I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

Transkript

1 Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův polyom k-tého řádu v bodě a pro fukce: a) log, k = 3, a = b) si, k = 5, a = π 2 2. Nalezěte Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce: a) tg), k = 4 b) arctg), k = 6 c) ++2, k = 4, spočtěte f 4) ) d) cossi ), k = e) sisi ), k = 6 f) si cos ), k = 3 g) e 2 2, k = 5 h), k = 4 i) logcos ), k = 6 e j) , k = 3 k) 3 si 3 ), k = 3 3. Rozložte fukci f) = + 2 pro > do řady moci až do řádu 3 včetě. 4. Spočtěte limity: cos e 2 2 e si + ) a) lim b) lim c) lim ) 3 d) lim 3/ a + a 2 ) e) lim a > ) f) lim ) 2 si g) lim 2 log + )) h) lim ) cos i) lim )e si ) cos ) si log j) lim k) lim l) lim 3 si 2 5. Nalezěte N takové, aby příslušá limita byla koečá a eulová: a) lim tgsi ) sitg ) b) lim + ) 6. Nalezěte a, b R, aby lim a + b cos ) si 4 = 7. Nalezěte a, b R, aby lim a si b tg 4 c) lim cos costg ) = a spočtěte lim a si b tg Nechť f) = +). Nalezěte polyom P třetího stupě, pro který f) P ) = o 3 ),. e Pomocí ěho spočtěte + ) ) + e lim. e 3 9. Rozložte P ) = a součet celých ezáporých moci dvojčleu + ).

2 . Vyšetřete kovergeci ásledujících řad příp. v závislosti a parametru α R, α ): )) a) + log + = b) 2 tg 2 si ) c) si = 5 5 log + )) 3 5 = d) cos 2 ) e) si log + )) ) = 2 = 3 f) e arcsi ) = g) log log si )) ) + h) log α α si α 2 3 log 2 = =2 + 2 i) log e + ) ) + si 3 =. Odhaděte absolutí chybu aproimace daých fukcí a daých itervalech: a) si 3, [ /2, /2] b) + + 2, [, ] c) e , [, ] 2!! 2. Spočtěte přibližou umerickou hodotu ásledujících veliči s daou přesostí: a) e s přesostí a 9 b) 5 s přesostí a 4 c) log ) s přesostí a 5 3. Spočtěte přibližou umerickou hodotu ásledujících veliči a odhaděte chybu: a) e b) arcsi,45 c) log,2) d),),2 4. Vypočtěte difereci arctg,) π/4 s chybou meší ež 4.

3 II. MOCNINNÉ ŘADY. Nalezěte poloměr kovergece ásledujících mociých řad. Určete oblasti absolutí kovergece, eabsolutí kovergece a divergece. a) = e) = i), p R p 3+ ) ) f)! =, a > a 2 ) ) 2 ) = b) 3 + 2) = + ) c) = + )2 d) =, a, b > g) a +b = 2 h) 2 j) = ) )! e!) 2 2)! k) = )! l) = = a, a > = α2, < α < ) m) = + 2. Vyjádřete ásledující fukce jako mociou řadu o středu a maimálím otevřeém itervalu: a) e 2 b) arctg c) d) si 2 e) + ) log + ) f) 2 g) h) arctg ) i) j) log k) log ) l) ) Sečtěte řady uvitř kruhu kovergece: a) 4+5 = b)! = c) = +) g) 2 = h) 2 3! = i) 4 2)! = 4)! 4. Sečtěte řady: a) = g) = ) ) 4 2 b) = c) ) 2 = h) 2+3 = ) +)2 2+ d) i) = d) = 2 e) = )+ 2 f) = +) j) = ) + 3)2 +) = ) 2 2! = 2 e) ) 3 3 f) = ) 4 2+)

4 III. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE. Nalezěte f, g : R R takové, že: a) f emá primitiví fukci a žádém itervalu J R b) f + g má primitiví fukci a R, ale ai f ai g emá p.f. a žádém itervalu J R c) f g má primitiví fukci a R, ale ai f ai g emá p.f. a žádém itervalu J R d) f má p.f. a R, ale f e Vyjádřete primitiví fukce a maimálích itervalech eistece 2. Příklady a itegrováí "přímo": a) 9 + 5e + 3 cos d b) 2e d c) d d) ) d 4 e) si2 + 7) d f) + d g) d 2 5 h) d i) 2 d j) tg 2 d k) arctg + 2 l) 2 d m) + 4 d ) d +cos o) d 2 arcsi p) d 2 +a 2, kde a R 3. Příklady, kde se musí fukce "lepit": a) d b) cos d c) 6 d d) si 2 d e) si + cos d f) ma{, 2 } d g) e d h) 2 + d 4. Příklady a itegrováí pomocí substituce: a) tg d b) cotg d c) 2 d d) d e) d f) cos log g) d h) 2 d i) log+ log loglog ) + 5. Další příklady k procvičeí: a) 2 ) d b) 2 3 3) ) d d q) arctg + 2 d 2 +5 d d c) ) 2 d d) d e) 2 5 d f) d g) si ) d h) cos 2 d i) 2 d j) si cos d k) d si 4 +) l) silog ) d m) 2+ d ) + d o) si 2 d p) si 3 d q) si 4 d r) + d s) d t) log 2 d u) d v) +si 2 cos 2 si 2 si d cos 3 6. Příklady a itegrováí pomocí druhé věty o substituci: a) 4 2 d b) d c) d a > ) d) +a d a > ) 2 ) 3/2 2 +a 2 ) 3/2 a 7. Příklady a itegrováí "per partes": a) 3 si d b) e cos d c) log d d) e d, N e) log d f) e cos d g) e a sib) d h) arctg ) d i) d + 2, v závislosti a N j) l + π) d 8. Další příklady k procvičeí: a) arcsi) d b) 2 d c) silog ) d d) 2 2 d e) arctg d f) 2 si2) d ) 2/3 9 4 g) log 2 d h) 2 e 2 d i) ) log 2 d j) 5 e 3 d k) e d l) si d m) cos d 2+cos2) ) arcsi 2 d o) d 2 9. Itegrace racioálích fukcí parciálí zlomky: a) d b) 4 d c) 7 5 d d) d p) d e + q) d e 2 g) 4 d h) d i) d j) d ) )3+2)+) m) d ) d o) d 4 + ) 2 ++) e) d f) d k) d l) d

5 . Racioalisace trigoometrických fukcí: a) d b) tg 2 + d c) si 3 +si d d) d e) si +tg si 2 +si cos cos 3 +cos cos 2 4 si 2 ) f) si 2 d g) si d h) d i) si cos d j) d +si 2 si 3 +cos 3 2+si +si 4 3 cos 2 +si2)+ k) d l) a itervalu π, π) alezěte primitiví fukci si ) si +cos 2 d 6 cos 2 +4 si cos +si 2 si 2 +2 cos 2 m) d ) d o) d 5+cos si 2 +2 cos 2 ) 2 2 si cos +5. Racioalisace epoeciála: a) d b) e 4 +2e 2 c) d d) d +e /2 +e /3 +e /6 e 3 +e ) 2 e 2 +e 2 2. Racioalisace odmociy: a) + d b) d c) d d) d 2+ + e) +3 3 ) 2 +) d 2+cos ) si d f) Převážě) hyperbolické substituce: a>) a) a 2 2 d b) 2 + a 2 d c) 2 a 2 d d) d e) 2 2 d 4. Typ R, a 2 + b + c): a) 2 d b) d a > ) c) 2 +a 2 + d d) ) d Převeďte d a itegrál z racioálí fukce pomocí ásledujících substitucí: a) t = b) t = c) t = 2

6 V. RIEMANNŮV A NEWTONŮV INTEGRÁL. Vypočtěte ásledující itegrály a) π si2 d b) 2 d c) log 2 e d d) 2π 2 cos d e) e e g) log 2 e d h) a 2 a 2 2 d i) d, ab j) a 2 si 2 +b 2 cos 2 k) 2π d l) d m) si 4 +cos ) 5π ++ +) 3 d 2. Vypočtěte obsah plochy ohraičeé ásledujícími křivkami a) 2 2,, a, b, < p < q, < a < b p q b) 2, c) , 4 + 7; 2 8 d) 2,, [, ] e),, [, ], N \ {} f) si, si, [, π] g) 2,,, [, ) h) 2, 2, [, ] 3. Vyšetřete kovergeci ásledujících Newtoových itegrálů a) 4 d b) 2 3 d c) 2 ) 5 e d d) d e) e si d h) si q si ) p d i) log+e ) p ) q d j) π 2 g) π 2 l) log d f) π d 2 ++ d o) si 2 +2 cos 2 e cos d f) π 2 si α d, α > m) α arctg β d ) π 2 tg )α d o) π 2 α π 2 ) β tg γ d cos 2 d + + d d si p cos q cos m d k) k si +si d 4. Pomocí per partes, příp. substituce rozhoděte o kovergeci Newtoových itegrálů: a) si d, α, ] b) si 2 ) d α 5. Vyšetřete kovergeci ásledujících Newtoových itegrálů: a) d b) 2 p l q a d c) a + d d) log p d e) π 2 log si 6. Pomocí BC podmíky ukažte, že ásledující Newtoovy itegrály eeistují: a) si d α ) b) si d c) cos d d) si 2 d α π 7. Vyšetřete kovergeci i absolutí) ásledujících Newtoových itegrálů: a) 2 cos 4 ) d b) cos d c) cos arctg d d) si 2 d e) α f) si 2 arctg d stačí vyšetřit eabsolutí kovergeci) g) arccos d 2 + log q /) 8. Vyšetřete kovergeci i absolutí) ásledujících Newtoových itegrálů: a) cos d b) π 2 arctg )α d c) d d) 2 cos α + β e 2 ) α d 9. Spočtěte obsah plochy vymezeé a) křivkami y = 2 a y = b) křivkami y 2 = 2 + a y = c) parabolou y = a jejími tečami vedeými z bodů [, 3] a [3, ] d) parabolami y = 2 a y =. Spočtěte délku a) křivky y = a cosh/a), [, b], a, b > d log+) cos d

7 b) křivky y = log 2 ), [, /2] c) grafu fukce f) = 3 2, [, 4] d) křivky zadaé rovicí y = 2 log, [2, 4] 2 4 e) křivky zadaé rovicí y = log e e +), [2, 4]. Spočtěte a) objem a obsah jedotkové koule v R 3 b) objem tělesa vziklého rotací oblasti M = {[, y] R 2 ; 2 + y y} kolem osy c) objem a povrch pláště tělesa, vziklého rotací možiy T = {[, y] R 2 ; 2 + y b) 2 a 2 }, < a b, kolem osy d) povrch pláště parabolické mísy, vziklé rotací parabolického oblouku y = 2,, kolem osy y e) povrch pláště ragbyového míče, vziklého rotací elipsy 2 + 4y 2 = 4 kolem osy y. 2. Vyšetřete kovergeci řad pomocí itegrálího kritéria: ) 2 + a) log 2 b) c) d) log + log + 2 =2 =2 = =2

8 VI. METRICKÉ PROSTORY. Ověřte, zda ásledující formule defiují metriku a R: a) ρ, y) = 3 y 3 b) ρ, y) = 2 y 2 c) ρ, y) = y) 2 2. Ať ρ, ρ 2 jsou metriky a možiě P. Musí být i fukce ρ defiovaá íže metrikou a P? a) ρ = ρ + ρ 2 b) ρ = ma{ρ, ρ 2 } c) ρ = mi{ρ, ρ 2 } d) ρ = ma{ρ, } e) ρ = mi{ρ, 2} 3. Co je potřeba předpokládat o fukci ϕ, aby fukce ρ, y) = ϕ) ϕy) defiovala metriku a R? 4. Buď P = {A N : A je koečá} a ρa, B) = A \ B) B \ A) pro A, B P. Je ρ metrika a P? 5. Najděte okolí bodu [, ] v R 2 v ruské metrice o poloměrech a 2 a v diskrétí o poloměrech 2 a V metrickém prostoru R 2 s eukleidovskou metrikou ajděte uzávěry grafů fukcí a) f) = si/),, f) = b) D) Dirichletova fukce) c) R) Riemaova fukce) 7. Na prostoru C[, ]) uvažujme supremovou metriku, tj. ρ s f, g) = ma{ ft) gt) : t [, ]}. a) Spočítejte ρ s, 2 ). b) Pro N a [, ] defiujme f ) = si+3) + a g ) =. Je posloupost fukcí f ) = kovergetí v metrice ρ s k fukci f) =, [, ]? Platí aalogické tvrzeí pro posloupost g ) =? 8. Na prostoru C[, ]) uvažujme itegrálí metriku, tj. ρ i f, g) = f) g) d. a) Spočítejte ρ i, 2 ). b) Pro jaké a, ) je vzdáleost ρ i a, 2 ) ejmeší možá? 9. Uvažujme a R 2 libovolou metriku ρ. Která z ásledujících tvrzeí jsou pravdivá? Která jsou pravdivá, pokud ρ, y) = y pro ějakou ormu a R 2? a) 5U, ) = U, 5) začí ulový vektor, 5A defiujeme jako možiu {5a : a A} pro A R 2 ) b) 5U, ) = + U, 5), R 2. Ať P je metrický prostor, y jsou dva body z P. Dokažte: a) {} je uzavřeá možia. b) Eistují disjuktí otevřeé možiy U, V že U a y V.. Rozhoděte, zda ásledující možiy jsou otevřeé resp. uzavřeé). Zjistěte jejich vitřek, uzávěr a hraici. a) N b) Q c) { : N} d) {[, y] R2 : >, y } e) {[, y] R 2 : + y > + y} f) {[, y] R 2 : y = y} g) {[, y] R 2 : 2 + y 2 + 2y = 5} h) {[, y, z] R 3 :, y >, + y = 2, z } i) {f C[, ] : f ) = 2} 2 j) {f C[, ] : f ), 2)} k) {f C[, ] : f) d = } 2 2. Platí v metrických prostorech ásledující rovosti? Platí alespoň jeda ikluze? a) A B = A B b) ItA \ B) = ItA) \ ItB) c) A = A \ A uvažujte A otevřeou) 3. Dokažte ásledující ekvivalece pro uzavřeou možiu A v metrickém prostoru P : dist, A) = A ItA) = P \ A = P, platí toto tvrzeí i když A eí uzavřeá?) 4. Ať A P je podmožia metrického prostoru P, ρ). Dokažte: a) ItA) = {U A : U je otevřeá} b) A = {F A : F je uzavřeá}

9 VII. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH - LIMITY, DERIVACE. Určete def. obor a zkoumejte spojitost fukce 2 y pro, y), ); pro, ) c) siy) 2 +y 2 a) log y b) d), lze ji spojitě rozšířit v ule? 2 y 2 +y 2. Spočtěte lim,y),) pro fukci a) si2 +y 2 ) b) 4 +y 4 2 +y 2 2 +y 2 c) 2 si y 2 +y 2 d) 2y2 +y 2 ) cos 2 +y 2 ) 3. Spočtěte lim,y,z),,) 2 + y 2 + z 2 ) yz 4. Spočtěte parciálí derivace fukcí všude, kde eistují e) 2 +y 4 pro, y), ); pro, ) 2 cos cos y f) 2 +y 2 g) 2 +y 2 2 +y 2 2 y h) 3 +y y 3 4 +y 2 2 +y 2 a) ) 2 + y 2 b) m y c) e y d) y + yz + z e) y f) y + cos g) si y si z h) i) y z j) si y π ) k) f, y) = e 2 +3y+3y 2 pro, y), f, ) =, ) l) + y 2 y 5. Mají ásledující fukce totálí difereciál v bodě [, ]? pokud v tomto bodě fukce eí defiováa, spojitě ji dodefiujte) a) 2 + y 2 b) 3 + y 2 c) y d) y 3 e) 2 + y 2 ) si f) e 2 +y 2 2 +y 2 6. Vyšetřete, ve kterých bodech mají ásledující fukce totálí difereciál a spočtěte jej a) f, y) = 5 y 5 4 +y 4 pro [, y] [, ], f, ) = b) ma{ 3, y 3 } 7. Vyšetřete parc. derivace prvího řádu a totálí difereciál ve všech bodech def. oboru fukce arctg/y). Nalezěte tečou roviu ke grafu fukce v bodě [,,?]. Další příklady včetě postupu a řeseí a limitu & spojitost fukce a a parc. derivace, tot. difereciál & řetízkové pravidlo alezete ve dvou pdf íže a webové stráce ke cvičeí.