Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS
|
|
- Pavel Brož
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č listopadu 2011 Autor: Vojtěch Přikryl, xprikr28@stud.fit.vutbr.cz Fakulta informačních Technologií Vysoké Učení Technické v Brně
2 Obsah 1 Úvod 3 2 Analýza problému a princip jeho řešení Funkce počítající arcsin(x) Definice funkce Taylorův rozvoj Funkce počítající log a(x) Definice funkce Heuristika a převod mezi základy Taylorův rozvoj Funkce počítající lomené čáry s chybou Obecná pozorování Návrh řešení problému Funkce počítající arcsin(x) Funkce počítající log a(x) Funkce počítající lomené čáry s chybou Výpočet minima Výpočet maxima Specifikace testů Popis řešení Ovládání programu Implementace Závěr 13 A Použitá literatura 14 B Metriky kódu 15 2
3 1. Úvod Tato dokumentace se týká druhého projektu do předmětů IZP a IUS 1 vyučovaných na VUT v Brně, Fakultě informačních technologií. Zpracovaný program řeší několik problémů - výpočet funkcí arkus sinus a logaritmus o libovolném základu, obojí s předem určenou přesností a bez použití funkcí z knihovny math.h. Dále výpočet délky lomené čáry podle zadaných souřadnic v Euklidově rovině ve dvou variantách. U první varianty se výpočet týká přesně určených bodů, ve druhé variantě s chybou jsou zadané body zatíženy absolutní chybou ve směru obou os x a y. Bod pak může ležet kdekoliv ve čtverci, který je touto chybou určen a úkolem je vypočítat maximální a minimální celkovou délku. Lze si všimnout, že první varianta je pouze speciálním případem druhé varianty s absolutní chybou rovnou nule (a s důsledkem, že minima a maxima jsou si rovny), proto budu rozebírat pouze obecnou variantu s chybou. Jelikož se jedná o tři samostatné problémy (podprogramy), bude každému z nich věnována samostatná podkapitola. Rozeberu zde nejprve analýzu všech problémů, dále návrh jejich řešení a nakonec popis samotného řešení. Program byl napsán v jazyce C a jeho rozhraní je textová konzole. Prováděný podprogram uživatel zvolí při spouštění pomocí parametrů. Více o tomto v kapitole IZP = Základy programování, IUS = Úvod do softwarového inženýrství 3
4 2. Analýza problému a princip jeho řešení V této kapitole se podrobněji podívám na analýzu jednotlivých problémů z hlediska matematiky a pokusím se vypozorovat výhodné vztahy pro použití v programu. 2.1 Funkce počítající arcsin(x) Definice funkce Funkce arkus sinus je inverzní funkcí ke goniometrické funkci sinus. Jelikož ale funkce sinus není prostá 1, tak se arkus sinus omezuje na definiční obor D = 1, 1. Pozorování: Pokud na vstupu bude zadáno číslo mimo definiční obor D, nemusím nic počítat a vrátím hodnotu NAN 2. Pozorování: Funkce je lichá 3, můžeme tedy počítat pouze v nezáporné části oboru a pro záporný vstup výsledek pouze vynásobit konstantou Taylorův rozvoj Iterační výpočet je vhodné počítat podle tzv. Taylorova polynomu, který dokáže v okolí zvoleného bodu aproximovat jakoukoliv funkci. Tato funkce je ve tvaru polynomu - lze ji tedy spočítat pouze s využitím základních matematických operací +,,, /, popřípadě operací z nich odvozených (mocnina, faktoriál,...). Přímo pro arkus sinus existuje Taylorův rozvoj pro okolí bodu x = 0: arcsin x = x + 1 x x x pro x ( 1, 1), 1 Funkci f na definičním oboru D označujeme jako prostou na D, pokud pro každé dvě hodnoty x 1 x 2 z D platí f(x 1 ) f(x 2 ). 2 NAN = makro z knihovny math.h, znamená Not A Number (=není číslem) 3 Funkce f(x) je lichá funkce, pokud pro všechna x, pro která je f(x) definováno, je definováno i f(-x) a platí f( x) = f(x). 4
5 ale tento rozvoj je pro x blížící se krajům intervalu velice nepřesný. Proto jsem se rozhodl k výpočtu použít ekvivalentní převod na arkus tangens a využít vlastnosti této funkce. Převést tyto dvě funkce mezi sebou lze podle tohto vzorce: x arcsin x = 2arctan x. 2 Dále jsem využil vzorce pro zmenšení argumentu funkce arkus tangens: x arctan x = 2arctan x 2 a upravil tak argument do příhodnějšího intevalu pro výpočet Taylorovým polynomem pro arkus tangens, který vypadá následovně: arctan x = x x3 3 + x5 5 x pro x 1, 1, Funkce počítající log a(x) Definice funkce Funkce log a (x) je inverzní funcí k funkci exponenciální a x. Platí mezi nimi ekvivalence: log a (x) = y a y = x. Obor hodnot exponenciální funkce je H = (0, ) a díky inverzi tedy bude tento obor definičním oborem D funkce logaritmické. Pro základ logaritmu a platí podmínky a (0, ) {1}, přičemž pro a (0, 1) je logaritmus klesající, a pro a (1, ) je rostoucí. Pozorování: Pokud na vstupu bude zadáno číslo mimo definiční obor D, nemusím nic počítat a vrátím hodnotu NAN. Jediná výjimka je pro hodnotu x = 0, ve které je realizována asympota a hodnota se blíží limitně mínus (resp. plus) nekonečnu pro rostoucí (resp. klesající) logaritmus Heuristika a převod mezi základy Pro správný a přesný výpočet bylo potřeba udělat heuristiku. To znamená úpravit argument funkce do výhodného intervalu, pro který jsou výsledky počítané iterační metodou co nejpřesnější. Toho mohu dosáhnout díky následujícím vzorcům: logx m = m logx log(x y) = log(x) + log(y) ( ) x logl = log(x) log(y) y 5
6 Heuristiku jsem se rozhodl dělat pro binární logaritmus (tzn. o základu 2), jelikož to je pro procesor velice šetrné (posun bitů je primitivní operace oproti dělení obecným číslem) a také to je pro pozdější implementaci příjemné (není nutno se starat o to, jestli je logaritmus rostoucí, nebo klesající,...). Pro následný převod mezi základy využiji velice jednoduchého vztahu: Taylorův rozvoj log a (x) = log b(x) log b (a). I pro výpočet logaritmu využijeme Taylorova polynomu, který jsem krátce popsal na začátku kapitoly Jak jsem již naznačil v předchozí podkapitole, budu počítat logaritmus pouze pro jeden základ, nejvhodnější je pro to přirozený logaritmus 4 značený ln x. Existuje mnoho způsobů, jak jej vyjádřit pomocí Taylorova polynomu, já jsem si vybral tento způsob: ln(x) = ln ( 1 + y 1 y ) = 2 ( y 1 + y3 3 + y5 5 + y7 7 + y Funkce počítající lomené čáry s chybou ), kde y = ( ) x 1, x > 0 x + 1 Vstupní posloupnost pro tento problém je interpretována jako posloupnost dvojic souřadnic v Euklidově rovině: x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5... Tyto souřadnice jsou ovšem zatíženy chybou stejnou ve směru osy x i y. Nyní tedy můžeme pro dva zadané body naleznout nekonečně mnoho různých úseček, které je spojují (jelikož bod v podstatě vnímáme rozostřeně jako čtverec) a úkolem je nalézt minimum a maximum každých dvou po sobě zadaných bodů a vypisovat aktuální součet celé lomené čáry Obecná pozorování Při analýze tohoto problému si lze všimnout, že hledané úsečky mezi 2 dílčími body budou mít vždy krajní body ležící na stranách pomyslného čtverce okolo bodu. Dále je výhodné počítat nezávisle na sobě ve směru osy x a y. Určím rozdíly x 0 a y 0 a výslednou délku d úsečky vypočítám pomocí Pythagorovy věty: d = x y0 2 Postup jak nalézt x 0 a y 0 popíši v kapitole přirozený logaritmus je logaritmus o základu e, což je Eulerova konstanta 6
7 3. Návrh řešení problému 3.1 Funkce počítající arcsin(x) Při řešení použiji vztahy a pozorování z kapitoly 2.1. Zejména odfiltruji hodnoty mimo definiční obor a využiji lichosti funkce pro počítání v nezáporné části definičního oboru. Dále si připravím argument pro iterační výpočet Taylorovým polynomem. Toho dosáhnu cyklickou aplikací vzorce x arctan x = 2arctan x 2 dokud x nebude ležet v intervalu (0, 0.1. Zároveň si značím, kolikrát pak mám celkový výsledek vynásobit aby byla provedená úprava v celkovém důsledku ekvivalentní. Pro výpočet absolutní přesnosti využiji znalost oboru hodnot, který je < π 2 ; π 2 >. Z tohoto důvodu mohu určit absolutní přesnost eps ze zadaného počtu platných cifer SIGDIG vztahem eps = 0.1 SIGDIG. Taylorův polynom se pak zpřesňuje do té doby, než absolutní hodnota rozdílu dvou po sobě jdoucích výsledku je menší než eps. 3.2 Funkce počítající log a(x) Nejprve pohlídám speciální případy, např. hodnoty mimo definiční obor, x = 0, x = 1, a = 1 a ukončím funkci s vrácením příslušných hodnot. Dále s využitím pozorování a vztahů z kapitoly 2.2 upravím argument i základ logaritmu na interval (0.2, 2). Vypočítám tedy nejdříve celou část výsledného logaritmu a Taylorovou řadou pak pouze desitinnou. Z tohoto důvodu mohu určit absolutní přesnost eps ze zadaného počtu platných cifer SIGDIG vztahem eps = 0.1 SIGDIG. Zvolený Taylorův polynom pak iteruje do té doby, než absolutní hodnota rozdílu dvou po sobě jdoucích výsledku je menší než eps. Na konec provedu převedení na správný základ a vrátím výsledek. 7
8 3.3 Funkce počítající lomené čáry s chybou Velikost chyby označíme v následujícím popisu jako ERR Výpočet minima Pro výpočet minimální vzdálenosti je nejdůležitější si uvědomit, že délka i pro dva neidentické body může být nulová. Stane se to, pokud se čtverce překrývají, např. pro A = [1, 1], B = [3, 3], ERR = 1. Potom bude průnikem obou čtverců bod o souřadnicích [2, 2]. Samozřejmě dva čtverce mohou mít jako průnik i úsečku nebo pravoúhelník, ale i v těchto případech je minimální vzdálenost nulová, zápornou zde nebereme v úvahu. Pro samotný výpočet tedy nejdříve analyzuji, v jakém postavení jsou zadané body. Nejdříve si je umístím podle osy x tak, aby x 1 x 2 (BÚNO1 ). Nyní rozhodnu, zda mají čtverce průnik v průmětu na osu x. Pokud platí nerovnost (x 1 + ERR) (x 2 ERR) tak tento průnik existuje a x 0 je tedy rovno nule. V opačném případě pak platí: x 0 = (x 2 ERR) (x 1 + ERR). Pro osu y pak výpočet provedu zcela analogicky. Dále dosadím do vztahu d = x y 2 0 z kapitoly Výpočet maxima Pro výpočet maximální vzdálenosti je třeba si uvědomit, že délka nemůže být nikdy nulová. Např. i pro dva identické body A = [1, 1], B = [1, 1], ERR = 1. je vzdálenost nenulová, protože jako vzdálenost můžeme vzít protilehlé body čtverce. V tomto případě je tedy délka úsečky 2 2. Pro samotný výpočet znovu nejdříve analyzuji, v jakém postavení jsou zadané body. Znovu si je umístím podle osy x tak, aby x 1 x 2 (BÚNO). Nemusím však analyzovat průnik jako u minima, ale rovnou vypočtu x 0 podle rovnosti: x 0 = (x 2 + ERR) (x 1 ERR). Analogicky provedu výpočet pro osu y. Dále dosadím do vztahu d = x y0 2 z kapitoly BÚNO = bez újmy na obecnosti 8
9 3.4 Specifikace testů V této kapitole je popis testovacích hodnot, jejichž účelem je ověřit správnost výpočtů a správnost ošetření chybných vstupů. Všechny testy arkus sinu a logaritmu jsem provedl a porovnal s knihovníma funkcema (asin(double x), log(double x)) - výsledky byly shodné. Test 1 Chybná syntaxe parametrů kontrola chyby./proj2./proj2 --chyba./proj2 --arcsin x1./proj2 --arcsin 5 5./proj2 --logax -2 1./proj2 --logax /proj2 --logax 5-10./proj2 --lble -2 nedostatek parametrů neznámý parametr neznámý znak příliš mnoho parametrů za parametrem arcsin záporná přesnost přesnost není celé číslo základ logaritmu je záporný záporná absolutní chyba Test 2 Správnost výpočtu pro --arcsin 10 vstup očekávaný výstup e e e nan 1e e-050 xprikr28 nan (+ukončení programu) Test 3 Správnost výpočtu pro --logax 10 a vstup základ a očekávaný výstup 0 2 -inf nan 1e e e e e e-005 9
10 Test 4 Správnost výpočtu pro --lbl vstup očekávaný výstup e e e e e e e e e e+020 nan Test 5 Správnost výpočtu pro --lble 2 vstup očekávaný výstup e e e e e e e e e e+001 nan 10
11 4. Popis řešení 4.1 Ovládání programu Program funguje v konzolovém rozhraní, nedisponuje tedy žádným grafickým prostředím. Při spuštění s parametrem -h informuje uživatele o všech ostatních možnostech parametrů, to jsou: parametry popis -h Vytiskne nápovědu arcsin sigdig Výpočet arkus sinu, sigdig - přesnost zadaná jako počet platných cifer (přirozené číslo) logax sigdig a Výpočet logaritmu, sigdig - přesnost zadaná jako počet platných cifer (přirozené číslo), a - základ logaritmu (nezaporné reálné číslo) lbl Výpočet lomené čáry s přesně zadanými body lble Výpočet lomené čáry s chybou, ERR - absolutní chyba měření souřadnic (nezáporné reálné číslo) Po spuštění program očekává na standardním vstupu (stdin) data typu popsaného v nápovědě. Pokud je na vstupu použit jiný datový typ nebo jiné neznámé znaky, program ukončí výpočet a vypíše chybové hlášení na standardní chybový výstup (stderr). V případě úspěšného zpracování vstupních dat program průběžne vypisuje výsledky na standardní výstup (stdout). Program automaticky končí po přečtení znaku EOF Implementace Program se na začátku snaží zpracovat parametry funkcí proccessparams, která naplní pomocí přístupu přes ukazatele parametry a vrátí hodnotu, která určuje typ zvoleného podprogramu. V případě špatně zadaných parametrů nebo zadání parametrů nesprávného typu se program ukončí. V opačném případě je program rozdělěn na dva cykly, první z nich se provádí pokud je zvolen podporogram pro výpočet arkus sinu nebo logaritmu, druhý pokud je zvolen výpočet 1 EOF = End Of File - konec souboru 11
12 délky lomené čáry. Dále se volají jednotlivé funkce, které zodpovídají za výpočet hodnot. Jsou to funkce: funkce myarcsin mylog minlength maxlength popis Výpočet arkus sinu - tato funkce je tzv. obalovací 2 a volá se z ní funkce myarctan, která je z hlavního programu nedostupná. Výpočet logaritmu - tato funkce je tzv. obalovací a volá se z ní funkce myln, která je z hlavního programu nedostupná. Výpočet maximální hodnoty u lomené čáry s chybou Výpočet minimální hodnoty u lomené čáry s chybou 12
13 5. Závěr Program počítá úlohy podle všech podmínek, které byly v zadání. Je ošetřen, aby se nikdy nezacyklil - pro jakýkoliv vstup bud doběhne v relativně rychlém čase nebo ohlásí chybové hlášení a ukončí činnost. Díky tomuto může být součástí jiných programů, skriptů nebo dávkových souborů. Výpočet lomené čáry s chybou byl řešen spíše analytickým pohledem. Doporučený postup s použitím intervalové aritmetiky jsem nevyužil. Na výsledcích by to nemělo nic měnit, ale do budoucna plánuji intervalovou aritmetiku vyzkoušet a porovnat s aktuálním řešením. Program je přenositelný mezi různými operačnímy systémy - byl testován na Windows 7, Linux a FreeBSD. Při kompilaci s parametry -std=c99 -Wall -Werror -pedantic-errors -g -lm nebyla ohlášená žádná chyba ani varování. Na všech uvedených systémech také proběhly úspěšně všechny testovací hodnoty se shodným výsledkem. 13
14 A. Použitá literatura BARTSCH, H.: Matematické vzorce. Mladá fronta, a. s., 1996, ISBN HEROUT, P.: Učebnice jazyka C. KOPP, 1994, ISBN KOPKA, H.; DALY, P.: LATEX - Podrobný průvodce. Computer Press, 2004, ISBN
15 B. Metriky kódu Počet souborů: 1 soubor Počet řádků zdrojového textu: 328 řádků Velikost statických dat: 316B Velikost spustitelného souboru: B (systém Linux, 32 bitová architektura, při překladu bez ladicích informací) 15
Iterační výpočty. Dokumentace k projektu č. 2 do IZP. 24. listopadu 2004
Dokumentace k projektu č. 2 do IZP Iterační výpočty 24. listopadu 2004 Autor: Kamil Dudka, xdudka00@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologií Vysoké Učení Technické v Brně Obsah 1. Úvod...3 2.
VíceIterační výpočty Projekt č. 2
Dokumentace k projektu pro předměty IUS & IZP Iterační výpočty Projekt č. 2 Autor: Jan Kaláb (xkalab00@stud.fit.vutbr.cz) Úvod Úkolem bylo napsat v jazyce C program sloužící k výpočtům matematických funkcí
VíceIterační výpočty. Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS. projekt č listopadu 2008
Dokumentace k projektu pro předměty IZP a IUS Iterační výpočty projekt č. 2 19. listopadu 2008 Autor: Vojtěch Kalčík, xkalci01@fit.stud.vutbr.cz Fakulta Informačních Technologií Vysoké Učení Technické
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceLogaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.
Logaritmus Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým umocníme základ a, abychom dostali číslo. Platí tedy: logax = y a y = x ( Dekadický logaritmus základ 10 označení
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceJednoduché cykly 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45.
Jednoduché cykly Tento oddíl obsahuje úlohy na první procvičení práce s cykly. Při řešení každé ze zde uvedených úloh stačí použít vedle podmíněných příkazů jen jediný cyklus. Nepotřebujeme používat ani
VícePlanimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceZáklady programování (IZP)
Základy programování (IZP) Deváté počítačové cvičení Brno University of Technology, Faculty of Information Technology Božetěchova 1/2, 612 66 Brno - Královo Pole Petr Veigend, iveigend@fit.vutbr.cz 2016/2017
VíceZáklady programování (IZP)
Základy programování (IZP) Deváté počítačové cvičení Brno University of Technology, Faculty of Information Technology Božetěchova 1/2, 612 66 Brno - Královo Pole Gabriela Nečasová, inecasova@fit.vutbr.cz
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceMatematika I (KMI/PMATE)
Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceExponenciální funkce. a>1, pro a>0 a<1 existuje jiný graf, který bude uveden za chvíli. Z tohoto
Exponenciální funkce Exponenciální funkce je taková funkce, která má neznámou na místě exponentu. Symbolický zápis by tedy vypadal takto: f:y = a x, kde a > 0 a zároveň a 1 (pokud by se a mohlo rovnat
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceZáklady programování (IZP)
Základy programování (IZP) Bonusové laboratorní cvičení Vysoké učení technické v Brně, Fakulta informačních technologií v Brně Božetěchova 2, 612 66 Brno Cvičící: Petr Veigend (iveigend@fit.vutbr.cz) Gabriela
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
Vícex (D(f) D(g)) : (f + g)(x) = f(x) + g(x), (2) rozdíl funkcí f g znamená: x (D(f) D(g)) : (f g)(x) = f(x) g(x), (3) součin funkcí f.
1. Funkce Deinice 1.1. Zobrazení nazýváme reálná unkce, jestliže H() R. Další speciikaci můžeme provést podle deiničního oboru zobrazení. Deinice 1.2. Reálná unkce se nazývá (1) unkce jedné reálné proměnné,
VíceRovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceVzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceFunkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická
Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
VíceFunkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a
4.. Funkce kotangens Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. c B a A b C Tangens a kotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Reálné funkce 1 / 21 Matematika 1 pro PEF PaE 1. Reálné funkce Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU funkce Reálné funkce Základní pojmy 2 / 21 Zobrazení z množiny A do množiny B je množina f uspořádaných
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceZáklady programování (IZP)
Základy programování (IZP) Sedmé laboratorní cvičení Vysoké učení technické v Brně, Fakulta informačních technologií v Brně Božetěchova 2, 612 66 Brno Cvičící: Petr Veigend (iveigend@fit.vutbr.cz) Gabriela
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceFunkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště
Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceFunkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.
4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ DOKUMENTACE K PROJEKTU 2 DO PŘEDMĚTŮ IZP A IUS ITERAČNÍ VÝPOČTY BC. PETR ŠAFAŘÍK xsafar14 BRNO 2010 Obsah 1 Úvod 1 2 Analýza problému a princip
VíceFUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =
Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceŘešené příklady ze starých zápočtových písemek
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceZáklady programování (IZP)
Základy programování (IZP) Sedmé počítačové cvičení Brno University of Technology, Faculty of Information Technology Božetěchova 1/2, 612 66 Brno - Královo Pole Petr Veigend, iveigend@fit.vutbr.cz 2018/2019,
VíceFunkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá
4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro
Více= - rovnost dvou výrazů, za x můžeme dosazovat různá čísla, tím měníme
- FUNKCE A ROVNICE Následující základní znalosti je nezbytně nutné umět od okamžiku probrání až do konce kapitoly (většinou do napsání čtvrtletní písemné práce, na výjimky z tohoto pravidla bude upozorněno).
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více4.2.15 Funkce kotangens
4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
VíceCvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
VíceOpakovací kurs středoškolské matematiky podzim
. Opakovací kurs středoškolské matematiky podzim František Mráz Ústav technické matematiky, Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz I. Mocniny, odmocniny, algeraické výrazy Upravte (zjednodušte), případně určete číselnou
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceReálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina
Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý
VíceSBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.
Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat Přírozená čísla Číselné obory Celá čísla Racionální čísla Reálná čísla Základní poznatky Teorie množin Výroková logika Mocniny a odmocniny Množiny Vennovy diagramy
VíceCVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
VíceMatematický seminář. OVO ŠVP Tématický celek Učivo ŠVP Integrace Mezipředmětové vztahy. jejich soustavy. Spojitost funkce v bodě. Limita funkce v bodě
Řeší s porozumněním rovnice s parametrem Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Řovnice, nerovnice a jejich soustavy Třetí, 24 hodin Zvolí vhodnou metodu řešení rovnice nebo nerovnice Vysvětlí zvolený způsob
VíceMATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA
MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceProjekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace
Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového
VíceEuklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
VíceMATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)
MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo
Více