Matematická analýza I

Transkript

1 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další

2 2 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Beroulliho erovost Mějme x R, x 1 a N. Pak 1 x 1 x Úvod Těleso, uspořádaé těleso, etc... Nechť M T, T je uspořádaé těleso. M je omezeá shora, pokud existuje a T takové, že pro všecha x M je a x. Takové azýváme horí závora M. omezeá zdola, pokud existuje a T takové, že pro všecha x M je a x. Takové azýváme dolí závora M. omezeá, pokud je omezeá zdola i shora. Nechť M T, T je uspořádaé těleso. Pak s je supremum M, pokud je s ejmeší horí závora M, tedy (1) pro všecha x M je x s, (2) pro všecha s' T, když s' s, tak existuje ějaké x M, že x s' (tedy s' eí horí závora). Pak i je ifium M, pokud je s ejvětší dolí závora M, tedy (1) pro všecha x M je x i, (2) pro všecha i ' T, když i ' i, tak existuje ějaké x M, že x i ' (tedy i ' eí dolí závora). 1, o R Existuje těleso, kde každá shora omezeá možia má supremum. V jistém smyslu existuje právě jedo takové těleso. Budeme mu říkat těleso reálých čísel. 2 Nechť M R je zdola omezeá. Pak existuje if M. Tvrz.: 3, Archimedova vlastost Pro všecha x R existuje ějaké N, že x. 4, o hustotě Q a R Q Nechť a,b R,a b. Pak existují q Q a r R Q taková, že q a,b a zároveň r a,b. 5, o odmociě Nechť N, x [0, ). Pak existuje právě jedo y [0, ], pro které platí y = x. Píšeme y= x. Trojúhleíková erovost Pro všecha x, y R platí x y x y

3 3 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Poslouposti Posloupost reálých čísel je zobrazeí a :N R. Píšeme místo a, posloupost začíme =1 ebo je. Posloupost je omezeá, je-li omezeá možia { ; N}, shora omezeá, je-li shora omezeá možia { ; N}, zdola omezeá, je-li zdola omezeá možia { ; N}, rostoucí, pokud pro všech N je 1, klesající,... 1, erostoucí,... 1, eklesající, Nechť je posloupost reálých čísel, A R. Pak řekeme, že A je vlastí ita, píšeme = A, pokud 0 0 N 0 : A (pro všecha 0 existuje 0 takové, že pro všech 0 je A ). Posloupost, která má itu, se azývá kovergetí. 1, o jedozačosti ity Každá posloupost má jedu, ebo žádou itu. 2, Pokud má posloupost vlastí itu A, pak je omezeá. zvoe =1 0 0 A 1 A 1 M :=max[ a 1,.., 0, A 1, A 1 ] Důkaz: pokud je M ez všechy čley do 0 a zarove jevětši ež iterval ve kterémleží všechy čley poslouposti od 0 pak je posloupost zhora omezea M M Obdobě dokážeme i opačě pro omezei zdola. Nechť, b jsou poslouposti. Řekeme, že b je posloupost vybraá z, pokud existuje rostoucí posloupost k přirozeých čísel taková, že b k = k. 3, o itě vybraé poslouposti Nechť = A R, Pak b k je vybraá z. b k = A. k 4, o aritmetice it Nechť = A R, b = B R. Pak platí: (1) b = A B

4 4 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace (2) b =A B (3) = A, pokud b 0. b B 5, ita a Nechť = A R, b = B R. Pak platí: (1) A B 0 N 0 N: b (Jsou-li (ity) A B, pak jsou od určitého 0 všecha b ) (2) 0 0 b A B (Jsou-li od určitého 0 všecha b, pak (i ity) A B ) 6, o policajtech Nechť jsou, b, c poslouposti takové, že 0 0 : c b (od určitého 0 všecha c b ) a zároveň Pak = c =A. b =A R. Rozšířeá reálá osa R * =R {± }, přičemž: a R : a, = =, a R { }:a =, aalogicky pro, a R * :a 0 a ± =±, a R * :a 0 a ± =, a R * a : ± =0 ásledující výrazy ejsou defiováy: ;0 ± ; ± ± ; cokoliv 0 Nevlastí ita poslouposti. Řekeme, že =, pokud k 0 0 : k (pokud pro každé k existuje ejaké 0, od kterého všecha k ). Aalogicky defiujeme =. 4*, VoAL a R * Nechť = A R * a b = B R *, pak platí ásledující, MLPSS: (1) b = A B (2) b =A B (3) = A, pokud b 0. b B Pokud emlpss, elze VoAL použít. 7, o součiu omezé a mizející poslouposti Nechť =0 a Pak b je omezeá. b =0. Nechť M R. Pak supremum sup M začí ejmeší horí závoru M, sup M :=mi{x R * ; m M : m x}.

5 5 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Aalog. ifium if M začí ejvětší spodí závoru M, if M :=max {x R * ; m M :m x}. Poz. 8, o děleí ulou Nechť = A R *, A 0, Pak b =0, ale existuje 0, od kterého jsou všecha b 0. b =. 9, o itě mootoí poslouposti Každá mootoí posloupost má itu. Nechť je posloupost. Defiujeme b =sup{a k ; k }, c =if {a k ;k }. Limes superior, začíme sup Limes iferior, začíme Poz., vždy existují. if, je b. c., je 10, o itě a es Nechť je posloupost. Pak platí ásledující ekvivalece: = A R * sup = if = A (Česky: posloupost má itu v A R * právě když je es superior i es iferior daé poslouposti rovo A) 11, Bolzao-Weierstrassova Nechť je omezeá posloupost. Pak existuje posloupost d k vybraá z tak, že d k je kovergetí. 12, Bolzao-Cauchyho podmíka Posloupost má vlastí itu právě když splňuje: 0 0 m, N : m 0 0 a m (Pro každé 0 existuje ějaké 0 tak, aby při libovolých m, 0 platilo a m )

6 6 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Nechť =1 je posloupost. Řady Číslo s k =a 1 a 2... a k azveme k-tý částečý součet řady. Součet řady azveme itu s k k =1, pokud existuje. Tu budeme začit. =1 Pokud R, řada koverguje (), {, } ebo eexistuje, řada diverguje (div.). 1, utá podmíka kovergece Pokud, tak =0. Pozor! Touto větou můžeme kovergeci je vyvrátit (implikace, e ekvivalece)! Důkaz: S k :=a 1 a 2 a k S k =S R BC podmíka Věta12 0 m, 0 : S m S m= 1 S m S -1 = 0 0 : 0 =0 2, o aritemetice řad (1) pro všechy R {0} platí ekvivalece: (2) platí ásledující ekvivalece: ; b b Důkaz: (1) { S :=a a a k 1 2 k T k := a 1 a k} T = S k k Dle VoAL pak platí: T k = S k MLPSS S k = T k = 1 T k (2) Důkaz je (údajě) zřejmý, dle Věty 2. MLPSS Máme:, 0 S k je eklesající : Řady s pozitivími čley Z toho plyou dvě možosti: { =...div. R... }. 3, srovávací kriterium Nechť, b jsou řady s ezáporými čley,b 0 a existuje 0 takové, že pro všech 0 je b. Pak platí: (1) b

7 7 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace (2) div. b div. Důkaz: k 0, položíme: = A S k =a 1 a a 0 1 k =B T k =b 1 b 2 b 0 1 b 0 b b 0 1 k Vidíme, že pro všecha i 0 platí a i b i. Z toho vyplývá S k A T k B. s Existují k =s a t k =t. Dle věty 5 pak s t. k k Pak platí (1) t s (2) s= t=. 4, ití srovávací kritérium Nechť, b řady s ezáporými čley (platí,b 0 ) a b =k R *, pak platí ásledující: (i) Pro k= 0, platí b (ii) (iii) Pro k=0 platí b Pro k= platí b Důkaz: pro (i) Dle def. ity pro = k 2 existuje 0 takové, že pro všech 0 platí b k k 2. Určíme 1, 2 ásledově: 0 1 := 1 2 k b 3 2 k=: 2 Platí tedy 1 b a 1 2 k, b 1 1. Z toho plyou ásledující implikace: b V2 V2 2 b V3 1 b 1 V3 b 5, Cauchyovo odmociové kritérium, b jsou řady s ezáporými čley (platí,b 0 ), pak (i) q 0,1 0 0 : q (Pokud existuje q 0,1 tak, že existuje 0, že pro všech 0 platí q, tak ) (ii) q : q div. (iii) (iv) (Pokud existuje q 1 tak, že existuje 0, že pro všech 0 platí q, tak div. ) 1 1 div. Poz., pro =1 6, d'alambertovo podílové kritérium

8 8 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace řada s ezáporými čley ( 0 ). Pak platí ásledující: (i) q 0,1 0 0 : 1 q a (Pokud existuje q 0,1 a existuje 0 takové, že pro všech 1 0 platí q, potom a ) (ii) q : 1 q a div. (iii) (iv) (Pokud existuje q 1 a existuje 0 takové, že pro všech 1 0 platí q, potom a div. ) 1 1 (Varováí! Neplatí ale : 1, protipříklad: = 1 div. ) 1 1 a div. Poz., stále ic evíme, pokud se ita rová 1. 7, Rabeho kritérium řada s ezáporými čley. Pak platí: (1) (2) 1 1 a a div. 1 8, kodezačí kritérium řada s ezáporými čley. Je-li erostoucí (tedy : 1 ), pak právě když 2 a 2. Řady se zaméky Nechť a. Pak řekeme, že posloupost a koverguje absolutě, abs.. =1 9, Bolzao-Cauchyho podmíka pro řady 0 0 N m, N m, 0 : a j=m j Česky: koverguje, právě když pro všecha 0 existuje 0 tak, že pro všecha m, 0 je absolutí hodota součtu a m meší ež daé. Poz., tato věta je důležitá - jedá se o ekvivaleci. 10 Pokud abs.,pak Lemma:Abelova parciálí sumace Mějme a 1,b 1 b R a

9 9 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace k Položme s k = a i. i =1 Pak i=1 1 a i b i = s b i b i 1 s b. i=1 Pokud je avíc b erostoucí, tedy b 1 b 2 0, pak b i mi s 1 a i b i b 1 max s i. 11, Abel-Dirichletovo kritérium Nechť je posloupost z R b erostoucí poslouposti z R. Pokud platí podmíka (A) ebo (D) (íže), pak b (A) (D) b =0, má omezeé částečé součty k R m N S m k (Existuje k R takové, že pro všecha m N je s m k ) 12, Leibitzova upravuje podmíku (A) z předchozí věty: Je-li rostoucí, pak platí ekvivalece: 1 =0. Pro a R ; 0 ; R defiujeme prstecové okolí a velikosti : P a, = a, a {a} Limity fukcí P, = 1, a P, =, 1 pravé prstecové okolí a: P + a, = a,a levé prstecové okolí a: P - a, = a,a okolí a: U a, = a,a U, =P, = 1, a U, =P, =, 1 pravé okolí a: U + a, =[a,a ) levé okolí a: U - a, =( a,a] Limita fukce

10 10 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Říkáme, že f : M R ; M R má v a R * itu A R * pokud Pro všecha 0 existuje 0 tak, že pro všecha x P a, platí f x U A, (tz. f P a, U A, ). Jiak také: x P a, 0 0 x R : 0 x a f x A f x U A, 1, Heie Máme-li a, A R * f : M R ; M R 0: P a, M (existuje číslo takové, že prstecové okolí P a, je v M), Potom platí ekvivalece: f x = A x, x a, x a: f x =A Je-li ita f x v bodě a rova A, pak pro všechy poslouposti x, které se při blíží a, platí, že ita f x při také rova A. 2, jedozačost ity Pro všechy fukce platí, že má v kterémkoliv bodě jedu ebo žádou itu. 3, ita a omezeost Nechť f má vlastí itu v a R *. Pak existuje 0 tak, že f(a) je omezeá a itervalu P a,. 4, o aritmetice it Nechť a R *, f x = A R *, Potom platí, MLPSS: (i) (ii) (iii) x a g x =B R *. f x ±g x = A±B f x g x =A B x a f x g x = A B 5, o dvou strážících Máme a R * k,g,h: M R,M R Nechť existuje 0 0 tak, že pro všecha x P a, 0 platí f x h x g x a

11 11 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace echť x a f x = g x =A. Pak také platí h x =A. x a 6, o itě složeé fukce Nechť Pokud y A Pak platí g x =A f y =B. (P1) f je spojitá v A ebo (P2) existuje 0 tak, že pro všecha x P a, platí g x A, (ejsložitější případ: f g x =B. víme platí f eí spojitá v A y A f y =B. g a se esmí rovat A (ebylo by defiováo f g a ), ale pokud se blíží, A f g x = y A f y =B ) 7, o itě mootoí fukce Nechť f je mootóí a itervalu a,b R *. Pak existuje x a + f a a x b - f a.

12 12 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Derivace fukce f : M R ; M R ;a M je zleva zprava f ' a = h 0 f ' - a = h 0 - f ' + a = h 0 + 8, vztah derivace a spojitosti f a h f a h f a h f a h f a h f a h Nechť f má v bodě a derivaci f ' a R. Pak je f(a) v bodě a spojitá. 9, aritmetika derivací Nechť Pak: f ' a, g ' a existují. f ± g ' a = f ' a ± g ' a,,. Derivace f g ' a = f ' a g a f a g ' a f f ' a g a f a g ' a g ' a =, pokud g a 0 a g je spojitá v a. g ' a 10, derivace složeé fukce Nechť existují f ' y 0 a g ' x 0, g spojitá v x 0, g x 0 = y 0. Pak f g x '= f g ' x 0 = f ' g x 0 g ' x 0, MLPSS. (účel podmíek pro g: musí platit g x 0 = y 0, abychom věděli, že existuje f ' g x 0 ; g je spojitá v x 0 dle věty 8) 11, derivace iverzí fukce Nechť f je a itervalu a,b a rostoucí (evt. klesající), existuje vlastí f ' x 0 0. Potom f 1 má v bodě f x 0 = y 0 derivaci: f 1 y 0 '= 1 f ' x 0. 12, l'hospitalovo pravidlo Nechť a R * a platí jeda z ásledujících možostí: (1) x a + f x = g x =0 (typ ) (2) g x = (typ? x a + ) Nechť také existuje x a + f ' x g ' x = A.

13 13 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Potom platí, že x a + f x g x =A. (poz, fuguje stejě pro x a - a x a ) 13, jedostraá derivace = ita derivace Nechť f je spojitá zprava v a R, Pak existuje x a + f ' x = A R *. f ' + a = A (využíváme, pokud v předchozích vzorcích arazíme apř. a MLPSS). O spojitých fukcích Vitří body itervalu J (vitřek J, it J) jsou body, které ejsou krají. Máme f... fukce J... iterval, J D f. f je spojitá a J, pokud je f spojitá v každém x it J. Pokud počátečí bod J patří do J, požadujeme i spojitost zprava v tomto bodě, aalogicky pokud kocový bod J patří do J, požadujeme i spojitost zleva v tomto bodě. Darbouxova Nechť f je spojitá a [a,b], f a y f b. Pak existuje x a,b tak, že f x = y. Nechť J je iterval, f je fukce spojitá a J. Pak f J je iterval.