Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5."

Transkript

1 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti prázdných políček s otazníkem doplňte funkci (obrázek nebo funkční předpis), která má požadované vlastnosti. Pokud taková funkce neexistuje, stručně napište proč. (Tabulku překreslete na papír s dostatečně velkými políčky.) Pokud je to možné, volte příklad tak, aby x 0 = 0. v bodě x 0 je lokální extrém v bodě x 0 není lokální extrém f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) = 0 f (x 0 ) existuje a f (x 0 ) > 0?????? 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce f (x 0 ) neexistuje y = ln x x 2, y 2 = x 2 ln x, y 3 = ln(x + x 2 ) 3. [6 bodů] Je dána funkce y = x2 (x + 3) 2 a její derivace y = 2 3x +. Najděte intervaly monotonie (x + 3) 3 a lokální extrémy této funkce. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici primitivní funkce. b) Vypočtěte + 3 x dx c) Dvojný integrál počítáme převodem na integrál dvojnásobný. Za určitých podmínek je možné jej vypočítat jednodušeji, jako součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. Zformulujte tyto podmínky a zformulujte příslušný vztah pro převod dvojného integrálu na součin dvou integrálů funkce jedné proměnné. 5. [8 bodů] a) Ledová koule taje tak, že rychlost s jakou ubývá její objem je nezávislá na čase a přímo úměrná povrchu koule. Sestavte diferenciální rovnici modelující tento proces. b) Napište některá další využití derivace (jiná, než pro sestavování modelů založených na diferenciálních rovnicích jako v předchozím bodě). 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici ln(x 3) = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

2

3 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě x =. y = x 3 + ln x c) Tečna se používá v Newtonově (Newton- Raphsonově) metodě. K řešení jakých úloh tato metoda slouží? d) Zformulujte Bolzanovu větu. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici střední hodnoty funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. b) Určete střední [ hodnotu funkce y = cos(x) na intervalu 0, π ] 2 c) Z derivace součinu odvoďte vzorec pro metodu per-partés. Napište alespoň dva integrály typické a vhodné pro výpočet touto metodou a jeden z nich vypočtěte jako ukázku aplikace této metody. 5. [0 bodů] 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce y = x x 2 +, y 2 = x 2 sin x, y 3 = x 2 sin(2x) (x )2 3. [6 bodů] Je dána funkce y = a její x + 2 derivace y (x )(x + 5) = (x + 2) 2. Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál xdxdy M kde M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 e 2x 5 = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí od 3:00 do 3:30 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

4

5 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy(AMPA), LDF, minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [0 bodů] Diferenciální počet a) Definujte pojmy rostoucí funkce a klesající funkce, b) Napište jak souvisí lokální extrémy s derivací. Co je možno říci o derivaci v bodě lokálního extrému? (Fermatova věta.) c) Funkce f(x)vbodě x = splňuje f () > 0. Rozeberte z hlediska spojitosti, monotonie a existence lokálního extrému všechny možnosti, které mohou nastat. Tj. napište, (a) jestlijenutněspojitá,nebojestlimůžemítbodnespojitosti, (b) jestli je rostoucí/klesající/můžou nastat obě varianty/měnímonotonii/..., (c) jestli má/může mít ale nemusí/nemůže mít lokální extrém. d) Funkce f(x) v bodě x = splňuje f () = 0. Stejně jako v předchozím příkladě rozeberte z hlediska spojitosti, monotonie a existence lokálního extrému všechny možnosti, které mohou nastat. 2. [0 bodů] Integrální počet a) Napište, jak je možno vypočítat určitý integrál pomocí neurčitého integrálu (Newtonova- Leibnizova věta). b) Napište, jak je možno aproximovat určitý integrál bez pomoci neurčitého integrálu(název metody a její geometrické pozadí). c) Napište, jak je možno zapsat primitivní funkci pomocí určitého integrálu(napište primitivní funkci sinx kfunkci (na nějakém intervalu neobsahujícím x nulu). 3. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály ( ) a) x 2 + = b) x ln2 xdx = 4. [6bodů] Jedánafunkce y = x 2 x ajejíderivace y = x+2 2x x. Napištelineárníaproximacitétofunkce vokolíbodu x =. 5. [0bodů] V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál ydxdy M kde M ječtvrtinajednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici 5 2ln(2 x) = 0. Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. Písemky budou k prohlédnutí od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

6

7 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy AMPA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [7 bodů] Definujte pojmy a) rostoucí funkce a klesající funkce, b) prostá a inverzní, c) primitivní funkce. 2. [9 bodů] a) Napište vzorec pro aproximaci funkce y = f(x) v okolí bodu x 0 lineární funkcí. b) Napište jak souvisí Newtonova metoda hledání nulových bodů funkce s lineární aproximací funkce a s tečnou. c) Ná základě předchozích bodů odvoďte vzorec pro Newtonovu metodu. 3. [8 bodů] Jako milovník kávy máte následující problém. Máte papír na kávový filtr kruhového tvaru o poloměru R, vystřihnutím kruhové výseče vznikne kávový filtr. Máme zvolit úhel x, aby se do něj vešlo co nejvíce kávy? Výpočet nás přivede ke vzorci V (x) = R3 x 2 24π 2 4π2 x 2. Vhodnou volbou jednotek dosáhneme toho, že V (x) = Kx 2 x 2 kde K je kladná konstanta. Pro tuto funkci musíme najít lokální extrém. a) Vysvětlete, proč je možno místo úlohy řešit úlohu x 2 x 2 min x 4 ( x 2 ) min a v čem je tato nová úloha jednodušší. b) Najděte ve kterých bodech má funkce y = x 4 ( x 2 ) lokální extrém. Uvažujte pouze interval (0, ). 4. [8 bodů] Zformulujte Fubiniovu větu (převod dvojného integrálu na dvojnásobný) a) pro obdélník b) pro neobdélníkovou oblast (vyberte si jednu z možných variant pokrytých Fubiniovou větou) 5. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály [ a) x 2 ln(x + )] = b) c) d) [ 2 + sin(x 3 + ) ] = 4 6. [5 bodů] x ln x dx = x dx = Zapište integrál xy 2 dxdy M v polárních souřadnicích. Množina M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. Integrál nepočítejte, pouze jej zapište pomocí dvou integrálů funkce jedné proměnné. 7. [5 bodů] Vyřešte rovnici 2 e 2 x = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout v pátek v :30 v pracovně přednášejícího. Jiné dny po předchozí domluvě. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A dx = 2 A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x dx = 2 2A ln x A x + A

8

9 Zkouška z Aplikované matematiky pro Arboristy AMPA (LDF, ) 60 minut Jméno: Součet Koeficient Body. [ bodů] Diferenciální počet Vysvětlete vztah mezi následujícími pojmy: (A) spojitost a existence derivace a integrálu a) Plyne z existence derivace funkce v bodě a spojitost v bodě a? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. b) Plyne ze spojitosti funkce v bodě a existence derivace funkce v bodě a? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. c) Plyne ze spojitosti funkce na otevřeném intervalu (a, b) existence primitivní funkce na (a, b)? Pokud ne, uveďte vhodný příklad. (B) derivace a lokální extrém d) Plyne z existence lokálního minima funkce v bodě a něco pro derivaci funkce v bodě a? Co? (Uveďte všechny možnosti a ukažte na příkladě, že mohou skutečně nastat) e) Jaká hodnota derivace f (a) zaručí, že v bodě a má funkce lokální minimum? Pokud taková hodnota neexistuje, napište stručně dodatečné podmínky, které existenci lokálního extrému zajistí. 2. [7 bodů] Integrální počet a) Definujte integrální střední hodnotu funkce f(x) na intervalu [a, b] b) Vypočtěte pomocí substituce integrál 3xe x2 dx a napište vzorec pro substituční metodu v obecném tvaru. 3. [6 bodů] Aproximační metody a) Napište vzorec pro aproximaci funkce y = f(x) v okolí bodu x 0 lineární funkcí. b) Metoda půlení intervalu je založena na Bolzanově větě. Zformulujte tuto větu a napište, ze které země (případně města) Bernard Bolzano pocházel. 4. [8 bodů] Ledová koule poloměru r = m taje tak, že poloměr se zmenšuje rychostí 2 cm za den. Jak rychle se zmenšuje objem V? Pracujte s okamžitými rychlostmi (tj. s derivacemi) a se vzorcem V = 4 3 πr3. Pokud není zadáno dost informací, vyřešte úlohu obecně a dopište, jaké další informace jsou potřeba k vyřešení úlohy. 5. [8 bodů] Vypočtěte následující derivace a integrály [ a) x 2 sin(x + )] = b) c) d) [ x + e x3 + ] = 2 ln x dx = x 2 + dx = 6. [5 bodů] Funkce y = x3 má derivaci x 3 y = x2 (2x 9). Najděte intervaly kde je funkce rostoucí a kde klesající a najděte všechny lokální extrémy této (x 3) 2 funkce. Pokud se vám to nepodaří, zkuste (za 3 body) výpočtem potvrdit, že derivace je zadána správně. 7. [5 bodů] Vyřešte rovnici 3 + ln(3x + ) = 0 Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Opravené písemky je možné si prohlédnout dnes od :30 do 2:00 v pracovně přednášejícího. Jiné dny po předchozí domluvě. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny. A 2 x = arcsin x 2 A x 2 + A dx = 2 A arctan x A x x 2 ± B = ln + x 2 ± B A 2 x dx = 2 2A ln x A x + A

10

11 Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut Jméno: Součet Koeficient Body. [0 bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě x 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce v bodě x =. y = 2 x 3 + ln x c) Tečna se používá v Newtonově (Newton- Raphsonově) metodě. K řešení jakých úloh tato metoda slouží? Jak je možno geometricky interpretovat tuto metodu. d) Zformulujte Bolzanovu větu. 4. [0 bodů] Integrální počet a) Napište definici střední hodnoty funkce y = f(x) na intervalu [a, b]. b) Určete střední hodnotu funkce y = x 2 na intervalu [0, 2]. c) Napište vzorec pro substituci v integrálu ϕ(x) = t f(ϕ(x))ϕ (x) dx a napište a vypočtěte vhodný (lehký) integrál ilustrující použití tohoto vzorce. 5. [0 bodů] 2. [8 bodů] Zderivujte následující funkce y = x x 2 +, y 2 = x 3 ln x, y 3 = x 3 ln(x 2 + ) (x )2 3. [6 bodů] Je dána funkce y = a její x + 2 derivace y (x )(x + 5) = (x + 2) 2. Najděte intervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. V polárních i kartézských souřadnicích zapište integrál xdxdy M kde M je čtvrtina jednotkového kruhu, ležící v prvním kvadrantu. V polárních souřadnicích integrál vypočtěte. 6. [6 bodů] Vyřešte rovnici e 3x+2 4 = 0. Požadavek: alespoň 20 bodů z 50 možných. Písemky budou k prohlédnutí v 2:30 v B44. Známky budou zapsány do UISu až po zapsání do indexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu. Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce pro derivace a integrály jsou povoleny.

12

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku

Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku 20 202 Robert ařík 9. ledna 203 Níže najdete zadání písemek předmětu ZVTA. Za některými písemkami je vloženo i řešení. Písemná část

Více

6. [8 bodů] Neurčitý integrál

6. [8 bodů] Neurčitý integrál Zkouška ze Aplikované matematiky pro arboristy, LDF, 9..205, 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Body Známka. [2 bodů] Prostá a inverzní funkce a) Definujte pojmy prostá funkce

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012

Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Přednášky z předmětu Aplikovaná matematika, rok 2012 Robert Mařík 23. ledna 2015 2 Obsah 1 Přednášky 2012 5 2 Písemky 2012 9 3 4 OBSAH Kapitola 1 Přednášky 2012 1. prednaska, 16.2.2012 -----------------------

Více

Kapitola 1. Léto 2011

Kapitola 1. Léto 2011 Kapitola 1 Léto 2011 1 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, 25.5.2011) 60 minut Jméno:................................. 1. [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce 1 y (určete intervaly kde je 2 ( + 1) funkce

Více

Body. 5. [10 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y + 2y + y = x [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x 2 dxdy. Množina

Body. 5. [10 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y + 2y + y = x [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál x 2 dxdy. Množina Písemná zkouška z Inženýrské matematiky, 8.2.202 (60 minut) Body Jméno:...................................... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2. Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8

Více

Numerická matematika Písemky

Numerická matematika Písemky Numerická matematika Písemky Bodování Každá písemka je bodována maximálně 20 body. Celkem student může získat za písemky až 40 bodů, pro udělení zápočtu musí získat minimálně 20 bodů. Písemka č. 1 Dva

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

(5) Primitivní funkce

(5) Primitivní funkce (5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky

Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Příklady ke zkoušce z Aplikované matematiky Robert Mařík 2. února 205 Odpovědi nechápejte prosím jako vzorové odpovědi na jedničku. Často nejsou úplné, neodpovídají na všechny části otázky a slouží spíše

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib

DEFINICE,VĚTYADŮKAZYKÚSTNÍZKOUŠCEZMAT.ANALÝZY Ib INFORMACE O PRŮBĚHU A POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z MAT. ANALÝZYIbVLS2010/11 Ke zkoušce mohou přistoupit studenti, kteří získali zápočet. Do indexu jej zapíši na zkoušce, pokud cvičící potvrdí, že na něj student

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Derivace vyšších řádů, aplikace derivací

Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Značení derivací vyšších řádů Máme funkci f: y = f x f x druhá derivace funkce y = f x f k x k-tá derivace funkce y = f x Derivace vyšších řádů počítáme opakovaným

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení

3. ledna list a odevzdejte tento zvláštní list (listy) i všechny ostatní listy, které jste při řešení Jméno a příjmení: Písemná část zkoušky z předmětu AN1E 3. ledna 2019 Skutečná písemná práce bude obsahovat 5 příkladů. Zvolte si pořadí, v jakém budete příklady řešit. Vaše řešení nemusí být kulturně zapsané,

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

Požadavky ke zkoušce

Požadavky ke zkoušce Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 2 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory

Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Matematika I. dvouletý volitelný předmět

Matematika I. dvouletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více