Příklad 4 3 body (1/6) Házíme 2 hracími kostkami najednou. Jaká je pravděpodobnost, že součet čísel na obou kostkách bude větší než 9?

Transkript

1 Příklad 1 1 bod ( ) V pátek měla nejdelší fronta v supermarketu Kaufland 13 zákazníků, z toho jednu trojici a dvě dvojice. Určete, kolika způsoby by mohla být fronta uspořádána (doprovod kupujícího nebudeme brát v úvahu). Příklad 2 (Rost) 3 body (756) V hypermarketu GLOBUS zůstalo v regálu 10 kusů pomerančů, 13 banánů a 7 jablek. Jistý pán si vybírá dva druhy zbylého ovoce (oba po jednom kuse). Líbí se mu však slečna stojící ve frontě za ním a chce být alespoň trochu galantní. Nemůže ji však pustit před sebe, nebot jej doprovází žárlivá manželka. Určete, co si galantní pán vybere. Kolik bude mít slečna možností, hodlá-li koupit po jednom kusu od každého druhu ovoce? Příklad 3 (Rost) 2 body (7) Zvětšíme-li počet prvků o dva, zvětší se počet permutací 72krát. Určete n. Příklad 4 3 body (1/6) Házíme 2 hracími kostkami najednou. Jaká je pravděpodobnost, že součet čísel na obou kostkách bude větší než 9? Příklad 5 3 body (0,999) Děti skáčou do výšky. Pravděpodobnost, že naděje družstva neshodí laťku na výšce 165 cm je 0,9. Na závodech bude mít každý tři pokusy. Jaká je pravděpodobnost, že laťku ve výšce 165 cm přeskočí? Příklad 6 5 bodů Rodina plánuje v červenci 3 dny dovolené. Pravděpodobnost, že v červencovém dni vůbec nezaprší je 0,62. Pravděpodobnost, že alespoň chvíli prší, je 0,38. Počasí jednotlivých dnů je nezávislé na počasí ostatních dní. Jaká je pravděpodobnost, že: (a) po celou dobu dovolené nebude pršet (1 bod) (0,238) (b) každý den zaprší (1 bod) (0,055) (c) budou prevažovat dny bez deště (1 bod) (0,677) (d) bude alespon jeden den bez deště (1 bod) (0,945) (e) po celou dobu dovolené se ráz počasí nezmění? (1 bod) (0,293) Příklad 8 (Rost) 3 body (1/2) Máme k dispozici čtyři truhly. Jedna z nich je prázdná. Ostatní truhly obsahují peníze. Jaká je pravděpodobnost, že ukážeme na dvě truhly s penězi?

2 Příklad 7 6 bodů Ve skupině studentů je 18 matematiků", 12 techniků" a 7 právníků". Pravděpodobnost splnění úkolu ze statistiky je 0,9 u matematika, 0,75 u technika a 0,65 u právníka. (a) S jakou pravděpodobností náhodně vybraný student splní tento úkol? (3 body) (0,804) (b) Náhodně vybraný student splnil úkol ze statistiky. S jakou pravděpodobností se jednalo o právníka? (3 body) (0,153) Příklad 9 3 body Výrobní linka se sestává z 5-ti automatů. Aby byl výrobek dokončen musí projít všemi obráběcími procedurami. Žádná procedura neovlivňuje další. První automat produkuje zmetky s pravděpodobností 0,002, pro ostatní automaty jsou pravděpodobnosti produkce zmetku 0,01, 0,05, 0,008 a 0,003. Jaká je pravděpodobnost, že (a) linka vyrobila bezvadný výrobek, (2 body) (0,928) (b) výrobek, který prošel procedurou má vadu? (1 bod) (0,072) Příklad 10 (Rost) 1 bod (0,02) V loterii je 5000 losů, z nichž 100 vyhrává. Jaká je pravděpodobnost, že na zakoupený los vyhrajeme? Příklad 11 (Rost) 3 body (0,047) Předpokládejme, že se chystáme házet hrací kostkou až do té doby, než padne 5. Jaká je pravděpodobnost, že požadovaná pětka padne v 8. hodu? Příklad 12 (Biskup) 5 bodů Student jde na zkoušku, ale neví přesně, který ze tří možných předmětů (Matematika, Programování, Statistika) se zkouší. Předpokládá, že na 50% se zkouší Matematika a připouští, že z 25% se může zkoušet Programování a Statistika. Ví, že neumí 20% otázek z Matematiky, 40% z Programování a 30% ze Statistiky. (a) Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen? (2 body) (0,275) (b) Jaká je pravděpodobnost, že bude vyhozen z Matematiky, byl-li z Matematiky zkoušen? (1 bod) (0,2) (c) Bude-li vyhozen, jaká je pravděpodobnost toho, že to bude z Matematiky? (2 body) (0,364) Příklad 13 (Biskup) 5 bodů Nemocnice je z bezpečnostních důvodů zásobována elektrickou energií z pěti rovnocenných zdrojů. Každý zdroj je dostačující pro běh nemocnice. Porucha na prvním zdroji nastává s 0,2% pravděpodobností, pro další zdroje jsou pravděpodobnosti výpadku 0,01, 0,05, 0,008 a 0,003. Jaká je pravděpodobnost, že (a) elektrická energie bude, (2 body) (1-2,4*10-12 ) (b) budou v nemocnici startovat záložní agregát, (1 bod) (2,4*10-12 ) (c) na některém zdroji dojde k výpadku? (2 body) (0,072)

3 Příklad 14 (Rost) 3 body Při střeleckých závodech je terč tvořen třemi soustřednými kruhy o poloměrech r, 2r, 3r, které směrem od středu vytvářejí vnitřní kruh, vnitřní mezikruží a vnější mezikruží. Předpokládejte, že střelec vždy zasáhne terč. Určete pravděpodobnost, že a) byl zasažen vnitřní kruh, (1 bod) (1/9) b) bylo zasaženo vnitřní mezikruží (1 bod) (1/3) c) nebylo zasaženo vnější mezikruží. (1 bod) (4/9) Příklad 15 (Rost) 4 body (nejsou) Ze 200 ložisek je 130 první jakosti a 70 druhé jakosti. Z ložisek první jakosti bylo 80 vyrobeno na prvním stroji a 50 na druhém stroji. Z ložisek druhé jakosti bylo 40 vyrobeno na prvním stroji a 30 na druhém stroji. Jev A představuje náhodné vybrání ložiska první jakosti a jev B náhodné vybírání ložiska vyrobeného na prvním stroji. Jsou jevy A a B nezávislé? Příklad 16 (Rost) 5 bodů (0,7) Dva střelci střílejí na terč, přičemž pravděpodobnost zásahu druhého střelce je p2 = 0,8. Najděte pravděpodobnost p1 zásahu prvního střelce, jestliže pravděpodobnost právě jednoho zásahu (oba střelci střílejí zároveň) je p = 0; 38. Příklad 17 (Biskup) 6 bodů Celostátní pozorování zvyklostí manželských páru ukázalo, že potraviny pro domácnost pravidelně nakupují v 60% domácností manželky, z toho 40% manželek bere s sebou na nákup dítě a ve 30% domácností jdou na nákup spolu s manželkou muži. Celkově manželé (muži) nakupují ve 25% domácnostech. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybrané domácnosti: (a) chodí na nákup zásadne oba manželé (1 bod) (0,18) (b) chodí na nákup alespoň jeden z manželů (neposílají děti, babičku apod. (1 bod) (0,67) (c) nenakupuje žádný z manželu (muž + žena) (1 bod) (0,33) (d) jde-li na nákup manžel, doprovodí jej manželka (2 body) (0,72) (e) nakupuje manželka a bere s sebou dítě? (1 bod) (0,24) Příklad 18 (Rost) 4 body (0,12) V prvním koši je 9 červených jablek a 2 jablka zelená, ve druhém koši je 8 jablek červených a 1 jablko zelené. Z prvního koše bylo náhodně vybráno jedno jablko a přeřazeno do druhého koše. Z druhého koše bylo potom vybráno jedno jablko. Jaká je pravděpodobnost, že je toto jablko zelené? Příklad 19 (Rost) 2 body (0,25) V antikvariátu mají knihy, z nichž 10% má vytrženou stranu, 30% je popsáno poznámkami a 65 % knih je bez závad. Jaká je pravděpodobnost, že kniha, kterou si vyberu, je popsána poznámkami, ale má všechny strany?

4 Příklad 20 (Rost) 4 body (0,665) Házíme šesti hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne šestka? Příklad 21 (Rost) 3 body (1-8,1*10-8 ) Přístroj sestává ze 400 nezávisle pracujících součástí, z nichž každá má stejnou pravděpodobnost poruchy, totiž 0,04. Jaká je pravděpodobnost poruchy přístroje v důsledku poruchy alespoň jedné ze součástí? Příklad 22 (Rost) 5 bodů (0,45) Do nemocnice přichází 50% nemocných s chorobou K, 30% s chorobou L a 20% s chorobou M. Pravděpodobnost úplného vyléčení je u choroby K 0,7 u choroby L 0,8 a u choroby M 0,9. Určete jaká je pravděpodobnost, že pacient trpěl chorobou K, jestliže opustil nemocnici úplně vyléčen? Příklad 23 (Rost) 5 bodů Ve spořitelně pracuje 15 mužů a 21 žen, z toho 6 zaměstnanců je zákazníky e-banky. Vypočítejte pravděpodobnost, že jsou to a) jen muži (1 bod) (0,0026) b) jen ženy (1 bod) (0,028) c) z jedné poloviny ženy a z jedné poloviny muži (2 body) (0,311) d) bud samí muži nebo samé ženy. (1 bod) (0,0306) Příklad 24 (Rost, Biskup) 6 bodů Pro naléhavou potřebu byli povoláni dobrovolní dárci krve. Dostavilo se 15 lidí, z nichž 8 mělo krevní skupinu A, 5 dárců krevní skupinu B a 2 krevní skupinu AB. Transfúzní stanice disponuje celkem pěti odběrovými boxy. Určete pravděpodobnost, že mezi prvními dárci krve bude: a) všech 5 dárců s krevní skupinou A (1 bod) (0,019) b) jsou tři s krevní skupinou A a zároveň 2 s krevní skupinou B (2 body) (0,186) c) jsou dva s krevní skupinou A, jeden s krevní skupinou B a dva s krevní skupinou AB? (3 body) (0,047) Příklad 26 (Rost) 4 body (25) V jedoucím autobuse je právě n pasažérů. Počet variací druhé třídy bez opakování které lze z těchto pasažérů sestavit je o 300 větší než počet kombinací druhé třídy bez opakování, které z nich lze sestavit. Určete, kolik pasažérů jede v autobuse?

5 Příklad 25 (Rost, Biskup :) 6 bodů Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi budou: a) první dva chlapci a další dvě dívky? (1 bod) (0,062) b) první dva chlapci? (1 bod) (0,265) c) právě dva chlapci? (2 body) (0,374) d) alespoň dva chlapci? (2 body) (0,710) Příklad 27 (Rost) 2 body (0,792) Zákazník si chce koupit sáček mléka a konzervu. V obchodě je 30 sáčků mléka, z toho 5 z minulého dne a 20 konzerv s nečitelným datem výroby, z toho 1 s prošlou záruční dobou. jaká je pravděpodobnost, že si zákazník koupí dnešní mléko a konzervu v záruce? Příklad 28 (Rost) 3 body 40% zaměstnanců firmy Lingea s.r.o. umí anglicky, 35% zaměstnanců umí německy a 15 % hovoří jak anglicky tak i německy. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný zaměstnanec umí: a) anglicky nebo německy (1 bod) (0,6) b) neumí ani jeden cizí jazyk (1 bod) (0,4) c) umí německy, ale neumí anglicky? (1 bod) (0,2) Zapište pomocí množinových operací sjednocení, průnik, doplněk, rozdíl. Příklad 29 4 body Ve skupině 25 studentů (15 dívek a 10 chlapců) se losují 3 studenti a) Jaká je pravděpodobnost, že bude jako první vylosovaná dívka? (1 bod) (0,6) b) První je vylosovaná dívka. Jaká je pravděpodobnost, že bude opět vylosovaná dívka? (1 bod) (0,583) c) Jako první byly vylosovány 2 dívky. Jaká je pravděpodobnost, že bude třetí opět vylosovaná dívka? (1 bod) (0,565) d) Jaká je pravděpodobnost, že byly vylosovány 3 dívky? (1 bod) (0,198) Příklad 30 4 body Aby měl student vyznamenání, musí mít průměr do 1,5. Uvedenému kritériu vyhovuje 38 % dívek a 29 % chlapců. Jaká je pravděpodobnost, když se zeptáme smíšené dvojice náhodně vybrané že: a) budou mít oba vyznamenání (1 bod) (0,11) b) bude mít vyznamenání pouze dívka (1 bod) (0,27) c) bude mít vyznamenání právě jeden z páru (1 bod) (0,45) d) nebude mít vyznamenání nikdo (1 bod) (0,44)

6 Příklad 31 3 body V textu je 8 otázek, každá má 5 možných odpovědí, vždy jen jedna je správná. a) Jaká je pravděpodobnost, že při náhodné volbě odpovíme na všech 8 otázek správně? (1 bod) (2,6*10-6 ) b) Jaká je pravděpodobnost, že při náhodné volbě odpovíme na 3 otázky správně? (2 body) (0,147) Příklad 32 Řešený Ve skříni je 5 párů bot. Tatínek potmě, aby nevzbudil děti, vybere 4 boty s nadějí, že si vybral alespoň dvě do páru. Vypočtěte, jakou má šanci (pravděpodobnost), že se mu to podařilo. (0,62) Příklad 33 (Rost) 4 body Podle telefonního seznamu žije v Českých Budějovicích 15 Svobodů, z nichž dva jsou mými přáteli. V rámci anketního šetření navštívili tazatelé 5 občanů tohoto jména. Jaká je pravděpodobnost, že mezi navštívenými bude a) alespoň jeden z mých přátel, (2 body) (0,57) b) první můj přítel? (2 body) (0,133) Příklad 34 2 body (34 650) Kolik možností (permutací) můžeme vytvořit z písmen slova MISSISSIPPI Příklad 35 2 body (6 600) Hokejové mužstvo má 20 hráčů: 12 útočníků, 6 obránců a 2 brankáře. Kolik různých sestav by mohl trenér vytvořit?