Derivace vyšších řádů, aplikace derivací

Transkript

1 Derivace vyšších řádů, aplikace derivací

2 Značení derivací vyšších řádů Máme funkci f: y = f x f x druhá derivace funkce y = f x f k x k-tá derivace funkce y = f x Derivace vyšších řádů počítáme opakovaným derivováním.

3 Sestavte derivaci čtvrtého řádu funkce y = 5x 4 + sin x: y = y = y = y (4) =

4 Sestavte derivaci čtvrtého řádu funkce y = 5x 4 + sin x: y = 20x 3 + cos x y = 60x 2 sin x y = 120x cos x y (4) = sin x

5 Monotonie v bodě y = f(x), a D f f a > 0, funkce je v bodě a rostoucí f a < 0, funkce je v bodě a klesající f a = 0, funkce je v bodě a konstantní, pak bod a je stacionární bod Stacionární bod Stacionární bod funkce f je takový bod a, pro nějž platí: f a = 0

6 Zjistěte monotonii funkce y = x 2 v bodech a = 1, b = 2 a c = 0. 2

7 Zjistěte monotonii funkce y = x 2 v bodech a = 1, b = 2 a 2 c = 0. f: y = x 2 f 1 2 = f : y = 2x = 1 > 0 funkce je v bodě a rostoucí f 2 = 2 2 = 4 < 0 funkce je v bodě b klesající f 0 = 2 0 = 0 funkce je v bodě c konstantní

8 Nalezněte stacionární body funkce y = x 4 2x 2.

9 Nalezněte stacionární body funkce y = x 4 2x 2. y = x 4 2x 2 y = 4x 3 4x y = 0 4x 3 4x = 0 4x x 2 1 = 0 x = 0 nebo x 2 1 = 0 x 2 = 1 x = ±1 Stacionární body funkce jsou -1, 0 a 1.

10 Nalezněte stacionární body funkce y = 3 x 3 3x. y = 3 x 3 3x = x 3 3x 1 3 y = 1 3 x3 3x 2 3 3x 2 3 = 3x2 3 y = 0 3x 2 3 = 0 x 2 = 1 x = ±1 Stacionární body funkce jsou -1 a x 3 3x 2

11 Monotonie funkce y = f x f x derivace funkce f x > 0 pro každé x (a, b), funkce je na celém intervalu (a, b) rostoucí f x < 0 pro každé x (a, b), funkce je na celém intervalu (a, b) klesající

12 Zjistěte monotonii funkce y = 2x 3 3x 2 36x + 8. y = 6x 2 6x způsob 6x 2 6x 36 > 0 x 2 x 6 > 0 6x 2 6x 36 < 0 funkce je rostoucí na intervalu, 2 3, funkce je klesající na intervalu 2,3

13 Zjistěte monotonii funkce y = 2x 3 3x 2 36x + 8. y = 6x 2 6x způsob: 6x 2 6x 36 = 0 x 2 x 6 = 0 x 3 (x + 2) = 0 stacionární body -2, 3 funkce je rostoucí na intervalu, 2 3, funkce je klesající na intervalu 2,3

14 Rovnice tečny grafu funkce f v bodě a y = kx + q k směrnice tečny k = f a y = f a x + q q =? Bod a, f a náleží grafu funkce f náleží grafu tečny t

15 Určete rovnici tečny grafu funkce f: y = x 3 + 2x v bodě a = 1 T a,?. tečna: y = kx + q f : y = 3x f 1 = 5 T a,? y = 5x + q q =? a = 1 f a = 3 3 = q q = 2 t: y = 5x 2

16 Rovnice tečny grafu funkce f v bodě a y = kx + q, k = f a = tg α y = f a + f a x a f : y = 3x f 1 = 5 y = x 1 a = 1 f 1 = 3 t: y = 5x 2

17 Diferenciál funkce Pomocí diferenciálu sestrojeného v bodě a dané funkce přibližně určujeme (aproximujeme) funkční hodnotu v bodě x blízkému bodu a. f x f a + f a x a

18 Určete přibližně funkční hodnotu funkce y = 2x 3 3x 2 36x + 8 v bodě x = 2,983 pomocí diferenciálu sestrojeného v bodě a = 3. f x f a + f a x a f 3 = 35 f 3 = 36 f 2,983 f 3 + f 3 2,983 3 f 2, ,017 35,612

19 Konvexnost a konkávnost funkce x 1 < x 2 < x 3 Funkce konvexní Funkce konkávní Bod B 2 leží pod spojnicí Bod B 2 leží nad spojnicí bodů B 1, B 3. bodů B 1, B 3.

20 Konvexnost a konkávnost funkce v bodě Je-li f a > 0, funkce je v bodě a konvexní. Je-li f a < 0, funkce je v bodě a konkávní. Je-li f a = 0 f a bodem funkce. 0 bod a je inflexním x = 0 je inflexní bod funkce y = x 2 (funkce se v něm mění z konkávní na konvexní či naopak).

21 Konvexnost a konkávnost funkce f x > 0 pro každé x (a, b), funkce je na celém intervalu (a, b) konvexní. f x < 0 pro každé x (a, b), funkce je na celém intervalu (a, b) konkávní.

22 Zjistěte, zda je funkce y = ln(3x 5) v bodě a = 0 konvexní či konkávní. y = 1 (3x 5) 3 = 3 3x 5 1 y = 3 1 3x = 9 3x 5 2 f 0 < 0 Funkce je v bodě a = 0 konkávní.

23 Zjistěte interval, kde je funkce y = e x2 +x konvexní. y = e x2 +x 2x + 1 y = e x2 +x 2x + 1 2x e x2 +x 2 e x2 +x 4x 2 + 4x + 3 > 0 (výraz e x2 +x je vždy kladný) 4x 2 + 4x + 3 > 0 platí pro celé R Funkce je konvexní na celém R.

24 Najděte inflexní body funkce y = 8x 3 + x 2 7x 2. y = 24x 2 + 2x 7 y = 48x + 2 y = 0 48x + 2 = 0 x = 1 y = 48 f Funkce má v bodě a = 1 24 inflexní bod. 24

25 Lokální extrémy funkce Stacionární bod f a = 0 Je-li a stacionární bod funkce a zároveň je f a má v bodě a lokální minimum. Je-li a stacionární bod funkce a zároveň je f a má v bodě a lokální maximum. > 0, funkce < 0, funkce

26 Najděte lokální extrémy funkce y = x 3 + 3x 2 9x 2. y = 3x 2 + 6x 9 y = 6x + 6 y = 0 3x 2 + 6x 9 = 0 x 1 x + 3 = 0 stacionární body x = 3 a x = 1 f 3 = 12 < 0 Funkce má v bodě a = 3 lokální maximum. f 1 = 12 > 0 Funkce má v bodě a = 1 lokální minimum.

27 Absolutní extrémy funkce Weierstrassova věta Máme spojitou funkci y = f(x) a uzavřený interval a, b. Podle Weierstrassovy věty existuje na tomto intervalu absolutní maximum a absolutní minimum. Toto absolutní maximum či minimum je: ve stacionárních bodech nebo v bodech, kde derivace neexistuje nebo v krajních bodech intervalu.

28 Najděte absolutní extrémy funkce y = x 3 + 3x 2 9x 2 na intervalu I = 0,2. stacionární body x = 3 a x = 1 y = 3x 2 + 6x 9 = 3(x + 3)(x 1) x = 3 I x = 1 I f 0 = = 2 f 1 = = 7 f 2 = = 0 Funkce má absolutní minimum v bodě a = 1 a absolutní maximum v bodě a = 2.

29 Aplikace derivací Je-li y = f t funkce, kde t je čas, pak je y = f t funkcí vyjadřující okamžitou rychlost. Tedy hodnota f a je okamžitá rychlost, s níž se mění veličina y, a to v čase t = a. Je-li y = f t funkce, kde t je čas, pak je y = f t funkcí vyjadřující okamžité zrychlení. Tedy hodnota f a je okamžité zrychlení, s nímž se mění veličina y, a to v čase t = a.

30 Z havarovaného tankeru začala vytékat nafta. Ropná skvrna ve tvaru kruhu se postupně zvětšuje, její poloměr R (v metrech) roste podle funkce R t = 37 t , kde t je čas v minutách měřený od počátku unikání ropy. Jak velká je skvrna 3 hodiny po začátku úniku a s jakou rychlostí se právě zvětšuje její poloměr? R 180 = = 397,7 Nyní si sestavíme funkci vyjadřující okamžitou rychlost unikání ropy jako funkci času, tj. derivaci funkce R t. R t = 37 R 180 = t = 1,35 Tři hodiny po začátku úniku má skvrna poloměr 397,7 metrů. Skvrna se 3 hodiny po havárii zvětšuje rychlostí cca 1,35 metrů za minutu.

31 Po zásahu ekologů došlo postupně ke zlepšení kvality vody v jezeře zasaženém bakteriální infekcí. Počáteční stav 5000 bakterií v mililitru vody se dále vyvíjel podle modelové funkce N(t) = ln(1 + t 2 ), kde N(t)je koncentrace baktérií v 1 mililitru vody závisící na t, času od počátku procesu ve dnech. Jakou rychlostí klesal počet baktérií v jednom mililitru vody 2 a půl dne od počátku procesu? Sestavíme si funkci vyjadřující okamžitou šíření bakterií jako funkci času, tj. derivaci funkce N t. N t = t 1+t 2 N 1 t = = ,5 Za den dojde k poklesu 690 bakterií v jednom mililitru vody.

32 Po zásahu ekologů došlo postupně ke zlepšení kvality vody v jezeře zasaženém bakteriální infekcí. Počáteční stav 5000 bakterií v mililitru vody se dále vyvíjel podle modelové funkce N t = ln(1 + t 2 ), kde N(t)je koncentrace baktérií v 1 mililitru vody závisící na t, času od počátku procesu ve dnech. Jakou rychlostí klesal počet baktérií v jednom mililitru vody 2 a půl dne od počátku procesu? Sestavíme si funkci vyjadřující okamžitou šíření bakterií jako funkci času, tj. derivaci funkce N t. N t = t 1+t 2 N 1 t = = ,5 Za den dojde k poklesu 690 bakterií v jednom mililitru vody.

33 Po podání určitého léku v nápoji je možno sledovat, jak rychle přechází lék do krve pacienta. Funkce k t = 0,16t t 2 +4t+4 vyjadřuje koncentraci k t léku (v g/cm 3 ) t hodin po vypití nápoje. Určete hodnotu maximální a minimální koncentrace léku v krvi pacienta v rozmezí 1 až 4 hodiny po podání. Jedná se o hledání absolutních extrémů na intervalu 1,4 k t = 0,16 t2 +4t+4 0,16t 2t+4 stacionární body jsou t = 2 a t = 2. t 2 +4t+4 2 Bod t = 2 neleží v intervalu 1,4. k 1 = 0, k 2 = 0, k 4 = 0, Minimální koncentrace léku v krvi je v čase 1 a 4 hodiny po podání. Maximální koncentrace léku v krvi je 2 hodiny po podání léku.