Základy programování (IZP)

Transkript

1 Základy programování (IZP) Bonusové laboratorní cvičení Vysoké učení technické v Brně, Fakulta informačních technologií v Brně Božetěchova 2, Brno Cvičící: Petr Veigend (iveigend@fit.vutbr.cz) Gabriela Nečasová Petr Veigend 2014/2015

2 Obsah Zopakování zadání druhého projektu Zopakování problematiky iteračních výpočtů Obecný úvod Taylorova řada (minule e^x) Zřetězené zlomky IZP doplňkové cvičení 2

3 Seznámení se zadáním druhého projektu Iterační výpočty obhajoba: odevzdání: do WISu dokumentace: Název: proj2.c Výstup: standardní výstup pro výpis výsledků (na wiki) standardní chybový výstup pro výpis chyb V rámci projektu můžete používat pouze matematické operace +,-,* a / Součástí projektu je i dokumentace Zakázáno: použití math.h (až na isnan(), isinf(), tan() a konstanty NAN a INF) IZP doplňkové cvičení 3

4 Porovnání metod (--tan) Budete počítat funkci tangens dvěma iteračními výpočty: Taylorova řada (Taylor series) tan x = x + x x x x Budete potřebovat 13 čitatelů a jmenovatelů (viz zadání) Zřetězené zlomky (Continued Fractions) Není omezena úroveň zanoření tan x = 1 3 x x 2 x 2 5 x2 7 IZP doplňkové cvičení 4

5 Porovnání metod (--tan) Vaše výsledky porovnáte s výsledky knihovní funkce tan() Pozor na správný formát výstupu Zkratka Význam Formát I počet iterací %d M tan() z math.h %e T taylor_tan() %e TE absolutní chyba (Taylor) %e C cfrac_tan() %e CE absolutní chyba (zlomky) %e Při porovnávání metod NEBUDETE uvažovat přesnost 1e-10 a odvozovat počet iterací tak, aby byla přesnost dosažena IZP doplňkové cvičení 5

6 Vzdálenost a výška měřeného objektu (-m) Pomocí metody zřetězených zlomků budete pomocí tangens úhlů α a β počítat proměnné d a v (pokud bude zadán i úhel β) na následujícím obrázku: Proměnná c je implicitně nastavena, ale pomocí argumentu příkazového řádku se může měnit Při výpočtech BUDETE uvažovat přesnost 1e-10 a odvozovat počet iterací tak, aby byla přesnost dosažena Pozor: výpis ve formátu %.10e IZP doplňkové cvičení 6

7 Další informace o implementaci Při implementaci věnujte pozornost: Nejdříve správnému algoritmickému schématu zápisu iteračního výpočtu, poté přesnosti (tj. počtu iterací), a až nakonec urychlování a optimalizaci (při hodnocení na to bude brán zřetel) Všechny úhly budou v radiánech a v prvním kvadrantu [0, π 2 ) Desetinná čísla budou typu double IZP doplňkové cvičení 7

8 Překlad programu Pokud používáme funkce z math.h, je nutné při překladu použít přepínač -lm: gcc std=c99 Wall pedantic g lm proj2.c o proj2 IZP doplňkové cvičení 8

9 Rekurentní problémy [1] Rekurentní problém: výpočet nové hodnoty závisí na hodnotě výpočtu z předcházejícího kroku Rekurentní vztah obecně: Y i+1 = F(Y i ) Pro výpočet hodnoty Y i+1 je nutné zjistit hodnotu Y i IZP doplňkové cvičení 9

10 Rekurentní problémy [1] Musí být dána počáteční hodnota Y 0 Co musí platit pro hodnoty získané posloupnosti Y i+1 = F(Y i ) pro y 0 Y i Y j pro všechna i j Y i pro i < N nesplňuje podmínky požadované hodnoty Y N splňuje podmínky hledané hodnoty IZP doplňkové cvičení 10

11 Rekurentní problémy [1] Algoritmické schéma řešení Y = y0; // Y proměnná, y0 počáteční hodnota while( B(Y)) // dokud není splněna koncová podmínka Y = F(Y); // budeme počítat další prvek // posloupnosti IZP doplňkové cvičení 11

12 Rekurentní problémy [1] Algoritmické schéma řešení Y = y0; // Y proměnná, y0 počáteční hodnota while( B(Y)) // dokud není splněna koncová podmínka Y = F(Y); Zápis v C může vypadat např. double y = y0; // budeme počítat další prvek // posloupnosti while(!b(y)) // dokud není splněna koncová podmínka return y; y = f(y); // budeme počítat další prvek // posloupnosti IZP doplňkové cvičení 12

13 Ukončovací podmínka [1] Běžně se iterační výpočet ukončí, pokud Y i Y i 1 EPS To se dá v C zapsat např. double y = y0; // aktuální člen double yp; // předchozí člen do { yp = y; // uložíme hodnotu předchozího členu y = f(y); // vypočítáme další člen } while (fabs(y - yp) >= eps); Algoritmické schéma lze použít pro výpočet číselných řad (Taylorův rozvoj), kterými lze aproximovat funkce IZP doplňkové cvičení 13

14 Výpočet řad [1] K výpočtu řad se používají částečné součty Pro řadu t 0, t 1, t 2, t 3,, kde t i = f t i 1 můžeme napsat řadu částečných součtů s 0, s 1, s 2, s 3,, kde s i = Můžeme je opět řešit rekurentně: i j=0 s 0 = t 0 s i = s i 1 + t i částečný součet pro aktuální člen je částečný součet pro předchozí člen + hodnota aktuálního členu t j IZP doplňkové cvičení 14

15 Výpočet řad [1] Algoritmické schéma T = t0; // první člen řady S = T; // součet = první člen řady while( B(S, T)) { } T = f(t); // vypočítáme nový člen řady S = S + T; // tento člen přičteme k aktuálnímu // částečnému součtu Je nutné si vždy zjistit, jak se od sebe liší jednotlivé členy řady Pozor: Některé řady konvergují nejrychleji jen v omezeném definičním oboru funkce IZP doplňkové cvičení 15

16 Iterační výpočty součtové řady Jak postupovat??? e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + IZP cvičení 3 16

17 Iterační výpočty součtové řady Jak postupovat??? e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + // x je v zadání // přesnost (eps) je v zadání // Základní proměnné: // částečný součet // současný a předchozí člen // Určete rozdíl mezi jednotlivými členy řady cyklus(ukončovací podmínka) { // výpočet nového členu řady // výsledek += nový člen řady } IZP cvičení 3 17

18 Zřetězené zlomky V následujícím příkladu budeme počítat číslo π pomocí zřetězeného zlomku Úroveň rozvoje zřetězeného zlomku (n) je zvolena na 4 IZP doplňkové cvičení 18

19 Zřetězené zlomky Implementujte výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: π = 1 + n = IZP doplňkové cvičení 19

20 Zřetězené zlomky Implementujte výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: π = n = n = IZP doplňkové cvičení 20

21 Zřetězené zlomky Implementujte výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: π = n = 2 n = n = IZP doplňkové cvičení 21

22 Zřetězené zlomky Implementujte výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: n = 1 π = n = 2 n = n = IZP doplňkové cvičení 22

23 Zřetězené zlomky Jak bylo řečeno, při výpočtu funkce tangens pomocí zřetězeného zlomku budete uvažovat přesnost 1e-10 a upravovat počet členů Postup výpočtu: // inicializace prvních dvou úrovní zanoření while (fabs(aktuální předchozí) > eps) { // provedení iteračního výpočtu // zavolání funkce pro výpočet, uložení nové // hodnoty }; IZP doplňkové cvičení 23

24 Zřetězené zlomky inicializace Pro n=1mplementujte výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: π = 4 1 IZP doplňkové cvičení 24

25 Zřetězené zlomky inicializace Pro n = 2výpočet čísla π pomocí zřetězeného zlomku: Atd. π = IZP doplňkové cvičení 25

26 Poznámka Nepoužívejte zvláštní funkce pro výpočet Mocniny Faktoriálu apod. Vždy dopočítávejte pouze rozdíly mezi jednotlivými členy IZP doplňkové cvičení 26

27 Děkuji Vám za pozornost! IZP doplňkové cvičení 27

28 Použitá literatura [1] Materiály ke třetímu demonstračnímu cvičení. FIT VUT IZP doplňkové cvičení 28