Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Transkript

1 Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně můžeme složit i více funkcí V širším slova smyslu považujeme za složenou funkci každou funkci, která vznikla z elementárních funkcí sčítáním, odčítáním, násobením, dělením nebo skládáním Definiční obor takové funkce je potom průnikem definičních oborů jejích jednotlivých složek, u podílu navíc jmenovatel musí být 0 Např: y sin má vnější složku a vnitřní sin, y ln má vnější složku ln a vnitřní složkou je třetí mocnina Pozor na pořadí složek!!! Operace skládání není komutativní Poznámka: Pro operaci "skládání funkcí" se používá znak " " a f g čteme "f po g " Příklad: Vytvořte složené funkce z funkcí f, g log Řešení: Nejdříve f g f g Tuto funkci vytvoříme tak, že do předpisu funkce f dosadíme místo proměnné funkci g, tedy log f g f g f log log log g f g f g V opačném pořadí: Je vidět, že f g g f log Definiční obor složené funkce Je to množina reálných čísel, pro která má daná funkce smysl Vyjdeme z omezení plynoucích z jednotlivých složek a na závěr určíme průnik získaných intervalů Omezující podmínky, které musíme vzít v úvahu: Funkce f ( ) y je definovaná pro g ( ) 0 g( ) n Funkce y f ( ) (sudá odmocnina) je definovaná pro f ( ) 0 Funkce y log f ( ) je definovaná pro f ( ) 0 a Funkce y tg f ( ) je definovaná pro f ( ) (k ), kde k Z Funkce y cotg f ( ) je definovaná pro f ( ) k k, kde k Z Funkce y arcsinf ( ) a y arccosf( ) jsou definovány pro f ( )

2 Příklad: Určete definiční obor funkce y sin ln( 4) Řešení: ln( 4) ( ) 0 0 D ( f ) ( 4, ) (,0, ) Řešené příklady: Sestavte složenou funkci ze složek f sin a g Řešení: V zadání není uvedeno pořadí složek, vytvoříme tedy obě f g f g f sin g f g f g sin sin Sestavte složenou funkci y f g h ze složek f, g cos h Řešení: Předpis vytvoříme postupně Nejdříve vnitřní složku g h g cos Hledanou funkci dostaneme, když tento výsledek dosadíme do f za f g h f cos cos Máme y cos, Složenou funkci sin y vyjádřete ve složkách Řešení: Zadaná funkce je složena ze dvou složek Vnější složkou je sinus a vnitřní složkou je funkce lineární Je-li y f g, potom f sin a g Poznámka: U vícenásobných funkcí by tento zápis byl zdlouhavý Při rozkladu se používá pro složky označení u u, v v, a argument se nepíše y sin y sinu, u

3 4 Složenou funkci cos y vyjádřete ve složkách Řešení: Zadaná funkce má složky Vnější složkou je druhá mocnina, další kosinus a funkce lineární cos y y u, u cosv, v Určete definiční obor funkce y e 8 ln 6 Řešení: Projdeme funkční předpis a pro jednotlivé složky vypíšeme omezující podmínky Eponenciální funkce je definovaná na R (žádné omezení), v eponentu je lineární funkce (žádné omezení) Sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( 8 0 ) a logaritmické funkce jsou definovány jen pro kladná čísla ( 6 0) (, 4, ) f 6, 4, ) D 4 6 Určete definiční obor funkce y ln Řešení: Vypíšeme omezující podmínky Ve jmenovateli nesmí být nula ( 0 ) a sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( 0 ) Tyto dvě podmínky se týkají stejného výrazu, zapíšeme je jednou nerovností Prostřední člen nemá omezení, protože třetí odmocnina je definovaná i ze záporných čísel 4 Logaritmická funkce je definovaná, je-li argument kladný ( 0 ) D f,

4 7 Určete definiční obor funkce y log 4 sin Řešení: Argument logaritmické funkce musí být kladný ( 0 ) Třetí odmocnina je definovaná vždy, ale pod odmocninou je zlomek ( 0 ), a sudá odmocnina je definovaná jen z nezáporných čísel ( 0 ) Funkce sinus je definovaná na R Celkem D f 0, Příklady na procvičení: Z daných složek sestavte funkci složenou a) f, g ln b) f, g c) f cos, g Složenou funkci vyjádřete ve složkách a) y 4 b) y log 4 c) y tgln Určete definiční obor a) y ln 4 cos y ln 6 4 e b)

5 c) y log 4 4 arctg 4 y log 4 sin d) y ln 4 e) Výsledky: a) f g, g f ln, b) f g, g f ln c) f g cos, g f cos ; a), u v v 4, c) y tgu, u lnv, v w, w, y u, u 4, b) y logu, ; a) 4,, b), 4,, c), 4, 4, d) 4,,, e), 0