12 Trojný integrál - Transformace integrálů
|
|
- Blažena Janečková
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec. Viz Obrázek. Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, z,. Pak pomocí Dirichletovy věty integrál dopočítáme. Obrázek : : z, x + y x + y dxdydz ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕdz ϱ dϱdϕdz ϱ dϱ dϕ ϱ dz ] ϕ] z].. Příklad Spočtěte dxdydz, kde : x, z, y + z. Řešení Vztahy x, z, y + z definují horní polovinu válce, jehož osa splývá s osou x. Viz Obrázek. Obrázek : : x, z, y + z Provedeme transformaci do válcových souřadnic. Transformační rovnice jsou tvaru x x, y ϱ cos ϕ, z ϱ sin ϕ. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
2 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 9 Jakobián transformace je J cos ϕ ϱ sin ϕ sin ϕ ϱ cos ϕ ϱ. dxdydz ϱ dxdϱdϕ dx ϱ dϱ dϕ x] ϱ ] ϕ].. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : x + y z. Řešení Oblast je těleso, které je zdola ohraničeno paraboloidem z x + y a zhora rovinou z. Viz Obrázek. Obrázek : : x + y z Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, z ϱ,. x + y dxdydz ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ ϱ dϱdϕdz ϱ dϱdϕdz ϱ ϱ ) dϕ)dϱ ϱ ϱ dz)dϕ)dϱ ϱ ϱ ) ϕ] dϱ ϱ 5 ϱ5 ϱ z] ϱ dϕ)dϱ ] Příklad Spočtěte z dxdydz, kde : z x + y. Řešení Oblast je těleso, které je zdola ohraničeno rovinou z a zhora kuželovou plochou z x + y. Viz Obrázek. Provedeme transformaci do válcových souřadnic ϱ,, ϕ,, z, ϱ. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
3 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek : : z x + y z dxdydz zϱ dϱdϕdz ϱ ϱ) ϱ dϕ)dϱ zϱ dz)dϕ)dϱ ϱ) ϱ dϱ 6. z ] ϱ ϱ dϕ)dϱ 5. Příklad Spočtěte z x + y ; dxdydz, kde : z, z, y, x + y x. Řešení Vztah x +y x upravíme na tvar x ) +y. Odtud a ze vztahů z, z, y plyne, že je polovina válce. Viz Obrázek 5. Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ, cos ϕ, ϕ,, z,. Obrázek 5: : z, z, y, x + y x z x + y dxdydz zϱ dϱdϕdz cos ϕ ] z ϱ dϱ)dϕ 9 ϱ ] cos ϕ cos ϕ zϱ dz)dϱ)dϕ dϕ cos ϕ dϕ 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
4 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 6. Příklad Spočtěte x z dxdydz, kde : z, x + y + z a. Řešení Integrační obor je horní polovina koule. Viz Obrázek 6. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ, a, ϕ,, ϑ,. Obrázek 6: : z, x + y + z a x z dxdydz ϱ cos ϕ sin ϑ) ϱ cos ϑ)ϱ sin ϑ)dϱdϕdϑ ϱ 5 cos ϕ sin ϑ cos ϑ dϱdϕdϑ t sin ϑ dt cos ϑdϑ, 6 a6 ϱ 5 dϱ ϕ + ] sin ϕ cos ϕ dϕ sin ϑ cos ϑdϑ t dt 6 a6 a6. 7. Příklad Spočtěte x + y + z dxdydz, kde : x, y, z, x + y + z. Řešení Integrační obor je osmina koule ležící v prvním oktantu. Viz Obrázek 7. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. x + y + z dxdydz ϱ cos ϕ sin ϑ + ϱ sin ϕ sin ϑ + ϱ cos ϑ ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ sin ϑ dϑ)dϕ)dϱ ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
5 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek 7: : x, y, z, x + y + z 8. Příklad Spočtěte dxdydz x + y + z ), kde : x + y + z. Řešení Oblast je ohraničena poloprostorem z a dvěma sférami. Viz Obrázek 8. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. Obrázek 8: : x + y + z dxdydz x + y + z ) ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ ) ϱ ] ϕ] cos ϑ] sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ 7 7. dϱ ϱ dϕ dϑ 9. Příklad Spočtěte dxdydz, kde : x + y + z. Řešení Vztah x + y + z upravíme na tvar x + y + z Elipsoid ztransformuje v kouli. Stačí položit. Odtud plyne, že je elipsoid. x u, y v, z w. Jakobián této transformace je J. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
6 Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek 9: : x + y + z Provedeme transformaci do sférických souřadnic, která kouli ztransformuje v kvádr, tj. trojrozměrný interval. Viz Obrázek 9. dxdydz dudvdw ϱ ] ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ dϱ ϕ] cos ϑ] 6. dϕ sin ϑ dϑ. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : x + y + z z. Řešení Vztah x + y + z z upravíme na tvar x + y + z ). Odtud plyne, že je koule se středem v bodě,, ] a poloměrem. Provedeme transformaci, která posune střed koule do počátku. Stačí položit Jakobián této transformace je J x u, y v, z w +.. Dále provedeme transformaci do sférických souřadnic, která ztransformujeme kouli v kvádr. Viz Obrázek 5. Obrázek 5: : x + y + z z x u + y dxdydz + v dudvdw ϱ sin ϑ ϱ sin ϑ dϱϕdϑ ϱ dϱ dϕ ϱ sin ϑ dϑ ] ϕ] ϑ sin ϑ ] 6 6. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
7 Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 5 Aplikace vícerozměrných integrálů. Příklad Spočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného přímkami y x, y x a křivkami x + y x, x + y 8x. Řešení Nejprve provedeme úpravu rovnice x + y x na tvar x ) + y. Podobně x + y 8x upravíme na tvar x ) + y 6. Odtud plyne, že zadané křivky jsou kružnice. Viz Obrázek 5. Obrázek 5: : y x, y x, x + y x, x + y 8x. Obsah obrazce určíme ze vztahu S) dxdy. Protože je částí kruhu, provedeme transformaci do polárních souřadnic. Transformováním jednotlivých rovnic získáme, že ϕ, cos ϕ ϱ 8 cos ϕ. Platí dxdy ϱ dϱdϕ cos ϕ dϕ 8 cos ϕ cos ϕ + cos ϕ) dϕ ϱ dϱ)dϕ ϕ + sin ϕ ] ϱ ] 8 cos ϕ cos ϕ dϕ Příklad Spočtěte objem tělesa určeného vztahy x + y z, x + y + z, z. Řešení Oblast je ohraničena kuželovou plochou z x + y a dvěma kulovými plochami. Viz Obrázek 5. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. Objem tělesa určíme ze vztahu V ) dxdydz. dxdydz ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ ] ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ ϕ] cos ϑ] 7 7 ). RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
8 Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 55 Obrázek 5: : x + y z, x + y + z, z. Příklad Spočtěte objem tělesa určeného vztahem x + y z 6 x + y ). Řešení Oblast je ohraničena zhora paraboloidem z 6 x + y ) a zdola kuželovou plochou z x + y. Viz Obrázek 5. usíme zjistit, v jaké výšce se paraboloid s kuželem protnou. Vyřešíme rovnici x + y 6 x + y ). áme x + y + x + y 6. Zavedeme substituci z x + y. Odtud z + z 6 a z )z + ). Řešení z nevyhovuje. Platí tedy z. Ve výšce z protne paraboloid kužel v kružnicim x + y. Provedeme transformaci do válcových souřadnic. Z předchozího plyne, že ϱ,, ϕ,, z ϱ, 6 ϱ. Objem tělesa určíme opět ze vztahu V ) dxdydz. Obrázek 5: : x + y z 6 x + y ) dxdydz ϱ dϱdϕdz 6ϱ ϱ ϱ )dϱ 6 ϱ ϱ dz)dϕ)dϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ]. zϱ] 6 ϱ ϱ dϕ)dϱ. Příklad Spočtěte velikost povrchu části paraboloidu fx, y) x y, kde fx, y). Řešení Velikost povrchu S paraboloidu určíme ze vztahu S + f x) + f y) dxdy, kde je kruh x + y. Spočteme parciální derivace. Platí f x x, f y y. Dosadíme do výše uvedeného vztahu a pak provedeme transformaci do polárních souřadnic, kde ϱ,, RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
9 Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 56 ϕ,. Platí + x + y dxdy ϱ + ϱ dϱ t + ϱ ϱdϱ 8 dt, 5 ϱ + ϱ dϱdϕ 5 tdt dϕ ϱ + ϱ dϱ 5 t ] ). 5. Příklad Spočtěte velikost povrchu tak zvaného Vivianova oka, které vznikne jako průnik polokoule x + y + z a, z s válcovou plochou x + y ax, kde a >. Řešení Velikost povrchu S určíme opět ze vztahu S + f x) + f y) dxdy, kde je kruh x + y ax, tj. x a) + y a. Spočteme parciální derivace. Platí f x f y x a x y, y a x y. Dosadíme do výše uvedeného vztahu a pak provedeme transformaci do polárních souřadnic. Pro usnadnění výpočtu budeme integrovat pouze přes polovinu oblasti, kterou označíme. Korektnost tohoto zjednodušení plyne ze symetrie Vivianova oka. Viz Obrázek 5. Po transformaci do polárních souřadnic platí, že ϕ,, ϱ, a cos ϕ. Obrázek 5: : x + y + z a, z a x + y ax + a x a x y + y a x y dxdy ϱ dϱdϕ a ϱ a 8a cos ϕ a a x y dxdy ϱ a ϱ dϱ)dϕ a sin ϕ) dϕ 8a ϕ + cos ϕ] a ). a dxdy a x y ] a cos ϕ a ϱ dϕ RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
10 Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady Příklad Určete hmotnost krychle o straně a. Hustota krychle je přímo úměrná čtverci vzdálenosti od průsečíku tělesových úhlopříček a ve vrcholech je rovna. Řešení Střed krychle umístíme do počátku systému souřadnic. Tedy a, a. Dále nalezneme funkci hustoty ϱx, y, z). Vzdálenost bodu a x, y, z] od počátku je dán vztahem da, o) x + y + z. Odtud plyne ϱx, y, z) kx + y + z ). Konstantu přímé úměrnosti určíme dosazením souřadnic některého vrcholu. Platí ϱa, a, a) ka + a + a ). Tedy k a. Celkem ϱx, y, z) a x +y +z ). Vzhledem k symetrii tělesa i funkce lze integrovat pouze přes první oktant. Konečně hmotnost tělesa určíme ze vztahu m) ϱx, y, z) dxdydz. Platí 8 a m) 8 a a x + y + z )dxdydz 8 a x + y + z dxdydz ) x + y + z )dzdy dx 8 a x + y + ) a )dy dx 8 x z + y z + ] a ) z dy dx x + a ) dx 8 a. 7. Příklad Určete hmotnost koule o poloměru a. Hustota koule je přímo úměrná vzdálenosti od středu koule a na povrchu je rovna. Řešení Střed koule umístíme do počátku systému souřadnic. Nalezneme funkci hustoty ϱx, y, z). Platí ϱx, y, z) k x + y + z. Konstantu přímé úměrnosti určíme dosazením souřadnic některého bodu na povrchu koule. Například bodu a,, ]. Platí ϱa,, ) ka. Odtud k a. Celkem ϱx, y, z) a x + y + z. Hmotnost tělesa určíme opět ze vztahu m) ϱx, y, z) dxdydz. Je výhodné provést transformaci do sférických souřadnic. Platí m) x + y a + z dxdydz ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ a a ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ a ] a ϱ ϕ] cos ϑ] a a a. 8. Příklad Určete těžiště rovinného obrazce, který je ohraničen křivkami y x, x + y. Hustota obrazce je konstantní a je rovna. ] Řešení Těžiště T rovinného obrazce určíme ze vztahu T Sx) m), Sy) m). Obrazec zapíšeme jako oblast typu x, y).řešením rovnice x x dostáváme x )x + ) a odtud x, x. Platí tedy x, x y x. Viz Obrázek 55. Obrázek 55: RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
11 Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 58 m) dxdy x x ) dy dx x x ) dx x x x ] 9. S x ) ydxdy x x ) y dy dx x) x dx x x + 6 x x5 ] 6 5. S y ) x dxdy x x ) x dy dx x x x )dx x x ] x 9. Odtud plyne, že T, 8 5]. 9. Příklad Určete těžiště tělesa s konstantní hustotou, kde,,, a,,,. ] Syz) Řešení Těžiště T tělesa určíme ze vztahu T m), Sxz) m), Sxz) m). Viz Obrázek 56. Je-li hustota ϱx, y, z) c, pak zřejmě m) c. Obrázek 56: S xy ) S xz ) S yz ) czdxdydz + cydxdydz + cxdxdydz + czdxdydz c cydxdydz c cxdxdydz c dx dy z dz + c dx dy dx ydy dz + c dx ydy xdx dy dz + c xdx dy z dz 5 c. dz 5 c. dz c. Odtud plyne, že T, 5 6, 5 6]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
7. Integrál přes n-rozměrný interval
7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme
Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Veronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0
Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y
3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
Integrace funkcí více proměnných, numerické metody
Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace
Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Plošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
1. Definiční obor funkce dvou proměnných
Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F
Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální
F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,
Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.
KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07
VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],
Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky
Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ATEATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ ATEATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dvojný integrál princip řešení a sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: gr. Iveta
Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb
Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet
11. cvičení z Matematiky 2
11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv
Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015
Kartografie 1 - přednáška 5 Jiří Cajthaml ČVUT v Praze, katedra geomatiky zimní semestr 2014/2015 Válcová zobrazení obrazem poledníků jsou úsečky, které mají konstantní rozestupy obrazem rovnoběžek jsou
14. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
PŘÍKLADY K MATEMATICE 2
PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8
8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti
Výpočet průsečíků paprsku se scénou
Výpočet průsečíků paprsku se scénou 1996-2008 Josef Pelikán, MFF UK Praha http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca/ Josef.Pelikan@mff.cuni.cz NPGR004, intersection.pdf 2008 Josef Pelikán, http://cgg.ms.mff.cuni.cz/~pepca
svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny
Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu
Kulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
PLOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule).
LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). uzavřená hladká kraj LOCHY lochy v prostoru, které byly zatím
VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.
VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit
9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
PRUŽNOST A PEVNOST 2 V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECNICKÁ UNIVEZITA OSTAVA FAKULTA STOJNÍ PUŽNOST A PEVNOST V PŘÍKLADEC Kvadratický moment I doc. Ing. Karel Frydrýšek, Ph.D., ING-PAED IGIP Ing. Milan Sivera Ing. ichard Klučka Ing.
Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek
Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................
1. Přirozená topologie R n
Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.
Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011. Obsah Jednoduchá zobrazení 1 Jednoduchá zobrazení 2 Obsah Jednoduchá zobrazení 1 Jednoduchá zobrazení 2 Společné vlastnosti jednoduchých zobrazení: Zobrazovací ref.
Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné
Sbírka příkladů Matematika II pro strukturované studium Kapitola 9: Aplikace integrálů funkcí jedné proměnné Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter..