2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Transkript

1 Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f) 5 f ) 4 3 f) f 3 ) f ) Z obrázku vidíme, že jak se bod blíží k, odchylka sečen od tečny se zmenšuje, proto směrnice tečny v bodě [; f)] je dána vztahem lim f) f) Definice Bud f) funkce a 0 Df) Eistuje-li f) f 0 ) f 0 + h) f 0 ) lim lim 0 0 h 0 h nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě 0 a značíme f 0 ) Je-li tato limita vlastní, hovoříme o vlastní derivaci Je-li tato limita nevlastní, hovoříme o nevlastní derivaci Podobně definujeme jednostranné derivace f + 0 ) lim + 0 f) f 0 ) 0, f 0 ) lim 0 f) f 0 ) 0

2 Předpokládejme, že f 0 ) eistuje Je-li f 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [ 0, f 0 )] je y f 0 ) + f 0 ) 0 ) Je-li f 0 ) nevlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [ 0, f 0 )] je 0 Příklad Z definice odvod te derivaci funkce f : y n, n N, v libovolném bodě 0 Řešení Počítáme limitu f n n 0 0 ) n + n n 0 + n 0 ) 0 ) lim lim lim n + n n + 0 n n n 0 0 Věta 3 Pravidla pro derivace) Necht mají funkce f) a g) vlastní derivaci v bodě Potom platí následující pravidla Pravidlo konstantního násobku: [c f)] c f ) Pravidlo součtu a rozdílu: [f) ± g)] f ) ± g ) 3 Pravidlo součinu: 4 Pravidlo podílu: [f) g)] f ) g) + f) g ) [ ] f) f )g) f)g ) g) [g)] Věta 4 Derivace složené funkce) Necht funkce g) má vlastní derivaci v bodě a funkce f) vlastní derivaci v bodě g) Pak platí f g) ) [ f g) )] f g) ) g ) Fyzikální aplikace Je-li st) poloha hmotného bodu na přímce v čase t, potom výraz st) st 0 ) t t 0 udává průměrnou rychlost za časový úsek [t 0, t] Zřejmě je pak rychlost v okamžiku t 0, a tedy je vt) s t) st) st 0 ) lim s t 0 ) t t 0 t t 0

3 Poznámka Zde je nutné vzít v úvahu, že rychlost vt) má znaménko, tj vt) > 0 ve směru pohybu, kdy se st) zvětšuje a vt) < 0, když se st) zmenšuje Zrychlení at) je změna rychlosti v čase, a proto vt) vt 0 ) lim v t 0 ) t t 0 t t 0 je zrychlení v okamžiku t 0, a tedy at) v t) Příklad Je-li pohyb hmotného bodu po přímce zadán dráhou st) t 4 4t + 4t + 5, t R přičemž jednotkami jsou m, s, určete rychlost vt 0 ) a zrychlení at 0 ) v čase t 0 s Poté určete všechny časové okamžiky, kdy je rychlost nulová Řešení Nejprve spočítáme rychlost vt) vt) s t) 4t 3 8t + 4 a zrychlení at) Nyní spočítáme v) a a): at) v t) t 8 v) ms a a) ms Zbývá určit všechny časové okamžiky, kdy je rychlost nulová Hledáme tedy všechna t, která vyhoví rovnici vt) 4t 3 8t + 4 4t 3 7t + 6) 0 Již víme, že t této rovnici vyhoví Vidíme, že t této rovnici rovněž vyhoví Snadno dopočítáme poslední kořen, kterým je t 3 3 Derivace elementárních funkcí c) 0, sin ) cos, tg ) cos, arcsin ), arctg ) +, e ) e, ln ), a ) a a pro a R, cos ) sin, cotg ) sin, arccos ), arccotg ) +, a ) a ln a, log a ) ln a, Tyto vzorce platıí všude tam, kde jsou příslušné funkce definovány 3

4 4 Řešené příklady Příklad 4 Určete f ), je-li f) sin ) Řešení Derivace funkce f) je f ) sin ) + cos ) Pak f ) 4 sin cos Příklad 4 Spočtěte derivaci funkce Řešení ) + ) 3 f) ) + ) 3 ) ) + ) 3 ) + ) ) + ) ) ) 4 + ) 6 ) + ) + + ) 3 ) ) 3 + ) ) 3 + ) 4 Příklad 43 Spočtěte derivaci funkce f) 3 Řešení 3 ) ) ) Příklad 44 Spočtěte derivaci funkce Řešení + ) + + Příklad 45 Spočtěte derivaci funkce Řešení Příklad 46 Spočtěte derivaci funkce f) f) tg ) tg ln tg cos f) e ) 4

5 Řešení e ) e ) e ) e Příklad 47 Spočtěte derivaci funkce Řešení f) + ) [ Příklad 48 Spočtěte derivaci funkce ) + + ) ) + + ) ] ) f) sin cos cos + sin Řešení ) sin cos sin cos ) cos + sin ) cos + sin ) sin cos ) cos + sin cos + sin ) Protože a máme sin cos ) cos cos + sin sin cos + sin ) sin + sin + cos cos, ) sin cos sin cos + sin ) cos sin cos ) cos + sin cos + sin ) sin + cos ) cos + sin ) 5 cos + sin )

6 Příklad 49 Spočtěte derivaci funkce f) ) + 4 ln Řešení ) + 4 ln 4 ) ) ) ) ) ) ) Příklad 40 Spočtěte derivaci funkce Řešení ln tg ) tg tg ) tg + 4 ) + 4 ) ) ) ) ) + + ) ) ) f) ln tg cos cos sin cos sin cos sin Příklad 4 Spočtěte derivaci funkce Řešení f) sin ln cos ln ) ) sin ln cos ln ) sin ln cos ln ) + sin ln ) + sin ln Příklad 4 Spočtěte derivaci funkce Řešení ) sin ln + sin sin ln cos ln + cos ln + sin ln sin ln sin +sin ) sin +sin f) ln sin + sin ) sin + sin sin +sin sin +sin cos + sin ) sin ) cos + sin ) + sin cos cos sin cos + sin cos sin ) + sin ) cos sin cos cos cos 6 sin ) sin + sin cos + sin

7 Příklad 43 Spočtěte derivaci funkce f) arccos Řešení arccos ) ) ) ) Příklad 44 Spočtěte derivaci funkce f) arctg Řešení ) arctg ) + ) ) + ) ) ) Příklad 45 Spočtěte derivaci funkce f) arctg + Řešení ) ++) ) arctg + ) ) + + ) ) + ) ) ) ) + ) ) + Příklad 46 Spočtěte derivaci funkce Řešení f) arcsin + arcsin ) ) + ) ) ) ) 4 + ) ) + ) 4 + ) + ) + ) ) + ) 7

8 Příklad 47 Spočtěte derivaci funkce f) ln 3) sin + cos 3 Řešení ) ln 3) sin + cos ) ln 3) cos sin 3 ln 3) 3 ln 3) sin + cos ) 3 3 Příklad 48 Spočtěte derivaci funkce 3 sin ln 3 3 sin 3 sin ) + ln 3) 3 f) e + e e + e ee Řešení e + e e + e ee ) e + e e e ) + e ee e e ) e + e e e + e ee e e e ) ) e + e e e + e ee e e e e + e e + e ee ) ) Příklad 49 Spočtěte derivaci funkce f) ln ln ln Řešení ln ln ln ) ln ln ln ln ) ln ln ln ln ln ln ln ) ln ln ln Příklad 40 Určete rovnici tečny ke grafu funkce f) e cos v bodě T [0;?] Řešení Nejprve spočítáme derivaci f ): f ) e cos e sin e cos + sin ) Směrnice tečny v bodě T [0; f0)] [0; ] pak je f 0) Tečna ke grafu funkce v bodě [ 0, f 0 )] má rovnici y f 0 ) + f 0 ) 0 ) V našem případě dostáváme, že tečna ke grafu funkce v bodě T [0, ] má rovnici y 8