Příklady na derivace a integrály. arboristika kombinovaná arboristika denní Robert Mařík,

Transkript

1 Příklady na derivace a integrály arboristika kombinovaná arboristika denní Robert Mařík, Ústav matematiky MENDELU, (podle knihy Stewart: Calculus)

2 1. Vypočtěte derivace funkcí y = x + x 2 sin(x) y = 2x + 3 sin(x 6 ) y = 1 x ln x

3 2. Biologové navrhli funkci L = A A A jako model délky ryby Sebastes ruberrimus, kde L je délka ryby v palcích, dl A je věk v letech. Vypočtěte derivaci. Určete jednotku této derivace a da slovní interpretaci hodnoty derivace v bodě A = 12.

4 Řešení: [ dl da] = in/rok, tj. palec za rok. Platí a pro A = 12 dostáváme dl da = A A = A A dl = da A=12 Dvanáctiletá ryba roste rychlostí přibližně palců za rok, tj. mezi dvanáctým a třináctým rokem vyroste přibližně o palce.

5 3. Životnost pneumatiky (L v tisících kilometrů) souvisí s tlakem, na který je pneumatika nahuštěna (P v kilopaskalech). Určete jednotky derivace dl a dp slovní interpretaci této derivace pro P = 200. Odhadněte hodnotu derivace z tabulky udávající vztah mezi tlakem a životností. P L

6 Řešení: Jednotkou je tisíc kilometrů na kilopascal (tis.km/kpa) což je rovno kilometru na pascal (km/pa). Numericky derivace pro P = 200 udává, o kolik tisíc kilometrů se prodlouží životnost pneumatiky při natlakování tlakem 201 kpa v porovnání s životností při tlaku 200 kpa. Odhad této derivace je dl dp P= = = 0.95.

7 4. Nafukujeme balon kulovitého tvaru tj. V = 4πr 3. Slovně interpretujte 3 derivace dv a dv dv, u každé derivace určete i jednotku. Vyjádřete pomocí dt dr dt r a dr dt

8 Řešení: Jednotka derivace dv bude jednotka objemu dělená jednotkou času. Pokud například dt objem měříme v metrech krychlových (m 3 ) a čas v minutách (min), máme [ ] dv = m 3 /min. dt Derivace dv udává, jak rychle roste objem balonu s časem, tj. o kolik se zvětší objem balonu dt za jednotku času. Derivace dv udává, jak rychle roste objem balonu s poloměrem, tj. o kolik se zvětší objem balonu dr při zvětšení poloměru o jednotku. Jednotka derivace dv bude jednotka objemu dělená jednotkou dr délky. Pokud například objem měříme v metrech krychlových (m 3 ) a poloměr v metrech, [ ] dv = m 3 /m = m 2. dt Derivováním vztahu V = 4 3 πr 3 podle t dostáváme dv dt = 4πr 2 dr dt.

9 5. Náklady na produkci x letadel za rok jsou (v milionech Euro) dány funkcí C(x) = 6 + 4x + 4, 0 x 30. Platí C (15) = Určete, jakou tato derivace má slovní interpretaci a určete i jednotku této derivace.

10 Řešení: Šestnácté letadlo má výrobní náklady 0.25 milionů euro. Jednotka derivace C (x) je milioneuro/kus, resp. milioneuro/letadlo.

11 6. Pásový dopravník sype písek na hromadu ve tvaru kužele V = 1πr 2 h. 3 Tvar zrna písku určuje, že hromada bude mít v každém okamžiku stejný průměr a výšku, tj. platí V = 1 12 πh3. Určete, v jakých jednotkách určujeme derivace dv a najděte slovní interpretaci těchto derivací., dv, dh, dh dh dt dv dt Která z těchto derivací bude zadána, pokud víme, že dopravník dopraví na hromadu každou minutu 2m 3 písku? Vyjádřete dv pomocí h a dh. Odsud dt dt vyjádřete dh dv pomocí h a. Oběma vztahům dejte slovní interpetaci. dt dt

12 Řešení: Měříme-li výšku v metrech, objem v metrech krychlových a čas v minutéch, máme [ ] [ ] [ ] [ ] dv = m 2 dv, = m 3 dh /min, = m 2 dh, = m/min. dh dt dv dt Derivace dv udává, jak rychle roste objem hromady s výškou, tj. o kolik se zvětší objem dh hromady při zvětšení výšky o jednotku. Derivace dv dt udává, jak rychle roste objem hromady s časem, tj. o kolik se zvětší objem = 2m 3 /min. hromady za jednotku času. Podle zadání je dv dt Derivace dv dh hromady při jejím zvýšení o jednotku. udává, jak rychle roste výška hromady s objemem, tj. o kolik se zvětší výška Derivace dh udává, jak rychle roste výška hromady s časem, tj. o kolik se zvětší výška dt hromady za jednotku času. Platí dv dt = 1 dh 4 πh2 dt a odsud dh dt = 4 dv πh 2 dt, tj. výška hromady roste rychlostí úměrnou rychlosti dopravníku a nepřímo úměrnou druhé mocnině výšky hromady. Konstanta úměrnosti je 4 π.

13 7. Vulkán chrlí vyvřeliny rychlostí r(t) (v tunách za vteřinu). Navrhněte, jak pomocí r(t) vypočítat množství vyvřelin za 6 vteřin. Nechť je r(t) je aproximována následující tabulkou. Navrhněte metodu jak odhadnout množství vyvřelin. t r(t)

14 Řešení: 6 0 r(t)dt = 1 ( ) 2 Jedná se vlastně o lichoběžníkové pravidlo s krokem 1 a funkcí danou tabulkou.

15 8. Najděte slovní interpretaci integrálu 10 0 r(t)dt, kde r(t) je rychlost s jakou vytéká olej z děravé nádrže (v litrech za minutu) a t je čas v minutách. Vypočtěte integrál pro r(t) = 200 4t.

16 Řešení: Integrál udává objem oleje, který vyteče za prvních 10 minut. Pro zadanou funkci dostáváme 10 0 r(t)dt = 10 0 (200 4t)dt = [ 200t 2t 2] 10 0 = (0 0) = 1800

17 9. Populace včel o počáteční velikosti 100 včel se rozmnožuje rychlostí r(t). Najděte slovní interpretaci výrazů a r(t)dt, 15 0 r(t)dt.

18 Řešení: První integrál značí přírůstek populace včel za patnáct jednotek času, druhý integrál značí celkovou velikost populace včel po uplynutí patnácti jednotek času. (Jednotky času nejsou v zadání specifikovány.)

19 10. Vypočtěte integrály x sin x dx x x dx 3 1 x 2 + 2x dx

20 Příklady na modely fyzikálních a biologických jevů a dějů arboristiska kombinovaná arboristika denní

21 11. V nádrži je počáteční množství nečistot. Do nádrže teče konstantní rychlostí r čistá voda, mísí se se znečištěnou a odtéká. Průtok na odtoku je stejný jako průtok na přítoku. Sestavte model popisující vývoj množství nečistot v čase. Modifikujte předchozí model tak, že budete předpokládat, že v přitékající vodě je přítomno konstantní množství nečistot p.

22 Řešení: Pokud přitéká jenom čistá voda, je proces modelován rovnicí dx dt = r x V = r V x x kde x je množství nečistot, je koncentrace nečistot a r x V V nečistot, které vyteče za jednotku času. je množství

23 12. Do těla pacienta je konstantní rychlostí dodáván lék pomocí infuze, tělo pacienta odbourává lék rychlostí, která je úměrná koncentraci léku v krvi. Sestavte model popisující koncentraci léku v krvi pacienta.

24 13. Kapka vody kulovitého tvaru v atmosféře roste tak, že rychlost, s jakou se zvětšuje její objem je přímo úměrná velikosti povrchu. Ukažte, že dv = dt kv 2/3 je model popisující změnu objemu kapky v čase. Ukažte, že řešeními tohoto modelu je například V (t) = 0 nebo V (t) = ( k 3 3) t 3.

25 14. Kruhová ropná skvrna na hladině se rozšiřuje tak, že poloměr roste rychlostí, která je nepřímo úměrná druhé mocnině poloměru. Sestavte model popisující tento proces.

26 Řešení: kde k je konstanta úměrnosti. dr dt = kr 2,

27 15. Podle Newtonova zákona tepelné výměny je rychlost změny teploty při tepelné výměně úměrná rozdílu teplot. Uvažujme horký nápoj přinesený do chladné místnosti. Sestavte model popisující chladnutí nápoje.

28 Řešení: dt dt = k(t T 0) kde k je konstanta úměrnosti, T je teplota nápoje, T 0 je teplota místnosti a T T 0 je rozdíl teplot nápoje a místnosti.

29 16. Mnoho živočichů roste tak, že mohou dorůstat jisté maximální délky a rychlost jejich růstu je úměrná délce, která jim do této maximální délky chybí (tj. kolik ještě musí do této maximální délky dorůst). Sestavte model popisující takovýto růst.

30 Řešení: dl dt = k(l MAX L) kde k je konstanta úměrnosti, L je délka živočicha, L MAX je maximální délka, do které živočich doroste, L MAX L je délka, která živočichovi do maximální délky chybí.

31 17. Rychlost učení (tj. časová změna objemu osvojené látky) je úměrná objemu dosud nenaučené látky. Sestavte model pro proces učení probíhající podle těchto pravidel.

32 18. Plníme nádrž vodou. Voda přitéká konstantní rychlostí k litrů/sec. Kvůli netěsnostem voda vytéká rychlostí úměrnou druhé mocnině objemu vody v nádrži. Na počátku nádrž obsahovala 100 litrů vody. Napište model pro tento proces.

33 Řešení: dv dt = k k 1V 2, V (0) = 100, kde k je rychlost přítoku, k 1 je konstanta úměrnosti.

34 19. Vika má na účtu 150 tisíc Kč. Každý měsíc se jí připíše úrok ve výši 0.22% a odešle 6200 Kč na poplatky. Napište matematický model pro tento proces.

35 Řešení: dx = x 6 200, V (0) = , dt kde t je čas v měsících.

36 20. Chemikálii rozpouštíme v nádrži tak, že do nádrže pumpujeme vodu a směs odčerpáváme. Objem směsi roste podle vztahu t. Množství chemikálie z klesá rychlostí, která je úměrná z a nepřímo úměrná objemu roztoku v nádrži. Napište matematický model.

37 21. Velikost populace roste rozmnožováním a tento růst je brzděn lovem populace. Rychlost s jakou se populace rozmnožuje je přímo úměrná velikosti populace a procentu volné kapacity v prostředí s omezenou nosnou kapacitou (tj. jde o logistický růst). Rychlost lovu je buď konstantní, nebo úměrná velikosti populace. Modelujte obě strategie lovu.

38 22. Populace jelenů v národním parku přibývá rychlostí 10% za rok. Správa parku každý rok odebere 50 jedinců. Napište matematický model pro velikost populace jelenů v oboře.

39 Řešení: kde t je čas v letech. dx dt = 0.12x 20,