Zadání úloh finále Astronomické olympiády, kategorie CD, 17. a 18. května 2012, HaP J. Palisy v Ostravě

Transkript

1 Zadání úlh Astrnmické lympiády, kategrie CD, 17. a 18. května 01, HaP J. Palisy v Ostravě 1. příklad Kdy se napsledy shdval pčátek nvéh rku v gregriánském a Juliánském kalendáři? Kdy takvá shda nastane znvu? Předpkládejte, že pčátkem rku je v bu kalendářních systémech vždy 1. leden a kalendáře využívaly a i v buducnsti budu pužívat systém přestupných rků tak, jak je pr ně specifické. Pr zjedndušení dále předpkládejte, že Juliánský kalendář má přestupný rk v letech dělitelných beze zbytku čtyřmi a gregriánský má během každých čtyř stletí tři přestupné rky vynechány (na kncích stletí, které nejsu beze zbytku dělitelné 400). V sučasnsti se ba kalendáře rzcházejí 13 dnů. Gregriánský kalendář se s Juliánským rzchází 3 dny za 400 let, gregriánský má za tut peridu 3 dny méně. V sučasnsti se rzcházejí 13 dnů. Napsledy t bude 13 dnů v rce 100, který bude přestupný v Juliánském, ale nepřestupný v gregriánském, takže p knci únra 100 se rzdíl jeden den zvýší. Rzdíl 1 dnů narste za 1.(400/3)=1600 let. Tedy napsledy se začátek rku u bu kalendářů lišil jeden den v rce =500. Rk 400 byl přestupný v bu systémech, znamená t tedy, že rzdíl jednh dne vznikl v únru rku 300, prtže ten byl přestupný v Juliánském, ale nepřestupný v gregriánském kalendáři. Napsledy byl shdný začátek rku u bu kalendářů dne 1. ledna 300 našeh letpčtu. V buducnsti se jejich začátky budu shdvat tehdy, až se budu lišit jeden celý kalendářní rk. Rzdíl 363 dnů vznikne za 363.(400/3)=48400 let. Takže pkud uvážíme, že pprvé začal nvý rk shdně v bu systémech dne 1. ledna 01, pak p 1.lednu bude pprvé rzdíl 363 dnů, p 1. lednu pak 364 dnů. Rk bude přestupný v bu kalendářích, takže ke shdě djde až p rce Tent rk bude přestupný jen v Juliánském kalendáři. 1. leden Juliánskéh kalendáře bude dpvídat 31. prsinci kalendáře gregriánskéh. Další den začne rk gregriánskéh kalendáře. V únru tht rku bude vlžen v Juliánském kalendáři další přestupný den. Takže pak 1. leden 4890 gregriánskéh kalendáře dpvídá 1. lednu Juliánskéh systému.

2 . příklad V červenci 1969 přistáli američtí astrnauté Neil Armstrng a Edwin Aldrin na Měsíci a celkvá dba jejich pbytu na měsíčním pvrchu činila 1 hdin a 36 minut. Klikrát se mhli dstat d příméh radivéh spjení (bez zapjení pzemníh střediska) s třetím členem výpravy, Michaelem Cllinsem, který byl v rbitálním mdulu? Jaká byla maximální mžná délka každéh spjení? Předpkládejte, že se rbitální mdul phybval p kruhvé dráze přesně nad místem přistání, kde jeh výška nad pvrchem byla 111 kilmetrů. Orbitální i librační phyby Měsíce zcela zanedbejte. Situaci si můžeme graficky znázrnit, míst přistání je značen jak O. Plměr Měsíce značíme jak R a vzdálenst mdulu d pvrchu Měsíce pak jak h. Vypčteme, jaký je úhel γ, tedy úhlvá část dráhy, kdy je mdul nad bzrem až v zenitu: R γ = arccs = 0. Takže přímé spjení R + h s mdulem je mžné během phybu mdulu p 1/9 rbitální dráhy. Čas jednh běhu je 3 ( R + h) rven t = π, kde M je hmtnst GM. Měsíce. Numericky je t pak 1,98 hdiny. Během pbytu na Měsíci (1,6 hdiny) tak mdul vyknal 11 běhů, cž je maximální mžný pčet přímých spjení. Maximální délka každé relace pak byla t/9 = 13, minuty. 3. příklad Kulvá hvězdkupa má viditelný průměr 18,8. Její plšný jas (cd/arcsec ) je 40 % vyšší, než plšný jas klníh pzadí blhy. Vypčtěte celkvu hvězdnu velikst hvězdkupy, pkud víme, že jasnst jedné úhlvé vteřiny čtvereční pzadí dpvídá hvězdné veliksti 1,0 magnitud. Kulvá hvězdkupa má úhlvý průměr 18,8', tedy 99938", zakruhleme na ". Jasnst jedné úhlvé vteřiny čtvereční pzadí je 1 magnitud. Klik tedy bude jasnst pzadí na plše dpvídající plše kulvé hvězdkupy? Vycházíme z Pgsnvy rvnice prvazující zdánlivu jasnst bjektu m (v mag) s jeh zdánlivým jasem I (kandela). Budeme-li předpkládat, že bjekt má jasnst 0 mag právě když je jeh zdánlivý jas I 0, platí

3 m =,5 lg I/I 0. Z th vyjádříme jas I jak funkci kalibračníh jasu I 0 a zdánlivé m,5 jasnsti m: I = 10 I0. Přispívá-li d celkvé jasnsti bjektu více bjektů, sčítají se jejich jasy I. Pkud jsu všechny bjekty stejně jasné (s jasem I) a je jich n, pak je celkvý jas I C = ni.. T bude platit například pr výpčet celkvé jasnsti plšnéh bjektu při znalsti jasnsti referenční plchy, tedy např. jedné úhlvé vteřiny, jak je v zadání. Ptm je celkvá kmbinvaná jasnst m c rvna IC ni mc =,5lg =,5lg =,5 lgn + m I0 I0 V zadání je dále uveden, že plšný jas hvězdkupy je 1,4 jasu pzadí, pak je celkvá nqi jasnst hvězdkupy rvna m C =,5lg =,5(lgn + lgq) + m, kde q je I0 zmíněný pměr jasu hvězdkupy a pzadí (tedy q=1,4). P dsazení pak vychází celkvá jasnst hvězdkupy 5,6 magnitud. 4. příklad U hyptetické hvězdy spektrální třídy G V byla změřena rční paralaxa π = 0,004. Předpkládejte, že klem ní bíhá planeta s běžnu dbu T = 64 rků. Ověřte, zda lze rzlišit d sebe tělesa při sledvání dalekhledem průměru 10 metrů na vlnvé délce λ = 510 nm. Prblémy plynucí z rzdílné jasnsti bu bjektů v tmt případě zanedbejte. Vzdálenst hvězdy je r = 1 / π = 50 pc. Při stejné spektrální třídě jak Slunce můžeme předpkládat bdbnu hmtnst. Dále určíme velikst velké plsy 3 dráhy planety a = T = 16 AU. Ze vzdálensti 1 pc bychm pzrvali velku plsu dráhy 16 AU pd úhlem 16, tedy ze vzdálensti 50 pc pd úhlem 0,06. Rzlišvací schpnst dalekhledu je Θ = 1,λ / D = 0,01, planetu tímt dalekhledem můžeme pzrvat. 5. příklad Pzrvatelka ze skupiny Eridanus, která půsbí na stravské hvězdárně, prváděla cvičná astrmetrická měření a zjistila, že při CCD pzrvání z tzv. výchdní kpule, je zenitvá vzdálenst severníh světvéh pólu z = a) vypčtěte zeměpisnu šířku φ stravské výchdní kpule b) vypčtěte pr tt pzrvací stanviště výšku Slunce nad hrizntem v hrní kulminaci v kamžicích rvndennsti, letníh a zimníh slunvratu.

4 a) V sustavě hrizntálních suřadnic platí vztah h + z = 90, kde h je výška nad bzrem a z je zenitvá vzdálenst, pak také ϕ = = b) V kamžiku rvndennsti bude výška Slunce v hrní kulminaci h = 40 10, v kamžicích slunvratů se k tét hdntě přičte neb dečte úhel mezi rvinu světvéh rvníku a rvinu ekliptiky ε = 3 7, pak dstaneme hdnty h = a = LS h ZS 6. příklad (terie) Prměnná hvězda, cefeida, se nachází na blze přesně v rvině ekliptiky. V průběhu rku se vzhledem ke vzdáleným hvězdám phybuje přesně pdél ekliptiky v intervalu veliksti 0,000 úhlvé vteřiny. V kamžiku pzice se Sluncem se cefeida nachází přesně uprstřed tht intervalu. Dále je znám, že je slžku dvjhvězdy s kruhvými běžnými drahami a peridu 1 rk. Vypčítejte hmtnst druhé slžky dvjhvězdy, pkud víte, že má menší hmtnst než cefeida (její hmtnst je 5 hmtnstí Slunce). K řešení využijte i tyt diagramy. Phyb sustavy jak celku i mezihvězdnu extinkci můžete zanedbat. Interval, ve kterém se hvězda phybuje v rvině ekliptiky má vlastnsti paralaktickéh phybu. Pak tedy hdnta rční paralaxy π 1 = 0,0010. Vzdálenst však můžeme určit také metdu ftmetrické paralaxy. Ze světelné křivky lze dečíst střední hvězdnu velikst cefeidy m = 5,7 mag a také peridu P = 5 dnů. Perida světelných změn je u cefeid závislá na jejich abslutní hvězdné veliksti M. Z diagramu tét závislsti dečteme hdntu M = 3,4 mag a p dsazení d vztahu lgπ = 0,( M m) 1 vypčteme ftmetricku paralaxu π = 0,0015, cž je 50% vyšší hdnta než je trignmetrická paralaxa. Prtže mezihvězdnu extinkci můžeme zanedbat, můžeme udělat závěr, že skutečná vzdálenst dpvídá údaji zjištěnému z ftmetrické paralaxy (670 pc) a rční paralaxa je rušena phybem druhé slžky s peridu také 1 rk. Ptřebujeme vypčítat velikst rušivéh phybu. Prtže vliv druhé slžky nezpůsbuje žádný phyb klm na ekliptiku, lze usudit, že rvina jejíh běhu také leží v rvině ekliptiky. Navíc, pkud je nulvá hdnta rční paralaxy, je nulvá i slžka rbitálníh phybu, z čehž lze usudit, že rbitální phyb má shdný směr s paralaktickým neb přesně pačný (rzdíl fází je buď 0 neb 180 stupňů). Označme jakα plvinu intervalu dpvídajícíh rbitálnímu

5 phybu, pak lze ba případy ppsat jak π α1 = π 1 a π α = π 1, takže α = π ±, tedy 0,0005 neb0,005.,1 π 1 Prtže známe vzdálenst sustavy, lze dpčítat plměr dráhy 1,7 AU. a C = 0,3 AU neb Pr plměry drah dvu slžek dvjhvězdy platí a c M = c, kde Mc a Mx jsu ax Mx M hmtnsti těcht slžek. Vzdálenst mezi slžkami je pak = + = + c a ax ac ac 1. Mx Pkud hmtnsti vyjádříme v hmtnstech Slunce, velku plsu v AU a peridu běhu v rcích (je rvna 1), lze napsat 3. Keplerův zákn v tmt tvaru: ( Mx + Mc ) a = M x + M c a pak ac =, ze zadání víme, že hmtnst druhé slžky je Mc 1 + M menší než hmtnst cefeidy, takže můžeme vztah upravit x a M ( M ) 1 3 x c c = a tedy Mc 3 M x = acmc. P dsazení dvu mžných hdnt veliksti plsy, dstaneme hmtnst 1 a 5 hmtnstí Slunce. Druhá hdnta je vylučena zněním zadání, hmtnst druhé slžky je tedy rvna hmtnsti Slunce a skutečnsti dpvídá puze první situace znázrněná na brázku. 7. příklad (analýza dat) Tabulka bsahuje údaje jasnstech naměřených ftelektrickým ftmetrem ve ftmetrických filtrech B a V pr 4 hvězd tevřené hvězdkupy Plejády. a) prveďte spektrální klasifikaci hvězd pdle jejich barevnéh indexu a uvedené tabulky spektrálních tříd b) sestavte tzv. barevný diagram pr uvedené hvězdy (je t jedna z variant HR diagramu) c) identifikujte mezi hvězdami ty, ve kterých již neprbíhá jaderné hření vdíku v centrální části hvězdy d) na základě analýzy barevných indexů těcht hvězd vypčítejte vzdálenst tét tevřené hvězdkupy d Země v parsecích i ve světelných letech, hvězdy identifikvané v části c) ze subru vylučte

6 Naměřené hdnty Hvězda B V B-V sp. klas. 1 13,30 1,51 4,0 4,31 3 8,95 8, ,5 9, ,06 1, ,36 14,39 7 8,47 8, ,01 1,0 9 11,16 10, ,8 6, ,94 9, ,77 1,61 13,78, ,95 7, ,95 16, ,95 8, ,16 6, ,38 5, ,58 10,0 0 7,07 6,95 1 1,1 11,35 16,90 15,76 3 9,34 9,17 4 7,55 7,4 abslutní hvězdná velikst index B - V spektrální typ -5,8-0,35 O5-4,1-0,31 B0-1,1-0,16 B5-0,7 0 A0 0,13 A5,6 0,7 F0 3,4 0,4 F5 4,4 0,58 G0 5,1 0,7 G5 5,9 0,89 K0 7,3 1,18 K5

7 9 1,45 M0 11,8 1,63 M5 16 1,8 M8 a) Naměřené hdnty Hvězda B V B-V sp. klas. 1 13,30 1,51 0,79 G5 4,0 4,31-0,11 B5 3 8,95 8,60 0,35 F5 4 10,5 9,70 0,55 G0 5 13,06 1,05 1,01 K0 6 15,36 14,39 0,97 K0 7 8,47 8,11 0,36 F5 8 13,01 1,0 0,99 K0 9 11,16 10,53 0,63 G0 10 6,8 6,80 0,0 A0 11 9,94 9,46 0,48 F5 1 13,77 1,61 1,16 K5 13,78,87-0,09 B5 14 8,95 7,7 1,3 K ,95 16,48 0,47 F5 16 9,95 8,80 1,15 K5 17 8,16 6,46 1,70 M5 18 5,38 5,44-0,06 A ,58 10,0 0,56 G0 0 7,07 6,95 0,1 A5 1 1,1 11,35 0,77 G5 16,90 15,76 1,14 K5 3 9,34 9,17 0,17 A5 4 7,55 7,4 0,13 A5

8 b) B-V(mag) -0,5 0 0,5 1 1, V(mag) 7 Abslutní Instrumentální 1 17 c) červené bdy v zeleném a ranžvém válu představují hvězdy, které nejsu na hlavní pslupnsti d) prlžením přímek mdrými a červenými bdy v barevném diagramu určíme mdul vzdálensti na cca 5,5 (lze tlervat hdnty d 5,0 d 6,0), z th pak vypčteme vzdálenst Plejád v parsecích pc tedy 410 ly. m M r = 10, numericky pak praktický úkl v planetáriu specifické zadání zaměřené na rientaci na blze (příklad 1 je pdle E. N. Fadějeva, příklad pdle O. S. Uglnikva, příklad 3 pdle A. M. Tatarnikva, příklad 4 je převzatý z publikace Úlhy z astrfyziky, Vladimír Štefl, Daniela Krčákvá, Jiří Krtička, Brn 010, příklad 6 je pdle A. A. Tatarnikvvé a příklad 7 vychází ze zadání interaktivníh mdulu CLEA, kmpilaci prvedl Tmáš Gráf, prakticku úlhu připravil Jan Kžušk, příklady nezávisle recenzvali Mirslav Randa a Michal Švanda)