht v X ε (p) X ε (q) je libovolné. Pro v platí: ε 2 > g(v p, v p) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 + ε) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 2v 4 ε ε 2 (2.5) ε 2 > g(v q, v q) = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ε) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 + 2v 4 ε ε 2 (2.6) Je-li v 4 = 0, dostáváme z 2.5 (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 < 2ε 2, tedy d E (0, v) < ε 2. Je-li v 4 > 0, tak z 2.5 plyne, že v nemůže být časupodobný ani světlupodobný vektor, a je tedy (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 > 0. Z 2.6 proto dostáváme 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 + 2v 4 ε < 2ε 2 a odsud 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 2ε 2 2v 4 ε = 2ε(ε v 4 ), tedy ε > v 4. Díky tomu máme (d E (0, v)) 2 = (v 1 ) 2 +(v 2 ) 2 +(v 3 ) 2 +(v 4 ) 2 < 2ε 2 2v 4 ε + 2(v 4 ) 2 = 2ε 2 + 2v 4 (v 4 ε) < 2ε 2. Podobně, je-li v 4 < 0, tak z 2.6 plyne, že v nemůže být časupodobný ani světlupodobný vektor, a je tedy (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 > 0. Z 2.5 proto dostáváme 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 2v 4 ε < 2ε 2 a odsud 0 < (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 (v 4 ) 2 < 2ε 2 + 2v 4 ε = 2ε(ε + v 4 ), tedy ε + v 4 > 0. Díky tomu máme (d E (0, v)) 2 = (v 1 ) 2 + (v 2 ) 2 + (v 3 ) 2 + (v 4 ) 2 < 2ε 2 + 2v 4 ε + 2(v 4 ) 2 = 2ε 2 + 2v 4 (v 4 + ε) < 2ε 2. Ve všech případech vyšlo d E (0, v) < ε 2, a tedy X ε (p) X ε (q) N E ε (0). Také 2 se snadno ověří, že X ε (p) X ε (q). To jsme potřebovali ukázat. 2.3 Metrická topologie Použijme Minkowskiho skalární součin k definici topologie tak, aby nesla nějakou informaci o časových kuželech všech událostí z M. Položme Y ε (x) = {v M; g(v x, v x) < ε 2 } pro každé x M a ε 0 (viz obrázek 2.2). Všimněme si, že každá z množin Y ε (x) obsahuje časový kužel C T (x) a pro ε = 0 je mu rovna. Vezměme soubor {Y ε (x); x M, ε 0} jako otevřenou subbázi a topologii jím generovanou nazvěme metrickou topologií, označme ji Y. Každá z množin Y ε (x) je E-otevřená, protože je vzorem otevřené množiny při spojitém zobrazení. Topologie Y je tedy hrubší než euklidovská topologie. Je dokonce striktně hrubší, což plyne z toho, že euklidovská topologie je Hausdorffova, kdežto metrická topologie, jak nyní ukážeme, Hausdorffova není. Lemma 2.6. Prostor M s topologií Y je T 1 ale není Hausdorffův. Důkaz. Pro důkaz, že prostor M s topologií Y je T 1, máme pro dva libovolné body x, y M, x y, najít okolí bodu x neobsahující y. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat x = 0, protože metrická topologie je invariantní vůči posunutí. Zvolme nějakou standardní bázi {e 1, e 2, e 3, e 4 } a necht y = y a e a. Rozlišme dva případy: 18
19 (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 > 0 a (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 = 0. V prvním případu položme v = y 4 e 4 a ε = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 > 0. Potom je g(v x, v x) = (y 4 ) 2 < 0 pro y 4 0 a v = x pro y 4 = 0, tedy x Y ε (v). Dále g(y v, y v) = (y 1 ) 2 + (y 2 ) 2 + (y 3 ) 2 = ε 2, tedy y Y ε (v). Proto je Y ε (v) hledaným okolím bodu x. Ve druhém případu máme y = y 4 e 4. Položme w = (y 4 /2)e 1 + y 4 e 4 a δ = y 4 /2. Dostáváme g(w x, w x) = (3/4)(y 4 ) 2 < 0 a g(w y, w y) = (y 4 ) 2 /4 = δ 2. Tedy x Y δ (w), y Y δ (w) a Y δ (w) je proto hledaným okolím bodu x. Ukažme, že prostor M s metrickou topologií není Hausdorffův. Necht x, y jsou dva různé body z M a U, V jsou Y -otevřené bázové množiny, x U a y V. Jelikož soubor {Y ε (z); z M, ε 0} je subbáze topologie Y, je U = k i=1 Y ε i (x i ) a V = n i=k+1 Y ε i (x i ) pro nějaká k, n přirozená, kde x i M a ε i 0 pro i = 1,... n. Podle lemmatu 1.4 existuje q M takové, že {x 1, x 2..., x n } C T (q). Tedy q n i=1 C+ T (x i) n i=1 Y ε i (x i ) = U V. V důkazu jsme viděli, že nehausdorffovskost je důsledkem toho, že subbázové množiny obsahují celý časový kužel - názorné lemma 1.4 totiž tvrdí, že průnik konečně mnoha časových kuželů je neprázdný. To, že M s topolgií Y není Hausdorffův, činí tuto topologii fyzikálně málo zajímavou (v popisu prostoročasu je hausdorffovskost vyžadována v rámci definice topologické variety). Uvidíme, že v definici P-topologie se postaráme o to, aby bázové množiny byly omezené euklidovskými koulemi. Obrázek 2.2: V trojrozměrném Minkowskiho prostoročasu je pro ε > 0 subbázová množina Y ε (x) vnitřkem jednodílného hyperboloidu 19
20 2.4 P-topologie Jak bylo zmíněno v úvodu, Hawking, King a McCarthy definovali P-topologii přímo v obecné teorii relativity. Zde ji budeme definovat v Minkowskiho prostoročasu. Postupujeme podle článku [4] a knihy [5]. Množinu V M nazveme P-otevřenou, jestliže pro každou časupodobnou křivku α : I M existuje E-otevřená množina U M taková, že α(i) V = α(i) U, což budeme zkráceně zapisovat jako α V = α U. Položme P = {V M; V je P-otevřená} a ukažme, že P je opravdu topologie na M. Lemma 2.7. P je topologie na prostoru M. Důkaz. Podle definice je každá E-otevřená množina taky P-otevřená, tedy P, M P. Necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka a U P. Pro každé U U existuje V E takové, že α U = α V, soubor těchto V označme V. Potom z De Morganových zákonů dostaneme U α = (U α) = (V α) = V α, U U a protože V E, je U P. Necht U 1, U 2 P. Existují tedy V 1, V 2 E takové, že platí α V 1 = α U 1, α V 2 = α U 2. Dostáváme (U 1 U 2 ) α = (U 1 α) (U 2 α) = (V 1 α) (V 2 α) = (V 1 V 2 ) α, a protože V 1 V 2 E, je U 1 U 2 P. V V Z definice vidíme, že P-topologie je právě nejjemnější topologie na prostoru M, která na každé časupodobné křivce indukuje euklidovskou topologii. Při definici časupodobných křivek jsme řekli, že mají být světočárami hmotných částic či pozorovatelů, a viděli jsme, že popisují i zrychlující a srážející se pozorovatele. Chceme, aby každý takto se pohybující pozorovatel vnímal čas tak, jak jsme zvyklí, čili s intervalovou topologií reálné přímky. Vlastnost P-topologie, že na každé časupodobné křivce euklidovskou topologii indukuje, je proto fyzikálně žádoucí. Nyní ukážeme, že P-topologie je striktně jemnější než euklidovská topologie na prostoru M. Lemma 2.8. Pro každé x M a ε > 0 definujme a C(x) = C T (x) C+ T (x) {x} N P ε (x) = C(x) N E ε (x) (viz obrázek 2.3). Potom C(x) a N P ε (x) jsou P-otevřené, ale nejsou E-otevřené. 20
21 Důkaz. Pro každé δ > 0 neobsahuje žádná z těchto množin Nδ E (x), takže nemohou být E-otevřené. Necht α : I M je E-spojitá časupodobná křivka. Prochází-li α bodem x, je díky větě 2.2 α(i) C(x), takže α C(x) = α M. Pokud α neprochází bodem x, tak α C(x) = α (C T (x) C+ T (x)). Obě množiny C T (x) a C+ T (x) jsou E-otevřené. Tudíž je C(x) P-otevřená. Nε P (x) je ale potom taky P-otevřená, protože je průnikem dvou P-otevřených množin. Obrázek 2.3: Bázová množina P-topologie, N P ε (x), vznikne tak, že k časovému kuželu přidáme jeho vrchol a vše protneme euklidovskou otevřenou koulí M s topologií P budeme značit M P. V další větě uvidíme, jak jednoduše vypadá báze P-topologie, a potom popíšeme uzávěr Cl P bázových množin. Věta 2.9. Množiny N P ε (x), kde x M, ε > 0, tvoří bázi P-topologie na prostoru M. Důkaz. Necht V M je P-otevřená a x V. Ukážeme, že existuje ε > 0 takové, že Nε P (x) V. Předpokládejme pro spor, že tomu tak není. Spor odvodíme sestrojením E-spojité časupodobné křivky α takové, že neexistuje E-otevřená množina U aby platilo α V = α U. Nejprve vezmeme N1 P (x), dle předpokladu N 1 P (x) V. Jelikož neexistuje ε > 0, pro které Nε P (x) V, a vždy platí Nε P (x) Nε E (x), existuje alespoň v jedné z množin (C + T (x) N 1 P (x)) V, (C T (x) N 1 P (x)) V posloupnost {x n} n=1 E-konvergující k x. Necht tato posloupnost leží celá v (C + T (x) N 1 P (x)) V, důkaz pro druhý případ je obdobný. Nyní sestrojíme vybranou posloupnost {x ni } i=0 následujícím způsobem: Položíme x n0 = x 1. Jelikož x C T (x n 0 ), můžeme zvolit δ 1 > 0 takové, že Nδ E 1 (x) C T (x n 0 ). Necht ε 1 = min{δ 1, 1/2}. Zvolme x n1 {x n } n=1 ležící 21
22 v Nε P 1 (x). Máme x x n1 x n0. Opakujem postup: x C T (x n 1 ), existuje δ 2 > 0 takové, že Nδ E 2 (x) C T (x n 1 ), necht ε 2 = min{δ 2, 1/2 2 }, zvolme x n2 {x n } n=1 ležící v Nε P 2 (x). Máme x x n2 x n1 x n0. Indukcí sestrojíme vybranou posloupnost {x ni } i=0 posloupnosti {x n} n=1 splňující x x n i x n2 x n1 x n0 a E-konvergující k x. Definujme křivku ˆα : (0, 1] M takto: na [1/2, 1] je ˆα lineární parametrizací úsečky spojující x n1 a x n0 (tedy α [1/2, 1] : t x n1 + (2t 1)(x n0 x n1 )). Na [1/3, 1/2] je ˆα lineární parametrizací úsečky spojující x n2 a x n1, atd. Zřejmě je ˆα E-spojitá křivka a je časupodobná orientovaná do budoucnosti. Jelikož x ni E-konverguje k x, můžeme definovat E-spojitou křivku α : [0, 1] M: { α = ˆα(t), 0 < t 1 x, t = 0. Podle lemmatu 2.3 je α časupodobná orientovaná do budoucnosti. Nyní předpokládejme α V = α U pro nějakou E-otevřenou množinu U. Jelikož pro každé i = 0, 1,... platí x ni V, je taky x ni α V = α U, takže {x ni } i=0 M (α U) = (M α) (M U). Protože {x n i } i=0 α, musí být {x ni } i=0 M U. Množina M U je E-uzavřená a {x n i } i=0 E-konverguje k x, takže x M U, x U. Proto x α U = α V, což je spor, nebot x leželo jak v α, tak ve V. Lemma Necht ε > 0 a x M P. Potom Cl P (N P ε (x)) = Cl E (N P ε (x)) ( bd E (N E ε (x)) bd E (C(x)) ) (kde bd (A) značí hranici množiny A). Důkaz. P je jemnější než E, takže pro libovolnou A M platí Cl P (A) Cl E (A). Ukážeme, že v Cl P (Nε P (x)) neleží množina bd E (Nε E (x)) bd E (C(x)) = {p M; d E (x, p) = ε} (C N (x) {x} C+ N (x)). Necht y {p M; d E (x, p) = ε} C + N (x). Vezměme N ε/2 P (y) = (C T (y) C+ T (y) {y}) N ε/2 E (y) P-otevřené okolí y. Jelikož x C N (y), je C T (y) C+ T (x) = a (C T (y) N ε/2 E (y)) C T (x) =, takže (C T (y) N ε/2 E (y)) N ε P (x) =. Dále pro každé z C + T (y) platí d E(x, z) > ε, tudíž C + T (y) N ε P (x) =. Celkem tak dostáváme Nε P (x) Nε/2 P (y) =. Podobně bychom postupovali v případě y {p M; d E (x, p) = ε} C N (x). Máme tedy Cl P (Nε P (x)) Cl E (Nε P (x)) (bd E (Nε E (x)) bd E (C(x))). Opačná implikace plyne z toho, že pokud y leží v množině na pravé straně, tak pro libovolné δ > 0 je Nδ P (y) N ε P (x). Rozeberme několik základních topologických vlastností P-topologie. Jejich definice nalezne čtenář například v [3]. Věta M P splňuje první axiom spočetnosti, je separabilní, nemá spočetnou bázi. M P není normální, není regulární, je Hausdorffův. M P není metrizovatelný. M P není lokálně kompaktní, není spočetně kompaktní, není Lindelöfův, není parakompaktní. 22
23 Důkaz. Už v důkazu věty 2.9 jsme vlastně dokázali, že pro každé x M tvoří množiny Nε P (x), ε > 0 bázi okolí bodu x. Totéž zřejmě platí, požadujeme-li navíc ε {1/n; n N}. M P tedy splňuje první axiom spočetnosti. Jelikož M E je separabilní a do každé P-bázové množiny Nε P (x) se vejde euklidovská koule, je M P též separabilní (spočetnou hustou množinou budou například body s racionálními souřadnicemi). Ukažme, že M P není normální. Zvolme libovolný nenulový světlupodobný vektor n a položme R = {tn; t R}. Pro každé x R platí C(x) R = {x}, takže prostor R s topologií podprostoru prostoru M P je diskrétní. Mohutnost množiny všech spojitých funkcí z R do R je tedy rovna (2 ω ) (2ω) = 2 ω.2ω = 2 2ω. Předpokládejme pro spor, že M P je normální. Jelikož R je v M P uzavřený, lze podle Tietze-Urysonovy věty (věta v [3]) každou spojitou funkci z R do R spojitě rozšířit na celý prostor M P. Našli jsme tedy 2 2ω spojitých funkcí z M P do R. Podle věty v [3] je každá spojitá funkce z M P do R jednoznačně určena svými hodnotami na husté podmnožině prostoru M P. Víme, že v M P existuje hustá podmnožina, která je spočetná, protože M P je separabilní. Dostáváme tak, že spojitých funkcí z M P do R je nejvýše (2 ω ) ω = 2 ω.ω = 2 ω, což je spor. Proto M P nemůže být normální. Prostor M P není regulární: Zvolme x M P a P-otevřenou množinu N1 P (x). Pokud by byl M P regulární, existovala by bázová množina Nε P (x), která by i s uzávěrem byla částí N1 P (x). To ale podle lemmatu 2.10 není možné - uzávěr každé takovéto množiny obsahuje nenulové světlupodobné vektory. Protože prostor M P není regulární, nemůže být metrizovatelný. M P je Hausdorffův, protože M E Hausdorffův je a P je jemnější než E. M P není lokálně kompaktní: Kdyby byl, tak by pro x M P existovalo okolí U takové, že Cl P (U) je kompaktní podprostor prostoru M P. Zvolme ε takové, aby Nε P (x) U. Potom Cl P (Nε P (x)) je P-uzavřená podmnožina kompaktního Hausdorffova prostoru Cl P (U) a je tedy kompaktním podprostorem jak prostoru Cl P (U), tak i prostoru M P. Protože P je jemnější než E, je Cl P (Nε P (x)) též kompaktní podprostor prostoru M E. To ale není pravda, Cl P (Nε P (x)) není ani uzavřená v M E. M P není spočetně kompaktní, protože tuto vlastnost nemá M E a P je jemnější než E. M P není Lindelöfův: Je-li R jako výše, tak {C(x); x R} (M R) je otevřené pokrytí prostoru M P, má mohutnost kontinua a po odebrání jediné množiny pokrytím být přestane. Prostor M P nemá spočetnou bázi, nebot z věty v [3] plyne, že každý topologický prostor se spočetnou bází je Lindelöfův. Konečně, M P nemůže být parakompatkní, protože každý Hausdorffův parakompaktní prostor je normální (věta v [3]). Učiňme k důkazu ještě poznámku: To, že prostor M P není normální, plyne jednodušeji z toho, že je Hausdorffův a není regulární. Postup v důkazu byl zvolen proto, že ukazuje o množině R, což je světočára fotonu, že má diskrétní topologii jakožto podprostor prostoru M P, zatímco jakožto podprostor prostoru M E má R obvyklou topologii reálné přímky. P-topologie tak lépe vystihuje skutečnost, že u jediného fotonu měříme pouze diskrétní události, jeho emisi a absorpci. 23
24 Následující lemma si všímá P-spojitých křivek. Lemma Necht I R je nedegenerovaný interval a α : I M je křivka. Potom platí: (1) Pokud je α P-spojitá, pak je E-spojitá (2) Pokud je α časupodobná, pak je P-spojitá. Důkaz. (1) Necht U M je E-otevřená. Potom U je P-otevřená a protože α je P-spojitá, je α 1 (U) otevřená v I. Tedy α je E-spojitá. (2) Necht je α časupodobná (tedy je z definice E-spojitá) a necht V M je P-otevřená. Podle definice P-otevřených množin existuje E-otevřená množina U M taková, že α V = α U. Potom α 1 (V ) = α 1 (α V ) = α 1 (α U) = α 1 (U), což je otevřená množina v I. Tudíž je α P-spojitá. V následujícím lemmatu ukážeme charakterizaci P-spojitých křivek, která je užitečná jak pro další důkazy, tak pro získání lepší představy o P-spojitých křivkách. Řekneme, že křivka α : I M je Feynmanova cesta v M, jestliže je E-spojitá a pro každé t 0 I existuje souvislá otevřená U I obsahující t 0 a splňující α(u) C(α(t 0 )). Lemma Křivka α : I M je P-spojitá právě tehdy když je to Feynmanova cesta. Důkaz. Necht je α : I M P-spojitá a t 0 I. Protože C(α(t 0 )) je P-otevřená, je α 1 (C(α(t 0 ))) otevřená v I a obsahující t 0. Existuje tedy otevřená souvislá U I splňující t 0 U α 1 (C(α(t 0 ))). Naopak, necht je α : I M Feynmanova cesta. Zvolme libovolně t 0 I a ukážeme, že α je P-spojitá v bodě t 0. Pro libovolné ε > 0 vezměme P-bázové okolí N P ε (α(t 0 )) bodu α(t 0 ). Máme α 1 (N P ε (α(t 0 ))) = α 1 (N E ε (α(t 0 )) C(α(t 0 ))) = α 1 (N E ε (α(t 0 ))) α 1 (C(α(t 0 ))). Jelikož α je Feynmanova cesta, existuje souvislá otevřená U 1 I obsahující t 0 a splňující α(u 1 ) C(α(t 0 )). Jelikož α je E-spojitá, existuje souvislá otevřená U 2 I obsahující t 0 a splňující α(u 2 ) N E ε (α(t 0 )). Položíme-li U = U 1 U 2, tak U je souvislá otevřená podmnožina I obsahující t 0 a splňující α(u) = α(u 1 U 2 ) α(u 1 ) α(u 2 ) C(α(t 0 )) N E ε (α(t 0 )) = N P ε (α(t 0 )), tedy α je P-spojitá v bodě t 0. Protože t 0 I bylo libovolné, je α P-spojitá. Fyzikálně důležitý závěr posledních dvou lemmat pro topologii P je, že všechny časupodobné křivky jsou P-spojité, a i zbývající P-spojité křivky jsou si s časupodobnými podobné: oboje musí lokálně ležet v časovém kuželu; obecná P-spojitá křivka v něm ale může změnit časovou orientaci. V P-topologii tedy stačí po křivce požadovat, aby byla spojitá, a už dostaneme křivku fyzikálního významu. To je velký rozdíl a výhoda oproti euklidovské topologii, kde spojité křivky mohou nabývat nejroztodivnějších tvarů. Ujistěme se o souvislosti prostoru M P : Lemma M P je lokálně křivkově souvislý a křivkově souvislý. Speciálně, M P je lokálně souvislý a souvislý. 24
25 Důkaz. M P je lokálně křivkově souvislý, nebot pro libovolné dva body x, y Nε P (z) je křivka sestávající z úseček spojujích po řadě body x, z a y Feymnanova cesta, tedy P-spojitá křivka spojující body x a y. Dokažme křivkovou souvislost. Bud te x, y M P. Díky lemmatu 1.4 existuje p M P splňující {x, y} C + T (p). A dále jako v důkazu lokální křivkové souvislosti. M P je tedy křivkově souvislý. Je lehké ukázat (viz kapitola 6.3 v [3]), že křivková souvislost je silnější pojem než souvislost, tudíž je M P souvislý. Podobně, z lokální křivkové souvislosti plyne lokální souvislost. 25
26 Kapitola 3 Homeomorfismy v P-topologii Cílem této kapitoly je popsat grupu homeomorfismů topologie P. Držíme se postupu v [4] a [5]. Chceme si rozmyslet, že každý P-homeomorfismus h : M P M P, zobrazí časupodobnou křivku na opět časupodobnou křivku. K tomu nám pomůže následující věta, která charakterizuje časupodobné křivky pomocí P-topologických pojmů. Věta 3.1. Křivka α : I M je časupodobná, právě když jsou splněny následující dvě podmínky: (1) α je P-spojitá a injektivní (2) Pro každé t 0 I existuje souvislá otevřená množina U I obsahující t 0 a P-otevřené okolí V M bodu α(t 0 ), že platí: (a) α(u) V (b) Pokud t 0 Int I a a, b U splňují a < t 0 < b, pak každá P-spojitá křivka ve V spojující α(a) a α(b) prochází bodem α(t 0 ). Důkaz. Předpokládejme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti (pro α časupodobnou orientovanou do minulosti je důkaz obdobný). Díky lemmatu 2.12 je α P-spojitá a podle lemmatu 2.1 je α injektivní, bod (1) je tedy splněn. Nyní zvolme t 0 I a vezměme U I jako v definici časupodobné křivky orientované do budoucnosti v bodě t 0. Položme V = C(α(t 0 )). Potom V je P-otevřené okolí α(t 0 ) a díky volbě U platí α(u) V. Část (a) bodu (2) je tedy splněna. Nyní necht je splněn předpoklad části (b) bodu (2) a γ : [c, d] M je P-spojitá křivka ležící ve V a splňující γ(c) = α(a) C T (α(t 0)), γ(d) = α(b) C + T (α(t 0)). Potom je γ([c, d]) spojitým obrazem souvislé množiny [c, d], je tedy souvislá (dle věty v [3]). Pro spor předpokládejme, že α(t 0 ) γ([c, d]). Jelikož γ([c, d]) V, platí γ([c, d]) = (γ([c, d]) C T (α(t 0))) (γ([c, d]) C + T (α(t 0))). Prostor γ([c, d]) (s topologií podprostoru prostoru M P ) je tedy sjednocením dvou disjunktních otevřených množin, tedy není souvislý, což je spor. Platí tedy α(t 0 ) γ([c, d]) a část (b) bodu (2) je splněna. Předpokládejme naopak, že křivka α : I M splní (1) a (2). Z P-spojitosti plyne E-spojitost (lemma 2.12). Ukážeme, že α je časupodobná orientovaná do budoucnosti nebo orientovaná do minulosti v každém t 0 Int I a lemma 2.3 pak dá požadovaný závěr že α je časupodobná na I. Vezměme množiny U, V podle bodu (2). Protože V 26
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
VíceKompaktnost Kompaktifikace Prostory funkcí 4. KOMPAKTNOST. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 4. Kompaktnost
4. KOMPAKTNOST Poznámky Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2008 4. bez oddělovacích axiómů Je-li S S pokrytím množiny X, říká se často, že S je podpokrytí nebo že je pokrytím vybraným z S. Relaci zjemnění
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více4. Topologické vlastnosti množiny reálných
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceK oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceOBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15. Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,...
OBECNÁ TOPOLOGIE - PŘEDNÁŠKA ZIMA 2014/15 Literatura: Je možno užívat knihy od Engelkinga, Kelleyho, Nagaty, Dugundjiho,... 1. Pojem topologického prostoru Historie: Maurice Fréchet (1906) definoval metrické
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceSpeciální prostory Příklady na konstrukce prostorů 2. KONSTRUKCE. Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK. 2. Příklady
2. KONSTRUKCE Příklady Miroslav Hušek, Pavel Pyrih KMA MFF UK 2008 Množina topologií na X 1 T (X ) je jednobodová množina právě když X 1. 2 Ukažte, že na dvoubodové množině existují právě 4 topologie.
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceKapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n
Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
VícePavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT
Pavel Horák, Josef Janyška LINEÁRNÍ ALGEBRA UČEBNÍ TEXT 2 0 1 8 Obsah 1 Vektorové prostory 1 1 Vektorový prostor, podprostory........................ 1 2 Generování podprostor u............................
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více10. Vektorové podprostory
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLineární prostory. - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem
Lineární prostory - vektorové veličiny(síla, rychlost, zrychlení,...), skládání, násobení reálným číslem - volné vektory a operace s nimi(sčítání, násobení reálným číslem) -ve 2 nebove 3 vázanévektorysespolečnýmpočátkem
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
Více