Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)"

Transkript

1 Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor a, který je roven lineární kombinaci α u + β v + γ w.. u = 4,,, v = 5,,, w =,,, α =, β =, γ = Najděte vektor, který vyhovuje zadané rovnici u = u + 6v, kde u =,,,, v =,,, 5 Vypočítejte skalární součin zadaných vektorů. Návod: Užijte formuli u v = u v u n v n. 5. u =,,, v = 4,, Vypočítejte, jaký úhel svírají zadané vektory. Návod: Užijte formuli cos ϑ = u v/ u v.. u =,, v =, Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule. 5. u =, α +, v =, + α V následujících příkladech jsou dány vektory z VIE až VIE 4. Zjistěte a zda jsou tyto vektory lineárně závislé nebo lineárně nezávislé, b jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován a c které vektory tvoří bázi tohoto vektorového prostoru. Rozmyslete si skutečnost, že otázku b by bylo možné také formulovat takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky nebo sloupce jsou tvořeny danými vektory? 4. u =,, v =, 4. u =,, v =, 44. u =, 4,, v =,, 45. u =, 5,, v =, 5, 5. =, 5, y =,, z = 5, 5 5. =,,, y =,,, z =, 9, 8 5. =,,,, y =,, 5,, z = 4, 6, 5, V následujících příkladech jsou dány vektory z VIE až VIE 4, v jejichž souřadnicích se vyskytují parametry. Zjistěte a pro které hodnoty parametrů jsou tyto vektory lineárně závislé a b jaká je v těchto případech dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován. Návod: Utvořte matici, jejíž řádky jsou tvořeny zadanými vektory. V závislosti na vyskytujících se parametrech vyšetřete hodnost matice. 68. a =,,, b =,,, c = α,, α +, d = α, α, 69. u = k,,, v =, k,, w =,, k 7. u =,, a, v =, a, a, w =,, Vyjádřete vektory a, b jako lineární kombinaci vektorů u, v respektive u, v, w pokud to jde. Je vyjádření jednoznačné? Návod: Vektor a hledejte ve tvaru a = αu + βv. Rozepište toto vyjádření do souřadnic. Obdržíte soustavu rovnic pro neznámé α a β. 7. a =,, 5, b = 5, 6, 7, u =,,, v =,,, w = 5,, 8

2 a Tvoří následující vektory bázi vektorového prostoru V? b Jaká je dimenze vektorového prostoru, který je danými vektory generován? Rozmyslete si skutečnost, že otázku b by bylo možné formulovat také takto: Jaká je hodnost matice, jejíž řádky nebo sloupce jsou tvořeny danými vektory? 79. V = VIE, a =, 7,, b = 5,, V následujících příkladech je zadán vektorový prostor V a jeho podmnožina V. Rozhodněte, zda V je podprostorem vektorového prostoru V. 85. V = VIE, V = {a, b, c; a, b, c IR, a + b = } 9. V = VIE 4, V = {u, v, w, ; u, v, w, IR, u v + w } V následujících příkladech je V množinou, jejímiž prvky jsou funkce definované na intervalu I. Součet f +g libovolných dvou funkcí f a g z V je definován takto: f +g = f+g pro I. Součin λ f libovolného reálného čísla λ a libovolné funkce f z V je definován takto: λ f = λ f pro I. Ověřte, zda množina V spolu s uvedenými operacemi je vektorovým prostorem. 9. I =, +, V je množina všech funkcí, které mají tvar α sin + β cos + γ kde α, β, γ IR. 94. I =, +, V je množina všech funkcí, které mají tvar α + β + γ kde α, β, γ IR. I.. Matice, determinanty Vypočítejte matici A B.,,, 4,, 9. A =, B =,,,. A =, B =,,, 5, 5,,,,, 4,,,,,,. A =, B =. A =,,, B =,, 4,,,,,,,,, Proveďte naznačené operace., 7. 4.,,,,,,, T,, V následujících příkladech vypočítejte matici A B B A.,, 4,,,,. A =,,, B = 4,,. A =,,, B =,,,,,, Nalezněte, y IR taková, aby platila rovnice T,, 9. = 4. y + 6, 4, + y, =, y [,,,,,, 4, 5,, ]T, Určete hodnost zadané matice. Je-li matice čtvercová, rozhodněte, zda je regulární či singulární.,,,,,,, 4.,, 48., 6, 9, 4, 4, 49., 9, 5,, 7, 7 4, 8,, 5,, K zadaným maticím spočítejte inverzní matice pokud eistují.

3 6. 68.,, 6.,,,, 7.,,,,,, 66.,,,,,, 7.,,,,,,, 4, 5 cos, sin sin, cos Nalezněte matici X, pro kterou platí,,,, 74. X,, = 4,,, 75. X =,,,,, A =,,,,, B =. Určete matici X, pro kterou platí A X = A B,,. 77. Řešte maticovou rovnici A X B = C, kde A = 78. Je dána matice A =, +, y, + y,. z, + z,,, B = 5,,,, C =.,, Pro jaká, y, z R je matice A regulární? Vypočítejte A pro =, y =, z =. Vypočítejte následující determinanty. 8. cos, sin, 5, sin, cos 85., 7, 4,, 4 a, a, a 9. a, a, a, a,.,,,,,, a, b,,,,, I.4. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic Najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory těchto matic ,, 6., 4 5,,,,, 4.,, 7., a a,,, 4,, 44. 4, 8, 5, 6, 8.,,,,, 5, 6 4, 6, 9, 6, 8 V následujících příkladech předpokládáme, že A je čtvercová matice typu, jejímiž prvky jsou reálná čísla. Rozhodněte, zda je možné, aby matice A měla uvedená vlastní čísla a případně též uvedené odpovídající vlastní vektory. 45. vlastní čísla:,, + i 46. vlastní čísla:, + i, i, vlastní vektory:, + i, i Vypočítejte inverzní matici k matici A a najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory inverzní matice A. Porovnejte výsledky s vlastními čísly a vlastními vektory matice A. 5, 6,,, 4, 5 5. A = 5. A = 5. A = 5. A =,,, 5, 5,,,

4 K zadané čtvercové matici A vypočítejte matici A a najděte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matice A. Porovnejte výsledky s vlastními čísly a vlastními vektory matice A.,,,,, 55. A = 56. A = 57. A = 58. A = 5,,,,,,, I.5. Soustavy lineárních algebraických rovnic Pomocí Frobeniovy věty rozhodněte, zda následující soustavy rovnic mají řešení a jaký je jejich počet. 7. y = y = 4 5y = y + z = 9 + 5y + 4z = 5 + y + 6z = y = 5 + 4y + z = 7 + y + 5z = Pomocí Frobeniovy věty vyšetřete, kolik řešení mají v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů následující soustavy. 78. a + y + z = + ay + z = + y + az = 8. a y = a y = 8. y + z + u = + y z + 4u = + 7y 4z + u = λ Ověřte, zda je možné použít při řešení následujících soustav rovnic Cramerovo pravidlo. V kladném případě soustavu pomocí tohoto pravidla řešte. Návod: Cramerovo pravidlo lze použít, je-li matice soustavy regulární. 87. y + z = + y z = 7 4y z = 88. y + z = + y z = + y + z = y z = + y + z = + y + z = Vyšetřete, jaká je v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů dimenze vektorového prostoru všech řešení následujících homogenních soustav lineárních algebraických rovnic.. + y z = y + z = λ + y 4z =. 4 + y z = + y + z = λ + y λz = Řešte Gaussovou eliminační metodou homogenní soustavy lineárních algebraických rovnic. 8. y + z = + y 5z = + y z = = + 4 = = = = = = + 4 =. + + = + = = = = + 4 = = = Řešte eliminační metodou následující nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic y + z = 4 + y z = + y + z = 8. + y + z = 5 y z = + y + 4z = = 7 = 7 + = + 4 = 6

5 = 4 = + 4 = = = = + 4 = = Řešte následující soustavy lineárních algebraických rovnic s parametry. 48. a + y + z = 4 + y + z = + 4y + z = a y + z = ay + z = y + az = 5. α + y + z = α + + αy + z = + y + αz = Kolik řešení v závislosti na hodnotách vyskytujících se parametrů mají následující soustavy lineárních algebraických rovnic? Pro zadané hodnoty parametrů soustavy vyřešte. Návod: Užijte Frobeniovu větu. 59. a + a + y + z = a y + z = + y + z = [ a = ] 6. + y + z = 5 + y + z = k y z = [ k = 5 ] 69. Určete všechny hodnoty parametru λ, pro něž má soustava A X = O nenulové řešení a λ, 4, 7 vypočítejte toto řešení. Matice A má tvar: A =, 4, 5, λ, 4 Návod: Hledané hodnoty λ jsou ty hodnoty, pro které je matice A singulární a její determinant je tudíž roven nule. 7. Cramerovým pravidlem řešte soustavu + y z = 4 4y z = 8 9z =. III. DIFERENCIÁLNÍ POČET III.. Posloupnosti reálných čísel O následujících posloupnostech rozhodněte, zda jsou rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající, monotnní, ryze monotnní, omezené zdola, omezené shora, omezené, neomezené. Předpokládáme, že n =,,,... { 575. } { + n n } { n } { + n } Vypočítejte následující limity. 59. lim + n 599. lim 6. lim 5n n + 5n 4n + n 58. n + { n n lim } n n + 5 n n lim 58. n + { n + 5 } n lim n + + n n + n n 4n + n n lim n n + n 5 n n + n + n +

6 69. lim n + n 6. lim n + n lim n nn n 6. lim n n + n 6. lim 5 + 8n n 69. lim 67. lim 64. lim 65. lim + sin n n + n +! + n +! n +! n + 4! n +! n +! 68. lim n + cos n! n lim 654. lim n 9n lim n! + n +! n! + n +! n + n 4 n arctg n n + III.. Funkce základní pojmy a vlastnosti Stanovte definiční obory následujících funkcí. Návod: Pokud definiční obor není eplicitně zadán, je jím množina všech, pro která má výraz, jímž je funkce definovaná, smysl y = 66. y = ln y = arcsin y = ln y = 668. y = ln Jsou dány funkce f a f. Sestavte složené funkce g = f f a h = f f f =, f = sin 675. f = ln +, f = f = + 5, f = sin f = cos +, f = + Které z následujících funkcí jsou sudé a které liché? 687. y = + cos 694. y = y = cos + cos Které z následujících funkcí jsou periodické a s jakou periodou? 698. y = sin + cos 74. y = y = cos / Na základě znalosti grafů elementárních funkcí nakreslete grafy následujících funkcí. 79. y = sin 78. y = arcsin 5 7. y = y = + 7. y = ln 74. y = ln 5 III.. Limita a spojitost funkce Je dána funkce f a kladné číslo ε. Vypočítejte hodnotu L limity lim + f a najděte reálné číslo a takové, že pro všechna a, + je f U ε L. Návod: Užijte definici limity funkce f = +, ε = f = 5 + e, ε =. Vypočítejte následující limity pokud eistují. 79. lim lim lim lim + + / 87. lim lim + 6

7 87. lim tg lim + sin lim + arcsin 88. lim + e e sin sin cos arctg 89. lim 84. lim 86. lim + sin 866. lim lim + e 864. lim arctg 869. lim e + ln cos 89. lim Vypočítejte následující jednostranné limity. 9. lim lim ln 99. lim Limity, které jsou uvedené v následujících příkladech, neeistují. Zdůvodněte, proč tomu tak je. 9. lim 94. lim sin 96. lim + V jakých maimálních intervalech jsou následující funkce spojité? 99. y = y = y = y = e + / 99. y = ln 94. y = e III.4. Derivace funkce a její geometrický i fyzikální význam Vypočítejte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká je derivace definovaná. a Polynomy, racionální funkce, jejich mocniny a odmocniny. 96. y = y = y = y = y = y = b Goniometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 99. y = sin 99. y = cos 99. y = sin y = sin + +. y = tg. y = + + sin c Cyklometrické funkce a pomocí nich vytvořené složené funkce. 8. y = arcsin + 9. y = arccos + 6. y = arctg d Eponenciální a logaritmické funkce a složené funkce, které jsou z nich vytvořené. 7. y = e 8. y = e 5 +. y = e. y = e y = ln y = ln + + e Různé další funkce. 47. y = ln y = e + 5. y = arcsin + Najděte derivaci dané funkce f a nakreslete graf funkce f i její derivace f. Návod: Uvědomte si, že = pro >, = pro < a funkce nemá derivaci v bodě =. 7

8 55. f = 56. f = ln 57. f = Vypočítejte f + a f. Návod: Pokud eistuje limita zprava lim + f, má funkce f v bodě derivaci zprava f + rovnou této limitě. Stejné tvrzení platí o derivaci zleva. 58. f =, = 6. f = 4, = 4 Vypočítejte druhé derivace následujících funkcí. Určete, pro jaká je druhá derivace definovaná. Návod: f je rovno derivaci funkce f, tj. derivaci první derivace funkce f. 66. y = y = cotg 7. y = + Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě [, f ]. Návod: Rovnice tečny: y y = k, kde y = f a k = f. Rovnice normály: y y = /k. 9. f = e +, =. f = sin, = π 8. Ve kterém bodě paraboly y = + 4 je její tečna rovnoběžná s osou? Návod: Najděte bod ve kterém je derivace funkce + 4 rovna nule. Dopočítejte y z rovnice paraboly. 9. Ve kterém bodě paraboly y = +5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu? Návod: Osou prvního kvadrantu je přímka y =, která má směrnici k =. Najděte bod, ve kterém má funkce + 5 derivaci k =. Dopočítejte y z rovnice paraboly. 5. Pro jaká Df eistuje tečna ke grafu funkce f = ln + v bodě [, f ]? Eistuje tečna rovnoběžná s osou? Najděte rovnici tečny v bodě [, f ] pro = 5. III.5. Užití derivace, průběh funkce Najděte intervaly, ve kterých je daná funkce ryze monotnní. Určete také, je-li zde rostoucí nebo klesající. Návod: O tom, kde je funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte podle znaménka první derivace. 44. f = f = f = e 48. f = 5. f = f = ln Určete definiční obor funkce f, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech intervalů tvořících definiční obor a určete intervaly, kde je funkce f rostoucí nebo klesající. Načrtněte graf funkce f. 6. f = e 6. f = / Rozhodněte, zda funkce f má na intervalu I maimum a minimum. V kladném případě najděte hodnotu těchto etrémů a zjistěte, ve kterých bodech jich funkce f nabývá. 64. f = 4 + 5, I =, 69. f = 5 4, I =, 74. f = + 6 6, I =, f = 4 4, I =, f = +, I =, 79. f = ln 6 +, I =, 6 Najděte lokální i globální etrémy následujících funkcí na jejich definičních oborech. 4. y = ln 9. y = ln 8. y = +

9 4. y = 9 7. y = y = + 4. Je dána funkce f = + e. Vyšetřete její definiční obor, vypočítejte jednostranné limity v krajních bodech definičního oboru a vyšetřete lokální etrémy. Vyšetřete, na jakých maimálních intervalech jsou následující funkce konvení a konkávní a určete jejich inflení body. Návod: O tom, kde je funkce konvení nebo konkávní, rozhodněte pomocí znaménka druhé derivace. 55. y = y = y = + 6. y = ln + 6. y = ln y = arctg Vyšetřete, zda a jaké asymptoty mají následující funkce. 67. y = y = 7. y = y = + 7. y = + arctg 75. y = + ln Vyšetřete průběh následujících funkcí. 77. y = y = 79. y = e 8. y = y = 4 9. y = + e / 9. y = 95. y = + 8. y = e 7. y = arccos + 9. y = ln 4. y = + arccotg III.6. Taylorova věta Sestavte Taylorův polynom n tého stupně funkce f v bodě. Napište, jak lze vyjádřit zbytek po n tém členu.. f = e, n = 5, =. f = e, n = 5, =. f = e, n = 4, = 7. f = sin, n = 7, = 46. f = ln +, n = 7, = 5. f =, n = 4, = 5. f = +, n =, = 54. f =, n = 4, = Vypočítejte přibližně s přesností ε tj. s chybou nepřevyšující ε následující hodnoty. Návod: Máme vypočítat přibližně hodnotu funkce f v bodě, který se nachází,,blízko jiného bodu, ve kterém je hodnota f známá. Stanovte n tak velké, aby zbytek R n+ byl menší nebo roven ε na nějakém intervalu, obsahujícím. Poté hodnotu f vyjádřete přibližně Taylorovým polynomem T n. 6. /e, ε = 6. cos 5 o, ε = 65. ln., ε = 76. Určete Taylorův polynom T funkce f = + v bodě =. Pomocí Lagrangeova tvaru zbytku odhadněte shora výraz f T. 9

10 IV. NEURČITÝ INTEGRÁL IV.. Základní vlastnosti neurčitých integrálů, tabulkové integrály Pomocí tabulkových integrálů vypočítejte: d 45. d 45. d 454. d 455. d 458. u du d 46., +,8 5,8 d d 464. d d 47. d 47. cos 474. cos sin d 475. sin d IV.. Integrace metodou per partes cos + cos d d Metodou per partes vypočítejte: 48. e d arctg d n ln d, n e sin d 56. ln d 48. cos d ; 486. arctg d 5. e 7 cos 5 d 5. sin d e d arcsin t dt + e d IV.. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů Užitím substituční metody vypočítejte následující integrály: e 54. d 55. d e d d 5. ln 5. cos sin d 54. d d 555. e d d 58. d arcsin sin 65. d 6. d 65. ecos d 666. ln cos cos d 688. cotg d cos sin d cos d + d 4 d + d 5 e d

11 IV.4. Integrace racionálních funkcí Vypočítejte neurčité integrály: 7. 8 d 7. 4 d 74. d Pomocí rozkladu na parciální zlomky vypočítejte následující neurčité integrály: u u du 7. + u d d d d d d d d d + d + 5 d IV.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin Vypočítejte následující neurčité integrály goniometrických funkcí. 84. sin 7 d 85. sin d 8. sin cos 5 d 8. sin cos 5 d 88. sin d 8. sin cos d sin 4 5 d 858. sin d 87. sin + cos + cos d sin sin d cos cos d 87. cos sin 4 d IV.6. Integrály typu R a + b, S c + d d. Vypočítejte neurčité integrály: d d d + d d

12 V. URČITÝ RIEMANNŮV INTEGRÁL V.. Základní vlastnosti určitých integrálů, Newtonova Leibnizova formule Pomocí tabulky neurčitých integrálů a Newtonovy Leibnizovy formule vypočítejte následující určité integrály: π/4 e + 5 d 986. cos d 99. d. a 8 a d 989. d 99. π d sin d d d V.. Výpočet určitého integrálu substituční metodou a metodou per partes. Užitím substituční metody a metody integrace per partes vypočítejte následující určité integrály: d. + d 7. + π/ sin t cos t dt. + e ln d 5. d 9. arcsin d 44. π e sin d. + ln d. arctg z + z dz. e d 6. 4 ln d 4. e / d 5 ln + d t 5 + 4t dt ln e d π/ arctg d sin d V.. Nevlastní Riemannův integrál Ověřte, zda následující nevlastní integrály konvergují, a pokud ano, určete jejich hodnoty. 5. e ln d 5. 4 d d d d ln d d 6. π/ tg d V.4. Některé geometrické aplikace určitého integrálu Určete obsahy P křivočarých lichoběžníků ohraničených osou a křivkami o rovnicích: 67. y =, =, = 68. y = 4, =, = 6

13 Určete obsahy rovinných obrazců ohraničených křivkami o rovnicích: 69. y =, y = 7. y =, y = 74. Vypočítejte objem tělesa vzniklého rotací kuželosečky o rovnici 4 + 9y 6 = a kolem osy, b kolem osy y. 75. Určete objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y = 8, y = a kolem osy, b kolem osy y. Určete délku oblouku křivky, která je grafem zadané funkce. Návod: Užijte vzorec l = b a [f ] + d. 77. y = pro, 8 V.5. Další příklady Načrtněte obrazec, který je ohraničen danými křivkami a vypočítejte jeho obsah.. y =, y =. y =, y = /. y = e, y = e, y = e 4. y = +, y = 5. Vypočítejte ové souřadnice průsečíků grafů daných funkcí f a g, resp. f a h, resp. g a h: f = /8, g = 8/, h = 8/. Načrtněte obrázek a určete obsah obrazce, který je omezen grafy těchto tří funkcí. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací dané křivky kolem osy. Načrtněte obrazec, který je ohraničen danou křivkou a osou. 6. y = sin,, π/ 7. y =,, 8. y = e,, 9. y =,, π/4 cos. y = sin + cos,, π/. Určete objem tělesa vzniklého rotací obrazce ohraničeného křivkami o rovnicích y =, y = / kolem osy. Určete délky oblouků křivek, které jsou grafy daných funkcí.. y = ln 4 pro, 4. y = pro, 4 Určete střední hodnotu funkce na daném intervalu, tj. hodnotu µf = b a 4. f = sin,, π 5. f = sin,, π b a f d.

14 VÝSLEDKY I.. Vektory, vektorové prostory. a = 7,, 8. =,,, o 5. α =, 4. LN, ; u, v 4. LZ, ; např. u 44. LN, ; u, v 45. LZ, ; např. u 5. LZ, ; např. 5. LZ, ; např., y 5. LN, ;, y, z 68. pro všechna α; dim = pro α =, dim = pro α 69. k =,, ; dim = 7. a =, ; dim = 7. např. a = u + v, vyjádření není jednoznačné, b vyjádřit nelze 79. ne, 85. ano 9. ne 9. ano 94. ano I.. Matice, determinanty, 6,, 5,, 9.., 4, 7..,, 5, 7., 9, 5,, 5,,,, 4, 7 4, 4, 4 6, 4.. 6, 4, 4. 4,, 9. = 4, y = 4. = 4, y =, 5 5, 5, 4, 4, 4,,, 4., regulární 48., singulární 49., singulární 6. 6.,,,.5 9,,,,,, 4,,, neeistuje 68., 5, 7.,,,,, 7., 9,, 4, 6, 4,,, 4,,,, 74. 4, 5,.5,.5 5, 9 8, ,.5.5, 4.5 9, 5,,.5,, y, z, y z,.5,,.5.5,,.5 8. cos a a +. a b I.4. Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercových matic 5. λ =, X = α, λ =, X = β 4 6. λ = 7, X = α, λ =, X = β 5 7. λ = ai, X = α, λ i = ai, X = β i 8. λ =, X = α + β, α, β C, α + β = 4. λ =, X = α β, λ =, X = α γ γ, α, β C, α, β, α, β C, α, β, α, β C, α, β, α, β, γ C, α + β =, γ 4

15 4. λ =, X = α, λ =, X = β 6, α, β C, α, β 44. λ =, X = α, α C, α 45. ne 46. ne p q, X p =, p, q C, p, q q 5. A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X = /, / A =, vl. čísla η = /λ = /,, vl. vektory X /, / η = /λ =,, X 5. A: vl. čísla λ = 7, p 4q vl. vektory X λ =, =, X p = 5q /4, 4/4 A =, vl. čísla η = /λ = /7, vl. vektory X 5/4, /4 η = /λ = /,, X 5. A: vl. čísla λ = i 5, λ = i 5,, /5 A = /5, p pi vl. vektory X =, vl. čísla η = /λ = i/5, η = /λ = i/5,, X =, p, q C, p, q q qi, p, q C, p, q vl. vektory X, X λ 5. A: vl. č. =, λ, = ± vl. vektory X, = p p, X, = ± q ± q, p, q q /,, / A = η, /, /, vl. čísla = /λ = / η /,, /, = /λ, = / ±,, vl. vektory X, X, p q, X p =, p, q C, p, q q 55. A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X = 5, 4 A =, vl. čísla η = λ = 9, 4, A: vl. čísla λ =, λ =,, vl. vektory X =, A =, vl. čísla η = λ =, 9, 4 η = λ =,, vl. vektory X, X p, X p = q η = λ = 4,, vl. vektory X, X 57. A: vl. čísla λ = i, p q λ = i,, vl. vektory X =, X pi = qi 4, A =, vl. číslo η = λ, 4 = λ = 4, vl. vektory X, X 58. A: vl. číslo λ =, vl. vektory X = p, p C, p p p,, A = 8, 4, 5, vl. číslo η = λ =, vl. vektory X,,, p, q C, p, q, p, q C, p, q I.5. Soustavy lineárních algebraických rovnic 7. ano 75. ano, 76. ano, 78. a,... řešení, a =... řešení, a =... řešení 8. a... řešení, a =... řešení, 8. λ 5... řešení, λ = 5... řešení 87. ne 88. ano, =, y =, z = ne. pro λ =, pro λ. pro λ =, pro λ 8. =, y =, z = 9. =, =, =, 4 = 5

16 . = p, = p, = 7p, p IR 6. =, =, =, 4 = 7. = 5p + q, = q, = p, 4 = 6p, p, q IR 4. řešení neeistuje 8. =, y =, z =. = p, = p, = 7p, p IR 7. =, y =, z = 5, v = 4 8. = 8, = 6, =, 4 = 48. pro a = řešení neeistuje, pro a je = a, y =, z = 4a 7 a 49. pro a = řešení neeistuje, pro a = je = 6p + 4, y = p +, z = p, p IR, pro a, a je = y = z = /a 5. pro α = řešení neeistuje, pro α = je = p + 4, y = p, z = p, p IR, pro α, α je = α/ α, y =, z = / α 59. pro a = 5 řešení neeistuje, pro a 5 eistuje jediné řešení, pro a = je =, y =, z = 6. pro k 5 řešení neeistuje, pro k = 5 eistuje nekonečně mnoho řešení: = p +, y = 7p +, z = 5p, p IR 69. λ =... 6p 7p 4p, λ =... III.. Posloupnosti reálných čísel q q q, p q 7. = 45 6, y = 6, z 4 6 rost. kles. nerost. nekles. mon. ryze zdola shora omez. neomez. mon. omez. omez e / III.. Funkce základní pojmy a vlastnosti 657., 4, + 66., 5 66., ,, ,,, , 5/ + 5/, g = sin, h = sin 675. g = ln 5 +, h = 5 ln g = sin sin +, h = sin g = cos +, h = cos, lichá 694. lichá 695. sudá 698. ano, π 74. ne 77. ano, π supremum infimum maimum minimum shora zdola omez. omez. omez. 79. ano ano ano 78. π/ π/ π/ π/ ano ano ano 7. + neeistuje ne ano ne neeistuje ne ano ne 7. + neeistuje neeistuje ne ne ne neeistuje neeistuje ne ne ne 6

17 III.. Limita a spojitost funkce 767. L =, např. a = 768. L =, např. a = ln π/ 865. π/ e limita zleva je různá od limity zprava zvolíme-li například n = π/ + πn, je n +, ale lim sin n neeistuje, protože sin n = n 96. limita zleva je různá od limity zprava + 99.,,, + 9.,,, + 9.,,,,, + 97.,,, + 99.,,, + 94.,,, + III.4. Derivace funkce a její geometrický i fyzikální význam ,, ,, ,, ,, 5 5, ,, / ,,, cos,, sin,, sin6 cos6,, cos + + +,, +. tg + cos, π/ + kπ, +π/ + kπ, k celé + cos. + + sin,, +, kde je řešení rovnice + + sin = 8. +,, 9.,, ,, + 7. e,, + 8. e 5 +,, +. e/,, +. e 5 + e 5 +,, + 7.,, ,, ,, e e +,, + 5. sgn,,, f = sgn, 56. f = /, 57. f = sgn,, f + =, f = 6. f +4 = 4, f 4 = /,, + cos 68. sin, kπ, k celé 7. 4, 9. y =, =. y = π π, y = π/π 8. [, 4 ] 9. [, 7 4 ] 5. tečna eistuje pro >, tečna rovnoběžná s osou je v bod [, f ], rovnice tečny v bodě [ 5, f 5 ] je y ln / 5 = 5/6 5 7

18 III.5. Užití derivace, průběh funkce 44. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, 45. f je rostoucí na, a na, +, klesající na,,,,, 46. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, 48. f je rostoucí na,, klesající na, a na, + 5. f je klesající na, a na, +, rostoucí na, 56. f je rostoucí na, a na, +, klesající na, a na, 6. Df =,,, +, lim f =, lim f = + lim + f =, lim f =, lim + f = +, lim + f = + f je rostoucí na,,, a na +, +, klesající na, a na, + 6. Df =, +, lim + f =, lim + f = f je rostoucí na, e, klesající na e, ma I f = f = f =, min I f = f = f = ma I f = f =, min I f = f = 74. ma I f = f4 = 4, min I f = f = ma I f = f =, min I f = f = 77. ma I f = f = 4, min I f = f = 79. ma I f neeistuje, min I f = f6 = ln 6 4. absolutní minimum y = ln v bodě = 9. absolutní maimum y = /e v bodě = e. lokální minimum y = v bodě =, lokální maimum y = v bodě =. lokální minimum y = v bodě =, lokální maimum y = v bodě = 7. absolutní minimum y = v bodě =, absolutní maimum y = v bodě = 8. absolutní minimum y = v bodě = 4. Df =, +, lim f =, lim + f = +, f nemá lokální etrémy 55. konkávní na, a na,, konvení na, a na, +, inflení body,, 56. konkávní na, a na,, konvení na, a na, +, inflení body,, 59. konvení na, + 6. konvení na,, konkávní na, a na, +, inflení body ± 6. konvení na,, konkávní na, konvení na, šikmá asymptota y = pro i pro +, svislé asymptoty =, = 68. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 7. šikmé asymptoty y = π/ pro a y = + π/ pro + 7. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 74. šikmá asymptota y = pro i pro +, svislá asymptota = 75. šikmá asymptota y = pro +, svislá asymptota = 77. Df =,,, +, f je spojitá na,,, a na, +, f je sudá, lim f =, lim f =, lim + f = +, lim + f = +, lim ++ f =, lim + f =, f = 4 pro Df, 8

19 f je klesající na, a na,, rostoucí na, a na, +, f má lokální minimum y = 4 v bodě =, f = pro Df, f je konkávní na, a na, +, konvení na,, f má asymptotu y = pro a pro + a svislé asymptoty = a =. 78. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = +, lim + f =, f = pro,, +, f je klesající na, a na 8 7, +, rostoucí na, 8 7, f má lokální minimum y = v bodě = a lokální maimum y = 4 7 v bodě = 8 7, f = 9 pro,, +, 4 f je konkávní na, a na, +, f nemá asymptoty 79. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = lim + f =, f = e pro Df, f je rostoucí na, a klesající na, +, f má absolutní maimum y = v bodě =, f = + 4 e pro Df, f je konvení na, / a na /, +, konkávní na /, /, f má asymptotu y = pro a pro + 8. Df =, +, f je spojitá na, +, sudá, lim f = lim + f =, f = pro Df, f je rostoucí na, a na,, klesající na, a na, +, f má absolutní maimum y =.5 v bodech = ±, lokální minimum y = v bodě =, graf protíná osu v bodech ± +, f = 6 pro Df, f je konkávní na, / a na /, +, konvení na /, /, f nemá asymptoty 8. Df =, +, f je spojitá na, +, sudá, lim f = lim + f = +, f = 4 4 pro Df, f je klesající na, a na,, rostoucí na, a na, +, f má absolutní minimum y = v bodech = ±, lokální maimum y = v bodě =, graf protíná osu v bodech ± a dotýká se jí v bodě =, f = 4 pro Df, f je konvení na, / a na /, +, konkávní na /, /, f nemá asymptoty 9. Df =,, +, f je spojitá na, a na, +, f =, lim f =, lim f = +, lim f = +, lim f / + = e + pro,, +, + f je rostoucí na, a na, +, klesající na, a na,, f má lokální maimum y = e v bodě =, lokální minimum y = 4 e v bodě = f / 5 + = e pro,, +, 4 f je konkávní na, 5, konvení na 5, a na, +, f má svislou asymptotu = a šikmou asymptotu y = + pro a pro + 9. Df =, +, f je spojitá na, +, f =, lim + f = +, f = pro, +, f je rostoucí na, +, klesající na,, f má absolutní minimum y = v bodě =, 9

20 f + = 4 pro, +, f je konvení na, +, f nemá asymptoty 95. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f =, lim + f =, f + = + pro, +, + f je rostoucí na.5, +, klesající na,.5, f má absolutní minimum y = 5/ 5 v bodě =.5, f = 4 + pro, +, + 5/ f je konkávní na, + 4/8 a na + 4/8, +, konvení na + 4/8, + 4/8, f má asymptotu y = pro a y = pro + 8. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = lim + f =, f = e pro, +, f je rostoucí na,, klesající na, +, f má absolutní maimum y = e v bodě =, f = e 4 + pro, +, f je konkávní na /, + /, konvení na, /, + /, +, f má asymptotu y = pro a pro + 7. Df =, +, f je spojitá na, +, lim f = f = sgn + pro,, +, f je klesající na,, rostoucí na, +, f má absolutní minimum y = v bodě =, f 4 sgn = + pro,, +, f je konkávní na,, konvení na, +, f má asymptotu y = π pro a pro + lim f = π, + 9. Df =,, f je spojitá na,, sudá, lim f = lim f =, + + f = 4 pro,, f je rostoucí na,, klesající na,, f má absolutní maimum y = ln 4 v bodě =, f 8 = 4 pro,, f je konkávní na,, f má svislé asymptoty = a =. Df =, +, f je spojitá na, +, lichá, lim f =, lim f = +, f = + + pro, +, f je rostoucí na, +, f = + pro, +, f je konkávní na,, konvení na, +, f má asymptotu y = + π/ pro a y = pro + III.6. Taylorova věta. T 5 = +! !, R 6 = eξ 6 6!. T 5 = e + e e ! 5! 5, R 6 = eξ 6 6!

21 . T 4 = + + +!! 7. T 7 =! + 5 5! 7 7!, R 8 = sin ξ 8 8! + 4 ln 5, R 5 = ξ 5 4! 5! 46. T 7 = , R 8 = 8 ξ T 4 = , R 5 = 7 56 ξ 9/ 5 5. T = , R = 8 ξ + 7/ 54. T 4 = + + 4, R 5 = 5 /ξ 6 6. e = + +! +! + 4 4! + 5 5! + 6 = 65 6! = 7 = cos 5 o = = π! =π/6 59 = ln. = ln + =. = + =.86 =. 76. T = + 9, f T 5 8 IV.. Tabulkové integrály, základní vlastnosti neurčitých integrálů C,, C C C C,, u u + C C 46., + 5,, 6,8 + C,, ln + C , ln, 5 + C 4 + C,, ln C 468. ln + C 474. C cotg tg 475. sin + C tg + + C, k π, k + π, k je celé číslo IV.. Integrace metodou per partes 48. e + C ln + C,, sin cos + C 484. [ + arctg ] + C 485. sin + cos + C 486. e + + C n n + ln n + + C,, arctg ln + + C 5. t arcsin t + t arcsin t t + C, t, 54. e sin e cos + C e 7 7 cos sin C, při integraci volte u = e 7 5. e C 74 IV.. Substituční metoda výpočtu neurčitých integrálů 54. ln +C 55. ln + e +C 56. ln sin +C, kπ, k+π, k je celé číslo C C 5. sin + C 5. C 6 5 cos5 54. ln + C,, C sin 546. ln C [ 555. C e 57. ln + ] + C,,,, C 4 4 ln,,,, arctg +C

22 [ ln 5 ] + C,,,, + arcsin ln + C,, 6. e cos + C 65. ln + + C,, ln C 666. tg lncos + tg + C, π + kπ, π + kπ, k je celé číslo 688. C e IV.4. Integrace racionálních funkcí 8 7. ln + C,,,, ln + + C u C,,,, + 7. ln + C u ln 6 ln 7. + C 6 ln 4 ln C,,,, 4, 4, ln C,,,,,, + 8 ln C,, 5 5,,,,, ln + C 75. arctg + ln + ln + C,,,, ln + + C,,,, arctg + C 76. ln + + arctg + C ln + + C,,,,,, ln + arctg + C,,,, + IV.5. Integrace goniometrických funkcí a jejich mocnin 84. cos cos cos5 5 cos6 6 sin + cos cos cos + C 85. cos + C +C 8. cos6 sin +C 88. +C sin + + C 6 tg/ + 4 arctg5 + C, π + kπ, π + kπ, k je celé číslo tg 864. ln 4 cotg + C, kπ, k + π, k je celé číslo 865. ln sin + cos + C, π 4 + kπ, π 4 + kπ, k je celé číslo 87. sin 5 + sin cos 6 cos + C C 4 4 sin 8 +C

23 IV.6. Integrály typu R a + b, S c + d d arctg 4 + C,, C,, ln C,,,, ln C ln 8 + C,,,, + + V.. Základní vlastnosti určitých integrálů, Newtonova Leibnizova formule 985. / a 4 / / / /5. 7/6 V.. Výpočet určitého integrálu substituční metodou a metodou per partes. ln /. π. 5. π/ /6 4. 8/. π /. ln /. ln 4/ 5. π/6 6. π/ 8. / 9. ln /4 4. / 4. π/ 44. e e V.. Nevlastní Riemannův integrál 5. diverguje / 56. /8 57. ln π 6. diverguje V.4. Některé geometrické aplikace určitého integrálu 67. / 68. Součet obsahů obou částí: 76/ 69. / 7. Součet obsahů obou částí: / 74. a V = π 4/99 d = 6π, b V y = π 9/44 y dy = 4π 75. a V = 9, 6π, b V y = 4, 8π V.5. Další příklady. /. / ln. 4. π / 5. 8 ln π /4 7. 9π 8. e π/ 9. π. π + π /. 8π/. 6 + ln /4. 8 /

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. www.muvs.cvut.cz Evropský

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Ukázka závěrečného testu

Ukázka závěrečného testu Okruhy otázek pro závěrečný test ) Vlastnosti funkce ) Graf funkce ) Definiční obor funkce ) imita funkce ) Derivace funkce 6) Užití derivace 7) Matice 8) Řešení soustavy lineárních rovnic 9) Určitý integrál

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ

MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ MATEMATICKÁ ANALÝZA STUDIJNÍ OPORA PRO KOMBINOVANÉ STUDIUM MATEMATICKÁ ANALÝZA RNDr. Vladimíra MÁDROVÁ, CSc., RNDr. Vratislava MOŠOVÁ, CSc., Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., 8 Moravská vysoká škola

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a

MATEMATIKA B. Lineární algebra I. Cíl: Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a MATEMATIKA B metodický list č. 1 Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači se seznámí

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

1. Písemka skupina A...

1. Písemka skupina A... . Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8

Více

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1

Soubor příkladů z Matematické analýzy 1 (M1100) 1 Soubor příkladů z Matematické analýzy (M00). Opakování. Upravte následující výrazy: 3 3 +3 3 3 6+ (+) 3 [ a+b a b ] ( b ) (a a b a+b b a b a b ) (a b) 3 [(a b) 4 (a+b) 5 ] 6 3 a 4 a 3 a 3 aa 3 (f) 3 +

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19 Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

Úvod, základní pojmy, funkce

Úvod, základní pojmy, funkce Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,

Více

Kapitola 1. Léto 2011

Kapitola 1. Léto 2011 Kapitola 1 Léto 2011 1 Písemná část zkoušky z Matematiky (LDF, 25.5.2011) 60 minut Jméno:................................. 1. [11 bodů] Vyšetřete průběh funkce 1 y (určete intervaly kde je 2 ( + 1) funkce

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu,

. (x + 1) 2 rostoucí v intervalech (, 1) a. ) a ( 2, + ) ; rostoucí v intervalu ( 7, 2) ; rostoucí v intervalu, Příklad Najděte intervaly monotonie a lokální etrémy funkce f() = +. ( + ) ( rostoucí v intervalech (, ) a 7, + ) klesající v intervalu ( ), 7 5 5 v bodě = 7 5 je lokální minimum 4. Najděte intervaly monotonie

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Funkce. Obsah. Stránka 799

Funkce. Obsah. Stránka 799 Obsah 4. Funkce... 800 4.. Základní vlastnosti funkcí... 800 4.. Grafy funkcí... 8 4.. Eponenciální a logaritmické funkce... 8 4.4. Eponenciální a logaritmické rovnice... 8 4.5. Eponenciální a logaritmické

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více