MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

Transkript

1 MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA

2 prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální verzi ke stažení na: <

3 Poděkování Na tomto místě děkuji panu doc. RNDr. Petru Gurkovi, CSc. za ochotu a veškerou poskytnutou pomoc nejen při psaní tohoto dokumentu, ale i při mnohých konzultacích. Děkuji panu Ing. Pavlu Střížovi, Ph.D. za technicko-uměleckou pomoc při zpracovávání tohoto materiálu, za trpělivost a ochotu, s jakou se Pomněnce i mně věnoval. Také děkkuji Ivanu Johansenovi, tvůrci programu Graph. Tento šikovný program mi mockráte pomohl s grafickou představou příkladů a za jeho pomoci je nakreslena drtivá většina obrázků v této knize.

4 4 Citátky a postřehy od učitelů z České zemědělské univerzity: Informace je cokoli, co snižuje neurčitost našeho poznání o realitě. Mít štěstí znamená, že jsme neudělali chybu. Když si to vyzkoušíte, tak se s tím zkamarádíte a bude vše v pořádku. Dobrý student má právo být dobře zkoušen. Kdo chce dostřelit, musí přestřelit. Kdo společnosti přispívá ve vědách ale ne v mravech, ten společnosti spíše nepřispívá. Hlavně vědět PROČ, JAK už se najde. elektronický test informatika Petr Gurka matematická analýza Eva Kaňková makroekonomie Helena Nešetřilová lineární algebra Karel Hauzer filosofie Miroslav Svatoš agrární ekonomie účetnictví

5 Slovo úvodem Milí čtenáři, tento soubor byl vytvořen převážně z materiálů zveřejněných na stránkách < Jsou zde uvedeny příklady jednodušší i složitější pro přípravu na zkoušku z matematiky na úrovni České zemědělské univerzity ČZU), ale také různé poznámky, rady a návody k výpočtům. V Příloze A jsou uvedené vzorečky, které jsou na ČZU povolené ke zkoušce. Ke zkoušce je však potřeba si i některé vzorečky pamatovat, a to konkrétně vzorce pro tyto typy příkladů: Tečna a normála, Asymptoty a Taylorův polynom. Vzhledem k tomu, že je tento materiál šířený v elektronické podobě, může být v průběhu času měněn. Proto je na stránce uvedeno vždy aktuální datum souboru. Tento materiál vzniká od roku 009. Doporučuji soubor tisknout barevně, neboť je v něm spoustu barevných odkazů a oboustranně, nejlépe samozřejmě na recyklovaný papír. Oboustranný tisk je OPRAVDU velice důležitý, už proto, že pak budete mít vytištěný stoh o polovinu lehčí. Btw. věděli jste že... na jednoho obyvatele v České republice připadlo v roce 009 krásných 150 kg papíru? Obrázek 1: Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany Zdroj: < Přeji vám mnoho úspěchů ve studiu a doufám, že vám tato kniha v některých věcech usnadní cestu a pomůže k úspěšnému složení zkoušek. Katka 5

6 Obsah I Matematická analýza 18 1 Než začneme počítat Číselné obory Obecné předpisy funkcí a grafy elementárních funkcí Vzorečky pro algebraické úpravy Mnohočleny Kvadratická rovnice Mocniny Odmocniny Některé úpravy zlomků Logaritmy Vzorce Hodnoty Odlogaritmování Goniometrické funkce Vzorce Hodnoty Definiční obor jedné proměnné.1 Návody k výpočtu Ukázkové příklady Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Definiční obor dvou proměnných 9.1 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Limity Vzorce a vztahy

7 OBSAH 7 4. Klasické příklady Derivace funkcí jedné proměnné Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě Úprava funkcí před derivováním Vzorce pro derivování Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Limity l Hospitalovo pravidlo Předpoklady užití l Hospitalova pravidla Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Parciální derivace Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Inverzní funkce Návod Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Tečna a normála v bodě T Vzorce tečny a normály Návody k výpočtu Ukázkový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p Návody k výpočtu Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let

8 8 OBSAH 11 Tečná rovina a normála Vzorce tečné roviny a normály Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? Monotonie Monotonie a zakřivenost Monotonie Návody k výpočtu Vzorový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Konvexita a konkávita Návody k výpočtu Vzorový příklad Memo pomůcka Ukázkový příklad zkouškové úrovně Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Souhrnný příklad Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné Návody k výpočtu Extrémy možné intervaly Vzorový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Lokální extrémy dvou proměnných Návody k výpočtu

9 OBSAH Vzorový příklad Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Vázané extrémy Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Asymptoty Vzorce asymptot Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Taylorův polynom Vzorce Taylorova polynomu Návody k výpočtu Vzorové příklady Vzorový příklad Vzorový příklad Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Neurčitý integrál Vzorce pro integrování Ukázkové jednoduché příklady Ukázkový příklad zkouškové úrovně Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Určitý integrál Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Aplikace určitého integrálu 10.1 Vzorce aplikovaného integrálu Co se počítá obsah plochy

10 10 OBSAH. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Diferenciální rovnice I. řádu Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Diferenciální rovnice II. řádu Jednoduché příklady ze skript Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let II Lineární algebra 19 6 Základní pojmy z lineární algebry Skalární součin Lineární rovnice Ukázkové příklady Inverzní matice Jordanova metoda Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic Matice Sčítání matic Obecný návod Příklady Násobení matic reálným číslem Obecný návod Příklad Násobení matic maticemi Obecný návod Příklady Rovnice s maticemi

11 OBSAH Matice s parametrem Determinanty Návody k výpočtu Determinant matice 1. řádu Determinant matice. řádu Determinant matice. řádu Sarrusovo pravidlo Ukázkový příklad Determinant matice řádu > Ukázkové příklady Výpočet determinantů matic Rovnice s determinanty Cramerovo pravidlo Literatura III Přílohy 149 A Vzorce povolené ke zkoušce 151 A.1 Derivace A. Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí A. Neurčité integrály A.4 Aplikace určitého integrálu B Návod k programu Graph B.1 Úvod B. Popis pracovní lišty a nápovědy B..1 Nastavení os B.. Nápověda B. Jak zadávat funkce B..1 Předpisy funkcí a jak je zadávat B.. Konkrétní příklad

12 1 OBSAH B.4 Další funkce B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování B.4. Tečna a normála B.4. Řada bodů / souřadnic B.4.4 Text, popisky a legenda B.4.5 Výpočty B.4.6 Ostatní B.5 Užitečné odkazy C Lineární algebra 16 C.1 Definice z lineární algebry C. Věty z lineární algebry D Řecká abeceda 174

13 Seznam obrázků 1 Papírový ninja, kampaň Greenpeace Papír má dvě strany Číselné obory Označení kvadrantů Průběh funkce y = log x Průběh funkce y = ln x Průběh funkce y = log 5 x Průběh funkce y = log x Průběh funkcí y = log x, y = ln x, y = log 5 x, y = log x, y = log 100 x Jednotková kružnice hodnoty úhlů ve stupních Jednotková kružnice Průběh funkce y = logx) Průběh funkce y = + x Průběh funkce y = + x Průběh funkce y = x Grafické znázornění: Tečna zadaná funkce a tečné body T a S Tečna a normála v bodě T Tečna a normála v bodě S Průběh funkce fx) = 6x 10 x Průběh funkce p : y = x Očekávaný průběh hledané tečny Derivace zadané přímky p Derivace zadané funkce fx) Průběh funkce y = sin x Rostoucí interval funkce y = sin x Průběh funkce y = sin x a funkce y = cos x Průběh funkce y = ln16 + 9x ) Rostoucí interval funkce y = ln16 + 9x )

14 14 SEZNAM OBRÁZKŮ 1.6 Průběh funkce y = ln16 + 9x ) a funkce y = 18x x Konvexní průběh funkce y = ln16 + 9x ) Průběh funkce y = ln16 + 9x ) a funkce y = x ) 16+9x ) Průběh funkce y = x Průběh funkce y = x Průběh funkce y = x Průběh funkce y = Průběh ryze konvexní funkce Průběh ryze konkávní funkce Číselná osa Průběh funkce y = e x Dva globální extrémy na hranicích intervalu Dva globální extrémy na hranicích intervalu Globální neostré extrémy jsou na hranicích Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici Průběh funkce y = x Průběh funkce y = x 1) ln x + 1 a Taylorův polynom v bodě a Průběh funkce y = x 5 x a Taylorův polynom v bodě a [ 1.1 Průběh funkcí y = x 49+5x a y = x ) 49 ln49 + 5x ) ] + C Určitý intergrál Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami Lineární obal Násobení matic Sarrusovo pravidlo B.1 Základní pracovní plocha B. Základní nastavení os a barev

15 SEZNAM OBRÁZKŮ 15 B. Slovník seznam funkcí B.4 Vložení nové funkce B.5 Konkrétní příklad funkce fx) = x + e 1 x) B.6 Šrafování B.7 Vložení tečny a normály k vybrané funkci B.8 Řada bodů B.9 Vložení textu D.1 Cyklus učení

16 Seznam tabulek 1.1 Číselné obory Obecné předpisy funkcí Grafy elementarnich funkci Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot Důležité hodnoty goniometrických funkcí Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí Značení výsledků u definičních oborů Vybrané funkční hodnoty funkce y = logx) Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x Vybrané funkční hodnoty funkce y = x Funkční hodnoty funkce f : y = x a její inverzní funkce Inverzní funkce Jak čteme z derivací Rostoucí intervaly Klesající intervaly Intervaly konvexity Intervaly konkávity Různé funkce a řada jejich derivací Určení kvality extrémů Extrémy body z případu Extrémy body z případu Extrémy body z případu Extrémy body z případu Vybrané funkční hodnoty funkce y = x Porovnání funkčních hodnot funkce y = x

17 0.1 Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Vektorové prostory a podprostory Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků A.1 Důležité hodnoty goniometrických funkcí B.1 Slovník B. Konkrétní funkce

18 Část I Matematická analýza 18

19 Kapitola 1 Než začneme počítat Návody na řešení příkladů jsou určeny především pro zkouškové úlohy na úrovni ČZU, tj.: funkce jsou spojité, jejich definiční obory jsou konečným sjednocením intervalů, derivace se počítá dle vzorců a pravidel. 1.1 Číselné obory Tabulka 1.1: Číselné obory Označení Název skupiny Příklad čísel N Přirozená čísla { 1,,, 4,... } N 0 Celá nezáporná čísla { 0, 1,,,... } Z Celá čísla {..., 1, 0, 1,,... } Q Racionální čísla { 17 19, } 15,... IQ Iracionální čísla {π, e,...} R Reálná čísla { } 17, π, e, 19 15,... C Komplexní čísla x + 1 výsledky jsou i a i N N 0 Z Q a IQ R C 1.1.1) 19

20 0 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Obrázek 1.1: Číselné obory IQ Q Z N 0 N R C 1. Obecné předpisy funkcí a grafy elementárních funkcí Obrázek 1. zobrazuje označení kvadrantů použité v tomto souboru. Obrázek 1.: Označení kvadrantů II I III IV Tabulka 1. představuje souhrn obecných předpisů.

21 1.. OBECNÉ PŘEDPISY FUNKCÍ A GRAFY ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ 1 Tabulka 1.: Obecné předpisy funkcí Obrázek Název Obecný předpis Obrázek Název Obecný předpis Přímka y = ax + b Parabola y = ax + bx + c Hyperboly y = c x Hyberboly x a y b = 1 Logaritmus y = log x Odmocnina y = a x + b Kde a, b, c jsou R. Tabulka 1.: Grafy elementarnich funkci y y = x 1 x 1 1 y = x y = x y = x y = 1 x y = a x, a > 1 y = a x, 0 < a < 1

22 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT y = log a x, a > 1 y = log a x, 0 < a < 1 y = sin x y = cos x y = tg x y = cotg x y = arcsin x y = arccos x y = arctg x y = arctg x

23 1.. VZOREČKY PRO ALGEBRAICKÉ ÚPRAVY 1. Vzorečky pro algebraické úpravy 1..1 Mnohočleny Pro a, b R platí: a + b) = a + ab + b, 1..1) a b) = a ab + b, 1..) a b = a + b) a b). 1..) 1.. Kvadratická rovnice Jedná se o rovnici ax + bx + c = 0, 1..4) kde a, b, c R, a 0, s neznámou x. Kořeny neznámé) x 1, x vypočítáme podle vzorce Pokud D = 0, je x 1 = x = b a x 1, = b ± D, jestliže D = b 4ac 0 diskriminant). 1..5) a dvojnásobným kořenem. Platí rovnost ax + bx + c = ax x 1 ) x x ). Pokud a = 1, máme x + bx + c = x x 1 ) x x ) = x xx 1 + x ) + x 1 x, tedy b = x 1 + x ), c = x 1 x. Poznámka 1. Pokud D < 0, kvadratická rovnice 1..4) nemá reálné kořeny. Má však dva komplexně sdružené komplexní kořeny x 1 = b+i D a, x = b i D a, kde i je imaginární jednotka, tj. i = 1. Zjednodušeně řečeno, je-li diskriminant D > 0, pak řešením rovnice jsou dva různé reálné kořeny, diskriminant D = 0, pak řešením rovnice je jeden dvojnásobný reálný kořen, diskriminant D < 0, pak řešením rovnice dva komplexně sdružené kořeny.

24 4 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT 1.. Mocniny Jsou-li r, s R, pak platí následující rovnosti pro všechna x, y R, pro která mají obě strany smysl: x r x s = x r+s, x r : x s = xr x s = xr s, x r = 1 x r, x0 = 1, 1..6) speciálně: x 1 = 1 x, x r x r = x 0 = 1, x r y r = x y) r x r x ) r,, y r = 1 1 ) r, y x r = 1..7) x x r ) s = x r s. 1..8) Příklady. Pro x 0 máme: 1 x = x, x 1 x = 1 x x = 1 x dle 1..6)) Odmocniny Pro m, n N, r R a x, y 0, ) platí: 1 n x = x n, 1..9) n x y = n x n n x n x y, y =, n y 1..10) n xr = n x ) r r n = x n, m x = n m x = n m x, 1..11) speciálně: n xn = x Některé úpravy zlomků složený zlomek: usměrňování zlomků příklad: rozložení zlomků: x y w = x z y z 1 x a + b c w = xz yw x x = 1 = = a c + b c 1 x y, z, w 0), 1..1) x x = x x x > 0), 1..1) a b + c ) 1.4 Logaritmy Vzorce Předpokládejme, že a 0, 1) 1, ).

25 1.4. LOGARITMY 5 Platí a y = x y = log a x pro x > 0, y R, 1.4.1) speciálně: 10 y = x x = log y pro x > 0, y R), speciálně: e y = x x = ln y pro x > 0, y R, e =, je Eulerovo číslo), a log a b = b pro b > 0, např. e ln = ), 1.4.) Pro u, v > 0, s R a n N platí: log a u v) = log a u + log a v, u ) log a = log v a u log a v, 1.4.) log a u s ) = s log a u, log a n u ) = loga u) 1 n = 1 n log a u, 1.4.4) log a 1 = 0, log a a = 1, 1.4.5) speciálně z 1.4.4), 1.4.5) plyne: s = log a a s ) ) log a b = log 10 b log 10 a 1.4.7) 1.4. Hodnoty Tabulka 1.4: Hodnoty logaritmů vybraných základů z vybraných hodnot log a 1 = 0 log a a = 1 barva křivky x ; 0 0, 5 1 e log x , 489, 19, 19 6, , 889 ln x 0, , , 60944, 059 4, , 149 log 5 x 0, , , , 4068, 8615, 8041 log x 0, , 010 0, 497 0, , log 100 x 0, , , , , 5 1 1, 948 Obrázek 1.: Průběh funkce y = log x Zdroj: program Graph

26 6 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Obrázek 1.4: Průběh funkce y = ln x Zdroj: program Graph Obrázek 1.5: Průběh funkce y = log 5 x Zdroj: program Graph Obrázek 1.6: Průběh funkce y = log x Zdroj: program Graph

27 1.4. LOGARITMY 7 Obrázek 1.7: Průběh funkcí y = log x, y = ln x, y = log 5 x, y = log x, y = log 100 x Zdroj: program Graph

28 8 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT 1.4. Odlogaritmování Např. při výpočtu definičních oborů se občas setkáváme s nutností odlogaritmovat určitý výraz, níže jsou příklady, jak takovou úpravu provést. Pro a 0, 1) 1, ), A > 0 a y > 0 platí: x = log a y y = a x 1.4.8) a B log a A = a log a AB = A B 1.4.9) a log a A = A ) log a a B = B ) V následujících příkladech ukážeme několik možností s logaritmy o různých základech. 1) Dekadický logaritmus základ 10) 1 log8 x) = 0 log8 x) = 1 podle vzorce 1.4.8)) 8 x = 10 1 x = ) Přirozený logaritmus základ e) ln 6x = 0 ln 6x = ln 6x = ln e podle vzorce )) 6x = e neboť logaritmus je prostá funkce) x = e 6 ) Logaritmus o základu 6 log 6 8x 1) 5 = log 6 8x 1) = 7 log 6 8x 1) = log podle vzorce )) 6 log 6 8x 1) = 6 log x 1 = 6 7 podle vzorce )) 8x = x = x = ± x = ± x = ±

29 1.5. GONIOMETRICKÉ FUNKCE Goniometrické funkce Vzorce 1. sin x ± kπ) = sin x 8. sin x) = sin x 15. sin x + cos x = 1. cos x ± kπ) = cos x 9. cos x) = cos x 16. tg x = sin x cos x. tg x ± kπ) = tg x 10. tg x) = tg x 17. tg x cotg x = 1 4. cotg x ± kπ) = cotg x 11. cotg x) = cotg x 18. cotg x = cos x sin x tg α ± tg β 5. sinα ± β) = sin α cos β ± sin β cos α 1. tgα ± β) = 19. tg α = tg α 1 tg α tg β 1 tg α 6. cosα ± β) = cos α cos β sin α sin β 1. sin α = 7. cotg α = cotg α 1 cotg α 1 cos α 0. cos α = 1 + cos α 14. cos α = cos α sin α 1. sin α = sin α cos α. cotgα ± β) = cotg α cotg β 1 cotg β ± cotg α 1.5. Hodnoty Tabulka 1.5: Důležité hodnoty goniometrických funkcí x π π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π π π π 4 5π 7π 6 π 6 5π 4 4π π 5π 7π 4 11π 6 sin x cos x tg x cotg x

30 0 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Tabulka 1.6: Jak odvodíme z tabulky goniometrických funkcí hodnoty cyklometrických funkcí ) π x 1; 1 sin = 1 arcsin 1) = π arcsin x: π arcsin x ; π ) 7π sin = 1 ) 1 ALE arcsin = π 6 6 arccos x: arctg x: arccotg x: x 1; 1 cos0) = 1 arccos1) = 0 arccos x 0; π x ; ) arctg x x ; ) π ; π ) arccotg x 0; π) ) π cos ) π tg ) π tg 5π ) tg π ) cotg 4 cotg ) 5π 4 = 1 ) 1 ALE arccos = π = arctg ) ) π = = ALE arctg ) ) π = = ALE arctg ) ) π = = 1 arccotg1) = π 4 = 1 ALE arccotg1) = π 4

31 1.5. GONIOMETRICKÉ FUNKCE 1 Obrázek 1.8: Jednotková kružnice hodnoty úhlů ve stupních y 1, ) 0, 1) 1, ) ), 1, ) 5π 6 π 4 π 10 π π π 4, π 6 ), 1 ) , 0) 1, 0) π π x ), 1 7π 6, ) 5π , ) 4π π 0, 1) 5π 0 7π 4 11π 6 1, ),, 1 ) ) Zdroj: L A TEX

32 KAPITOLA 1. NEŽ ZAČNEME POČÍTAT y Obrázek 1.9: Jednotková kružnice sin α = y cos α = x 0 α x y 1 x tg α = y x cotg α = y x sec α = 1 x csc α = 1 y Zdroj: L A TEX

33 Kapitola Definiční obor jedné proměnné.1 Návody k výpočtu Činitelé, kteří kladou podmínky jsou: 1. JMENOVATEL. Musí být nenulový. 1 x ; x 0. ODMOCNINA. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný. Může se rovnat nule 0 = 0). Nula je nejmenší číslo, které může být pod sudou odmocninou. x; x 0. LOGARITMUS. Logaritmovaný výraz argument) musí být větší než nula, ať je základem logaritmu jakékoli číslo. ln x; x > 0 log x; x > 0 4. DVĚ CYKLOMETRICKÉ FUNKCE. Argument, ze kterého se počítá arcsin a arccos nikoli arctg a arccotg) musí být na intervalu 1; 1 ArcSin arcsin x; 1 x 1 ArcCos arccos x; 1 x 1 Tabulka.1: Značení výsledků u definičních oborů Značení na číselné ose otevírací závorka uzavírací závorka znaménka podmínky ) > <. Ukázkové příklady 1) y = logx) Z Obrázku.1 je vidět, že x může být jakkoli veliké v kvadrantu I a IV, tedy kladné. Nikdy se však nerovná nule ani není záporné x roste od nuly, nezačíná na ní), x > 0. Definiční obor je tedy x 0; ) ) y = + x

34 4 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ Obrázek.1: Průběh funkce y = logx) Zdroj: program Graph Tabulka.: Vybrané funkční hodnoty funkce y = logx) x y Obrázek.: Průběh funkce y = + x Zdroj: program Graph Je evidentní, že nejmenší možná hodnota x je 0. Podmínky ze sudé odmocniny jsou x 0. Tabulka. ukazuje vybrané hodnoty, které tvoří zadanou funkci. Definiční obor je tedy x 0; )

35 .. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY 5 Tabulka.: Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x x y ) y = + x Obrázek.: Průběh funkce y = + x Zdroj: program Graph Tabulka.4: Vybrané funkční hodnoty funkce y = + x x y Definiční obor je tedy x ; 0) 0; + ) nebo lze tuto skutečnost zapsat jako x R\{0}. 4) y = x Z této funkce žádné podmínky neplynou. Obrázek.4: Průběh funkce y = x Zdroj: program Graph

36 6 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka.5: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x x y Definiční obor je tedy x R.. Jednoduché příklady ze skript Zadání 1) fx) = 1 x 1 + x Výsledky 1 Df) = 1; 1 ) fx) = + x x + 4 6x 8 x Df) = {} ) fx) = log x 5x + 6x) Df) = 0; ) ; ) 4) fx) = x 4 + x + x Df) = ; {} 5) fx) = x 9 5 Df) = ; ) 6) fx) = e 1 log x+) 6 Df) = ; 7 7) fx) = x + 1 x x 7 Df) = ; 0) 0; ) 8) fx) = 4 x x 4 8 Df) = ; ) 9) ) 1 x fx) = arccos 9 Df) = 1; 10) fx) = 5 arctg x 4 x + arcsin x ) 10 Df) = 1; ) ; x ) fx) = arccos 11 Df) = 1 ; 1 1) fx) = sinarcsin x) 1 Df) = 1; 1 1) fx) = arcsinsin x) 1 Df) = ; ) 14) fx) = log 4x 1) 14 ; Df) = ; 1 ) 1 ) 15) fx) = lnx 1) x x 15 Df) = 1; ) ; ) 16) fx) = 16 x + log 6x + x ) 16 Df) = 0; 4 x 17) fx) = log x + x) x 18) fx) = log 1 + 4x x ) x x 17 Df) = 0; 18 Df) = ; 1) ; 6) 19) fx) = loglog x + 8) 19 Df) = ; ) 0) fx) = log 1 logx 5x + 16) ) 0 Df) = ; )

37 .4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 7.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1 9x 1) fx) = 1 log 8 x) + 1 x 1 D : x ; ) ; 1 ) 1 10x + 1 ; 7; 8) x ) 16x ) fx) = ln + 6 x x 5 D : x 6; 4) 0; 4) 5; 6 x + 9x 5 ) fx) = x 4 x D : x, 5 x 5, 1 x ) + x 15 4) fx) = ln + e x 16 4 D : x 8; ) x 1 5 x 5) fx) = x lnx 1) 5 D : x ; 1) 1; 4 6) fx) = 1 ) x 5 x + arcsin + lnx 1) 6 D : x 1; ) ; x ) 16 7) fx) = log x + e 5 4x 7 D : x 5 ) + x ; 1 ; 5 x x 10 8) fx) = + log8 x) 8 D : x 4; 5; 6) 6; 8) logx + 4) 1 9) fx) = x + x ln5 x) + x 9 D : x ; 1 ; 4 4 x 8 10) fx) = x x 10x + log100 x ) 10 D : x 10; ) 0; 5; 10) 11) fx) = 5 x + ln x + 4x 1x 11 D : x 5; 0) ; 4) 4 x x ) ) x + x 1 1) fx) = ln + arcsin 1 D : x ; 1) ; 4 x x 1) fx) = logx 9 4) + x 1 D : x ; 4) ; ) ; 5; ) x 0 14) fx) = x ) 5 x + x + ln x 14 D : x 5; 4) ; 1) ; 5 + x 8 e 4x 15) fx) = ln + e 4x 15 D : x ; ln ) 4 x 8 16) fx) = x + 4x 5 + lnx + x) 16 D : x 5; ) 0; 1) ; ) x 9x ) fx) = + log log10 x)) 17 D : x ; 4 5; 9) x 5 x 5 18) fx) = x x 1 + logx 1) 18 D : x ; 1) 1; 4; ) 19) fx) = x 4x + + ln5 x) 19 D : x ; 1 ; 4 0) fx) = log logx + 8)) 0 D : x ; ) 1) fx) = x + 1 x x 1 D : x ; 0) 0; ) ) fx) = e 1 logx+) D : x ; 7 ) fx) = ) 64 x x ln x D : x 1; ) 5; 8 4x 5

38 8 KAPITOLA. DEFINIČNÍ OBOR JEDNÉ PROMĚNNÉ x ) x 15 4) fx) = ln + e x 16 4 D : x 5; ) x 1 x 4 5) fx) = 5 D : x 4; ; 6) 6; ) logx + 4) 1 x + 6 6) fx) = x 6x logx 9) 6 D : x 6; ) 4; ) x + x 4 7) fx) = x + log logx + 15)) 7 D : x 7; 4 ; 1 ; ) 9 8) fx) = x ) x x log x 8 D : x ; 5) 4; ; 4) 7; ) 16 9) fx) = e 49 x x ) 4x 1 + ln 9 D : x 7; ) 6; 7 x + 10 x + x 15 0) fx) = 4 x + ln16 x ) 0 D : x 4; ) ; 4) 16 1) fx) = x x ln 5 x) 1 ; 1 ; 5) x + ) fx) = x x x + + ln x 4) ; ) ; ) x ) ) fx) = ln x + 16 x + x 15 4; 1) ; 4 4) fx) = x 1 arctg x 1 4 ; 1 1; ) x 6x + 8 5) fx) = + ln x 6) 5 8; 6) 6; ) x + 8 x + 7x 8 6) fx) = 9 x + log logx + 7)) 6 6; ) 1; ) x 7) fx) = lnx + x 4 4) + x 7 ; 6 4; ) 4; ) + 4x x + x 8) fx) = 16 x + log 9 x ) 8 ; 1; x ) 8 9) fx) = ln x + e 5 x 9 5; 1) ; 5 + 5x 6 40) fx) = x ) x 5x 1 + log 40 ; 5 1; 5; ) x x 9x 41) fx) = + ln1 x) 41 5; 0; 5; 1 logx + 5) 1 x ) 4x 5 4) fx) = ln 8 x + 16 x 4 4; 1) ; 4 x ) 16 4) fx) = ln x + x + x ; 1 1; ) 4; ) x x 10 44) fx) = x + loglogx + 5)) 44 4; ; 4) 5; ) 7x + 1

39 Kapitola Definiční obor dvou proměnných.1 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) fx, y) = ln ) x + y 9 x + y + ) fx, y) = 16 y + ln 5) fx, y) = x + y ) 4 x + y + arccos y y lnx + 1) 6) fx, y) = Zadání x + y ) 9 ) fx, y) = ln x 4) fx, y) = 1 x + y 4 + ln9 y ) ln x y y 1 4x + 9y ) 6 7) fx, y) = ln 8) fx, y) = 1 y ln x y ln x + y + ln x y ) 1 + x y x y 9) fx, y) = 10) fx, y) = ln ln x y y log x ) x + y 6 4x 9y ) 11) fx, y) = arcsin 1) fx, y) = log x 1 x + y 4 4x y x ) + y + 1 1) fx, y) = ln1 x y 14) fx, y) = ln ) 1 x 4x 15) fx, y) = arcsiny x + y ) 4 ) + arcsiny x 1) 16) fx, y) = log y 1 4 x ) 17) fx, y) = ln x + 4y 18) fx, y) = ln 16 4x + 9y 4x 6y + 6 4x y 4x + 4y + 8 ) 9

40 Kapitola 4 Limity 4.1 Vzorce a vztahy Níže jsou uvedeny vzorce pro oboustranné limity ve vlastním bodě. Analogické vzorce platí i pro limity v ± a také pro limity jednostranné, není-li řečeno jinak může být A také ±. 1) Funkce má v daném bodě nejvýše jednu limitu, tj. je-li lim x a fx) = A a lim x a fx) = B, pak je A = B; ) je-li lim x a fx) = A R a lim x a gx) = B R, potom je: lim fx) + gx)) = A + B; x a lim fx) gx)) = A B; x a lim fx) gx)) = A B; x a lim x a ) fx) = A, samozřejmě za předpokladu, že B 0; gx) B ) je-li fx) hx) gx) v nějakém okolí bodu a s vyjímkou tohoto bodu a) a lim fx) = lim gx) = A, x a x a potom je také lim hx) = A; x a 4) lim gx) = b, lim hx) = A a je-li pro každé x Dg), x a x b hgx)) = A. lim x a x a splněna nerovnost gx) b, pak je Poznámka. Důsledkem právě uvedených vlastností limit jsou i následující dvě vlastnosti: 5) je-li lim x a fx) = A R, potom je lim x a k fx)) = k A pro libovolné k R; 6) je-li lim x a fx) = 0 a je-li funkce gx) omezená v nějakém okolí bodu a tj. gx) K, pro nějaké K R, potom je lim x a fx) gx)) = 0. 40

41 4.. KLASICKÉ PŘÍKLADY Klasické příklady Určete limity funkcí: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x + 5 x 1) lim x 1 x 1 ) lim + 1 x 0 logx + 10) x + 1 ) lim x 1 x 1 5) lim x x 5x + 6 x 9 x 5x + 6 7) lim x x 9 9) lim x 1 1 x 6 1 x x ) lim x x + 4 ) x 4 1) lim x x + 1 x ) 5 + x x 15) lim x 7 x + x 15 1 x x ) lim x x + x 1 x 4 + x ) lim x x + x + 4 x 1) x 1) lim x 1 x 1 x ) lim x x 9 + x 5) lim x 0 x x 6 + 7) lim x x + ) x + 9) lim ln x x x4 + x 1) lim x x + 5x ) lim x 4) lim x 1 x + 1 x ) lim x x 5x + 6 x ) lim x x x ) ) lim x x 4 x x 1x + 16) 10 8 ) 10 1 x ) lim x x + ) 1 1 x + x ) lim x x + x + 4 x ) lim x x x + x x ) lim x x x x + 1) 10 x ) ) lim x x ) x 4 ) lim x 4 x x x 4) lim x x 4 6) lim x 8) lim x 16 9 ln 4 0) lim x x x) Neexistuje ) 10 ) x x + ) 4 4 x 8 1 x 4 4 x ) lim x x 0 x x + x 1 1 4) lim x x) 4 0 x x x ) 5) lim x x x x 7) lim x π+ 5 e x 6) lim x + sin x tg x 7 8) lim x 0 cos x x 6 8 cos x + 5 cos x 9) lim x π cos 9 cos x sin x 41) lim x 0 sin x sin x cos x 1 4) lim x π 4 cos x sin x x 9 5 ) + 8x ) lim log x 1 x x ) lim x π ) lim x 0 tg x + tg x tg x tg x + 1 sin x sin x 1 sin x )

42 4 KAPITOLA 4. LIMITY 45) lim x π sin x tg x sin x cos x 47) lim x π 4 cos x x + sin x 49) lim x x cos x 51) lim x arctg x x 1 + cos x 45 46) lim 46 0 x π + sin x 47 48) lim x x5 + sin x) ) lim arccotg x + ) 50 x ) lim x e 1 x 5) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru 5 1 Df) = ; ) ; ) lim fx) = 0 x lim fx) = 0 x fx) = 1 x lim fx) = x lim fx) = x + 54) Vypočítejte limity zadané funkce v hraničních bodech jejího definičního oboru Df) = R\{ ; 1} fx) = lim fx) = 0 x 1 x x + x lim x 1 fx) = 1 4 lim fx) = x lim fx) = 0 x lim x 1 + fx) = 1 4 lim fx) = x +

43 Kapitola 5 Derivace funkcí jedné proměnné 5.1 Definice derivace funkcí jedné proměnné v bodě f a) = lim h 0 fa + h) fa) h v bodě a 5.1.1) 5. Úprava funkcí před derivováním Pakliže je naším úkolem zderivovat nějakou funkci, je často vhodnější si tuto funkci nejprve nějak příhodně upravit viz příklad modře je vyznačena samotná derivace) a teprve po úpravě ji zderivovat. Výsledky však musí být stejné ať už zadání upravíme, nebo ne. Naším úkolem je zderivovat funkci: y = 1 + x Mohu ji derivovat: a) Neupravenou y = 1 + x y = x 1 + x = + x 1 + x + x 1 1 = + x 1 + x = 1 + x) b) Upravenou y = + x) 1 y = 1 + x) = + x) 1 = + x) 4

44 44 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ 5. Vzorce pro derivování Pokud aplikujeme vzorec Equation v každém bodě a, dostaneme následující vzorce. Níže jsou uvedeny všechny vzorce z tabulky z technické fakulty. Ani na zmíněné tabulce nejsou všechny vzorce Diferenciálního počtu. Některé vzorce jsou zde i v tabulce) odvozené od ostatních, například: vzorce č., 4, 5 jsou odvozeny od vzorce č. ; vzorec č. 7 odvozen od vzorce č. 6; vzorec č. 9 odvozen od vzorce č. 10. Funkce a exponenty Pravidla pro derivování 1. konstanta) = 0 Pravidla pro sčítání. x) = u ± v) = u ± v. x a = ax a 1 Pravidla pro násobení ) 1 4. = 1 x x 0. u v) = u v + u v 5. x) = 1 x Speciální případ s konstantou Logaritmy a exponenciála 0.a k fx)) = k fx)) 6. log a x) = 1 Násobení více funkcí x ln a 7. log x) = 1 1. u v w) = u v w + u v w + u v w u v) w + u v) w 8. x ln 10 ln x) = 1 x nebo též u v) w) = 9. e x ) = e x Pravidla pro podíl 10. a x ) = a x ln a. u ) u v u v = v Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou ) fx) 11. sin x) = cos x.a = f x) k k 1. cos x) = sin x Pravidla pro složené funkce 1. tg x) 1 = cos. [f gx))] = f gx)) g x) x) 14. cotg x) = 1 sin x) Cyklometrické funkce 15. arcsin x) 1 = 1 x 16. arccos x) 1 = 1 x 17. arctg x) = x 18. arccotg x) = x Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici obecné mocniny ) fx) gx) gx) ln fx) = e v 5.4 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) y = 7 x y = 7 x ) y = 1 x x 5 x 4 y = 1 1 x 7

45 5.4. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 45 ) y = x 1) x 4) y = x x 1 x 1 y = 4 x y 1 = x 1) 5) y = x x 5 y = x x + x ln ) 6) y = x ln x x 6 y = ln x 7) y = x ) cos x + x sin x 7 y = x sin x 8) y = x 1) log x 8 y = log x + 1 ln 9) y = tg x e x 9 y 1 sin x cos x = e x cos x 10) y = 4x x 10 y = 11) y = cos x 1 sin x 1) y = 1 + ln x x ) x + 1) y = ln x ) 1 14) y = arctg x ) x ) y = arccotg x 1 4 x) 11 y 1 = 1 sin x 1 y = ln x x 1 y = 6 9 x 14 y = x 15 y = x 1 1 ) x 16) y = e x+1 + x y = e x+1 +1 x ) y = arcsin x 1 17 y x = x )x 1) 18) y = tg 4 x tg x 4 lncosx)) 18 y = 4 tg 5 x x )) 19) y = ln tg 19 y = 1 sin x 0) y = x 1 x ) ln 1) y = ) 1 + x 1 x 0 y = x ln ) 1 + x 1 x x + 1 x ) 5 1 y = 5x + 1)4 x 1) x x ) y = x arctg x 1 ln1 + x ) y = arctg x π ) y = ln tg 4 + x )) 4) y = x 8 16 x + arcsin x 4 5) y = x 16x x + 4 arcsin 4 6) y = 1 x ) arctg 1 x 7) 1 y = x arcsin x 8) y = 1 x )) tg ln ) + ln x + ) x 1 cos x sin x y = 1 cos x 16 x 4 y = 4 5 y = 10 x 16x x 6 y = x + 1 x 4 + x + 1 ) 1 7 y = arcsin x 8 y = 1 sin x

46 46 KAPITOLA 5. DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ x 9) y = x + 1) + x x + 1) + arctg x 9 y = 1 ) 1 x 0) y = ln x 1) y = 1 ln x x + 1 arcsin x x ) arctg x x Vypočtěte druhé derivace funkcí: 4 x + 1) 0 y = arcsin x x 1 y = arctg x x ) y = x tg + lncos x) y x tg x + 1 = ) y = ln x + ) x + 1 x x 4) y = 5) y = ln ln x ) ) x + x x ) 6) y = arctg 1 + x 1 x 7) y = ln 1 + x + arctg ) 1 x 1 + x y = x x x + 1) 4 y = ln x + x 5 y = 6x x 4x 5 x + ) x + 4)) 6 y = 6x x6 1) 1 + x 6 ) 7 y = 8x x 4 1) 8) y = + ex 4 e x 8 y = 8 ex 4 + e x ) 4 e x ) 1 + e x 9) y = ln 1 e x 9 y = 4 ex 1 + e 4x ) 1 e 4x ) Vypočtěte f 4) pro funkci x 40) fx) = 1 + x Vypočtěte f 0) a f 0) pro funkci 41) fx) = x 9 ) 9 x arcsin x Vypočtěte f 5) a f 5) pro funkci 4) fx) = x x x 9 + ln x + ) x 9 40 f 4) = 0, 01 Ve kterých intervalech je derivace zadané funkce kladná? 4) y = tg x + lntg x) 4 x Pro které x je derivace zadané funkce rovna nule? 41 f 0) =, f 0) = 0 4 f 5) = 0, f 5) = 1 8 k π π ), k + 1) 44) y = 4x 1) e 1 x 44 x = 1 Pro která x je derivace zadané funkce rovna nule? 45) y = sin x sin x + sin x 45 x = π + kπ, k Z Pro která x platí f x) = 4 u zadané funkce? 46) y = 4 sin x 1 + cos x 46 x = π + kπ, k Z

47 5.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) fx) = ln sin x + ) cos x ) x ) fx) = ln 1 x + sin 5x ) fx) = ln sin 5x 4) fx) = x x + arccos x 1 + ) x 5) fx) = ln x 6) fx) = x x 9 9 x ln + ) x 9 7) fx) = 9 x + x arcsin x + arcsin 1 Výsledky 1 fx) = cos x cos x fx) = 1 x x fx) = 4 fx) = x x 0 sin 5x cos 5x 4 sin 4 5x 5 fx) = x x fx) = x 9 7 x ) fx) = arcsin 8) fx) = x 16x x + 4 arcsin 8 fx) = 10 x 4 16x x e 4x 9) fx) = ln + e 4x 9 fx) = 8 e4x e 8x 4 ) 10) fx) = ln ln x ln 4 x 10 fx) ln x = x 4 + ln 4 x Nepočítáno: 11) fx) = ln x4 + + x ) ln x4 + x ) ) 1) fx) = ln sin x sin 4 x 1) fx) = x 1 arctg x 1 ) x 14) fx) = ln 1 x 4 ) 1 + e x 1 15) fx) = ln 1 + e x ) fx) = e π 1 ex + arcsin ) e x 17) ) x fx) = 4 arcsin + 4x x 18) fx) = x arcsin x ) + 1 x

48 Kapitola 6 Limity l Hospitalovo pravidlo 6.1 Předpoklady užití l Hospitalova pravidla l Hospitalovým pravidlem, musí dané funkce splňovat následující předpo- Chceme-li počítat limity lim fx) gx) klady: 1.. něco 0 0. limity z derivace lim f x) g x) existuje. Potom lim fx) gx) = lim f x) g x) 6. Jednoduché příklady ze skript Užitím l Hospitalova pravidla vypočtěte následující limity: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x x 1) lim x x 1 1 e x x 1 ) lim + x 0 7 x 0 + sin x e x 1 ) lim x 0 cos x 1 ln x 5) lim x 0 + cotg x 1 x 7) lim x e x +1 ln x 4) lim 4 0 x x ) lim x + x x 0 e x 7 0 8) lim x 0 sin x sin 5x sin x cos x 1 9) lim x 0 x ) lim 10 0 x π tg x 11) lim x ln x ) lim ln1 x) ln x 1 0 x 0 + x 1 1) lim 1) cotg x ) lim cotg x 1 ) 14 0 x 0 +ex x 0 + x x 15) lim x π cotg x π ) ) lim tg x + ) 16 0 cos x x π x π x 50 ) 50x ) lim x 1 x ) tg x 1 18) lim 100x x π 4 sin 18 1 x 1 Následující limity počítejte oběma způsoby, tj. úpravami bez použijí l Hospitalova pravidla a s ním: Zadání Výsledky Zadání Výsledky x + 1 x ) lim x x x 0) lim 9 16 x x 1 + tg x 1 tg x 1 + cos x 1) lim 1 1 ) lim 0 x 0 sin x x 0 sin x 48

49 6.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 49 ) lim x 0 tg x sin x sin x 1 4) lim x x) x) x + x V dalších dvou příkladech vypočtěte limity dané funkce v hraničních bodech definičního oboru a nakreslete graf libovolné jiné funkce, která má ve stejných bodech stejné limity: Zadání Výsledky 5) y = x + 5x 8x x 1 5 lim x fx) = lim fx) = x 1 4 6) y = x + 4x x x 6 lim x ± fx) = 1 4 lim x 0 fx) = 4 lim fx) = 7 x 1 6 lim x fx) = lim fx) = x lim x + fx) = lim x fx) = 6. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Nepočítáno: ln 1 x) 1) lim x 0 + sin x sin 5x e 1 x 1 ) lim x 1 5x 1 cos x ) lim x π 1 tg x 1 tg x 4) lim x π 8 cos 4x 5) 1 10 x lim x x 1 6) tg x lim x 0 + sin x cotg x 1 7) lim x π 8 1 cos x x + sin 5x 8) lim x 0 x cos x sin x 9) lim x 0 tg x x ) lim x 0 x sin x

50 Kapitola 7 Parciální derivace 7.1 Definice derivace funkcí dvou proměnných v bodě f fa + h, b) a, b) a, b) = lim x h 0 h 7.1.1) f fa, b + h) a, b) a, b) = lim y h 0 h 7.1.) 7. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadáná funkce Výsledek f x Výsledek f y Výsledek f x y = f y x 1) fx, y) = xy lnx + y) ln 5 1) y lnx + y) + xy x + y 1) x lnx + y) + xy x + y ) fx, y) = lnx + x y) y sin) ) ) x 1 y x + x y) ) fx, y) = sinx y 4 ) + y e y x + 1 4) fx, y) = ln sin y ) π ) + ln x 6 5) fx, y) = arctg y x) + x y + π 6) fx, y) = sinx + y ) + y e x y +1 7) fx, y) = arctgx y) arctg 1 8) fx, y) = sinx y + y ) sin π Nepočítáno: 9) fx, y) = arccotgx y) arccotg ) 10) π ) fx, y) = cosx xy) + cos 4 11) fx, y) = e xy x y +x y + e 1) lnx + y) + 4x + 6xy + 9y x + y) ) x + y x + x y x y x x + x y) 50

51 Kapitola 8 Inverzní funkce 8.1 Návod Co je naším úkolem při výpočtu inverzních funkcí? Co je to vlastně inverzní funkce? Laicky řečeno, inverzní funkce zobrazuje hodnoty opačným směrem než původní funkce, jak je zřejmé z Tabulky 8.1. Z toho také vyplývá, že funkce f : y = x je inverzní sama k sobě. Právě ke každé prosté funkci lze nalézt inverzní funkci. To znamená, že ne ke každé funkci jsme schopni inverzní funkci sestrojit. Např. funkce f : y = x definovaná na celém R není prostá, a proto k ní nejsme schopni sestrojit na tomto definičním oboru inverzní funkci. Lze ji však nalézt k její vhodně zvolené části viz Tabulka 8. třetí příklad. To samé se týká funkce f : y = sin x v posledních dvou příkladech zmíněné tabulky. Tabulka 8.1: Funkční hodnoty funkce f : y = x a její inverzní funkce f : y = x f 1 : y = x f1) = f 1 ) = 1 f) = 4 f 1 4) = f) = 6 f 1 6) = f4) = 8 f 1 8) = 4 f5) = 10 f 1 10) = 5 Příklad f : y = x + 1 x 4 y x 4) = x + 1 / x 4) xy 4y = x + 1 /roznásobení levé strany xy x = 1 + 4y / x /+4y xy 1) = 4y + 1 /vytčení x x = 4y + 1 y 1 y = 4x + 1 x 1 inverzní funkce k y nalezneme x) /přeznačení proměnné Tabulka 8. ukazuje celkem pět příkladů funkcí a jejich inverzních funkcí. V každém řádku je uveden jeden příklad, na obrázcích jsou celkem křivky: petrolejová = zadaná funkce plná = část zadané funkce k níž JE sestrojena inverzní funkce tečkovaná = část zadané funkce k níž NENÍ sestrojena inverzní funkce 51

52 5 KAPITOLA 8. INVERZNÍ FUNKCE růžová plná) = inverzní funkce fialová tečkovaná) = osa, podle níž je původní funkce překlopena 8. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) f : y = 4 logx + 1) ) f : y = x+1 ) f : y = 4 x

53 8.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 5 Tabulka 8.: Inverzní funkce Zadaná funkce Inverzní funkce f : y = x f 1 : y = x f : y = e x f 1 : y = log x f : y = x x 0; ) f 1 : y = x f : y = sin x π ; π f 1 : y = arcsin x f : y = sin x π ; π f 1 : y = arcsin x Zdroj: program Graph

54 Kapitola 9 Tečna a normála v bodě T 9.1 Vzorce tečny a normály Tečna t : y y T = f x T ) x x T ) 9.1.1) Normála n : y y T = 1 f x T ) x x T) když f x T ) ) Normála v extrémním případě, kdy se první derivace v bodě rovná v daném bodě nule f x T ) = ) n : x = x T 9.1.4) Všimněte si, že v případě, kdy se první derivace v bodě rovná nule v zadaném bodě, pak: t : y y T = ) n : x = x T 9.1.6) a předpisy tečny a normály neobsahují proměnnou x nebo y. Jedná se tedy o přímky, kdy: t osa x tečna je rovnoběžná s osou x) n osa y normála je rovnoběžná s osou y) 9. Návody k výpočtu Obecný předpis tečny a normály: 54

55 9.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 55 t : y y T = f x T ) x x T ) n : y y T = 1 f x T ) x x T) 1. Máme zadaný předpis konkrétní funkce a bod o souřadnicích T = [x T ; y T ]. Nemusíme se zabývat definičním oborem máme zadaný konkrétní bod a ten určitě na křivce leží = v tom místě funkce existuje. Více řešit nemusíme. Zpravidla známe jen x-ovou souřadnici bodu. y-novou souřadnici dopočteme dosazením x-ové souřadnice do zadaného předpisu.. Vidíme, že pro dosazení do vzorce nepotřebujeme jen x-ovou a y-ovou souřadnici, ale i první derivaci. Vypočteme tedy 1. derivaci zadané funkce.. V případě, že se v 1. derivaci vyskytne proměnná x, dopočteme 1. derivaci v bodě. Vyjde-li např. y = x a máme zadaný bod T = [; 6], tak derivace v bodě je y =, tedy y = 6. y-nová souřadnice se v derivaci v bodě nijak nepromítne). 4. Dosazení do vzorce: t : y y T = f x T ) x x T ) n : y y T = 1 f x T ) x x T) Toto jsou proměnné, části vzorce, za které se nic nedosazuje a pouze se opisují. Za tyto části vzorce se dosazují souřadnice zadaného bodu T. Derivace v bodě jedná se vždy o konkrétní číslo). Poznámka. Normála je kolmice na tečnu tyto dvě přímky tedy nikdy nemohou mít stejný předpis. Podívejme se však, co se stane, když vyjde první derivace v daném bodě nula f x) = 0, a my bezmyšlenkovitě dosadíme do vzorců tečny a normály: t : y y T = 0 x x T ) n : y y T = x x T ) pro normálu nám vychází dělení nulou, což je operace vyhrazená pouze Chucku Norrisovi. Pakliže vyjde pro tečnu předpis y = y T, jedná se o nějakou konstantní funkci rovnoběžnou s osou x. Má-li být normála kolmá na tečnu a procházet zadaným bodem, musíme vycházet ze seciálního vzorečku pro tento případ, který říká: n : x = x T 9. Ukázkový příklad Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: T = [1;?]

56 56 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T 1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce y = ln 1 y = 0 Plné souřadnice bodů jsou tedy: T = [1; 0] ) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x y = 1 x ) Vypočítáme 1. derivaci v bodě v našem případě máme dva body tedy pro každý zvlášť) y T = 1 1 = 1 4) Dosazení do vzorce t : y 0 = 1 x 1) 0 = x y 1 y = x 1 n : y 0 = 1 x 1) 1 0 = y + x 1 y = 1 x Máme zadanou funkci y = ln x Výpočet si ukážeme na dvou různých bodech: S = [e;?] 1) Dopočteme y-nové souřadnice dosazením x-nové souřadnice do zadané funkce y = ln e y = 1 Plné souřadnice bodů jsou tedy: S = [e; 1] ) Vypočteme 1. derivaci funkce y = ln x y = 1 x

57 9.. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD 57 ) Vypočítáme 1. derivaci v bodě v našem případě máme dva body tedy pro každý zvlášť) y S = 1 e 4) Dosazení do vzorce t : y 1 = 1 x e) e 0 = x e y n : y 1 = e x e) 0 = y + e x e 1 Obrázek 9.1: Grafické znázornění: Tečna zadaná funkce a tečné body T a S Zdroj: program Graph

58 58 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T Obrázek 9.: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě T = [1; 0] Zdroj: program Graph Obrázek 9.: Grafické znázornění: Tečna a normála v bodě S = [e; 1] Zdroj: program Graph

59 9.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) y = x tečna t : 0 = 6x y + 9 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x + 6y 57 ) y = x + 1 x tečna t : 0 = x y + tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + y 1 ) y = x 1 x 5 tečna t : 0 = 7x + y 17 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x 7y ) y = x ln x tečna t : 0 = x y 1 tečný bod T = [1;?] normála n : 0 = x + y 1 5) y = ln x + 1) tečna t : 0 = x y tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + y 6) y = e x +4x + 6 tečna t : 0 = 6x y + 9 tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + 6y 54 7) y = e x sin x tečna t : 0 = x y tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + y 8) y = x x 4 tečna t : 0 = 0x y tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x + 0y 16 9) y = x lnx 1) tečna t : 0 = x y tečný bod T = [1;?] normála n : 0 = x + y 1 10) ) x y = arctg tečna t : 0 = 4x 1y 6 x + tečný bod T = [ ;?] normála n : 0 = 6x + 8y Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky x + 4x + 1) y = tečna t : 0 = 4x + y 1 x tečný bod T = [1;?] normála n : 0 = x 4y + 9 ) y = + x + 1 x + 1) tečna t : 0 = x y + 4 tečný bod T = [ 1;?] normála n : 0 = x + y ) y = π 4 + arctg e x tečna t : 0 = x + y π tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x y + π 4) x y = ln x + tečna t : 0 = x y + 9 tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x + y 5) x y = + ln x 5 tečna t : 0 = x + y 8 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x y 1

60 60 KAPITOLA 9. TEČNA A NORMÁLA V BODĚ T 4 x) 6) y = x + tečna t : 0 = 5x + 4y 14 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = 4x 5y 7) y = e x 8 x x tečna t : 0 = 6x y 11 tečný bod T = [;?] normála n : 0 = x + 6y 8 8) y = 1 + cos x 1 + sin x [ π ] tečný bod T = 4 ;? tečna t : y 1 = + x π ) 4 normála n : y 1 = ) y = + x e 1 x tečna t : 0 = ex y + tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x e y + 4 x 10) y = ln x+ tečna t : 0 = x y + 7 tečný bod T = [1;?] normála n : 0 = x y + 9 x 11) y = 5 + ln +1 x+1 tečna t : 0 = x y + 5 tečný bod T = [0;?] normála n : 0 = x y + 5 x π ) 4 ) sin x 1) y = ln 1 cos x Nepočítáno: tečný bod T = [ π 4 ;?] ) x 1 1) y = 4 arctg x + 1 tečný bod T = [;?]

61 Kapitola 10 Tečna a normála rovnoběžná s přímkou p 10.1 Návody k výpočtu Při výpočtu tečen a normál rovnoběžných se zadanou přímkou p musíme nejdříve zjistit bod dotyku T, a dále budeme postupovat stejně, jako u úloh, pro nalezení rovnice tečny nebo normály, kde je zadán bod dotyku T. V zadání je předpis funkce, k níž tečnu hledáme, a předpis přímky, s níž je tečna rovnoběžná. 1. Máme zadanou funkci fx) = 6x 10 x Obrázek 10.1: Průběh funkce fx) = 6x 10 x Zdroj: program Graph a máme zadanou přímku p : y = x ve směrnicovém tvaru), se kterou má být hledaná tečna rovnoběžná. Obrázek 10.: Průběh funkce p : y = x Zdroj: program Graph. Očekáváme, že je-li tečna rovnoběžná s přímkou p, bude vypadat následovně viz Obrázek 10., čerchovaná přímka. Zadaná přímka p a hledaná tečna musí mít stejný sklon směrnici), který je v našem případě: k t = viz Obrázek 10.4) pro normálu je směrnice převrácená hodnota s opačným znaménkem víme, že normála je kolmá na tečnu) k n = 1. 61

62 6 KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P Obrázek 10.: Očekávaný průběh hledané tečny Zdroj: program Graph Obrázek 10.4: Derivace zadané přímky p Zdroj: program Graph Obrázek 10.5: Derivace zadané funkce fx) Zdroj: program Graph. Dále spočteme derivaci zadané funkce což je směrnice tečny v bodě dotyku) f x) = 6 x 4. Položíme do rovnosti směrnici zadané přímky p a derivaci zadané funkce fx) 6 x = 8 = x x = 4 y = =

63 10.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 6 T = [4; ] Dosadíme do vzorců t : y + = x 4) n : y + = 1 x 4) Poznámka. Směrnici přímky p : y = x lze získat jako derivaci této funkce. Poznámka 4. V zadání úlohy může být přímka zadaná v jiném než směrnicovém tvaru. Například přímka zadaná směrnicovou rovnicí: p : y = x může být zadaná různými obecnými rovnicemi: p : 4x + y = 0 p : x y = Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) y = arcsin 4x tečný bod T = [ 1 8 ; π ] 4 přímka p: 4x y = 5 tečna t : 16x 4y + π = 0 ) y = lnx + x ) tečný bod T = [ 1 ] ; ln 8 přímka p: y = 1 x tečna t : x + y + ln = 0 [ ) y = sin x na 0; π ] π tečný bod T = 6 ; přímka p: y = x tečna t : 6x 6y + π = 0 4) y = x + x tečný bod 1) T = [ 1; 0] přímka p: y = x + 4x tečna 1) t : x y + = 0 tečný bod ) [ 1 T = ; 8 ] 7 tečna ) t : 54x 7y 10 = 0 5) y = x + [ Spočtěte normálu tečný bod 1) T = 5x ; 1 ] 5 přímka p: x + y + 1 = 0 normála 1) n : 10x + 5y + = 0 tečný bod ) T = [ ; 1] normála ) n : x + y + = Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) y = x + 8x tečna t : 0 = 1x y + 1

64 64 KAPITOLA 10. TEČNA A NORMÁLA ROVNOBĚŽNÁ S PŘÍMKOU P přímka p: 60x + 5y 9 = 0 normála n : 0 = x + 1y + 78 ) y = x x 6 tečna t : 0 = x y 5 přímka p: x y 7 = 0 normála n : 0 = x + y + 7 ) y = 4x + 11x + tečna t : 0 = x y + 6 přímka p: 9x + y + = 0 normála n : 0 = x + y

65 Kapitola 11 Tečná rovina a normála 11.1 Vzorce tečné roviny a normály Tečná rovina τ : 0 = x x T ) z x x, y, z) + y y T) z y x, y, z) z z T) ) Normála n : 0 = x x T ) F x x, y, z) + y y T) F y x, y, z) + z z T) F x, y, z) 11.1.) z 11. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) fx, y) = x y) e x +y tečna t : 0 = e x e y z e tečný bod T = [1; 0;?] normála n : x = 1 + e t y = 0 e t z = e t ) fx, y) = y + x e y x tečna t : 0 = x + y z tečný bod T = [1; 0;?] normála n : x = 1 + t y = 0 + t z = 1 t ) fx, y) = y ln x y) tečna t : 0 = 6x y z tečný bod T = [1; ;?] normála n : x = 1 + 6t y = t z = 0 t 65

66 Kapitola 1 Jak čteme z derivací průběh původních funkcí? Pozn: veškeré funkce mají ve vnitřních bodech definičního oboru první derivaci. 1.1 Monotonie 1. Dostaneme zadanou např. funkci y = sin x.. Když si funkci nakleslíme nějakým programem, přes tabulku funkčních hodnot či si graf funkce pamatujeme), bez počítání vidíme, že na určitých intervalech tato funkce roste a na jiných klesá. Právě to, kde roste a kde klesá zjišťujeme při výpočtech monotonií. My si ale běžně funkce nekreslíme, navíc v testech dostáváme funkce tak složité, že pro nás není možné si funkci načrtnout. Musíme postupovat analyticky, matematickým aparátem, kterým jsou derivace. Obrázek 1.1: Průběh funkce y = sin x Zdroj: program Graph. Jaký je vztah mezi funkcí a její derivací? Podívejme se lépe na místo, kde funkce roste na druhém obrázku je zvýrazněn jen jeden interval, kde funkce y = sin x roste). 4. Soustřeďme se na chování derivace zadané funkce, což je y = cos x, v místech, které jsme si vyznačili. 5. Nutně dospějeme k závěru, že v místech, kde původní, testovaná funkce f roste, je její první derivace f nad osou x. Všechny body ležící v intervalu, kde zadaná funkce f roste mají na křivce první derivace f kladnou funkční hodnotu y-novou souřadnici). 6. Analogicky pro intervaly, kde funkce f klesá, jsou funkční hodnoty první derivace f záporné. 7. Co se týče extrémů, tak v místech, kde je na funkci y = sin x plné křivce) extrém ať už se jedná o maximum či minimum) je funkční hodnota derivace, tedy funkce y = cos x tečkovaná křivka) rovna nule tedy leží přímo na ose x). 66

67 1.. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 67 Obrázek 1.: Rostoucí interval funkce y = sin x vybrán jen jeden) Zdroj: program Graph Obrázek 1.: Průběh funkce y = sin x plná) a funkce y = cos x tečkovaná) Zdroj: program Graph 1. Monotonie a zakřivenost = konvexita a konkávita) 1. Dostaneme zadanou např. funkci y = ln16 + 9x ). Při výpočtu zakřivenosti funkce potřebujeme spočítat druhou derivaci, abychom z ní vyčetli chování funkce na daných intervalech podobně jako u výpočtu monotonií, kde pracujeme s první derivací. Nyní pro zadanou funkci zjistíme jak monotonii, tak zakřivenost. Z obrázku krásně vidíme, kde funkce roste a kde klesá. Zároveň vidíme, kde je konvexní a konkávní. Místům, kde se růst mění v pokles a naopak se říká extrémy, kde se mění konvexita v konkávitu a obráceně pak inflexní inflexe = ohyb) body za předpokladu, že v tomto bodě má graf funkce tečnu, což je v našich příkladech splněno).

68 68 KAPITOLA 1. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Obrázek 1.4: Průběh funkce y = ln16 + 9x ) Zdroj: program Graph. Přestože nás zajímá více konvexita a konkávita, prohlédneme si tuto funkci i z pohledu monotonie. Opět tu je zvýrazněná část rostoucí klidně by to mohla být část klesající). Nyní čekáme, že derivace této funce, bude v místech růstu zadané funkce nad osou x. Je tomu skutečně tak? Obrázek 1.5: Rostoucí interval funkce y = ln16 + 9x ) Zdroj: program Graph. Derivace funkce y = ln16 + 9x 18x ) je funkce y =. Pokud si tuto funkci nakreslíme, zjistíme, že x její průběh je následující viz Obrázek 1.6 tečkovaná křivka): Skutečně je v místech růstu první funkce nad osou x a tu protíná právě v místě, kde má funkce y = ln16 + 9x ) extrém. 4. Podíváme se na tu samou funkci z pohledu konvexity a konkávity. Na obrázku je zvýrazněna konvexní část

69 1.. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 69 Obrázek 1.6: Průběh funkce y = ln16 + 9x ) plná) a funkce y = 18x 16+9x tečkovaná) Zdroj: program Graph křivky. Body, kde se průběh mění jsou tzv. inflexní zároveň v nich má daná funkce tečnu, tedy vlastní derivaci). Zatímco má křivka y = ln16 + 9x ) jen jeden extrém, má dva inflexní body extrém a inflexní bod nikdy nemohou být ve stejném místě). Obrázek 1.7: Konvexní průběh funkce y = ln16 + 9x ) Zdroj: program Graph 5. Nyní se podíváme, jak vypadá druhá derivace funkce y = ln16 + 9x ). Je to y = x ) x ) a po nakreslení je průběh druhé derivace takový viz Obrázek 1.8 čárkovaná křivka): 6. V místech, kde je funkce konkávní jsou funkční hodnoty y-nové souřadnice) druhé derivace záporné, intervaly konvexní mají druhou derivaci kladnou.

70 70 KAPITOLA 1. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Obrázek 1.8: Průběh funkce y = ln16 + 9x ) plná) a funkce y = x ) 16+9x ) čárkovaná) Zdroj: program Graph Tabulka 1.1: Jak čteme z derivací Průběh funkce Průběh druhé derivace Znaménko druhé derivace Tvar křivky Konvexní rostoucí + Konkávní klesající Tabulka 1. ukazuje rostoucí funkce, popř. jsou zvýrazněny intervaly, na kterých je průběh dané funkce rostoucí. Jak se na intervalech, kde je původní funkce rostoucí, chová první derivace? Funkční hodnoty jsou kladné tj. nad osou x. U klesajících intervalů je tomu naopak, jak ukazuje Tabulka 1.. V Tabulce 1.4 je znázorněno, kde se nachází druhá derivace na intervalu, na kterém je zadaná funkce konvexní je kladná. A kde se nachází na intervalech, kde je původní funkce konkávní? Viz Tabulka 1.5 funkční hodnoty jsou záporné. V Tabulce 1.6 lze spatřit nejen vztah mezi původní funkcí a její derivací, ale i vztah mezi derivacemi. Např. z třetí derivace můžeme vyčíst monotonii druhé derivace, zrovna tak, jako ze čtvrté derivace můžeme vyčíst konvexnost či konkávnost druhé derivace.

71 1.. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 71 Tabulka 1.: Rostoucí intervaly Zadaná funkce První derivace y = x y = 1 y = ln x y = 1 x y = x y = x y = e x y = e x Zdroj: program Graph

72 7 KAPITOLA 1. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Tabulka 1.: Klesající intervaly Zadaná funkce První derivace y = x 4 y = 4x y = x + y = x y = sin x y = cos x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

73 1.. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 7 Tabulka 1.4: Intervaly konvexity Zadaná funkce První derivace Druhá derivace y = x y = x y = y = x + y = x y = 6x y = e x y = e x y = e x y = sin x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

74 74 KAPITOLA 1. JAK ČTEME Z DERIVACÍ PRŮBĚH PŮVODNÍCH FUNKCÍ? Tabulka 1.5: Intervaly konkávity Zadaná funkce První derivace Druhá derivace y = ln x y = 1 x y = 1 x y = x + y = x y = y = 1 x y = 1 x y = x y = sin x y = cos x y = sin x Zdroj: program Graph

75 1.. MONOTONIE A ZAKŘIVENOST 75 Tabulka 1.6: Různé funkce a řada jejich derivací Zadaná funkce První derivace Druhá derivace Třetí derivace Čtvrtá derivace y = y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 y = x y = y = 0 y = 0 y = 0 y = x y = 4x y = 4 y = 0 y = 0 y = x y = 6x y = 1x y = 1 y = 0 y = x 4 y = 8x y = 4x y = 48x y = 48 Zdroj: program Graph

76 Kapitola 1 Monotonie 1.1 Návody k výpočtu 1. Nalezneme definiční obor na každém intervalu definičního oboru funkce existuje a zde se tedy nějak chová může být konstantní, rostoucí či klesající, konvexní či konkávní). Nutno podotknout, že však nemusí být ani rostoucí ani klesající a naopak může být chvíli rostoucí a chvíli klesající apod. Když nebude funkce ani růst ani klesat, pak se bude jednat o nějakou konstantní funkci přímku rovnoběžnou s osou x).. Vypočteme 1. derivaci a upravíme ji. Pozn.: V případě, že vyjde derivace rovna nule, pak se jedná o konstantní funkci, která není ani konvexní ani konkávní.). Najdeme body, ve kterých je funkční hodnota derivace rovna nule či ve kterých derivace neexistuje nulové body ze jmenovatele). 4. Z předchozího bodu nám vyjdou tzv. podezřelé body. Klidně se může stát, že nevyjde žádný nulový bod v takovém případě je funkce ryze rostoucí nebo ryze klesající), nebo se může objevit bod jeden či více třeba 5). Tyto body jedná se o konkrétní čísla) naneseme na osu. 5. Na osu nejprve zaneseme definiční obor, pak podezřelé body. Nyní je potřeba zjistit znaménka funkčních hodnot první derivace. Vybereme z každého vzniklého intervalu číslo, to dosadíme do první derivace za x). Vyjde-li + je funkce na daném intervalu rostoucí, vyjde-li znaménko je klesající na daném intervalu. 1. Vzorový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet monotonií způsoby na jedné funkci. 1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, kde funkce roste a kde klesá. Obrázek 1.1: Průběh funkce y = x Zdroj: program Graph 76

77 1.. VZOROVÝ PŘÍKLAD 77 funkce y = x klesá na intervalu ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ). Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme monotonii přes derivace, nikoli z obrázku. a) Definiční obor x R b) Derivace zadané funkce je y = x, což je nová funkce. My si ji nyní opět nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 1.: Průběh funkce y = x Zdroj: program Graph Derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu monotonií využívat. Když je na daném intervalu funkce rostoucí, jsou funkční hodnoty y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce klesá, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. funkce y = x klesá na intervalu ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ). Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: a) Definiční obor x R b) Derivace zadané funkce je y = x c) Zjištění nulových bodů položíme první derivaci do rovnosti s nulou x = 0 x = 0 d) Zjištění znamének na intervalech, které vzniknou rozdělením číselné osy nulovými body. Nulový bod v našem případě vyšel jen jeden, x = 0. Máme tedy dva intervaly, ; 0 a 0; ). Jde tedy jen o to, zjistit průběh zadané funkce. Dosadíme vždy libovolně zvolené číslo z intervalu. + znamená, že funkce roste a značí, že je funkce na daném intervalu klesající. ; 0 např. číslo dosadíme číslo za x do první derivace y = ); y = 6 0; ) např. číslo 5 dosadíme číslo za x do první derivace y = 5); y = 10 + funkce y = x klesá na intervalu ; 0 funkce y = x roste na intervalu 0; ) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek!

78 78 KAPITOLA 1. MONOTONIE 1. Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) fx) = x + x 6x 1 roste ; a ; ) 1 klesá ; ) fx) = x 4 x + 5 roste 1; 0 a 1; ) klesá ; 1 a 0; 1 ) fx) = x e x roste ; a 0; ) klesá ; 0 4) fx) = x e x 4 roste ; 4 klesá ; ) 5) fx) = x + x x 1 5 roste ; a ; ) 5 klesá ; 1 ) a 1; 1) a 1; 6) fx) = x + x 6 roste ; 1 a 1; ) 6 klesá 1; 0) a 0; 1 7) fx) = x x 1 x ) 8 x) x 8 roste 7 roste ; 6 a 6; ) 7 klesá 6; ) a ; ) a ; 6 0; ) fx) = ) 16 8 klesá ; 0) a 5 ; 9) fx) = x + ln 1 4x) 9 roste ; 4 9 klesá 4 ; 1 ) 4 10) fx) = x ln x 10 roste 1; 0) a 1; ) 10 klesá ; 1 a 0; 1 11) fx) = 1 + ln x x 11 roste 0; 1 11 klesá 1; ) 1) fx) = x x 1 roste 0; 1 klesá ; 1) fx) = arctg x x 1 klesá ; ) 14) fx) = x ) 4 x + 1) 5 14 roste ; 41 a ; ) klesá 7 ; 15) fx) = x + arccotg x 15 roste ; 1 a 15 klesá 1 ; 1 ) 1 ; 16) fx) = x + 4x + 4 x + x roste ; 0

79 1.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET klesá ; a 0; ) 17) fx) = x 4x roste 74 ) ; 17 klesá ; 7 4 ) x 18) fx) = arcsin 1 + x 18 roste 1; 1 18 klesá ; 1 a 1; ) 19) fx) = x e x 4x+ 19 roste ; 1 a klesá 1 ; 1 + 0) fx) = 1 x ) 4 ln 9 x 0 roste 0; 1) a ; ) 1 ) 1 x 1) fx) = arccos 1 x 0 klesá ; ) a 1; 0 1 roste ; 0 ) 1 klesá ; ) ; ) fx) = x ln x ) x ) fx) = ln 16 x 4 roste e; ) klesá 0; 1)a 1; e roste ; ) klesá 0; ) 4) fx) = arctgx 1) 4 roste 1; ) 4 klesá ; Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky funkce na intervalu: ) 1) fx) = x e x 4x+) 1 roste ; 1 a 1 + ; 1 klesá 1 ; 1 + ) fx) = 9x 1 9x roste 0; 1 ) ) 1 a ; klesá ; 1 ) a 1 ; 0 ) fx) = x ) 5 x roste ; 4 klesá 4; 5 4) fx) = x e x 4 roste 0; 1 6 ) 1 4 klesá 6 ; 5) fx) = 5 + ln 4 x 5 roste ; 0

80 80 KAPITOLA 1. MONOTONIE 5 klesá 0; ) 6) fx) = ln x x ) 6 roste 1 ) ; 1 6 klesá ; 1 7) fx) = x x 1 8) fx) = ln ) x + x 1 7 roste ; 0 a 1; ) 7 klesá 0; 1 ) 1 a ; 1 8 klesá ; ) ) 1 a ; 9) fx) = x x 9 roste ; ) a ; ) a ; 9 klesá ; a ; ) 10) fx) = 4 x x 10 roste 6; 1 10 klesá 1; 4 11) fx) = 1 + ln 6 x x ) 11 roste ; 1 11 klesá 1 ) ; 1) fx) = 4x 1 4x 1 roste 0; 1 ) ) 1 a ; 1 klesá ; 1 ) a 1 ; 0 1) fx) = 14) fx) = 15) fx) = x x 10x + 9 x + ) 1 x 4 x) + x 1 roste ; 1) a 1; ) 1 klesá ; a ; 9) a 9; ) 14 roste ) ; 1 a 1; 8 14 klesá ; ) 8 a ; 15 roste ; 8 a 4; ) 15 klesá 8; ) a ; 4 16) fx) = x x 16 roste 6; 16 klesá ; ) 1 17) fx) = + ln4x 1) 17 roste ; 17 klesá ; 1 ) x 18) fx) = x 18 roste ; 1) a 1; 5x klesá ; 4) 4; ) 19) fx) = ln 5 9x 19 roste 0; ) 19 klesá ; 0 0) fx) = x ) x 0 roste 1; ) 0 klesá 0; 1 1) fx) = 1 10x x 1 1 roste 5; 7 1 klesá ; 5 ) 1 ) fx) = + ln 9x 1) roste ;

81 1.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 81 klesá ; 1 ) ) fx) = x + 1 x 1 roste ; 1) a 1; 0 klesá 0; 1) a 1; )

82 Kapitola 14 Konvexita a konkávita 14.1 Návody k výpočtu Tyto návody nemusí platit úplně obecně, jsou uzpůsobeny požadavkům technické fakulty a příkladům, které se objevují v testech. Předpokladem použití tohoto návodu je, že funkce f má spojitou druhou derivaci na vnitřku definičního oboru všechny funkce z písemek tuto vlastnost mají). lineární druhá derivace je na daném intervalu rovna 0 Funkce na určitých intervalech mohou být konvexní znaménko druhé derivace je na daném intervalu + konkávní znaménko druhé derivace je na daném intervalu 1. Zjistíme definiční obor na tomto intervalu funkce existuje a zde se tedy může nějak chovat, může být např. konvexní či konkávní. Nutno podotknout, že však nemusí být ani konvexní ani konkávní. Pak bude jejím grafem na tomto intervalu přímka... Vypočteme 1. derivace a upravíme ji tak, aby se nám dobře derivovala podruhé.. Vypočteme. derivace tj. opětovně zderivujeme 1. derivaci) a upravíme ji pro potřeby následujících výpočtů. Budeme zjišťovat nulové body z. derivace, upravíme tedy funkci tak, aby se nám s ní dobře počítalo. Vyjde-li. derivace nenulová konstanta neobsahuje proměnnou, zpravidla značenou x), pak je funkce konvexní nebo konkávní na celém definičním oboru. Vyjde-li. derivace 0, pak je funkce lineární tedy není ani konvexní ani konkávní). 4. Budeme zjišťovat znaménko druhé derivace, pak mohou nastat situace: z. derivace nevyjde žádný podezřelý bod V tomto případě je druhá derivace stále + nebo stále, z čehož vyplývá, že je funkce buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. z. derivace vyjde jeden či více podezřelých bodů např. ve chvíli, kdy je. derivace rovna nějaké nenulové konstantě. Funkce je buď konvexní nebo konkávní na celém R, záleží na znaménku. Podezřelé body se v případě, že se kolem nich mění konvexita v konkávitu nazývají inflexní body. 5. Získané údaje zakreslíme na číselnou osu, nejprve na osu zaneseme definiční obor a označíme, zda krajní body patří či nikoli do definičního oboru, tedy patří a nepatří. Pak zaneseme na číselnou osu nulové body z čitatele a ze jmenovatele. 6. Nyní je třeba zjistit znaménka funkčních hodnot. derivace. Zjišťujeme znaménka tak, že vezmeme nějaké libovolné číslo z intervalu vymezeného nulovými body v rámci definičního oboru!), který vznikl zanesením nulových bodů na číselnou osu, vybereme číslo z tohoto intervalu a dosazujeme jej do druhé derivace. Vyjde-li + je funkce konvexní, vyjde-li je konkávní. Jak si snadno zapamatovat, jaké znaménko se vztahuje k jakému typu průběhu funkce je uvedeno na. záložce v souboru Konvexita. 14. Vzorový příklad Na následujícím příkladu si ukážeme výpočet konvexity způsoby na jedné funkci. 8

83 14.. VZOROVÝ PŘÍKLAD 8 1. Např.: máme zadaný předpis funkce y = x. Tento předpis je tak jednoduchý, že jej dokážeme okamžitě nakreslit. Z nákresu je zřejmé, zda a kde je funkce konvexní či konkávní. Obrázek 14.1: Průběh funkce y = x Zdroj: program Graph funkce y = x je konvexní na celém intervalu ; ). Nyní vezmeme tuto funkci, ale budeme postupovat matematicky. Zjistíme konvexitu přes derivace. Postup je: a) Definiční obor x R b) 1. derivace zadané funkce je y = x, což je nová funkce. Z ní čteme a ji si kreslíme při výpočtu monotonií. c). derivace zadané funkce je y =, je již. funkce. Tu si nyní nakreslíme. Protože jsme zvolili jednoduchý předpis, je jednoduchá i derivace a snadno ji nakreslíme: Obrázek 14.: Průběh funkce y = Zdroj: program Graph I druhá derivace a původní funkce mají k sobě speciální vztah, kterého budeme u výpočtu konvexit využívat. Když je na daném intervalu funkce konvexní, jsou funkční hodnoty y-nové souřadnice) kladné a naopak když původní funkce konkávní, jsou funkční hodnoty první derivace záporné. zároveň, když se nad celou věcí zamyslíme, lze z druhé derivace vyčíst monotonii první derivace ). funkce y = x je konvexní na celém intervalu ; ). Protože většina předpisů i jejich derivací je však tak složitá, že si je nedokážeme nakreslit, spoléháme se na matematický výpočet až do konce. Celý postup je následující: a) Definiční obor x R

84 84 KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA b) 1. derivace zadané funkce je y = x c). derivace zadané funkce je y = d) Zjištění nulových bodů v tomto případě se v druhé derivace nevyskytuje žádné x, odpadá dopočet nulových bodů nemá smysl pokládat např. v našem případě dvojku rovnou nule, z toho nic nevzejde), v takovém případě, nevyskytuje-li se v druhé derivace proměnná, můžeme očekávat situace: i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní V tomto případě se jedná o situaci i), neboť funkční hodnota druhé derivace je rovna pro kterékoli libovolné x je kladná rovna +). Kdy nastává jaká situace? i. funkce je na celém svém definičním oboru konvexní y = kladná konstanta) ii. funkce je na celém svém definičním oboru konkávní y = záporná konstanta) iii. funkce není v žádném místě svého definičního oboru ani konvexní ani konkávní y = nula), nule se rovná buď na celém definičním oboru nebo v místech nulových bodů tzv. inflexních bodů) funkce y = x je konvexní na celém intervalu ; ) Ze všech způsobů vychází stejný výsledek! 14. Memo pomůcka Jak si zapamatovat, jaké znaménko přísluší jakému typu průběhu funkce a jak taková funkce vypadá? Při vyšetřování, zda je funkce na daném intervalu konvexní či konkávní se opíráme o funkční hodnoty druhé derivace na daném intervalu. Co znamená, když jsou funkční hodnoty kladné a co když jsou záporné? KONVEXITA + Jak si jednoduše zapamatovat, že zrovna znaménko plus v druhé derivaci!) odpovídá konvexnímu průběhu dané funkce? Plus je v podstatě křížek a ve slově konvexita také jeden je. I průběh funkce je schovaný již v názvu konvexita. Všimněte si, že průběh se velice podobá písmenku U nebo V, což je opět obsaženo přímo ve slově konvexita. KONKÁVITA Jak je to u konkávity? Krom vylučovací metody tu jsou tyto pomůcky: Průběh se podobá písmenku A. KonkÁita. I zde lze tedy odvozovat od názvu typu průběhu. A znaménko mínus? Průběh fce by nám mohl připomenout převrácenou misku. Je otočená dnem vzhůru, co v ní bylo se vysypalo a proto smutné znaménko mínus, či oblíbené do konkávní kávu nenaliješ.

85 14.4. UKÁZKOVÝ PŘÍKLAD ZKOUŠKOVÉ ÚROVNĚ 85 Obrázek 14.: Průběh ryze konvexní funkce Zdroj: program Graph Obrázek 14.4: Průběh ryze konkávní funkce Zdroj: program Graph 14.4 Ukázkový příklad zkouškové úrovně Tento příklad je uveden na stránkách < jako 11. příklad. y = e x 1. Spočítáme definiční obor x R. Spočítáme první derivaci a upravíme y = e x 4x) = 4x e x. Spočítáme druhou derivaci a upravíme y = 4 e x + 4x) e x 4x) = vytýkáme... )= 4 e x 1 + 4x ) 4. Položíme druhou derivaci rovnu nule a spočítáme nulové body 4 e x 1 + 4x ) = x = 0 4x = 1 x = 1 4 x = ± 1 máme podezřelé body)

86 86 KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA 5. Tyto nulové body zaneseme na osu a budeme zjišťovat znaménka funkčních hodnot druhé derivace. Obrázek 14.5: Číselná osa y Zdroj: program L A TEX Funkce je konvexní na intervalech ; 1 a + 1 ; ) Funkce je konkávní na intervalu 1 ; +1 Obrázek 14.6: Průběh funkce y = e x Zdroj: program Graph růžová plná) = zadání petrolejová tečkovaná) = první derivace z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení monotonie funkce zelená čárkovaná) = druhá derivace z ní čteme znaménka funkčních hodnot pro určení zakřivenosti funkce 14.5 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) fx) = x + x 6x 1 konvexní 1 ) ; 1 konkávní ; 1 ) ) fx) = x 4 + 8x 4x konvexní ; a ;

87 14.5. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 87 konkávní ; ) fx) = x + x 5 konvexní 0; ) konkávní ; 0 4) fx) = x 1 x) 4 konvexní ; ) 4 konkávní ; 5) fx) = + x 5 konvexní ; ) 5 konkávní ; ) 6) fx) = x 1 + x 6 konvexní ; 1 a 1; ) 6 konkávní 1; 0) a 0; 1 7) fx) = e 1 x 7 konvexní ; 6 a 6; ) 7 konkávní 6; ) a ; ) a ; 6 8) fx) = x 1) e x 8 konvexní 0; 16 5 ) 16 8 konkávní ; 0) a 5 ; 9) fx) = x + e x 9 konvexní ; 4 9 konkávní 4 ; 1 ) 4 10) fx) = e x x 10 konvexní 1; 0) a 1; ) 10 konkávní ; 1 a 0; 1 11) fx) = x 4x + 5) e x 11 konvexní 0; 1 11 konkávní 1; ) 1) fx) = arcsin 1 x ) 1 konvexní 0; 1 konkávní ; 4 1) fx) = x ln x 1 konvexní ; ) 14) fx) = 1 lnx 9) 14 konvexní ; ) 14 konkávní ; ) 15) fx) = 1 + ln x x 16) fx) = ln ) x 1 x + 15 konvexní e; ) 15 konkávní 0; e) 16 konvexní ; ) 16 konkávní 1; ) 17) fx) = x + sin x konvexní ; ) 18) fx) = sin x + cos x 18 konvexní π + kπ; π + kπ 18 konkávní kπ; π + kπ 19) fx) = sin x 19 konvexní 0; π 4 π x 0; π 19 konkávní 4 ; π 4 0) fx) = 4 sin x + sin x 0 konvexní π; π 8

88 88 KAPITOLA 14. KONVEXITA A KONKÁVITA x 0; π 0 konkávní 0; π 1) fx) = cos x lncos x) 1 konvexní π ; π ) ) fx) = arctg x x konvexní ; 0 konkávní 0; ) ) fx) = x arccotg x konkávní R 4) fx) = x + arccotg x 4 konvexní 0; ) 4 konkávní ; 0 5) fx) = arccos1 x) 5 konvexní 1; 5 konkávní 0; 1 6) fx) = arcsin 1 x 6 konvexní 0; konkávní 4 ; 1 7) Pro jaké a > 0 je následující funkce konkávní? y = ax e x 7 pro žádné 8) Napište rovnice tečen v inflexních bodech 8 t 1 : y = 0 grafu funkcey = x 4 4x 8 t : 16x + y = 16 9) Pro která čísla a, b je bod [1, 1] inflexním 9 a = bodem grafu funkce y = x + ax x + b 9 b = Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) fx) = x e x 1 konvexní ; ) 1 konkávní ; ) fx) = ln 1 + x ) konvexní 1; 1 konkávní ; 1 a 1; ) ) 1 1 ) fx) = x + e 1 x konvexní ; a ; 1 1 konkávní ; 4) fx) = ln x ) 4 konvexní 4 ; 4 4 konkávní ; 4 ) 4 a ; 5) fx) = ln x ) 5 konvexní e ; x ) 5 konkávní 0; e 6) fx) = e 1 x 6 konvexní 1 ) ; 0 a 0; ) 6 konkávní ; 1 7) fx) = x + arctg x + ) 7 konvexní ;

89 14.6. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 89 7 konkávní ) ; 8) fx) = x arctg x 8 konvexní 0; ) 8 konkávní ; 0 9) fx) = x 4 ln x 7 ) 1 9 konvexní 1; 9 konkávní 0; 1 10) fx) = x arctg x 10 konvexní ; ) 11) fx) = x + e x 11 konvexní ; 1 a 1; ) 11 konkávní 1; 1 1) fx) = e x 1 konvexní ; 1 a + 1 ) 1 konkávní 1 ; +1 1) fx) = x x 1 1 konvexní 1; 0 a 1; ) 1 konkávní ; 1) a 0; 1)

90 Kapitola 15 Souhrnný příklad Ukážeme si nyní výpočet všech základních charakteristik funkcí na dvou příkladech. Zároveň si je nakreslíme a tak z obrázku snadno poznáme, kde křivky rostou, kde klesají, zda a kde mají maxima či inflexní body. Uvidíme tak souvislost mezi obrázky a výpočty. Porovnávejte průběžně výsledky výpočtu s realitou na obrázku. První příklad Druhý příklad Předpis: f : x + 8x 1 g : y = x 7 Tabulka funkčních hodnot: x x 0 1 1,5 y y Definiční obor: D: x R D: x R První derivace: y = x + 8 y = 6x Nulové body z první derivace: x + 8 = 0 6x = 0 x = 4 x = 0 Číselná osa: y y +4 0 Monotonie: funkce roste na intervalu ; 4 funkce roste na intervalu ; + ) funkce klesá na intervalu 4; + ) Extrémy: E 1 =[4; 4] je maximum žádný extrém Druhá derivace: y = y = 1x Nulové body z druhé derivace: = 0 1x = 0 0 žádné nulové body x = 0 Číselná osa: + y y + 0 Zakřivenost: funkce je konkávní na intervalu ; + ) funkce je konkávní na intervalu ; 0 funkce je konvexní na intervalu 0, + ) Inflexní body: žádný inflexní bod I =[0; 7] Obrázek: 90

91 Kapitola 16 Globální a lokální extrémy funkce jedné proměnné 16.1 Návody k výpočtu 1. Zadání se sestává z předpisu funkce a uzavřeného intervalu. V případě, že není interval zadán, shoduje se s definičním oborem funkce a v tomto případě je třeba definiční obor vypočítat. Naším úkolem je nalézt globální maxima a minima, tj. největší a nejmenší hodnoty funkce na daném intervalu nebo na definičním oboru), a dále lokální maxima a minima extrémy) funkce. Jedná se o konkrétní body na grafu a my hledáme jejich souřadnice. Maxima jsou body na grafu s nejvyšší funkční hodnotou y-novou souřadnicí) a minima s nejnižší funkční hodnotou.. Lokální extrémy Zderivujeme zadanou funkci. Najdeme tzv. podezřelé body body, v nichž je derivace rovna nule nebo neexistuje. Pro podezřelé body, musíme zjistit, zda se jedná o lokální extrémy a když ano, tak jaké jsou kvality zda se jedná o maximum či minimum, zda je ostré či neostré). Tabulka 16.1: Určení kvality extrémů Dle pozice y-nové souřadnice Umístění v intervalu Unikátnost souřadnice maximum lokální neboli relativní) ostré minimum globální neboli absolutní) neostré Naneseme na číselnou osu zadaný interval, dále podezřelé body body z první derivace. Může se stát, že některé body vyjdou mimo zadaný interval, pak si jich vůbec nevšímáme. Zjišťujeme znaménka v intervalech rozdělených těmito body postupujeme nyní obdobně jako u výpočtu monotonií vybereme si číslo z každého intervalu, dosadíme vždy do první derivace a zapíšeme k danému intervalu znaménko, které nám vyšlo. + znamená rostoucí, klesající průběh funkce. Jestliže funkce nejprve roste a potom klesá, jedná se o lokální maximum čteme zleva), jestliže je nejprve klesající a potom rostoucí, vyhodnotíme kvalitu extrému jako lokální minimum. Může se stát, že nám vyjdou stejná znaménka vedle sebe. V tom případě v daném bodě není lokální extrém proto se bodům říká podezřelé, nemáme jistotu, že v nich nějaký lokální extrém najdeme).. Globální extrémy Spočteme funkční hodnoty v krajních bodech zadaného intervalu v krajních bodech nemůže být lokální extrém, pouze globální) a v podezřelých bodech. Porovnáme funkční hodnoty tedy y-nové souřadnice) a jednoduše vidíme, kde je číslo nejvyšší a kde nejnižší! záleží na souřadnici y nikoli x). V případě, že nejmenší nebo největší hodnota leží uvnitř intervalu, jedná se o globální a zároveň lokální extrém. Je-li největší/nejmenší hodnota v bodě na hranici intervalu, jedná se pouze o extrém globální. 16. Extrémy možné intervaly Při výpočtu globálních a lokálních extrémů mohou nastat různé situace, pojďme si je společně projít. 91

92 9 KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ U zápisu výsledků se musíme vyjádřit k tomu, o jaký typ extrému se jedná, zda jde o: lokální globální maximum minimum ostré neostré Co tyto charakteristiky znamenají? Zda se jedná o maximum či minimum zjistíme z y-nové souřadnice. Je rozdíl, v tom, jestli se jedná o lokální nebo globální extrém. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze maximum. Bod X je bodem lokálního maxima jestliže funkce v něm nabývá maximální y-nové hodnoty na jeho bezprostředním okolí oboustranném). Jestliže se největší hodnota nabývá pouze v tomto jediném bodě, jedná se o extrém ostrý. U globálního extrému funkce záleží na intervalu, na kterém danou funkci uvažujeme. Funkce může mít globální maximum v bodě, ve kterém má lokální maximum, nebo v krajním bodě případně obou krajních bodech) příslušného intervalu. Globální maximum je ostré, pokud se na daném intervalu nabývá pouze v jednom bodě, jinak je neostré. Vše si ukážeme na konkrétním příkladě. Máme zadanou funkci y = x, která má jeden extrém a tím je ostré lokální maximum se souřadnicemi [0; ]. Tento bod je neměnný, nicméně významnost a pojmenování se budou lišit. Nyní si ukážeme možné varianty zadaní intervalů na funkci: y = x Globální ostré extrémy jsou na hranicích Obrázek 16.1) Zadaný interval 0; Tabulka 16.: Extrémy body z případu 16.1 Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré globální maximum Body na hranicích intervalů: [0; ] ostré globální maximum [; ] ostré globální minimum Globální ostré extrémy jsou na hranicích Obrázek 16.) Zadaný interval ; 1 Neostré globální extrémy jsou na hranicích Obrázek 16.) Zadaný interval ;

93 16.. EXTRÉMY MOŽNÉ INTERVALY 9 Obrázek 16.1: Dva globální extrémy na hranicích intervalu Zdroj: program Graph Obrázek 16.: Dva globální extrémy na hranicích intervalu Zdroj: program Graph Ostré lokální maximum uvnitř intervalu a ostré globální minimum na hranici 0brázek 16.4) Zadaný interval 1; 5

94 94 KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka 16.: Extrémy body z případu 16. Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] bod je mimo interval, takže nás nezajímá Body na hranicích intervalů: [ -; 7 ] ostré globální minimum [ 1; 1] ostré globální maximum Obrázek 16.: Globální neostré extrémy jsou na hranicích Zdroj: program Graph 16. Vzorový příklad Např. máme zadaný předpis funkce y = x 4 a interval x 5; 1. Tento předpis je tak jednoduchý, že není problém jej nakreslit okamžitě. Hodnoty grafu zjistíme nalezením funkčních hodnot zjistíme konkrétní souřadnice bodů. Dosazujeme libovolná čísla z definičního oboru za x a dopočítáváme hodnoty y. Z obrázku [ je zřejmé, že nejnižším bodem této funkce na zadaném intervalu x 5; je bod o souřadnicích 5; 5 ] a nejvyšší je v bodě [0; 0], tedy 4 maximum je v bodě minimum je v bodě [0; 0] [ 5; 5 ] 4. Ve zkouškových testech ale jak známo nejsou funkce tak jednoduché, abychom si je mohli takto nakreslit a proto musíme použít matematický aparát. V tomto případě příkladů se počítá ve dvou krocích. Počítájí

95 16.. VZOROVÝ PŘÍKLAD 95 Tabulka 16.4: Extrémy body z případu 16. Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: [ ; ] neosté globální minimum [ ; ] neosté globální minimum Obrázek 16.4: Lokální extrém uvnitř intervalu a globální extrém na hranici Zdroj: program Graph Obrázek 16.5: Průběh funkce y = x 4 Zdroj: program Graph

96 96 KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Tabulka 16.5: Extrémy body z případu 16.4 Extrém, který vyjde z derivace: [0; ] ostré lokální a zároveň globální maximum Body na hranicích intervalů: [ 1; 1] není na zadaném intervalu ani max ani min [5 ; ] ostré globální minimum Tabulka 16.6: Vybrané funkční hodnoty funkce y = x 4 x y se lokální a globální extrémy. Budeme hledat extrémy na zadaném intervalu a následně budeme zjišťovat jejich kvalitu zda se jedná o maximum či minimum. Tuto informaci můžeme zjistit způsoby: průběhem funkce, když funkce kolem bodu nejdříve klesá a potom roste, jedná se o MINIMUM nejdříve roste a potom klesá, jedná se o MAXIMUM znaménkem. derivace, je-li: kladné v daném bodě, jedná se o MINIMUM záporné v daném bodě, jedná se o MAXIMUM a) Lokální extrémy Spočteme první derivaci y = 1 4 x = x Z této derivace zjistíme nulové body x = 0 x = 0 y = 0 Jedná se o jediný bod o souřadnicích [0;0] Kvalitu nyní zjistíme oběma možnými způsoby: Průběhem funkce. Spočteme monotonii funkce. Protože počítáme lokální extrémy, počítáme s, nicméně v závěru se budeme soustředit pouze na zadaný interval. Na intervalu od ; 0 funkce y = x roste. 4 Na intervalu od 0; ) funkce y = x klesá. 4 Znaménko. derivace v daném bodě, spočteme tedy. derivaci y = 1 ani nemusíme nic dosazovat, vyšla hned záporná konstanta, záporné znaménko indikuje MAXIMUM. b) Hranice intervalu pro spodní hranici x = 5 y = 5 4 pro horní hranici x = y = 9 4 A opět při použití různých postupů docházíme ke stejnému závěru, tedy že: [ maximum je v bodě 5; 5 ] 4 minimum je v bodě [0; 0]

97 16.5. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 97 Tabulka 16.7: Porovnání funkčních hodnot funkce y = x 4 x 5 0 y Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) fx) = 9 x 1 ostré globální a zároveň lokální maximum f0) = na intervalu ; 1 neostré globální minimum v bodě f ) = 0 1 neostré globální minimum v bodě f) = 0 ) fx) = x 4 x ostré lokální a zároveň globální maximum v bodě f na intervalu ; 4 ostré globální minimum v bodě f ) = 6 ) fx) = x x 1x + 5 ostré lokální a zároveň globální maximum f 1) = 1 na intervalu ; ostré lokální a zároveň globální minimum f) = 15 ) 8 = 8 4 4) fx) = x + x 6x + 9 na 1. intervalu 4; 4 4a ostré globální a zároveň lokální maximum v bodě f ) = 90 4a ostré globální a zároveň lokální minimum v bodě f) = 5 na. intervalu 1; 1 4b ostré globální maximum v bodě f 1) = 46 4b ostré globální minimum f1) = na. intervalu 5; 5 4c ostré globální maximum f5) = 154 4c ostré globální a zároveň lokální minimum f) = Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) fx) = x x + log 4 1 ostré globální maximum v bodě [ ; log 4 ] na intervalu 1; 1 ostré globální minimum v bodě [ 1; log 4 ] ) fx) = x ln x + x ostré lokální maximum v bodě [e; e] na intervalu 1; e ostré globální minimum v bodě [ e ; 0 ] ) fx) = 4 e x 1x+5 + ln 4 ostré globální maximum v bodě [ ; 4 e 7 + ln 4 ] na intervalu 0; ostré globální minimum v bodě [ 0; 4 e 5 + ln 4 ] 4) fx) = 10 arctg x x + ) + arctg 4 ostré globální maximum v bodě [ 1; 10 arctg 1 + arctg ] na intervalu 1; 4 ostré globální minimum v bodě [1; 11 arctg ] 5) fx) = 5 4x + 4x ostré globální maximum v bodě [ 1; ] [ na intervalu 1; 1 5 ostré globální minimum v bodě 1 ] ; ) fx) = 1 x + 6x ostré globální a lokální maximum v bodě [ ; 1 5 ] na intervalu 10; 0 6 ostré lokální minimum v bodě [ 10; ] 7) fx) = 4 e x +1 + log 10 7 ostré globální a lokální maximum v bodě [ 0; 4 e 1 + log 10 ] na intervalu 0; 10 7 ostré globální minimum v bodě [ 10; 4 e 88 + log 10 ]

98 98 KAPITOLA 16. GLOBÁLNÍ A LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 8) fx) = 10 log 4x 0x + 7) [ ] 5 ostré globální maximum v bodě ; 10 log + 5 na intervalu ; 8 ostré globální minimum v bodě [ ; 10 log 1 + 5] 9) fx) = 7 4x + 0x ostré globální maximum v bodě [ 5 ] ; 1 na intervalu ; 0 9 ostré globální minimum v bodě [ 0; ] 10) fx) = 6 arctg x + 0x + 5) + arctg 5 10 ostré globální maximum v bodě [ 5; 6 arctg 45 + arctg 5] na intervalu 6; 0 10 ostré globální minimum v bodě [0; 6 arctg 5 + arctg 5] 11) fx) = 1 x x + Nepočítáno: na intervalu ; 1 1) fx) = x 1 na intervalu x 4 1 ; 1 1) fx) = 4x + 4x + + na intervalu 1; 1 14) fx) = 1 x + 1 x x na intervalu ; 15) fx) = ln x + 4x + 7) + na intervalu ; 0 π 16) fx) = arctgx + x + ) tg 1) na intervalu ; 1 17) fx) = 7 4x 4x + + na intervalu 0; 18) fx) = 4 log 4x 1x + 1) + 5 na intervalu ;

99 Kapitola 17 Lokální extrémy dvou proměnných 17.1 Návody k výpočtu Potřebujeme sestavit matici: z x z x y z x y z y 1. Definiční obor, u našich příkladů většinou R R. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle x z x. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle x z x 4. Spočteme první parciální derivaci zadané funkce podle y z y 5. Spočteme druhou parciální derivaci zadané funkce podle y z y 6. Spočteme smíšenou parciální derivaci derivace ) dle y nebo derivaci 4) dle x z x y 7. Spočteme souřadnice podezřelého bodu vyřešíme soustavu rovnic z x = 0 z y = 0 8. Kontrola, že podezřelý bod leží uvnitř definičního oboru, tzn. spočteme z-ovou souřadnici 9. Spočteme determinant matice, která nám vznikla 10. Mohou nastat tři situace: a) det = 0 nelze zjistit kvalitu extrému touto metodou b) det < 0 sedlový bod c) det > 0 rozhodneme o kvalitě extrému na základě prvního prvku v matici z x 11. V případě c) mohou nastat dvě situace: a) z > 0 v nalezeném bodě je MINIMUM x b) z < 0 v nalezeném bodě je MAXIMUM x c) z x = 0 nemůže nastat 99

100 100 KAPITOLA 17. LOKÁLNÍ EXTRÉMY DVOU PROMĚNNÝCH 17. Vzorový příklad Tento příklad je uveden na stránkách < jako 1. příklad. fx, y) = x y y x Potřebujeme sestavit matici: z x z x y z x y z y z = x x y = x y z x = y z = x x y y z = x 1y ) 1 x y y = y y ) z y = x 1 y 1 = x y 1 z = x y x y kontrolní výpočet, musí se rovnat z bod ) x y Soustava rovnic nalezení podezřelého bodu 7 x y = 0 x = y 8 x y y = 0 x y y = z) Poslední z-ovou souřadnici 7 y y y = 1; x = 1 Podezřelý bod má souřadnice [ 1; 1; ] 7, jsme získali tak, že jsme konkrétní hodnoty x a y dosadili do zadání. y x y x y x y 1 Nyní dosadíme x = 1 a y = 1: ) det ) = ) ) = 6 4 = det > 0 v bodě je extrém. O jeho kvalitě rozhodneme na základě velikosti z, což je tedy se jedná o maximum. x v bodě [ 1; 1; ] 7 je ostré lokální maximum

101 17.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) fx, y) = x y y x 1 Výsledky [ 1; 1; ] 7 ostré lokální MAX ) fx, y) = 6x + 5xy y 8x + 11y [1; 4; 1] ostré lokální MAX ) fx, y) = x y + xy 9x + 4y [ ; 1; 14] ostré lokální MAX 4) fx, y) = x + y xy 9x + 15y [; 1; 14] ostré lokální MIN [ 5) fx, y) = 7 + x + xy y + 6x 9y 5 ] 5 ; 4 5 ; 0 sedlový bod, det < 0 [ ] 78 6) fx, y) = x 6y + xy + 8x 19y ; 8 ; 615 ostré lokální MAX Nepočítáno: 7) fx, y) = x + y xy 4x + 4y + 9

102 Kapitola 18 Vázané extrémy 18.1 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) fx, y) = x e y + M : y ln x + = 0 1 ostré lokální vázané MIN [e; 1 ] ; e + ) fx, y) = x + [ ] M : y x 5 = 0 ostré lokální vázané MAX ; 7; y + 10 ) fx, y) = y + arctgx + ) M : y x + 1) 1 = 0 ostré lokální vázané MAX [ [ ; 1; ] 1] 1 4) fx, y) = e x y M : y ln x = 0 4 ostré lokální vázané MIN ; ; e 5) fx, y) = x + y ey + 1 M : x y + 1 = 0 5 ostré lokální vázané MIN [1; ; 4 e] e 6) fx, y) = x [ M : y x 4 = 0 6 ostré lokální vázané MIN ; 8; 1 ] y ) fx, y) = y + e x M : y x = 0 7 [ ostré lokální vázané MIN ] ln 0, 5 ln 0, 5. ; ; =, 44 10

103 Kapitola 19 Asymptoty 19.1 Vzorce asymptot Asymptoty grafů funkcí rozlišujeme na: svislé asymptoty asymptoty bez směrnice), šikmé asymptoty asymptoty se směrnicí). Svislá asymptota Je-li funkce y = fx) definovaná pro x a, a R, potom přímka o rovnici x = a je svislou asyptotu grafu funkce f právě tehdy, jestliže existuje alespoň jedna jednostranná nevlastní limita funkce f v bodě a. Šikmé asymptoty Přímky o rovnicích y = k i x + q i, i = 1,, jsou šikmými asymtotami grafu funkce y = fx) právě tehdy, jestliže tj. lim fx) k ix q i ) = 0, ) x ± k i : fx) lim x ± x, 19.1.) q i : lim [fx) kx] 19.1.) x ± poznamenejme, že graf funkce může mít dvě šikmé asymptoty, jednu v a jednu v + ). 19. Jednoduché příklady ze skript Najděte rovnice všech asymptot grafů následujících funkcí: Zadání Výsledky 1) fx) = 1 4 x 1 x = x = y = 0 ) fx) = x + x 9 ) fx) = x 1 x 4) fx) = x + x + 7 x + 1 x = x = y = x x = y = x 4 x = x = y = x 10

104 104 KAPITOLA 19. ASYMPTOTY 5) fx) = x x 1 5 x = 1 x = 1 y = 6) fx) = 1 x x + 1 x 6 x = x = 0 x = y = 0 7) fx) = ln x x x 7 y = x x = 0 8) fx) = x cos x x 8 y = x x = 0 9) x fx) = x 1 9 x = 1 x = 1 10) fx) = x x 10 y = 0 11) fx) = x x 1 x 1 1) fx) = x ex e x 1 1) fx) = arccos x ) 1 + x 11 y = 1 y = 1 1 y = x y = 0 1 y = π 14) fx) = x e 1 x 14 x = 0 y = x 15) fx) = x + 5x x + x ) fx) = x + x arctg x x 1 ) 1 17) fx) = x + arccos x x ) 18) fx) = x + arctg 19) fx) = x + ln x x 15 Nemá asymptoty 16 x = 1 y = x + 1 π + 1 y = x 1 π y = x + π 18 y = x + π y = x π 19 x = 0 y = x 0) fx) = ln x x 0 x = 0 y = 0 1) fx) = 1 + e x sin x 1 y = Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) y = 5 x 11x 4 + x Výsledky 1 rovná: x = 4 1 šikmá: y = 11x + 4 ) y = x x x) rovná: x = ) y = 1 6x x x + šikmá: y = x + 1 rovná: x = šikmá: y = x 4) y = 5x 9x x) 4 rovná: x = 4 šikmá: y = 9x 41

105 19.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 105 5) y = 5x 1 x 1 7) y = 4x + 8x + 1 x 1 Nepočítáno: 6) y = 7x 5x + x ) 8) y = 4x x 1 x 9) y = x + x 1 x 10) y = x + 10x + 5 x + 11) y = 7 + 5x x x 4 1) y = x + x 4 x 1) y = x6 + x x ) x 5 14) y = x 15) y = x x + 5 x + 16) y = x x 5 x + 17) y = x arctgx + 1) + 1 x 18) y = 4 5x + x x

106 Kapitola 0 Taylorův polynom 0.1 Vzorce Taylorova polynomu T n x) = fx a ) + f x a ) 1! x x a ) 1 + f x a )! x x a ) + f x a )! Kde: n stupeň polynomu x proměnná, za kterou se nic nedosazuje x a x-ová souřadnice zadaného bodu fx a ) y-ová souřadnice zadaného bodu tzv. funkční hodnota) f n x a ) je n-tá derivace v bodě x a x x a ) + + f n x a ) x x a ) n n! 0.1.1) 0. Návody k výpočtu Dostaneme zadanou funkci fx) fa)]. Jedná se o bod dotyku zadané funkce a hle- Dostaneme zadanou x-ovou souřadnici bodu A = [a, daného Taylorova polynomu 1. Dopočítání y-nové souřadnice fa)). Budeme potřebovat všechny derivace až do řádu jako je stupeň zadaného Taylorova polynomu. Spočítáme všechny derivace v bodě vezmeme vždy x-ovou souřadnici zadaného bodu A a dosadíme ji do každé derivace. Vyjdou konstantní hodnoty konkrétní čísla), které budeme dosazovat do vzorce. 4. Dosazení do vzorce 0. Vzorové příklady 0..1 Vzorový příklad 1 Tento příklad je uveden na stránkách < jako. příklad. y = x 1) ln x + 1, bod x = 1 Pohybujeme se v prostoru s jednou proměnnou máme proměnnou volitelnou a závislou a tedy každý bod má dvě souřadnice, x a y někdy též značená fx)). My známe pouze souřadnici x bodu a, nicméně počítáme Taylorův polynom a vzoreček pro něj, který je uveden dole, říká, že budeme na konci potřebovat obě. Nejprve tedy spočítáme druhou souřadnici zadaného bodu a. Tuto souřadnici zjistíme dosazením známé souřadnice do zadáné funkce. 106

107 0.. VZOROVÉ PŘÍKLADY 107 Dopočítání druhé souřadnice y 0 = 1 1) ln = 1 NÁHODOU! vyšly obě souřadnice stejné. Počítáme tedy Taylorův polynom. stupně pro bod [1; 1]. Do vzorečku dosazujeme obě hodnoty, [x 0 ; y 0 ]. 1. derivace y = 1 0) ln x + x 1) 1 x + 0 = ln x + x 1 x 1. derivace v bodě x y a) = ln derivace y = 1 x = = 0 1 0) x x 1) 1 + x = 1 x + x x + 1 x = 1 x + 1 x = x + 1 x. derivace v bodě x y a) = = 1 =. derivace y = 1 + 0) x x + 1) x x 4. derivace v bodě x y a) = 1 1 = 1 = = x x x x 4 = x x x x ) x 4 = x 4 = x x Tabulka 0.1: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu 1 Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu ! = 0.! = 1.! = 6 = 1 T = 1 + x 1) 1 x 1) Za samotné x se v tomto vzorečku NIC nedosazuje. Pouze se do výsledku opisuje podobně jako u výpočtu tečen a normál). Kdybychom dosazovali jak za x tak za x 0, tak by bylo výsledkem jedno číslo. Taylorův polynom je ale nová funkce, ve které se samozřejmě musí objevit proměnná.

108 108 KAPITOLA 0. TAYLORŮV POLYNOM Obrázek 0.1: Průběh funkce y = x 1) ln x + 1 plná čára) a Taylorův polynom v bodě a čárkovaná) Zdroj: program Graph 0.. Vzorový příklad Tento příklad je uveden na stránkách < jako 11. příklad. y = x 5 x, bod a = 1 1. Dopočítání druhé souřadnice y 0 = = 1 1 = 0 [x a ; fx a )] vyšly [1; 0] 1. derivace y = 5 x 1 x 1) = 5 x + 1. derivace v bodě x = 1 y x) = derivace 1 1 = = 6 = 1 x y = 5 x ) x = 15 x) 4 x x x). derivace v bodě x = 1 y x) = ). derivace y = 15 4 = = 16 4 = 4 1 x + 4 x) 1) 4 x) ) = 15 8 x 1 x 1 x) = 15 1 x + 4 x x) + 16 x) = x) + x 16 x) = 1 4 x) =

109 0.4. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT 109 = 15 8 x) + x 8 x) = 15 8 x + 8 x). derivace v bodě x = 1 y a) = ) = = 18 8 = 9 4 Tabulka 0.: Mezivýpočty pro dosazení do vzorce Taylorova polynomu k vzorovému příkladu Stupeň derivace Derivace v bodě Koeficienty Taylorova polynomu 1. 1! =. 4 4! = ! = = 8 T = 0 + x 1) + x 1) + x 1) 8 Obrázek 0.: Průběh funkce y = x 5 x plná čára) a Taylorův polynom v bodě a čárkovaná) Zdroj: program Graph 0.4 Jednoduché příklady ze skript Počítejte Taylorův polynom. stupně v zadaném bodě a. Zadání Výsledky 1) fx) = x a = 1 1 T x) = x 1) 1 8 x 1) + 1 x 1) 16 ) fx) = x + x x a = T x) = x + ) x + ) + x + ) ) fx) = x 10 x 6 + x 4 a = 1 T x) = x 1) + 6 x 1) x 1)

110 110 KAPITOLA 0. TAYLORŮV POLYNOM 0.5 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) fx) = x + 1 x a = 0 1 T x) = x x x ) fx) = x 1) ln x + 1 a = 1 T = 1 + x 1) 1 x 1) ) fx) = x ) lnx ) + 1 a = 4 T x) = 1 + x 4) + 1 x 4) 6 4) fx) = x lnx 1) a = 1 4 T x) = 1 + x 1) 8 x 1) 5) fx) = x + ) lnx ) 1 a = 4 5 T x) = 1 + 6x 4) x 4) + x 4) 6) fx) = x x a = 1 6 T x) = 5 x 1) x 1) + 7 x 1) 16 7) fx) = x x a = 1 7 T x) = 5 x 1) x 1) + 1 x 1) 16 8) fx) = x x + e x+1 a = 1 8 T x) = x + 1 ) + 5 x ) + 8 x + 1 ) 9) fx) = x x cosx) a = 0 9 T x) = x 7 x 10) fx) = x e x a = 0 10 T x) = x 1 x + x ) 11) fx) = x 5 x a = 1 11 T x) = x 1) + x 1) + 7 1) fx) = x + x + e x+1 a = 1 1 T x) = e ) + e ) +1 e ) x 1 ) 4 e x 1 ) x 1) x 1 ) + 1) fx) = 1 x + + x a = 1 1 T x) = x + 1) 1 x + 1) 14) fx) = x + + e x 1 a = 1 14 T x) = x 1 ) + x 1 + ) Nepočítáno: + 4 x 1 ) 15) fx) = cos x + x sin x a = π 16) fx) = 1 sin x + cos x a = π 4 17) fx) = sin x + cos x a = π 4 18) fx) = x x ) ln a = 19) fx) = + ln9x 1) a = 0 0) fx) = sin x + π ) + cos x π ) a = 0 6 1) fx) = 8 x ) x + ln a =

111 Kapitola 1 Neurčitý integrál 1.1 Vzorce pro integrování 1. k fx) dx = k Pravidla pro integrování fx) dx. fx) ± gx)) dx = fx) dx ± Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce. 0 dx = C 9. cos x dx = sin x + C 4. 1 dx = x + C 10. sin x dx = cos x + C 5. x α dx = xα+1 dx + C, α α + 1 cos x = tg x + C 6. a x dx = ax ln a + C 1. dx sin x = cotg x + C Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce 1 dx 7. dx = ln x + C 1. x 1 x 8. e x dx = e x dx +C x = arctg x + C Vzorce pro použití metod Metoda per partes Neurčitý integrál Určitý integrál b b 15. u v = u v u v 16. u v = [u v] b a u v Metoda substituce Neurčitý integrál 17. f gx)) g x) dx = Určitý integrál gb) 18. fgx)) g x) dx = ga) gx) = t g x) dx = dt gx) = t g x) dx = dt = ft) dt = = F t) = F gx)) + C a ga) b gb) = gb) ga) a ft) dt = [F t)] gb) ga) = F gb)) F ga)) Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: 19. fax + b) dx = 1 g a F ax + b) + C pro F x) x) = fx)) 0. dx = ln gx) + C gx) a gx) dx 1. Ukázkové jednoduché příklady substituční metoda) 1) x dx = 1 x ) arctg + C substituce zpět: 1 arctg x x = 4t x = t = dx = dt ) + C 1 dt = 4 + 4t t ) dt = t dt = 1 arctg t+c = 111

112 11 KAPITOLA 1. NEURČITÝ INTEGRÁL ) cos x sin x) = 4t 4 + sin x dx = sin x = t = cos dx = dt substituce zpět: 1 ) sin x arctg + C dt 4 + 4t = dt t ) = 1 dt 1 + t = 1 arctg t + C ) e x ex 1 dx = ex e x ex 1 dx = ex 1) = + ) e x 1 + C ex 1 = t e x 1 = t e x = t + 1 e x dx = t dt t + 1 = t ex 1 e x 1) substituce zpět: + ) e x 1 + C = e e x ) x C 4) ln x x 1 + ln x dx = 1 + ln x = t 1 + ln x = t 1 dx x = t dt t 1 = t ) t t dt = t + 1) dt = + t + C ) t t dt = t 1) dt = t + C 1 + ln x) 1 + ln x substituce zpět: ) 1 + ln x + C = 1 ) 1 + ln x + ln x 1 1 ) ln x + ln x + C + C = 1. Ukázkový příklad zkouškové úrovně Tento příklad je uveden na stránkách < jako 1. příklad. x x dx řešíme metodou substituce, záleží nyní na volbě, co budeme substituovat x = t volba substituce 50x dx = dt derivace zvolené substituce zvlášť levá a zvlášť pravá strana dt x dx = z druhého řádku si vyjádříme zvlášť x dx, protože jej potřebujeme pro dosazení do zadání 50 x = t 49 vyjádříme si x pro substituci vyjádříme jej z výrazu PŘED derivací) 5 Po samotné subtituci se nesmí v příkladu vyskytovat původní proměnná!! = t 49 5 t 150 dt 50 = t t dt = 1 49 ) 150 t dt t dt = t ln t + C 150 dt =

113 1.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 11 Substituce zpět [ x ) 49 ln49 + 5x ) ] + C 150 Obrázek 1.1: Průběh funkcí y = [ x 49+5x a y = x ) 49 ln49 + 5x ) ] + C Zdroj: program Graph 1.4 Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) x ln x + x) dx 1 x ln x 1 ) + x + C lnsin x) ) sin dx cotg x [lnsin x) + 1] x + C x ) ) x sin x + sin4 x cos x dx sin x x cos x + sin5 x + C x 5 4) x ln x dx 4 x ln x x + C arcsin x 5) dx 5 x arcsin x + 1 x + C x 6) lncos x) cos x dx 6 tg x ln cos x) + tg x x + C

114 114 KAPITOLA 1. NEURČITÝ INTEGRÁL 7) 8) 9) 10) 11) 1) 1) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 0) 1) ) ) 4) 5) 7) 9) 1) ) 5) dx sin x cotg x) ) x cos x ln x + x sin x arctg 7 9 cotg x ) + C dx 8 x4 4 ln x 1 ) sinx) 1) + C arctg 8x 1 dx 9 x arctg 8x x 1 + C e 4x 5 dx x 5 1) e 4x 5 +C dx 5x arcsin 5x ) + C 7 dx cos x ) 4 tg x arcsin tg x + C x x dx [49 + 5x ) 49 ln49 + 5x ) ] + C x 1 + x 4 dx 14 arctg x + C x arctg x 1 dx 15 x arctg x x C 4 + ln x dx 16 ln x + ln x + C x cos x dx 17 x sin x cos x + C x e x dx 18 e x x 1) + C arcsin x dx 19 x arcsin x + 1 x + C 7 sin x cos x dx arcsin 5 6 cos x ) + C x + 6) cos x 4 + sin x x + ) dx sin x + C e x 1 ex dx arctg + C e4x x x + 1 dx x C sin x 1 dx 4 x 1 cos x 1 + sin x 1 + C Nepočítáno: x + x + 7 x dx 6) cos x x + 1 ) + 7x + 1 sin dx x cos x x + x sin x) dx 8) x x + dx arcsin x x x + 6x + 7x + 8 dx 0) 1 x x dx + x + x + x ) 5x + 4 cotg x x dx ) sin x 1 9x + + x 10 sin dx x dx x x + x x ln 4) x) x dx + x 0 x + 8x + 6 x 19x + 6 x dx 6) + x 4 x 7x + 1 dx

115 1.4. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 115 7) 9) 41) 4) 45) 47) 49) 51) 5) 55) 57) 59) 61) 6) 65) 67) 69) x 5x 1 x dx 8) 4x 5 x + 7x 17 x dx 40) + 5x + 6 x x dx 4) 5x + 6 arccos 5x dx 44) e x dx 46) cos x sin x dx 48) arcsin x dx arctg x dx x + 8x x + x 15 dx x x x 14 x dx + x 4 x + 15x + 14x + 11 x dx + 5x + 4 x + 7x 17 x dx 5x + 6 cos x x 16 6 sin x dx 50) + 6x x + x 4 dx 1 x + ) x ln x dx 5) sin x + 5 dx 1 x x 4x 4x + 1 x dx 54) x + 10x x dx 56) 4x + 1 x 8x 11x + x dx 58) + 5x x + 4 x dx 60) x + 5 arctg x dx 6) e x dx 64) e x e x dx 66) x + ) ln x dx 68) 4x 1 dx e x dx x ) arcsin e +x dx dx x + ) x + x arctg x dx x 1 x 4 dx ) 1 x + x dx ) + cotg x sin x 1 + 9x + sin dx x arccos 4x dx

116 Kapitola Určitý integrál.1 Jednoduché příklady ze skript Zadání 1) ) ) 4) 1 0 π 4 0 e 1 1 Výsledky e x + e x dx 1 e + e 4 e cos x dx π x + x dx e +1 arctg x dx 4 0 5) 6) 7) 8) 9) 10) 1 π 0 1 x π 0 x sin x dx 5 x + 1 x x x ) arcsin e x dx 4x 9 dx 6 5 ln dx 7 π dx 8 e 4 e 9 ln 5 1 sin 4 x cos x dx ) 1) 1) 14) e e π 0 0 π 1 ln x x dx 11 8 cos x sin x dx x cos x dx 1 π + 9 x ln1 + x ) dx 14 ln9) ln) 7 116

117 .1. JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY ZE SKRIPT ) 16) 17) 18) 19) π π ln ln π π 6 π 0 8 cos x 4 sin x e x +9 e x cos x sin 5 x x dx 15 1 ln dx 16 π 6 dx cos x sin x dx 18 4 x x + 1 dx 19 0) 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) π 0 π x ) x dx 0 π e x cos x dx 1 eπ 5 x 4 + x dx x + x x π 4 dx 1 ) 4 5 ln x + ) e x dx 4 e 5 x dx 5 8 x 1 x + x dx x x x 4 + x x x x + 1 x x dx 7 ln dx 8 π 4 dx 9 Diverguje dx 0 Diverguje

118 118 KAPITOLA. URČITÝ INTEGRÁL 1) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 40) 41) 4) 4) 44) 45) 46) 47) 1 0 e π arcsin x 1 x x ln x x dx 1 π 8 dx sin x dx Diverguje 9 4x x dx 4 π 4 e x dx 5 1 x + x + x x) 1 x x dx 6 π dx 7 π ln x dx 8 1 tg x dx 9 Diverguje 4x + 1 x dx 40 π dx 41 1 x x dx 4 1 ln x ln x dx 4 Diverguje x dx 44 8 x e x 9 + e x dx 45 Diverguje ln x dx 46 x e x dx 47 4 e

119 .. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET ) 49) 50) 51) x cos x dx 48 Diverguje 1 x 1) dx 49 Diverguje arctg x 1 + x dx 50 π4 64 x arctg x dx 51 Diverguje. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání 1) ) 1 0 x + ) 1 1 x + 10 dx x + x + 5 ) 1 x + x Nepočítáno: Výsledky dx 1.= 11,

120 Kapitola Aplikace určitého integrálu.1 Vzorce aplikovaného integrálu Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami: b P = fx) dx, pro fx) 0 na a, b.1.1) a b P = fx) gx)) dx, pro fx) gx) na a, b.1.) a Povrch rotačního tělesa: b S = π a fx) 1 + f x)) dx.1.) Objem rotačního tělesa: b V = π a f x) dx.1.4) Délka křivky: l = b a 1 + f x)) dx.1.5) 10

121 .. CO SE POČÍTÁ OBSAH PLOCHY 11. Co se počítá obsah plochy Obrázek.1: Určitý intergrál Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami fx) A spodní hranice x horní hranice B Zdroj: L A TEX

122 1 KAPITOLA. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let 1. Obsah obrazce ohraničeného zadanými křivkami: Zadání 1) y 1 = x x y = x Výsledky = 4, 5) plošných jednotek ) y 1 = 0 y = x + y = 4 x 7 plošných jednotek 6 ) y 1 = x y = x plošných jednotek 15 4) y 1 = 0 y = ln x y = 1 x = 1 4 0,15 plošných jednotek 5) y 1 = 4x x y = x plošných jednotek 6 6) y 1 = x y = x plošných jednotek 6 7) x = y 1 = e x y = 1 x 7 e 1 plošných jednotek Nepočítáno: 8) y 1 = 0 y = x y = x + 8 9) y 1 = e y = e x x = 1 10) y 1 = x y = 4x 11) y 1 = x 4x y = x 1) y 1 = e x y = e x x = 1 1) y 1 = e y = e x x 1 = 4 x = 0 14) y 1 = x 1 y = x 1 15) y 1 = x x y = x + 16) y 1 = x x y = x 17) y 1 = x x y = x + 18) y 1 = x y = 1 x 19) y 1 = x x y = x 1 0) y 1 = x + 4x + 4 y = 4 1) y 1 = x x y = x ) y 1 = x x y = x ) y 1 = x 1 y = 8 x 4) y 1 = x + 8 y = x 5) y 1 = x x y = x 1 5) y 1 = 4x x y = 4 x 6) y 1 = 5x x y = x 4 7) y 1 = 5x x y = x 4

123 .. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 1. Délka křivky: Zadání 1) y 1 = 9 x x 0; π 1 Výsledky π ) arcsin délkových jednotek 6 ) y 1 = x 4 ln x x 1; e e +1 délkových jednotek 4 ) y 1 = 1 x x 0; 1 π délkových jednotek 6 4) y 1 = 4 x x 0; 1 4 π délkových jednotek 5) y = 1 x x 10; 1 5 π délkových jednotek. Povrch / Plášť rotačního tělesa: Zadání Výsledky 1) y = + x x 1; 1 48π plošných jednotek Nepočítáno: ) y = 9 x x 0; ) y = 16 x x 0; 1 4. Objem rotačního tělesa: Zadání x 1) y 1 = x + 1 x ) y 1 = + x Výsledky x ; 1 π x 1; π 4 Nepočítáno: ) y 1 = x e x y = 0 x 0; 1 4) y 1 = 4 x y = x + 1 ln 7 ) 5 7 ln 75 ) objemových jednotek objemových jednotek 5) y 1 = x y = 0 y = x 6) y 1 = ) x x 1 y = 0 x ;

124 Kapitola 4 Diferenciální rovnice I. řádu 4.1 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) y = x e x 1 y = x x + e x +C ) y = y x ) y = y tg x y = C x y = C sin x 4) x + 1) y = y 4 4y = + C x + 1)4 5) x y y = 0 5 y = C x 6) x y y = y y = C x 1 7) y = e x y 7 y = lne x +C) 8) y y + 1 x = 0 8 y = C x) 9) x y y = y 9 y = C x 1) 10) xy = 1 + y ) arctg y 10 y = tgc x) 11) y = y ln y 11 y = e 1 C x 1) y x y = 1 + y 1 + x 1 y = C 1 + x ) 1) xy = 4y, y1) = 1 y = x 4 14) xy = 1 + y, y1) = 0 14 y = tgln x ) 15) x + 1) y + xy = 0, y0) = 1 15 y = x + 1) e x 16) y = x y + 1, y0) = 0 16 y + 1) = 1 x 17) y = y cos x, yπ) = 1 17 y = e sin x 18) 1 + e x ) y y = e x, y0) = 1 18 y = 1 ln 4 + ln1 + e x ) 19) y = x + y x 19 y = x lnc x ) 0) x y = x + y 0 y = x C x 1) 1) x + x y = y 1 y = x ln C x ) x y = y + x y x y = C ln x ) y = e y x + y x 4) y y y ) x = x 5) y = x y + y x y 6) x y = y ln x) y = x ln ln C x ) 4 y = x arcsinc x) 5 y = x lnc x ) 6 y = x e 1+Cx 14

125 4.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY ZE ZKOUŠEK Z MINULÝCH LET 15 7) y = x + y x y 7 y = x tg ln ) Cx + y ) 8) y y = e x 8 y = x + C) e x 9) x y y = x 9 y = C x x 0) y + y = e x cos x 0 y = C + sin x) e x 1) y + x y = x 1 y = x 1 + C e x ) x + 1) y + y = x y = x 1 + C x + 1 ) y x y = x sin x y = x C cos x) 4) y + y cos x = sin x 4 y = C e sin x + sin x 5) x y y = x ln x 5 y = C x x ln x + 1) 6) x + 1) y y = x + 1) 4 6 y = C x + 1) + 1 x + 1)4 7) y y = 4x e x 7 y = C e x x ln x + 1) 8) y y tg x = sin x 8 y = C cos x cos x 9) x y + y = ln x) x 9 y = C x + 5x 4 x ln x 40) 1 x ) y + x y = x 40 y = C 1 x + 41) y + y cotg x = 1 sin x 41 y = C sin x + x sin x 4) y + x y 1 x = arcsin x 4 y = C 1 x x arcsin x 4) y y = e x, y0) = 4 4 y = e x + e x 44) y + y = x, y ) 1 = 1 44 y = e 1 x + x ) y + y x = x, y1) = 1 45 y = x 1 x 46) y + x y = x, y) = 1 46 y = 1 4. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) 1 + x ) y = x 1 + y) 1 y = K x ) y = x y y = K e x ) y x = 1 + x y = tg x + K) 4) xy + y = y x y 4 y = x + 1 x + 1 Kx 5) y y = 4x + x ) e x 5 y = K e x +x + x) e x 6) y + y = 1 1 x 1 x 6 y = K e arcsin x +1

126 16 KAPITOLA 4. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE I. ŘÁDU 7) xy + y = sin x 7 y = K x cos x x 8) y y tg x = x + 8 y = K ) x cos x cos x + + x 1 cos x 9) y xy = sin x + 1) e x 9 y = e x K + x cos x) 10) y y sin x = x e cos x 10 y = e cos x K + x x ) 11) x + 1) y = y 11 y = 4 arctg x + K 1) y + x = xy 1 y = K e x +1 1) y + 4y = 10x + 1) e x 1 y = K e 4x + e x 9 14) y + y tg x = sin x 14 y = cos K cos x + 1) 0x 7) 15) y + xy = x Nepočítáno: 16) y y tg x = cos x 17) y + y = x + 5x + 1 e x 18) xy y = x 1 19) y x = x 1 e x 0) y sin x y cos x = 1 1) xy + y = x + x ) y + y cos x = e sin x ) y + 6y = 9 e 8x 4) 7y 5y = 8 e 6x 5) 5 + y + 5y = 9x e x 6) 5xy 10y = 8x 4 cos x 7) y + y = x 4 e x 8) y + y x + 1 = 1 x + 1 9) sin 7x + 4) y y = 0 0) y sin x + y cos x = 1 sin x 1) y + 15y = 7 e 4x ) y + y cotg x = cos x ) y + y sin x = 4x 1 x 4) y cos x + y sin x = 0 5) xy + y = 6) xy + y = e x 4 x + 1 e cos x

127 Kapitola 5 Diferenciální rovnice II. řádu 5.1 Jednoduché příklady ze skript Zadání Výsledky 1) y + y 10y = 0 1 y = C 1 e x +C e 5x ) y 4y = 0 y = C 1 + C e 4x ) y + y y = 0 y = C 1 e x +C x e x 4) y 4y + 4y = 0 4 y = C 1 e x +C x e x 5) 4y 4y + y = 0 5 y = C 1 e x +C x e x 6) y 4y + 1y = 0 6 y = e x C 1 cos x + C sin x) 7) y + y = 0 7 y = C 1 e x +C x e x 8) y 4y + y = 0 8 y = e x C 1 cos x + C sin x) 9) 9y + y = 0 9 x ) x ) y = C 1 cos + C sin 10) y y + y = e x 10 y = C 1 e x +C e x + 1 e x 11) y y + y = e x 11 y = C 1 e x +C e x x e x ) 1) y y + 5y = 4x + ) e x 1 y = C 1 cos x + C sin x) e x x 1 1) y + y y = x + 1) x e 1 y = C 1 e x +C e x + 5 x 1 ) e x 5 14) y 7y + 10y = 6x + 7) e x 14 y = C 1 e 5x +C e x x + x) e x e x 15) y + 4y 5y = 1 15 y = C 1 e x +C e 5x ) y 5y + 6y = x y = C 1 e x +C e x + x ) y y 6y = x + x 17 y = C 1 e x +C e x x x ) y + y = x 18 y = C 1 sin x + C cos x + x 19) y + y = 9x 19 y = C 1 e x +C e x x x 0) y y = x x 0 y = C 1 + C e x x 6 1) y 4y = 8x 1 y = C 1 e x +C e x x x ) y y + y = 9 sin x + cos x y = C 1 e x +C e x + cos x ) y 7y + 6y = sin x y = C 1 e x +C e 6x cos x + 5 sin x) 74 x ) 4) 9y 6y + y = sin 4 y = C 1 e x +C x e x + 1 cos x 5) y + y + 5y = 17 cos x 5 y = C 1 e x cos x + C e x sin x 1 cos x sin x x 6) y + y y = x e x 6 y = C 1 e x +C e x + 1 x 16 + x ) 17

128 7) y y + y = e x cos x 7 y = C 1 e x sin x + C e x cos x + 1 ex x sin x 8) y y = 1 x x 8 y = C 1 e x +C e x 1 x 9) y y = 1 + x x 9 y = C 1 + C e x ln x 0) y 4y + 4y = ex x 0 y = C 1 e x +C x e x e x ln x 1) y + 8y = 1 sin x 1 y = C 1 sin x + C cos x + cos x 1 16 sin x ) y y + y = e 5x y = C 1 e x +C e x e5x ) y 4y + 4y = x y = C 1 e x +C x e x x + 1 x + 8 4) y y + y = x e x 4 y = C 1 e x sin x + C e x cos x + x e x 5. Ukázkové příklady ze zkoušek z minulých let Zadání Výsledky 1) y + 4y = 8 cos x 1 y = C 1 cos x + C sin x + x sin x ) y 1y + 6y = 6x 4) e 6x y = C 1 e 6x +C x e 6x +x x ) e 6x ) y y = 9x + 9x ) e x y = C 1 + C e x +x + 11x + 1) e x 4) y 5y 6y = 14 e 6x 4 y = C 1 e 6x +C e x +x e 6x 5) y 6y + 9y = 5 e x 5 y = C 1 e x +C x e x + 5 x e x 6) y + y + y = 4 e x 6 y = C 1 e x +C x e x +x e x 7) y 4y + y = x 8x y = C 1 e x +C e x +x + 1 8) y + y y = 6 e x 8 y = C 1 e x +C e x x e x 9) y y = 4 e x 9 y = C 1 e x +C e x x e x 10) y 4y + 4y = 4x + x + 10 y = C 1 x e x +C e x +x + 5x + Nepočítáno: 11) y 6y + 9y = x 1) y + y = cos x 1) y + y = cos x 14) y + 4y + 1y = 16 cos x + sin x 15) y + 4y + y = 7 cos x + 4 sin x 16) y + y = 9 x e x 17) y 16y = 6 x e x 18) y y + y = e x 19) y + 16 = 8 cos 4x + sin 4x 0) y + y + y = 6 e x 1) y + y 8y = 16x + ) y + 9y = 15 sin x + 65 cos x ) y 6y + 18y = 9x 15x 15x 9 4) y 10y + 5 = 9x e x 5) y y + y = 6x + 5) e x

129 Část II Lineární algebra 19

130 Kapitola 6 Základní pojmy z lineární algebry Uvažujeme pouze vektorové konečně generované podprostory. Co je to vektor V aritmetických vektorových prostorech se jedná o objekt zadaný souřadnicemi, např. ; 5). Z fyzikálního hlediska jej lze interpretovat jako orientovanou úsečku, vycházející z počátku soustavy souřadnic a končící v bodě zadaném příslušnými souřadnicemi. Co je to aritmetický vektorový prostor Je to množina vektorů, které můžeme spolu sčítat a násobit reálnými čísly. Operace jsou definovány takto: dva vektory sečteme tak, že sečteme souřadnice na stejných pozicích, např. ; 5) + ; 6) = + ; 5 + 6) = 5; 11), vektor vynásobíme reálným číslem tak, že vynásobíme všechny jeho souřadnice tímto číslem, např. 4 ; 5) = 8; 0). Každý vektorový prostor má právě dva triviální podprosotry. Prvním je případ, kdy se podprostor rovná vektorovému prostoru. Druhým případem je podprostor obsahující pouze nulový vektor. Co je to lineární kombinace Řekneme, že vektor je lineární kombinací jiných vektorů, lze-li jej vyjádřit jako součet násobků těchto vektorů. Např. 1; 0) + 4 0; 1) = ; 4), což znamená, že vektor ;4) je lineární kombinací vektorů 1; 0) a 0; 1). Co je to lineární závislost a nezávislost vektorů Pokud pro danou skupinu vektorů platí, že žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé. Skupina vektorů, z nichž alespoň jeden je lineární kombinací ostatních je lineárně závislá, také říkáme, že vektory tvořící tuto skupinu jsou lineárně závislé. Co je to vektorový podprostor Je taková podmnožina vektorového prostoru, která je uzavřená k operacím součet vektorů a násobení vektoru reálným číslem v daném vektorovém prostoru. Dimenze vektorového podprostoru může být stejně velká, jako dim daného vektorového prostoru, nebo menší. Vektorový podprostor může být stejně velký, jako vektorový prostor viz dále v Tabulce

131 11 Vektorový prostor vp) Tabulka 6.1: Vektorové prostory a podprostory Vektorový podprostor vpp) jednotlivé případy Dimenze Obrázek Dim vpp = Dim vp Dim vpp < Dim vp Dim vpp Dim vp Dim vpp Dim vp Dim 0 Dim y y Dim x x y z y z y Dim x x x Je to vektorový prostor, který je jednobodovou množinou obsahující pouze nulový vektor o. V případě, že má prostor více podprostorů, je v tabulce uveden jen jeden příklad. Co je to báze M) a dimenze podprostoru Báze je množina generátorů podprostoru, která neobsahuje zbytečné vektory, tj. je lineárně nezávislá. Platí, že všechny báze daného podprostoru mají stejný počet prvků. Počet prvků báze podprostoru se nazývá dimenze podprostoru. Dim 4 se špatně kreslí, ještě si lze představit, že čtvrtý parametr je např. čas t, to by šlo znázornit na krátkém videu popř. na obrázku typu *.gif. Co je to lineární obal LA) množiny A Je vše, co je vygenerováno vektory z dané množiny. To znamená obsahuje vektory z dané množiny + všechny jejich lineární kombinace. Lineární obal je vždy podprostorem. Lineární obal obsahuje automaticky i vektory z původní množiny A. Co jsou generátory podprostoru Jsou to vektory, pomocí kterých dokážeme generovat všechny vektory podprostoru, a to pomocí operací součtu vektorů a násobení vektorů reálným číslem. Toto znamená, že každý vektor podprostoru je lineární kombinací jeho generátorů.

132 1 KAPITOLA 6. ZÁKLADNÍ POJMY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Obrázek 6.1: Lineární obal generátory, vektory báze lineární kombinace generátorů lineární obal Co je to matice Tabulka čísel typu m, n) má m řádků a n sloupců. Může sloužit např. jako jiný způsob zápisu soustavy rovnic. Máme řešit soustavu dvou rovnic o dvou nezámých x a y. I. x + y = 40 II. x y = 15 Při výpočtu soustav rovnic můžeme postupovat třemi způsoby: 1. dosazovací metoda. sčítací metoda. matice a její úpravy Gaussova metoda řešení soustav) Mezi jednotlivými úpravami matic se používá znaménko shodnosti. Chceme-li z rovnice v=,6,9) vypočítat vektor v, vynásobíme celou rovnici převrácenou hodnotou k, tj. v = 1,6,9)=1,,), což při řešení rovnice s čísly místo vektorů odpovídá dělení číslem. Dělení vektoru číslem nezavádíme. 6.1 Skalární součin Náhodně vybrané vektory 1. příklad u = 5, 6) v =, ) Skalární součin z = = = 7. příklad

133 6.1. SKALÁRNÍ SOUČIN 1 u = 5,, 4) v = 4,, 6) w = 1, 1, 4) Skalární součin = = 188 Kolmé vektory. příklad u = 1, 1) v =, ) Skalární součin ) = + = 0 4. příklad u =, 5) v = 5, ) Skalární součin 5 + 5) = = 0 5. příklad u = 9,, 17) v = 9, 10, ) Skalární součin 9) = = 0 Ta nula není náhoda!

134 Kapitola 7 Lineární rovnice 7.1 Ukázkové příklady 1. x + y z t = x y + z + t = 0 v = t ; t 1; 1 t; t) x + y z 9t = 1 x y + z + 7t = 9. x y + z 1t = 1 y z + t = 11 v = 0; 7; 0; 6) x + y z + t = 5 x + y z + t = 4. x + y + z t = 16 x y + z 7t = 5 v = t; t + 1; t; t) x + y 8t = x y + z + 6t = 5 4. x + y + z 4t = 1 x y + z 1t = 1 v = t ; 1 t; + t; t) x + y + z + 6t = 8 x z 5t = x + z t = 4 x + y z t = v = t ; t + 1; 1; t) x + y + z t = 11 x + y + 4z 5t = 5 6. x + y + z 1t = 10 x + y z + t = 4 v = 0 z; z 1; z; 8) y z + t = 4 x + 4y z + t = 0 7. x + 5y + t = 10 x + y z + 1t = 0 v = 5z 7t; 4t z; z; t) x + y + z t = 0 4x + 5y 5z + 8t = 0 8. x y + z t = 15 x y + z 7t = 1 v = t + 1; t; t; t) x y z 17t = 5 4x + y z t = 5 Nepočítáno: 14

135 7.1. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY x + y z + 18t = 7 x y + z 8t = 6 v = y 4z + 18t = x y z + 8t = 10 ) ; ; ; x + y z + t = 4 x + y 4z + 4t = 1 v = 1 t; t + 1; ; t) y z t = 7 4x + 6y z 14t = x y z 1t = 15 x + z + t = v = x + y + t = 6 x + y + z + t = 4 ) 1 ; ; ; x + y z + t = 4 x + y 4z + 4t = 1 y z 1t = 7 4x + 6y z + 14t = 4 1. x + z t = 1 4x + 1y z + t = 4 x + y + z = 1 x + 7z 1t = 14. x y + z 1t = 7 x y + z 4t = 11 x + y z + t = 6 x + y z t = 15. x y t = x + y + z + t = 10 x + z t = 7x y 1t = x y = 0 x + y + 1z = 5 x + y z = x y + z = 9 4x + y + z = 0 x + 4y + 6z = 0

136 Kapitola 8 Inverzní matice 8.1 Jordanova metoda Zadaná matice A A = Jordanova metoda: Inverzní matice je tedy: A 1 =

137 8.. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC 17 Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou: A 1 A = A A 1 = E = = Metoda výpočtu přes algebraické doplňky submatic Zadaná matice A A = věta inverzní matice pomocí determinantů Nechť A = a ij ) je regulární čtvercová matice řádu n. Potom inverzní matici k matici A lze zapsat A 1 = 1 det A D 11 D 1... D n1 D 1 D... D n D 1n D n... D nn = 1 det A D ij) T, kde D ij je algebraický doplněk prvku a ij matice A pro všechna i, j = 1,,..., n. 1) Spočítáme determinant zadané matice A tučně vyznačena) Sarrusovým pravidlem = = 4 ) Potřebujeme algebraické doplňky submatic pro dosazení do vzorce zmíněného výše. Algebraické doplňky zjistíme na základě determinantů submatic: algebraický doplněk = 1) i+j determinant submatice kde i = sloupec, j = řádek

138 18 KAPITOLA 8. INVERZNÍ MATICE Vzhledem k tomu, že musíme používat matici algebraických doplňků transponovanou, budeme nyní chápat značení transponovaně: D sloupec, řádek a dosadíme do matice A 1 = = Výsledná matice je inverzní k zadané matici A. Správnost výsledku můžeme ověřit zkouškou: 1 1 A = = =

139 8.. METODA VÝPOČTU PŘES ALGEBRAICKÉ DOPLŇKY SUBMATIC 19 Tabulka 8.1: Výpočet determinantů submatic a algebraických doplňků Zvýrazněný prvek Submatice Výpočet determinantu submatice algebraický doplněk ) D 11 = 4 1 1) = 4 + = 1) 1+1 ) = D 1 = ) = 1 1) 1+ 1) = 1 D 1 = ) 1 1) 4) 1 = = 1) 1+ = D 1 = ) 1 1 1) 1) = 1 1 = 0 1) +1 0 = 0 D = ) 1 1 1) 1 = = 1) + = D = ) 1 1) 1 1 = 1 1 = 1) + ) = D 1 = ) 1 1) 4) = 4 = 1) +1 ) = D = ) 1 1) 1 = + 1 = 1) + = D = ) 1 4) 1 1 = 4 1 = 5 1) + 5) = 5

140 Kapitola 9 Matice 9.1 Sčítání matic Obecný návod Nechť A, B jsou matice typu m, n), potom A + B je opět matice typu m, n) taková, že a 11 a 1... a 1n b 11 b 1... b 1n a 1 a... a n A + B = b 1 b... b n = a m1 a m... a mn b m1 b m... b mn = a 11 + b 11 a 1 + b 1... a 1n + b 1n a 1 + b 1 a + b... a n + b n a m1 + b m1 a m + b m... a mn + b mn 9.1. Příklady A + B = 1 4 ) ) = ) 9. Násobení matic reálným číslem 9..1 Obecný návod Platí, že pakliže násobíme matici A typu m, n) nějakým číslem c, pak se výsledek rovná c A. A = a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n c A = c a 11 c a 1... c a 1n c a 1 c a... c a n a m1 a m... a mn c a m1 c a m... c a mn 9.. Příklad Vynásobte matici K číslem 5: K = K = ) ) 5 5 5) =

141 9.. NÁSOBENÍ MATIC MATICEMI Násobení matic maticemi 9..1 Obecný návod Při výpočtu násobku dvou matic musíme v první řadě ověřit řešitelnost, v případě, že chceme k výpočtu použít Excel, musíme znát i velikost výsledné matice. Řešitelnost a velikost zjistíme následujícím způsobem: Matice má rozměr A m n m = počet řádků, n = počet sloupců) Matice má rozměr B n o n = počet řádků, o = počet sloupců) m n n o Matice lze vynásobit v pořadí A B, pakliže má první matice tolik slouců, kolik má druhá matice řádků Velikost výsledné matice bude m o, tedy bude mít tolik řádků, kolik má první matice řádků a bude mít tolik sloupců jako má druhá matice sloupků Násobení matic není komutativní, což znamená, že A B B A, pakliže není jedna nebo obě) z daných matic jednotková. Obecně se dá násobení matic znázornit následovně: a 11 a 1 ) b 11 b 1 b 1 A B = a 1 a = b 1 b b a 1 a a 11 b 11 ) + a 1 b 1 ) a 11 b 1 ) + a 1 b ) a 11 b 1 ) + a 1 b ) a 1 b 11 ) + a b 1 ) a 1 b 1 ) + a b ) a 1 b 1 ) + a b ) a 1 b 11 ) + a b 1 ) a 1 b 1 ) + a b ) a 1 b 1 ) + a b ) Obrázek 9.1 snad ještě lépe dokresluje způsob, jakým se dvě matice násobí mezi sebou.

142 14 KAPITOLA 9. MATICE Obrázek 9.1: Násobení matic B b 11 b 1 b 1 b 1 b b A a 11 a 1 a 1 a a 1 a a 41 a 4 Zdroj: L A TEX Návod na výpočet v Excelu: 1. zapíšeme hodnoty první matice. zapíšeme hodnoty druhé matice. zjistíme rozměr výsledné matice sama se zamyslím) 4. kurzorem označíme rozsah polí výsledné matice kde všude se objeví výsledek) 5. s označeným polem se do Fx) napíše = soucin.maticozačení polí s hodnotami první matice; označení polí s hodnotami druhé matice) 6. pro zobrazení stiskneme ctrl+shift+enter, samotný enter nestačí, neboť v takovém případě se vypíše pouze jedna hodnota vyplní se jedna buňka) 9.. Příklady 1. Zjistíme řešitelnost úlohy: matice A má rozměr a matice B má rozměr. Řešitelná tedy je.. Výsledná matice bude o rozměru.. Výpočet úlohy B A není možný. A B = = ) = = Násobení matic jednotkovou maticí zleva a zprava ) ) C E = = ) = ) = 4 5 )

143 9.5. MATICE S PARAMETREM 14 E C = ) 4 5 ) = ) = ) = 4 5 ) Násobení matic zleva a zprava ) ) D F = = ) = ) = ) F D = ) 1 4 ) = ) = ) = ) 9.4 Rovnice s maticemi 1. X A=B X ) A X=E-B) 1 A A = B = ). X+B=4B AX ) 1 1 A = B = 5 4 ). X B=B X A ) 1 9 A = 1 B = ) 4. A X = B A = B = X+B=4B AX ) 1 1 A = B = 5 4 ) 9.5 Matice s parametrem Vypočítejte hodnotu parametru k tak, aby byli řádky matice lineárně závislé k k 0 7 k 1 10

144 Kapitola 0 Determinanty 0.1 Návody k výpočtu Determinant matice 1. řádu Nechť A je čtvercová matice řádu n = 1. A = a 11 ). Pak z definice 8 uvedené v Přílohách III, v sekci Definice z lineární algebry C.1: det A = 1) r a 1k1 a k,..., a nkn, π) dostáváme: det A = a 11 Př: Matice A = 5) det = 5 ) 1 Matice B = det = 1 Matice C = ) det = Matice D = 1) det = Determinant matice. řádu Je-li A čtvercová matice n = ) a 11 a 1 A = a 1 a Z definice vychází následující: det A = a 11 a a 1 a 1 Př.: Matice A = Matice B = ) ) = det A = = 15 4 = 9 = det B = = 8 7 = Determinant matice. řádu Sarrusovo pravidlo Předpokládejme, že A je čtvercová matice řádu n =. 144

145 0.1. NÁVODY K VÝPOČTU 145 a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a V tomto případě je det A součtem šesti členů, protože existuje! = 1 = 6 různých permutací. První tři jsou sudé a odpovídající členy determinantu budou mít znaménko +. Zbývající tři permutace jsou liché a příslušné členy budou mít znaménko. Podle definice determinantu tedy dostáváme: det A = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 11 a a a 1 a 1 a a 1 a a 1 Při řešení se můžeme řídit tzv. Sarrusovým pravidlem Obrázek 0.1: Sarrusovo pravidlo + a 11 a 1 a 1 + a 1 a a + a 1 a a a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a 1 Zdroj: L A TEX Sarrusovo pravidlo lze použít pouze pro matice. řádu. U matic vyššího řádu NELZE! Sarrusovo pravidlo použít Ukázkový příklad Zadaná matice tučně vyznačena) je matice řádu, použijeme tedy pro výpočet determinantu Sarrusovo pravidlo = = = = 0 = Determinant matice řádu > Při hledání determinantů matic řádu vyššího než. se řídíme větou 9. uvedenou v Přílohách III, v sekci Věty z lineární algebry C., nelze použít Sarrusovo pravidlo. Lze postupovat tak, že z matice řádkovými a sloupcovými

146 146 KAPITOLA 0. DETERMINANTY úpravami dostaneme horní či dolní trojúhelníkovou matici. Determinant této matice se pak rovná součinu prvků na hlavní diagonále. 0. Ukázkové příklady 0..1 Výpočet determinantů matic Vypočítejte determinanty daných matic Zadání 1) A = ) B = ) C = 4) D = 5) E = 6) F = Výsledky 1 Determinant A = 41 Determinant B = 10 Determinant C = Determinant D = 11 5 Determinant E = Rovnice s determinanty x = x + 1

147 0.. UKÁZKOVÉ PŘÍKLADY x x x 5 1 = = x x 1 4 x 4. x 0 1 x 1 = x 5 x Cramerovo pravidlo 1. + x + 4z = 1 0 x + y z = 7 5y z = 4. x y + z = 9 4x + y + z = 1 0 x + 4y + 6z = 0. x + y + z = 1 0 x + y + z = 0 4x y z = y z = 1 0 4x + y z = x y + z =

148 Literatura Tištěné zdroje [1] Dvořáková, Š.: Řešené příklady k matematice I, Praha 004, ISBN [] Dvořáková, Š., Slavík, V.: Integrální počet, ISBN [] Dvořáková, Š., Wohlmuthová M.: Řešené příklady k Matematice II, Praha 006, ISBN ČZU) [4] Nešetřilová, H., Šařecová, P.: Matematické metody pro statistiku a operační výzkum, Praha 009, ISBN [5] Slavík, V., Hrubá, J.: Matematika: Diferenciální počet, Praha 199, ISBN [6] Slavík, V., Wolhmuthová, M.: Matematika I, Praha 004, ISBN Elektronické zdroje [7] Gurka, P.: Dostupné na World Wide Web: < [8] Mašková, K.: Dostupné na World Wide Web: < [9] Wikipedia: Dostupné na World Wide Web: < [10] Greenpeace, kampaň Papír má dvě strany: Dostupné na World Wide Web: < Programy, za jejichž pomoci byl soubor vytvořen [11] Text a obrázky L A TEX ε [1] Obrázky Graph ke stažení < [1] Obrázky GeoGebra ke stažení < [14] Obrázky Google < Online kalkulátory [15] Online kalkulátor český) < [16] Webová verze programu Mathematica < [17] Sčítání a násobení matic lineární algebra) < index_male.php> Zajímavé odkazy [18] Stránky katedry matematiky ČZU TF < [19] Masarykova univerzita Brno) < [0] ČVUT < 148

149 Část III Přílohy 149

150 150

151 Příloha A Vzorce povolené ke zkoušce A.1 Derivace Funkce a exponenty Pravidla pro derivování 1. konstanta) = 0 Pravidla pro sčítání. x) = u ± v) = u ± v. x a = ax a 1 Pravidla pro násobení ) 1 4. = 1 x x 0. u v) = u v + u v 5. x) = 1 x Speciální případ s konstantou Logaritmy a exponenciála 0.a k fx)) = k fx)) 6. log a x) = 1 Násobení více funkcí x ln a 7. log x) = 1 1. u v w) = u v w + u v w + u v w u v) w + u v) w 8. x ln 10 ln x) = 1 x nebo též u v) w) = 9. e x ) = e x Pravidla pro podíl 10. a x ) = a x ln a. u ) u v u v = v Goniometrické funkce Speciální případ s konstantou ) fx) 11. sin x) = cos x.a = f x) k k 1. cos x) = sin x Pravidla pro složené funkce 1. tg x) 1 = cos x). [f gx))] = f gx)) g x) 14. cotg x) = 1 sin x) Cyklometrické funkce 15. arcsin x) 1 = 1 x 16. arccos x) 1 = 1 x 17. arctg x) = x 18. arccotg x) = x Toto není vzorec pro derivování, jedná se o definici A. Tabulka hodnot důležitých goniometrických funkcí 4. v obecné mocniny ) fx) gx) gx) ln fx) = e Tabulka A.1: Důležité hodnoty goniometrických funkcí x π π π 4 π 6 0 π 6 π 4 π π π π 4 5π 7π 6 π 6 5π 4 4π π 5π 7π 4 11π 6 sin x cos x tg x cotg x

152 15 PŘÍLOHA A. VZORCE POVOLENÉ KE ZKOUŠCE A. Neurčité integrály 1. k fx) dx = k Pravidla pro integrování fx) dx. fx) ± gx)) dx = fx) dx ± Funkce a exponenty Funkce vedoucí na goniometrické funkce. 0 dx = C 9. cos x dx = sin x + C 4. 1 dx = x + C 10. sin x dx = cos x + C 5. x α dx = xα+1 dx + C, α α + 1 cos x = tg x + C 6. a x dx = ax ln a + C 1. dx sin x = cotg x + C Logaritmy a exponenciála Funkce vedoucí na cyklometrické funkce 1 dx 7. dx = ln x + C 1. x 1 x 8. e x dx = e x dx +C x = arctg x + C Vzorce pro použití metod Metoda per partes Neurčitý integrál Určitý integrál b b 15. u v = u v u v 16. u v = [u v] b a u v Metoda substituce Neurčitý integrál 17. f gx)) g x) dx = Určitý integrál gb) 18. fgx)) g x) dx = ga) gx) = t g x) dx = dt gx) = t g x) dx = dt = ft) dt = = F t) = F gx)) + C a ga) b gb) = gb) ga) a ft) dt = [F t)] gb) ga) = F gb)) F ga)) Speciální možnost jak řešit integrály, pakliže jsou v následujícím tvaru: 19. fax + b) dx = 1 g a F ax + b) + C pro F x) x) = fx)) 0. dx = ln gx) + C gx) a gx) dx A.4 Aplikace určitého integrálu 1. Obsah plochy rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami: b P = fx) dx pro fx) 0 na a, b, P = fx) gx)) dx pro fx) gx) na a, b a a b. Povrch rotačního tělesa: S = π fx) 1 + f x)) dx a b. Objem rotačního tělesa: V = π f x) dx 4. Délka křivky: l = b a a 1 + f x)) dx b

153 Příloha B Návod k programu Graph 4. B.1 Úvod Tento jednoduchý ale šikovný open source program umožňuje nakreslit funkce, řady bodů, provádět základní výpočty apod. a tak nám může usnadnit orientaci při výpočtu příkladů a zároveň nám nabízí grafické řešení a ověření. Často se počítá definiční obor, monotonie, konvexita a konkávita. To jsou charakteristiky funkcí, které lze snadno vyčíst z obrázku zkoušková zadání, která jsou na stránkách, jsou graficky zachycena v červené záložce Grafické znázornění ). Bohužel zkouškové předpisy jsou tak složité, že není možné si je v hlavě představit, proto musíme použít matematický aparát ke zjištění, kde funkce roste či kde je konkávní. V rámci domácí přípravy však použití tohoto programu může přinést lepší představu o počítaných příkladech. Aktuální verze 4. je dostupná od 6. srpna 007 je již 8. verzí v pořadí, první byla vydána v březnu 001. Do novějších verzí se mimo nových funkcí a případných oprav zapracovávají i nové jazyky, v tuto chvíli je Graph dostupný ve jazycích včetně srbštiny a mongolštiny a k šesti z nich je dostupná nápověda. Autorem je Ivan Johansen, který na programu stále pracuje. Program byl napsán pro práci pod operačním systémem Windows, dle zpráv od ostatních uživatelů jej však možné spustit jej i pod Linuxem a Macintoshem. Nová verze 4.4 se připravuje, v tuto chvíli je možné zúčastnit se Beta testu na < graph/beta.php>, také je možné zapsat se do mailing listu a nechat si zasílat informace o nově dostupných verzích. Výstupy z grafu lze uložit pod koncovkou *.grf, nebo je též možné vyexportovat je jako obrázcek nabízí se běžné druhy obrázků: *.jpg, *.png, *.bmp, *.emf a *.pdf) pod Soubor Uložit jako obrázek. V následujících kapitolkách si ukážeme nejdůležitější funkce, které Graph 4. nabízí. B. Popis pracovní lišty a nápovědy Obrázek B.1 ukazuje základní pracovní plochu programu s lištou nástrojů. Na následujících obrázcích jsou vysvětleny jednotlivé funkce a způsob ovládání. 15

154 154 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Obrázek B.1: Základní pracovní plocha Zdroj: program Malování print screen programu Graph B..1 Nastavení os Pod růžově zvýrazněným symbolem os se skrývá tabulka, kde je možné zaškrtnout zda se má zobrazovat mřížka, legenda, jak budou pojmenovány jednotlivé osy a nakonec i změna nastavení barev na Obrázek B.. Obrázek B.: Základní nastavení os a barev Zdroj: program Malování print screen programu Graph

155 B.. JAK ZADÁVAT FUNKCE 155 B.. Nápověda Samotný program nabízí ve své nápovědě kompletní slovník pro překlad požadavků do jazyka Graphu. Je pod záložkou Nápověda Seznam funkcí jak je ukázáno na Obrázku B.. Obrázek B.: Slovník seznam funkcí Zdroj: program Malování print screen programu Graph B. Jak zadávat funkce Nejdůležitějším nástojem je samozřejmě samotné zadávání předpisů. Lze si buď vybrat z horní lišty Funkce Vložit funkci, nebo použít ikonu znázorňující osy s červenou křivkou, jak je znázorněno na Obrázku B.4. V tabulce Vložit funkci na Obrázku B.4 lze také nastavit ohraničení zobrazení křivky, tloušťku, styl čáry a její barvu pro lepší orientaci. B..1 Předpisy funkcí a jak je zadávat Zde jsou vypsané zjednodušeně pokyny z této nápovědy:

156 156 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Obrázek B.4: Vložení nové funkce Zdroj: program Malování print screen programu Graph Tabulka B.1: Slovník typ funkce jak se zapisuje jak poprosit Graph mocnina x x druhá odmocnina x sqrt x) n n-tá odmocnina x rootn, x) logaritmus přirozený) ln x ln x) logaritmus o základu n) log 10x logb10x, ) logaritmus dekadický) log x log x) sinus sin x sin x) cosinus cos x cos x) tangens tg x tan x) arcus sinus arcsin x asin x) arcus cosinus arccos x acos x) arcus tangens arctg x atan x) Eulerovo číslo e e Ludolfovo číslo π pi Ctrl + Alt + tlačítko š stříška sqrt square root anglicky odmocnina

157 B.. JAK ZADÁVAT FUNKCE 157 Funkce Tabulka B.: Konkrétní funkce Jak mluvit na Graph 1 fx) = x + ) lnx ) 1 x + ) lnx ) 1 4 x fx) = ln x + lnsqrt4 x)/x + ))) fx) = ln x + x 15 x 1 4 fx) = ln x 16x x 5 5 fx) = 5 x + ln x + 4x 1x 4 x 6 fx) = 5x x + ln x + x x + x 8 + e x 16 lnx + x 15)/x 1)) + e sqrtx 16)) + 6 x lnx 16x)/x 5)) + sqrt6 x ) sqrt5 x ) + lnx + 4x 1x)/4 x)) sqrt5x x ) + lnx + x )/x + x 8)) 7 fx) = e 1 log x+) e sqrt1 logx + 4))) 1 9x 8 fx) = log 8 x) + 1 x 1/log8 x)) + sqrt9x 1)/x 10x + 1)) 10x + 1 e 4x 9 fx) = ln + e 4x lnsqrt e 4x))/ + e 4x)))) x x fx) = log x + 4) 1 + log 8 x) x x 10) 1/))/logx + 4) 1) + log8 x)! NEŠETŘETE ZÁVORKAMI! Program pracuje s desetinnou tečkou.

158 158 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. Není-li výraz v argumentu to, co je logaritmováno, sínusováno atd.) v závorce, může se stát, že program nakreslí jinou funkci; dále viz příklad rozdílné interpretace jedné funkce. Zadáme-li do Graphu funkci ne zcela jednoznačným způsobem, může dojít k následujícímu: log 8 x log 8) x log 8 x) Toto bude nakresleno. Otázkou je, jakou funkci jsme měli na mysli. B.. Konkrétní příklad Předpis křivky: fx) = x + e 1 x) je tedy x+e 1-x ) Tento předpis je nutné vložit do Vložit funkci. Z Obrázku B.5 je vidět, kde funkce roste a kde klesá. Funkce roste na intervalech ; 0 a 1, 5; ) Funkce klesá na intervalu 0; 1, 5 Lze tedy očekávat, že funkční hodnoty derivace budou v místech poklesu záporné a v místech růstu funkce kladné. Obrázek B.5: Konkrétní příklad funkce fx) = x + e 1 x ) Zdroj: program Malování print screen programu Graph

159 B.4. DALŠÍ FUNKCE 159 B.4 Další funkce B.4.1 Ohraničení funkce, šrafování Šrafováním se dá znázornit např. interval pro výpočet lokálních extrémů, plocha při výpočtu určitého integrálu apod. Kliknutím na růžově zvýrazněný symbol vyšrafované křivky na Obrázku B.6 se nám otevře dialogové okno se třemi záložkami: Šrafování zde zvolíme druh šrafování a směr od funkce a horizontální osy Možnosti nabízí se nám zobrazit šrafování od do, typ šrafování čtverečky, šikmé čáry... ) Druhá funkce pro případ, že chceme zvýraznit plochu mezi dvěma funkcemi, je tu třetí záložka, kde určíme jaké funkce se mají na požadované ploše podílet Obrázek B.6: Šrafování Zdroj: program Malování print screen programu Graph

160 160 PŘÍLOHA B. NÁVOD K PROGRAMU GRAPH 4. B.4. Tečna a normála Jak nakreslit tečnu a normálu? Musí být označena funkce, ke které mají být požadované přímky sestrojeny. Symbol je označen v růžovém rámečku na liště na Obrázku B.7. Pak je nutné zadat x-ovou souřadnici do horního pole dialogového okna. V případě, že má být nakreslena normála, pak je třeba zaškrtnout příkaz Kolmice jiný název pro normálu, neboť normála je kolmá na tečnu). Obrázek B.7: Vložení tečny a normály k vybrané funkci Zdroj: program Malování print screen programu Graph B.4. Řada bodů / souřadnic Kromě funkcí je možno zadat i řadu bodů. To je vhodná jak pro znázornění konkrétních souřadnic, vývoj sledovaných veličin, tak ke zvýraznění určitých bodů např. maxim a minim, inflexních bodů, hraničních bodů a podobně. B.4.4 Text, popisky a legenda Kromě funkcí je možné na plochu vložit i text a další symboly. Je možné pohrát si s barvami textu a pořadí či velikostí písma. B.4.5 Výpočty Mezi další funkce patří například výpočet určitého integrálu délka, obsah). Všechny ikonky nástrojů mají bublinovou nápovědu, takže kdo si chce s funkcemi pohrát více má šanci.

161 B.4. DALŠÍ FUNKCE 161 Obrázek B.8: Řada bodů Zdroj: program Malování print screen programu Graph Obrázek B.9: Vložení textu Zdroj: program Malování print screen programu Graph K zadané již nakreslené funkci Graph hravě dopočítá a ihned nakreslí derivaci přos Funkce Vložit f x),nezobrazí však její maximální algebraickou úpravu.