1.13 Klasifikace kvadrik

Transkript

1 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11 +a y +a 33 z +a 1 xy+a 13 xz+a 3 yz+a x+a 4 y+a 34 z+a 44 = (1.6) nastat. Kvadriky budeme klasifikovat jednak podle toho, zda se jedná o regulární ( ) nebo singulární ( = ) kvadriky, jednak podle toho, zda jsou středové (A 44 ) nebo nestředové (A 44 = ). Všechny kvadriky tak rozdělíme do čtyř následujících skupin: I) středové regulární kvadriky: A 44, II) středové singulární kvadriky: A 44, = III) nestředové regulární kvadriky: A 44 =, IV) nestředové singulární kvadriky: A 44 =, =. I) Středové regulární kvadriky: A 44, Předpokládejme, že A 44,. Každou středovou kvadriku lze podle (1.131) převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y + λ 3 z + =, (1.7) A 44 který můžeme reprezentovat zápisem v maticovém tvaru λ 1 x ( ) x y z 1 λ y λ 3 z =. (1.8) A 44 1 Z předchozí kapitoly víme, že determinant kvadriky je ortogonální invariant, tedy jeho hodnota se při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Rovněž tak je ortogonálním invariantem determinant A 44. Z předpokladu A 44 plyne, že λ 1,λ,λ 3. Je totiž A 44 = λ 1 λ λ 3. Předpokládejme nejprve, že všechna vlastní čísla mají stejná znaménka. Ota- kových kvadrikách říkáme, že jsou eliptického typu. Stačí se omezit na kladná vlastní čísla v opačném případě rovnici (1.7) vynásobíme číslem minus jedna. Nechť λ 1 >, λ >, λ 3 >. Je-li /A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme kvadriku, jejíž kanonický tvar je b + z =1. (1.9) c

2 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 51 Zdejsmeoznačilia = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Plocha o rovnici (1.9) se nazývá trojosý elipsoid. Pro /A 44 > dostaneme analogicky rovnici kvadriky b + z = 1, (1.15) c která se nazývá imaginární elipsoid. Tato kvadrika zřejmě neobsahuje žádné (reálné) body. Nyní budeme zkoumat středové regulární kvadriky, jejichž vlastní čísla λ 1,λ, λ 3 nemají stejná znaménka. Takové kvadriky nazýváme kvadriky hyperbolického typu. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. Jestliže /A 44 >, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme b z = 1, (1.151) c kde jsme označili a = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Kvadrika o rovnici (1.151) se nazývá dvojdílný hyperboloid. Pokud /A 44 <, potom po vydělení rovnice (1.7) výrazem /A 44 dostaneme rovnici b z =1, (1.15) c kde jsme označili a = /(λ 1 A 44 ),b = /(λ A 44 ),c = /(λ 3 A 44 ). Plocha, daná rovnicí (1.15), se nazývá jednodílný hyperboloid. II) Středové singulární kvadriky: A 44, = Nechť středová kvadrika není regulární, tj. =,A 44. Nejprve předpokládejme, že vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 mají stejná znaménka. Potom dostaneme rovnici b + z =, (1.153) c které zřejmě vyhovuje jediný reálný bod [,, ]. Tato kvadrika se nazývá imaginární kuželová plocha. Nyní uvažujme singulární středovou kvadriku, jejíž vlastní čísla nemají stejná znaménka. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ >, λ 3 <. V tomto případě dostaneme rovnici b z =. (1.154) c

3 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Kvadriku, která má rovnici (1.154), nazýváme kuželová plocha. III) Nestředové regulární kvadriky: A 44 =, V této části budeme studovat nestředové regulární kvadriky, tj. takové kvadriky, pro které platí A 44 =,. Tyto kvadriky se nazývají paraboloidy. Z předcházející kapitoly víme, že nestředovou regulární kvadriku, pro jejíž vlastní čísla platí λ 1,λ a λ 3 =, lze převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ 1 + λ y +Gz =, (1.155) kde G = a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je různé od nuly, jak plyne z determinantu matice kvadriky λ 1 =det λ G = λ 1λ G. (1.156) G Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ stejná znaménka (a λ 3 = ). Můžeme se omezit na případ, že platí λ 1 >, λ > (v opačném případě vynásobíme rovnici (1.155) číslem minus jedna). Je-li G<, potom můžeme rovnici (1.155) upravit na tvar b = z, (1.157) kdejsmeoznačilia = G/λ 1,b = G/λ. Je-li G>, potom dostaneme rovnici b = z, (1.158) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Rovnice (1.157), (1.158) jsou rovnicemi eliptického paraboloidu. Nechť mají vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a λ 3 = ). Můžeme předpokládat, že λ 1 >, λ <. Jestliže G <, potom z (1.155) dostaneme rovnici a y b = z, (1.159) kde a = G/λ 1,b = G/λ. Analogicky, pro G>dostanemerovnici a y b = z. (1.16) Rovnice (1.159) a (1.16) jsou rovnicemi hyperbolického paraboloidu.

4 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 53 IV) Nestředové singulární kvadriky: A 44 =, = V této části vyšetříme kvadriky, které jsou nestředové a singulární, tj. takové, pro které platí A 44 =, =. IVa) λ 1,λ,λ 3 =. Nejprve předpokládejme, že pro vlastní čísla platí λ 1,λ,λ 3 =. Potom nutně, díky podmínce =, musí být v matici v (1.156) G =. Uvažujme matici kvadriky ve tvaru λ 1 λ k. (1.161) Je-li k, potom má matice kvadriky (1.161) hodnost tři a kvadrika je válcovou plochou. Předpokládejme, že vlastní čísla mají stejná znaménka. Opět můžeme předpokládat, bez újmy na obecnosti, že λ 1 >,λ >. Je-li k<, potom rovnice b = 1, (1.16) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí eliptické válcové plochy. Je-li k>, potom rovnice b = 1, (1.163) kde a = k/λ 1,b = k/λ, je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Mají-li vlastní čísla λ 1,λ různá znaménka (a k ), potom dostaneme rovnici a y b = 1, (1.164) která je rovnicí hyperbolické válcové plochy. Je-li k =, potom matice (1.161) má pro λ 1,λ hodnost dvě. Rozlišíme dva případy: Mají-li λ 1,λ stejná znaménka, potom rovnice b = (1.165) je rovnicí přímky, neboť rovnici (1.165) vyhovuje každý bod o souřadnicích [,,z] a žádný jiný. Říkáme též, že rovnice (1.165) je rovnicí imaginárních různoběžných rovin, které se protínají v reálné přímce. Mají-li λ 1,λ různá znaménka, potom rovnice a y b = (1.166)

5 54 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ je rovnicí dvou různoběžných rovin, jak můžeme nahlédnout z rozkladu ( x a + y )( x b a y ) =. b IVb) λ 1,λ =,λ 3 =. Nyní budeme předpokládat, že jediné vlastní číslo kvadriky (1.6) je různé od nuly. Můžeme položit λ 1,λ =,λ 3 =. Nechť k. Potom matice vede, v případě, že kλ 1 <, na rovnici λ 1 k (1.167) a = 1 (1.168) která je rovnicí dvou rovnoběžných rovin, jak můžeme vidět z rozkladu ( x )( x ) a +1 a 1 =. Jestliže kλ 1 >, potom rovnice = 1 (1.169) a je rovnice imaginárních rovnoběžných rovin. Nechť k =. Potom matice (1.167) obsahuje jediný nenulový prvek λ 1 ajejí hodnost je tedy rovna jedné. Tento případ vede na rovnici =, (1.17) a která je rovnicí dvojnásobné roviny. Zbývá vyšetřit případ, kdy matice kvadriky má tvar λ 1 k k pro k. Potom hodnost matice (1.171) je tři. Je-li kλ 1 <, vede matice (1.171) na rovnici, (1.171) =kz, (1.17) a

6 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 55 jestliže kλ 1 >, dostaneme rovnici = kz. (1.173) a Plocha o rovnicích (1.17), (1.173) se nazývá parabolická válcová plocha. Vyšetřili jsme všechny případy kvadriky (1.6), které mohou nastat. Klasifikace kvadrik je tímto provedena. Příklad 1: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7 +6y +5z 4xy 4yz x +4y +z +3=. (1.174) Řešení: Nejprve vypočteme diskriminant kvadriky (1.174) buď rozvinutím podle některého řádku nebo sloupce nebo použijeme služeb některého matematického software. Vyjde = = 3 5. (1.175) Diskriminant je různý od nuly, tedy se jedná o regulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 7 A 44 = 6 5 = 34. (1.176) Determinant A 44 je různý od nuly, proto se jedná o středovou kvadriku. Nyní vyřešíme charakteristickou rovnici kvadriky 7 λ 6 λ =, (1.177) 5 λ kterou můžeme napsat ve tvaru λ 3 18λ +99λ 16 =. (1.178) Kořeny charakteristické rovnice (1.178) najdeme buď pomocí některého matematického programu (Derive, Maple, Mathematica,...) nebo se snažíme alespoň jeden kořen (1.178) uhodnout. V tomto případě uhodneme kořen 3. Zbývající kořeny dostaneme tak, že rovnici (1.178) vydělíme faktorem λ 3, čímž snížíme stupeň rovnice na. Zbylou kvadratickou rovnici řešíme známým způsobem. Dostaneme tak kořeny 3, 6, 9.

7 56 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Vlastní čísla označíme např. takto: Ještě vypočteme hodnotu λ 1 =3, λ =6, λ 3 =9. = 3 5 A = 4 3= 6, kterou budeme potřebovat při vyjádření kanonického tvaru kvadriky. Podle (1.131) má kanonická rovnice kvadriky (1.174) tvar 3 Tuto rovnici ještě upravíme podle (1.9) na tvar 3 +6y +9z 6=. (1.179) + y 1 + z 3 =1, (1.18) ze kterého budeme vidět délky poloos. Podle (1.18) se jedná o trojosý elipsoid (viz obrázek 3.4) s délkami poloos a =,b=1,c= 3. 1 z x 1 y 3 Obrázek 1.31: Trojosý elipsoid 4 Nyní vyšetříme polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. 3 Ve vyjádření (1.179) uvádíme kvůli zjednodušení místo čárkovaných proměnných x,y,z proměnné x, y, z bez čárek.

8 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 57 Protože se jedná o středovou kvadriku, vypočítáme střed S =[m,n,p], pro který podle (1.16) platí: 7m n + 11 = m + 6n p + 1 = n + 5p + 1 =. (1.181) Řešením soustavy je trojice m =1,n=, p= 1, tedy S =[1,, 1]. Hlavní směry zjistíme vyjádřením vlastních vektorů u 1, u, u 3, které po řadě přísluší vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Pro λ 1 = 3 řešíme podle (1.87) soustavu 4u v = u + 3v w = v + w =, (1.18) které vyhovuje vlastní vektor u 1 =(1,, ). Dále pro λ = 6 dostaneme soustavu u v = u + w = (1.183) v w =, která dává řešení u =(, 1, ). Podobně získáme i souřadnice třetího vlastní vektoru, pro který platí u 3 =(,, 1). Pomocí skalárního součinu snadno ověříme, že vlastní vektory u 1, u, u 3, jsou vzájemně kolmé. Hlavní směry, dané vektory u 1, u, u 3, společně se středem S určují hledanou polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. Rovnice os a souřadnice vrcholů určovat nebudeme. Příklad : Vyšetřete kvadriku 5 y + z +4xy +6xz +x +4y +6z 8=. (1.184) Řešení: Pro diskriminant platí = tedy se jedná o regulární kvadriku. Pro determinant A 44 dostaneme A 44 = =16, (1.185) =, (1.186)

9 58 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ což znamená, že kvadrika (1.184) je nestředová regulární tedy se jedná o paraboloid. Určíme kanonickou rovnici (1.184) a hlavní směry. Nejprve vypočítáme kořeny charakteristické rovnice kterámávrozepsanémstavutvar 5 λ 3 1 λ 3 1 λ =, (1.187) λ 3 5λ λ =, (1.188) tj. λ(λ 5λ ) = λ(λ 7)(λ +)=. Odtud určíme vlastní čísla λ 1,λ,λ 3 λ 1 =7, λ =, λ 3 =. Nyní najdeme hlavní směry kvadriky. Ty, jak známo, určují vlastní vektory, které jsou přiřazené vlastním číslům λ 1,λ,λ 3. Vlastnímu číslu λ 1 = 7 odpovídá soustava u + v + 3w = u 8v = 3u 6w =, (1.189) jejíž řešením je vlastní vektor u 1 =(4, 1, ). Obdobně vlastnímu číslu λ = odpovídásoustava 7u + v + 3w = u + v = 3u + 3w =, (1.19) jejímž řešením je vlastní vektor u =(1,, 1). Konečně hodnotě λ 3 = odpovídá řešení soustavy 5u + v + 3w = u v = 3u + w =, (1.191) kterým je vlastní vektor u 3 =(1,, 3), který určuje asymptotický směr kvadriky. Pro kanonickou rovnici kvadriky budeme ještě potřebovat normovaný vektor směru, který je určený vektorem u 3. Snadno zjistíme, že takový vektor má souřadnice u 3 u 3 = 1 ( 1 (1,, 3) =,, 3 ). (1.19)

10 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 59 Matice kanonické rovnice (1.184) je podle (1.3) ve tvaru 7 u 3 +v 3 +3w 3 u 3 +v 3 +3w 3, (1.193) kde u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice vektoru u 3 u 3 =( 1,, 3 ). Hodnota výrazu u 3 +v 3 +3w 3 v (1.193) je u 3 +v 3 +3w 3 = = 4. Dosazením do (1.193) dostaneme 7 4 4, (1.194) a odtud kanonickou rovnici (1.184) 7 y 8 =. (1.195) Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid (viz obrázky 1.3 a 1.33). 6 z y x 5 5 Obrázek 1.3: Hyperbolický paraboloid (Pohled 1)

11 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 6 4 z 5 y 5 x 5 5 Obrázek 1.33: Hyperbolický paraboloid (Pohled ) Nyní vyhledáme hlavní roviny, osu a vrchol paraboloidu. Hlavnímu směru, určenému vlastním vektorem u 1 =(4, 1, ), odpovídá průměrová rovina, která je něj kolmá, a která se nazývá hlavní rovina. Hlavní rovina má podle (1.73) rovnici ( ) x y z 1 =, (1.196) tj. 8x +7y +z +1=. (1.197) Pro hlavní rovinu, sdruženou s hlavním směrem daným vlastním vektorem u =(1,, 1), podobným způsobem dostaneme x y z +3=. (1.198) Průnik hlavních rovin (1.197), (1.198) dává osu paraboloidu. Průnik osy paraboloidu s paraboloidem je vrchol V. Určíme jej jako společné řešení rovnic (1.184), (1.197), (1.198). S použitím počítače dostaneme [ V = , , 111 ]. 39 Příklad 3: Vyšetřete kvadriku 3 +3y +3z +4 xy +yz +6x +y( 1) 6z 9=. (1.199)

12 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 61 Řešení: Diskriminant kvadriky je 3 3 = =. (1.) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna 3 = 3 1 =, (1.1) 1 3 Determinant A 44 je roven nule jedná se o nestředovou kvadriku. Řešením soustavy rovnic (1.16) pro určení středu kvadriky 3m n +3 = m + 3n + p 1 = n + 3p 3 = (1.) je přímka středů o rovnici m = 1+ t, n =3 3t, p = t (1.3) která je osou kvadriky. Směr osy, daný vektorem o souřadnicích (, 3, 1), (1.4) je asymptotickým směrem kvadriky, což snadno můžeme ověřit, řešíme-li rovnici (1.5) pro asymptotické směry Rovnici (1.5) upravíme na tvar 3u +3v +3w +4 uv +vw =. (1.5) ( u v + ) ( w + 3 v + 1 ) =, (1.6) 3 ze kterého plyne (1.4). Vyšetříme charakteristickou rovnici = 3 λ 3 λ λ =, (1.7) tj. λ(λ 9λ + 18) = λ(λ 3)(λ 6) =. (1.8)

13 6 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Řešením rovnice jsou vlastní čísla kterým po řadě odpovídají hlavní směry λ 1 =3, λ =6,λ 3 =, (1.9) u 1 =(,, 4), u =(3, 3, 1), u 3 =(, 3, 1). (1.1) Z vyjádření (1.1) vidíme, že směr, daný vektorem u 3, který odpovídá vlastnímu číslu λ 3 =, je asymptotický v souladu s (1.4). Výraz G = a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 je roven nule, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením. Zde ovšem u 3,v 3,w 3 jsou souřadnice normovaného vektoru u 3 u 3. Je Potom skutečně u 3 u 3 = 1 ( 3 ) (, 3, 1 = 3, 1, a u 3 + a 4 v 3 + a 34 w 3 =3 3 ( 1) ). 1 3 =. Zbývá zjistit hodnotu výrazu H = Km + Ln + Mp+ N, kde M =[m, n, p] je libovolný bod osy. Z její rovnice (1.3) dosazením za parametr např. t =1 vychází bod X =[ 1,, 1]. Protože K = L = M =, je H = N aplatí N = a m + a 4 n + a 34 p + a 44 =3 ( 1) + ( 1) + 1 ( 3) 9= 15. Matice kvadriky (1.199) je , (1.11) a kanonická rovnice je ve tvaru 3 +6y 15 =, (1.1) tj. po vydělení +y 5=. (1.13) Jedná se o eliptickou válcovou plochu (viz obrázek 1.34), jejíž řez rovinou kolmou na osu je elipsa (1.13).

14 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 63 4 z 1 x Obrázek 1.34: Eliptická válcová plocha y Příklad 4: Vyšetřete kvadriku 8 8y 3z 1xy +1xz +1yz x +y 1z 3 = (1.) Řešení: Pro diskriminant kvadriky (1.) je = =. (1.15) Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A 44 je rovna = =, (1.16) Determinant A 44 je roven nule jedná se tedy o nestředovou singulární kvadriku. Charakteristická rovnice která má v rozepsaném stavu tvar 8 λ λ λ =, (1.17) λ 3 +3λ 15λ =, (1.18) má kořeny 69 λ 1 = 3 69,λ = 3, λ 3 =. (1.19) Dvě vlastní čísla λ 1 a λ jsou různá od nuly, v úvahu tedy přicházejí eliptická nebo hyperbolická válcová plocha nebo dvojice různoběžných rovin.

15 64 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ Soustava rovnic pro určení středu (1.13) má v našem případě tvar 8m 6n + 5p 1 = 6m 8n + 5p +7 = 5m + 5n 3p 5 =. (1.) Jejím řešením je přímka středů o rovnici m = t, n = t, p = t. (1.1) 1 Nyní určíme, zda přímka středů (1.1) náleží kvadrice. Podle (1.134) dosadíme souřadnice přímky (1.1) do rovnice m +7n 5p 3 = (1.) a zjistíme, že pro všechny body přímky (1.1) je rovnice (1.) splněna. Tedy se jedná o přímku singulárních bodů a kvadrika je dvojicí různoběžných rovin (viz obrázek 1.35). 4 z 4 4 y 4 4 x 4 Obrázek 1.35: Dvojice různoběžných rovin K tomu, abychom určili rovnice obou rovin v původní soustavě souřadnic, stačí najít jeden bod každé z obou rovin, který neleží na jejich společné průsečnici (1.1). Dosazením za x =y = do rovnice (1.) získáme rovnici 3z +1z +3=, která má řešení z 1 = 3 az = 1 3. Každý z bodů o souřadnicích [,, 3] a [,, 1 3 ] leží jedné z obou rovin. Přímka (1.1) a bod [,, 3] určují rovinu 4x +y z 3=,

16 1.13. KLASIFIKACE KVADRIK 65 přímka (1.1) a bod [,, 1 3 ] dávají rovnici druhé roviny x 4y +3z +1=. Na závěr uveďme, že původní rovnici kvadriky (1.) můžeme napsat ve tvaru (4x +y z 3)(x 4y +3z +1)=, ze kterého můžeme roznásobením ověřit správnost našeho výpočtu. Cvičení: 1) Napište rovnici kulové plochy se středem v bodě [ 3,, 5] procházející počátkem. ) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici 3) Vyšetřete kvadriky: + y + z 1x +8y z 1 =. a) 7 13y +6z +4xy 1xz +1yz 84x +9y 4z 63 =, b) 4 +4y +1z +4xy 1yz +4x +y +3z =, c) +9y +16z 6xy 8xz +4yz 4z =, d) +y + z +xy yz 6x 8y +z +1=, e) +y + z 4x +4y 1 =, f) +y xy +3yz 6x +7y +6z +7=, g) 5 4y + z 8xy +6xz +x 8y +6z 8=, h) 11 +1y +6z 1xy +4xz 8yz x 1=, i) 9 +4y + z 1xy +6xz 4yz +3x y + z =, j) +y +4z xy 4yz +x y 4=, k) 3 y z +5xy xz +3yz 8x +5y 4z 3=, l) 5 +5y +5z +4xz +3yz x 13y 17z +3=, m) +y +z +xy xz +yz 6x +18y +4z =, n) +9y + z 6xy +xz 6yz +8x 4y +8z +16=, o) + y +3z +1xy +6xz +6yz 1x y 6z +37=, p) xy + xz + yz 1=, q) 3 3y + z +8xy 4xz yz 4x +6y +z =, r) y z 34xy 3x +34y +15=, s) 13 +4y +9z +1yz +5x z +1=.

17 66 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 4) Napište rovnici rotačního hyperboloidu, který vznikne otočením hyperboly a) kolem hlavní osy, b) kolem vedlejší osy. 3y 3 5) Napište rovnici rotační válcové plochy o poloměru 5, jehož osa má rovnici x =1+t, y = 1 t, z =3+4t. Poznámka: Výsledky cvičení jsou uvedeny v závěru knihy