Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:"

Lubomír Beran
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! <!, pro všecha N.., pro všecha 4.. i + +, pro všecha N. 6 i , pro všecha N a >. Návody: i i i i Operace s možiami. Necht f je zobrazeí z X do Y a A, B Y. Dokažte, že f A B f A f B a f A \ B f A \ f B.. Mějme možiy A, B a X. Dokažte X \ A B X \ A X \ B a X \ A B X \ A X \ B. Návod a.b f A \ B f A \ B f A a f / B f A a / f B f A \ f B. Návod a.a X \ A B X / A B X / A / B X / A X / B X \ A X \ B. Výroky Zegujte ásledující výroky a rozhoděte, jestli platí výrok, ebo jeho egace: Negace., y R + y > 0.. R y N [y y + > ].. ε > 0 δ > 0 R [0 < < δ < ε].. R y R + y 0.. R y N [y > y + ].. ε > 0 δ > 0 R [0 < < δ ε]. U všech tří výroků platí egace.. vol y 0.. vol, elze ajít y N.. vol ε a po zadáí libovolého δ > 0 vol δ. A ěco trochu etriviálího a závěr. Dokažte, že pro všecha,,..., 0 platí Dokažte, že pro všecha platí + > +. Návody:. Dokazujte matematickou idukcí. krok pro.. krok z tvrzeí pro plye tvrzeí pro.. krok z tvrzeí pro plye tvrzeí pro. Hit - zkuste volit.. Převed te a + <, použijte biomickou větu a odhaděte jedotlivé čley.. cvičeí

2 Vyřešte Výsledky:., 4] {}. 6. {0,, 4, 6}. Nalezěte suprema a ifima ásledujících moži M N, M [0,, M { +, N} M 4 { p p + q, p, q N}, M 5 {si q, q Q}. Výsledky a ávody: sup M :. N,.. r < vol, pak > r. if M 0:. N, 0.. r > 0 if vol [/r] +, pak < r. if M 0:. [0,, 0.. r > 0 vol 0, pak 0 < r. sup M :. [0,,.. r < vol ma{ +r, 0}. Pak [0, a > r. sup M +, ebot je to maimum. log r/ if M 0:. r > 0 vol [ log ] +, pak + < < r. if M 4 0:. r > 0 vol p a q [ r p r ] +, pak p+q < r. r sup M 4 :. r < vol q a p [ r ] +, pak p p+q > r. sup M 5, if M 5 : Použijte a případě si dokažte tvrzeí, že v libovolém itervalu a, b, a < b eistuje alespoň jedo racioálí číslo q. Dokažte: Pro všecha, y R platí : + y + y. Návod: Bez újmy a obecosti 0. Pokud y 0, tak jistě + y + y. Pokud y 0, tak jistě platí + y y i y y. Nalezeí iverze. Mějme zadaou fukci f D f, iverzi f a obor hodot H f. Výsledky: D f [0, \ {6}, f y [0,. 4. Nalezěte defiičí obor 4y pro y Hf a H f, y + Přiklad a zamyšleí: Mějme zadaé možiy A, B R, pro které eistují s A sup A, i A if A, s B sup B a i B if B. Co můžete obecě říci o supremu S a ifimu I moži A B, A B, A + B {a + b, a A, b B} a A \ B {a A, a / B}? Výsledky:. S ma{s A, s B } a I mi{i A, i B }. Pokud A B, pak S ma{s A, s B }, I mi{i A, i B } a více říci elze. S s A + s B a I i A + i B 4. Pokud A \ B, pak S s A, I i A a obecě více říci elze A opět ěco etriviálího a závěr Nalezěte supremum a ifimum možiy M {cos, N}. Návod: Jde v podstatě o to, jak dobře můžeme aproimovat ásobek π přirozeým číslem, eboli π racioálím číslem. Zkuste si dokázat, a pak použít ásledující tvrzeí z teorie čísel: Věta. Necht α R a t N. Pak eistují p Z a q N tak, že q t a α p q q.

3 . cvičeí Spočtěte ásledující ity podle defiice:.,.,. log. Za užití věty o aritmetice it a věty o dvou policajtech spočtěte ásledující ity: +. 7,! 4., 5., Výsledky a ávody: , +., !, si! 7., + + a a pro a < a b <, + b b , 0... ;. ;. 0; 4. 0, 0 pro 4; 5. 0, 0! ; 6. 0, ! + 5 a!! 5 0 opět podle policajtů;! 0 5! 5 0; ! , si! + 0; 8. + a a a + b b a b b + a ; b ; 0. ; za pomoci biomické věty dokažte, že + 0 pro dostatečě velké. + Spočtěte ásledující ity:. siπ 4,. 4. +, 4. cvičeí +, 5. k 7., Výsledky a ávody: kk +,. + +, , eeistuje; eí splěa Bolzao-Cauchyho podmíka : vol ε k 0 vol

4 , m , a a m si π siπ > ε.. 0; ; + + a podle policajtů. 4. eeistuje ; dokažte, že a a a +, Použijte větu z předášky pokud ji máte : posloupost má hromadé body, a tedy emůže mít itu. Lze dostat i spor s Bolzao-Cauchyho podmíkou. 5. ; kk + k. k + + k k 6. 0; a použijte vzorec a 6 b 6 a ba ; + +! +!! ; Ozačme a 4... a b Zřejmě a b + a a b. Tedy 0 a cvičeí Spočtěte ásledující ity:.!,., 4. sisisi... si..., k 6. pro k N, a >, a Dokažte: 5.. siπ +, , 7., kde 0 0, a a 0 a a 0. Výsledky a ávody: /. ;! a tedy!. 0; ; siπ + siπ + siπ si π + π cos. si ; si pro [0, ] a tedy je daá posloupost a + sia klesající. Zřejmě 0 a a omezeá mootóí posloupost má itu A R. Zitíme vztah a + sia a dostaeme A si A, a tedy A ; Ukažte, že a je rostoucí, a pomocí idukce dokažte, že a. Tedy eistuje ita. Zitíme vztah a + + a a dostaeme A + A, a tedy A.

5 6. 0; Použijeme k krát větu o itě součiu a dostaeme Tedy stačí b 0 pro b >. Policajti 0 7. ; Idukcí dokažte + + b a spočtěte itu. k. a k 5 + b cvičeí Za 4 dí bude písemka a ity posloupostí i podle defiice a a kovergeci řad. Vyšetřete kovergeci ásledujících řad:. +,.,., , 7. Výsledky a ávody: e, 8.!, 5.. Diverguje; Limití srovávací kritérium s řadou. + cos + cos z pro z R.. Koverguje; Odmociové kritérium <.. Diverguje; Neí splěa utá podmíka a Koverguje; Podílové kritérium a erovost 0. + cos 5. Koverguje; Platí a tato řada koverguje. + cos 6. Koverguje; Rozšíříme odmocia mius odmocia, a pak srováme s řadou. 7. Koverguje; Z miulého cvičeí 6. příklad víme 6 e 0. Tedy e platí e a tato řada koverguje. 8. Koverguje pro z [ 4, ; Na 4 4, podílové kritérium. 4 V 4 a 4 jsou potřeba etriviálí odhady To je těžké cvičeí Za týde bude písemka a ity posloupostí i podle defiice a a kovergeci řad. Vyšetřete kovergeci ásledujících řad a u příkladů, 4, 5 a 7 i absolutí kovergeci: si π. loglog,. z, z R,. + cos log, 4. 00, si si + 5. arcta, 6. log, 7. si.

6 6 Výsledky a ávody:. Koverguje; Dirichletovo kritérium: si π má omezeé částečé součty.. Koverguje absolutě pro z, a eabsolutě pro z ; Na, koverguje absolutě z podílového krit. V z Leibitze.. Koverguje; Odmocia míus odmocia a + a srovat s 4. Koverguje eabsolutě; Dirichlet a 00 : 00 log. klesá pro 00 a kovergece ezávisí a ěkolika prvích čleech. Absolutě diverguje: Užijeme cos 00 cos 00 + cos 00. Prví řada diverguje srováím s a druhá koverguje Dirichletem. 5. Koverguje eabsolutě; Abel a a si a ε arcta. ε je mootóí a a koverguje z Dirichletova kritéria. Absolutě diverguje, užij si si cos. 6. Koverguje; Dirichletem si log koverguje. Dále si + si cos + si si log koverguje srováím s log, a tedy koverguje i součet těchto dvou kovergetích řad. 7. Koverguje eabsolutě; Absolutě: Užijte si cos. a si + log Neabsolutě: Zkoumejte k N si k k si k + k + to je těžší. Písemka 8.cvičeí 9. cvičeí Považujte za zámé ásledující ity : e si, 0 0 Spočtěte ásledující ity: +. 5., 0 + si cos,. 0 cos, , a vyšetřete kovergeci ásledujících řad :. si, 6. e +. e 4. l +, + + 0,

7 7 Výsledky a ávody:. ; si si. Diverguje; a tedy podle Heieho 0. Tedy podle itího srovávacího kritéria s řada diverguje.. ; l; l l l + l 5. 4 ; + si cos + si + cos + si + cos l + l + si + cos si + cos l. 6. Koverguje; Upravíme e + e + e ++. e a 0 e + + 0, a tedy dle Heieho Řada koverguje, pokud koverguje řada ; e a ta koverguje srováím s ; a užijte vzorce a 6 b 6 a a 4 b Považujte za zámé ásledující ity : e 0 si, 0 Spočtěte ásledující ity: 0. cvičeí log + si.,. + 4, 0 0 l + cos,, logcos , 5., 6. e +, 0 arcsi log +, 8. cose cose 0 +, Výsledky a ávody:. ; log + si si 0.. e 4 ; + 4 si 4 e l+4 4.

8 8. ; ; log + cos cos cos ; Podle Heieho e + log + a stadartě 6. e ; e + 7. ; + e log+e e arcsi log + siarcsi 8. ; + l + l arcsi log e + 0 e. log a yí použijeme 9. ; cose cose e si e e e. 0 + e l e l si e +e e +e 0 l l. e e e + e kde jsme použili stadartí ity a e e e e cvičeí Zderivujte ásledující fukce a určete defiičí obor derivace:. e,. log,. f si + pro 0 a f0 0, 4. loglog si, 5. log, 6. Dokažte, že arcta +arcta π sg pro 0, 7., 8. Dokažte, že arcsi arccos pro,. Výsledky a ávody:. e + e, D f R.. 4 4, D f R \ [, ].. f si + cos 4 pro 0 a f 0 h si h h 0 h 4. D f D f. 5. log e log log log, D f 0,. 6. Necht f arcta + arcta, pak f , a tedy f je kostatí fukce. Z f arcta π dostaeme hodotu kostaty. 7. e log e log + log log +, D f 0,. 8. Pro fukci f arcsi arccos dokažte, že f 0 a f0 0. Dále jsme a tabuli počitali průběh fukcí f e a f arcta +. 0.

9 9. cvičeí Druhá písemka bude v prvím týdu po váocích. Necht a > 0 a b > 0. Spočtěte ásledující ity: si log a e a. 0,. b,. b, arcta + arcta 5., log a b, e si + 0, 8. 0 arcta, 0. si. 0 Vyšetřete kovergeci ásledujících řad: 6. e, 9. cos e,. si arcsi Výsledky a ávody:. 6 ; 0. 0; Pokud eistuje log a b si cos 0 6. log a, tak eistuje i aše ita a rová se jí. b log a b a e a. ; b 4. 0; log a b log a 0 0 b e a b b a b a b 0 a a b e a b log b a a 0 b a b a b. b a a 0. a b +. a 0. arcta + arcta 5. ; ; Je potřeba použít l Hospitala třikrát za sebou. 8. ; si 0 si 0 si si 0 4 a 4 krát l Hospitalovat. 0. e ; Jedá se o typ arcta, tedy se stadartě převede a 0 6. Koverguje srováím s ; e eistuje a je koečá Koverguje srováím s 4. Koverguje srováím s ; 0 cos e ; 0 4 si arcsi. eistuje a je koečá. eistuje a je koečá. Písemka a celou hodiu.. cvičeí 4. cvičeí Na cvičeí jsme a tabuli počítali průběh těchto fukcí:. ep +,. +,. log log.

Podobné dokumenty

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si