Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku

Transkript

1 Základy vyšší matematiky arboristika Zadání písemek ze školního roku Robert ařík 9. ledna 203 Níže najdete zadání písemek předmětu ZVTA. Za některými písemkami je vloženo i řešení.

2 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, 6..20) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [8 bodů] Co rozumíme střední hodnotou funkce f(x)naintervalu [a,b]? Jakýmátato střední hodnota geometrický význam? Vypočtěte středníhodnotufunkce x 2 naintervalu [0,2]. 2. [8 bodů] Definujte pojem rostoucí funkce a napište, jak tento pojem souvisí s derivací. 3. [6bodů] Zderivujtefunkce y = xlnxa y = 2 ex3 x. VZOR 4. [8bodů] Prováleczadanéhoobjemu V hledáme poměr výšky h a poloměru podstavy r, který zaručí, že povrch S je minimální. Vyjádřímeli S jakofunkciparametru ( V aproměnné r, dostáváme vztah S = π r 2 + 2V ). Najděte πr hodnotu rprokterouje Sminimální. 5. [6 bodů] etodou per-partés vypočtěte neurčitý integrál xlnxdx. 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál y dx dy,kdemnožina jezadánana obrázku(čtvrtkruh v prvním kvadrantu). y 7. [3body] Řešterovnici 2 ln(x+3) = [3 body] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = +ln(x+)vbodě x = 0. x Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. Výsledkysnahlédnutímdopísemekdne... vučebně... ZnámkybudouzapsánydoUISuažpo zapsání do indexu! Řešení příkladů budou v UISe(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

3

4 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [8 bodů] Definujte pojem klesající funkce a napište, jak poznáme klesající funkce pomocí první derivace funkce. 2. [8bodů] Definujtepojemhornízávoraa supremum. Napište aspoň dvě různé horní závory otevřeného intervalu ( 3, 4) a supremum tohoto intervalu. 3. [6bodů] Zderivujtefunkce y = (x )sinxa y = e x [8bodů] Sněhovákouleopoloměru 0,6metru sevalízesvahu,nabalujenasebedalšísníhajejí poloměr roste rychlostí 0, metru za minutu. Jak rychle roste její povrch?. Povrchkouleopoloměru rje S = 4πr [6 bodů] etodou per-partés vypočtěte neurčitý integrál x 2 lnxdx. 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál (x 2 +y 2 )dxdy,kdemnožina jezadánana obrázku(polovina jednotkového čtvrtkruhu). 2 2 y 2 x 7. [6bodů] Jedánafunkce y = x 2 + a jejíderivace y = ( x)(+x). Určetelokální (x 2 +) 2 extrémy této funkce a intervaly monotonie. 2 x Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

5

6 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF,.0.202) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [8 bodů] Zformulujte první Bolzanovu větu (souvislost znaménkové změny a nulového bodu). 2. [8 bodů] Napište vzorec pro integraci metodou per-partésaukažte,jakjemožnéjejodvoditz derivace součinu. 3. [6bodů] Napišterovincitečnykegrafu y = x2 x+ vbodě x =. 6. [8 bodů] Vypočtěte kvadratický moment vzhledemkose y(tj.integrál x 2 dxdy)množiny tvořené trojůhelníkem na obrázku. y 4. [8 bodů] Jedinci určitého druhu dorůstají maximálnídélky l 0.Rychlostrůstumladýchjedinců tohoto druhu je přímo úměrná délce, která jim chybí do maximální délky. Sestavte diferenciální rovnici růstu jedinců tohoto druhu. x x+y + = 0 5. [6 bodů] Substituční metodou vypočtěte neurčitý integrál 3xe x2 dx. 7. [3body] Řešterovnici +ln(x+) = [3 body] Vypočtěte 0 xdx. Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

7

8 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [5 bodů] Jak vypočteme střední hodnotou funkce f(x) na intervalu [a, b]? Vypočtěte střední hodnotufunkce x 3 naintervalu [0,2]. 2. [ bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x)vbodě x = x 0 aodvoďteznějvzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. K čemu tato metodasloužíajakourolivníhrajetečna? 3. [8bodů] Jedánafunkce y = x3 x 2 3 ajejí derivace y = x2 (x 3)(x+3) (x 2 3) 2.Najděteintervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. 5. [6 bodů] Substituční metodou vypočtěte neurčitý integrál cos(x) +sin(x)dx. 6. [6 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y = (x 2 +)(y 2 +) 4. [8bodů] ámeoplotitpozemektvaruobdélníka, jehož jedna strana leží podél dlouhé zdi a zbývající tři strany jsou tvořeny plotem. Celkový obsahobdélníkaje 300m 2.Je-lidélkakratšístrany x, jecelkovádélkaplotudánavzorcem L = 2x+ 300 x. Pro které x je délka plotu nejkratší? 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 6+ln x 3 = 9 Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

9

10 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [8 bodů] Napište definici a) rostoucí funkce, b) prosté funkce, c) inverzní funkce, d) elementárních funkcí. 2. [0bodů] Vysvětlete na obrázku, jak jsou zavedeny polární souřadnice. Napište transformační vztahy mezi kartézskými a polárními souřadnicemi(tj. jak vypočteme kartézské souřadnice z polárních). V polárních souřadnicích vypočtěte integrál z jedničky před množinu tvořenou kruhem se středemvpočátkuapoloměrem r =. Jak je možno geometricky interpretovat výsledek? 5. [6 bodů] Substituční metodou vypočtěte neurčitý integrál sin 3 (x)dx. 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál ydxdy y y = x 2 3. [6bodů] a) Vypočtětederivacifunkce y = +x 3 e x2. b) Vypočtětehodnotutétoderivacevbodě x = (tj. dosaďte do derivace z předchozího bodu x = ). x 4. [8 bodů] Propustnost mostu je malá pokud auta jedou pomalu(přejetí mostu trvá dlouho) i pokud jedou rychle(při velké rychlosti musí dodržovat dostatečný odstup a auta jedou řídce). Při optimální rychlosti je známo(viz přednášky), že je nutnominimalizovatfunkci f(v) = l+kv2,kde v v jerychlostautal, kjsoukonstanty. Určete,při jaké rychlosti bude propustnost mostu největší. 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici e 2x 3 = 0 Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

11

12 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF,.2.202) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [8 bodů] Napište definici a) rostoucí funkce, b) inverzní funkce, c) střední hodnoty funkce, d) primitivní funkce. V definicích uvažujte funkci f na intervalu (a, b). 2. [0bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x)vbodě x = 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = x+vbodě x = 0. c) Napište, jak je možné předchozí vzorec použít kpřibližnémuvýpočtu(zhlavy)čísla.03. d) Napište, jak je možné předchozí výpočet zpřesnit. Stačí název metody nebo název objektu, který poskytuje lepší aproximaci než tečna. e) Z rovnice tečny odvoďte vzorec pro Newtonovu metodu. 3. [6bodů] a) Vypočtětederivacifunkce y = x x 2 +. b) Vypočtětehodnotutétoderivacevbodě x = 0(tj. dosaďte do derivace z předchozího bodu x = 0). 4. [8bodů] Válecoobjemu πmámesestrojit tak, aby povrch byl co nejmenší. Vyjádřímeli povrch jako funkci poloměru, dostáváme S(r) = 2π ( r 2 + r ) (vzorec nemusíte odvozovat).jakýmusíbýtpoloměr rabybylosplněno zadání, tj. aby S bylo minimální? 5. [6 bodů] etodou per-partes vypočtěte neurčitý integrál xsin(x)dx. 6. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál xdxdy y 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 3 ln(2x+4) = 0 y = x 2 x Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

13

14 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [6 bodů] Napište definici a) rostoucí funkce, b) střední hodnoty funkce, c) primitivní funkce. V definicích uvažujte funkci f na intervalu (a, b). 2. [4 body] Zformulujte první Bolzanovu větu (o souvislosti nulové hodnoty fuknce a znaménka funkce). 3. [8bodů] a) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x)vbodě x = 0. b) Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = x+vbodě x = [8bodů] Válecoobjemu πmámesestrojit tak, aby povrch byl co nejmenší. Vyjádřímeli povrch jako funkci poloměru, dostáváme S(r) = 2π ( r 2 + r ) (vzorec nemusíte odvozovat).jakýmusíbýtpoloměr rabybylosplněno zadání, tj. aby S bylo minimální? 6. [6 bodů] etodou per-partes vypočtěte neurčitý integrál 2xe x dx. 7. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál xdxdy y y = x 2 c) Napište, jak je možné předchozí vzorec použít kpřibližnémuvýpočtu(zhlavy)čísla.03. d) Z rovnice tečny odvoďte vzorec pro Newtonovu metodu. 4. [5bodů] x a) Vypočtětederivacifunkce y = x x+. b) Vypočtětehodnotutétoderivacevbodě x = 0(tj. dosaďte do derivace z předchozího bodu x = 0). 8. [5 bodů] Vyřešte rovnici 3 e x+4 = 0 Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

15 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [4 body] Napište definici a) inverzní funkce, b) primitivní funkce. V definicích uvažujte funkci f na intervalu (a, b). 2. [8 bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x)vbodě x = aaodvoďteztétorovnice iterační vzorec pro Newtonovu metodu. 3. [6bodů] Funkce y = (x )2 má derivaci x+ y = (x )(x+3).najděteintervalymonotonie (x+) 2 této funkce a její lokální extrémy. 5. [8bodů] Válecopovrchu 2πmámesestrojit tak, aby jeho objem byl co největší. Abychom tento problém vyřešili, je nutno vyjádřit objem válce jako funkci jedné proměnné: buď poloměru podstavy r, nebo výšky h. Najděte tuto funkci. (Dál problém řešit nemusíte.) Návod:Objemválceopoloměrupodstavy ravýšce hje V = πr 2 h,povrchje S = 2πr 2 +2πrh. 6. [6 bodů] etodou per-partes vypočtěte neurčitý integrál (x+)sin(x)dx. 7. [8 bodů] Vypočtěte dvojný integrál xdxdy y y = x 2 4. [5bodů] a) Vypočtětederivacifunkce y = x x+. b) Vypočtětehodnotutétoderivacevbodě x = 0(tj. dosaďte do derivace z předchozího bodu x = 0). 8. [5 bodů] Vyřešte rovnici 3+ln(2x+4) = 0 x Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

16

17 Písemná část zkoušky ze Základů vyšší matematiky ZVTA(LDF, ) 60 minut Jméno:... Součet Koeficient Body. [5 bodů] Jak vypočteme střední hodnotou funkce f(x) na intervalu [a, b]? Vypočtěte střední hodnotufunkce x 3 naintervalu [0,2]. 2. [ bodů] Napište rovnici tečny ke grafu funkce y = f(x)vbodě x = x 0 aodvoďteznějvzorec pro Newtonovu Raphsonovu metodu. K čemu tato metodasloužíajakourolivníhrajetečna? 3. [8bodů] Jedánafunkce y = x3 x 2 3 ajejí derivace y = x2 (x 3)(x+3) (x 2 3) 2.Najděteintervaly monotonie a lokální extrémy této funkce. 5. [6 bodů] etodou per-partés vypočtěte neurčitý integrál xcos(x)dx. 6. [6 bodů] Vyřešte diferenciální rovnici y = y(x 2 +) 4. [8bodů] ámeoplotitpozemektvaruobdélníka, jehož jedna strana leží podél dlouhé zdi a zbývající tři strany jsou tvořeny plotem. Celkový obsahobdélníkaje 300m 2.Je-lidélkakratšístrany x, jecelkovádélkaplotudánavzorcem L = 2x+ 300 x. Pro které x je délka plotu nejkratší? 7. [6 bodů] Vyřešte rovnici 6+ln x 3 = 9 Požadavek:alespoň 20bodůz50možných. ZnámkybudouzapsánydoUISuažpozapsánídoindexu! Řešení příkladů budou na webových stránkách předmětu(chráněny heslem). Jakákoli komunikace s ostatními studenty nebo použití taháků má za následek klasifikaci F a propadnutí všech následujících termínů. Vzorce nejsou povoleny. A 2 x 2 = arcsin x A x+ x 2 ±B = ln x 2 ±B x 2 +A 2 dx = A arctan x A A 2 x 2 dx = x A ln 2A x+a

18