Derivace, parciální derivace a operátory matematické fyziky

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Derivace, parciální derivace a operátory matematické fyziky"

Květoslava Ševčíková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Derivace, parciální derivace a operátory matematické fyziky Robert Mařík jaro 2014, aktualizace pro jaro 2015 Tento text je tištěnou verzí prezentací dostupných z Derivace Derivace je matematický prostředek který umožňuje sledovat, měřit a porovnávat rychlosti změn fyzikálních veličin. Přirozeně se tak objevuje při formulaci a popisu téměř všech dynamicky probíhajících fyzikálních jevů. (Fyzikální popis světa tak je prezentovaný středoškolskou fyzikou je častou pouze jakousi aproximací ve které jevy probíhají konstantní rychlostí - například bez derivací umíme studovat pouze rovnoměrný nebo rovnoměrně zrychlený pohyb). Poznámka. Všude v následujícím textu budeme předpokládat, že funkce a derivace které zde vystupují jsou dostatečně hladké a rovnosti platí na dostatečně pěkných množinách. V praktických aplikacích bývají tyto předpoklady zpravidla triviálně splněny, proto je pro úsporu místa nebudeme vypisovat. Zájemce najde poučení v odborné literatuře. Obyčejná derivace 0 Derivace funkce y = f(x) je definována vztahem f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Podpořeno projektem Průřezová inovace studijnách programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.

2 Jedná se o veličinu udávající, jak rychle se mění funkční hodnoty funkce při změnách vstupních dat. Alternativní označení je df. dx Derivace f (x) je směrnice tečny ke grafu funkce y = f(x) v bodě [x, f(x)]. Lineární aproximací funkce y = f(x) v bodě x 0 je f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Slovy: funkční hodnota ted (v x) je funkční hodnota před chvíĺı (v x 0 ) plus celková změna, která je součinem rychlosti změny (f (x 0 )) a času, za který se změna udála (x x 0 ). Obrázek 1: Derivace a tečna (lineární aproximace) Parciální derivace Pro funkce dvou proměnných rozlišujeme parciální derivace podle jednotlivých proměnných. f(x, y) f(x, y) y f(x + h, y) f(x, y) = lim h 0 h f(x, y + h) f(x, y) = lim h 0 h Jedná se o stejnou veličinu jako u obyčejné derivace, ale vždy jenom vzhledem k jedné proměnné. Parciální derivace f tedy udává, jak rychle se mění f při změnách veličiny x. 2

3 V definici a při výpočtu parciální derivace podle x je proměnná y konstantní. Geometricky to je možno interpretovat tak, že studujeme křivku, která vznikne na řezu grafu funkce z = f(x, y) rovinou y = konst. Schwarzova věta (smíšené druhé derivace jsou stejné) f y = f y Obrázek 2: Parciální derivace funkce f v bodě [2, 2] jsou derivace křivek vzniklých na řezech rovinami x = 2 a y = 2. Derivace složené funkce f(x, y), kde x = x(u, v), y = y(u, v): f u = f u + f y y u Derivace složené funkce f(x, y, z), kde x = x(t), y = y(t), z = z(t): df dt = f dx dt + f dy y dt + f dz z dt Lineární aproximací funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) je f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f(x 0, y 0 ) (y y 0 ) y Totálním diferenciálem funkce z = f(x, y) v bodě (x 0, y 0 ) je df = f(x 0, y 0 ) dx + f(x 0, y 0 ) dy. y Funkce f se v tomto kontextu nazývá kmenová funkce diferenciálu. 3

4 Máme-li výraz M(x, y)dx + N(x, y)dy, potom k tomuto výrazu existuje kmenová funkce právě tehdy když platí M(x, y) = N(x, y). y Gradient Gradient je definován pro skalární funkce Gradient funkce dvou proměnných f(x, y): grad f = ( f, f ) y Gradient funkce tří proměnných f(x, y, z): ( f grad f =, f y, f ) z Formálně většinou zapisujeme gradient f, ( ) ( ) kde vystupuje operátor nabla definovaný vztahem =,, nebo =, y z y (v závislosti na počtu proměnných funkce f). Násobení s funkcí f přitom chápeme jako parciální derivaci f. nakreslit online Gradient a lineární aproximace funkce V následujících vzorcích operátor označuje skalární součin vektorů. Vztahy jsou uvedeny pro funkci dvou proměnných, ale úplně stejně platí pro funkce libovolného počtu proměnných. Lineární aproximací funkce z = f(x, y) v bodě x 0, y 0 je f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) Tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) vedená bodem [x 0, y 0, z 0 ], kde z 0 = f(x 0, y 0 ) má rovnici z z 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) 4

5 Obrázek 3: Gradient je kolmý na vrstevnice Pro z = 0 = z 0 dostáváme z předchozího: Necht f(x 0, y 0 ) = 0. Tečná rovina k vrstevnici funkce f(x, y) na úrovni nula, tj. ke křivce 0 = f(x, y), vedená bodem [x 0, y 0 ] 0 = f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0 ) nakreslit online Totálním diferenciálem funkce z = f(x, y) v bodě x 0, y 0 je df(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) (dx, dy). Přibližná změna z funkční hodnoty funkce f(x, y) při změně nezávislých proměnných z (x 0, y 0 ) na (x 0 + x, y 0 + y) je z = f(x 0, y 0 ) ( x, y) Divergence Pro vektorovou funkci F (x, y, z) = (Fx, F y, F z ), kde F i, i {x, y, z} jsou funkce tří proměnných x, y a z definujeme divergenci vztahem div F = F = F x + F y y + F z z 5

6 Obrázek 4: Tečna k vrstevnici Pro vektorovou funkci dvou proměnných F (x, y) = (F x, F y ) definujeme divergenci analogicky, pouze chybí třetí člen Vektorové pole, jehož divergence je rovna nule, se nazývá nezřídlové pole. Siločáry nezřídlového pole nikde nezačínají ani nekončí a jsou to uzavřené křivky. online výpočet a obrázek Rotace Pro vektorovou funkci tří proměnných F (x, y, z) = P i+q j+r k definujeme operátor rotace symbolicky vztahem rotf (x, y, z) = F (x, y, z) i j k = y z P (x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z). Výsledkem rotace je tedy vektor, jehož komponenty jsou rot F (x, y, z) = ( ) R Q, P R, Q P. y z z y Vektorové pole, jehož rotace je rovna nulovému vektoru se nazývá nevírové pole a ve fyzice má důležité postavení - je v něm možno zavést potenciál a potenciální energii. 6

7 Obrázek 5: Nezřídlové pole Obrázek 6: Nevírové pole 7

8 Laplaceův operátor Laplaceův operátor, je definován jako divergence gradientu skalární funkce f = div( f) V kartézských souřadnicích a trojrozměrném prostoru tedy platí f = 2 () 2 f + 2 (y) 2 f + 2 (z) 2 f Laplaceův operátor je možno formálně zapsat pomocí skalárního součinu dvou operátorů f = div( f) = ( f) = ( )f = 2 f Označení symbolem je stejné jako změna funkce f a je nutné tyto dva významy symbolu nezaměňovat. Chceme-li se vyhnout nedorozumění, je možno pro označení Laplaceova operátoru používat 2 namísto. Laplaceův operátor vystupuje v problémech týkajících se elektrického nebo gravitačního potenciálu, difuze, nebo kmitů a šíření vln. Shrnutí diferenciálních operátorů Skalární funkce f(x, y, z) Gradient grad f = f = Totální diferenciál Laplaceův operátor ( ) f, f, f y z df = f (dx, dy, dz) = f f f dx + dy + dz y z f = ( f) = 2 f () f (y) f (z) 2 Lin. aproximace f(x, y, z) f(x 0, y 0, y 0 ) + f(x 0, y 0 ) (x x 0, y y 0, z z 0 ) Vektorová funkce F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k Divergence div F = F = P Rotace rot F = F i j k = y z P Q R + Q + R y z Případy pro jiný počet proměnných a jiné dimenze vektorů dostaneme analogicky, s výjimkou rotace. Rotace má smysl pouze pro trojrozměrné vektory. Někdy však může být užitečné přidat 8

9 k dvourozměrnému vektoru třetí komponentu, která je nulová. Popis pole Následující popis je pro jednoduchost a konkrétnost proveden pro gravitační pole. Je však plně obecný, pokud odpovídajícím způsobem nahradíme příslušné veličiny a charakteristiky objektů. Skalární pole Gravitační pole je úplně popsáno potenciálem (skalární veličina udávající potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti) Intenzita gravitačního pole je gradientem potenciálu vynásobeným číslem 1. (Intenzita gravitačního pole je síla působící v daném místě pole na objekt o jednotkové hmotnosti.) Vektorové pole Gravitační pole je úplně popsáno intenzitou gravitačního pole. Totálním diferenciálem gravitační intenzity je (až na vynásobení faktorem 1) potenciál. Ukázky použití - rovnice matematické fyziky 1/2 Rovnice kontinuity Zákon zachování veličiny která může vznikat, zanikat a téct, veličina ρ vyjadřuje prostorovou hustotu a j tok a s intenzita zdrojů a spotřebičů. Jejími některými makroskopickými důsledky jsou první Kirchhofův zákon nebo rovnice spojitosti v hydrodynamice. ρ t + j = s Maxwellovy rovnice Úplně popisují elektromagnetické vlnění. Jejich důsledkem jsou (přidámeli materiálové vztahy) například zákon odrazu a lomu světla, polarizace světla. div E = ρ ɛ 0 div B = 0 rot E = B t rot B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E t 9

10 Vlnová rovnice Popisuje vlnění, stojaté i postupné vlny. Pro elektromagnetickou vlnu jde rovnice odvodit z Maxwellových rovnic. 1 2 z c 2 t = z 2 Ukázky použití - rovnice matematické fyziky 2/2 Rovnice vedení tepla Tato rovnice rovněž vystihuje chování difundující látky v trojrozměrné oblasti. Jedná se vlastně o rovnici kontinuity doplněnou o předpoklad, že intenzita toku je úměrná gradientu. u t D 2 u = σ Navierova-Stokesova rovnice Rovnice popisující proudění viskozní Newtonovské tekutiny. Jeden z Millennium Prize Problems. v t + ( v ) v = g p ρ + µ 2 v Schrödingerova rovnice Základní rovnice kvantové mechaniky, popisuje chování částice v potenciálovém poli V, řešením je vlnová funkce částice ψ. i ψ t = 2m 2 ψ + V ψ 10

Podobné dokumenty

UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin