Příklad 1. Řešení 1a Máme určit poloměr a obor bodové konvergence mocninné řady ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 13

Transkript

1 Příklad 1 Určete poloměr a obor bodové konvergence mocninných řad: a) 1 8 b) +1 c) 3 d) +2+1 e)! f)! 3 g) h) =8, = 7,9 =1, = 1,1 =3, = 3,3 =1, = 2,0 =+, =,+ =0, =3 =1, = 3,1 = 1 2, = 1 2,1 2 Řešení 1a 1 8 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme = lim +18 1= lim = lim = <1 8 Tuto podmínku můžeme upravit 1 <8 1

2 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =8. = 7,9 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 7. Naše řada bude mít v tomto případě tvar = 8 8 = = 1 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 7 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =9. Naše řada bude mít v tomto případě tvar = = 8 8 = 1 Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod =9 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 7,9. Řešení 1b = lim = lim = lim = <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. = 1,1 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar +1 1 = = =

3 První řada je zjevně divergentní. Druhá je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod = 1 nepatří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar +1 1 = =1+ 1 =1+ 1 Obě řady jsou zjevně divergentní. Obě jsou kladné. Jejich součet je tedy divergentní. Proto bod =1 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 1,1. Řešení 1c = lim <1 +13 = lim = 3 Tuto podmínku můžeme upravit <3 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =3. = 3,3 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3 3 = = 1 Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 3 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3 3 = 1 Tato řada je, jak známo, divergentní. Proto bod =3 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 3,3. 3

4 Řešení 1d +2+1 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 1. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme = lim =+1 +1 <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. = 2,0 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 2. Naše řada bude mít v tomto případě tvar =+2 1 Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod = 2 nepatří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =0. Naše řada bude mít v tomto případě tvar =+21 =+2 Tato řada je zřejmě divergentní. Proto bod =0 nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 2,0. Řešení 1e! +1 +1!!+1 +1! = lim = lim = lim +1! +1! =0=0!

5 0 <1 Tuto podmínku splňuje každé. 1 <8 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =+. Odtud =,+. Řešení 1f! 3 Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 3. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme +1! ! +1! = lim 3 3! 3 +1! +1! 3 = <1 Tato podmínka není splněna pro žádné, pro =3 není výraz korektní. Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =0. Obor bodové konvergence této řady je tedy jednoprvková množina =3. Řešení 1g Jedná se o mocninnou řadu se středem v bodě 2. Pro hledání jejího poloměru konvergence musíme = lim +2 = lim = lim = lim =+2 +2 <1 Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =1. 5

6 = 3, 1 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro = 3. Naše řada bude mít v tomto případě tvar 3+2 = Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = 3 patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro = 1. Naše řada bude mít v tomto případě tvar Tuto řadu můžeme rozepsat 1 +3 To můžeme napsat i jinak 1 +3 Vytkneme = 1 = = = = Po vyrušení stejně velkých sčítanců v posledním součtu dostáváme = 1 = lim =1 3 lim =1 3 1=1 3 Řada je tedy konvergentní. Z toho důvodu bod = 1 patří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je = 3, 1. Řešení 1h = lim = lim = lim = lim =2 6

7 2 <1 Tuto podmínku můžeme upravit Odtud je zřejmé, že poloměr konvergence je =. < 1 2 = 1 2,1 2 Protože d Alambertovo podílové kritérium neříká nic o konvergenci nebo divergenci pro =1, musíme Nejprve prověříme konvergenci pro =. Naše řada bude mít v tomto případě tvar = = 1 2 = Tato řada je podle Leibnizova kritéria konvergentní. Proto bod = patří do oboru bodové Nyní prověříme konvergenci pro =. Naše řada bude mít v tomto případě tvar = = 2 = 1 = Nyní uplatníme porovnávacím kritériem. Od druhého sčítance počínaje (první by vedl k problémům ve jmenovateli prvního členu porovnávané řady) platí 1 > 1 = = = Poslední řada je ale jiným způsobem zapsaná harmonická řada. Takže platí 1 > = Protože, jak známo, je harmonická řada divergentní, je divergentní i zkoumaná řada. Proto bod = nepatří do oboru bodové Proto obor bodové konvergence pro zadanou řadu je =,. 7