Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta
|
|
- Karla Marešová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00
2 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN
3 3 Kapitola 3 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Předmětem této kapitoly budou číselé řady a, kde a R. Nejprve si všimeme speciálího případu, kterými jsou řady se střídavými zaméky, tzv. alterující řady. Dále zavedeme důležitý pojem pro řady s libovolými čley, kterým je absolutí, resp. eabsolutí kovergece. Také se vrátíme k otázce z Kapitoly, zda pro ekoečé řady platí aalogie komutativího zákoa, tj. zda lze přerovávat čley číselé řady, aiž se poruší její součet. Ukážeme, že pro přerováváí řad je rozhodující právě skutečost, zda jsou tyto řady absolutě kovergetí. 3.. Alterující řady Defiice 3.. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechy čley jsou ulové, lze každou alterující řadu psát ve tvaru ( ) a ebo tvaru ( ) a, kde a > 0 pro všecha N. Pro alterující řady platí ásledující Leibizovo kritérium kovergece. Věta 3. (Leibizovo kritérium). Necht a je erostoucí posloupost kladých čísel. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Důkaz. Nutost uvedeé podmíky plye ihed z Věty., ebot vztah lim a = 0 je ekvivaletí se vztahem lim[( ) a ]=0. Dokážeme její dostatečost. Necht
4 4 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí jsou předpoklady věty splěy a uvažme posloupost {s } částečých součtů řady ( ) a. Pro libovolé N je s = (a a ) + (a 3 a 4 ) + +(a a ). Protože je zde každý sčítaec ezáporý, platí s s 4 s, tj. vybraá posloupost {s } je eklesající. Aalogicky je s + = a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a a + ), a protože opět čísla v závorkách jsou ezáporá, je s s 3 s +, takže {s + } je erostoucí. Obě poslouposti {s }, {s + } jsou tedy mootoí a obě jsou ohraičeé, ebot pro libovolé N platí a a = s s <s + a + = s + s = a. Podle věty o mootoích posloupostech jsou tedy obě kovergetí a přitom mají stejou limitu, ebot lim s + lim s = lim(s + s ) = lim a + = 0. Je-li lim s = lim s + = s, pak zřejmě i lim s = s, takže ( ) a je kovergetí a má součet s. Příklad 3.. Rozhoděte o kovergeci řady: a) ( ) b) 3 + ( ) 3 c) ( ) l. Řešeí. Všechy uvedeé řady jsou alterující; ověříme, zda jsou splěy podmíky Leibizova kritéria (Věta 3.). a) Tato alterující řada se azývá Leibizova řada. Posloupost { } je klesající a platí, že lim a = lim = 0. Proto podle Leibizova kritéria Leibizova řada koverguje. Později ukážeme, že její součet je l (viz Příklad 6.4). b) Platí lim a = 3, a proto je daá řada divergetí. c) Nejprve ověřme, zda je posloupost { } klesající. Uvažujme fukci y = l x l x. Platí, že y = ( ) ( ) = < 0 pro x>, x l x (x l x) x tj. tato fukce je klesající a itervalu (, ), odkud plye, že také posloupost { l } je klesající. Dále je lim( l ) = lim l e =, a proto lim = 0. Podle Leibizova l kritéria daá řada koverguje.
5 3. Absolutí kovergece číselých řad Absolutí kovergece číselých řad Věta 3.. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Necht a koverguje a bud ε R,ε >0 libovolé. Pak podle Cauchyova Bolzaova kritéria kovergece (Lemma.) existuje 0 N takové, že pro N, 0 a libovolé m N platí: a + + a a +m <ε. Potom též platí, že a + +a + + +a +m a + + a a +m <εpro N, 0,m N, tj. podle Cauchy Bolzaova kritéria řada a koverguje. Opačá implikace eplatí, jak ukazuje příklad Leibizovy řady ( ) ( ) : tato řada je kovergetí, avšak řada a = je divergetí. Proto má smysl zavést uřad s libovolými čley silější vlastost ež je kovergece: Defiice 3.. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a a diverguje, říkáme, že řada a koverguje eabsolutě. Příklad 3.. Leibizova řada ( ) + je eabsolutě kovergetí, aopak řada ( ) + je absolutě kovergetí, ebot řada koverguje (viz Příklad.). Lemma 3.. Necht a = s je absolutě kovergetí řada. Pak platí s a. Důkaz. Ozačme {s } posloupost -tých částečých součtů řady a a {t } posloupost -tých částečých součtů řady a. Protože s t pro všecha N, platí lim s = s lim t = a. (Tvrzeí také okamžitě plye z Pozámky., uvědomíme-li si, že a a ). Řada a je řada s ezáporými čley, a proto můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z Kapitoly. Věta 3.3 (Srovávací kritérium). Necht b je kovergetí řada s ezáporými čley a a je řada s libovolými čley. Jestliže pro všecha N platí a b, pak řada a koverguje absolutě. Důkaz. Plye z Věty.. Věta 3.4 (Odmociové kritérium). Jestliže pro všecha N platí a q<, pak řada a koverguje absolutě. Platí-li pro ekoečě moho N erovost a, pak tato řada diverguje. Existuje-li lim a =q R,pakvpřípadě q<řada a koverguje absolutě avpřípadě q>řada diverguje.
6 6 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z odmociového kritéria pro řadu a (Věta.3). Je-li a pro ekoečě moho N,jei a pro ekoečě moho N, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Věta 3.5 (Podílové kritérium). Bud a řada s eulovými čley. Jestliže pro všecha N platí a + a q<, pak řada a koverguje abso- lutě. Platí-li pro všecha N erovost a + a, řada diverguje. Existuje-li lim a + a = q, pak v případě q<řada a koverguje absolutě a vpřípadě q>tato řada diverguje. Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z podílového kritéria pro řadu a (Věta.4). Je-li a + a, tj. a+ a pro všecha N, je posloupost { a } eklesající, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Příklad 3.3. Zjistěte, zda jsou ásledující řady absolutě kovergetí: a) b) c) d) ( ) + ( + ) 3 ( ) + l ( + ) = l l 3 + l ( ) + ( + 3 ) ( )! ( + )( + )... ( + ). Řešeí. Ve všech případech budeme ověřovat kovergeci řady a. a) Pro všecha N platí. Řada je kovergetí, proto je podle (+) Věty 3.3 daá řada absolutě kovergetí. b) Platí: a = lim l ( + ) = lim lim l ( + ) = lim Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. c) Platí: ( + ) ( + ) lim a = lim = lim = e <. l( + ) = 0.
7 3. Absolutí kovergece číselých řad 7 Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. d) V tomto případě se ukazuje výhodé použít Raabeovo kritérium pro řadu a. Platí (! lim ( + )... ( + ) + ) = ( + )! ( + )... ( + ) lim proto je vyšetřovaá řada absolutě kovergetí. Příklad 3.4. Určete, pro která x R je řada ( + ) + = lim + x = x + x + x absolutě kovergetí, pro která eabsolutě a pro která diverguje. + =, Řešeí. Pro x = 0je lim a + = lim x+ = lim x = x. a + x + Podle Věty 3.5 řada absolutě koverguje pro x <, pro x > řada diverguje. Pro x = dostáváme harmoickou řadu, která je divergetí, a pro x = Leibizovu řadu ( ) (+), která je eabsolutě kovergetí. Na závěr tohoto odstavce uved me dvě kritéria k určeí kovergece řady s libovolými čley. Jejich důkaz lze alézt apř. v [6, 3]. Věta 3.6 (Abelovo a Dirichletovo kritérium). Necht {b } je mootoí posloupost a platí jeda z ásledujících podmíek:. (Dirichlet) Posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá alim b = 0;. (Abel) Řada a koverguje a posloupost {b } je ohraičeá. Pak řada a b koverguje. Příklad 3.5. Dokažte, že řada a) si x koverguje pro libovolé x R; b) je kovergetí. si
8 8 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Řešeí. a) Případ kdy x = kπ, k Z je triviálí, ebot se jedá o ulovou řadu. Necht tedy x = kπ. Položme b = a a = si x. Ukážeme, že jsou splěy podmíky Dirichletova kritéria (Věta 3.6). Zřejmě je posloupost {b } mootoí a lim b = 0. Zbývá dokázat, že posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá. Ozačme Z Moivreovy věty plye s = si x + si x + +si x, r = cos x + cos x + +cos x, q = cos x + i si x. q = (cos x + i si x) = cos x + i si x, odkud q q = cos x + i si x ( cos( x) + i si( x) ) = i si x. Užitím těchto vzorců dostaeme r + is = cos x + i si x + cos x + i si x + +cos x + i si x = = q + q + +q = q q q = q q (q q ) q (q q ) ( = cos + = q + i si x i si x = x + i si + x ) si x si x. Nyí porováme reálou a imagiárí část + cos r = cos x + cos x + +cos x = x si x si x, + si s = si x + si x + +si x = x si x si x. Odtud plye s si, a proto je posloupost {s } částečých součtů řady si x ohraičeá. Tím jsme dokázali, že řada si x x je kovergetí pro všecha x R. b) Použijeme Abelovo kritérium (Věta 3.6)přivolbě b =, a = si. Podle předchozího příkladu a koverguje. Protože lim =, je {b } ohraičeá; ukážeme ještě,že pro 3je klesající. Vskutku, > + + právěkdyž + >(+), což je ekvivaletí >(+ ) a tato erovost platí pro 3, ebot {( + ) } je rostoucí posloupost s limitou e< Přerováváí řad Již v prví kapitole jsme ukázali, že s ekoečými součty emůžeme zacházet stejě jako se součty koečými. V tomto odstavci se budeme zabývat aalogií komutativího zákoa přerováváím ekoečých řad.
9 3.3 Přerováváí řad 9 Zaved me ásledující defiici: Defiice 3.3. Necht a je řada, {k } permutace možiy N (tj. {k } je prostá posloupost přirozeých čísel, v íž se každé přirozeé číslo vyskytuje). Pak říkáme, že ak vzikla přerováím řady a. Věta 3.7. Necht řada a koverguje absolutě. Pak koverguje absolutě také každá řada a k vziklá přerováím řady a a platí a k = a. Důkaz. Bud ε>0 libovolé. Protože řada a je absolutě kovergetí, existuje 0 N takové, že pro 0 a libovolé m N platí a a +m <ε. Dále protože {k } je permutace možiy N, existuje p N tak, že {,,..., 0} {k,k,...,k p }. Bud yí >pa m N libovolé. Ozačíme-li t = max{k +,......,k +m }, platí a k+ + + a k+m a a t <ε. Podle Cauchy-Bolzaova kritéria řada a k koverguje, tj. řada a k koverguje absolutě. Zbývá dokázat, že obě řady mají stejý součet. Ozačme s částečé součty řady a, t částečé součty řady a k. Pro >max{ 0,k p } platí s t = a + +a 0 + a a (a k + +a k ) a a a 0 +q <ε, kde 0 + q = max{, k,...,k }. Je tedy lim (s t ) = 0, tj. lim s = lim t. Právě jsme dokázali, že pro absolutě kovergetí řady platí komutativí záko. Vyvstává otázka, jak se chovají při přerováváí eabsolutě kovergetí řady. Zaved me ásledující ozačeí: pro a R položme a + = max{a, 0}, a = max{ a, 0}. Potom je zřejmě a + 0,a 0, a = a + a, a =a + + a. Proto je-li a ekoečá řada, můžeme uvažovat dvě ekoečé řady s ezáporými čley a + a. Tyto řady mají ásledující vlastost: a Lemma 3.. Necht řada a koverguje eabsolutě. Pak obě řady a + a a divergují k +. Důkaz. Protože a + a a jsou řady s ezáporými čley, každá z ich bud koverguje ebo diverguje k +. Kdyby obě kovergovaly, pak by podle Věty.3 kovergovala i řada (a + + a ) = a, tj. a by kovergovala absolutě. Kdyby apř. a + divergovala k +, a kovergovala, pak by podle cvičeí. řada (a + a ) = a divergovala k +. Tedy obě řady a +, a divergují.
10 30 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Nyí můžeme dokázat větu o eabsolutě kovergetích řadách, která říká, jak labilí jsou tyto řady vzhledem k přerováváí. Věta 3.8 (Riemaova). Necht řada a koverguje eabsolutě a echt s R je libovolé. Pak existuje takové přerováí a k řady a,že a k = s, existuje takové přerováí a p řady a,že a p určitě diverguje a takové přerováí aq,že a q osciluje. Důkaz. Dříve ež provedeme přesý důkaz, azačme velmi zjedodušeě, jakým způsobem bude důkaz vede. Myšlekou důkazu tvrzeí, že a k = s, jepřerovat daou řadu ásledujícím způsobem: ejdříve poecháme kladé čley, dokud epřekročíme předepsaý součet. Poté začeme odčítat záporé čley až bude částečý součet řady meší ež součet předepsaý a stejým způsobem pokračujeme dál. Nakoec dokážeme, že takto přeskládaá řada opravdu koverguje k předem určeému číslu. (i) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada koverguje a má součet s. Předpokládejme pro určitost, že s>0. Necht N je ejmeší takové, že a a + > s; vzhledem k divergeci a + takové existuje. Necht m N je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m )<s; existece takového m plye z divergece řady a. Necht dále N, > je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m ) + a a+ >s. Takové opět existuje ze stejých důvodů jako.vtéto kostrukci lze pokračovat idukcí; jejím výsledkem je jistá řada, která vzikla přerováím řady a. Dokažme, že součet takto přerovaé řady je s. Z kostrukce je patré, že částečý součet s +m + + k přerovaé řady se od požadovaého součtu s liší maximálě oa + k, částečý součet s +m + + k +m k se liší ods maximálě oa m k ačástečý součet s, kde + m + + k << + m + + k + m k, resp. + m + + k + m k < < + m + + k + m k + k+ se liší ods aejvýš o max{a k,a mk } resp. o max{a mk,a k+ }. Protože a koverguje, je lim a = 0, tedy i lim a + = lim a = 0; odtud lim s = s. (ii) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada diverguje k. Necht N je ejmeší takové, že a a+ > ; > ejmeší takové, že a + + +a+ a + a a+ >, 3 > ejmeší takové, že a a + a + a a+ a + a a+ 3 > 3 atd. Vziklá přerovaá řada určitě diverguje k. (iii) Obdobě určíme ejmeší N tak, že a a+ >, ejmeší m N tak, že a a+ (a + +a m )<0, ejmeší > tak, že a + + +a+ (a + +a m ) + a a+ > atd. Vziklá přerovaá řada osciluje.
11 3.3 Přerováváí řad 3 Cvičeí 3.. Rozhoděte o kovergeci alterujících řad: a) b) c) ( ) 3 d) ( ) +00 e) ( ) 5 f) ( ) ( ) l ( ) l(+) 3.. Vyšetřete, které řady kovergují absolutě, které kovergují eabsolutě a které divergují: a) ( ) l si e) 6 = b) ( ) 3 f) ( ) tg c) ( ) ( ) + d) ( ) l g)! h) ( ) + 3 l (+) 3.3. Určete, pro která reálá čísla x ásledující řady absolutě kovergují, pro která eabsolutě a pro která divergují: a) e x c) b) l x d) + 3 x x e x Cítíte-li se skvěle, bud te bez obav. To přejde.
12 Výsledky cvičeí Kapitola.. a) b) c) 3 d) e) 3 f) 3 g) 5 h) 4.. a) 4 b) 7.3. a) c) divergují.4. a) x = 0 b) x = π 6 + kπ ebo x = 5π + kπ..5. Součet obvodů je 6 8( + ), součet obsahů je8..6. Úloha vede k určeí součtu ekoečé geometrické řady: , jejíž součet je s = 96 cm..7. Obsah Sierpińského koberce je P = = = 0. Kapitola.. a) koverguje b) koverguje c) koverguje d) diverguje e) koverguje pro 0 <a<, diverguje pro a f) diverguje g) koverguje pro a>, diverguje pro a (0, ] h) koverguje i) koverguje j) koverguje k) koverguje l) diverguje m) koverguje ) diverguje o) diverguje pro a π, koverguje pro 0 <a< π p) diverguje q) diverguje... a =, a =..3. Neexistuje [Návod: je-li lim sup 3 a >, pak existuje { k }, k tak, že lim k ak. Ozačíme-li b k = a k,jeřada b k divergetí. Protože a 0, je divergetí iřada a..4. viz [5]. Kapitola a) koverguje b) koverguje c) diverguje d) diverguje e) koverguje f) koverguje. 3.. a) koverguje eabsolutě b) koverguje absolutě c) koverguje eabsolutě d) diverguje e) koverguje absolutě f) koverguje absolutě g) koverguje absolutě h) koverguje eabsolutě a) Pro x>0řada koverguje absolutě, pro x 0řada diverguje. b) Pro x (,e) řada koverguje absolutě, e pro ostatí x řada diverguje. c) Pro x < řada koverguje absolutě, pro x > a x = diverguje, pro x = koverguje eabsolutě. d) Pro x 0řada koverguje absolutě, pro x<0řada diverguje.
je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost
Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet
Více5. Posloupnosti a řady
Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru
Více1 Nekonečné řady s nezápornými členy
Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete
VícePosloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b
Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a
Vícen=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0
Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada
Více(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci
... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
VíceŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil
ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická
VíceMocninné řady - sbírka příkladů
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceMatematická analýza I
1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
Vícea logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.
Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že
VíceČíselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1
Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet
Víceje konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n
8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
VíceMatematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceO Jensenově nerovnosti
O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)
VíceKapitola 4 Euklidovské prostory
Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro
VíceAritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti
8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:
VíceCvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?
1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM ( 1
I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
VíceUžitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:
Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ
MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceNMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx
NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
Více1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7
Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita
VíceMatematická analýza III (NMUM201)
Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich
VíceSEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU
SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceKapitola 5 - Matice (nad tělesem)
Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceInfinity series collection of solved and unsolved examples
Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která
Víceprocesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze
limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B
MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost I
8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více8. Zákony velkých čísel
8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VíceMatematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice
Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké
VíceČísla a početní výkony
Čísla a početí výkoy III. Reálá čísla I: Eduard Čech (author): Čísla a početí výkoy. (Czech). Praha: Státí akladatelství techické literatury, 1954. pp. 92--137. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402583
Více1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY
3Masarykova uiverzita 6 P 0 0 rodov deck fakulta Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY Bro 2002 3c П Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 2002 ISBN 80-20-949-2
Více3. Limity posloupností
3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu
VíceSeznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.
2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se
Více1 Základní pojmy a vlastnosti
Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).
VíceReprezentace holomorfní funkce mocninnou řadou
Kapitola 4 Reprezetace holomorfí fukce mociou řadou V této kapitole završíme studium holomorfích fukcí. Zatím jsme odvodili důležitou itegrálí reprezetaci holomorfí fukce Cauchyův itegrálí vzorec. Teď
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019
Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f
VíceZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
Více1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
VíceWikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 1. října 2019
Matematika II - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ig. Radek Fučík, Ph.D. verze:. říja 9 Obsah Pokročilé techiky itegrace a zobecěý Riemaův itegrál. Racioálí fukce.................................... Pokročilé
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8
VíceDerivace součinu a podílu
5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VícePříkladykecvičenízMMA ZS2013/14
PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více1 Trochu o kritériích dělitelnosti
Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VíceDiferenciální počet I
Difereciálí počet I Kapitola II. Poslouposti I: Vojtěch Jarík (author): Difereciálí počet I. (Czech). Praha: Academia, 1974. pp. 73--103. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/401985 Terms of use: Vojtěch
VíceIterační výpočty projekt č. 2
Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....
Více