Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.

Transkript

1 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti prázdných políček s otazníkem doplňte funkci (obrázek nebo funkční předpis), která má požadované vlastnosti. Pokud taková funkce neexistuje, stručně napište proč. (Tabulku překreslete na papír s dostatečně velkými políčky.) Pokud je to možné, volte příklad tak, aby x 0 = 0. v bodě x 0 je lokální extrém v bodě x 0 není lokální extrém f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) > 0?????? 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce f (x 0 ) neexistuje y = ln x x 2, y 2 = x 2 ln x, y 3 = ln(x + x 2 ) 3. [6 bodů] Je dána funkce y = x2 (x + 3) 2 a její derivace y = 2 3x +. Najděte intervaly monotonie (x + 3) 3 a lokální extrémy této funkce. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici primitivní funkce. b) Vypočtěte + 3 x dx c) Dvojný integrál počítáme převodem na integrál dvojnásobný. Za určitých podmínek je možné jej vypočítat jednodušeji, jako součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. Zformulujte tyto podmínky a zformulujte příslušný vztah pro převod dvojného integrálu na součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. 5. [8 bodů] a) Ledová koule taje tak, že rychlost s jakou ubývá její objem je nezávislá na čase a přímo úměrná povrchu koule. Sestavte diferenciální rovnici modelující tento proces. b) Napište některá další využití derivace (jiná, než pro sestavování modelů založených na diferenciálních rovnicích jako v předchozím bodě). 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici ln(x 3) = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

2

3 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě x =. y = x 3 + ln x c) Tečna se používá v Newtonově (Newton- Raphsonově) metodě. K řešení jakých úloh tato metoda slouží? d) Zformulujte Bolzanovu větu. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici střední hodnoty funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. b) Určete střední [ hodnotu funkce y = cos(x) na intervalu 0, π ] 2 c) Z derivace součinu odvoďte vzorec pro metodu per-partés. Napište alespoň dva integrály typické a vhodné pro výpočet touto metodou a jeden z nich vypočtěte jako ukázku aplikace této metody. 5. [0 bodů] 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce y = x x 2 +, y 2 = x 2 sin x, y 3 = x 2 sin(2x) (x )2 3. [6 bodů] Je dána funkce y = a její x + 2 derivace y (x )(x + 5) = (x + 2) 2. Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál xdxdy M kde M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 e 2x 5 = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí od 3:00 do 3:30 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

4

5 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy(AMPA), LDF, minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [0 bodů] Diferenciální počet a) Definujte pojmy rostoucí funkce a klesající funkce, b) Napište jak souvisí lokální extrémy s derivací. Co je možno říci o derivaci v bodě lokálního extrému? (Fermatova věta.) c) Funkce f(x)vbodě x = splňuje f () > 0. Rozeberte z hlediska spojitosti, monotonie a existence lokálního extrému všechny možnosti, které mohou nastat. Tj. napište, (a) jestlijenutněspojitá,nebojestlimůžemítbodnespojitosti, (b) jestli je rostoucí/klesající/můžou nastat obě varianty/měnímonotonii/..., (c) jestli má/může mít ale nemusí/nemůže mít lokální extrém. d) Funkce f(x) v bodě x = splňuje f () = 0. Stejně jako v předchozím příkladě rozeberte z hlediska spojitosti, monotonie a existence lokálního extrému všechny možnosti, které mohou nastat. 2. [0 bodů] Integrální počet a) Napište, jak je možno vypočítat určitý integrál pomocí neurčitého integrálu (Newtonova- Leibnizova věta). b) Napište, jak je možno aproximovat určitý integrál bez pomoci neurčitého integrálu(název metody a její geometrické pozadí). c) Napište, jak je možno zapsat primitivní funkci pomocí určitého integrálu(napište primitivní funkci sinx kfunkci (na nějakém intervalu neobsahujícím x nulu). 3. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály ( ) a) x 2 + = b) x ln2 xdx = 4. [6bodů] Jedánafunkce y = x 2 x ajejíderivace y = x+2 2x x. Napištelineárníaproximacitétofunkce vokolíbodu x =. 5. [0bodů] V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál ydxdy M kde M ječtvrtinajednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 2ln(2 x) = 0. Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. Písemky budou k prohlédnutí od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

6

7 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy AMPA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [7 bodů] Definujte pojmy a) rostoucí funkce a klesající funkce, b) prostá a inverzní, c) primitivní funkce. 2. [9 bodů] a) Napište vzorec pro aproximaci funkce y = f(x) v okolí bodu x 0 lineární funkcí. b) Napište jak souvisí Newtonova metoda hledání nulových bodů funkce s lineární aproximací funkce a s tečnou. c) Ná základě předchozích bodů odvoďte vzorec pro Newtonovu metodu. 3. [8 bodů] Jako milovník kávy máte následující problém. Máte papír na kávový filtr kruhového tvaru o poloměru R, vystřihnutím kruhové výseče vznikne kávový filtr. Máme zvolit úhel x, aby se do něj vešlo co nejvíce kávy? Výpočet nás přivede ke vzorci V (x) = R3 x 2 24π 2 4π2 x 2. Vhodnou volbou jednotek dosáhneme toho, že V (x) = Kx 2 x 2 kde K je kladná konstanta. Pro tuto funkci musíme najít lokální extrém. a) Vysvětlete, proč je možno místo úlohy řešit úlohu x 2 x 2 min x 4 ( x 2 ) min a v čem je tato nová úloha jednodušší. b) Najděte ve kterých bodech má funkce y = x 4 ( x 2 ) lokální extrém. Uvažujte pouze interval (0, ). 4. [8 bodů] Zformulujte Fubiniovu větu (převod dvojného integrálu na dvojnásobný) a) pro obdélník b) pro neobdélníkovou oblast (vyberte si jednu z možných variant pokrytých Fubiniovou větou) 5. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály [ a) x 2 ln(x + )] = b) c) d) [ 2 + sin(x 3 + ) ] = 4 6. [5 bodů] x ln x dx = x dx = Zapište integrál xy 2 dxdy M v polárních souřadnicích. Množina M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. Integrál nepočítejte, pouze jej zapište pomocí dvou integrálů funkce jedné proměnné. 7. [5 bodů] Vyřešte rovnici 2 e 2 x = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout v pátek v :30 v pracovně přednášejícího. Jiné dny po předchozí domluvě. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A dx = 2 A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x dx = 2 2A ln x A x + A

8

9 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy AMPA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [ bodů] Diferenciální počet Vysvětlete vztah mezi následujícími pojmy: (A) spojitost a existence derivace a integrálu a) Plyne z existence derivace funkce v bodě a spojitost v bodě a? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. b) Plyne ze spojitosti funkce v bodě a existence derivace funkce v bodě a? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. c) Plyne ze spojitosti funkce na otevřeném intervalu (a, b) existence primitivní funkce na (a, b)? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. (B) derivace a lokální extrém d) Plyne z existence lokálního minima funkce v bodě a něco pro derivaci funkce v bodě a? Co? (Uveďte všechny možnosti a ukažte na příkladě, že mohou skutečně nastat) e) Jaká hodnota derivace f (a) zaručí, že v bodě a má funkce lokální minimum? Pokud taková hodnota neexistuje, napište stručně dodatečné podmínky, které existenci lokálního extrému zajistí. 2. [7 bodů] Integrální počet a) Definujte integrální střední hodnotu funkce f(x) na intervalu [a, b] b) Vypočtěte pomocí substituce integrál 3xe x2 dx a napište vzorec pro substituční metodu v obecném tvaru. 3. [6 bodů] Aproximační metody a) Napište vzorec pro aproximaci funkce y = f(x) v okolí bodu x 0 lineární funkcí. b) Metoda půlení intervalu je založena na Bolzanově větě. Zformulujte tuto větu a napište, ze které země (případně města) Bernard Bolzano pocházel. 4. [8 bodů] Ledová koule poloměru r = m taje tak, že poloměr se zmenšuje rychostí 2 cm za den. Jak rychle se zmenšuje objem V? Pracujte s okamžitými rychlostmi (tj. s derivacemi) a se vzorcem V = 4 3 πr3. Pokud není zadáno dost informací, vyřešte úlohu obecně a dopište, jaké další informace jsou potřeba k vyřešení úlohy. 5. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály [ a) x 2 sin(x + )] = b) c) d) [ x + e x3 + ] = 2 ln x dx = x 2 + dx = 6. [5 bodů] Funkce y = x3 má derivaci x 3 y = x2 (2x 9). Najděte intervaly kde je funkce rostoucí a kde klesající a najděte všechny lokální extrémy této (x 3) 2 funkce. Pokud se vám to nepodaří, zkuste (za 3 body) výpočtem potvrdit, že derivace je zadána správně. 7. [5 bodů] Vyřešte rovnici 3 + ln(3x + ) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout dnes od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Jiné dny po předchozí domluvě. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A dx = 2 A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x dx = 2 2A ln x A x + A

10

11 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě x =. y = 2 x 3 + ln x c) Tečna se používá v Newtonově (Newton- Raphsonově) metodě. K řešení jakých úloh tato metoda slouží? Jak je možno geometricky interpretovat tuto metodu. d) Zformulujte Bolzanovu větu. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici střední hodnoty funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. b) Určete střední hodnotu funkce y = x 2 na intervalu [0, 2]. c) Napište vzorec pro substituci v integrálu ϕ(x) = t f(ϕ(x))ϕ (x) dx a napište a vypočtěte vhodný (lehký) integrál ilustrující použití tohoto vzorce. 5. [0 bodů] 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce y = x x 2 +, y 2 = x 3 ln x, y 3 = x 3 ln(x 2 + ) (x )2 3. [6 bodů] Je dána funkce y = a její x + 2 derivace y (x )(x + 5) = (x + 2) 2. Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál xdxdy M kde M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici e 3x+2 4 = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí v 2:30 v B44. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

12