1.13 Klasifikace kvadrik

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1.13 Klasifikace kvadrik"

Transkript

1 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11 +a y +a 33 z +a 1 xy+a 13 xz+a 3 yz+a x+a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.6) nastat. Kvadriky budeme klasifikovat jednak podle toho, zda se jedná o regulární ( ) nebo singulární ( = ) kvadriky, jednak podle toho, zda jsou středové (A 44 ) nebo nestředové (A 44 = ). Všechny kvadriky tak rozdělíme do čtyř následujících skupin: I) středové regulární kvadriky: A 44, II) středové singulární kvadriky: A 44, = III) nestředové regulární kvadriky: A 44 =, IV) nestředové singulární kvadriky: A 44 =, =. I) Středové regulární kvadriky: A 44, Předpokládejme, že A 44,. Každou středovou kvadriku lze podle (1.131) převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y + λ 3 z + =, (1.7) A 44 který můžeme reprezentovat zápisem v maticovém tvaru λ 1 x ( ) x y z 1 λ y λ 3 z =. (1.8) A 44 1 Z předchozí kapitoly víme, že determinant kvadriky je ortogonální invariant, tedy jeho hodnota se při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Rovněž tak je ortogonálním invariantem determinant A 44. Z předpokladu A 44 plyne, že λ 1,λ,λ 3. Je totiž A 44 = λ 1 λ λ 3. Předpokládejme nejprve, že všechna vlastní čísla mají stejná znaménka. Ota- kových kvadrikách říkáme, že jsou eliptického typu. Stačí se omezit na kladná vlastní čísla v opačném případě rovnici (1.7) vynásobíme číslem minus jedna. Nechť λ 1 >, λ >, λ 3 >. Je-li /A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme kvadriku, jejíž kanonický tvar je b + z =1. (1.9) c

2 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 51 Zdejsmeoznačilia = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Plocha o rovnici (1.9) se nazývá trojosý elipsoid. Pro /A 44 > dostaneme analogicky rovnici kvadriky b + z = 1, (1.15) c která se nazývá imaginární elipsoid. Tato kvadrika zřejmě neobsahuje žádné (reálné) body. Nyní budeme zkoumat středové regulární kvadriky, jejichž vlastní čísla λ 1,λ, λ 3 nemají stejná znaménka. Takové kvadriky nazýváme kvadriky hyperbolického typu. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. Jestliže /A 44 >, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme b z = 1, (1.151) c kde jsme označili a = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Kvadrika o rovnici (1.151) se nazývá dvojdílný hyperboloid. Pokud /A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme rovnici b z =1, (1.15) c kde jsme označili a = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Plocha, daná rovnicí (1.15), se nazývá jednodílný hyperboloid. II) Středové singulární kvadriky: A 44, = Nechť středová kvadrika není regulární, tj. =,A 44. Nejprve předpokládejme, že vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 mají stejná znaménka. Potom dostaneme rovnici b + z =, (1.153) c které zřejmě vyhovuje jediný reálný bod [,, ]. Tato kvadrika se nazývá imaginární kuželová plocha. Nyní uvažujme singulární středovou kvadriku, jejíž vlastní čísla nemají stejná znaménka. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. V tomto případě dostaneme rovnici b z =. (1.154) c

3 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Kvadriku, která má rovnici (1.154), nazýváme kuželová plocha. III) Nestředové regulární kvadriky: A 44 =, V této části budeme studovat nestředové regulární kvadriky, tj. takové kvadriky, pro které platí A 44 =,. Tyto kvadriky se nazývají paraboloidy. Z předcházející kapitoly víme, že nestředovou regulární kvadriku, pro jejíž vlastní čísla platí λ 1,λ a λ 3 =, lze převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y +Gz =, (1.155) kde G = a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je různé od nuly, jak plyne z determinantu matice kvadriky λ 1 =det λ G = λ 1λ G. (1.156) G Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ stejná znaménka (a λ 3 = ). Můžeme se omezit na případ, že platí λ 1 >, λ > (v opačném případě vynásobíme rovnici (1.155) číslem minus jedna). Je-li G<, potom můžeme rovnici (1.155) upravit na tvar b = z, (1.157) kdejsmeoznačilia = G/λ 1,b = G/λ. Je-li G>, potom dostaneme rovnici b = z, (1.158) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Rovnice (1.157), (1.158) jsou rovnicemi eliptického paraboloidu. Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a λ 3 = ). Můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ <. Jestliže G <, potom z (1.155) dostaneme rovnici a y b = z, (1.159) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Analogicky, pro G>dostanemerovnici a y b = z. (1.16) Rovnice (1.159) a (1.16) jsou rovnicemi hyperbolického paraboloidu.

4 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 53 IV) Nestředové singulární kvadriky: A 44 =, = V této části vyšetříme kvadriky, které jsou nestředové a singulární, tj. takové, pro které platí A 44 =, =. IVa) λ 1,λ,λ 3 =. Nejprve předpokládejme, že pro vlastní čísla platí λ 1,λ,λ 3 =. Potom nutně, díky podmínce =, musí být v matici v (1.156) G =. Uvažujme matici kvadriky ve tvaru λ 1 λ k. (1.161) Je-li k, potom má matice kvadriky (1.161) hodnost tři a kvadrika je válcovou plochou. Předpokládejme, že vlastní čísla mají stejná znaménka. Opět můžeme předpokládat, bez újmy na obecnosti, že λ 1 >,λ >. Je-li k<, potom rovnice b = 1, (1.16) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí eliptické válcové plochy. Je-li k>, potom rovnice b = 1, (1.163) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Mají-li vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a k ), potom dostaneme rovnici a y b = 1, (1.164) která je rovnicí hyperbolické válcové plochy. Je-li k =, potom matice (1.161) má pro λ 1,λ hodnost dvě. Rozlišíme dva případy: Mají-li λ 1,λ stejná znaménka, potom rovnice b = (1.165) je rovnicí přímky, neboť rovnici (1.165) vyhovuje každý bod o souřadnicích [,,z] a žádný jiný. Říkáme též, že rovnice (1.165) je rovnicí imaginárních různoběžných rovin, které se protínají v reálné přímce. Mají-li λ 1,λ různá znaménka, potom rovnice a y b = (1.166)

5 54 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ je rovnicí dvou různoběžných rovin, jak můžeme nahlédnout z rozkladu ( x a + y )( x b a y ) =. b IVb) λ 1,λ =,λ 3 =. Nyní budeme předpokládat, že jediné vlastní číslo kvadriky (1.6) je různé od nuly. Můžeme položit λ 1,λ =,λ 3 =. Nechť k. Potom matice vede, v případě, že kλ 1 <, na rovnici λ 1 k (1.167) a = 1 (1.168) která je rovnicí dvou rovnoběžných rovin, jak můžeme vidět z rozkladu ( x )( x ) a +1 a 1 =. Jestliže kλ 1 >, potom rovnice = 1 (1.169) a je rovnice imaginárních rovnoběžných rovin. Nechť k =. Potom matice (1.167) obsahuje jediný nenulový prvek λ 1 ajejí hodnost je tedy rovna jedné. Tento případ vede na rovnici =, (1.17) a která je rovnicí dvojnásobné roviny. Zbývá vyšetřit případ, kdy matice kvadriky má tvar λ 1 k k pro k. Potom hodnost matice (1.171) je tři. Je-li kλ 1 <, vede matice (1.171) na rovnici, (1.171) =kz, (1.17) a

6 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 55 jestliže kλ 1 >, dostaneme rovnici = kz. (1.173) a Plocha o rovnicích (1.17), (1.173) se nazývá parabolická válcová plocha. Vyšetřili jsme všechny případy kvadriky (1.6), které mohou nastat. Klasifikace kvadrik je tímto provedena. Příklad 1: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7 +6y +5z 4xy 4yz x +4y +z +3=. (1.174) Řešení: Nejprve vypočteme diskriminant kvadriky (1.174) buď rozvinutím podle některého řádku nebo sloupce nebo použijeme služeb některého matematického software. Vyjde = = 3 5. (1.175) Diskriminant je různý od nuly, tedy se jedná o regulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 7 A 44 = 6 5 = 34. (1.176) Determinant A 44 je různý od nuly, proto se jedná o středovou kvadriku. Nyní vyřešíme charakteristickou rovnici kvadriky 7 λ 6 λ =, (1.177) 5 λ kterou můžeme napsat ve tvaru λ 3 18λ +99λ 16 =. (1.178) Kořeny charakteristické rovnice (1.178) najdeme buď pomocí některého matematického programu (Derive, Maple, Mathematica,...) nebo se snažíme alespoň jeden kořen (1.178) uhodnout. V tomto případě uhodneme kořen 3. Zbývající kořeny dostaneme tak, že rovnici (1.178) vydělíme faktorem λ 3, čímž snížíme stupeň rovnice na. Zbylou kvadratickou rovnici řešíme známým způsobem. Dostaneme tak kořeny 3, 6, 9.

7 56 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Vlastní čísla označíme např. takto: Ještě vypočteme hodnotu λ 1 =3, λ =6, λ 3 =9. = 3 5 A = 4 3= 6, kterou budeme potřebovat při vyjádření kanonického tvaru kvadriky. Podle (1.131) má kanonická rovnice kvadriky (1.174) tvar 3 Tuto rovnici ještě upravíme podle (1.9) na tvar 3 +6y +9z 6=. (1.179) + y 1 + z 3 =1, (1.18) ze kterého budeme vidět délky poloos. Podle (1.18) se jedná o trojosý elipsoid (viz obrázek 3.4) s délkami poloos a =,b=1,c= 3. 1 z x 1 y 3 Obrázek 1.31: Trojosý elipsoid 4 Nyní vyšetříme polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. 3 Ve vyjádření (1.179) uvádíme kvůli zjednodušení místo čárkovaných proměnných x,y,z proměnné x, y, z bez čárek.

8 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 57 Protože se jedná o středovou kvadriku, vypočítáme střed S =[m,n,p], pro který podle (1.16) platí: 7m n + 11 = m + 6n p + 1 = n + 5p + 1 =. (1.181) Řešením soustavy je trojice m =1,n=, p= 1, tedy S =[1,, 1]. Hlavní směry zjistíme vyjádřením vlastních vektorů u 1, u, u 3, které po řadě přísluší vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Pro λ 1 = 3 řešíme podle (1.87) soustavu 4u v = u + 3v w = v + w =, (1.18) které vyhovuje vlastní vektor u 1 =(1,, ). Dále pro λ = 6 dostaneme soustavu u v = u + w = (1.183) v w =, která dává řešení u =(, 1, ). Podobně získáme i souřadnice třetího vlastní vektoru, pro který platí u 3 =(,, 1). Pomocí skalárního součinu snadno ověříme, že vlastní vektory u 1, u, u 3, jsou vzájemně kolmé. Hlavní směry, dané vektory u 1, u, u 3, společně se středem S určují hledanou polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. Rovnice os a souřadnice vrcholů určovat nebudeme. Příklad : Vyšetřete kvadriku 5 y + z +4xy +6xz +x +4y +6z 8=. (1.184) Řešení: Pro diskriminant platí = tedy se jedná o regulární kvadriku. Pro determinant A 44 dostaneme A 44 = =16, (1.185) =, (1.186)

9 58 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ což znamená, že kvadrika (1.184) je nestředová regulární tedy se jedná o paraboloid. Určíme kanonickou rovnici (1.184) a hlavní směry. Nejprve vypočítáme kořeny charakteristické rovnice kterámávrozepsanémstavutvar 5 λ 3 1 λ 3 1 λ =, (1.187) λ 3 5λ λ =, (1.188) tj. λ(λ 5λ ) = λ(λ 7)(λ +)=. Odtud určíme vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 λ 1 =7, λ =, λ 3 =. Nyní najdeme hlavní směry kvadriky. Ty, jak známo, určují vlastní vektory, které jsou přiřazené vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Vlastnímu číslu λ 1 = 7 odpovídá soustava u + v + 3w = u 8v = 3u 6w =, (1.189) jejíž řešením je vlastní vektor u 1 =(4, 1, ). Obdobně vlastnímu číslu λ = odpovídásoustava 7u + v + 3w = u + v = 3u + 3w =, (1.19) jejímž řešením je vlastní vektor u =(1,, 1). Konečně hodnotě λ 3 = odpovídá řešení soustavy 5u + v + 3w = u v = 3u + w =, (1.191) kterým je vlastní vektor u 3 =(1,, 3), který určuje asymptotický směr kvadriky. Pro kanonickou rovnici kvadriky budeme ještě potřebovat normovaný vektor směru, který je určený vektorem u 3. Snadno zjistíme, že takový vektor má souřadnice u 3 u 3 = 1 ( 1 (1,, 3) =,, 3 ). (1.19)

10 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 59 Matice kanonické rovnice (1.184) je podle (1.3) ve tvaru 7 u 3 +v 3 +3w 3 u 3 +v 3 +3w 3, (1.193) kde u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice vektoru u 3 u 3 =( 1,, 3 ). Hodnota výrazu u 3 +v 3 +3w 3 v (1.193) je u 3 +v 3 +3w 3 = = 4. Dosazením do (1.193) dostaneme 7 4 4, (1.194) a odtud kanonickou rovnici (1.184) 7 y 8 =. (1.195) Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid (viz obrázky 1.3 a 1.33). 6 z y x 5 5 Obrázek 1.3: Hyperbolický paraboloid (Pohled 1)

11 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 6 4 z 5 y 5 x 5 5 Obrázek 1.33: Hyperbolický paraboloid (Pohled ) Nyní vyhledáme hlavní roviny, osu a vrchol paraboloidu. Hlavnímu směru, určenému vlastním vektorem u 1 =(4, 1, ), odpovídá průměrová rovina, která je něj kolmá, a která se nazývá hlavní rovina. Hlavní rovina má podle (1.73) rovnici ( ) x y z 1 =, (1.196) tj. 8x +7y +z +1=. (1.197) Pro hlavní rovinu, sdruženou s hlavním směrem daným vlastním vektorem u =(1,, 1), podobným způsobem dostaneme x y z +3=. (1.198) Průnik hlavních rovin (1.197), (1.198) dává osu paraboloidu. Průnik osy paraboloidu s paraboloidem je vrchol V. Určíme jej jako společné řešení rovnic (1.184), (1.197), (1.198). S použitím počítače dostaneme [ V = , , 111 ]. 39 Příklad 3: Vyšetřete kvadriku 3 +3y +3z +4 xy +yz +6x +y( 1) 6z 9=. (1.199)

12 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 61 Řešení: Diskriminant kvadriky je 3 3 = =. (1.) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 3 = 3 1 =, (1.1) 1 3 Determinant A 44 je roven nule jedná se o nestředovou kvadriku. Řešením soustavy rovnic (1.16) pro určení středu kvadriky 3m n +3 = m + 3n + p 1 = n + 3p 3 = (1.) je přímka středů o rovnici m = 1+ t, n =3 3t, p = t (1.3) která je osou kvadriky. Směr osy, daný vektorem o souřadnicích (, 3, 1), (1.4) je asymptotickým směrem kvadriky, což snadno můžeme ověřit, řešíme-li rovnici (1.5) pro asymptotické směry Rovnici (1.5) upravíme na tvar 3u +3v +3w +4 uv +vw =. (1.5) ( u v + ) ( w + 3 v + 1 ) =, (1.6) 3 ze kterého plyne (1.4). Vyšetříme charakteristickou rovnici = 3 λ 3 λ λ =, (1.7) tj. λ(λ 9λ + 18) = λ(λ 3)(λ 6) =. (1.8)

13 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Řešením rovnice jsou vlastní čísla kterým po řadě odpovídají hlavní směry λ 1 =3, λ =6,λ 3 =, (1.9) u 1 =(,, 4), u =(3, 3, 1), u 3 =(, 3, 1). (1.1) Z vyjádření (1.1) vidíme, že směr, daný vektorem u 3, který odpovídá vlastnímu číslu λ 3 =, je asymptotický v souladu s (1.4). Výraz G = a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je roven nule, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením. Zde ovšem u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice normovaného vektoru u 3 u 3. Je Potom skutečně u 3 u 3 = 1 ( 3 ) (, 3, 1 = 3, 1, a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 =3 3 ( 1) ). 1 3 =. Zbývá zjistit hodnotu výrazu H = Km + Ln + Mp+ N, kde M =[m, n, p] je libovolný bod osy. Z její rovnice (1.3) dosazením za parametr např. t =1 vychází bod X =[ 1,, 1]. Protože K = L = M =, je H = N aplatí N = a m + a 4 n + a 34 p + a 44 =3 ( 1) + ( 1) + 1 ( 3) 9= 15. Matice kvadriky (1.199) je , (1.11) a kanonická rovnice je ve tvaru 3 +6y 15 =, (1.1) tj. po vydělení +y 5=. (1.13) Jedná se o eliptickou válcovou plochu (viz obrázek 1.34), jejíž řez rovinou kolmou na osu je elipsa (1.13).

14 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 63 4 z 1 x Obrázek 1.34: Eliptická válcová plocha y Příklad 4: Vyšetřete kvadriku 8 8y 3z 1xy +1xz +1yz x +y 1z 3 = (1.) Řešení: Pro diskriminant kvadriky (1.) je = =. (1.15) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna = =, (1.16) Determinant A 44 je roven nule jedná se tedy o nestředovou singulární kvadriku. Charakteristická rovnice která má v rozepsaném stavu tvar 8 λ λ λ =, (1.17) λ 3 +3λ 15λ =, (1.18) má kořeny 69 λ 1 = 3 69,λ = 3, λ 3 =. (1.19) Dvě vlastní čísla λ 1 a λ jsou různá od nuly, v úvahu tedy přicházejí eliptická nebo hyperbolická válcová plocha nebo dvojice různoběžných rovin.

15 64 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Soustava rovnic pro určení středu (1.13) má v našem případě tvar 8m 6n + 5p 1 = 6m 8n + 5p +7 = 5m + 5n 3p 5 =. (1.) Jejím řešením je přímka středů o rovnici m = t, n = t, p = t. (1.1) 1 Nyní určíme, zda přímka středů (1.1) náleží kvadrice. Podle (1.134) dosadíme souřadnice přímky (1.1) do rovnice m +7n 5p 3 = (1.) a zjistíme, že pro všechny body přímky (1.1) je rovnice (1.) splněna. Tedy se jedná o přímku singulárních bodů a kvadrika je dvojicí různoběžných rovin (viz obrázek 1.35). 4 z 4 4 y 4 4 x 4 Obrázek 1.35: Dvojice různoběžných rovin K tomu, abychom určili rovnice obou rovin v původní soustavě souřadnic, stačí najít jeden bod každé z obou rovin, který neleží na jejich společné průsečnici (1.1). Dosazením za x =y = do rovnice (1.) získáme rovnici 3z +1z +3=, která má řešení z 1 = 3 az = 1 3. Každý z bodů o souřadnicích [,, 3] a [,, 1 3 ] leží jedné z obou rovin. Přímka (1.1) a bod [,, 3] určují rovinu 4x +y z 3=,

16 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 65 přímka (1.1) a bod [,, 1 3 ] dávají rovnici druhé roviny x 4y +3z +1=. Na závěr uveďme, že původní rovnici kvadriky (1.) můžeme napsat ve tvaru (4x +y z 3)(x 4y +3z +1)=, ze kterého můžeme roznásobením ověřit správnost našeho výpočtu. Cvičení: 1) Napište rovnici kulové plochy se středem v bodě [ 3,, 5] procházející počátkem. ) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici 3) Vyšetřete kvadriky: + y + z 1x +8y z 1 =. a) 7 13y +6z +4xy 1xz +1yz 84x +9y 4z 63 =, b) 4 +4y +1z +4xy 1yz +4x +y +3z =, c) +9y +16z 6xy 8xz +4yz 4z =, d) +y + z +xy yz 6x 8y +z +1=, e) +y + z 4x +4y 1 =, f) +y xy +3yz 6x +7y +6z +7=, g) 5 4y + z 8xy +6xz +x 8y +6z 8=, h) 11 +1y +6z 1xy +4xz 8yz x 1=, i) 9 +4y + z 1xy +6xz 4yz +3x y + z =, j) +y +4z xy 4yz +x y 4=, k) 3 y z +5xy xz +3yz 8x +5y 4z 3=, l) 5 +5y +5z +4xz +3yz x 13y 17z +3=, m) +y +z +xy xz +yz 6x +18y +4z =, n) +9y + z 6xy +xz 6yz +8x 4y +8z +16=, o) + y +3z +1xy +6xz +6yz 1x y 6z +37=, p) xy + xz + yz 1=, q) 3 3y + z +8xy 4xz yz 4x +6y +z =, r) y z 34xy 3x +34y +15=, s) 13 +4y +9z +1yz +5x z +1=.

17 66 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 4) Napište rovnici rotačního hyperboloidu, který vznikne otočením hyperboly a) kolem hlavní osy, b) kolem vedlejší osy. 3y 3 5) Napište rovnici rotační válcové plochy o poloměru 5, jehož osa má rovnici x =1+t, y = 1 t, z =3+4t. Poznámka: Výsledky cvičení jsou uvedeny v závěru knihy

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma

Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple Roman HAŠEK, Pavel PECH Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 1 Obsah Předmluva 4 1 Kvadriky jako plochy. stupně 9 1.1 Úvod.................................

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY

SBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce SBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY Autor práce: Žaneta Mifková Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech,

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Popis jednotlivých kvadrik

Popis jednotlivých kvadrik Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik.

Více

3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple

3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple 3.4. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 115 1 1 1 1 3 1 Obrázek 3.8: Část výsledné kuželové plochy 3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple Zadání: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7x +6y +5z 4xy 4yz x +4y +z +3=. (3.1)

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

1.6 Singulární kvadriky

1.6 Singulární kvadriky 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá

Více

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE

6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

17 Kuželosečky a přímky

17 Kuželosečky a přímky 17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK

M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

1 Projekce a projektory

1 Projekce a projektory Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A

PŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více