6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

Transkript

1 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících s omezeostí (ohričeostí) mootóostí posloupostí; důležité teoretické věty, př. kritéri kovergece posloupostí věty použitelé při kokrétích výpočtech; defiici ritmetické geometrické poslouposti včetě řešeí problému jejich kovergece; jk vypočítt Eulerovo číslo jko limitu jisté poslouposti. Klíčová slov této kpitoly: posloupost, limit poslouposti vlstí evlstí, kovergece divergece poslouposti, posloupost ohričeá zdol, ohričeá shor, ohričeá, posloupost klesjící, rostoucí, eklesjící, erostoucí, mootóí, ryze mootóí, podmík Bolzov-Cuchyov, kritéri kovergece posloupostí, limit součtu, rozdílu, bsolutí hodoty, součiu podílu posloupostí, ritmetická posloupost, geometrická posloupost, Eulerovo číslo. Čs potřebý k prostudováí učiv kpitoly: 0,75 +,0 hodiy (teorie + řešeí příkldů)

2 Poslouposti. Defiice. Posloupost je zobrzeí, které kždému přirozeému číslu přiřzuje číslo (reálé ebo. komplexí). Zčíme ji,,...,,... ebo stručě { } Ukázkový příkld. 3 Předpisem = je dá posloupost 0,,,, Defiice. Limitou poslouposti { } zýváme číslo právě tehdy, jestliže k libovolému číslu ε > 0 existuje tkové přirozeé číslo 0 (závislé volbě ε ), že pro všech > 0 je < ε. Zpisujeme: lim =. Defiice. O poslouposti, která má koečou (vlstí) limitu říkáme, že koverguje k, je kovergetí. V opčém přípdě je posloupost divergetí. Pozámk. Populárě řečeo, číslo je limitou poslouposti { } blíží k., pokud se s rostoucím eomezeě Ukázkový příkld. Posloupost z předchozího příkldu { }, kde =, má limitu. K dému ε stčí zvolit jko 0 libovolé přirozeé číslo >. Pk totiž pro > 0 pltí: ε = = < < ε. 0 Defiice. Posloupost { } diverguje k + (má evlstí limitu + ), jestliže k libovolému číslu K existuje tkové přirozeé číslo 0 (závislé volbě K), že pro všech > 0 je > K. Zpisujeme: lim =+. Obdobě defiujeme evlstí limitu. Defiice. Posloupost { } se zývá shor ohričeá, resp. zdol ohričeá, resp. ohričeá, existuje-li koečé číslo K, resp. K, resp. M tkové, že pro všech pltí: < K, resp. > K, resp. < M. Místo ázvu ohričeá se používá tké termí omezeá. Defiice. Posloupost { } se zývá rostoucí, resp. klesjící, resp. erostoucí, resp. eklesjící, je-li pro všech > +, resp. < +, resp. +, resp. +. Všechy tyto poslouposti se zývjí mootóí, prví dvě ryze mootóí.

3 Posloupost může mít ejvýše jedu limitu. Posloupost je kovergetí tehdy je tehdy, splňuje-li tuto podmíku (Bolzovu Cuchyovu): Ke kždému (libovolě mlému) ε > 0 existuje tkové číslo 0 (závislé volbě ε ), že pro kždé m> 0, > 0 je m < ε Pozámk. ) Jméo Cuchy se čte koši. b) Vět populárě řečeo tvrdí, že čley kovergetí poslouposti se s rostoucím eomezeě stále více blíží sobě vzájem. Jedoduchá kritéri (postčující podmíky) kovergece posloupostí. Nechť { }, { } b jsou kovergetí poslouposti, lim =, lim b posloupost, pro kterou pltí <= c <= b. Pk tké lim c =. = echť { c } je Pozámk. Jedá se tedy o přípd, kdy posloupost { c } leží mezi dvěm posloupostmi { }, { } které mjí touž limitu. Pk musí mít i tto posloupost { c } stejou limitu. Kždá eklesjící ( tedy i kždá rostoucí) shor ohričeá posloupost je kovergetí (má limitu). Obdobě kždá erostoucí ( tedy i kždá klesjící) zdol ohričeá posloupost je kovergetí (má limitu). Vybré věty pro práci s posloupostmi. Jsou-li { }, { } ( ) b kovergetí poslouposti lim =, lim b = b, pk pltí: lim ± b = ± b, lim k = k, lim b, =, lim b = b, lim = pro b 0. b Pozámk. ) Kždá z uvedeých posloupostí je tedy kovergetí. V posledím přípdě vyecháváme všechy čley, pro které je b = 0 jichž je pouze koečý počet. b) Uvedeá vět slouží v prxi k přímému výpočtu limit ze zlosti jiých (jedodušších) limit. Slově řečeo, jedá se o limity součtu rozdílu, k -ásobku, bsolutí hodoty, součiu podílu posloupostí. c) Větu lze zobecit i přípd evlstích limit, le pouze tehdy, evede-li výpočet tzv. eurčité výrzy typu, 0,. b

4 Nechť lim =, lim b = b. Je-li pro kždé b (ebo i < b), pk b. Je-li > 0, lim b = b, pk lim b b b lim = =. Aritmetická geometrická posloupost. Aritmetická posloupost, + d, + d,..., + d,... je pro kždé d 0 divergetí. Veliči d se zývá diferece. Geometrická posloupost, q, q,..., q,... má pro q < limitu 0, pro q = limitu pro q > diverguje (předpokládáme 0 ). Veliči q se zývá kvociet. Eulerovo číslo jko limit poslouposti. Pro kždé pltí: lim ( + ) = e speciálě lim ( ) logritmů (Eulerovo číslo). + = e, kde e je zákld přirozeých

5 Shrutí kpitoly: Posloupostí reálých ebo komplexích čísel rozumíme zobrzeí, které kždému přirozeému číslu přiřzuje určité reálé ebo komplexí číslo. Vlstí limitou poslouposti defiujeme koečé číslo lim, ke kterému se (zjedodušeě řečeo, viz přesou defiici v textu!) blíží čley poslouposti při vzrůstjícím. Poslouposti mjící vlstí limitu zýváme kovergetími, osttí pk divergetími. U divergetích posloupostí rozlišujeme víc poslouposti s evlstí limitou ±. Poslouposti mohou být omezeé zdol, omezeé shor, omezeé, klesjící, rostoucí, eklesjící, erostoucí, mootóí, ryze mootóí. Uvedeá termiologie odpovídá zvedeé termiologii v teorii fukcí reálé proměé. Pro poslouposti pltí důležité teoretické věty, které je třeb zát. Jedá se buď o kritéri kovergece ebo o věty použitelé při kokrétích výpočtech. Aritmetická posloupost je dá předpisem, kdy kždý dlší čle je o difereci d větší ež předcházející. Je vždy divergetí kromě triviálího přípdu d = 0. Geometrická posloupost je dá předpisem, kdy kždý dlší čle je q - krát větší ež předcházející. Pro q < má limitu 0, pro q = limitu pro q > diverguje (předpokládáme 0 ). Veliči q se zývá kvociet. Otázky: Jk zí přesá defiice poslouposti? Uveďte defiici vlstí evlstí limity poslouposti. Objsěte hlví ideu těchto defiic. Co zmeá, že posloupost koverguje, resp. diverguje? Defiujte posloupost omezeou zdol, omezeou shor omezeou. Defiujte posloupost klesjící, rostoucí, eklesjící, erostoucí, mootóí, ryze mootóí. Může mít posloupost více limit? Čeho se týká jk přesě zí Bolzov Cuchyov podmík kovergece. Co můžeme s určitostí říci o kovergeci př. erostoucí poslouposti omezeé zdol? Co víte o limitách součtu rozdílu, k -ásobku, bsolutí hodoty, součiu podílu posloupostí? Jk je defiová ritmetická geometrická posloupost? Jk je to s jejich kovergecí? Umíte vyjádřit Eulerovo číslo jko limitu ějké poslouposti?

6 Příkld. Určete limitu poslouposti zdé -tým čleem: ) = 3 + ; b) + + = ; c) = + ; d) + =. Návod. Vhodě uprvte (kráceím mociou ) využijte vět o součtu, součiu podílu limit dále toho, že lim = 0. Příkld. Rozhoděte, zd posloupost zdá -tým čleem koverguje ebo diverguje: + ) = ; b) = ; c) = ; d) = e ; e) ( ) 3 =.! Návod. Využijte vět o kovergeci mootóích omezeých (ohričeých) posloupostí, věty pro kovergeci geometrické poslouposti, příp. dlších vět z teorie. Řešeí příkldů: ) ; b) ; c) 0 ; d). ) diverguje ; b) koverguje ; c) koverguje ; d) diverguje ; e) koverguje. Dlší zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské mtemtiky. 6. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách I.. vyd. Prh: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská mtemtik v úlohách II.. vyd. Prh: Prometheus, REKTORYS, K. spol. Přehled užité mtemtiky. 6. přepr. vyd. Prh: Prometheus, 995. ZÁVĚR: