Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu
|
|
- Dominika Fišerová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω, které se navzájem vylučují, přičemž jeden z nich nutně nastává, tj. B B = a B B = Ω, a pro libovolný jev A platí P(A) = P(B ) P(A B ) + P(B ) P(A B ). Příklad V populaci je 30 % dětí a 70 % dospělých. Určitou nemoc má 0 % dětí a 3 % dospělých. Náhodně vybraný člověk tuto nemoc má s pravděpodobností Funkce P(nemocný) = P(dítě) P(nemocný dítě) + P(dospělý) P(nemocný dospělý) = = 5. %. Definice Funkce f (jedné proměnné) na množině A R je předpis, který každému číslu x A přiřazuje právě jedno číslo f(x) R. Definice Funkce f (dvou proměnných) na množině A R R je předpis, který každé dvojici čísel (x, y) A přiřazuje právě jedno číslo f(x, y) R. Příklady objem válce: V (r, v) = πr v povrch válce: S(r, v) = πr(r + v) U funkcí více proměnných záleží na pořadí proměnných. Obecně neplatí f(x, y) = f(y, x).
2 Model setu Popis modelu Vstupy Pravděpodobnosti, že týmy při svém podání získají bod (breakpoints) Výstupy Pravděpodobnosti výhry týmů v zápasu Zjednodušení Pro jednoduchost do modelu nezahrneme následující skutečnosti rotace hráčů únava, psychika a další časově závislé věci umístění fanoušků a vliv strany hřiště Příklad V zápasu VK DHL Ostrava SKV Ústí nad Labem jsou úspěšnosti podání následující: Ostrava při 35 % svých podání získá bod Ústí nad Labem při 3 % svých podání získá bod (Tyto údaje byly zjištěny empiricky z posledních domácích zápasů Ostrava Ústí.) Který tým má větší pravděpodobnost výhry v zápasu? Model setu Značení na začátku setu podává tým m:n i stav setu je m:n a podává tým i p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým
3 Model setu Vývoj setu Vývoj skóre na začátku setu lze znázornit následujícím grafem. p 0:0 q p :0 0: q q p p :0 : q : 0: q p q p q p 3:0 : : : : 0:3 Celý graf se skládá z následujících částí m+:0 V 4: m:0 m:n m:n q p q q 0:n q p p p m: V m+:n 4:n+ m:n+ :n 0:n+ 4:0 4:n 4:n q p q q m:4 q q m:4 0:4 q p p p p p m+:4 Protože vítěz setu musí vyhrát o dva body, jsou pro vítězství v setu ekvivalentní následující stavy: 3:3, 4:4, 5:5, 6:6,... 4:3, 5:4, 6:5, 7:6,... 3:4, 4:5, 5:6, 6:7,... Spodní část grafu bude vypadat takto. V :4 V 4: 4: 3:3 q q q p p q 3:3 p p :4 q q :4 p p p p V p p q 4:3 q 4:3 3:4 q q 3:4 V 3
4 Model setu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v setu. Označme a i m:n pravděpodobnost výhry týmu v setu za stavu m:n při podání týmu i. K nalezení F 5 (p, p ) = a 0:0 potřebujeme najít všechny a i m:n. Dostáváme celkem 99 neznámých. Výpočet a 7:0: Z grafu 7:0 p q plyne 8:0 7: a 7:0 = P ( výhra při 7:0 () ) Výpočet a 4:5: Z grafu = P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) = p P ( výhra při 8:0 () ) + q P ( výhra při 7: () ) = p a 8:0 + q a 7: 4:5 q p plyne V 4:6 a 4:5 = P ( výhra při 4:5 () ) = P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) = q + p P ( výhra při 4:6 () ) = q + p a 4:6 Výpočet a 8:4: a 8:4 = q a 9:4 Rovnice pro pravděpodobnosti a m:n = p a m+:n + q a m:n+ m {,..., 3}, n {0,..., 3}; m = n = 0 a m:n = p a m:n+ + q a m+:n m {0,..., 3}, n {,..., 3} a 4:n = p + q a 4:n+ n {0,..., } a 4:n = q + p a 4:n+ n {,..., } a m:4 = p a m+:4 m {,..., } a m:4 = q a m+:4 m {0,..., } a 4:3 = p + q a 3:3 a 4:3 = p a 3:3 + q a 3:4 = p a 3:3 a 3:4 = q a 3:3 Toto je soustava 99 rovnic pro uvedených 99 neznámých a i m:n. 4
5 Model setu Řešení soustavy F 5 (p, p ) = a p 0:0 = ` p p p 3 p +p p p p p p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p 5 76 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p4 754 p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p4 5
6 Model setu p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p p p p p 4 p p p p p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p8 p p3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p p 8 p p7 p p6 p p5 p 4 p p4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 8 p p4 p p3 p p p p p p0 p p p7 p p6 p p5 p p4 p p p p p p 6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p3 p p3 p p0 p p9 p p8 p p7 p p p p p p0 p 4046 p9 p p8 p p7 p p4 p 4575 p3 p p6 p p 5 p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p 394 p3 p + 0 p p 434 p p 3 p 4 p + 55 p 3 p 634 p p p p 4374 p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p 0894 p 4 p p 3 p 434 p p + 76 p p + 6
7 Model tie-breaku Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.35, 0.3) = 0.60 Ústí nad Labem r OV = 0.40 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.64 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.3, 0.35) = 0.36 Model tie-breaku Řešením analogické soustavy 49 rovnic o 49 neznámých najdeme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v tie-breaku. F 5 (p, p ) = p p p p +p p p p p ` p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p 5 9 p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p 4 p p 3 p p p p p p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p p 4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p 5 p p 4 p p 3 p p p 0494 p p p p 4 p p 3 p p p p p p0 p p9 p p8 p p 7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p 645 p p4 p p3 p p p p p p0 p p9 p p 8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p8 46 p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p 0 p p9 p p8 p p7 p p6 p p5 p p4 p p 3 p p p p p p p4 p p3 p p p p p p0 p p 9 p p8 p p7 p3 00 p6 p p5 p p4 p p3 p p p p p p p4 p 530 p3 p + 97 p p p p p0 p p9 p p8 p p7 p p 6 p p5 p p4 p 7759 p3 p + 0 p p 89 p p 3 p4 p + 8 p 3 p 69 p p p p 649 p 0 p p 9 p p 8 p p 7 p p 6 p p 5 p 0 p 4 p p 3 p 89 p p + 9 p p + 7
8 Model zápasu Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.57 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.43 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.6 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.38 Model zápasu Značení na začátku zápasu podává tým A m:n i stav zápasu je m:n na sety a na začátku (m + n + )-ho setu podává tým i r A = F 5 (p A, p B ) pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým A s A = r A pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým B r B = F 5 (p B, p A ) pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým B s B = r B pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým A Vývoj zápasu r A A 0:0 :0 B 0: B s B r B s B r B A A A :0 : 0: r A s A r A s A r A s A VA : B : B s B r B T s B s A r B VB 8
9 Model zápasu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnosti G A (r A, r B ), že tým A vyhraje zápas 3:0 nebo 3: G B (r A, r B ), že tým B vyhraje zápas 0:3 nebo :3 G T (r A, r B ), že zápas bude mít pět setů Platí G A (r A, r B ) + G B (r A, r B ) + G T (r A, r B ) =. Označme b i m:n pravděpodobnost výhry týmu i nejpozději ve čtvrtém setu, pokud je stav zápasu m:n na sety. K nalezení G A (r A, r B ) = b A 0:0 potřebujeme najít všechny b A m:n. K nalezení G B (r A, r B ) = b B 0:0 potřebujeme najít všechny b B m:n. Rovnice pro pravděpodobnosti b A 0:0 = r A b A :0 + s A b A 0: b A :0 = r B b A : + s B b A :0 b A : = r A b A : + s A b A : b A 0: = r B b A 0: + s B b A : b A :0 = r A + s A b A : b A : = s B b A : = 0 b A 0: = 0 b B 0:0 = r A b B :0 + s A b B 0: b B :0 = r B b B : + s B b B :0 b B : = r A b B : + s A b B : b B 0: = r B b B 0: + s B b B : b A :0 = 0 b A : = 0 b A : = r B b A 0: = r A b B : + s A Řešení soustavy Příklad G A (r A, r B ) = r A ( r B ) (3 r A r B r A r B + ) G B (r A, r B ) = r B ( r A ) (3 r A r B r A r B + ) G T (r A, r B ) = G A (r A, r B ) G B (r A, r B ) V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti r OV = 0.60 a r UL = Pokud na začátku zápasu podává Ostrava, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) =
10 Výsledky Pokud na začátku zápasu podává Ústí nad Labem, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G B (r UL, r OV ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G A (r UL, r OV ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r UL, r OV ) = 0.33 Z uvedených výsledků je vidět, že vítězství v zápasu nezávisí na losu v prvním setu. Výsledky Pravděpodobnost, že zápas vyhraje Ostrava, je 0.70, nebo 0.7 Ústí nad Labem, je 0.8, nebo 0.30 v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Přesný výsledek V následující tabulce jsou uvedeny pravděpodobnosti, že zápas skončí uvedeným přesným výsledkem, v závislosti na prvním podání na začátku prvního setu a na začátku tie-breaku.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 3 % 3 % 5 % 5 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 9 % % 9 % % výhra Ústí :3 4 % % 4 % % výhra Ústí :3 0 % 0 % 0 % 0 % výhra Ústí 0:3 6 % 6 % 5 % 5 % Přesné výsledky v setex Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 0
11 Skutečná data Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Skutečná data Zápas DHL Ostrava Ústí nad Labem se odehrál Skutečné hodnoty breakpoints byly následující: Ostrava při 39 % svých podání získala bod Ústí nad Labem při 6 % svých podání získalo bod Pokud tyto hodnoty vezmeme jako vstupní pravděpodobnosti modelu, dostaneme následující výstupy.
12 Skutečná data Pravděpodobnosti výhry v setu a v tie-breaku jsou: Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.39, 0.6) = 0.97 Ústí nad Labem r OV = 0.03 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.98 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.6, 0.39) = 0.0 Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.93 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.07 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.95 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.05 Pravděpodobnosti výhry v zápasu jsou tyto: Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) = Z předchozího dostáváme, že pravděpodobnost, že celý zápas vyhraje Ostrava, je , nebo Ústí nad Labem, je , nebo v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Pravděpodobnosti jednotlivých přesných výsledků jsou v tabulce.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 9 % 9 % 93 % 93 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 0,4 % 0,4 % 0,4 % 0,4 % výhra Ústí :3 0,03 % 0,0 % 0,03 % 0,0 % výhra Ústí :3 0,004 % 0,004 % 0,005 % 0,005 % výhra Ústí 0:3 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %
13 Skutečná data Ve skutečnosti zápas skončil výhrou Ostravy 3:0, tedy nejpravděpodobnějším výsledkem. Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Skutečné výsledky v setex byly 5:6, 5:0 a 5:3. Tyto výsledky jsou na výše uvedených grafech zvýrazněny. Poděkování Bc. Juraj Zaťko (kapitán VK DHL Ostrava, reprezentační tým SR) konzultace Tomáš Krempaský (statistik VK DHL Ostrava) zpracování vstupních dat 3
Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu. Mgr. Jan Šustek
Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek 3. 0. 008 Opakování Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω takové, že B B = a B B = Ω, platí P(A) = P(B ) P(A B ) +
VíceModel tenisového utkání
Model tenisového utkání Jan Šustek Semestrální rojekt do ředmětu Náhodné rocesy 2005 V této ráci se budu zabývat modelem tenisového utkání. Vstuními hodnotami budou úsěšnosti odání jednotlivých hráčů,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Více13. cvičení z PSI ledna 2017
cvičení z PSI - 7 ledna 07 Asymptotické pravděpodobnosti stavů Najděte asymptotické pravděpodobnosti stavů Markovova řetězce s maticí přechodu / / / 0 P / / 0 / 0 0 0 0 0 0 jestliže počáteční stav je Řešení:
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceCVIČNÝ TEST 48. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 48 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán konvexní čtyřúhelník, jehož vnitřní
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceKatedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1
Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 11. Aukce
Teorie her a ekonomické rozhodování 11. Aukce 11. Aukce Příklady tržních mechanismů prodej s pevnou cenou cenové vyjednávání aukce Využití aukcí prodej uměleckých předmětů, nemovitostí, prodej květin,
Více2.7.7 Inverzní funkce
77 Inverzní funkce Předpoklad: 0, 08 Pedagogická poznámka: Stihnout celý obsah této hodin za 5 minut znamená docela úprk, ale jak mám vzkoušené až na dokončení posledního příkladu je to zvládnutelné Pedagogická
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Více, 4. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
..06, 4. skupina (6: - 7:4) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papír, které odevzdáváte. Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí. Co je škrtnuto, nebude bráno
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
VíceSemestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení
Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceCVIČNÝ TEST 23. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 23 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete nulové body následujících výrazů. 1.1 V(a) = 9 a 27 3 a ; a
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Více, 1. skupina (16:15-17:45) Jméno: se. Postup je třeba odůvodnit (okomentovat) nebo uvést výpočet. Výsledek bez uvedení jakéhokoliv
42206, skupina (6:5-7:45) Jméno: Zápočtový test z PSI Nezapomeňte podepsat VŠECHNY papíry, které odevzdáváte Škrtejte zřetelně a stejně zřetelně pište i věci, které platí Co je škrtnuto, nebude bráno v
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0527
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceGrafické řešení rovnic a jejich soustav
.. Grafické řešení rovnic a jejich soustav Předpoklady: 003 Pedagogická poznámka: V této hodině kreslíme na čtverečkovaný papír tak, aby jeden čtvereček představovala vzdálenost. Př. : Vyřeš graficky soustavu
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceAplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik
Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceMĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ
MĚŘENÍ STATISTICKÝCH ZÁVISLOSTÍ v praxi u jednoho prvku souboru se často zkoumá více veličin, které mohou na sobě různě záviset jednorozměrný výběrový soubor VSS X vícerozměrným výběrovým souborem VSS
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
Více(iv) D - vybíráme 2 koule a ty mají různou barvu.
2 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv2tex Definice pojmů a záladní vzorce Vlastnosti pravděpodobnosti Pravděpodobnost P splňuje pro libovolné jevy A a B následující vlastnosti: 1 0, 1 2 P (0) = 0, P
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceDiskrétní pravděpodobnost
Diskrétní pravděpodobnost Jiří Koula Definice. Konečným pravděpodobnostním prostorem nazveme dvojici(ω, P), kde Ω jekonečnámnožina {ω 1,..., ω n}apfunkcepřiřazujícíkaždépodmnožiněωčíslo zintervalu 0,1,splňujícíP(
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 3. Limita funkce 3.2. Limita funkce v nevlastním bodě 2 Limita funkce v nevlastním bodě Ukážeme, že je možné definovat limitu funkce i pro x +, x - Uvažujme
VíceFUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF
FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční
Více