Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Transkript

1 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

2 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost funkce 2 Diferenciální počet Derivace Příklady 3 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Příklady c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

3 Úvod Funkce Definice 1 Necht A, B R, f A B. Jestliže ke každému prvku a A existuje právě jeden prvek b B tak, že [a, b] f, pak relaci f nazýváme zobrazení množiny A do množiny B (f : A B). Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f, značíme D(f ) = Dom(f ). Množinu H(f ) = Im(f ) = {b B : x D(f ) : f (x) = b} nazýváme obor hodnot zobrazení f. Zobrazení f nazýváme reálná funkce (reálná funce reálné proměnné). Píšeme y = f (x). x se nazývá nezávisle proměnná (argument) funkce f. y se nazývá závisle proměnná funkce f. Číslo f (x 0 ) R se nazývá funkční hodnota funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

4 Úvod Funkce Poznámka Není-li definiční obor funkce zadán, jedná se o množinu všech x R pro která má daná funkce smysl. Příklad 1 Definiční obor funkce f (x) = 1 x 1 je D(f ) = R \ {1}. Definiční obor funkce g(x) = x je D(g) = (, 0]. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

5 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 2 (Rozšířená množina reálných čísel) Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body a +, tj R = R {, + }. Body ± nazýváme nevlastní body, zatímco body množiny R nazýváme vlastní body. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

6 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 3 Posloupnost reálných čísel je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot množina R, tj. a: N R, většinou místo a(n) píšeme a n. Příklad 2 a n = 1 n = {1, 1 2, 1 3,... } {a n } n=1, a n = vzorec pro a n a n = n sin(n π 2 ) {1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,... } a n = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... } c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

7 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 4 (Limita posloupnosti) Řekneme, že posloupnost a n konverguje k číslu a R, píšeme lim n a n = a, jestliže ke ε > 0 n 0 N: pro n n 0 platí a n a < ε, tj. a n (a ε, a + ε). Řekneme, že posloupnost a n diverguje k + ( ), píšeme lim n a n = + ( ), jestliže ke A R n 0 N takové, že pro n n 0 je a n > A (a n < A). Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

8 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 5 (Okoĺı bodu) Libovolný otevřený interval I R obsahující bod x 0 R nazýváme okoĺı bodu x 0 a značíme jej O(x 0 ). Definice 6 (Okoĺı ± ) Necht A R je libovolné. Interval (A, ), resp. (, A), nazýváme okoĺı +, resp.. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

9 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Speciální typy okoĺı bodu δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ). Prstencové (ryzí) δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0 ) = O δ (x 0 ) \ {x 0 } = (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ). Levé a pravé δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ], O + δ (x 0) = [x 0, x 0 + δ). Levé a pravé prstencové δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ), P + δ (x 0) = (x 0, x 0 + δ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

10 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice limity posloupnosti pomocí okoĺı bodu Příklad 3 lim a n = a R : O(a) n 0 N n n 0 : a n O(a). n Limita posloupnosti a n = ( 1) n 1 neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

11 Úvod Limita a spojitost funkce Motivace: Příklad 4 f (x) = x 2 + x 2, 1 D(f ) x 1 x 2 + x 2 (x + 2)(x 1) lim = lim = lim (x + 2) = 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Příklad 5 g(x) = { x 2 x 0 1 x = 0 lim g(x) = 0 x 0 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

12 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 7 (Limita) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu rovnu L R, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že pro x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } platí f (x) L < ε. Píšeme lim x x 0 f (x) = L. Definice 8 (Limita pomocí okoĺı) O ε (L) O δ (x 0 ) : x P δ (x 0 ) f (x) O ε (L). Poznámka Limita funkce nezávisí na funkční hodnotě f (x 0 ) (ta nemusí být dokonce ani definována). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

13 Úvod Limita a spojitost funkce Nepřesně, ale ilustrativně: Je-li x bĺızko x 0, pak je f (x) bĺızko L. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

14 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 9 (Limita, nevlastní limita, limita v nevlastním bodě) Necht x 0, L R. Jestliže ke každému O(L) existuje P(x 0 ) takové, že pro každé x P(x 0 ) platí f (x) O(L), pak řekneme, že lim x x0 f (x) = L. Příklad 6 Např. pro x 0 =, L = máme lim f (x) =, tj. x A R B R : x < B je f (x) > A. Příklad 7 Limita lim x sin x neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

15 Úvod Limita a spojitost funkce Obr.: Nevlastní limita c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

16 Úvod Limita a spojitost funkce Obr.: Limita v nevlastním bodě c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

17 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 10 (Jednostranná limita) Limitu zprava lim x x + 0 f (x) = L definujeme takto O(L) P + (x 0 ) : x P + (x 0 ) je f (x) O(L). Limitu zleva definujeme analogicky. (x 0, x 0 + δ) x R P + (x 0 ) = (, B) x = nemá smysl x = c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

18 Úvod Limita a spojitost funkce c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

19 Úvod Limita a spojitost funkce Není-li možné číslo do funkce dosadit jinak než limitně, můžeme představu o limitním chování funkce získat i empiricky a to dosazováním bĺızkých čísel. Podívejme se na chování funkce sin x x pro x 0 +. x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin x x 0, , , , , Z tabulky vidíme, že hodnoty se bĺıží jedničce. A skutečně lim x 0 + sin x x = 1. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

20 Úvod POZOR nejde o neprůstřelnou metodu: Limita a spojitost funkce x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin π x Přitom lim x 0 + sin π x neexistuje. (Zkuste dosazovat náhodná čísla bĺıžící se k nule zprava.. Např. sin = 0, ) π 0,003 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

21 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 11 (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 D(f ), jestliže lim x x0 f (x) existuje a je rovna f (x 0 ), tj. ε > 0 δ > 0 : x O δ (x 0 ) platí f (x) O ε (f (x 0 )). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 zprava (zleva), je-li ( ) lim x x + 0 f (x) = f (x 0 ) lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

22 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 12 (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém x (a, b). Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], je-li spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a v bodech a (b) je spojitá zprava (zleva). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

23 Úvod Limita a spojitost funkce Příklad 8 { 0 x Q Dirichletova funkce χ(x) = není spojitá v žádném bodě 1 x I (lim x x0 χ(x) neexistuje libovolně malé okoĺı obsahuje 1 i 0). Příklad 9 Funkce f (x) = x χ(x) je spojitá v bodě x 0 = 0 a není spojitá v žádném jiném bodě. lim x x 0 }{{} χ(x) = 0 }{{} 0 ohraničená c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

24 Úvod Limita a spojitost funkce Poznámka Představa, že funkce je spojitá jestliže se nepřetrhne platí, ale je zavádějící. Např. funkce f (x) = x(x 1)(x 2)χ(x) je spojitá v bodech 0, 1 a 2. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

25 Diferenciální počet Derivace Definice 13 (Derivace funkce f v bodě) Necht x 0 je vnitřním bodem D(f ). Jestliže existuje limita f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0, píšeme f (x 0 ). Poznámka f (x) f (x Je-li limita lim 0 ) x x0 x x 0 R řekneme, že funkce f má v bodě x 0 vlastní derivaci. f (x) f (x Je-li limita lim 0 ) x x0 x x 0 = ± řekneme, že funkce f má v bodě x 0 nevlastní derivaci + nebo. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

26 Diferenciální počet Derivace Definice 14 (Derivace funkce) Má-li funkce f derivaci v každém bodě intervalu I D(f ), pak se funkce x f (x) nazývá derivace funkce f a značí se f. Definice 15 (Derivace zprava / zleva) f +(x 0 ) = lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 Poznámka Zavedením h jako x = x 0 + h získáme f f (x + h) f (x) (x 0 ) = lim. h 0 h c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

27 Diferenciální počet Derivace Geometrický význam derivace Sečna grafu funkce f procházející body [x 0, f (x 0 )] a [x 0 + h, f (x 0 + h)] má směrnici tg ϕ = f (x 0 + h) f (x 0 ). h Jestliže se s bodem x 0 + h bĺıžíme k bodu x 0 (tj. provádíme limitní přechod h 0), přejde tato sečna v tečnu v bodě [x 0, f (x 0 )]. Směrnice tečny ke grafu funkce f v bodě x 0 je tedy lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ), h což je přesně derivace funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

28 Diferenciální počet Derivace c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

29 Diferenciální počet Derivace Věta 1 Má-li funkce v bodě x 0 derivaci (vlastní), pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. lim (f (x) f (x 0 )) = lim (x x 0 ) f (x) f (x 0) = x x 0 x x0 x x 0 f (x) f (x 0 ) lim (x x 0 ) lim = 0. x x } 0 x x0 x x {{}}{{ 0 } 0 číslo R c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

30 Diferenciální počet Derivace Poznámka Opačné tvrzení neplatí ze spojitosti neplyne existence derivace. Např. funkce f (x) = x je spojitá na celém R, ale v x 0 = 0 nemá derivaci. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

31 Diferenciální počet Derivace Poznámka Bolzano a Weierstrass sestrojili funkci, která je spojitá v každém bodě, ale v žádném nemá derivaci. f n (x) = 1 n cos (n2 x), g n (x) = f 1 (x) + + f n (x) Pro n je g n spojitá ( hustá, roztřesená čára ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

32 Diferenciální počet Derivace g 5 (x) = 5 i=1 1 i cos (i 2 x) c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

33 Diferenciální počet Příklady Příklad 10 Jak rychle klesá voda ve válcové nádrži, jestliže vytéká rychlostí 3000 l/min? c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

34 Diferenciální počet Příklady Označme r poloměr nádrže [m], h(t) výšku vody v nádrži [m], t čas [min], V (t) objem vody v nádrži [m 3 ]. Víme, že V (t) = 3000 l/min, tj. V (t) = 3 m 3 /min (objem se zmenšuje, jeho derivace je tedy záporná). Hledáme h (t). Z rovnice pro objem válce určíme derivováním podle t V (t) = π r 2 h(t) V (t) = π r 2 h (t), tj. h (t) = V (t) π r 2 = 3 π r 2. Voda tedy klesá (protože je derivace objemu záporná) rychlostí 3/(π r 2 ) m/min. Pro malé r bude voda klesat rychle, pro velké r bude voda klesat pomalu. Např. pro r = 10 cm, tj. r = 0.1 m, je h (t) = 300/π = 95 m/min, naproti tomu pro r = 10 m je h (t) = 3/(100 π) = m/min, tj. h (t) = 9.5 mm/min. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

35 Diferenciální počet Příklady Příklad 11 Horkovzdušný balón stoupá kolmo vzhůru. Je zachycen radarem, který je 500 metrů od místa vzletu a který v té chvíli udává elevační úhel π 4, přičemž úhel roste rychlostí 0.14 rad/min. Jak rychle v tomto okamžiku balón stoupá? c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

36 Diferenciální počet Příklady Označme t čas [min], h(t) výška balónu nad zemí [m], ϕ(t) vertikální elevační úhel radaru [rad]. Potom víme, že ϕ (t) = 0.14 rad/min, když je ϕ = π 4. Hledáme h (t) pro ϕ = π 4. Z pravoúhlého trojúhelníka vidíme, že Derivováním podle t určíme tj. v uvedeném okamžiku je tg ϕ(t) = h(t), tj. h(t) = 500 tg ϕ(t). 500 h (t) = 500 h (t) = cos 2 ϕ(t) ϕ (t), 1 cos 2 π (0.14) = 140 m/min. 4 V daném okamžiku stoupá balón rychlostí 140 m/min. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

37 Diferenciální počet Příklady Příklad 12 Policejní auto sleduje auto lupičů. Přijíždí k pravoúhlé křižovatce ze severu, přičemž auto lupičů již ujíždí od křižovatky na východ. Když je policejní auto 0.6 km od křižovatky a auto lupičů 0.8 km od křižovatky, udává radar v policejním autě, že se auto lupičů vzdaluje od jejich auta rychlostí 40 km/h. Policejní auto jede v té chvíli rychlostí 120 km/h. Určete rychlost auta lupičů v tomto okamžiku. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

38 Diferenciální počet Příklady Označme x(t) pozici auta lupičů (vodorovně) [km], y(t) pozici policejního auta (svisle) [km], t čas [h], s(t) vzdušnou vzdálenost mezi auty [km]. Potom víme, že s (t) = 40 km/h pro x = 0.8 km a y = 0.6 km a y (t) = 120 km/h (policejní auto se ke křižovatce přibližuje, proto je derivace jejich pozice y(t) záporná). Hledáme x (t) v témže okamžiku. Z rovnice s 2 (t) = x 2 (t) + y 2 (t) obdržíme derivováním podle t 2 s(t) s (t) = 2 x(t) x (t)+2 y(t) y (t), tj. x (t) = s(t) s (t) y(t) y (t). x(t) Dosazením údajů pro daný okamžik dostaneme (0.6) x (t) = 2 + (0.8) 2 40 (0.6) ( 120) = 140 km/h. 0.8 Auto lupičů ujíždí v daném okamžiku od křižovatky rychlostí 140 km/h. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

39 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 16 Řekneme, že funkce F je na intervalu I primitivní funkcí k funkci f, jestliže F (x) = f (x), x I. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

40 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 2 Jsou-li funkce F a G primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak existuje konstanta c R taková, že G = F + c. Důkaz. F (x) = f (x), G (x) = f (x) (F (x) G(x) ) = 0 na I }{{} spojitá funkce F (x) G(x) = c R. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

41 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 17 Množina primitivních funkcí k funkci f se nazývá neurčitý integrál funkce f a značí se f (x)dx. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

42 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Naším cílem nyní bude výpočet plochy podgrafu dané (nezáporné) funkce f. Podgraf = { [x, y] R 2 : x [a, b], 0 y f (x) }. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

43 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 18 Necht D = {x 0, x 1,..., x n } je dělení intervalu [a, b] a ξ i [x i 1, x i ]. Pak K = {ξ 1,..., ξ n } se nazývá výběr reprezentantů dělení D a součet n f (ξ i )(x i x i 1 ) =: S(D, f, K) i=1 se nazývá integrální součet funkce f příslušný dělení D a výběru reprezentantů K. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

44 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 3 Necht funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b] a D n je libovolná nulová posloupnost dělení tohoto intervalu. Pak pro každý výběr reprezentantů K n dělení D n platí b lim S(D n, f, K n ) = f (x)dx. n a c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

45 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 4 (Newtonův-Leibnitzův vzorec) Necht funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b], funkce F je spojitá na [a, b] a na (a, b) je primitivní funkcí k f, tj. F = f na (a, b). Pak platí b a f (x)dx = F (b) F (a). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

46 Integrální počet Příklady Příklad [ x x 2 3 dx = 3 ] 5 2 = 53 3 ( 2)3 3 = c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

47 Integrální počet Příklady Objem a povrch pláště rotačního tělesa (rotace nezáporné funkce f kolem osy x na intervalu [a, b]). b b P = 2π f (x) 1 + f 2 (x)dx, V = π f 2 (x)dx. a a c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

48 Integrální počet Příklady Vzorec pro objem rotačního tělesa plyne přímo z konstrukce integrálu. Uvažujme dělení intervalu [a, b], v každém dílku zvoĺıme reprezentanta ξ i. Tím obdržíme obdélník daný délkou dílku a funkční hodnotou v příslušném reprezentantu. Rotujeme-li tento obdélník kolem osy x, vytvoří válec o poloměru f (ξ i ) a výšce x i x i 1. Součet všech objemů přejde pro nulovou posloupnost dělení v objem uvažovaného rotačního tělesa. V n i=1 b πf 2 (ξ i )(x i x i 1 ) = S(D, πf 2, K) π f 2 (x)dx = V a Podobně lze odvodit vzorec pro povrch pláště nahradíme-li křivku za lomenou čáru, objekt snadno rozděĺıme na sadu komolých kuželů. Součet povrchů pláště těchto kuželů se pro nulové dělení bĺıží k povrchu pláště daného tělesa. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

49 Integrální počet Příklady Příklad 14 Vypočtěte povrch koule o poloměru R. R P = 2 2π 0 R 2 x 2 R R R 2 x dx = 4πR dx = 4πR c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

50 Integrální počet Příklady Příklad 15 Určete objem tělesa vzniklého rotací plochy omezené grafy funkcí f (x) = x a g(x) = x + 3 kolem osy x. 2 V = π = π = π =... = π. 2 g 2 (x)dx π f 2 (x)dx 1 (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx 8 + 6x x 2 x 4 dx c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57