9. Číselné posloupnosti a řady

Transkript

1 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost je reálá v opčém přípdě tj dyž R ( budeme posloupost zývt omplexí Hodoty poslouposti ( se většiou zpisují zráceě Uspořádé dvojice ( se zývjí čley poslouposti Posloupost je sjedoceím svých čleů tj {( } {( } Hovoříme-li o jo o čleu poslouposti máme mysli uspořádou dvojici ( V této souvislosti se používjí dále uvedeá rčeí: Čle ( leží v možiě M zmeá že M V možiě M leží eoečě moho čleů poslouposti zmeá že moži { M} je eoečá Npříld v jedoprvové možiě {} může ležet eoečě moho čleů poslouposti Pozám 9 V deici (9 se užívá j ovece t pozá se z otextu V této pitole užíváme ovece Posloupost se čsto zpisuje či deuje výčtem ěoli svých čleů příld j j ebo reuretě rovicemi příld j ( Posloupost (9 lze vždy rozdělit reálou imgiárí část x j y x y Defiice 9 (limit poslouposti Říáme že číslo { } je limitou poslouposti pro zpisujeme lim ebo je lim právě dyž U ( U ( (9 de pro deujeme U ( { z z } dále U( ( U( číslo se zývá poloměr oolí Jesliže veliost poloměru oolí eí podsttá píšeme stručě je U ( Jestliže říáme že posloupost je overgetí ty že posloupost overguje číslu Jestliže { } ebo dyž žádé číslo z možiy { } [ ]

2 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy esplňuje (9 říáme že posloupost je divergetí v prvím přípdě ty že diverguje + ebo Pozám 9 Výro (9 lze formulovt ěoli evivletími způsoby Jestliže pro ějou vlstost V terá je závislá přirozeém čísle pišme tedy V( pltí výro V ( říáme že vlstost V je splě pro soro všech Lze tedy psát lim s v zrt pro soro všech Nebo lim U ( U ( pro s v U ( { U ( } je oečá moži (93 Sutečost že lim zpisujeme evivletě ty tto: Důslede 9 Jestliže posloupost b vzie z poslouposti přidáím odebráím či změou oečě moh čleů poslouposti p pro ždé oolí U ( moži { U ( } bude oečá právě dyž moži { b U ( } bude oečá Podle (93 p lim lim b Z tohoto důvodu deice limity má smysl i pro fuce teré jsou deováy s výjimou oečě moh bodů říáme jim ty poslouposti Pltí tedy příld lim lim lim m m de posloupost mmá čley {( m( m (3 3m } mmá čley {( m ( m ( m 3 3 } Posloupost mtedy eí možiě { m} defiová Vět 9 (overgece po složách Nechť : P pltí: Posloupost overguje číslu právě dyž posloupost Re( overguje reálé části čísl posloupost Im( overguje imgiárí části čísl Tj Re( Re( & Im( Im( Důz je zřejmým důsledem dále uvedeých trojúhelíových erovostí Re( Re( Im( Im( [ ]

3 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Re( Re( Im( Im( Důslede 9 (elemetárí důsledy deice limity Nechť b jsou overgetí číselé poslouposti P pltí: Jestliže b p b b b / b / poud V důzech těchto vlstostí hrjí líčovou úlohu ásledující vzthy: b ( b b ( b b ( b ( b c b (overgetí posloupost je omezeá tj b ( ( b b b b c b c b (de c b pro s v Deice 93 (BC podmí Posloupost : splňuje BC podmíu právě dyž pltí m ( m & (94 m ebo evivletě p ( (95 p BC podmí je zrt z Bolzov Cuchyov [čti óšiov] podmí Poslouposti teré splňují uvedeé podmíy (94 (95 se zývjí cuchyovsé Dožme evivleci podmíe (94 (95 (94 (95 Nechť Podle (94 existuje tové že m & (i Je-li p libovolé potom pro m : p : plye z (i m p (95 (94 Nechť Podle (95 existuje tové že p (ii p [ 3 ]

4 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jsou-li m libovolá m & p existují p p tová že m p p Podle (ii odtud plye p m p Odtud m tj pltí (94 m m Vět 9 (BC podmí overgece Posloupost : je overgetí právě dyž splňuje BC podmíu tj právě dyž posloupost : je cuchyovsá Nejprve užme že overgetí posloupost splňuje (95 Nechť je libovolé Podle deice 9 existuje t že (i Nechť p je libovolé P p podle (i dosteme p Tedy pltí (95 Zbývá uázt že posloupost : terá splňuje (94 ebo (95 je overgetí Tto část důzu je ejceější ejobtížější Důz rozdělíme do ěoli roů ( Nejprve uážeme že cuchyovsá posloupost je omezeá tj že příld existuje čtverec v ěmž leží všechy čley poslouposti Zvolme ějé Podle podmíy (95 existuje čle poslouposti v jehož oolí U ( leží soro všechy (tj s výjimou oečého počtu čley poslouposti Mezi čley poslouposti teré eleží v ruhu U ( vyberme te terý leží ejdále od Nechť je to m Zvolme poloměr r t by r mx{ } P všechy čley poslouposti leží v ruhu U( r teto ruh o m oečém poloměru r leží jistě v ějém čtverci Právě jsme uázli že všechy čley cuchyovsé poslouposti se lézjí v ějém čtverci (čtverec v roviě je obdobou itervlu přímce ( N záldě tohoto ftu yí v omplexí roviě lezeme číslo v jehož libovolém oolí se bude lézt vždy eoečě moho čleů poslouposti později p uážeme že číslo je limitou této poslouposti p K lezeí čísl budeme opovt eoečěrát ásledující proceduru P Bude tím sestroje eoečá posloupost I do sebe vořeých čtverců tj I I přičemž v ždém z ich bude ležet eoečě moho čleů poslouposti Všechy čtverce uvžujeme uzvřeé tj včetě jejich hrice ji by dále uvedeá procedur efugovl Proč? Procedur P: Nechť I je čtverec ve terém leží eoečě moho čleů poslouposti Čtverec I rozdělme čtyři shodé uzvřeé čtverce (vdrty P P(I ozčuje te uzvřeý vdrt čtverce I ve terém rověž leží eoečě moho čleů poslouposti Tový vdrt P(I vždy musí existovt v opčém přípdě by v I emohlo ležet eoečě moho čleů poslouposti Viz dále uvedeý obráze [ 4 ]

5 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechť I je uzvřeý čtverec ve terém leží všechy čley cuchyovsé poslouposti Položme I : ( P I Tím je reuretě sestroje hledá posloupost I do sebe vořeých uzvřeých čtverců tj I I přičemž v ždém z ich bude ležet eoečě moho čleů poslouposti Situci ilustruje ásledující obráze Im I 4 I I I 3 I Podle pricipu vořeých itervlů průi čtverců prve Teto prve je oo hledé Pltí tedy I je eprázdý obshuje jediý Re I {} Pozmeejme že pricip vořeých itervlů byl doázá v zimím semestru záldě věty o supremu pro jedorozměré itervly Pltí i pro itervly vícerozměré tedy i pro čtverce eboť projece těchto itervlů do souřdých os jsou itervly jedorozměré teré lze doázý pricip pliovt (3 Nyí si všiměme že číslo je tzv hromdý bod poslouposti je to bod v jehož libovolém oolí leží vždy eoečě moho čleů poslouposti To je zřejmé zvolíme-li libovolě ějé oolí U ( p musí existovt čtverec terý leží ve zvoleém oolí tj pro ějé bude I U( Čtverce se totiž zmešují čtvrceím všechy obshují Protože se ve čtverci I lézá eoečě moho čleů poslouposti lézá se toto možství čleů i v oolí U ( (4 Nyí uážeme že cuchyovsá posloupost emůže mít více ež jede hromdý bod Předpoládejme že posloupost má dv hromdé body tj echť jsou hromdé body poslouposti Potom r Položme r 3 Protože pltí (94 existuje idex tový že m (ii & m Protože v libovolém oolí hromdých bodů poslouposti leží eoečě moho čleů této poslouposti existují čley U( U( jejichž idexy jsou větší ež P ovšem podle (ii Potom r [ 5 ]

6 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy máme tedy spor r odtud plye r r což eí prvd (5 Zbývá uázt že číslo je limitou poslouposti podle (93 stčí uázt že pro libovolé je { U ( } oečá moži Nechť to eí prvd p existuje tové že moži { U ( } je eoečá Odstríme-li v tomto přípdě z poslouposti všechy čley teré leží uvitř oolí U ( stále jich zbude ve čtverci I eoečě moho stejou procedurou P doážeme existeci hromdého bodu V libovolém oolí hromdého bodu se chází eoečě moho čleů poslouposti proto U ( protože všechy čley poslouposti teré leží v U ( byly z poslouposti odstrěy Proto což je spor eboť cuchyovsá posloupost emůže mít dv růzé hromdé body viz již doázý bod (4 Je tedy utě pro libovolé moži { U ( } oečá tedy lim de I tj posloupost je overgetí Číselé řdy Deice 94 (eoečá řd Nechť : s : jsou poslouposti pro teré pltí ebo evivletě s (96 s & s s (97 Symbol (98 se zývá eoečá (číselá řd může být zpsá v moh evivletích tvrech příld m 4 m 3 3 m 3 m Hodot s se zývá tý částečý součet eoečé řdy (98 Posloupost s se zývá posloupost částečých součtů eoečé řdy (98 tý čle poslouposti se zývá tý čle řdy (98 Deice pojmů lze zcel zřejmě vyslovit i pro vritu potom pro -tý částečý součet budeme psát s symbol řdy p píšeme ve tvru podobě Tohoto způsobu použijeme zejmé u geometricé mocié řdy [ 6 ]

7 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechceme-li eoečou řdu deovt jo symbol je možé ji deovt jo uspořádou dvojici posloupostí ( s teré jsou svázáy vzthy (96 (97 (moderější méě běžé Deice 95 (součet eoečé řdy Nechť : s : jsou poslouposti pro teré pltí s Číslo { } se zývá součet řdy p připisujeme výzm tohoto součtu tj právě dyž lim s : Pltí tedy Symbolu řdy lim ( (99 Jestliže posloupost s overguje tj lim s říáme že řd je overgetí Jestliže posloupost s diverguje tj lim s eexistuje ebo overguje ebo že lim s { } říáme že řd diverguje ebo že je divergetí V přípdě lim s resp lim s říáme že řd diverguje + resp Budeme užívt symbolů (K pro overgetí řdu (D pro divergetí řdu Příld 9 Stovte součet eoečé řdy ( Nejprve vhodě vyjádříme posloupost částečých součtů Protože lze postupovt tto: s overgetí pltí ( Odtud plye lim s ( ( lim ( Řd ( je tedy Defiice 96 (BC podmí pro řdy Neoečá číselá řd splňuje BC podmíu pro řdy právě dyž BC podmíu z Deice 93 splňuje posloupost částečých součtů řdy tj dyž pltí: [ 7 ]

8 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy m ( m & s s (9 m de s ebo evivletě: p p (9 Důslede 93 Neoečá číselá řd je overgetí právě dyž splňuje BC podmíu (9 ebo (9 Splěí podmíy (9 ebo (9 je evivletí podle věty 9 overgeci poslouposti s což podle defiice 95 zmeá overgeci řdy Vět 93 (utá podmí overgece Jestliže řd overguje potom lim Jestliže řd overguje p existuje limit lim s de s P pltí lim s s lim ( lim s lim s Příld 9 (součet geometricé řdy Nechť q Jestliže q řd Jestliže q řd q overguje pltí q q q diverguje Pro q je Jestliže q p pltí s q q existuje právě dyž existuje lim q q ( qq ( q ( q q q Odtud plye že lim s ( Nechť q potom posloupost q je erostoucí zdol ohričeá ulou tj existuje lim q Pltí lim q lim q q q lim q q Odtud ( q tj protože q Potom lim q tedy lim s (b Jestliže q potom q tudíž emůže být splě utá podmí overgece eboť lim q lim q řd tedy diverguje (c Jestliže q tj q je reálé potom s q q tudíž lim s lim q [ 8 ]

9 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 93 Njděte součet řdy ( j Protože j řd je geometricou overgetí řdou podle předešlého příldu je jejím součtem číslo j j j j Příld 94 Řd je divergetí protože esplňuje utou podmíu overgece Jeliož posloupost částečých součtů řdy je rostoucí s s s je utě Řd si( je divergetí protože esplňuje utou podmíu overgece lim si( totiž eexistuje Řd je divergetí zároveň je splě utá podmí overgece tj lim Teto výslede eí v rozporu s větou 93 Vět 94 (hrmoicá řd je divergetí Řd se zývá hrmoicá Pltí Uvžujme posloupost s Posloupost je rostoucí eboť pltí s s s Užme že posloupost s eí ohričeá shor Předpoládejme sporem že ohričeá shor je P ovšem rostoucí posloupost ohričeá shor má utě oečou limitu echť tedy lim s Pro libovolá přirozeá čísl m pltí s s m s m m m s m m m m tedy s s proto pro ždé pltí m m s m lim s lim s tj pro ždé je oečě lim s m m m m tedy což dává hledý spor Posloupost s je tedy rostoucí eí ohričeá shor tj utě s což se mělo doázt [ 9 ]

10 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 95 (počítčové experimety s hrmoicou řdou Položme si otázu oli je třeb sečíst čleů hrmoicé řdy by její součet byl Ozčme s ( Pomocí progrmu Mthemtic ebo Mple můžeme určit experimetem že 4 s( s( Kdybychom sečteí toli čleů řdy chtěli použít reuretí formuli s : s (i měli bychom dispozici superpočítč terý by doázl vyčíslit rovici (i z s 5 6 bilirdrát ( 6 tedy s frevecí 6 milioů GHz (těžo si předstvit že bude 4 ědy tový počítč postve potřebovli bychom sečteí 5 čleů čs t [ s] 5 6 [ s ] 8 79 [let] 6 7 [stáří vesmíru] Stáří vesmíru se v součsosti odhduje 9 5 let Elemetárí vlstosti číselých řd Vět 95 Nechť : P pro ždé přirozeé číslo pltí (9 přičemž řd vlevo overguje právě dyž overguje řd vprvo Pozám: Řd se zývá zbyte řdy Npišme poslouposti částečých součtů pro obě řdy ve vzthu (9 Dosteme s m m P pltí s m s m odtud lim s m m lim ( s m s lim m m m Důslede 94 Jestliže řd overguje p lim [ ]

11 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže řd overguje potom existuje číslo tové že máme ( s Odtud Podle (9 lim lim ( s Vět 96 (overgece po složách Nechť : ozčme x Re( y Im( P pltí (K x (K & y (K (93 (K x j y (94 (K (95 (K x (K & y (K (96 (K (K (97 Tvrzeí (93 (94 jsou důsledem overgece po složách tj důsledem věty 9 pliové posloupost částečých součtů řdy erovosti ze spojitosti fuce z lim z (95 plye z trojúhelíové lim lim Vzth (96 plye z erovostí x y x y z toho že poslouposti částečých součtů řd s ezáporými čley jsou elesjící Nechť (K P řd p splňuje podle důsledu 93 BC podmíu tj p Avš p p p tj [ ]

12 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy BC podmíu splňuje i řd tedy (97 proto je podle důsledu 93 overgetí pltí Deice 97 (bsolutí ebsolutí overgece Nechť : Jestliže Jestliže (K říáme že řd (D řd overguje bsolutě budeme psát (K říáme že řd Podle (97 bsolutě overgetí řd je overgetí overguje ebsolutě (KA Vět 97 (operce s řdmi Nechť bc : (zde P pltí má-li prvá str rovice smysl ( b b (98 ( b b (99 (9 Nechť pro posloupost c pltí: c b b b b b c pltí: Jestliže řdy b overgují lespoň jed z ich overguje bsolutě p overguje řd c b (9 Jestliže obě řdy b overgují bsolutě overguje bsolutě i řd c Pozám Řdy řd b ( b Řd ( b se zývá -ásobe řdy c se po řdě zývjí součet rozdíl souči [ ]

13 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy (98 (99 Nechť { } Protože ( b b pltí lim ( b lim b ( lim lim ( je možý poud výrz prvo od rovosti ( má smysl (9 Pltí lim potom (9 Nejprve dožme pomocé tvrzeí: Jestliže x y: Protože lim b lim poud výrz prvo od rovosti ( má smysl z x y x y x y x y (KA p ( b ( y (KA p y existuje ostt K tová že b z Kro y K Protože x existuje ostt L tová že x L Vezměme yí libovolě Protože x existuje tové že x Protože y existuje tové že y P pro pltí z x y x y x y L x y x y x y x y x y x y x y x y x y ( x x x L ( y y y Κ ( L L ( K Κ Tže z Předpoládejme b p můžeme psát (KA b (K ozčme : : b : b Dodefiujme posloupost b pro záporé idexy b b b b b b ( ( (KA je podle pomocého tvrzeí c b ( Protože posloupost m m overguje lim ( P ovšem c [ 3 ]

14 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy lim lim lim ( lim ( lim b Zbývá uázt že souči řd overguje bsolutě overgují-li bsolutě obě řdy b Nechť tedy (KA b (KA P ovšem (KA (9 můžeme pliovt řdy s bsolutími hodotmi Odtud plye že řd b c b b Kovergece řdy (K Dále vyplývá ze srovávcího ritéri overgece viz dále uvedeá vět b (K vzth c p Kritéri overgece Vět 98 (srovávcí ritérium Nechť : b : Jestliže b pro s v p pltí: b (K (K (D b (D (9 Jestliže b pro s v p existuje tové že b b (K potom podle věty 95 to zmeá overgeci b oečou limitu tj tj posloupost s b Je-li b tedy pltí je elesjící shor ohričeá má tedy (K Podle věty 95 to zmeá overgeci Zbyte tvrzeí v (9 je důsledem evivlece ( p q ( q p Vět 99 (itegrálí ritérium Nechť fuce f : je mootóí P pltí: f ( (K f ( x dx (K (93 Jestliže fuce f je mootóí overguje v (93 řd ebo itegrál je fuce f buď erostoucí ezáporá ebo elesjící eldá Ob přípdy se liší je zméem stčí doázt je jede z ich [ 4 ]

15 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Nechť f je erostoucí ezáporá P pltí f ( f ( x dx f ( viz obráze f ( f f ( + + Sečteím dosteme erovosti f ( f ( x dx f ( oečě Poslouposti s ( Jestliže overguje řd p s f( f ( x dx s (i f ( x dx jsou elesjící s lim s podle (i je elesjící posloupost f ( x dx shor ohričeá tedy je ohričeá shor i mootóí fuce t t f ( x dx Itegrál tedy overguje pltí f ( x dx lim s (b Jestliže overguje itegrál podle (i je elesjící posloupost s f ( f ( x dx f ( f ( x dx s shor ohričeá tedy overgetí Příld 96 Hrmoicá řd je divergetí Čley hrmoicé řdy jsou hodoty fuce f( x x lesjící itervlu můžeme použít itegrálí ritérium overgece x dx Itegrál diverguje diverguje i řd [l ] x lim l x x Vět 9 (limití d Alembertovo (podílové ritérium Nechť : Jestliže lim potom řd overguje (94 Jestliže lim potom řd diverguje (95 [ 5 ]

16 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže lim existuje tové že idex tový že Ozčíme-li q můžeme pro psát: geometricá řd eboť Nechť q odtud plye q q c q Jeliož q cq je overgetí můžeme použít srovávcí ritérium overgece c q pro s v tedy řd overguje lim p existuje idex tový že odtud tj P ovšem lim tj řd diverguje Pozám 93 Podle limitího d Alembertov ritéri se o overgeci řdy edá rozhodout v přípdě dy lim Uvžujme příld řdy Prvá je divergetí hrmoicá řd druhá je overgetí příld podle itegrálího ritéri Pro obě tyto řdy vychází lim Příld 97 Rozhoděte o overgeci řdy! (! (! ( ( e Protože e > řd je divergetí Protože má ldé čley je posloupost částečých součtů rostoucí tudíž! Vět 9 (limití Cuchyovo (odmociové ritérium Nechť : Jestliže lim potom řd overguje (96 Jestliže lim potom řd diverguje (97 [ 6 ]

17 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Jestliže lim existuje tové že q Potom s v tj srovávcího ritéri q pro s v Jeliož q (K potom (K podle q pro Je-li lim existuje tové že p ovšem pro s v tj pro s v tudíž emůže být splě utá podmí overgece Řd je tedy divergetí Pozám 94 Podle limitího Cuchyov ritéri se o overgeci řdy edá rozhodout v přípdě dy lim Můžeme uvážit tytéž řdy jo v pozámce 93 Prvá je divergetí hrmoicá řd druhá je overgetí Pltí vš lim lim eboť lim tudíž lim lim lim lim Příld 98 Vyšetřete overgeci řdy Pltí lim lim řd tedy overguje Vět 9 (o rovoceé síle d Alembertov Cuchyov ritéri Nechť : Jestliže existují limity lim lim potom Nechť P pro libovolé ( existuje idex tový že l pro Odtud ( l ( ( l ( odtud ( l ( l oečě l ( l ( l ( l ( l Pro dosteme tj Protože ( může být libovolě mlé dostáváme rovost Zcel obdobě se postupuje v přípdě že tj Pro libovolé existuje idex tový pro Odtud potom dále pro dosteme což vede tedy opět Příld 99 Vyšetřete overgeci řdy [ 7 ]

18 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Použitím d Alembertov riteri dosteme lim lim Podle d Alembertov riteri se tedy edá o overgeci rozhodout Podle věty 9 ovšem emá smysl zoušet ritérium Cuchyovo bude-li existovt limit lim bude se rovt číslu Protože vš lim eí splě utá podmí overgece Řd je divergetí Pozám 95 V dosud uváděých ritériích byl vždy testová bsolutí overgece V d Alembertově Cuchyově ritériu se vždy uvžovly bsolutí hodoty čleů poslouposti v itegrálím ritériu je tto sutečost sryt v mootoii fuce f Existují vš řdy teré overgují le ioliv bsolutě Příldem tových řd teré mohou overgovt ebsolutě jsou lterující řdy Jsou to řdy s reálými čley jejichž zmé se prvidelě střídjí lterují Defiice 98 (lterující řdy Nechť : je ezáporá posloupost tj ( Potom řdy ( ( se zývjí lterující ( Pro lterující řdy je zámo jedoduché ritérium overgece Vět 93 (Leibizovo ritérium overgece pro lterující řdy Nechť : Jestliže pltí: ( Posloupost je ezáporá ( posloupost je erostoucí (3 lim p lterující řd ( ( tedy i řd ( overguje Nechť pltí ( ( (3 Nejprve vyšetřeme chováí sudých čleů poslouposti částečých součtů řdy ( Mějme s (i 3 4 Protože posloupost je ezáporá erostoucí tj posloupost sudých čleů (i je ezáporá elesjící Je totiž pro libovolé : [ 8 ]

19 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy s ( ( ( s (ii S Čley v rovici (ii můžeme ovšem uzávorovt joliv udělejme to ásledově: s ( 3 ( 4 5 ( ( (iii Spojeím (ii (iii dostáváme s s N záldě podmíe ( ( jsme odvodili že posloupost (i je elesjící shor ohričeá Tová posloupost má oečou limitu ozčme lim s Podívejme se yí posloupost lichých čleů poslouposti částečých součtů (i Nechť m je libovolé p pltí: s ( s m m3 m m m m m sm (iv Posloupost lichých čleů je erostoucí má stejou limitu jo posloupost sudých čleů protože sm sm m pltí lim sm lim ( sm m lim sm lim m m m m m Protože posloupost sudých i lichých čleů poslouposti s má stejou limitu má ji i posloupost s tj lim s ( Řd je tedy overgetí Pozám 96 Nechť : je ezáporá posloupost lterující řd ( splňuje podmíy ( ( z věty 93 tj je erostoucí řd splňuje utou podmíu overgece Podle věty 93 je to overgetí řd podle důzu věty 93 sudé čley poslouposti částečých součtů tvoří elesjící posloupost liché čley poslouposti částečých součtů tvoří erostoucí posloupost pltí tedy erovosti de ( s sm pro libovolá m N záldě erovosti (i můžeme odhdout veliost součtu řdy stovit chybu teré se dopustíme hrdíme-li součet řdy jejím částečým součtem Z (i dostáváme: s sm s s sm sm tj sm sm s V prví erovosti položme m: ve druhé položme m: dosteme s s s s s s Obě zísé erovosti lze spojit do jedié s (98 (i [ 9 ]

20 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Příld 9 Řd ( je overgetí Sečteme-li 6 součtu s přesostí s čleů této řdy dosteme odhd jejího Jeliož posloupost je lesjící lim podle Leibizov ritéri řd ( je overgetí V progrmu Mple spočteo s tudíž pro pltí odhd ( l s s tj Je zámo že tj vidíme že l leží ve vypočteém tolerčím poli Asocitivit omuttivit v eoečých řdách Položme si otázu zd při sčítáí eoečých řd pltí obdob socitivího záo tj zd v eoečých součtech lze sdružovt čiitele j to zázorňuje dále uvedeá formule ( ( ( 7 8 ( 9 b b b 3 b4 b5? b Problém řeší ásledující vět Vět 94 (sdružováí čiitelů eoečé řdy Nechť : je libovolá posloupost : je rostoucí posloupost přirozeých čísel Ozčme: b ( b P pltí Jestliže má řd b součet p má součet i řd b b pltí Sestvme poslouposti částečých součtů pro obě řdy dosteme sm m b b b ( ( ( Odtud ( [ ]

21 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy plye vzth s posloupost je tedy vybrá posloupost z poslouposti s Jestliže má posloupost s limitu p stejou limitu má ždá z í vybrá posloupost tedy i posloupost Existece limity poslouposti s je evivletí existeci součtu řdy Příld 9 Pro řdy teré emjí součet zmíěá obdob socitivího záo epltí Uvžme řdu: (i ( ( ( ( ( ( (b ( ( ( ( Růzá uzávorováí vedou růzé součty Z toho vyplývá že řd (i vůbec součet emá je tedy divergetí Dále uvedeé věty řeší problém zd u eoečých řd pltí obdob omuttivího záo tj zd lze změou pořdí čleů řdy ovlivit její součet Vět 95 (o přerováí bsolutě overgetí řdy Nechť : je libovolá posloupost : je prosté zobrzeí tj m m ( tzv bijece P pltí: Řd overguje bsolutě právě dyž overguje bsolutě řd pltí O řdě říáme že vzil z řdy přerováím Nejprve si všiměme iluzí teré jsou důsledem bijetivity zobrzeí : Pltí: m { m} { ( ( ( } { ( ( ( } { } (i (ii Iluze (i zmeá že pro ždé m existuje tové že moži { ( ( ( } obshuje všech přirozeá čísl m Tto vlstost plye z toho že ( P ždé číslo z možiy { m} je obrzem ějého čísl z tj m m z můžeme zvolit mx{ m } ebo číslo větší [ ]

22 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Iluze (ii zmeá že pro ždé existuje tové že moži { ( ( ( } je obsže v možiě přirozeých čísel Toto je elemetárí vlstost přirozeých čísel z můžeme zvolit mx{ ( ( ( } ebo číslo větší Dále z iluzí { m} { ( ( ( } { } (iii vyplývjí erovosti m Předpoládejme oečě že řd podmíu Je třeb uázt pltost výrou overguje Užme že řd p splňuje BC p (bsolutí hodotu jsme vyechli sčítáme totiž ezáporé čley Zvolme libovolě Podle předpoldu overguje splňuje proto BC podmíu tj existuje m tové že m p p (iv m K dému číslu m vyberme t že je splě iluze (i tj { m } { ( ( ( } (v Pro libovolé p vyberme t by byl splě iluze (ii ve tvru { ( ( ( p} { } (vi Dále pltí: { m} (vii protože { ( ( ( } odtud podle (v dosteme (vii Dále užme že pltí: { ( ( p} { m } (viii Vezměme { ( ( p} p { ( ( } podle (v { m} podle (vi je { } odtud { } { m} { m } tj pltí (viii Podle (viii máme: A tedy { ( ( p} { m } p ( ( m (ix [ ]

23 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy erovost ( plye z (iv K dému jsme tedy šli t že podle (ix pltí p ( tj řd splňuje BC podmíu overgece řd proto overguje tedy řd overguje bsolutě Zbývá uázt že obě řdy mjí stejý součet Nyí již víme že obě řdy bsolutě overgují overguje-li jed z ich (Je-li : bijece je : rověž bijece tj overguje-li p podle předchozí části důzu musí overgovt řd Nyí uážeme že rozdíl je meší ež libovolé ldé číslo proto musí být ulový Podle věty 95 s využitím trojúhelíové erovosti elemetárích vlstostí limity poslouposti pišme rozdíl v ásledujícím tvru: m m m m m m Nyí zvolme Podle důsledu 94 existuje m tové že P dosteme: 3 m m Čísl m mohou být vybrá libovolě velá Vyberme číslo t by { m } { ( ( ( } viz iluze (v P se v rozdílu odečtou všechy čley m m p m m tj pro ějé p pltí 3 Máme tedy m de je libovolé Odtud utě Podle věty 95 součet bsolutě overgetí řdy ezávisí pořdí sčítců v řdě To ám umožňuje zvést symbol pro eoečé řdy u ichž toto pořdí sčítců eí vyzčeo eboť ěm ezáleží Tovým řdám budeme řít zobecěé řdy všechy bsolutě overgetí řdy budeme moci chápt jo řdy zobecěé [ 3 ]

24 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Defiice 99 (zobecěé číselé řdy Nechť : I I je spočetá moži tj existuje ějá bijece : I pišme I Symbol i zýváme zobecěou (eoečou řdou ii Číslo zveme součtem zobecěé řdy i pišme ii ii i právě dyž existuje bijece : I pro terou bude řd bsolutě overgetí (Podle věty 95 p bude řd bsolutě overgetí pro ždou bijeci : I bude mít stejý součet Má-li zobecěá řd řdy i součet budeme řít že overguje Kovergece zobecěé ii i tedy zmeá bsolutí overgeci řdy ii pro ějou bijeci : I Vět 96 (ritérium overgece pro zobecěé řdy i overguje M J I & J Fi ( j M ii jj Symbol Fi ozčuje třídu všech oečých moži Nechť i (K p existuje bijece : I ii položme M : p s tová že řd (K M Nechť J I J Fi je libovolé Protože je bijece existuje idex tový že pltí J { } Odtud dosteme jj j M Nechť pltí M J I J Fi ( M Vezměme libovolou bijeci : I pro ždé položme K : { } Potom K podle předpoldu M tj s ik i jj j I K Fi i M Nelesjící posloupost částečých součtů s je tedy shor ohričeá má tedy oečou limitu tj řd i overguje ii ik Právě vysloveý pojem zobecěé řdy dovoluje sdo formulovt obecější (trsfiití způsob přerováí eoečé řdy viz dlší vět [ 4 ]

25 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Vět 97 (sčítáí řdy po blocích Nechť : I I I de I I I Jestliže zobecěá řd i overguje (má součet p pro ždé ii i rověž overguje Ozčíme-li součty b i ii ii overguje pltí Lze tedy psát i b ii A i i I A ii A i p zobecěá řd A zobecěá řd b A Jestliže ěteré I ebo A je prázdá ebo oečá moži iterpretujeme symboly běžým způsobem tj b A i i i i{ i i } i i ii Příld 9 z Uvžujme řdu se zámým součtem e z! overguje bsolutě pro ždé z Pltí totiž z z Lze tedy psát e! z Podle d Alembertov ritéri řd! lim z (! z z lim pro ždé de yí { } Možiu rozložme sudá lichá čísl tj { 4 } {35 } p jsou splěy předpoldy věty 97 tj pltí z e z z z (i!!! Vybereme-li vhodé bijece můžeme řdy přepst do běžého tvru z! (! (! (ii e z z z Dosdíme-li do (ii z : jz dosteme zámou Moivrovu formuli terou jsme zde doázli pro libovolé omplexí z jz ( ( (! (! cos( z j si( z e z j z [ 5 ]

26 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy Vět 98 (přerováí ebsolutě overgetí řdy Nechť : Nechť řd overguje řd diverguje (tj řd overguje ebsolutě Defiujme poslouposti ezáporých eldých čleů řdy po řdě vzthy mx{ } ( ( (3 lim lim lim (4 (5 mx{ } P pltí: přerováí : tové že ( Protože mx{ } mx{ } pltí ( ( Jestliže potom tj jestliže potom tj Pltí tedy ( (3 Protože řd overguje je tedy splě utá podmí overgece pltí lim lim Podle ( ( je odtud podle věty o sevřeí máme (3 (4 Kdyby overgovl řd ( protože řd musel by overgovt i řd ( eboť overguje Potom ovšem musí overgovt i To je spor protože diverguje Obdobě se doáže že dyby overgovl řd overgovt i řd tedy opět by musel overgovt řd musel by což vede e sporu Obě řdy v (4 jsou tedy divergetí mjí ezáporé čley tudíž poslouposti jejích částečých součtů jsou elesjící utě tedy divergují eoeču [ 6 ]

27 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy (5 Budeme ostruovt přerováí řdy t by jejím součtem bylo libovolé číslo Nechť ejprve Z poslouposti vyšrtáme všechy ulové čley poecháme je ty teré odpovídjí ulovým čleům poslouposti Z poslouposti vyšrtáme všechy ulové čley Tím docílíme toho že poslouposti obshují je čley poslouposti Uveďme příld tové úprvy posloupostí: Porčujme ostrucí hledého přerováí Nejprve sečtěme čleů poslouposti s idexy t by Toho lze vždy dosáhout protože řd diverguje + Dále odečtěme čleů poslouposti s idexy t by ( ( ( ( (i Toho lze vždy dosáhout protože řd ( diverguje Z idex vezměme ejmeší idex pro terý je splě levá ostrá erovost ve výrze (i Tím je utomticy splě i prvá eostrá erovost Dále postupujme logicy jo v předchozím rou přičtěme 3 čleů poslouposti s idexy t by ( ( 3 ( ( 3 Toho lze vždy dosáhout protože řd diverguje + td Dále budeme odečítt dlší čley poslouposti s idexy doud součet vzijící přerové řdy edospěje pod hodotu Tto můžeme porčovt bez omezeí Dostáváme postupě přerovou řdu ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 4 Sledujme hodoty poslouposti částečých součtů s vzijící přerové řdy Podle způsobu ostruce pltí: s s s s s s s obecě pro s s s 4 (ii [ 7 ]

28 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy s s s (iii 3 Z erovostí (ii (iii dostáváme s 4 s 3 z těchto erovostí vyplývá s (iv 4 s (v 3 Jeliož je rostoucí posloupost podle (3 lim lim mjí ulovou limitu i vybré poslouposti 4 3 tedy podle (iv (v vybrá posloupost s má z limitu číslo tedy lim s (vi Užme dále že tuto limitu má i posloupost s Ze způsobu ostruce přerové řdy vyplývá že posloupost s je elesjící možiách idexů { } { 3} { } eboť těchto možiách se přičítjí ezáporé hodoty posloupost je lesjící možiách idexů { } { 3 3 4} { } eboť těchto možiách se přičítjí záporé hodoty poslouposti Posloupost s je tedy mootóí možiách idexů I { } pro Nechť yí je libovolé protože pltí (vi existuje tové že s Položme Nechť Protože 3 I { } existuje itervl I tový že I { } Protože s je I mootóí leží hodot s mezi hodotmi plye s s s proto s s s s s s s s s s Odtud s s s s s Pltí tedy lim s s Řdu lze přerovt i t že jejím součtem bude + (resp Postupujeme podobě příld t by [ 8 ]

29 : Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 3 4 ( ( ( ( ( ( td [ 9 ]