7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA. Čas ke studiu: 2 hodiny. Cíl

Transkript

1 7. KOMBINATORIKA, BINOMICKÁ VĚTA Čas ke studiu: hodiy Cíl Po prostudováí této kapitoly budete schopi řešit řadu zajímavých úloh z praxe, týkajících se počtu skupi, které lze sestavit ( vybrat ) z daé možiy prvků. Zvládutí kombiatorických úloh je předpokladem pro studium pravděpodobosti a statistiky. Kombiatorika ( auka o skupiách ) je část matematiky, zabývající se určováím počtu růzých skupi o k prvcích, které lze vybrat z daé, základí možiy o prvcích při dodržeí určitých pravidel výběru. "Chcete si umět spočítat, jaká je pravděpodobost, že při vsazei deseti sloupců ve Sportce vyhrajete prví pořadí?" Pusťte se do základích pojmů kombiatoriky. 56

2 7.. Základí pojmy základí možia M -je každá koečá možia o růzých prvcích, z íž budeme vybírat prvky do skupi skupia -je možia prvků, vybraých ze základí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvků: zápisy ( a, b) a ( b, a) zastupují tutéž skupiu skupia k-té třídy -je vybraá skupia, která má k prvků uspořádaá skupia -je skupia v íž záleží a pořadí prvků: ( a, b) a ( b, a) jsou dvě růzé skupiy skupiy bez opakováí -jsou skupiy v ichž každý prvek z daé základí možiy M o růzých prvcích je vybrá je jedou ( a pak je z dalšího výběru vyřaze) skupiy s opakováím -jsou skupiy v ichž je možé každý prvek z možiy M vybrat vícekrát ( jako bychom ho po výběru vrátily zpět do možiy M ) -faktoriál -je souči všech přirozeých čísel meších ebo rových! ( ) ( ) ( ) 0!! kombiačí číslo - čteme ad k,, kde, k jsou přirozeá čísla k k ( k)! k! ebo ula a platí 0 k. 57

3 Počítáí s kombiačími čísly Výpočet faktoriálu:.! ( ) ( ) ( ).! ( )( ) ( k)!. 0! Řešeý příklad Rozepište 6!. 6! 6 5 ebo 6! 6 5! 6 5! 6 5! Rozepisováí faktoriálu je možo a vhodém místě zastavit. Výpočet kombiačího čísla:! ( )( ) ( k )( k)! ( )( ) ( k ). k ( k)! k! ( k)! k! k!. k k , kde k <. k k k 58

4 Řešeý příklad 0 Vypočtěte. 0 0! ! (0 )!! 7!! Kombiačí číslo jedoduše vypočteme, jestliže v čitateli rozepisujeme faktoriál čísla, ale apíšeme je tolik čiitelů, kolik udává k. Ve jmeovateli rozepíšeme je k!. 9 9 Vypočtěte, x x 5 Které přirozeé číslo x vyhovuje rovici : 5 Kombiačí číslo existuje pro 0 k k x x a tedy x x Nyí odstraíme kombiačí čísla a řešíme ( x ) x x ( x ) x x x x 8 x 8 x x ± Podmíce vyhovuje je x. 59

5 7.. Kombiace Kombiací bez opakováí k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou podmožiu základí možiy M, v íž ezáleží a pořadí prvků. Počet kombiací bez opakováí: C k ( ), 0 k. k Řešeý příklad Zapište kombiace. třídy bez opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia M,,. () { } C : (,), (, ), (,). C (). Kolik růzých třítóových akordů je možé zahrát z sedmi tóů? urči (počet prvků základí možiy) 7 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat tóy se emohou opakovat urči typ výběru : C k () C k ( ) k C (7) 5 60

6 Kombiací s opakováím k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou skupiu prvků vybraých z prvků základí možiy M, v íž se každý prvek může opakovat až k krát a v íž ezáleží a pořadí prvků. k Počet kombiací s opakováím: C k ( ), k může být větší ež. k Řešeý příklad Zapište kombiace. třídy s opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia M,,. () { } C : (,), (,), (,), (,), (,), (,) C () 6 Ve stáku mají druhy bobóů, každý druh v sáčcích po 0 dkg. Kolika růzými způsoby může zákazík koupit půl kila bobóů? urči (počet prvků základí možiy) urči k (počet prvků, které vybíráme) k 5 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků ezáleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat druhy se emohou opakovat urči typ výběru : C k () k C k ( ) k C 5 () 5 5! 6

7 7.. Variace Variací bez opakováí k-té třídy z prvků azýváme každou uspořádaou k-prvkovou podmožiu prvkové základí možiy M.! Počet variací bez opakováí : V k ( ), 0 k. ( k)! Řešeý příklad Zapište variace bez opakováí.třídy a určete jejich počet, je-li základí možia M {,,} V : (, )(,, )(,, )(,, )(,, )(,, ) ()! V () ( )! 6 Jsou dáy cifry,,,, 5. Kolik trojciferých čísel lze z ich sestavit, jestliže se cifry eopakují. urči (počet prvků základí možiy) 5 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat čísla se emohou opakovat urči typ výběru : V k () V k! ( ) ( k)! 5! 5! 5...! V (5) (5 )!!! 6

8 Variací s opakováím k-té třídy z prvků azýváme každou k prvkovou uspořádaou skupiu prvků, vybraých z prvkové základí možiy M, v íž se každý prvek může opakovat až k krát. k Počet variací s opakováím : V ( ), k může být větší ež. k Řešeý příklad Zapište variace s opakováím.třídy a určete jejich počet, je-li základí možia M {,,} V () : (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,) V () 9 Jsou dáy cifry,,,, 5. Kolik trojciferých čísel lze z ich sestavit, jestliže se cifry opakují. urči (počet prvků základí možiy) 5 urči k (počet prvků, které vybíráme) k rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat čísla se mohou opakovat urči typ výběru : V k () k V ( ) V (5) 5 5 k 6

9 7.. Permutace Permutací bez opakováí z prvků azýváme každé uspořádáí prvkové základí možiy M. Počet permutací bez opakováí : P ( )!. Řešeý příklad Zapište permutace bez opakováí a určete jejich počet, je-li základí možia {,,} P () : (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,) P ( )! 6 M. Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova fyzika? { f, y, z, i, k a} M, urči (počet prvků základí možiy) 6 urči k (počet prvků, které vybíráme) k 6 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat písmea se eopakují urči typ výběru: P () P ( )! P (6) 6!

10 Permutací k prvků s opakováím azýváme každé uspořádáí, v ěmž je všech prvků základí možiy M a prvek a i se opakuje právě k i krát ( i,, a ). Platí k k k k. Počet permutací s opakováím: P k! k ( ), k,... k k k! k!. k! Řešeý příklad Zapište permutace s opakováím a určete jejich počet, je-li základí možia {,,} prvek se opakuje jedou, druhý se opakuje jedou a třetí dvakrát. P : (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,),,, () (,,,), (,,,), (,,,), (,,,), (,,,)! P,, ()!!! Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova matematika? { m, a, t, e, i k} M, urči (počet prvků základí možiy) 6 urči k (počet prvků, které vybíráme) k (písmeo m se opakuje ) 65 k (písmeo a se opakuje ) k (písmeo t se opakuje ) M a prví k (písmeo e se opakuje ) k 5 (písmeo i se opakuje ) k 6 (písmeo k se opakuje ) k 0 rozhodi, zda záleží a pořadí prvků záleží a pořadí rozhodi, mohou-li se prvky opakovat písmea se opakují urči typ výběru : P k! ( ), k, k, k, k5, k k P k 6 k ( ), k, k, k, k5, k k 6 k!. k!. k!. k!. k!. k! P 0!!!!!!!,,,,,(0)

11 Biomická věta Kombiačí číslo k bývá ozačováo termíem biomický koeficiet, je-li užíváo ve vztahu pro -tou mociu dvojčleu (biomu). Jsou-li a,b libovolá čísla a číslo přirozeé, platí: b a b a b a b a b a ) (. Řešeý příklad Rozveďte pomocí biomické věty a zjedodušte ) ( 0 ).(. )..( ).(. )..( ).(. 0 ) ( 6 8 7

12 Úlohy k řešeí Úloha 7.. Vypočtěte kombiačí čísla a) 0 b) 5 c) 9 9 d) Úloha 7.. Které přirozeé číslo vyhovuje rovici : x x x a), jaká je podmíka pro x? 0 x 5 x b) 0, jaká je podmíka pro x? x x Úloha 7.. Ve třídě je 5 žáků, z ichž mají být vyzkoušei. Kolik růzých čtveřic může být vyzkoušeo? Úloha 7.. Jistý muž má 5 kabátů, vesty a 6 kalhot. Kolika růzými způsoby se může obléct? Úloha 7.5. V lavici mohou sedět čtyři žáci. Kolikerým způsobem je možo lavici obsadit, máme-li pět žáků a záleží a pořadí míst? Úloha 7.6. Kolik růzých hodů lze provést třemi kostkami? 67

13 Úloha 7.7. Aražér má ve výloze umístit vedle sebe stejé svetry z ichž jsou bílé, červeý a zeleý. Kolika způsoby to může učiit? Úloha 7.8. Kolik růzých šesticiferých čísel můžeme apsat z číslic,,,,5,6 má-li se každé vyskytout v čísle je jedou? Úloha 7.9. Užitím biomické věty vypočtěte a) a b 6 b) (.0) 7 s přesostí a tři desetiá místa Úloha 7.0. Vypočtěte: 7 a) 5 b) x c) Úloha 7.. Kterým kombiačím číslem je možo vyjádřit součty: 5 5 a) b) 0 c) 5 68

14 Úloha 7.. Zjedodušte : ( )! a) ( )! ( )! b) ( )! ( )!! c)! ( )! Úloha 7.. Z kolika prvků je možé utvořit variací. třídy bez opakováí? Úloha 7.. Zvětší-li se počet prvků o zvětší se počet permutací bez opakováí krát. Jaký byl původí počet prvků? Úloha 7.5. Zvětší-li se počet prvků o jede, zvětší se počet kombiací třetí třídy o 8. Kolik je prvků? Úloha 7.6. Jsou cifry,,,,5. Kolik pěticiferých čísel, v ichž se žádá z cifer ebude opakovat, lze z těchto cifer sestavit, chceme-li získat a) všecha taková čísla b) čísla kočící cifrou c) čísla sudá d) čísla lichá Úloha 7.7. Kolik trojciferých čísel lze zapsat z cifer,,6,8, mohou-li se cifry opakovat? Úloha 7.8. Kolik růzých slov lze vytvořit použitím všech písme slova automatizace? Úloha 7.9. Kolik růzých třítóových ebo čtyřtóových akordů lze zahrát z sedmi tóů? 69

15 Úloha 7.0. Fotbalový treér má k dispozici brakáře, 5 obráců, záložíky a 0 útočíků. Kolik růzých fotbalových mužstev z ich může sestavit, tvoří-li jedo mužstvo brakář, obráci, záložíci a 5 útočíků? 70

16 Klíč k řešeí 7.. Řešíme dosazeím do vzorce pro výpočet kombiačího čísla. 7.. ( x )( x ) x ( x ) a) Rovici upravíme a tvar, rozásobíme a dostaeme kvadratickou rovici x 5x 0, její kořey jsou x 0, x 5. Protože musí být x (jistě jsme ezapoměli vypočítat podmíku pro kombiačí číslo), má rovice jedié řešeí x 5. b) Rovici upravíme a tvar x ( x ) 0( x ) 8 0, rozásobíme a dostaeme kvadratickou rovici x x 0, ta má jede dvojásobý koře x,. Protože x, má rovice řešeí x. 7.. Jedá se o kombiace. třídy z 5, ezáleží totiž a pořadí zkoušeých žáků, bez opakováí, 5! ikdo ebude zkouše vícekrát. C (5) 650!! 7.. Muž si obléke kabát, vybírá ho z pěti růzých, vestu ze čtyř a kalhoty z šesti. pro kabát: 5, k C 5 () pro vestu:, k C ( ) C () C () C () 6 0 pro kalhoty: 6, k C ( 6) Záleží a pořadí žáků, jedá se tedy o variace, žáci se eopakují, ikdo esedí a dvou židlích, 5! jsou tedy bez opakováí. V (5) 0 (5 )! 7.6. U hodu kostkou záleží a pořadí a prvky se mohou opakovat. V ( 6) Záleží a pořadí svetrů, umístí se všechy a bílý se x opakuje, jedá se tedy o permutace! s opakováím. P,,()! 7.8. Z šesti číslic tvoříme šesticiferé číslo, žádá cifra se eopakuje, jsou to tedy permutace šesti prvků. P ( 6 ) 6! a a b 5a b 5a b 5a b ab b a) b) ( 0.0) 0,0 0,0 0, a)

17 5 5 5 b) 55! c) 7.. ( x ) ( x ) x x x x x! 6 a) b) 5 0 c) a) b) c) ( )! ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( ) ( )!! ( )! ( ) ( )!! ( )!! 7.. ( ) ( )!! V ( ) 7, 6 Je potřeba 7 prvků.! 7.. P ( )!, P ( ) ( )!, P( ) P( ) ( )!!, upravíme faktoriál a levé straě rovice, vykrátíme a dostaeme kvadratickou rovici 0 0. Její kořey jsou, 5. úlohy vyhovuje. C, 8, upravíme kombiačí čísla a po úpravě dostaeme kvadratickou rovici Její kořey jsou 8, 7. úlohy vyhovuje C ( ), ( ) 7.6. a) Záleží a pořadí, prvky se eopakují, k 5. P ( 5 ) 5! 0 b) Na koci je pevě daé číslo, u zbytku záleží a pořadí a eopakují se, k P! ( ) c) Na koci může být dvojka ebo čtyřka. Jedá se o dva případy z příkladu b). P ( ) 8 d) P ( ) 7 7

18 7.7. Tvoříme trojciferá čísla, u ich záleží a pořadí, vybíráme ze čtyř cifer, ty se opakují. Jedá se tedy o variace třetí třídy ze čtyř prvků s opakováím. V () Budeme postupovat podobě jako v řešeém příkladu o matematice. Jde o permutace s opakováím. { a, u, t, o, m, i, z, c e} M,, 9, k, k, k, k k k k k k k ! P,,,,,,,,()!!! 7.9. Nezáleží a pořadí, tó se esmí opakovat, vypočítáme zvlášť počet třítóových akordů a zvlášť počet čtyřtóových akordů. Ty pak sečteme. 7, k, C 7) C (7) ( 7.0. Treér vybírá jedoho brakáře ze tří, dva obráce z pěti, tři záložíky ze čtyř a pět útočíků z deseti. Můžeme také říci, že je kombiuje. Lidé se samozřejmě eopakují. Tedy 5 0 C ( ) C (5) C () C5 (0)

19 Výsledky 7.. a) b) c) 5 d) a) x ; x 5 b) x ; x a) 6 5 a a b 5a b a b 5 5a b 08 5 ab 8 6 b 79 b) a) b) 55 c) x x 6 x a) 5 b) c) a) ( ) 7

20 b) c) a) 0 b) c) 8 d)